Program linear

1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul Menerapkan Konsep Program Linear ini terdiri atas empat kompetensi
dasar, yaitu :
1. membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2 variabel
2. menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal)
3. menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan
4. menerapkan garis selidik untuk menentukan nilai optimum
B. Prasyarat
Kemampuan awal yang perlu dipelajari untuk mempelajari Modul ini adalah
siswa telah mempelajari dan menguasai Konsep Bilangan Real, Konsep Persamaan dan
Pertidaksamaan.
C. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari Konsep Program Linear ini diharapkan siswa dapat :
1. menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear 2 variabel
2. menggambar grafik himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear
3. menentukan nilai optimum suatu sistem pertidaksamaan
4. menentukan nilai optimum suatu permasalahaan dengan garis selidik
5. menerapkan konsep program linear untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari
D. Glosarium
ISTILAH KETERANGAN
Program linier Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai
maksimum atau minimum dari bentuk linear pada daerah
yang dibatasi oleh grafik-grafik fungsi linear
Pertidaksamaan linier Kalimat terbuka yang dihubungan dengan tanda ketidaksamaan
dan mengadung variabel berpangkat satu
Model matematika Suatu cara untuk memandang suatu permasalahan atau suatu
persoalan dengan menggunakan sistem pertidaksamaan
Matematika
Fungsi kendala Batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh variabel yang
terdapat dalam fungsi obyektif
Fungsi obyektif Fungsi yang akan dicari nialai optimumnya
Titik optimum Suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimum
Garis selidik Garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi obyektif
.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

2
E. Ceck Kemampuan
No Pertanyaan Ya Tidak
1 Dapatkah anda menjelaskan pengertian program linear ?
2 Dapatkah anda menggambar grafik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linear?
3 Dapatkah anda menggambar grafik himpunan penyelesaian system
pertidaksamaan linear dengan dua variabel?
4 Dapatkah anda menjelaskan pengertian model matematika?
5 Dapatkah Anda menterjemahkan persoalan kehidupan sehari-hari
kedalam model matematika ?
6 Dapatkah anda membuat fungsi obyektif dari suatu masalah
program linear?
7
Dapatkah Anda menentukan titik optimum dari daerah himpunan
penyelesaian system pertidaksamaan linear?
8 Dapatkah anda menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif?
9 Dapatkah menjelaskan pengertian garis selidik?
10
Dapatkah anda membuat garis selidik menggunakan fungsi
obyektif?
11
Dapatkah anda menentukan nilai optimum fungsi obyektif
menggunakan garis selidik?
Apabila anda menjawab “Tidak “pada salah satu pertanyaan di atas maka pelajarilah
materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab “Ya “pada semua pertanyaan,
maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, test formatif dan evaluasi yang ada pada
modul ini.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

3
BAB II
PEMBELAJARAN
Kegiatan Belajar 1.
Grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variable
Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan siswa dapat :
1. menjelaskan pengertian program linear.
2. menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear.
3. menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan
dua variabel.
A. Pengertian Program Linear
Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau
minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik fungsi linear.
Ide program linier pertama kali dikembangkan dalam bidang kemiliteran selama perang
dunia kedua, kemudian dikembangkan di dalam bidang pemerintahan, manajeman,
komersial dan perdagangan.
Dalam dunia bisnis ada prinsip ekonomi yang selalu menjadi acuan untuk
mengambil keputusan, yaitu menggunakan sumber daya seminimal mungkin untuk
mendapatkan hasil semaksimal mungkin. Perhatikan dua contoh kasus berikut:
contoh 1.1:
Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar :
- Pagar jenis I seharga Rp 30.000/m2
- Pagar jenis II seharga Rp 45.000/m2
Tiap m2
pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m2
pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Jika persediaan yang ada
640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Permasalahannya adalah berapa banyak masing-
masing jenis pagar harus dibuat untuk mendapatkan hasil penjualan yang maksimal?
contoh 1.2:
Seorang peternak akan membuat campuran pakan ternak yang terdiri atas jagung giling
dan konsentrat pabrik dengan memperhitungkan kebutuhan protein 18% dan energi
metabolisme 2800Kkal/Kg. Jika diketahui:
- jagung dan konsentrat pabrik masing-masing mengandung protein 9% dan 23% serta
mengandung energi 3300 Kkal/kg dan 2500 KKal/kg.
- harga jagung Rp 1.500/Kg dan harga konsentrat Rp 3.000/kg.
Permasalahnnya adalah berapa persen jagung dan konsntrat yang digunakan dalam
campuran pakan agar harganya semurah mungkin?
Sebelum mempelajari hal tersebut lebih lanjut, maka terlebih dahulu akan dibahas
berbagai cara untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

4
B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungan dengan tanda
ketidaksamaan dan mengadung variabel berpangkat satu. Bentuk umum pertidaksamaan
linear adalah:
(i) ax + by > c
(ii) ax + by < c
(iii) ax + by ≥ c
(iv) ax + by ≤ c
dengan x dan y variabel, a, b, dan c konstanta.
Kedudukan titik-titik sebagai daerah penyelesaian pertidaksamaan linear pada
bidang Kartesius adalah:
1. Kedudukan titik yang memenuhi persamaan ax + by = c
2. Kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c
3. Kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < c
dengan garis ax + by = c merupakan garis pembatas antara daerah yang memenuhi
dengan daerah yang tidak memenuhi.
Langkah-langkah untuk menggambar grafik penyelesain pertidaksamaan linear:
1. Nyatakan pertidaksamaan linear sebagai persamaan linear dalam bentuk ax + by = c
(garis pembatas)
2. Tentukan titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan sumbu Y
3. Tarik garis lurus yang menghubungan kedua titik potong tersebut. Jika
pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda ≥ atau ≤ , garis dilukis tidak putus-putus,
sedangkan Jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda > atau < , garis dilukis
putus-putus
4. Tentukan sebarang titik (x1, y1), masukkan ke pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan
bernilai benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian, sebaliknya jika
bernilai pertidaksamaan bernilai salah, maka daerah tersebut bukan merupakan daerah
penyelesaian.
5. Arsirlah daerah yang memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang diarsir atau arsirlah daerah yang tidak memenuhi, sehingga daerah
himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang bersih.
Contoh 1.3. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear: 3x + 2y ≥ 12
Jawab:
Langkah (1): tentukan garis pembatas 3x + 2y = 12
Langkah (2): tentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y
Titik potong sumbu x adalah ketika y = 0,
sehingga diperoleh: 3x + 2(0) = 12
3x + 0 = 12
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

5
3x = 12
x = 4
titik potong terhadap sumbu x adalah (4,0)
Titik potong sumbu y adalah ketika x = 0,
sehingga diperoleh: 3(0) + 2y = 12
0 + 2y = 12
2y = 12
y = 6
titik potong terhadap sumbu x adalah (0,6)
Langkah (3): hubungkan kedua titik potong tersebut dengan garis lurus
Langkah (4): ambil sebarang titik, misalnya (0,0), masukkan ke pertidaksamaan:
3(0) + 2(0) ≥ 12 (tidak memenuhi), berarti daerah dimana titik (0,0)
terletak bukan merupakan daerah penyelesaian.
Langkah (5): Arsirlah daerah yang memenuhi.
C. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dengan Dua
Variabel
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dari dua atau lebih
pertidaksamaan linear dengan dua variabel.
Contoh 1.4 : gambarlah grafik yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear:
x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 20
x ≥ 0 ; y ≥ 0 x,y ∈ R
Jawab : Buatlah tabel titik potong dengan sumbu koordinat :
x + y = 15
x 0 15
y 15 0
x + 2y = 20
x 0 15
y 15 0
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

6
Gambar grafiknya:
Latihan 1.
1. Gambarlah grafik-grafik di bawah ini !
a. 2x + 3y = 12 d. y 6 g. 2x –3y 6
b. 3x + 4y 12 e. x 2 h. 3x + 2y 12
c. 3x –4y 12 f. x –2y = 6 i. 1 y 3
2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sitem pertidaksamaan di bawah ini !
a. 2x + y 4 ; 2x –y 8 ; x 0 ; y 0
b. 3x –y - 6 ; x + 2y - 2 ; x + 2y 6 ; x 0 ; y 0
c. x + 2y 10 ; x –2y 20 ; x 0 ; y 0
d. 6x + 3y 12 ; 3x + 2y 12 ; x 0 ; y 0
e. 2x –4y 8 ; - x + 2y 6 ; x 0 ; y 0
3. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya diarsir di
bawah ini !
(a) (b)
y
x(20,0)
(0,10)
0
(0,15)
(15,0)
(10,5)
4
2
x
0
4
2
- 2
4
(1,3)
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

7
(c) (d)
(e)
x
y
(2,2)
(1,3) (5,3)
(6,4)
(3,5)
(3,0)
(1,1)
(0,2)
(5,1)
(2,5)
x
y
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

8
Kegiatan Belajar 2:
Model Matematika
Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :
1. menjelaskan pengertian model matematika.
2. mengubah soal verbal ke dalam bentuk model matematika (menyusun system
pertidaksamaan linear)
A. Pengertian Model Matematika
Model Matematika adalah suatu cara untuk memandang suatu permasalahan atau
suatu persoalan dengan menggunakan sistem pertidaksamaan Matematika. Masalah–
masalah yang akan diselesaikan dengan kaidah program linear biasanya memenuhi
beberapa syarat untuk dipenuhi oleh variable-variabelnya.
Untuk menyusun suatu model matematika diperlukan pemahaman tentang
implikasi dari suatu pernyataan yang memenuhi syarat-syarat tertentu, misalnya:
Pernyataan Pertidaksamaan Dinotasikan
x tidak kurang dari 10 x = 10atau x > 10 x ≥ 10
x tidak lebih dari 12 x = 12 atau x < 12 x ≤ 12
B. Menyusun Model Matematika
Contoh 2.1: Buatlah model matematika dari masalah verbal berikut:
Pengusaha perumahan akan membangun dua macam tipe rumah. Untuk tipe 21 luas
tanah yang diperlukan 60 m2 dan tipe 36 luas tanah 90 m2. Jika banyaknya rumah yang
akan dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia adalah 54.000 m2
Jawab :
Misalkan : Tipe 21 = x
Tipe 36 = y
Maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam rabel sebagai berikut :
Tipe 21 Tipe 36 Batasan
Luas tanah 60 90 54.000
Jml rumah 1 1 800
Maka terjadi hubungan :
Kebutuhan luas tanah : 60 x + 90y ≤ 54.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 1800
Jumlah rumah : x + y ≤ 800 ⇔ x + y ≤ 800
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

9
Karena x dan y menyatakan banyaknya rumah, maka harus berlaku (x,y)∈Cacah
dan (x,y) ≥ 0. Jadi model matematikanya adalah : 2x + 3y ≤ 1800 ; x + y ≤ 800 ;
x ≥ 0 ; y ≥ 0 dan (x,y)∈Cacah.
Contoh 2.2.
Dalam campuran pakan unggas membutuhkan sekurang-kurangnya 16% protein, 2400
Kkal/kg Energi metabolisme (EM) dan 9% lemak. Pakan jenis A mengandung 6%
protein, 3200 EM dan 6% lemak, sedangkan pakan jenis B mengandung 20% protein,
1600 Kkal/kg EM dan 18% lemak. Buatlah model matematika dari permasalahan
tersebut.
Jawab: Misalkan : Pakan jenis A = x
Pakan jenis B = y
Maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :
Kebutuhan Pakan jenis A Pakan jenis B Batasan
Protein 8 20 16
EM 3200 1900 2400
Lemak 6 18 9
Maka terjadi hubungan :
Kebutuhan protein : 8x + 20y ≥ 16 ⇔ 2x + 5y ≥ 4
Kebutuhan EM : 3200x + 1600y ≥ 2400 ⇔ 4x + 2y ≥ 3
Kebutuhan lemak : 6x + 18y ≥ 9 ⇔ x + 3y ≥ 3
Karena x dan y menyatakan persentase penggunaan bahan pakan, maka harus
berlaku (x,y)∈Cacah dan (x,y) ≥ 0. Jadi model matematikanya adalah :
4x + 2y ≥ 3, 4x + 2y ≥ 3, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 ; y ≥ 0 dan (x,y)∈Cacah.
Latihan 2.
Pilihlah jawaban yang paling tepat!
1. Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak mempunyai modal Rp
1.000.000. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp 4.000 per kg dan pisang Rp 1.600
per kg. Jika banyak jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatan
gerobak tidak dapat melebihi 400 kg maka sistem pertidaksamaan di atas adalah ...
a. 5x + 4y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 d. 5x + 2y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. 5x + 4y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 e. 5x + y ≤ 750 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. 5x + 2y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
2. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gr tepung dan 25 gr mentega, roti jenis yang lain
membutuhkan 75 gr tepung dan 50 gr mentega. Kita ingin membuat dua jenis roti
sebanyak-banyaknya. Jika tersedia tepung 2,5 kg dan mentega 1,25 kg.
Pertidaksamaan yang memenuhi adalah … …
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

10
a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 100 ; 3x + 2y ≤ 150
b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + 3y ≤ 100 ; x + 2y ≤ 50
c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 150 ; 3x +2y ≤ 100
d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 100 ; 2x + 3y ≤ 50
e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 150 ; 3x +2y ≤ 50
3. Ditentukan luas daerah parkir 480 m2
luas rata-rata permobil 6 m2
dan bus 24 m2
. Jika
daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan, dengan banyak mobil x
dan banyak bus y maka model matematika yang memenuhi … …
a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x –y ≤ 30 ; x + y ≤ 80
b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x +y ≤ 80 ; x + y ≤ 30
c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 4y ≤ 80 ; x + y ≤ 30
d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x –y ≤ 80 ; x + y ≤ 30
e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 4y ≤ 80 ; x + y ≤ 30
4. Rokok A harganya Rp 800 perbungkus dan rokok B harganya Rp 400 perbungkus.
Seorang pedagang rokok mempunyai modal Rp 1.200.000 dan tidak mampu
menampung 2.000 bungkus rokok. Jika rokok A = x dan rokok B = y maka model
matematika yang memenuhi adalah … …
a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 3000 ; x + y ≤ 2000
b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 3000 ; x –y ≤ 2000
c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 3000 ; 2x –3y ≤ 2000
d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 3000 ; x + y ≤ 2000
e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 3000 ; x –y ≤ 2000
5. Biang pengharum unsur A dan B sebuah minyak wangi disadap dari dua bahan x dan
y, setiap kg x mengandung 30 gram unsur A dan 20 gr unsur B, setiap kg y
mengandung 40 gr unsur A dan 10 gr unsur B. Diinginkan untuk memenuhi
kebutuhan minyak wangi yang mengandung paling sedikit 1.200 gr unsur A dan
paling sedikit 400 gr unsur B, model matematikanya adalah … …
a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 4y ≥ 120 ; 2x + y ≥ 40
b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x + 3y ≥ 40 ; 2x + y ≥ 120
c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 4y ≥ 120 ; x + 2y ≥ 40
d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x + 3y ≥ 120 ; 2x + y ≥ 40
e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 4y ≥ 40 ; x + 2y ≥ 120
6. Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak mempunyai modal Rp
1.000.000. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp 4.000 per kg dan pisang Rp 1.600
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

11
per kg. Jika banyak jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatan
gerobak tidak dapat melebihi 400 kg maka sistem pertidaksamaan di atas adalah ...
a. 5x + 4y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 d. 5x + 2y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. 5x + 4y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 e. 5x + y ≤ 750 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. 5x + 2y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Tulislah model matematika dari permasalahan di bawah ini !
1. Produk A membutuhkan 30 kg bahan mentah dan 18 jam waktu kerja. Produk B
membutuhkan 20 kg bahan mentah dan 24 jam waktu kerja. Jika tersedia 75 kg bahan
mentah dan waktu kerja yang tersedia 72 jam .
2. Seorang agen sepeda ingin membeli 20 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli
sepeda biasa dengan harga Rp 300.000 sebuah dan sepeda balap dengan harga Rp
400.000 sebuah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp
8.400.000.
3. Luas daerah parkir 360 m2
, luas rata-rata untuk parkir sebuah mobil adalah 6 m2
dan
untuk bus 29 m2
serta daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan.
4. Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 50 penumpang.
Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 50 kg, sedang untuk kelas
ekonomi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.500 kg.
5. Sebuah perusahaan angkutan harus mengangkat minimal 60 peti dalam satu minggu,
tersedia 4 truk kecil dan 2 truk besar. Satu truk kecil dapat memuat 6 peti dan satu
truk besar dapat memuat 10 peti.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

12
Kegiatan Belajar 3:
Nilai Optimum Fungsi Obyektif
1. menentukan fungsi obyektif dan fungsi kendala
2. menentukan titik optimum dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear
3. menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif
A. Fungsi obyektif dan fungsi kendala
Fungsi obyektif atau fungsi tujuan adalah fungsi yang akan dicari nialai
optimumnya, sedangkan fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh
variabel yang terdapat dalam fungsi obyektif. Sesuai permasalahannya, ada dua macam
nilai optimum dalam program linear, yaitu maksimisasi (Maximize) dan minimisasi
(Minimize).
1. Masalah maksimisasi:
Bentuk umum:
Maksimumkan fungsi tujuan: z = px + qy
dengan batasan : a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤ c2
M M
anx + bny ≤ cn
x ≥ 0, y ≥ 0 (non-negatifitas)
2. Masalah minimisasi:
Minimumkan fungsi tujuan: z = px + qy
dengan batasan : a1x + b1y ≥ c1
a2x + b2y ≥ c2
M M
anx + bny ≥ cn
x ≥ 0, y ≥ 0 (non-negatifitas)
B. Titik Optimum dan Nilai Optimum
Titik optimum adalah suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimum. Titik
optimum terletak pada salah satu titik ekstrim (titik sudut) daerah penyelesaian. Nilai
optimum ditentukan dengan cara memasukan nilai variabel (x dan y) yang merupakan
penyelesaian yang layak ke fungsi obyektif.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

13
Langkah-langkah penentuan nilai optimum :
1. mengubah soal verbal ke dalam bentuk model matematika
2. menggambar grafik
3. menentukan daerah penyelesaiannya
4. menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif
Contoh 3.1. Tentukan fungsi obyektif, fungsi kendala dan nilai optimum dari masalah
program linear berikut:
Seorang pengrajin patung akan membuat patung Dewi Sri dan patung Ganesha. Sebuah
patung Dewi Sri membutuhkan 2 gram emas dan 2 gram perak untuk lapisan luarnya.
Sedangkan sebuah patung Ganesha membutuhkan 3 gram emas dan 1 gram perak untuk
lapisan luarnya. Persediaan emas dan perak pengrajin masing-masing 12 gram dan 8
gram.
Jika patung Dewi Sri akan dijual dengan harga Rp 5.000.000 perbuah dan untuk patung
Ganesha Rp 4.500.000 perbuah, berapa banyak masing-masing jenis patung yang harus
dibuat agar pengrajin memperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya?
Jawab:
Misalkan : patung Dewi Sri = x
patung Ganesha = y
maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :
Kebutuhan patung Dewi Sri patung Ganesha Batasan
Emas 2 3 12
Perak 2 1 8
sehingga terjadi hubungan :
Kebutuhan emas : 2x + 3y ≤ 12
Kebutuhan perak : 2x + y ≤ 8
Model :
Maksimumkan fungsi obyektif: z = 5.000.000x + 4.500.000y
dengan batasan : 2x + 3y ≤ 12
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

14
2x + 3y = 12 2x + y = 8
x 0 6 0 4
y 4 0 8 0
Titik-titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,0), (0,4), (4,0), (3,2)}
Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:
(x,y) z = 5.000.000x + 4.500.000y
(0,0) 0
(0,4) 18.000.000
(4,0) 20.000.000
(3,2) 24.000.000
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa nilai optimum 24.000.000 diperoleh pada titik
optimum (3,2). Artinya pendapatan maksimum sebesar Rp 24.000.000 akan diperoleh
pengrajin jika membuat 3 buah patung Dewi Sri dan 2 buah patung Ganesha.
Contoh 3.2. Tentukan fungsi obyektif, fungsi kendala dan nilai optimum dari masalah
program linear berikut:
Seorang nutrisionis rumah sakit akan membuat menu makanan yang mengandung
sekurang-kurangnya 72 gram lemak, 48 gram protein, 100 gram karbohidrat dan 300
miligram Natrium. Tiap 100 gram bahan makanan A mengandung 6 gram lemak, 8 gram
protein, 10 gram karbohidrat dan 20 miligram Natrium, sedangkan bahan makanan B
mengandung 12 gram lemak, 4 gram protein, 5 gram karbohidrat dan 100 miligram
1 2 3 4 6
1
2
3
4
8
y
x
Titik potong garis 2x + 3y = 12
dengan garis 2x + y = 8,
yaitu titik (3,2)
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

15
Natrium. Jika diketahui harga per pak (100 gram) bahan makanan A adalah Rp 2.500
dan bahan makan B adalah Rp 3.000, hitunglah berapa banyak penggunaan bahan
makanan A dan B agar biaya menu makan semurah mungkin.
Jawab :
Misalkan : Bahan makanan A = x
Bahan makanan B = y
Kebutuhan Bahan makanan A Bahan makanan B Batasan
Lemak 6 12 72
Protein 8 4 48
Karbohidrat 10 5 100
Natrium 20 100 300
Kebutuhan Lemak : 6x + 12y ≥ 72 ⇔ x + 2y ≥ 12
Kebutuhan Protein : 8x + 4y ≥ 48 ⇔ 2x + y ≥ 12
Kebutuhan Karbohidrat : 50x + 5y ≥ 100 ⇔ 10x + y ≥ 20
Kebutuhan Natrium : 20x + 100y ≥ 300 ⇔ x + 5y ≥ 15
Model :
Minimumkan fungsi obyektif: z = 2500x + 3000y
dengan batasan : x + 2y ≥ 12
2x + y ≥ 12
10x + y ≥ 20
x + 5y ≥ 15
x ≥ 0, y ≥ 0
x + 2y = 12 2x + y =12 10x + y =20 x + 5y = 15
x 0 12 0 6 0 2 0 15
y 6 0 12 0 20 0 3 0
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

16
Titik-titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,20), (1,10), (4,4), (10,1),(15,0)}
Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:
(x,y) z = 2500x + 3000y
(0,20) 60.000
(1,10) 32.500
(4,4) 22.000
(10,1) 28.000
(15,0) 37.500
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa nilai optimum 22.000 diperoleh pada titik optimum
(4,4). Artinya dengan menggunakan bahan makanan A dan B masing-masing sebanyak 4
pak mengakibatkan biaya paling murah, yaitu Rp 22.000.
Latihan 3.
1. Tentukan nilai minimum fungsi z = 3x + 2y yang memenuhi : 2x + y ≥ 20, 4x + 3y ≥
48, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Tentukan nilai maksimum fungsi z = 5x + 2y dari model matematika berikut :
3x + 2y ≤ 36.000, x + 2y ≤ 20.000, x ; y ≥ 0
3. Tentukan nilai maksimum dan minimum q = 6x + 10y pada himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan x + y ≤ 6 ; x + 2y ≥ 10 ; x ≥ 2 dan y ≥ 0
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

17
4. Tentukan nilai maksimum dan minimum q = 16x – 2y + 40 pada himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan 6x + 8y ≤ 48 ; 0 ≤ y ≤ 4 dan 0 ≤ x ≤ 7 !
5. Sebuah perusahaan motor ingin memproduksi dua tipe motor, NSR 500 dan CBR
600. Tipe NSR 500 memerlukan waktu 8 jam untuk desain konstruksi dan 2 jam
finalisasi, sedangkan jenis CBR 600 memerlukan waktu 12 jam desain konstruksi dan
2 jam finalisasi. Waktu maksimal yang tersedia untuk membuat tipe NSR 500 dan
CBR 600 adalah 216 jam dan 48 jam. Jika harga jual satu bauh NSR 500 adalah Rp
200.000.000 dan satu buah CBR 600 adalah Rp 240.000.000. Tentukan tipe motor
yang harus dibaut agar mendapatkan hasil penjualan sebesar-besarnya.
6. Sebuah pabrik sepatu di Bandung membuat dua jenis sepatu yaitu kulit dan karet.
Keuntungan dari sepatu kulit Rp 4.000 per pasang dan dari sepatu karet Rp 3.000 per
pasang. Sepatu kulit memerlukan 6 jam pengolahan, 4 jam pemasangan dan 5 jam
pengepakan. Sepatu karet memerlukan 3 jam pengolahan, 6 jam pemasangan dan 5
jam pengepakan. Jika tersedia 54 jam untuk pengolahan, 48 jam untuk pemasangan
dan 50 jam untuk pengepakan. Hitunglah keuntungan maksimum yang diperoleh
pabrik tersebut!
7. Pengusaha perumahan akan membangun dua macam tipe rumah. Untuk tipe 21 luas
tanah yang diperlukan 60 m2
dan tipe 36 luas tanah 90 m2
. Banyaknya rumah yang
akan dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia adalah 54.000
m2
. Tentukan banyak rumah tipe 21 dan tipe 36 yang bisa dibuat untuk mendapatkan
hasil penjualan maksimum, jika diketahui harga masing-masing tipe rumah adalah
Rp 18.000.000 dan Rp 35.000.000.
8. Penduduk suatu perumahan yang terdiri atas 180 orang dewasa dan 240 anak-anak
akan mengadakan wisata dengan bis. Jika bis tipe A dapat memuat 20 orang dewasa
dan 40 orang anak, dan bis tipe B dapatr memuat 30 orang dewasa dan 30 orang anak.
Jika harga sewa bis masing tipe adalah Rp 900.000 dan Rp 1.200.000, tentukan
jumlah bis yang harus disewa untuk masing-masing tipe agar biaya sewanya semurah
mungkin.
9. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling
sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapat
memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp
1.000 dan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 500. Jika banyak sepatu laki-laki
tidak boleh melebihi 150 pasang, tentukan keuntungan sebesar-besarnya yang didapat
pemilik sepatu tersebut !
10. Sebuah kantin sekolah menyediakan menu mie goreng dan nasi goreng tidak lebih
dari 60 porsi perhari. Banyak porsi mie goreng sedikitnya 10 porsi dan paling banyak
50 porsi. Harga mie goreng Rp 1.500 perporsi dan nasi goreng Rp 1.000 perporsi.
Berapa banyak masing-masing tipe menu yang harus dibuat agar mendapatkan hasil
penjualan yang maksimal ?
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

18
Kegiatan Belajar 4
Garis Selidik
1. menjelaskan pengertian garis selidik
2. membuat garis selidik menggunakan fungsi obyektif
3. menentukan nilai optimum dengan garis selidik
A. Pengertian Garis Selidik
Garis selidik adalah garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi obyektif
garis. Garis selidik diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai
optimum. Bentuk umum garis selidik adalah :
px + qy = k , p > 0, q > 0 dan k ∈ R
B. Penerapan Garis Selidik untuk Menentukan Nilai Optimum
Langkah-langkah penggunaan garis selidik untuk menentukan nilai optimum
adalah sebagai berikut:
1. Gambar daerah penyelesaian dari permasalahan yang diketahui
2. Buat persamaan garis selidik awal px + qy = k, dengan k = pq, kemudian gambar
garis tersebut dengan titik potong pada sumbu x pada titik (q,0) dan titik potong pada
sumbu y pada titik (0,p).
3. Buat garis-garis selidik lain yang sejajar dengan garis selidik awal melalui titik-titk
ekstrim (titik sudut) daerah penyelesaian.
4. Tentukan titik optimum dengan ketentuan:
• Titik maksimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling
kanan
• Titik minimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling kiri.
5. Tentukan nilai optimum dengan memasukkan nilai variabel x dan y pada titik optimum
ke fungsi obyektif.
Contoh 4.1:
Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar :
- Pagar jenis I seharga Rp 30.000/m2
- Pagar jenis II seharga Rp 45.000/m2
Tiap m2
pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m2
pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Jika persediaan yang ada
640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Tentukan berapa meter persegi masing-masing
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

19
pagar dapat dibuat agar pemborong memperoleh hasil penjualan sebanyak-banyaknya
dan berapa hasil penjualan tersebut!
Jawab :
Misalkan : pagar jenis I = x
pagar jenis II = y
Kebutuhan pagar jenis I pagar jenis II Batasan
Pipa 4 8 640
Beton 6 4 480
Kebutuhan emas : 4x + 8y ≤ 640 ⇔ x + 2y ≤ 160
Kebutuhan perak : 6x + 4y ≤ 480 ⇔ 3x + 2y ≤ 240
Model :
Maksimumkan fungsi obyektif: z = 30.000x + 45.000y
dengan batasan : x + 2y ≤ 160
3x + 2y ≤ 240
x ≥ 0, y ≥ 0
x + 2y =160 3x + 2y = 240
x 0 160 0 80
y 80 0 120 0
Buat persamaan garis selidik awal 30x + 45y = 1350 yang memotong sumbu x pada titik
(45,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,30), kemudian gambar garis selidik awal
tersebut.
Gambar garis selidik lainnya sejajar garis selidik awal melalui titik-titik ekstrim pada
daerah penyelesaian.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

20
Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yang
melalui titik potong antara garis x + 2y =160 dengan garis 3x + 2y = 240, yaitu titik
(40,60).
Jadi titik optimumnya adalah (40,60) artinya hasil penjualan maksimum jika pemborong
membuat 40 m2 pagar jenis I dan 60 m2 pagar jenis II, yaitu:
40(Rp 30.000) + 60(Rp 45.000) = Rp 3.900.000.
Contoh 4.2:
Suatu perusahaan tambang batubara memiliki dua lokasi penambangan. Lokasi I setiap
hari menghasilkan 1 ton batubara kualitas A, 3 ton kualitas B dan 5 ton kualitas C. Lokasi
II menghasilkan setiap hari menghasilkan 2 ton batubara untuk masing-masing kualitas.
Dalam waktu kurang dari dua bulan perusahaan harus memenuhi pesanan 80 ton batubara
kualitas A, 160 ton kualitas B dan 200 ton kualitas C. Jika diketahui biaya penambangan
di lokasi I adalah Rp 2.000.000/hari dan di lokasi II adalah Rp 1.500.000, tentukan
jumlah hari penambangan di lokasi I dan lokasi II agar pesanan dapat terpenuhi dengan
biaya semurah mungkin!
Jawab:
Misalkan : Lokasi I = x
Lokasi II = y
Kualitas Lokasi I Lokasi II Batasan
A 1 2 80
B 3 2 160
C 5 2 200
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

21
Kualitas A : x + 2y ≥ 80
Kualitas B : 3x + 2y ≥ 160
Kualitas C : 5x + 2y ≥ 200
Model :
Minimumkan fungsi obyektif: z = 2.000.000x + 1.500.000y
dengan batasan : x + 2y ≥ 80
3x + 2y ≥ 160
5x + 2y ≥ 200
x ≥ 0, y ≥ 0
x + 2y = 80 3x + 2y ≥ 160 5x + 2y =200
x 0 80 0 53.3 0 40
y 40 0 80 0 100 0
Buat persamaan garis selidik awal 20x + 15y = 300 yang memotong sumbu x pada titik
(15,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,20), kemudian gambar garis selidik awal
tersebut.
Gambar garis selidik lainnya sejajar garis selidik awal melalui titik-tik ekstrim pada derah
penyelesaian.
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

22
Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yang
melalui titik potong antara garis x + 2y = 80 dengan garis 3x + 2y ≥ 160, yaitu titik
(40,20).
Jadi titik optimumnya adalah (40,20) artinya biaya produksi minimum jika perusahaan
mengoperasikan lokasi selama 40 hari dan lokasi II selama 20 hari , yaitu:
40(Rp 2.000.000) + 20(Rp 1.500.000) = Rp 110.000.000.
Latihan 4.
Gunakan garis selidik untuk menyelesaikan masalah program linear berikut.
1. Tentukan nilai maksimum 4x + 2y pada daerah himpunan penyelesaian : x ≤ 8 ; y ≤
6 ; x + 4y ≥ 8 untuk x,y ∈ R.
2. tentukan nilai maksimum dan minimum 2x –y pada pertidaksamaan : x + y ≥ 4 ; x +
y ≤ 6 ; x ≤ 4 ; y ≤ x + 4 untuk x dan y ∈ R.
3. Seorang alumni SMK mendapat pesanan merakit sepeda dan sepeda motor. Karena
jumlah pekerja terbatas, alumni SMK hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulan
dan sepeda motor paling sedikit 10 unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan dari
tiap unit sepeda sebesar Rp. 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp. 268.000,00.
Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 160 unit.
4. Peserta study tour SMK Negeri Blambangan ke Bali terdiri dari 60 orang. Mereka
akan menginap di Hotel “Sumringah “yang mempunyai dua tipe kamar, yaitu tipe
A dan tipe B. Tipe A dapat ditempati seorang dan tipe B dapat ditempati 3 orang.
Pemilik hotel menghendaki rombongan itu harus menyewa paling sedikit 25 kamar.
Berapa tipe A dan tipe B harus disewa supaya semua tertampung dengan biaya
hotel semurah-murahnya bila sewa untuk tipe A Rp 20.000 dan untuk tipe B Rp
15.000 ?
5. Setiap kg makanan ayam cap “kunci emas”mengandung 10 unit antibiotik A dan 3
unit antibiotik B, sementara 1 kg makanan ayam cap “koin emas”mengandung 5
unit antibiotik A dan 12 unit antibiotik B. Setiap hari 5 ekor ayam membutuhkan
sekurang-kurangnya 60 unit antibiotik A dan 48 unit antibiotik B. Jumlah makanan
cap “kunci emas” dan cap “koin emas”untuk 5 ekor setiap hari minimal 10 kg. Jika
harga per kg cap “kunci emas” Rp 1.000 dan cap “koin emas” untuk 5 ekor ayam
setiap hari Rp 1.200. Agar pengeluaran biaya sekecil mungkin dan tentukan besar
biaya tersebut !
6. Semua jenis roti membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Untuk roti jenis
lain membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Kita ingin membuat sebanyak-
banyaknya dari dua jenis roti itu. Jika tersedia tepung 2,25 kg dan mentega 1,5 kg,
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

23
berapa banyak roti masing-masing jenis yang dibuat agar diperoleh penyelesaian
sebaik-baiknya ?
7. Perusahaan ARDI menghasilkan dua jenis barang : barang A dan barang B. Untuk
menghasilkan barang jenis A seharga Rp 50.000 diperlukan 20 kg bahan baku dan 36
jam kerja, sedangkan untuk menghasilkan barang Bdiperlukan bahan baku 30 kg
dan 18 jam kerja. Tersedia bahan baku 480 kg dan jam kerja 360 jam. Jika barang A
dijual dengan laba Rp 10.000 perbuah dan barang B Rp 15.000 per buah, tentukan
banyaknya masing-masing jenis barang yang harus dibuat agar diperoleh laba
maksimum ?
8. Pedagang kaki lima menjajakan barang dagangannya berupa pakaian tidur lebih
dari 400 buah dengan modal Rp 225.000. Jika setiap pakaian A harganya Rp 750 dan
pakaian B harganya Rp 500 dengan laba masing-masing Rp 250 dan Rp 100.
Tentukan besarnya laba maksimum.
9. Seorang pedagang telah menerima dua jenis kembang gula dari seorang pengusaha.
Dalam tiap jenis memuat coklat, karamel, dan gula dengan perbandingan:
Coklat Karamel Gula
Jenis A (%) 20 20 60
Jenis B (%) 20 60 20
Kedua jenis ini dicampur dan kemudian dimasak lagi untuk dijadikan kembang gula
lagi dengan lebel sendiri; dengan perhitungan kembang gula dengan label baru akan
lebih laku jika mengandung paling sedikit 4 kg coklat, paling sedikit 6 kg caramel
dan paling sedikit 6 kg gula. Harga jenis A adalah Rp 100.000,00 per kg dan jenis B
Rp 150.000,00 per kg. Berapa banyak dari tiap jenis harus dicampur supaya biaya
serendah-rendahnya?
10. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Ia akan membuat
stelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun,
sedangkan satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok
yang haru ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya jika harga 1 stel jas
Rp 20.000 dan harga 1 rok Rp 10.000 ?
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

24
UJI KOMPETENSI
1. Gambarlah daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 4 .
2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 5, 3x + 5y ≥
15, x ≥ 0, y ≥ 0.
3. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang ditunjukkan oleh
sistem pertidaksamaan : x +y ≤ 8 ; x + 2y ≤ 10 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
4. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang ditunjukkan oleh
sistem pertidaksamaan : 3x +2y ≤ 36 ; x + 2y ≥ 20 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
5. Tentukan nilai maksimum z = 5x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan :
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 12, dan 2x + y ≤ 12 .
6. Tentukan nilai maksimum pada fungsi objektif z = 5x + 7y yang memenuhi
sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0 .
7. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah hasilnya seperti pada
bidang II gamba di bawah ini.
8. Tentukan nilai maksimum fungsi z = 5x + 6y untuk sitem pertidaksamaan linear
yang i daerah hasilnya diarsir pada gambar di bawah ini.
x
y
5
5
3
20
I
II III
IV
V
x
y
6
5
4
50
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

25
9. Buatlah model matematika untuk masalah program linear berikut:
Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang.
Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan bagi
kelas ekonomi hanya 20 kg. Pesawat tersebut dapat membawa bagasi 1.440 kg,
bila x dan y berturut-turut menyatakan banyak penumpang kelas utama dan
ekonomi.
10. Pemborong bangunan kios pasar mempunyai persediaan kayu bengkire, kamper
dan jati, masing-masing sebanyak 90, 80 dan 50 m3. Setiap kios tipe I
menggunakan 2 m3 kayu bengkire, 1 m3 kamper dan 1 m3 jati. Kios tipe II
menggunakan 1 m3 kayu bengkire, 2 m3 kamper dan 1 m3 jati. Tentukan hasil
penjualan kios maksimum yang bias diperoleh, jika harga jual kios masing-
masing adalah Rp 12.000.000 dan Rp 10.000.000!
11. Seorang pengusaha ingin menyewakan rumahnya kepada 540 orang mahasiswa.
Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiri
dari tipe A (untuk 4 orang ) yang disewakan Rp 90.000/bulan dan tipe B ( untuk
6 orang ) disewakan Rp 107.000/bulan. Buatlah model matematikanya !
12. Seorang penjahit ingin membuat 25 baju sebagai persediaan yang terdiri dari 2
jenis. Jenis Eksklusif memerlukan bahan 3 meter dan jenis Ekonomi memerlukan
bahan 2,5 meter. Bahan yang tersedia 60 meter. Jika jenis Eksklusif dijual dengan
Rp 75.000 dan jenis Hemat dijual dengan Rp 60.000, buatlah model
matematikanya dan tentukan penyelesaian optimumnya !
13. Luas daerah parkir 600 m2. Luas rata-rata untuk mobil 6 m2 dan untuk bis 20 m2.
Ongkos parkir mobil Rp 2.000 dan bis Rp 5.000. Jika daerah tersbut memuat
tidak lebih dari 40 kendaraan, tentukan jumlah kendaraan masing-masing yang
parkir agar diperoleh pendapatan maksimum dengan garis selidik!
14. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truck dan
colt untuk mengangkut 224 karung. Truck dapat mengangkut 14 karung dan colt 8
karung. Jika ongkos sewa truck Rp 100.000 dan colt Rp 75.000, dengan garis
selidik tentukan banyak kendaraan yang harus disewa agar ongkos minimum!
15. Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat flu yang diberi nama
“Antiflu”dan “Antiflu-Extra”. Masing-masing kapsul memuat tiga unsur utama
dengan kadar kandungannya tertera tabel berikut.
Unsur Antiflu Antiflu-Extra
Aspirin 2 1
Bikarbonat 5 8
Kodein 1 6
Menurut dokter, seorang yang sakit flu biasa akan sembuh bila dalam 3 hari
paling sedikit menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein.
Bila harga “Antiflu”Rp 200,00 dan “Antiflu-Extra”Rp 300,00 per kapsul,
Dengan garis selidik, tentukan berapa masing-masing kapsul yang harus dibeli
supaya cukup untuk menyembuhkan dengan ongkos sekecil mungkin?
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PDF-XCHANGE
w
w
w
.docu-track.c
o
m

Program linear

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (12)

Similar to Program linear (20)

Recently uploaded (20)

Program linear