Program Linier
- 1. I Nengah Agus Suryanatha, S.Pd.Gr., M.Pd. MASALAH PROGRAM LINIER
- 2. Pengertian Masalah Program Linier Masalah Program Linier : suatu permasalahan untuk menentukan nilai masing- masing variabel guna mengoptimumkan (memaksimumkan/meminimumkan) fungsi objektif dengan mempertimbangkan kendala-kendala yang ada, yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan ataupun pertidaksamaan. Masalah Program Linier
- 3. Masalah Memaksimumkan Fungsi Objektif Fungsi objektif maksimum : 𝑧 = 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 Fungsi kendala : 𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖 𝑦 ≤ 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Dicari : 𝑥 dan 𝑦 Masalah Program Linier Keterangan : 𝑥 dan 𝑦 menyatakan banyak barang yang akan diproduksi 𝑝 dan 𝑞 menyatakan harga barang per satuan 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 menyatakan banyak bahan mentah ke-𝑖 yang digunakan 𝑐𝑖 menyatakan jumlah bahan mentah ke-𝑖 yang tersedia
- 4. Masalah Meminimumkan Fungsi Objektif Fungsi objektif maksimum : 𝑧 = 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 Fungsi kendala : 𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖 𝑦 ≥ 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Dicari : 𝑥 dan 𝑦 Masalah Program Linier Keterangan : 𝑥 dan 𝑦 menyatakan banyak barang yang akan diproduksi 𝑝 dan 𝑞 menyatakan harga barang per satuan 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 menyatakan banyak bahan mentah ke-𝑖 yang digunakan 𝑐𝑖 menyatakan jumlah bahan mentah ke-𝑖 yang tersedia
- 5. Contoh 1 Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 meter kain sifon, 11 meter kain brokat, dan 15 meter kain katun yang akan digunakan untuk membuat dua model pakaian. Model I memerlukan 2 meter kain sifon, 1 meter kain brokat dan 1 meter kain katun, sedangkan Model II memerlukan 1 meter kain sifon, 2 meter kain brokat dan 3 meter kain katun. Apabila pakaian tersebut berhasil dijual, penjahit tersebut akan memperoleh keuntungan sebesar Rp30.000,00 untuk pakaian Model I dan Rp50.000,00 untuk pakaian Model II. Tentukan banyaknya masing- masing pakaian yang harus dibuat oleh penjahit tersebut agar diperoleh keuntungan maksimum.
- 6. Contoh 1 Penyelesaian : Misalkan : 𝑥 = banyak pakaian Model I 𝑦 = banyak pakaian Model II Masalah tersebut dapat disederhanakan ke dalam tabel berikut. Bahan Model I (𝑥) Model II (𝑦) Ketersediaan Kain Sifon 2 1 16 Kain Brokat 1 2 11 Kain Katun 1 3 15 Keuntungan 30.000 50.000
- 7. Contoh 1 Penyelesaian : Model Matematika : 2𝑥 + 𝑦 ≤ 16 𝑥 + 2𝑦 ≤ 11 𝑥 + 3𝑦 ≤ 15 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Fungsi objektif : (maksimum) 𝑧 = 30.000𝑥 + 50.000𝑦 Bahan Model I (𝑥) Model II (𝑦) Ketersediaan Kain Sifon 2 1 16 Kain Brokat 1 2 11 Kain Katun 1 3 15 Keuntungan 30.000 50.000
- 8. Contoh 1 Penyelesaian : Tentukan daerah penyelesaian dari SPtLDV, kemudian tentukan titik-titik batasnya. Koordinat titik C dan D diperoleh dengan eliminasi antar persamaan garis.
- 9. Contoh 1 Penyelesaian : Titik C diperoleh dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 : 2𝑥 + 𝑦 = 16 × 2 4𝑥 + 2𝑦 = 32 𝑥 + 2𝑦 = 11 × 1 𝑥 + 2𝑦 = 11 3𝑥 = 21 𝑥 = 21 3 = 7 Substitusi nilai 𝑥 = 7 ke salah satu persamaan 1 atau 2 : 2𝑥 + 𝑦 = 16 ⇔ 2.7 + 𝑦 = 16 𝑦 = 16 − 14 𝑦 = 2 Jadi koordinat titik C adalah : 7,2 . −
- 10. Contoh 1 Penyelesaian : Titik D diperoleh dengan mengeliminasi persamaan 2 dan 3 : 𝑥 + 2𝑦 = 11 𝑥 + 3𝑦 = 15 −𝑦 = −4 𝑦 = 4 Substitusi nilai 𝑦 = 4 ke salah satu persamaan 2 atau 3 : 𝑥 + 2𝑦 = 11 ⇔ 𝑥 + 2.4 = 11 𝑥 = 11 − 8 𝑥 = 3 Jadi koordinat titik D adalah : 3,4 . −
- 11. Contoh 1 Penyelesaian : Selanjutnya tentukan nilai optimumnya dengan metode garis selidik atau uji titik batas. Misalnya digunakan metode garis selidik. Garis selidik yang teratas melalui titik 𝐶 7,2 . Jadi nilai maksimum diperoleh untuk 𝑥 = 7 dan 𝑦 = 2.
- 12. Contoh 1 Penyelesaian : 𝑓 𝑥, 𝑦 = 30.000𝑥 + 50.000𝑦 𝑓 7,2 = 30.000 7 + 50.000 2 = 210.000 + 100.000 = 310.000 Jadi keuntungan maksimum yang diperoleh penjahit tersebut adalah Rp310.000,00 dengan menjual 7 unit pakaian Model I dan 2 unit pakaian Model II.
- 13. Contoh 2 Seorang pasien diberi resep oleh dokternya agar mengkonsumsi kalsium sedikitnya 60 gram dan zat besi sekurang-kurangnya 30 gram. Dokter menawarkan satu kapsul yang mengandung 5 gram kalsium dan 2 gram zat besi atau satu tablet yang mengandung 2 gram kalsium dan 2 gram zat besi. Apabila harga kapsul dan tablet di apotek berturut-turut adalah Rp1.000,00 dan Rp1.200,00, tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan agar kebutuhan kalsium dan zat besi pasien tersebut terpenuhi!
- 14. Contoh 2 Penyelesaian : Misalkan : 𝑥 = banyak kapsul 𝑦 = banyak tablet Masalah tersebut dapat disederhanakan ke dalam tabel berikut. Kandungan Kapsul (𝑥) Tablet (𝑦) Kebutuhan Kalsium 5 2 60 Zat Besi 2 2 30 Biaya 1.000 1.200
- 15. Contoh 2 Penyelesaian : Model Matematika : 5𝑥 + 2𝑦 ≥ 60 2𝑥 + 2𝑦 ≥ 30 ⇔ 𝑥 + 𝑦 ≥ 15 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 Fungsi objektif : (minimum) 𝑧 = 1.000𝑥 + 1.200𝑦 Kandungan Kapsul (𝑥) Tablet (𝑦) Kebutuhan Kalsium 5 2 60 Zat Besi 2 2 30 Biaya 1.000 1.200
- 16. Contoh 2 Penyelesaian : Tentukan daerah penyelesaian dari SPtLDV, kemudian tentukan titik-titik batasnya. Koordinat titik C diperoleh dengan eliminasi kedua persamaan garis.
- 17. Contoh 2 Penyelesaian : Titik C diperoleh dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 : 5𝑥 + 2𝑦 = 60 × 1 5𝑥 + 2𝑦 = 60 𝑥 + 𝑦 = 15 × 2 2𝑥 + 2𝑦 = 30 3𝑥 = 30 𝑥 = 30 3 = 10 Substitusi nilai 𝑥 = 10 ke salah satu persamaan 1 atau 2 : 𝑥 + 𝑦 = 15 ⇔ 10 + 𝑦 = 15 𝑦 = 15 − 10 𝑦 = 5 Jadi koordinat titik C adalah : 10,5 . −
- 18. Contoh 2 Penyelesaian : Selanjutnya tentukan nilai optimumnya dengan metode garis selidik atau uji titik batas. Misalnya digunakan uji titik batas. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1.000𝑥 + 1.200𝑦 𝑓 0,30 = 1.000 0 + 1.200 30 = 0 + 36.000 = 36.000 𝑓 15,0 = 1.000 15 + 1.200 0 = 15.000 + 0 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝑓 10,5 = 1.000 10 + 1.200 5 = 10.000 + 6.000 = 16.000 Jadi biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh pasien untuk memenuhi kebutuhan kalsium dan zat besinya adalah Rp15.000,00.