Linear programming
Download as PPT, PDF3 likes6,007 views
Dokumen tersebut membahas tentang pemrograman linear dan beberapa contoh soalnya. Pemrograman linear digunakan untuk menyelesaikan masalah optimalisasi dengan sumber daya terbatas, dan memberikan satu solusi optimal. Beberapa contoh soal memberikan formulasi masalah produksi barang dengan keterbatasan sumber daya untuk memaksimalkan keuntungan.
Linear programming
- 1. LINEAR PROGRAMMING (Pemrograman Linear) Dalam keadaan sumber daya yang terbatas untuk mendapatkan hasil yang optimum (maksimum/minimum), Linear Programming ( LP) akan memberikan banyak sekali hasil pemecahan persoalan. Sebagai Alternatif pengambilan tindakan hanya ada satu yang optimum (maksimum atau minimum)
- 2. Linear Programming merupakan salah satu alat yang sering diterapkan untuk menyelesaikan masalah-masalah pengoptimuman. Ini disebabkan oleh antara lain: terdapat algoritma yang efisien untuk menyelesaikannya, antara lain Algoritma Simpleks yang disusun oleh George Dantzig pada tahun 1947, Algoritma Karmarkar yang dibuat oleh Narendra Karmarkar pada tahun 1983, dan lain-lain. Selain itu banyak permasalahan nyata yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk Linear Programming.
- 3. Tahapan-tahapan menyelesaikan masalah pengoptimuman a. mengidentifikasikan variabel keputusan dalam sistem b. menentukan fungsi objektif c. menentukan batasan-batasan yang diperlukan 1. Mendefinisikan masalah 2. Membangun model (formulasi) 3. Menentukan solusi model 4. Validasi model 5. Implementasi hasil akhir
- 4. Beberapa istilah 1. Solusi (solution): nilai-nilai dari variabel x yang memenuhi pertidaksamaan/persamaan 2. Solusi disebut fisibel : jika nilai x sudah memenuhi semua syarat atau ketaksamaan yang ada 3. Solusi Basis: Pemecahan yang diperoleh hanya berdasarkan banyaknya persamaan yang ada. Dalam hal ini jika banyaknya persamaan adalah m dan banyaknya variabel adalah n, maka pemecahan dasar akan menghasilkan m variabel x yang nilainya lebih besar dari atau sama dengan nol. Sedang sisanya (n-m) nilainya nol. 4. Solusi Optimal: Pemecahan dasar fisibel yang membuat fungsi objektif optimum.
- 5. Contoh Seorang produsen memiliki 2 macam bahan mentah katakan I dan II yang masing-masing tersedia sebanyak 8 satuan dan 5 satuan (ton, kuintal, kg, liter, meter, yard, dan lain sebagainya). Dia bermaksud memproduksi dua macam produk, katakan A dan B. Berdasarkan data teknis, maka diketahui bahwa: satu unit produk A memerlukan 2 unit bahan mentah I dan 1 unit bahan mentah II. Satu unit produk B memerlukan 3 unit bahan mentah I dan 2 unit bahan mentah II.Dia yakin benar berdasrkan data hasil riset pemasaran , 1 unit produk A laku Rp. 15 ribu dan 1unit produk B laku Rp. 10 ribu kalau dijual di pasaran. Berapa produksi barang A dan B agar jumlah hasil penjualannya maksimum, dengan memperhatikan pembatasan bahwa bahan mentah yang dipergunakan dalam proses produksi tidak boleh melebihi persediaan yang ada. Bahan mentah I tidak boleh lebih dari 8 unit dan yang II tidak boleh lebih dari 5 unit.
- 6. Jawab: a. Variabel Keputusan b. Fungsi objektif 1 2 Misalkan = banyaknya barang A dalam satuan yang diproduksi Misalkan = banyaknya barang B dalam satuan yang diproduksi x x 1 2 Penjualan = penjualan barang A + penjualan barang B Z = 15 + 10x x c. Kendala Keterbatasan bahan mentah I : Bahan mentah I tersedia 8 unit 1 unit A memerlukan 2 unit I 1 unit B memerlukan 1 unit I 1 1unit A memerlukan 2 unit Ix x 2 2unit B memerlukan unit Ix x 1. Pendefinisian Masalah 1 22 8x x+ ≤
- 7. Keterbatasan bahan mentah II : Bahan mentah II tersedia 5 unit 1 unit A memerlukan 3 unit II 1 unit B memerlukan 2 unit II 1 1unit A memerlukan 3 unit IIx x 2 2unit B memerlukan 2 unit IIx x Karena banyaknya barang tidak boleh negatif, sehingga 1 23 2 5x x+ ≤ 1 20, 0x x≥ ≥ 2. Formulasi masalah dalam bentuk LP adalah: 1 2 1 2 1 2 1 2 Maks Z 15 10 terhadap 2 3 8 2 5 , 0 x x x x x x x x = + + ≤ + ≤ ≥
- 8. Contoh 2: Perusahaan mainan “Dora” memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu, yaitu kereta api dan boneka tentara. Boneka tentara dijual dengan harga Rp. 27,00 perbuahnya dan membutuhkan biaya untuk bahan dasarnya Rp.10,00. Selain itu diperlukan biaya pembuatan sebesar Rp. 14,00. Sebuah kereta api dijual dengan harga Rp. 21,00dan membutuhkan biaya bahan dasar sebesar Rp. 9,00 per buahnya dan biaya pembuatan Rp. 10,00 per buah. Mainan-mainan tersebut juga memerlukan proses pengecatan dan pengemasan. Satu boneka tentara memerlukan waktu 2 jam pengecatan dan 1 jam pengemasan, sedangkan satu mainan kereta api membutuhkan waktu 1 jam pengecatan dan 1 jam pula pengemasan.
- 9. Setiap minggunya perusahaan “Dora” selalu memperoleh bahan dasar yang dibutuhkan untuk membuat mainan, tetapi hanya mempunyai waktu pengecatan selama 100 jam dan waktu pengemasan 80 jam. Permintaan kereta api mainan selalu dapat dipenuhi, tetapi paling banyak 40 boneka tentara saja yang dapat disediakan dalam kurun waktu satu minggu. Perusahaan Dora ingin mengetahui berapa banyaknya kereta api mainan dan boneka tentara mainan yang harus diproduksi agar keuntungan mingguan yang diperoleh dapat maksimum. Formulasikan masalah tersebut ke dalam LP.
- 10. Mainan Harga Biaya Bahan Dasar Biaya Pembuatan Waktu Pengecatan Waktu Pengemasan Tentara 27 10 14 2 1 Kereta Api 21 9 10 1 1 Ketersediaan 100 80 Jawab: a. Variabel Keputusan 1 2 x x Misalkan =banyaknya mainan Tentara yang diproduksi =banyaknya mainanKereta Api yang diproduksi 1. Pendefinisian Masalah
- 11. b. Fungsi objektif Pendapatan = pendapatan minguan + pendapatan minguan mingguan mainan Tentara mainan Kereta Api 1 2Z = 27 + 21x x 1 2 1 2 biaya bahan dasar per minggu = 10 9 biaya pembuatan per minggu = 14 10 x x x x + + 1 2 1 2 1 2 1 2 Maka perusahaan Dora ingin memaksimumkan (27 21 ) (10 9 ) (14 10 ) 3 2x x x x x x x x+ − + − + = + Jd fungsi objektifnya: 1 2maksimumkan 3 2z x x= +
- 12. c. Kendala Keterbatasan waktu pengecatan : waktu pengecatan tersedia 100 jam 1 mainan Tentara memerlukan 2 jam pengecatan 1 mainan Kereta Api memerlukan 1 jam waktu pengecatan 1 1mainan Tentara memerlukan 2 jam waktu pengecatanx x 2 2mainan Kereta Api memerlukan jam waktu pengecatanx x 1 22 100x x+ ≤ Keterbatasan waktu pengemasan : waktu pengemasan tersedia 80 jam 1 mainan Tentara memerlukan 1 jam pengemasan 1 mainan Kereta Api memerlukan 1 jam waktu pengemasan 1 1mainan Tentara memerlukan jam waktu pengemasanx x 2 2mainan Kereta Api memerlukan jam waktu pengemasanx x 1 2 80x x+ ≤
- 13. Keterbatasan mainan Tentara: paling banyak 40 boneka 1 40x ≤ Karena banyaknya barang tidak boleh negatif, sehingga 1 20, 0x x≥ ≥ 2. Formulasi masalah dalam bentuk LP adalah: 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Maks Z 3 2 terhadap 2 100 80 40 , 0 x x x x x x x x x = + + ≤ + ≤ ≤ ≥
- 14. Contoh 3: Pemda Kab Bogor ingin membangun stasiun pemadaman kebakaran di Bogor yang mempunyai 6 kabupaten. Pemda ingin membangun seminimum mungkin stasiun pemadaman kebakaran yang dapat menjamin bahwa terdapat paling sedikit satu stasiun pemadam kebakaran pada tempat yang berjarak tempuh 15 menit perjalanan. Waktu tempuh antar kabupaten diperlihatkan pada tabel berikut: Formulasikan suatu IP (Integer Programing) yang dapat membantu Pemda Bogor untuk mengetahui dimana stasiun pemadaman kebakaran itu harus dibangun.
- 15. Dari kab ke 1 2 3 4 5 6 1 0 10 20 30 30 20 2 10 0 25 35 20 10 3 20 25 0 15 30 20 4 30 35 15 0 15 25 5 30 20 30 15 0 14 6 20 10 20 25 14 0
- 16. Jawab Dari Kab Ke Kab 1 1,2 2 1,2,6 3 3,4 4 3,4,5 5 4,5,6 6 2,5,6 Misalkan 1, Jika stasiun pemadam kebakaran dibangun di kab 0, selainnya j j x =
- 17. { } 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 6 4 3 3 4 5 4 5 6 2 5 6 Minimumkan terhadap 1 1 1 1 1 1 0,1 , 1,2,3,4,5,6j z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j = + + + + + + ≤ + + ≤ + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ∈ = Maka IP dari masalah diatas:
- 18. Latihan 1 : (Buku halaman 96 no.5) Ada 3 mesin, katakan M1, M2, dan M3. Berdasarkan bahan mentah yang tersedia, seorang produsen akan memproduksi 2 macam barang yaitu barang A dan B. Proses pembuatan barang harus melalui 3 tahapan, tahapan 1 melalui M1, tahapan 2 melalui M2 dan tahapan 3 melalui M3. Mesin-mesin tersebut tidak bisa dipergunakan secara terus-menerus. M1 hanya bisa digunakan paling lama 48 jam, M2 60 jam, dan M3 paling lama 36 jam. Satu unit barang A memerlukan 2 jam M1, 4 jam M2, dan 3 jam M3. Satu unit barang B memerlukan 4 jam M1, 2 jam M2 dan 0 jam M3. Apabila harga satu unit barang A Rp 6000 dan satu unit barang B Rp 4000, berapa banyaknya barang A dan B agar jumlah hasil penjualan maksimum.
- 19. Latihan 2 : (Buku halaman 97 no.6) Perusahaan “TAKASIMURA” memproduksi kursi biasa, kursi eksekutif, dan meja eksekutif. Untuk itu diperlukan bahan mentah, waktu mesin untuk memproses (dalam jam), dan tenaga kerja (dalam jam). Untuk satu unit kursi biasa, kursi eksekutif, dan meja eksekutif memerlukan bahan mentah, waktu mesin dan tenaga seperti tabel berikut. Bahan mentah hanya tersedia 300 satuan, waktu mesin 120 jam dan tenaga kerja 90 jam. Apabila dijual, satu kursi dengan harga Rp 20.000, kursi eksekutif Rp 35.000 dan meja eksekutif Rp 50.000. Rumuskan persoalan diatas menjadi persoalan LP yang membuat penjualan maksimum.
- 20. Produk Bahan Mentah Waktu mesin Tenaga Kerja Kursi Biasa 10 3 2 Kursi Eksekutif 12 5 4 Meja Eksekutif 20 6 5
- 21. Latihan 3 : Sebuah pabrik perabotan kecil menghasilkan meja dan kursi. Diperlukan waktu 2 jam untuk merakit sebuah meja dan 30 menit untuk merakit kursi. Untuk merakit sebuah meja atau kursi diperlukan 2 orang karyawan. Perakitan dikerjakan oleh 4 oang karyawan selama 8 jam perhari. Para pelanggan biasanya membeli paling banyak 4 kursi untuk setiap meja, yang berarti bahwa pabrik tersebut harus memproduksi jumlah kursi yang paling banyak empat kali lebih banyak dari jumlah meja. Harga penjualannya adalah Rp.100.000,- per meja dan Rp.50.000,- per kursi. Tentukan Formulasi linear programming yang menyatakan produksi harian untuk meja dan kursi yang akan memaksimumkan pendapatan harian total untuk pabrik tersebut.
- 22. Latihan 4: Pak Rudi adalah pengusaha batik tulis di Indonesia. Ia ingin memproduksi 2 jenis batik yang akan diekspor ke Malaysia. Katakanlah 2 jenis batik itu batik A dan batik B. Untuk membuat satu batik jenis A dibutuhkan kain 3 meter dan tinta 20 ml. Sedangkan untuk membuat satu batik jenis B dibutuhkan kain 5 meter dan tinta 50 ml. Harga dasar satu meter kain dan 1 liter tinta adalah Rp. 4000,-/m dan Rp. 300.000,-. Pak Rudi hanya mengalokasikan dana untuk membeli kain dan tinta sebesar Rp. 115 juta dengan perbandingan 14:9. Harga jual sebuah batik jenis A Rp. 30000,- dan sebuah batik jenis B Rp.45000,-. Tentukan Formulasi linear Programming yang akan memaksimumkan jumlah penjualan ekspor batik pak rudi dengan memperhatikan keterbatasan dana kain dan tinta.
- 23. TERIMA KASIH