Program Linear WIthree
- 1. Created By Witriana 1 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l BAB II 1.1 Mendeskripsikan pertidaksamaan linear dua variable dan menerapkannya dalam pemecahan masalah program linear. 1.2 Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan masalah program linear terkait masalah dan menganalisis kebenaran langkah- langkahnya. 1.3 Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa masalah program linear dan menerapkann berbagai konsep dan aturan penyelesaian SPL dan menentukan nilai optimum dengan menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan. Kompotensi Dasar Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menyatakan masalah sehari-hari ke dalam bentuk SPLDV 2. Siswa dapat menentukan daerah penyelesaian SPLDV 3. Siswa dapat memahami komponen SPLDV 4. Siswa dapat merumuskan model matematika dari aplikatif program linear 5. Siswa dapat menentukan nilai optimum dari fungsi obkjektif dengan menggunakan titik pojok dan garis selidik 6. Siswa dapat menafsirkan solusi dari program linear
- 2. Created By Witriana 2 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Dalam kehidupan sehari-hari sebagian besar manusia menginginkan sebuah laba. Jika kita pergi ke pasar, kita akan menjumpai para pedagang yang menjual dagangannya. Para pedagang tersebut menjual barang dagangannya dengan mengambil keuntungan. Lalu bagaimana cara pedagang mengetahui berapa pendapatan maksimum dan ongkos minimum yang harus dikeluarkan? Nah, cara untuk memecahkan permasalahan tersebut yaitu dengan konsep Program Linear. Kapankah suatu masalah itu merupakan masalah program linear? Sebelum kita melangkah ke 8program linear mari kita mengingat kembali SPLDV dan SPtLDV. Mengingat kembali SPLDVdan SPtLDVA. PerhatikanIlustrasi diBawah Ini 1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Kata Kunci Persamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Daerah Penyelesaian MemahamiKonsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah gabungan dari dua bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) yang variabel- variabelnya sama. Misalnya diketahui PLDV a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c1, maka bentuk SPLDV dari kedua persamaan tersebut ditulis sebagai berikut a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real. Dengan a1 dan b2 keduanya tidak nol serta a1, b2 keduanya tidak nol. Pada SPLDV, Pasangan nilai x = x0 dan y = y0 yang memenuhi a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
- 3. Created By Witriana 3 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Santi membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan mariati membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel? Dengan persamaan 2x + y = 15.000 dan x + 2y = 18.000. penyelesaian : Langkah 1 Selesaikan dengan metode eliminasi. 2x + y = 15000 x1 2x + y = 15000 gambarmanggaapel.com x + 2y = 18000 x2 2x +4 y = 36000 -3y = -21000 y = 7000 Langkah 2 untuk nilai x substitusi salah satu persamaan, kita ambil x + 2y = 18.000 . maka , x + 2y = 18.000 x + 2(7000) = 18000 x = 18000 – 14000 x = 4000 jadi harga 1 kg mangga adalah Rp4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp7.000,00. Dan harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah 5x + 3y = 5(4000) + 3 (7000) = 41000 Contoh 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah Suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mempunyai dua variable. Cara Menentukan Daerah Penyelesaian a. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear, kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat. b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda. c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b.
- 4. Created By Witriana 4 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Sebelum menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, sebaiknya kita tahu terlebih dahulu mengenal himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian merupakan himpunan pengganti nilai variabel sedemikian sehingga menyebabkan sistem pertidaksamaan menjadi pernyataan yang benar. Daerah penyelesaian yang akan kita gambar merupakan daerah dari himpunan penyelesaian tersebut. Daerah ini berisi himpunan pasangan berurutan (x, y) yang menjadi anggota dari himpunan penyelesaian. Kanntong plastikibu wahda dan ibu ani hanya bisa menampung 6 kg buah. Ibu wahda membeli 2 kg rambutan dan 3 kg jeruk sedangkan ibu ani membeli 3 kg rambutan dan 2 kg jeruk. Dengan persamaan sebagai berikut. 2x + 3y 6, 3x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 Gambarkantongan.com Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan Linear tersebut! Penyelesaian: Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear, kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat. 2x + 3y = 6, 3x + 2y = 6 Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Catatan : TahukahAnda? Simbol > dan < untuk"lebihbesar dari" dan "lebih kecil dari" telah ada sejakkarya Thomas Harriot yang berjudul Artist Analyticae Praxis dipublikasikan padatahun 1631. Simbol yang diperkenalkan Harriot merupakan simbol yangpaling umum digunakan. Namun, pada abad ke–18, Oughtered juga mengembangkan beberapa variasi symbol pertidaksamaan. Sumber: www.Drmath.com. Math Info Contoh
- 5. Created By Witriana 5 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik (x,0) Untuk y = 0 maka, Untuk y = 0 maka, 2x + 3y = 6 → 2x + 3(0) = 6 3x +2y = 6 → 3x +2(0) = 6 2x = 6 3x = 6 x = 3 x = 2 (3 , 0) (2 , 0) Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik (0,y) 2x + 3y = 6 → 2(0) + 3y = 6 3x +2y = 6 → 3(0) +2y = 6 3y = 6 2y = 6 y = 2 y = 3 (0 , 2) (0 , 3) Gabungkanlah semua gambar tersebut, untuk melihat daerah penyelesaiaannya.
- 6. Created By Witriana 6 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Lambang “≥” berarti lebih dari sama dengan, daerahnya adalah positif (+). Lambang “≤” berarti kurang dari sama dengan, daerahnya adalah negatif (−). Ingatlah ! Check Your Understanding Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempatnya hanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg. Adapun bentuk pertidaksamaan dari soal berikut yaitu : x + y ≤ 60 2500x + 2000y ≤ 140000 Maka Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas ! Kolom Pertanyaan Dalam pembahasan sebelumnya, adakah materi yang kalian belum pahami? Tulislah Pertanyaanmu di sini! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 7. Created By Witriana 7 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Cokelat A yang harganya Rp 600,00. Cokelat B harganya Rp 1.000,00 per bungkus. Modal yang dimiliki pedagang adalah Rp 300.000,00 dan kotak tempat menjual cokelat mampu memuat 350 bungkus. Dengan pertidaksamaan sebagai berikut x + y ≤ 350 600x + 1.000y ≤ 300.000 x ≥ 0 y ≥ 0 Gambarlah himpunan dari sistem pertidaksamaan di atas. 2. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan grafi k himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan yang dimaksud . 3. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pena adalah Rp 14.000,00, sedangkan harga 6 buah buku dan 5 buah pena adalah Rp 11.200,00. Tentukan berapa harga sebuah buku dan sebuah pena!
- 8. Created By Witriana 8 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Id.aliexpress.com Pada topik sebelumnya, kita telah membahas tentang penyelesaian sisstem pertidaksamaan linear dua variabel. Kali ini, kita akan belajar membuat model matematika dari permasalahan program linear. Sebelum kita membahas lebih lanjut, apakah kalian masih ingat dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada pembahasan sebelumnya? Bagaimana bentuknya? Ya, pertidaksamaan linear dua variabel merupakan suatu kalimat matematika yang memuat tanda ketidaksamaan (<, ≤ , >, ≥) dan terdiri dari dua buah variabel, sedangkan sistem pertidaksamaan GambarIndustri.kontan.co.id linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Jika pada topik sebelumnya pertidaksamaan linear langsung diberikan pada soal, kali ini kita akan belajar memodelkan sendiri pertidaksamaan yang ada dalam sistem pertidaksamaan linear tersebut. Kalimat matematika berupa pertidaksamaan linear dua variabel akan dimodelkan berdasarkan permasalahan program linear dalam kehidupan sehari-hari. Lalu, bagaimanakah mengubah permasalahan ke dalam kalimat matematika? Oleh karena itu, perhatikanlah materi ini dengan baik. Merancang Model MatematikaB. PerhatikanIlustrasi diBawah Ini Catatan : Kata Kunci Model Matematika Fungsi Kendala
- 9. Created By Witriana 9 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Sebagaimana yang telah kita ketahui, penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program linear biasanya mengandung variabel. Oleh karena itu, langkah pertama dalam menyelesaikan masalah program linear adalah dengan menerjemahkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa/model matematika yang membentuk suatu sistem pertidaksamaan. Apa itu model matematika? Pabrik A memproduksi dua jenis kursi, yaitu kursi rotan dan kursi jati. Biaya produksi untuk dua set kursi rotan dan tiga set kursi jati adalah Rp18.000.000,00. Pabrik B yang merupakan cabang dari pabrik A memproduksi tiga set kursi rotan dan dua set kursi jati dengan biaya produksi Rp20.000.000,00. Buatlah model matematika untuk persoalan tersebut. Sumber : bangbangrattan.com penyelesaian : Jika biaya produksi satuan untuk kursi rotan adalah x dan biaya produksi satuan untuk kursi jati adalah y maka. Biaya produksi di pabrik A adalah 2x + 3y = 18.000.000 MemahamiKonsep Gunakan pemisalan variabel dalam setiap pembuatan model matematika Ingatlah ! Contoh
- 10. Created By Witriana 10 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Biaya produksi di pabrik B adalah 3x + 2y = 20.000.000 Biaya produksi pembuatan kursi tidak mungkin bernilai negatif maka x ≥ 0 dan y ≥ 0. Oleh karena itu, model matematika untuk persoalan tersebut adalah 2x + 3y = 18.000.000 3x + 2y = 20.000.000 x ≥ 0 ; y ≥ 0 Suatu tempat parkir luasnya 200 𝑚2. Untuk memarkir sebuah mobil rata-rata diperlukan tempat seluas 10 𝑚2 dan untuk bus rata-rata 20𝑚2. Tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Bila di tempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, buatlah model matematikanya! awab: Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut ini: Misalkan x = Mobil Y = Bus Sumber : gambarbus.com Penulisan model matematika: 10𝑥 + 20𝑦 ≤ 200 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 − 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 → 10 𝑥 + 2𝑦 ≤ 20 𝑥 + 𝑦 ≤ 12 ; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 Lahan Mobil ( 𝒙) Bus ( 𝒚) Tersedia Luas 10 20 200 Daya tampung 1 1 12 Contoh
- 11. Created By Witriana 11 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Check Your Understanding Amatilah permasalahan sehari-hari di sekitar Anda. Pilihlah satu masalah yang berhubungan dengan program linear yang ada pada gambar di bawah ini Kabarelektronika.co Kawulala.blogspot.com Buatlah masalah tersebut menjadi soal program linear. Kemudian, buatlah model matematikanya. Kolom Pertanyaan Dalam pembahasan sebelumnya, adakah materi yang kalian belum pahami? Tulislah Pertanyaanmu di sini! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TahukahAnda? George B. Dantzig Sumber: upload.wikimedia.org George B. Dantzig secara independen juga mengembangkan pemecahan masalah tersebut, di mana hasil karyanya pada masalah tersebut pertama kali dipublikasikan pada tahun 1947. Selanjutnya, sebuah teknik yang lebih cepat, tetapi lebih rumit, yang cocokuntukmemecahkan masalah program linear dengan ratusan atau bahkan ribuan variabel, dikembangkan oleh matematikawan Bell Laboratories, Naranda Karmarkar pada tahun 1983. MathInfo
- 12. Created By Witriana 12 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Bagas membeli 5 kg pisang dan 7 kg rambutan. Bagas harus membayar Rp41.000,00. Sementara itu, Ayu membeli 3 kg buah pisang dan 6 kg buah rambutan. Ayu harus membayar Rp33.000,00. Jika harga 1 kg buah pisang adalah x dan 1 kg rambutan adalah y rupiah, buatlah model matematika untuk masalah tersebut. Salamisimon.com 2. Seorang pengusaha topi akan membuat 2 jenis topi yang terdiri atas dua warna kain, yaitu warna kuning dan biru. Persediaan kain warna kuning 100 m dan kain warna biru 140 m. Topi jenis I memerlukan kain warna kuning 25 cm dan warna biru 15 cm. Topi jenis II memerlukan kain warna kuning 15 cm dan warna biru 30 cm. Keuntungan dari topi jenis I adalah Rp3.000,00 dan topi jenis II adalah Rp 5.000,00. Buatlah model matematika dari Gambartopi.com permasalahan tersebut agar diperoleh keuntungan yang sebesarbesarnya. 3. Vani dan teman-temannya menjual es buah dan es teh pada acara festival kuliner di sekolahnya. Mereka menjual es buah dengan harga Rp6.500,00 dan es teh seharga Rp5.000,00. Buatlah model matematika dari kondisi di atas, jika:
- 13. Created By Witriana 13 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l a. mereka berhasil menjual sekurang kurangnya 35 gelas minuman; dan estehbuah.blogspot.com b. pendapatan mereka tidak kurang dari Rp250.000,00 Perlu Anda ketahui, inti persoalan dalam program linear adalah menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi. Dalam kehidupan sehari-hari, permasalahan nilai optimum salah satunya adalah masalah penentuan jumlah kursi penumpang terbanyak agar keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya, tentu saja dengan batas- batas tertentu. Fungsi yang ditentukan nilai optimumnya disebut fungsi objektif, fungsi sasaran, atau fungsi tujuan. Nilai fungsi objektif ditentukan dengan mengganti variabel (biasanya x dan y) dalam fungsi tersebut dengan koordinat titik-titik pada Gambarbaju.com himpunan penyelesaian. Dalam menentukan nilai optimum (memaksimumkan/meminimumkan) masalah program linear, kita harus menentukan titik pojok/titik ekstrim dari daerah himpunan penyelesaian (daerah feasible) sistem pertidaksamaan yang ada (kendala/syarat fungsi tujuan). Penentuan Nilai Optimum (memaksimumkan / meminimumkan) dari Masalah Program Linear C. PerhatikanIlustrasi diBawah Ini Catatan : Kata Kunci Nilai Optimum Titik Pojok Titik Ekstrim Garis Selidik
- 14. Created By Witriana 14 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Sebuah titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah sebuah titik pada atau di dalam daerah penyelesaian yang merupakan perpotongan dua garis pembatas. Titik pojok sering disebut titik ekstrim. Mita, Ani dan Silvia pergi ketoko buku untuk membeli penggaris dan buku untuk belanja, mereka mengambil keranjang yang berbeda-beda besarnya. Keranjang Mita hanya dapat menampung 22 barang, Ani 13 barang sedangkan silvia 50 barang. Mita membeli 2 buah penggaris dan sebuah buku, Ani membeli sebuah penggaris dan sebuah buku sedangkan Silvia membeli 2 buah penggaris dan 5 buah buku. Dengan pertidaksamaan sebagai berikut : 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 50; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 22 ; 𝑥 + 𝑦 ≤ 13 ; ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 Selesaikanlah sistem pertidaksamaan linear berikut ini secara grafik dan carilah titik-titik ekstrimnya! Penyelesaian : Pertidaksamaan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 menunjukkan bahwa daerah penyelesaian berada di kuadran pertama. Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu. terlihat pada tabel berikut ini. MemahamiKonsep 1. Titik Pojok/Titik EkstrimTahukah Anda? Sumber: upload.wikimedia.org Program linear (Linear Programming) merupakanmmatematika terapan yang baru berkembang pada awal abad ke- 20. Program linear dikembangkan oleh seorang ekonom bernama W. W. Leontief. Program linear dapat digunakan untuk mengkaji berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya masalah industri, masalah transportasi, atau masalah diet bagi penderita penyakit tertentu agar memperoleh kombinasi makanan sehingga diperoleh gizi terbaik. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analisis, Purcell, 2002 MathInfo Contoh
- 15. Created By Witriana 15 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Lukiskan ketiga garis pembatas itu dalam koordinat Cartesius dengan ukuran yang tepat! 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟓𝟎 𝒙 0 25 𝒚 10 0 Titik (0,10) (25,0) 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐 𝒙 0 11 𝒚 22 0 Titik (0,22) (11,0) 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑 𝒙 0 13 𝒚 13 0 Titik (0,13) (13,0)
- 16. Created By Witriana 16 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Gabungkanlah gambar grafik tersebut! Penentuan daerah himpunan penyelesaian: 2𝑥 + 𝑦 ≤ 22 → sebelah bawah garis 2𝑥 + 𝑦 = 22 𝑥 + 𝑦 ≤ 13 → sebelah bawah garis 𝑥 + 𝑦 = 13 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 50 → sebelah bawah garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 𝑥 ≥ 0 → sebelah kanan sumbu Y 𝑦 ≥ 0 → sebelah atas sumbu X Penentuan titik-titik ekstrim i. A(0,10), perpotongan garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 dengan sumbu Y ii. B(5,8) perpotongan garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 dengan garis 𝑥 + 𝑦 = 13 Cara mendapatkan titik B Subtitusi garis 2𝑥 + 5𝑦 = 50 dengan garis 𝑥 + 𝑦 = 13 2x + 5y = 50 x1 2x + 5y = 50 x + y = 13 x2 2x + 2y = 26 3y = 24 y = 8 untuk nilai x substitusi nilai y = 8 pada persamaan x + y = 13 x + y = 13 8 + y = 13 y = 5 iii. C(9,4), perpotongan garis 𝑥 + 𝑦 = 13 dengan garis 2𝑥 + 𝑦 = 22 Cara mendapatkan titik C Subtitusi garis 𝑥 + 𝑦 = 13 dengan garis 2𝑥 + 𝑦 = 22 2x + y = 22 x + y = 13 x = 9
- 17. Created By Witriana 17 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l untuk nilai x substitusi nilai y = 8 pada persamaan x + y = 13 x + y = 13 9 + y = 13 y = 4 iv. D(11,0), perpotongan garis 2𝑥 + 𝑦 = 22 dengan sumbu X v. E(0,0), perpotongan sumbu X dan sumbu Y Lukisan daerah penyelesaian dan titik-titik ekstrimnya. Seperti pada gambar disamping. Selesaikan daerah sistem pertidaksamaan linear berikut ini secara grafik dan carilah titik-titik ekstrimnya! 𝑥 + 3𝑦 ≥ 18 𝑥 + 𝑦 ≥ 12 5𝑥 + 𝑦 ≥ 20 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 Penyelesaian : Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu. terlihat pada tabel berikut ini. Lukiskan ketiga garis pembatas itu dalam koordinat Cartesius dengan ukuran yang tepat! 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟖 X 0 18 Y 6 0 Titik (0,6) (18,0) 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐 X 0 12 Y 12 0 Titik (0,12) (12,0) 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟎 x 0 4 y 20 0 Titik (0,20) (4,0) Contoh
- 18. Created By Witriana 18 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l
- 19. Created By Witriana 19 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Penentuan titik ekstrim awal Perhatikan semua garis pembatas saat memotong sumbu Y yaitu (0,0), (0,20). (0,12), (0,6). Karena semua syarat ketidaksamaan adalah ≥, pilih nilai y yang paling besar, yaitu (0,20) sebagai titik ekstrim awal. Perhatikan semua garis pembatas saat memotong sumbu X, yaitu (0,0), (4,0), (12,0), (18,0). Karena semua syarat ketidaksamaan adalah ≥, pilih nilai x yang paling besar, yaitu (18,0) sebagai titik ekstrim awal. Penentuan daerah himpunan penyelesaian i. 𝑥 ≥ 0 → sebelah kanan sumbu Y ii. 𝑦 ≥ 0 → sebelah atas sumbu X iii. 5𝑥 + 𝑦 ≥ 20 → sebelah atas garis 5𝑥 + 𝑦 = 20 iv. 𝑥 + 𝑦 ≥ 12 → sebelah atas garis 𝑥 + 𝑦 = 12 v. 𝑥 + 3𝑦 ≥ 18 → sebelah atas garis 𝑥 + 3𝑦 = 18 Penentuan titik ekstrim i. A(0,20), perpotongan garis 5𝑥 + 𝑦 = 20 dengan sumbu Y ii. B(2,10), perpotongan garis 5𝑥 + 𝑦 = 20 dengan 𝑥 + 𝑦 = 12 5x + y = 20 x + y = 12 4x = 8 x = 2 untuk nilai y substitusi nilai x = 2 pada persamaan x + y = 12 x + y = 12 2 + y = 12 y = 10 iii. C(9,3), perpotongan garis 𝑥 + 𝑦 = 12dengan 𝑥 + 3𝑦 = 18 x + 3y = 18 x + y = 12 2y = 6 Tentukanlah titik ekstrim dari model matematika yang Anda buat pada tugas mandiri sebelumnya Kemudian, kumpulkan tugas tersebut pada guru Anda. Check Your Understanding
- 20. Created By Witriana 20 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l y= 3 untuk nilai x substitusi niali y = 3 pada pesamaan x + y = 12 x + y = 12 x + 3 = 12 x = 12 – 3 x = 9 iv. D(18,0), perpotongan garis 𝑥 + 3𝑦 = 18 dengan sumbu X Metode Uji Titik Pojok Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut. a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala- kendala dalam masalah program linear tersebut. b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif. d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f (x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f (x, y). 2. Nilai OptimumSuatuFungsi Objektif TahukahAnda Untuk mendapatkan solusi optimum dari permasalahan program linear, dapat menggunakan metode simpleks. Metode ini dikembangkan oleh G. B. Dantzig. Metode simpleks diaplikasikan dan disempurnakan oleh Angkatan Udara Amerika Serikat untuk memecahkan persoalan transportasi udara. Sekarang, program linear dapat diselesaikan menggunakan program komputer yang terdapat pada software Lindo, Mathcad, atau Eureka the Solver. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis, 1994 MathInfo
- 21. Created By Witriana 21 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Adapun Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam mengubah persoalan sehari- hari ke dalam bentuk masalah program linear adalah sebagai berikut: 1. Tetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisah variabel x dan y. 2. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada kedalam sebuah tabel dan tuliskan model matematikanya. 3. Selesaikanlah model matematika itu dengan metode uji titik pojok atau garis selidik untuk memperoleh nilai optimum fungsi objektif. Dengan uji titik pojok, tentukanlah nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 100x + 80y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut. 2x + y ≤ 8 ; 2x + 3y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; dan y ≥ 0. Penyelesaian : Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut. 1. Tentukan grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≤ 8 ; 2x + 3y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; dan y ≥ 0. Grafik himpunan penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut. Daerah OABC adalah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. 2. Tentukan koordinat titik-titikpojok dari daerah himpunan penyelesaian. Contoh
- 22. Created By Witriana 22 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Dari keempat titik-titik O, A, B, dan C, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y = 12. Anda dapat menggunakan cara eliminasi. 2x + y = 8 2x + 3y = 13 -2y = -4 y = 2 substitusikan y = 2 ke salah satu persamaan, misalkan 2x + y = 8 2x + y = 8 2x + 2 = 8 2x = 8 – 2 2x = 6 x = 3 Dari perhitungan, diperoleh titik potongnya, yaitu titik B dengan koordinat (3,2). Jadi, semua koordinat titik pojoknya adalah O(0, 0), A (4, 0), B (3, 2), dan C (0, 4). 3. Tentukan nilai maksimum f (x, y) = 100x + 80y pada titik pojok daerah penyelesaian. Substitusikanlah semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif. Diperoleh hasil pada tabel berikut. Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi diperoleh pada titik B (3, 2), yaitu sebesar 460. Jadi, nilai maksimumnya adalah 460 pada titik B (3,2). Pengusaha kue bolu membuat dua jenis adonan kue bolu, yaitu kue bolu A dan kue bolu B. Kue bolu A memerlukan 300 gram terigu dan 40 gram mentega. Kue bolu B memerlukan 200 gram terigu dan Contoh
- 23. Created By Witriana 23 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l 60 gram mentega. Jika tersedia 12 kilogram terigu dan 3 kilogram mentega, berapa banyak adonan kue bolu A dan kue bolu B yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya? Penyelesaian : Langkah-langkah pengerjaannya sebagai berikut. 1. Buatlah model matematika. Anda dapat membuat tabel seperti berikut untuk memudahkan penerjemahan soal cerita ke dalam model matematika. Sumber: blog.fatfreevegan.com Misalkan, x adalah banyaknyaadonan kue bolu A dan y adalah banyaknya adonan kue bolu B. Dari tabel tersebut, dapat Anda buat model matematikanya sebagai berikut. 300x + 200y ≤ 12.000 3x + 2y ≤ 120 40x + 60y ≤ 3.000 2x + 3y ≤ 150 Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0. Dari soal cerita, Anda diminta menentukan banyak adonan kue bolu A dan kue bolu B agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya. Artinya, Anda diminta mencari nilai maksimum dari fungsi objektif. Fungsi objektif permasalahan ini adalah f(x, y) = x + y (jumlah kue bolu A dan kue bolu B yang dapat diperoleh). 2. Buatlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dari model matematika yang telah dibuat dengan fungsi kendala berikut. 3x + 2y ≤ 120 2x + 3y ≤ 150 x ≥ 0 y ≥ 0 Grafik penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut. Nilai optimum suatu fungsi dapat dicari dengan menggunakan dua metode yairu Metode uji titik pojok Metode garis selidik Ingatlah !
- 24. Created By Witriana 24 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan. 3. Menentukan koordinat titik pojok dari daerah penyelesaian. Dari gambar daerah penyelesaian tersebut, terdapat 4 titik pojok, yaitu titik O, A, B, dan C. Dari keempat titik tersebut, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis 3x + 2y = 120 dan garis 2x + 3y = 150 sehingga eliminasilah kedua persamaan garis tersebut untuk memperoleh koordinat titik B. 3x + 2y = 120 x3 9x + 6y = 360 2x + 3y = 150 x2 4x + 6y = 300 5x = 60 x = 12 Substitusikan x = 12 ke dalam salah satu persamaan, misalnya 3x + 2y =120 3x + 2y =120 3(12) + 2y =120 36 + 2y =120 2y =120 – 36 2y = 84 y = 42 Jadi, koordinat titik B adalah (12, 42). Dengan demikian, semua koordinat titik pojoknya adalahO (0, 0), A (40, 0), B (12, 42), dan C (0, 50). 4. Menentukan nilai fungsi objektif f(x, y) = x + y pada titik pojok daerah penyelesaian. Substitusikan semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif f(x, y) = x + y sehingga diperoleh hasil seperti pada tabel berikut. Dari tabel tersebut nilai maksimum fungsi objektif adalah 54 untuk nilai x = 12 dan nilai y = 42.
- 25. Created By Witriana 25 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Jadi, agar diperoleh jumlah kue bolu sebanyak-banyaknya, harus dibuat adonan kue bolu A sebanyak 12 dan adonan kue bolu B sebanyak 42. Metode Uji Garis Selidik Selain dengan menggunakan uji titik pojok, nilai optimum juga dapat ditentukan dengan menggunakan garis selidik. Persamaan garis selidik dibentuk dari fungsi objektif. Jika fungsi objektif suatu program linear f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang digunakan adalah ax + by = ab, dengan ab O ⋲ R. Untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif f(x, y) = ax + by menggunakan garis selidik, ikutilah langkah-langkah berikut. a. Setelah diperoleh daerah himpunan penyelesaian pada grafik Cartesius, bentuklah persamaan garis ax + by = ab yang memotong sumbu-x di titik (b, 0) dan memotong sumbu-y di titik (0, a). b. Buatlah garis-garis yang sejajar dengan ax + by = ab. Temukan garis sejajar yang melalui suatu titik pojok daerah himpunan penyelesaian dan terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Misalnya, garis sejajar tersebut adalah ax + by = k, melalui titik pojok (p, q) yang terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Titik (p, q) tersebutlah yang merupakan titik maksimum. Nilai maksimum fungsi objektif tersebut adalah f(p, q) = ap + bq. Suatu program linear dapat diterjemahkan ke dalam model matematika berikut. x + 3y ≤ 9 2x + y ≤ 8 x ≥ 0 y ≥ 0 Tentukan titik maksimum fungsi objektif f = x + 2y. Kemudian, tentukan nilai maksimumnya. Penyelesaian : Langkah-langkah penyelesaian 1. Gambar grafik himpunan penyelesaian dari model matematika. Contoh
- 26. Created By Witriana 26 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Daerah OABC adalah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. 2. Tentukan koordinat titik-titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian. Dari keempat titik-titik O, A, B, dan C, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut. Titik B merupakan titik potong garis 2x + y = 8 dan x + 3y = 9. Anda dapat menggunakan cara eliminasi. x + 3y = 9 x1 x + 3y = 9 2x + y = 8 x3 6x + 3y = 24 -5x = -15 x = 3 Substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan, misalnya x + 3y = 9. x + 3y = 9 3 + 3y = 9 3y = 9 – 3 3y = 6 y = 2 Dari perhitungan, diperoleh titik potongnya, yaitu titik B dengan koordinat (3,2). Nilai yang terbesar merupakan nilai maksimum dari fungsi objektif Nilai yang terkecil merupakan nilai minimum dari fungsi objektif Ingatlah !
- 27. Created By Witriana 27 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l 3. Gambar garis x + 2y = 2 sebagai garis selidik. Kemudian, gambarlah garis-garis yang sejajar dengan garis x + 2y = 2 sampai diperoleh garis yang melalui titik pojok terjauh dari titik O(0, 0). Dari gambar tersebut, titik B(3, 2) adalah titik terjauh yang dilalui oleh garis yang sejajar dengan garis selidik x + 2y = 2. Oleh karena itu, titik B(3, 2) adalah titik maksimum. Nilai maksimumnya diperoleh dengan menyubstitusikan titik B(3, 2) ke fungsi objektif. f(x, y)= x + 2y f(3, 2) = 3 + 2(2) = 7. Dengan demikian, diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = x + 2y adalah 7. Seorang pedagang roti memiliki modal Rp60.000,00. Ia merencanakan menjual roti A dan roti B. Roti A dibeli dari agen Rp600,00 per bungkus, sedangkan roti B dibeli dari agen Rp300,00 per bungkus. Keuntungan yang diperoleh pedagang itu adalah Rp150,00 untuk setiap penjualan sebungkus roti A dan Rp100,00 untuk setiap penjualan sebungkus roti B. Oleh karena keterbatasan tempat, pedagang roti itu hanya akan menyediakan 150 bungkus roti. Tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh oleh pedagang. Berapa bungkus roti A dan roti B yang harus disediakan? Selesaikanlah Sumber : farm.static.flickr.com Contoh
- 28. Created By Witriana 28 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l masalah tersebut dengan menggunakan metode garis selidik. Penyelesaian : Misalkan, pedagang menyediakan x bungkus roti A dan y bungkus roti B maka model matematika yang diperoleh adalah 600x + 300y ≤ 60.000 masing-masing dibagi 300 2x + y ≤ 200 x + y ≤ 150 x ≥0 y ≥ 0 f(x, y)= 150x + 100y Daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar berikut. Buatlah garis selidik 150x + 100y = 15.000 dan buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis 150x + 100y = 15.000 tersebut. Garis sejajar yang terletak paling jauh dari O(0, 0) melalui titik B(50,100). Titik maksimum fungsi diperoleh untuk titik B(50, 100). Nilai maksimum fungsi = f(50, 100) = 150(50) + 100(100) = 17.500. Jadi, pedagang tersebut akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp17.500 dengan menjual roti A sebanyak 50 bungkus dan roti B sebanyak 100 bungkus. Kolom Pertanyaan Dalam pembahasan sebelumnya, adakah materi yang kalian belum pahami?
- 29. Created By Witriana 29 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Tulislah Pertanyaanmu di sini! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Mari Berdiskusi! Diskusikan bersama teman sekelompok Anda untuk memperoleh solusi dari persoalan berikut. Bagilah anggota kelompok menjadi dua bagian. Satu bagian mengerjakan soal dengan metode uji titik pojok dan yang lainnya menggunakan metode garis selidik. Bandingkan dan apa yang dapat Anda simpulkan? Pabrik x memproduksi dua model arloji, yaitu arloji bermerek terkenal dan arloji bermerek
- 30. Created By Witriana 30 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y pada sistem pertidaksamaan berikut. x + y ≥ 3 x + 4y ≤ 6 4x + y ≥ 6
- 31. Created By Witriana 31 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l x ≥ 0 y ≥ 0 2. Seorang pengusaha menerima pesanan 100 stel pakaian seragam SD dan 120 stel pakaian seragam SMP. Pengusaha tersebut memiliki dua kelompok pekerja, yaitu kelompok A dan kelompok B. Kelompok A setiap hari dapat menyelesaikan 10 stel pakaian seragam SD dan 4 stel pakaian seragam SMP dengan ongkos Rp100.000,00 per hari. Adapun kelompok B setiap hari dapat menyelesaikan 5 stel pakaian seragam SD dan 12 stel pakaian seragam SMP, dengan ongkos Rp80.000,00 per hari. Jika kelompok A bekerja x hari dan kelompok B bekerja y hari, tentukan: a. model matematika; b. grafik himpunan penyelesaian; c. fungsi objektif; d. biaya yang seminimal mungkin. Gunakan garis selidik untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan berikut 1. Tentukan nilai minimum dari f(x, y) = 4x +3y untuk kendala sebagai berikut. a. 4x + 2y ≥ 8 b. 2x + 3y ≥ 12 2x + 6y ≥ 8 2x + 2y ≥ 10 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0 2. Pembuatan suatu jenis roti memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Roti jenis lain memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia 4 kg tepung dan
- 32. Created By Witriana 32 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l 1,2 kg mentega. Jika satu buah roti jenis pertama memberikan keuntungan Rp2.000,00 dan satu buah roti jenis kedua memberikan keuntungan Rp2.500,00, tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh jika roti itu habis terjual? Suatu masalah dikatakan masalah program linier jika : 1. Terdapat tujuan yang dicapai, dan dalam model matematika fungsi tujuan ini dalam bentuk linier. 2. Terdapat sumber daya atau masukan (input) yang berada dalam keadaan terbatas, dapat dirumuskan dalam hubungan yang linear yaitu pertidaksamaan linear. 3. Pola umum masalah yang dapat dimodelkan dengan program linier harus memenuhi: a. adanya pilihan kombinasi beberapa faktor kegiatan, b. adanya sumber penunjang beserta batasnya, c. adanya fungsi obyektif/sasaran/tujuan yang harus dioptimumkan d. bahwa relasi yang timbul antara faktor-faktor semuanya linier. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel adalah Kalimat terbuka matematik yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah >, <, ≥, atau ≤. Sedangkan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel adalah Suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mempunyai dua variable. Model matematika merupakan bahasa matematika yang menerjemahkan bahasa sehari- hari dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, maupun fungsi. Ada beberaca Cara dalam menentukan Daerah Penyelesaian yaitu sebagai berikut : a. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear, kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat. Rangkuman
- 33. Created By Witriana 33 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda. c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b. Langkah – langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok yaitu sebagai berikut : a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut. b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. c. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif. d. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f (x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f (x, y). Selain dengan menggunakan uji titik pojok, nilai optimum juga dapat ditentukan dengan menggunakan garis selidik. Persamaan garis selidik dibentuk dari fungsi objektif. Jika fungsi objektif suatu program linear f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang digunakan adalah ax + by = ab, dengan ab O E R. Langkah – langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik yaitu sebagai berikut : a. Setelah diperoleh daerah himpunan penyelesaian pada grafik Cartesius, bentuklah persamaan garis ax + by = ab yang memotong sumbu-x di titik (b, 0) dan memotong sumbu-y di titik (0, a). b. Buatlah garis-garis yang sejajar dengan ax + by = ab. Temukan garis sejajar yang melalui suatu titik pojok daerah himpunan penyelesaian dan terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Misalnya, garis sejajar tersebut adalah ax + by = k, melalui titik pojok (p, q) yang terletak paling jauh dari titik O(0, 0). Titik (p, q) tersebutlah yang merupakan titik maksimum. Nilai maksimum fungsi objektif tersebut adalah f(p, q) = ap + bq.
- 34. Created By Witriana 34 | P r o g r a m L i n e a r B e r b a s i s K o n t e k s t u a l