Progrm linear
Download as PPTX, PDF1 like1,223 views
Dokumen tersebut membahas tentang program linear yang meliputi pengertian program linear, contoh aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, pertidaksamaan linear, dan cara menyelesaikan masalah program linear menggunakan metode grafik.
Progrm linear
- 2. Loading Loading Complete Power Point is starting up... Program Linear Nama Kelompok Mira Sandrana Kiki Andani fitri Asrul Steven Febranzio Muti’ah Solehah Azhar XII IPA 1
- 3. PROGRAM LINEAR STANDAR KOMPETENSI MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR.
- 4. KOMPETENSI DASAR MENYELASIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH PROGRAM LINIER MENEYELESAIKA MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH PROGRAM LINIER DAN PENAFSIRANNYA
- 5. Pengertian program linear Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi. Aplikasi Program Linear dalam Kehidupan sehari hari : 1. Memaksimalkan keuntungan sebuah perusahaan 2. Meminimumkan pengeluaran suatu perusahaan
- 6. Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebuah kalimat terbuka yang mengandung dua variabel dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan, yaitu >, > , <, dan < Terdapat 4 (empat) bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, sebagai berikut : Himpunan penyelesaian (HP) merupakan himpunan titik-titik atau daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear
- 7. • Diberikan pertidaksamaan : x + y ≤ 60 4x + y ≤ 90 • Himpunan penyelesaiaannya dapat dicari dengan langkah – langkah sebagai berikut: – Gambar garis x + y = 60 pada bidang cartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan Sumbu Y • x = 0 maka y = 60 • y = 0 maka x = 60 – Selanjutnya selidiki daerah yang merupakan himpunan penyelesaian x + y ≤ 60 – Ambil titik selidik O(0,0), kemudian substitusi titik (0,0) ke pertidaksamaan x + y ≤ 60 diperoleh 0 + 0 ≤ 60 0 ≤ 60 – Ketidaksamaan benar berarti titik O(0,0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 60 Y X 60 60 x + y = 60 O
- 8. – Jadi, daerah himpunan penyelesaian ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada gambar – Lakukan hal yang sama untuk pertidaksamaan 4x + y ≤ 90 x = 0 maka y = 90 y = 0 maka x = 22,5 – Ambil titik selidik (0,0), substitusi titik (0,0) ke pertidaksamaan 4x + y ≤ 90 diperoleh 4.(0) + 0 ≤ 90 0 ≤ 90 – Karena ketiksamaan bernilai benar berarti titik selidik (0,0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian Y O X 60 60 O Y X 90 22,5
- 9. – Jadi, daerah himpunan penyelesaian ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada gambar – Langkah selanjutnya adalah menggambarkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 60 dan 4x + y ≤ 90 dalam satu bidang cartesius, dan daerah yang terarsir dua kali adalah himpunan penyelesaiannya. O Y X 90 22,5 Y O X 60 60 90 22,5
- 10. B. FUNGSI TUJUAN (FUNGSI OBJEKTIF) BESERTA KENDALA • Model Matematika Model matematika adalah hasil terjemahan permasalahan kedalam bahasa / lambang matematika. • Fungsi Tujuan (Fungsi Objektif) Fungsi tujan adalah fungsi dari suatu keadaan yang hendak dicapai secara maksimum atau minimum • Kendala Kendala adalah pertidaksamaan – pertidaksamaan linier yang memenuhi semua syarat yang diberikan
- 11. • Farah akan membuat roti bolu dan roti tawar. Roti bolu membutuhkan 100 gram terigu dan 25 gram mentega. Roti jenis tawar membutuhkan 50 gram terigu dan 50 gram mentega. Farah mempunyai persedian bahan 2,5 Kg terigu 1Kg mentega. Farah akan membuat roti sebanyak – banyaknya. Tentukan model matematika dari masalah tersebut! • Tentukan model matematika dari masalah tersebut!
- 12. • Langkah – langkah – Buat kebutuhan bahan untuk setiap jenis roti ke dalam bentuk tabel – Misalkan banyaknya roti bolu yang akan dibuat = x banyaknya roti tawar yang akan dibuat = y – Maka tabel akan menjadi Jenis Roti Terigu (gram) Mentega (gram) Bolu 100 25 Tawar 50 50 Persediaan 2.500 1000 Jenis Roti Banyaknya Bahan yang dibutuhkan Terigu Mentega Bolu x 100 x 25 x Tawar y 50 y 50 y Jumlah x+ y 100 x + 50 y 25 x + 50 y persediaan 2500 1000
- 13. Karena x dan y mewakili banyaknya roti yang dibuat, maka nilainya harus bulat dan tidak negatif Jadi, x > 0 (i) y > 0 (ii) Persediaan terigu 2.500 gram, oleh karena itu penggunaan terigu tidak boleh lebih dari 2.500 gram. Jadi, 100 x + 50 y ≤ 2.500 atau 2x + y ≤ 50 (iii) Persediaan mentega 1000 gram, maka jumlah mentega yang digunakan memenuhi pertidaksamaan 25 x + 50 y ≤ 1000 atau x + 2 y ≤ 40 (iv) Farah ingin membuat roti bolu dan tawar sebanyak – banyaknya, dapat ditulis sebagai sebuah fungsi yaitu : f(x,y) = x+ y Kedua jenis roti akan dibuat sebanyak – banyaknya, maka pertidaksamaan (i), (ii), (iii) dan (iv) membentuk sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi untuk memaksimumkan f(x,y) = x + y
- 14. Sehingga model matematika untuk masalah farah adalah: Memaksimumkan (fungsi tujuan / fungsi objektif) f(x,y) = x + y Dengan syarat (kendala) x ≥ 0 y ≥ 0 2 x + y ≤ 50 x + 2 y ≤ 40
- 15. C. NILAI OPTIMUM DARI MASALAH PROGRAM LINIER • Penyelesaian Optimum Penyelesaian optimum / masalah optimum adalah sebuah penyelesaian yang memberikan hasil terbaik dari berbagai kemungkinan penyelesaian • Tujuan dari masalah program linier adalah mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y) = ax +by. • Pada subbab ini hanya akan dijelaskan mengunakan metode grafik. Dalam metode grafik ada dua macam metode, yaitu: 1. Metode uji titik pojok 2. Metode garis selidik
- 16. 1. Metode uji titik pojok • Dalam metode ini, untuk menentukan nilai optimum dengan menghitung ax + by pada tiap titik pojok atau tiap tititk yang dekat dengan titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian Contoh – Model matematika masalah Farah dalam membuat roti • Memaksimumkan f(x,y) = x + y • Dengan syarat / kendala : x ≥ 0 y ≥ 0 2x + y ≤ 50 x + 2y ≤ 40 Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif tersebut!
- 17. • Langkah – langkah – Gambar grafik daerah penyelesaian dari kendala – kendala yang diberikan dala bidang koordinat. dan namai titik –titik pojoknya dengan huruf alfabet – Tentukan koordinat – koordinat titik pojok yang merupakan daerah penyelesaiannya O (0,0) A (25,0) C (0,20) 50 20 25 40O A B C X Y
- 18. • Langkah – langkah – Titik B dapat dicari dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi. Karena titik B merupakan titik perpotongan antara garis 2x + y =50 dan garis x + 2y =40 Eliminasi variabel x 2x + y = 50 x1 2x +2y = 50 x + 2y = 40 x2 2x +4y = 80 -3y = -30 y = 10 Substitusi nilai y = 10 ke persamaan 2x + y = 50 maka 2x + 10 = 50 2x = 40 x = 20 Jadi koordianat titik B (20,10)
- 19. Langkah – langkah Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai fungsi objektif pada masing – masing titik pojoknya f(x,y) = x + y O(0,0) maka f(x,y) = 0 + 0 = 0 A(25,0) maka f(x,y) = 25 + 0 = 25 B(20,10) maka f(x,y) = 20 + 10 = 30 C(0,20) maka f(x,y) = 0 + 20 = 20 Dari nilai fungsi objektif tersebut diperoleh Nilai maksimum = 30 dicapai pada titik (20,10) Nilai minimum = 0 dicapai pada titik (0,0) Nilai optimum pada permasalahan farah adalah nilai maksimum, karena Farah ingin membuat roti tawar dan bolu sebanyak – banyaknya. Jadi, Farah dapat membuat roti tawar sebanyak 20 buah dan bolu sebanyak 10 buah
- 20. 2. Metode Garis Selidik • Metode garis selidik lebih praktis dari metode uji titik pojok. Karena dalam metode uji titik pojok memerlukan ketelitian dan waktu yang agak lama untuk menghitung nilai fungsi objektif di masing – masing titik pojoknya • Diberikan persamaan garis x + 2y = k • Garis tersebut memotong sumbu X di (k,0) dan memotong sumbu Y di (0,k/2). Grafik garis x + 2y = k dilukis dengan menghubungkan titik (k,0) dan (0,k/2).
- 21. Dari gambar terlihat, jika nilai k makin besar maka garis x + 2y = k makin menjauhi titik pangkal. Ini berarti himpunan garis- garis yang sejajar dengan persamaan x + 2y = k dapat dipakai untuk menyelediki nilai optimum (maksimum atau minimum) dari bentuk objektif f(x,y) = x + 2y . Sehingga garis dengan persamaan dinamakan garis selidik. Jadi, nilai optimum (maksimum atau minimum) bentuk objektif ax+by dapat diselidiki menggunakan garis selidik ax +by =k • Gambar berikut merupakan grafik garis x + 2y = k untuk nlai – nilai k = 0, k = 2, k = 4, dan k = 6 y x 3 2 1 0 2 4 6
- 22. • Model matematika masalah Farah dalam membuat roti • Memaksimumkan f(x,y) = x + y • Dengan syarat / kendala : • x ≥ 0 • y ≥ 0 • 2x + y ≤ 50 • x + 2y ≤ 40 • Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif tersebut! CONTOH
- 23. • Langkah – langkah – Gambarkan grafik daerah penyelesaiannya dari kendala – kendala yang diberikan dalam bidang koordinat. – Tentukan persamaan garis selidik ax + by = k ,untuk suatu k tertentu. Dari persamaan Farah diperoleh fungsi objektif f(x,y) = x +y Persamaan garis selidik x + y = k Ambil k = 1, diperoleh x + y = 1 50 20 25 40O A X Y
- 24. x > 0 x+y < 2 x+3y < 3 X x+y = 2 01Y 30X x+3y = 3 y > 0 Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari x + y ≤ 2 X+3y ≤ 3 x ≥0 y ≥0 Jawab x > 0 x+y < 2 x+3y < 3 1 2 1 2 30 3 X x+y = 2 01Y 30X x+3y = 3 Himpunan penyelesaian y > 0 Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari x + y ≤ 2 X+3y ≤ 3 x ≥0 y ≥0 Jawab CONTOH SOAL:
- 25. 1 2 1 2 30 3 Tentukan sistem pertidaksamaan dari grafik berikut Persamaan garis melalui (0,1) dan (3,0) y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 y-1 0-1 = x-0 3-0 3y-3 = -1x x+3y = 3 y-2 0-2 = x-0 1-0 y-2 = -2x 2x+y = 2 Persamaan garis melalui (0,2) dan (1,0) Sistem Pertidakksamaan liniernya adalah: x + 3y ≤ 3 2x+y ≤ 2 x ≥ 0 y ≥ 0
- 26. CONTOH SOAL Jawab Misalkan nilai olahraga = x, nilai kesehatan = y, maka: x ≥ 7 ; y ≥6; x + y ≥15 x ≥7 y ≥6 x+y ≥15 Daerah Himpunan penyelesaian 015Y 150X 10 15 5 0 5 10 15 Daerah Himpunan penyelesaian
- 27. Jawab Misalkan banyaknya es teler yang akan dibuat adalah x, dan es buah adalah y, maka:Berjualan Es Itung-itung untuk menambah penghasilan saat liburan panjang ini, Amri mencoba berjualan es di depan rumahnya. “Lumayan untungnya untuk membayar SPP bulan depan”, pikirnya. Dalam usahanya ia hanya menyediakan dua jenis es yaitu es teler dan es buah. Karena baru pertama ia hanya mau mencoba maksimal 120 mangkok. Rencananya, es teler yang ia buat setiap harinya paling sedikit 20 mangkok dan paling banyak 100 mangkok. Buatlah model matematika dan daerah penyelesaian untuk menentukan banyaknya masing- masing es yang boleh dibuat! 20 <x < 100 x + y < 120 y > 0 0 50 100 150 20 ≤x x ≤100 x+y≤120 0120Y 1200X y ≥ 0 Daerah himpunan penyelesaian 100 50
- 28. T H A N K Y O U