PROGRAM_LINEAR.ppt
- 1. PROGRAM LINEAR SMA DHARMA SUCI JAKARTA UTARA KELAS XII IPA MULYANI
- 2. STANDAR KOMPETENSI : Menyelesaikan masalah Program Linear
- 3. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel Merancang model matematika dari masalah program linear. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya.
- 4. Indikator : Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Next
- 5. Indikator : Menentukan fungsi objektif beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear. Membuat model matematika dari masalah program linear. Next
- 6. Indikator : Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian dari program linear Next
- 7. 2.1 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 2.1.1 Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Definisi Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel Suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu Seperti yang telah dipelajari pada kelas X dalam materi sistem pertidaksamaan, bahwa terdapat suatu kalimat terbuka yang memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan seperti : Lebih dari (>), Kurang dari (<), Lebih dari sama dengan (≥), dan Kurang dari sama dengan (≤)
- 8. 2.1.2 Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Seperti halnya dalam pertidaksamaan pada umumnya, pertidaksamaan linear dua variabel juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dengan dua variabel biasanya ditampilkan dalam bentuk grafik yang digambarkan pada sebuah bidang Cartesius. Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua variabel dapat dipelajari melalui ilustrasi sebagai berikut ini. Next
- 9. 2.1.3 DEFINISI PERTIDAKSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL Pertidaksamaan linear dengan dua variabel secara umum dapat ditulis dengan : ax + by ≥ c atau ax + by ≤ c Pertidaksamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian berupa himpunan pasangan terurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan. Penyelesaiannya dapat digambarkan dalam koordinat cartesius seperti pada gambar berikut ini. Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.
- 10. (i) Y X a Y = b X ≥ a Y a X ≤ a X X = a (ii) (iii) b X Y (iv) Y b Y = b Y ≥ b Y ≤ b X = a X
- 11. (iv) Y X Y X (v) ax + by = c ax + by ≥ c ax + by = c ax + by ≤ c
- 12. (vi) Y X ax + by = c ax + by ≥ c X ax + by = c ax + by ≤ c (vi) Y
- 13. Contoh 1 : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6 pada koordinat cartesius. Jawab : Langkah 1 : gambar koordinat cartesius Langkah 2 : Gambar garis 2x + 3y = 6 dengan menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan y yaitu : Untuk x = 0 → 2 . 0 + 3y = 6 →2x = 6 → y = 2 → titik potong sumbu y (0,2) Untuk y = 0 → 2x + 3 . 0 = 6 → 2x = 6 → x = 3 → titik potong sumbu x (3,0) - - - - - 2 3 1 1 2 Y X ● ● Langkah 3 : Gambar garis 2x + 3y = 6 Langkah 4 : Menentukan daerah yang diarsir untuk 2x + 3y ≤ 6 2x + 3y = 6 2x + 3y ≤ 6
- 14. Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x ≥ 1, x ≤ 2, 2x + 3y ≥ 6, dan y ≤ 3 Jawab : - - - - - - - Y 1 2 3 1 2 3 4 x ≥ 1 x ≤ 2 2x + 3y ≥ 6 y ≤ 3 X x = 1 x = 2 2x + 3y = 6 y = 3 Gambar koordinat cartesius Untuk daerah x ≥ 1 • Gambar garis x = 1 • Arsir daerah x ≥ 1 Untuk daerah x ≤ 2 • Gambar garis x = 2 • Arsir daerah x ≤ 2 Untuk daerah 2x + 3y ≥ 6 • Gambar garis 2x + 3y = 6 • Arsir daerah 2x + 3y ≥ 6 Untuk daerah y ≤ 3 • Gambar garis y = 3 • Arsir daerah y ≤ 3
- 15. Latihan no 1 : Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut … Y X - - - - - - 2 3 2 3 4 4 Y X - - - - - - 2 3 2 3 4 4 Y X - - - - - - 2 3 2 3 4 4 Y X - - - - - - 2 3 2 3 4 4 A B C D
- 16. Ingin jawaban dan alasannya? Ya Tidak Selesai Latihan no 2 :
- 17. Pertidaksamaan Titik potong sumbu X (y = 0) Titik potong sumbu Y (x = 0) Daerah yang diarsir 2x + y ≥ 4 3x + 4y ≤ 12 x ≥ 0 y ≥ 0 (2,0) (4,0) (0,0) Sb x (0,3) (0,4) Sb y (0,0) Sebelah kanan garis Sebelah kiri garis Sebelah atas sumbu x Sebelah kanan sumbu y - - - - - 1 2 4 - 3 1 2 3 - 4 Y X - 2x + y ≥ 4 3x + 4y ≤ 12
- 19. Latihan no 2 : Gambarlah daerah yang diarsir untuk pertidaksamaan berikut : 3x + 2y ≥ 6 4x + 3y ≤ 12 x ≥ y x ≥ 2y SOLUSI
- 21. Pertidaksamaan Titik potong sumbu X (y = 0) Titik potong sumbu Y (X = 0) Daerah yang diarsir 3x + 2y ≥ 6 4x + 3y ≤ 12 x ≥ y x ≥ 2y (2,0) (0,3) (0,4) (3,0) Sebelah kanan garis Sebelah kiri garis x – y ≥ 0 x – 2y ≥ 0 {(0,0);(1,1);(2,2)} {(0,0);(1,½);(2,1)} 1 2 3 4 1 2 3 3x + 2y ≥ 6 4x + 3y ≤ 12 x ≥ y Bawah garis x ≥ 2y Bawah garis Y X
- 22. 2.2 PROGRAM LINEAR DAN MODEL MATEMATIKA 2.2.1 Merancang Model Matematika Dalam pelajaran matematika di kelas X dan XI telah dibahas cara merancang model matematika seperti : Model matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. Model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel Model matematika yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus dan kosinus Model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
- 24. Langkah-langkah dalam menyusun suatu model matematika diantaranya adalah : 1. Tetapkan besaran masalah yang ada dalam soal sebagai variabel- variabel (dinyatakan dalam huruf-huruf). 2. Rumuskan hubungan atau ekspresi matematika sesuai dengan keterangan atau ketentuan yang ada dalam soal. Definisi : Model Matematika adalah rumusan masalah yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematika.
- 25. Contoh 3 : Agus membeli 6 buku gambar dan 8 pulpen di toko buku dengan harga Rp 20.200,00. Sedangkan Ani membeli sebuah buku gambar dan satu buah pulpen dengan harga Rp 2.800,00. Buatlah model matematikanya ! Jawab : (sesuai dengan langkah menyusun model matematika) 1. Menetapkan besaran masalah : Misalkan harga sebuah buku gambar adalah x rupiah dan harga sebuah pulpen adalah y rupiah. 2. Hubungan atau ekspresi matematika : berdasarkan keterangan yang ada dalam soal diperoleh hubungan : 6x + 8y = 20.200 dan x + y = 2.800 Dengan demikian model matematika tersebut adalah 6x + 8y = 20.200 x + y = 2.800 dengan x dan y R
- 26. 2.2.2 Model Matematika dari Masalah Program Linear Definisi : Program Linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang digunakan untuk memcahkan masalah pengoptimalan (maksimum dan minimum suatu tujuan) Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear terdapat kendala-kendala atau batasan- batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear.
- 27. Contoh 4 : Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II sedangkan membuat barang jenis B memerlukan 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Kedua mesin tersebut setiap hari dibuat x buah barang A dan y buah barang B. Buatlah model matematikanya. JAWABAN
- 28. Jawab : Diketahui : Barang jenis A = x buah Barang jenis B = y buah Persoalan di atas dapat ditulis dalam bentuk tabel di bawah ini : Jenis Barang Banyaknya Barang Mesin I Mesin II A B x y 6 jam 2 jam 8 jam 4 jam Oleh karena mesin I dan mesin II bekerja tidak lebih dari 18 jam, maka : 6x + 2y ≤ 18 atau 3x + 2y ≤ 9 4x + 8y ≤ 18 atau 2x + 4y ≤ 9 Mesin I Mesin II Jadi model matematikanya adalah 3x + 2y ≤ 9, 2x + 4y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 Karena banyaknya barang A dan barang B tidak mungkin negatif maka x ≥ 0, y ≥ 0
- 29. 2.3 Menentukan Nilai Optimum Nilai optimum dapat digunakan dalam dua metode : Metode Simpleks Perhitungan metode ini memerlukan langkah-langkah yang lebih rumi. Metode ini biasanya cocok untuk memecahkan masalah program liner yang melibatkan variabelnya lebih dari dua. Oleh karena itu metode ini tidak diajarkan di jenjang SMA sehingga metode ini tidak perlu dibahas lebih lanjut. Metode Grafik Metode ini cocok digunakan untuk memecahkan masalah program linear sederhana yaitu memerlukan hanya dengan sistem petidaksamaan linear dua variabel. Metode grafik menggunakan dua macam metode yaitu : a. Metode uji titik pojok dan b. Metode garis selidik
- 30. 2.3.1 Menentukan nilai Optimum dengan uji titik pojok Langkah-langkah menggunakan uji titik pojok yaitu : 1. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari kendala dalam suatu masalah program linear. Ingat bahwa kendala ini berbentuk sistem pertidaksaam linear dengan dua variabel. Pada grafik ini tentukanlah titik pojoknya. 2. Hitunglah nilai fungsi tujuan f(x,y) = ax + by untuk semua titik pojoknya, kemudian tetapkanlah : a. Nilai f(x,y) yang terbesar sebagai nilai maksimum b. Nilai f(x,y) yang terbesar sebagai nilai minimum untuk memperoleh nilai tersebut substitusikanlah titik-titik pojok tersebut ke dalam nilai fungsi tujuannya yaitu f(x,y) = ax + by
- 31. Contoh 5 : Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A dan barang B) dengan menggunakan dua mesin (mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2 selama 4 menit, sedangkan satu unit barang B di buat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 8 menit dan mesin M2 selama 4 menit. Dalam satu hari mesin M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dari 8 jam. Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit barang A adalah Rp 250,00 dan tiap satu unit barang B adalah Rp 500,00. Buatlah model matematikanya jika keuntungan yang diharapkan mencapai sebesar-besarnya. Jawaban
- 32. Jawab :