C2 discrete time signals and systems in the frequency-domain

Discrete-Time Signals and Systems
in the Frequency-Domain
Jay Chang
1

2
時域時域時域時域離散信號離散信號離散信號離散信號Fourier變換變換變換變換
週期序列離散週期序列離散週期序列離散週期序列離散Fourier級數及級數及級數及級數及Fourier變換變換變換變換
時域時域時域時域離散信號的離散信號的離散信號的離散信號的Fourier變換與變換與變換與變換與模擬信號模擬信號模擬信號模擬信號Fourier變換變換變換變換
序列序列序列序列Z變換變換變換變換
Z變換分析信號與系統變換分析信號與系統變換分析信號與系統變換分析信號與系統

3

4
連續週期信號的連續週期信號的連續週期信號的連續週期信號的Fourier級數級數級數級數
時域: 週期信號, 頻域: 離散譜線.
任意週期信號x(t)可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和.
0
0
0
0
2
0 0
0 02
0
1 2
: ( ) ( ) , where
: ( ) ( )
T
jk t
T
jk t
k
X jk x t e dt
T T
x t X jk e
π− Ω
−
∞
Ω
=−∞
Ω = Ω =
= Ω
∫
∑
ɶ
ɶ
正變換
逆變換

5
連續信號的連續信號的連續信號的連續信號的Fourier變換變換變換變換
: ( ) ( )
1
: ( ) ( )
2
j t
j t
X j x t e dt
x t X j e d
π
∞
− Ω
−∞
∞
Ω
−∞
Ω =
= Ω Ω
∫
∫
正變換
逆變換
時域: 非週期, 絕對可積信號, 頻域: 連續的頻譜.
下面用GNU Octave來畫個圖.

6
: ( ) ( )
1
: ( ) ( )
2
: ( )
j t
j t
t
X j x t e dt
x t X j e d
ex f t te
π
∞
− Ω
−∞
∞
Ω
−∞
−
Ω =
= Ω Ω
=
∫
∫
正變換
逆變換
求時域波形及頻譜
Ex:
%octave code
clear all
syms t;
f=t*exp(-abs(t));
subplot(1,2,1);ezplot(f);
F=fourier(f)
subplot(1,2,2);ezplot(abs(F));

7
: ( ) ( )
1
: ( ) ( )
2
: ( )
j t
j t
X j x t e dt
x t X j e d
ex F e
ω
π
ω π
∞
− Ω
−∞
∞
Ω
−∞
−
Ω =
= Ω Ω
=
∫
∫
正變換
逆變換
求時域波形及頻譜
Ex:
%octave code
clear all
syms t w;
F=pi*exp(-abs(w));
subplot(1,2,1);ezplot(abs(F));
f=ifourier(F,t)
subplot(1,2,2);ezplot(f);

8
• 符號運算包symbolic可以實現syms運算, 但是如果你的Octave版本較低的話, 運行時候, 依然會報
錯, 建議先安裝python2.7和之後修改系統環境變數中path路徑, 增加python資料夾下Scripts路徑
及 ; 分號, 再安裝symbolic安裝包.
• D:UsersXXXAnaconda2;D:UsersXXXAnaconda2Scripts;D:UsersXXXAnaconda2Librarybin;
加到環境變量.
ref:
https://octave.sourceforge.io/packages.php
https://goo.gl/1PQ3xV
http://blog.sina.com.cn/s/blog_70f9feed0102x6er.html
http://blog.csdn.net/linzch3/article/details/69163577

9
時域離散信號的時域離散信號的時域離散信號的時域離散信號的Fourier變換變換變換變換
Fourier :
Fouri
( ) ( )
: ( ) ( )
1
: ( ) ( )
2
: ( ) [ ( )] ( ) , where ,
[ (
er , ( ) F
)
ourier :
:]
j t
j t
j t
j j n
n
X j x t e dt
X j x t e dt
x t X j e d
X e FT x n x n e T
x n Def
T
FT x n
ω ω
π
ω
∞
− Ω
−∞
∞
− Ω
−∞
∞
Ω
−∞
∞
−
=−∞
Ω =
Ω =
= Ω Ω
= = = Ω
∫
∫
∫
∑
連續信號的
離散信號的序
變換
正變換
逆變換
變換變換列的
是採樣間隔
存在充分條
換
件
正變
序 ( )
1
:
(
( ) [ ( )
2
)
] ( )
n
j j j n
x n
x n IFT X e X
x n
e e d
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
=−∞
−
< ∞
= =
⇒ ∑
∫
列
逆變換
絕對可和
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換

10
( )
( )
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
2 ,
[cos ( ) sin ( )]
0,
( ) 2 ( )
( ) [ (
j j n j n
n
j j n j m j n j n m
m m
j n m
j j n
j
X e x n e e
X e e d x m e e d x m e d
m n
e d n m j n m d
m n
X e e d x n
x n IFT X e
ω ω ω
π π π
ω ω ω ω ω
π π π
π π
ω
π π
π
ω ω
π
ω
ω ω ω
π
ω ω ω ω
ω π
∞
−
=−∞
∞ ∞
− −
− − −
=−∞ =−∞
−
− −
−
=
= =
=
= − + − = 
≠
∴ =
∴ =
∑
∑ ∑∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
兩邊同乘積分
1
)] ( )
2
j j n
X e e d
π
ω ω
π
ω
π −
= ∫
pf: FT逆變換逆變換逆變換逆變換

11
1 2
1 2
( ) ( )
( ) , ( )
, 0,1,... 1
matrix , , 0,1,... 1
, column is trvector [ anspo], where se of
T
j j n
n
j
k
j kn
kn M
M
j
TM
X e x n e
x n n n n N X e
k k M
M
M N W e n n n k M
k n e
ω ω
ω
π
π
π
ω
∞
−
=−∞
−
−
=
≤ ≤
= = −
 
× ⇒ ≡ = ≤ ≤ = − 
 
⇒ =
∑
k n
W
W A
假設序列在區間有個樣本值要計算頻率點上的
首先定義
把都寫為
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
( ) *
: [ ( )] ( ) ( )
[ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)] [ (0) (1) (2) (3) (4)
.
j T T
j j n
n
j
j
j
j
j
j
j
j
X e
ex DTFT x n X e x n e
e
e
e
e
x x x x x x x x x x x x x x
e
e
e
e
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
⇒ =
= =
 
 
 
 
 
 
= × = 
 
 
 
 
 
 
∑
X x
A
W則所求的頻點上可寫成
0
1
2
3
(5) (6) (7)] exp( )
4
5
6
7
x x j ω
 
 
 
 
 
 × −
 
 
 
 
 
  
時域離散信號的時域離散信號的時域離散信號的時域離散信號的Fourier變換變換變換變換 in MATLAB
w=-1:0.01:1; %w以pi為單位
n=0:7;
……
Xjw=x*(exp(-j*pi).^(n'*w));

12
Ex:
0.1
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )
:
(1) ( ) , 15 15
(
(2) ( ) 1, 0 2
)
0
j j n
n
j j j n
n
n
X e DTFT x n x n e
x n IDTFT X e X e e d
x n
ex DTFT
h n e
n
x
n
n
n
h
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
−
= =
= =
< ∞
= − ≤ ≤
= ≤
⇒
≤
∑
∫
∑序列絕對
正變換
逆變換
求序列及頻譜圖
可和
clear all
w=-4:0.001:4; %pi為單位
n1=-15:15;
n2=0:20;
h1=exp(-abs(0.1*n1));
h2(n2+1)=1;
Hjw1=h1*(exp(-j*pi).^(n1'*w));
Hjw2=h2*(exp(-j*pi).^(n2'*w));
subplot(2,2,1);plot(n1,h1)
title('h1');xlabel('n');ylabel('amp')
subplot(2,2,2);plot(w,abs(Hjw1))
title('H1');xlabel('pi rad(omega)');ylabel('amp')
subplot(2,2,3);plot(n2,h2)
title('h2');xlabel('n');ylabel('amp')
subplot(2,2,4);plot(w,abs(Hjw2));
title('H2');xlabel('pi rad(omega)');ylabel('amp')

14
ref:
http://faculty.stust.edu.tw/~tang/dsp/
clear all
w=-2:0.01:2;
n=0:10;
x=(0.9).^n;
subplot(1,2,1);plot(w,abs(Xjw));
title('X');xlabel('pi rad(w)');ylabel('amp');
subplot(1,2,2);plot(w,angle(Xjw)/pi);
title('X');xlabel('pi rad(w)');ylabel('phase/pi');
Ex:

15
Ex: 求求求求矩形矩形矩形矩形序列序列序列序列RN(n)的的的的Fourier變換變換變換變換
1
0
/2 /2 /2
( 1) /2
/2 /2 /2
( ) ( ( )) ( )
1 ( ) sin( / 2)
1 ( ) sin( / 2)
N
j j n j n
N N
n n
j N j N j N j N
j N
j j j j
R e FT R n R n e e
e e e e N
e
e e e e
ω ω ω
ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω
ω
ω
∞ −
− −
=−∞ =
− − −
− −
− − −
= = =
− −
= = =
− −
∑ ∑
arg ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( )
:
: arg
:
.
[ ]
LPF
j
j j n j j X e
n
j
j
X e x n e X e e
X e
X e
ω
ω ω ω
ω
ω
∞
−
=−∞
= =
∴
∑
≫
幅頻特性
相頻特性
由此可知
矩形序列的低頻分量高頻分量
如果將矩形序列作為濾波器的單位脈衝響應
該濾波
滑動平均濾波器對輸入信號有平
有特性
滑作用
器

16
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 1. FT週期性週期性週期性週期性
( 2 ) ( 2 )
( 2 ) ( 2 ) 2
: ( ) [ ( )] ( ) ,
: ( ) ( ) ( ) ( ),
: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j j n
n
j j n j M n j M
n n
j M j M n j n j Mn j n j
n n n
X e FT x n x n e n
FT X e x n e x n e X e M
pf X e x n e x n e e x n e X e
ω ω
ω ω ω π ω π
ω π ω π ω π ω ω
∞
−
=−∞
∞ ∞
− − + +
=−∞ =−∞
∞ ∞ ∞
+ − + − − −
=−∞ =−∞ =−∞
= = ∈
= = = ∈
= = =
∴
=
∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
ℤ
ℤ
正變換
週期
時域離散信號 Fourier 2 .π的變換以為週期
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
直流信號最高頻率信號 ω = π
由於DTFT週期2π, 一般只分析- π ~ π or 0 ~ 2π即可.

17
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 2. 線性線性線性線性
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
1 1 2 2
1 2 1 2
if ( ) [ ( )], ( ) [ ( )]
then [ ( ) ( )] ( ) ( ), where , .
j j
j j
X e FT x n X e FT x n
FT ax n bx n aX e bX e a b const
ω ω
ω ω
= =
+ = + ∈

18
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 3. 時移與頻移性質時移與頻移性質時移與頻移性質時移與頻移性質
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
0
0 0
0
( )
if ( ) [ ( )] then
: [ ( )] ( )
: [ ( )] ( )
j
j n j
j n j
X e FT x n
FT x n n e X e
FT e x n X e
ω
ω ω
ω ω ω
−
−
=
− =
=
時移
頻移

19
Ex:
0
0 0
0
( )
/4
if ( ) [ ( )] then
: [ ( )] ( )
: [ ( )] ( )
: ( ) 1, 0 20 and ( ) ( )
,
j
j n j
j n j
j n
X e DTFT x n
DTFT x n n e X e
DTFT e x n X e
ex h n n x n h n e
DTFT
ω
ω ω
ω ω ω
π
−
−
=
− =
=
= ≤ ≤ =
時移
頻移
分別求
1 2
1 2
( ) ( )
( ) , ( )
, 0,1,... 1
matrix , , 0,1,... 1
, column is trvector [ anspo], where se of
T
j j n
n
j
k
j kn
kn M
M
j
TM
X e x n e
x n n n n N X e
k k M
M
M N W e n n n k M
k n e
ω ω
ω
π
π
π
ω
∞
−
=−∞
−
−
=
≤ ≤
= = −
 
× ⇒ ≡ = ≤ ≤ = − 
 
⇒ =
∑
k n
W
W A
假設序列在區間有個樣本值要計算頻率點上的
首先定義
把都寫為
( ) ( ) ( )*
.
j T j T
X e e nω ω
⇒ = x
A
X W則所求的頻點上可寫成
clear all
w=-1:0.01:1;
n=0:20;
h(n+1)=1;
x=h.*exp(j*pi*n/4);
Hjw=h*(exp(-j*pi).^(n'*w));
subplot(2,2,1);plot(w,abs(Hjw))
title('H');xlabel('pi rad(w)');ylabel('amp')
subplot(2,2,2);plot(w,angle(Hjw)/pi);
title('H');xlabel('pi rad(w)');ylabel('phase')
title('X');xlabel('pi rad(w)');ylabel('amp')
subplot(2,2,4);plot(w,angle(Xjw)/pi);
title('X');xlabel('pi rad(w)');ylabel('phase')
w=-1:0.01:1; %w以pi為單位
n=0:20;
……

20
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 4. FT對稱性對稱性對稱性對稱性
*
*
*
( ) : ( ) ( ), ( ) .
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
: , .
( ) (
( ) : ( ) ( ), ( )
)
er er
e
e e e e
n n
e er ei e er ei
o o
i e
o
i
e
x n x n x n x n
x n x n jx n x n
x n x n
x n x
x n jx
n
n
x n x n x n x n
→−
= −
= −
= + ⇒ − = − − −
= − −


= − −
再取共軛
設複序列滿足稱為共軛對稱序列
性質
兩式相等
設複序列滿足稱
共軛對稱序列實部偶函數虛
為共
部奇函數
軛反對稱
1
*
* * *
.
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
(
( ) ( )
: , .
) ( ) ( )
( ) (
( ) ( ) ( ) (
)
n n
o or oi o or oi
e o
n n
e o
or
e
or
oi oi
x n x n
x n x n
x n x n jx n x n x n jx n
x n x n x n
x n x n x n x
→− −
→−
= + ⇒ − − = − − + −
+ ⇒ = +
⇒ − =
= − −

= −
− + − =
取共軛再同乘
再取共軛
序列
性質
兩式相等
一般序列可用共軛對稱共軛反對稱
共軛反對稱序列實部奇函數虛部偶函
示
數
之和表
*
*
1
( ) [ ( ) ( )]
2
, ( ) & .
1
( ) [ ( ) ( )]
) )
2
(o
e
o
x n x n x n
x n
x n x n
n
x n
x n

= + −
=

−

 − −

可用求出共軛對稱共軛反對稱分量

21
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ).
( ) [ (
:
:
)]
r i r i
j j j j j j
e e er er ei ei
j j j j j j
o o or or oi oi
j
e r
x n x n jx n x x
X e X e X e X e X e X e
X e X e X e X e X e X e
X e FT x n x
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω
∗ − − −
∗ − − −
= + ∈
= ⇒ = = −
= − ⇒ = − =
= =
ℝ
實偶虛奇
實奇虛偶
頻域共軛對稱性
頻域共軛反對稱
序
性
設序列列
Fourier .
Fourier .
( ) (
( )
( ) [ ( )]
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
: ( ) ( ) ( )
)
(
(
j n
r
n
j j n
o i i i
n
j j n j n
e r
FT
j j j
r i e
r e
n
o
n
x n x n
n e
X e FT j
jx n X e X e X e
x n jx n e jx n
pf X e x n e x n e X e
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω ω
∞
−
=−∞
∞
−
=−∞
∗∞ ∞
− ∗
=−∞ =−∞
⇒
= = ⇒
 
= =
= + → = +
= 
 
∑
∑
∑ ∑
實序列的變換具有共軛對稱性
序列的變換具有共軛反對稱性
),
( ) ( ) ( ) ( ).
j
j j n j n j
o i i o
n n
X e jx n e jx n e X e
ω
ω ω ω ω
−
∗∞ ∞
− ∗ −
=−∞ =−∞
 
= = − = − 
 
∑ ∑
序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其Fourier變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係？？？？
(1) 將序列將序列將序列將序列x(n)分成實部分成實部分成實部分成實部xr(n)與虛部與虛部與虛部與虛部xi(n):

22
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
(2) 將序列將序列將序列將序列x(n)分成分成分成分成共軛對稱共軛對稱共軛對稱共軛對稱xe(n)與共軛反對稱與共軛反對稱與共軛反對稱與共軛反對稱xo(n):
* *
* *
( ) ( ) ( )
1 1
( ) [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] Re[ ( )] ( )
2 2
1 1
( ) [ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )] [ ( )] [ ( ) ( )] Im[ ( )] ( )
2 2
( ) (
FT
j j j
e o
e o
j j j j
e e R
j j j j
o o
R
I
I
x n x n x n
x n x n x n FT x n X e X e X e X e
x n x n x n FT x n X
x n x n x n
e X e
X e X e j
j X e j e
X
X
eω ω
ω ω ω ω
ω
ω
ω ω ω
= + →
= +
= + − → = + = =
= − − → =
+
− = =
=
設序列
: [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )] [ ( ) (
)
)] ( )
j n
r i r i
n
m n
j m j m j
r i r i
m m
pf FT x n FT x n jx n x n jx n e
x m jx m e x m jx m e X e
ω
ω ω ω
∞
∗ −
=−∞
∗∞ ∞=−
− ∗
=−∞ =−∞
− = − − − = − − −
 
= − = + = 
 
∑
∑ ∑

*
2 2 2 1
( ) , ( ), 0.
( ) ( ) ( )
,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) , arg[ ( )] tan [ ( ) / ( )] .
( )
j
e
j j j
e
j j
R R
j j
I I
j j j j j j
R I I R
h n FT H e
H e H e H e
FT
H e H e
H e H e
H e H e H e H e H e H e
h n
ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω ω ω
−
−
−
−
=
= =
=
= −
= + =
設序列是實序列後只有共軛對稱部分共軛反對稱
實序列後是共軛對稱函數實偶虛奇
模偶函數相位奇函數
設序列是實因果序列, ( ) ( ) ( )
(0), 0
1 1
( ) [ ( ) ( )] ( ), 0
2 2
1
( ), 0
2
0, 0
1 1
( ) [ ( ) ( )] ( ), 0
2 2
1
( ), 0
2
e o
e
o
h n h n h n
h n
h n h n h n h n n
h n n
n
h n h n h n h n n
h n n
= +

 =


= + − = >


− <

 =


= − − = >

−
− <
23
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
(3) 分析實序列分析實序列分析實序列分析實序列h(n)的對稱性的對稱性的對稱性的對稱性:
2 ( ( ) ( ) & ( ) ):
2, 0
( ) ( ) ( )
, where ( ) 1, 0
( ) ( ) ( ) (0) ( )
0, 0
e o
e
o
h n h n h n
n
h n h n u n
u n n
h n h n u n h n
n
δ
+
+
+
>
= 
= = 
= +  <
按照上式可寫為分別用表示

24
(3) 分析實序列分析實序列分析實序列分析實序列h(n)的對稱性的對稱性的對稱性的對稱性:
Ex: ( ) ( ), 0 1, ( ) & ( )
(0), 0 1
1 1 1
( ) [ ( ) ( )] ( ), 0
2 2 2
1 1
( ), 0
2 2
0, 0 1
1 1 1
( ) [ ( ) ( )] ( ), 0
2 2 2
1 1
( ), 0
2 2
n
e o
n
e
n
n
o
n
x n a u n a x n x n
h n
h n h n h n h n n a
h n n a
n
h n h n h n h n n a
h n n a
−
−
= < <
 
 =
 
 
= + − = > = 
 
 
− <  
 
 =
 

= − − = > = 

− −
− <
求偶對稱分量奇對稱分量





26
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 5. time domain convolution theorem(時域卷積定理時域卷積定理時域卷積定理時域卷積定理)
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
:
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )* ( ), ( ) ( ) ( )
( )
m
k n m
j j n j k j m
n m k m
j k j m j
j j
j
k
j
m
pf
y n x m h n m
Y e FT y n x m h n m e h
y n x n h n Y e X e H
k x m e e
h k e x e X e
e
m H e
ω ω ω
ω ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
∞
=−∞
∞ ∞ ∞ ∞= −
− − −
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞
∞ ∞
− −
=−∞ =−∞
= −
 
= = − = 
 
=
=
=
=
∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
設則
• 時域卷積定理: 頻域相乘, 時域卷積.
• 頻域卷積定理: 時域相乘, 頻域卷積. 亦稱為調製定理.

27
Ex:
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( ( ))
j j n
n
j j j n
n
X e DTFT x n x n e
x n IDTFT
x
X e X e e d
xn n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
= =
<⇒ ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變換
變換
和
正
逆
clear all
w=-1:0.001:1;
n=0:30;
h=sinc(0.2*n);
x=2*sin(0.2*pi*n)+3*cos(0.4*pi*n);
Hjw=h*(exp(-j*pi).^(n'*w));
Yjw=Xjw.*Hjw;
n1=0:2*length(n)-2; %length=31+31-1
dw=0.001*pi;
y=(dw*Yjw*(exp(j*pi).^(w'*n1)))/(2*pi); %IDTFT積分
y1=conv(x,h);
subplot(3,1,1);plot(w,abs(Hjw))
title('H');xlabel('pi rad(w)');ylabel('amp')
title('X');xlabel('pi rad(w)');ylabel('amp')
subplot(3,1,3);plot(w,abs(Yjw));
title('Y');xlabel('pi rad(w)');ylabel('amp')
figure
subplot(2,1,1);stem(abs(y));title('IDTFT calculation Y');
subplot(2,1,2);stem(abs(y1));title('convolution calculation Y1')

28
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 6. frequency domain convolution theorem(頻域卷積定理頻域卷積定理頻域卷積定理頻域卷積定理)
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
( )
( ) ( ) ( ) where ( ) [ ( )], ( ) [ ( )],
1 1
( ) ( )* ( ) ( ) ( )
:
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) (
2
.
2 2
)
j j
j j j j
j j n j j n j
j
n
n n
j
pf
Y e x n h n e x n H e e d e
y n
H e x n
h n x n H e FT h n X e FT x n
Y e H e X e H e X e d
e
ω ω
π
ω ω ω θ ω θ
π
ω ω θ θ ω
π
θ
π
θ
π π
θ
π
π
−
−
∞ ∞
− −
−
=−∞ =−∞
 
= =   
=
= = =
= = ∫
∑ ∑ ∫
交換積分與求和的次序
設
則
( ) ( )1 1
( ) ( ) ( ) ( ).
2 2
j n j j j j
n
d H e X e d H e X e
π π
ω θ θ ω θ ω ω
π π
θ θ
π π
∞
− − −
− −
=−∞
 
= = ∗ 
 
∑∫ ∫
• 時域卷積定理: 頻域相乘, 時域卷積.
• 頻域卷積定理: 時域相乘, 頻域卷積. 亦稱為調製定理.

29
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 7. Parseval theorem
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
2 * *
*
22
2*
:
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1
( ) ( ) (
1
(
) ( ) ( ) .
2
) (
2
2 2
)
j j n
n n n
j j n j j
n
j
j
n
pf
x n x n x n x n X e e d
X e x n e d X e X e d X
x n X e d
e d
π
ω ω
π
π π π
ω ω ω ω ω
π π π
π
ω
π
ω
π
ω ω ω
π
π
π
ω
π
∞ ∞ ∞
−
=−∞ =−∞ =−∞
∞
− − −
=−
−
=
∞
∞
−∞
=
 
= =   
= = =
∑ ∑ ∑ ∫
∑
∑
∫ ∫ ∫
∫
• 信號時域能量與頻域能量之間的關係.

31

32
週期信號的週期信號的週期信號的週期信號的Fourier變換變換變換變換
序列的Fourier變換的條件是: 序列必須絕對可和.
某些序列(週期序列)不滿足絕對可和的條件, 因此嚴格講Fourier變換不存在.
BUT 因為週期性, 如果像連續信號那樣, 展成離散Fourier級數, 引入δ(ω)(單位衝激函數), 其
Fourier變換可以用公式表示.
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
c.f. : 時域離散信號Fourier變換(DTFT)

33
週期週期週期週期序列序列序列序列的的的的離散離散離散離散Fourier級數級數級數級數
0
1
0 0
0
2
2 2 2 2 21 1 1
0
0 0 0 0
21
Fo
2 2
( ) ,
, , :
( )
( ), urier
N N
j kn
k
k
j mn
N
k
N N Nj mn j kn j mn j kn j mn
N N N N N
k k
n n
j kn
N
k
k
k
k
x n a e T T
NT N
a e
x n a e
N
x n e a e e a e e
N ω
π
π π π
π
π π
π π
ω
−
=
−
− − −− − −
= = =
−
=
=
= = Ω = =
 
= = 
 
⇒ = ∑
∑ ∑ ∑
∑ɶɶ
ɶ
求係數兩邊同乘
設為以為週期的週級數期序列
在一個週期求
則展
和
可成
中
21 1 1 1 ( )
0 0 0
2
( )2 2 ( )1 ( )
2 2
( ) ( )0
2 21 1
0
2
0
1 1
0
1 1
1
( ) ( )
(
0
1
)
N N N N j k m n
N
k
n k n
j k m N
j k mN Nj k m n
N
j k m j k mn N N
N Nj mn j knkN N
k
n n
j
k
a e
N k me e
e
k m
e e
a N k m
x n e a x n e
k m N
a x n e
N
π
π
π π
π π
π π
− − − − −
= = =
−
−− −
− −=
− −− −
= =
−
 
= 
 
=− −
= = =
=

≠− −
=
= ⇒ =
≠
∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑ ∑ɶ ɶ
ɶ
2
21
1
0
2
0
1
0
, where , , 0 1
,
( ) [ ( )] ( )
Fourier :
1
( ) [ ( )] ( )
, , .
( ) ( )
N kn
N
n
k k k lN
N j kn
j kn
N
N j k
N
k
n
n
n
N
k n k N
a a a
X k DFS x n x n e k
x n
e N l
X k Na x n e k
IDFS X k X k
N
π
π
π
π
−
=
+
− −
−
=
−
−
=
∈ ≤ ≤ −
=
= = − ∞ < < ∞
∴ ∈
= = − ∞ <
=
<
=
∞∑
∑
∑
∵ ℤ
ɶ ɶ
ℤ
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ
也是週期序列
離散級數
令
是週期為的週期函數
得對 21
0
N j kn
N
k
e n
π−
=




 − ∞ < < ∞

∑

34
週期週期週期週期序列序列序列序列的的的的離散離散離散離散Fourier級數級數級數級數
21
0
21
0
( ) [ ( )] ( )
Fourier :
1
( ) [ ( )] ( )
( ) & ( )
( )
2
, 0,1
.
:
1. ,2,..., 1, k
N j kn
N
n
N j kn
N
k
X k DFS x n x n e k
x n IDFS X k X k e n
N
N
x n X k
x n
k k NN k
N
π
π
ω
π
− −
=
−
=

= = − ∞ < < ∞


 = = − ∞ < < ∞

= = −
∑
∑
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ
ɶɶ
ɶ
均是以為週期的週期序列
物理意義
將週期序列表示為個諧波成分之和第次諧
離散級
波
數對
頻率為
幅度為
1 2 1
( ), , (1).
2. ( ) .
X k X
N
X kD
N N
FS
πɶ ɶ
ɶ
基波分量的頻率是幅度為
一個週期表示序列可用其數頻譜分布係

35
21
0
21
0
7
4
2
8
0
( ), [ ( )]:
( ) [ ( )] ( )
Fourier :
1
( ) [ ( )] ( )
( ) ( )
( ) ( ), ( ) 8 , 8,
N j kn
N
n
N j kn
N
k
j kn
n
x n DFS x n
X k DFS x n x n e k
x n IDFS X k X k e n
N
x n R n x
X k x
n
e
N
n e
π
π
π
− −
=
−
=
− −
=

= = − ∞ < < ∞
= =



 = = − ∞ < < ∞

= =
=
∑
∑
∑
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ
ɶ ɶ
設將以為週期進行週期延展得到週期序列週期求
離散級數對
4
23 3 4 2 2 2
8 4
0 0 4 4 8 8 8
3
8
3
8
1 1 ( )
1 1 ( )
sin
2
sin
8
sin sin
2 2( ) .
sin sin
8 8
( ): , , .
j k j k j k j k
j k
j kn j kn
j k j k j k j k j kn n
j k
j k
e e e e e
e
e e e e e
k
e
k
k k
X k e
k k
XN Nk
π π π π
π π π
π π π π π
π
π
π
π
π π
π π
− − −
−
−
− − − −= =
−
−
− − −
= = = =
− − −
=
⇒ = =
∑ ∑
ɶ
ɶ結論週期序列的頻譜是離散線狀譜序列的週期為則的週期也為
Ex:

36
週期週期週期週期序列序列序列序列的的的的Fourier變換變換變換變換
0
0
0
0
0
0 0
0
(1) 2 (
, ( ) Fourier :
( ) 2 ( ).
)
[ ( )
, ( )
( ) [ ] 2 ( 2
Fourier :
]
, , 2 / ,
: [ ( )
,
]
)
j t
a
a
j n
j n
j t j t
j
a
j
r
x t e
X j
x n e
X e FT e r
FT
FT
r
x t e e dt
pf IFT X e e
ω
ωω
ω
πδ
πδ
πδ
π ω π
ω ω
ω
π
π
Ω
∞
=−
∞
Ω
−∞
∞
Ω −
=
Ω Ω − Ω
=
= = − −
= Ω
= = =
− ≤ ≤ ∈
=
∈∑
∫
ℚ
ℤ
模擬系統中的變換
時域離散系統中複指數序的列變換
0
0
0
[ , ]
0 0
1 1 1
( ) 2 ( 2 ) 2 ( )
2 2 2
j n
j nj j n j n j n
r
X e e d r e d e d e
ω
ω π ππ π π ωω ω ω ω
π π π
ω πδ ω ω π ω πδ ω ω ω
π π π
∞ ∈ −
− − −
=−∞
= − − = − =∑∫ ∫ ∫
積分區間只有一個單位脈衝
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
21
0
21
0
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
N j kn
N
n
N j kn
N
k
X k DFS x n x n e
x n IDFS X k X k e
N
π
π
− −
=
−
=
= =
= =
∑
∑
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ
正變換
逆變換
週期序列的離散Fourier級數(DFS)
0
( ) [ ]j nj
X e FT e ωω
=

37
一般一般一般一般週期週期週期週期序列序列序列序列的的的的Fourier變換變換變換變換
0 0
21
0
0
2
( )
1
( ) ( )
Fourier :
P.S. , ( ) , ( ) [ ] 2 ( 2 )
1 2 2
( ) (
, Fourier
) ( 2 )
N j kn
N
k
j n j nj
r
j kn
N
r
x n
x n X k e n
N
x n e X e FT e r
FT X k e
N
X k k r
N N N
π
ω ωω
π
πδ ω ω π
π π
δ ω π
−
=
∞
=−∞
=−∞
= − ∞ < < ∞
= = = − −
 
= − − 
 
∑
∑
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ∵
設為以為週期的週期序列則可展成
對每一項進行轉換
時域離散系統中複指數序列
項
級數
每一
[ ]
[ ]
[ ]
1
0
2 2
( ) ( ) ( ) ( 2 ), where 0,1,2,..., 1 and ..., 2, 1,0,1,2,...
2 2
(
2 2
( ) ( ) ( ) (
Four
, ) ( )
i
( )
e
( )
r
) (
N
j
k r
j
j
k
X e FT x n X k k r k N r
X e FT x n X k
N
N N
k X e FT x n X k k
N N
ω
ω
ω
π π
δ ω π
π π
ω
π
δ ω
δ
∞
− ∞
= =−∞
∞
=−∞
∴ = = − − = − = − −
−∞ ∞ ⇒ =
= = −
= −
∑
∑ ∑
∑
ɶɶ
ɶɶ
ɶɶ
一
如果讓在區間變化
般週期序列的變換 21
0
)
.
where ( ) ( )
Fourier :
2
,
2
( ).
k
N j kn
N
n
k
N
X k x n e
k k
N
X k
N
π
π
π
ω
π
∞
=−∞
− −
=




 =

= − ∞ < < ∞
∑
∑ɶ ɶ
ɶ
一般週期序列的變換由
的衝激函數和組成,
各衝激函數的強度為
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
21
0
21
0
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
N j kn
N
n
N j kn
N
k
X k DFS x n x n e
x n IDFS X k X k e
N
π
π
− −
=
−
=
= =
= =
∑
∑
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ
正變換
逆變換
週期序列的離散Fourier級數(DFS)

39
Ex:
[ ] [ ]
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
( ) cos , 2 /
1
( ) ( ), [ ] 2 ( 2 )
2
1
[ ( )] [ ]
2
1
2 ( 2 ) 2 (
[
, Fou
2 ) ( 2 ) (
cos
2 ) .
rier
]
2
:
j n j n j n
r
j n j n
r r
x n n
x n e e FT e r
FT x n FT e e
r r r r
FT n
ω ω ω
ω ω
ω π ω
πδ ω ω π
πδ ω ω π π
ω π δ
δ ω ω π π δ ω ω π δ ω ω π
∞
−
=−∞
−
∞ ∞
=−∞ =−∞
=
= + = − −
= +
= − − + + − = − −
=
− + +
∑
∑ ∑
ɶ
ɶ
ɶ
令為有理數求其變換
[ ]0
0
0
Fourie
(
r , .
2 ) ( )
,
2
2
r
r rω ω π δ ω ω π
ω ω π π
∞
=−∞
− − + + −
= ±
∑
余弦信號的變換是在處的衝激函數強度為以為週期進行週期性延展
( )j
X e ω
[ ]
[ ]
0 0
0 0
0
0 0
0 0
( ) sin , 2 /
[ ( )] [ ] ( 2 ) (
, F
[sin ] ( 2
2
) ( 2 )
ourier
) .
2
:
j n j n
r
r
FT n
x n n
j
FT x n FT e e j r r
j r r
ω ω
ω π ω
π δ ω
ω π δ ω ω π
ω π δ ω ω
δ ω ω π
π
∞
−
=
∞
−
−∞
= ∞
=
−
= − = − − − − +
= − − − − + −
−∑
∑
ɶ
ɶ
令為有理數求其變換
0cos n FTω 的

40
1
: [ ( )] ( ) ( 2 )
1
:
( ) ( ) , ( ) 1/ 2
1 1
( ) ( ) , ( 1) ( 1)
2 2
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
[ ( ) ( 1)] ( ) (
, , (
)
)
j
j
k
j j
pf FT u n U e k
e
pf
u n u n u n
x n u n x n u n
x n x n u n u n n
FT x n x n X
FT x n
e X e e
ω
ω
ω ω
π δ ω π
δ
δ
∞
−
=−∞
−
= = − −
−
=
= − − = − −
− − = − − =
− − = −
∑
∵
不服從絕對可和的條件只有引入函數才能表交流分量直流分量示出它的表示
[ ( ) ( 1)] [ ( )] 1 ( ) ( )
1
( ) , ,
1
[ ( ) 1] 2 ( 2 )
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )
2
1
( ) ( 2 ).
1
j
j j j
j
j
k
FT
j j
k
j
j
k
FT x n x n FT n X e X e e
X e
e
FT x n k
x n u n X e U e k
U e k
e
ω
ω ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
δ
π δ ω π
π δ ω π
π δ ω π
−
−
∞
=−∞
∞
=−∞
∞
−
=−∞
∴ − − = = = −
⇒ =
−
= = −
∴ = − → = − −
⇒ = − −
−
∑
∑
∑
∵
信號若有直流分量差分運算會丟失直流信息
Ex:

41

42
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列絕對可
變
和
正換
逆變換
, ( ) ( ) ( ) ( )j T
a aT x n x nT X e X jω Ω
= Ω = ⇒ = Ωɶ
1 2ˆ ( ) ( ), where 2
,
.
, .
a a s s s
k
s
s
X j X j jk F
T T
π
π
∞
=−∞
Ω = Ω − Ω Ω = =
Ω
Ω
∑
理想抽樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜
理想抽樣信號的頻
重複
譜是
出現一次
原模擬信
疊加成的週期
號頻譜
沿頻率軸
以為週期
每隔抽
進行週
樣角頻率函
期延展
數

43
[ ]
2
( ) [ ( )] ( ) ( )
1ˆ ( ) ( ) ( )
2
1 2
( ) ( )
2
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1 1
( ) (
T T s s s
k k
a T a
s a
k
a s
k
a s
k
a s a
k
j DTFT t k k
T
X j j X j
k X j
T
X j k d
T
X j k d
T
X j jk X
T T
π
δ δ δ
π
π
δ
π
θ δ θ θ
θ δ θ θ
∞ ∞
=−∞ =−∞
∞
=−∞
∞∞
−∞
=−∞
∞ ∞
−∞
=−∞
∞
=−∞
∴∆ Ω = = Ω − Ω = Ω Ω − Ω
Ω = ∆ Ω ∗ Ω
 
= Ω − Ω ∗ Ω 
 
= Ω − Ω −
= Ω − Ω −
= Ω − Ω =
∑ ∑
∑
∑∫
∑ ∫
∑ )
.
,,
2
.
k
s
s
j jk
T
π∞
=−∞
Ω
Ω −
Ω
∑
重複出現一次疊加成的週
理想
理想抽樣信號的頻譜是
抽樣信號的頻譜是原模
原模擬信
擬信號頻
號頻譜沿頻率軸每隔
譜以為週期進
期函
行週
抽樣數頻率
期延展
角
Review…

45

46
1. 在模擬信號系統, 用Fourier變換進行頻域分析, Laplace變換可做為Fourier變換的推廣, 對信號系
統做複頻率分析.
2. 在時域離散信號系統, 用序列的Fourier變換進行頻域分析, Z變換則是Fourier變換的推廣, 對信
號系統做複頻率分析.
3. 通過Z變換, 時域離散卷積運算變成乘法, 系統差分方程變成代數方程.
Z變換的意義:
Fourier變換為信號提供了一種頻域表示方法, 便於進行頻域分析及信號處理.
序列的離散時間Fourier變換是有條件的, 即需滿足絕對可和條件.
很多情況下, 序列的Fourier變換不存在, 無法利用其頻域特徵.
Z變換是Fourier變換的推廣形式, 為許多信號提供了頻域表示.
很多序列的離散時間Fourier變換不存在, 但其Z變換存在.
Z變換是數位濾波器設計與分析的重要工具.
線性時不變離散時間系統的分析工具, 如穩定性、系統結構等.

47
Z變換的定義變換的定義變換的定義變換的定義
0
( ) : ( ) ( ) ,
Re( ) Im( )
( ) ( )
( ) (
,
, ,
,
)
, .
: ( )
n
n
j
n n
n n
nn
n n
x n Z X z x n z z
z z j z re
x n
z
Z Zz x n z
x n z x
z
n zZ
ω
∞
−
=−∞
∞ ∞
− −
=−∞ =
∞ ∞
−−
=−∞ =−∞
≡ ∈
= + =
=⇒ < ∞
∑
∑ ∑
∑ ∑
ℂ
是複變數
雙邊變換單邊變換對於因果序列兩種定義計算結果一樣
變換存在的充分條件等號右邊冪級數收斂級數絕對可和
使上式滿足的變量取值稱收
序列的變換定為
斂域
義
一般
0
0
( )
( )
( )
( ) ( ) , ( ) ( )
( ) [ (
( ) . .
.
:
,
)] ( )
( ) ( )
wh
: j
x x
x
x
j j n
n
j
z e
R z r R
R
R
P z
X z
Q z
P z X z Q z X z
X e FT x n x n
i e
Z
Z
FT
F
e
X eT XZT z ω
ω ω
ω
− +
−
+
∞
−
=−∞
=
< = <
≥
≥
= ∈
= =
=
∑
ℚ
收斂域為環狀域綠色斜線
收斂域的最小收斂半徑
收斂域的最大收斂半徑
常用變換
變換不存在
有理函數
分子多項式的根是的零點分母多項式的根是的極
關
處
係
點
在極點
ere , 1 ( ) .j
z e z r ZT FTω
= = ⇒在平面的單位圓上的就是圓序列的圓單位
xR −
xR +

48
Ex:
1
0 0
1 1
0
1
1
0
0
1
( ) ( ),
( ) ( ) ( )
, 1
1
( ) ( ) ,
1
( ) ( ),
( ) (
,
:
,
( ) :
)
1,
n
n n n n n
n n n
n
n
n
n
n n
n n
Z
Z
x n a u n
X z a u n z a z az
az az
X z az z a
az
x n u n
X z u n z z
X z z
∞ ∞ ∞
− − −
=−∞ = =
∞
− −
=
∞
−
−
=
∞ ∞
− −
=−∞ =
−
=
= = =
< ∞ <
= = >
−
=
= =
<
∑ ∑ ∑
∑
∑
∑ ∑
求其變換並確定收斂域
收斂的條件
求其變換並確定收
存在
斂域
的條件收斂域為
1
1
1
( ) , 1
1
1, .
z
X z z
z
z Z
−
>
= >
−
=極點單位圓上變換不存在

49
Sequence Z Transform ROC
1 All values of z[ ]nδ
[ ]u n
[ ]n
u nα
0( cos ) [ ]n
r n u nω
0( sin ) [ ]n
r n u nω
1
0
1 2 2
0
1 ( sin )
1 (2 cos )
r z
r z r z
ω
ω
−
− −
−
− +
1
0
1 2 2
0
1 ( cos )
1 (2 cos )
r z
r z r z
ω
ω
−
− −
−
− +
1
1
1 zα −
−
1
1
1 z−
−
1z >
z α>
z r>
z r>
(region of convergence)
Some commonly used Z transform pairs

50
Z變換的收斂域與序列特性之間的變換的收斂域與序列特性之間的變換的收斂域與序列特性之間的變換的收斂域與序列特性之間的關係關係關係關係
一般而言, Z變換是有理函數, 分子分母用z的多項式描述:
將X(z)變換成分子分母為z的整次冪多項式後, 求其零 and 極點:
• Z變換的零點: 分子多項式的根.
• Z變換的極點: 分母多項式的根, 極點處Z變換不存在.
收斂域(ROC)總以極點為界
• 序列分: 有限長序列、右序列、左序列、雙邊序列的收斂域特性？
1 1
0 1 1
1 1
0 1 1
( )
( )
( )
M M
M M
N N
N N
p p z p z p zP z
X z
D z d d z d z d z
− − + −
−
− − + −
−
+ + + +
= =
+ + + +
⋯
⋯

51
1. 有限有限有限有限長序列長序列長序列長序列Z變換的收斂變換的收斂變換的收斂變換的收斂域域域域
2
1
1 2
1 2
1 2
1 2
( ),
( ) , ( )
0, others
( ) ( )
0 0,
:
:
:
0
0 0, 0
0 0, 0
n
n
n n
x n n n n
x n x n
X z x n z
z n n
z n n
z n n
Z −
=
≤ ≤
= < ∞

=
< < ∞ < >
≤ < ∞ < ≤
< ≤ ∞ ≥ >
∑
有限長序列
有限長序列變換
收斂域

52
1
1
0
( ) ( )
0
1
( ) ( )
, 0 ~
1
1
:
:
1 , .
N
NN
n n
N
n n
Z
n N
x n R n
z
z
X z R n z z
z
Z
z
−∞ −
− −
−
=−∞ =
=
< ≤
= −
=
∞
−
= = =
−
∑ ∑
求的變換及其收斂域
有限長序列
收斂域
變換
既是極點也是零點抵消後單位圓仍在收斂域內
Ex:

53
2. 右右右右序列序列序列序列Z變換的收斂變換的收斂變換的收斂變換的收斂域域域域
1 1
1
1
0
1
1
( ),
( ) , ( )
0, others
( ) ( ) ( ) ( )
:
:
:
:
:
, 1, 0 .
: , .
.
( ) , 0.
:
: .
n n n
n n n n n
x
x
x
x n n n
x n x n
X z x n z x n z x n z
n z
R z
R
n n
R z
Z
z
x
∞ − ∞
− − −
= = =
−
−
−
≥
= < ∞

= = +
≤ − ≤ < ∞
< ≤ ∞
< < ∞
≥
< ≤ ∞
∩
∑ ∑ ∑
右序列
右序列變換
收斂第一項有限長序列設
第二項因
域
收斂域
收斂域
收斂域
果序列
若是因果序列設
Re[z]
Im[z]
xR −
0

54
1
0
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
1,
( )
:
: .
n
n n n n
n n
Z
Z
x n a u n
X z a u n z a z
az
az z a
∞ ∞
− −
−
=−∞ =
−
=
= = =
−
< >
∑ ∑
右序列
變換
收斂域
Ex:

55
3. 左左左左序列序列序列序列Z變換的收斂變換的收斂變換的收斂變換的收斂域域域域
2 2
2
1
2
0
2
( ),
( ) , ( )
0, others
( ) ( ) ( ) ( ) where 0
: 0
:
:
:
:
:
,
:
: 0
0 .
0, 0
0 .
n n
n n n
n n n
x
x
x
x n n n
x n x n
X z x n z x n z x n z n
z R
z
z R
n z z
z
Z
R
−
− − −
=−∞ =−∞ =
+
+
+
≤
= < ∞

= = + ≥
≤ <
< ≤
∩
∞
< <
≤ = = ∞
≤ <
∑ ∑ ∑
左序列
左序列變換
收斂域
收斂域
收斂域
收斂收斂
收斂域
第一項
第二項
若不
Re[z]
Im[z]
xR +0

56
11
1 1
1
1
( ) ( 1)
1 0, 1
0
1
( ) ( 1)
1 1
1, .
( )
:
:
:
n
x
n n n n n n
n n n
x n a u n
n n
z R
a z
X z a u n z a z a z
a z az
a
Z
z a
Z
z
+
−∞ − ∞
− − −
− −
=−∞ =−∞ =
−
= − − −
− − ≥ ≤ −
≤ <
−
= − − − = − = − = =
− −
< <
∑ ∑ ∑
序列取非零值左序列
收斂域
變換
收斂域
Ex:

57
4. 雙邊雙邊雙邊雙邊序列序列序列序列Z變換的收斂變換的收斂變換的收斂變換的收斂域域域域
xR +xR −
1
0
( ) ( ), , ( )
( ) ( ) ( ) (
:
: ) ( ) ( )
: 0
:
:
:
: .
n n n
n n n
x
x
x x
x n x n n x n
X z x n z x n z x n z
z R
R z
R z
Z
R
∞ − ∞
− − −
=−∞ =−∞ =
+
−
− +
= − ∞ ≤ ≤ ∞ < ∞
= = +
≤
< ≤ ∞
<∩
<
<
∑ ∑ ∑
雙邊序列
雙邊序列變換序列序列左右
第一項
第二項
收斂域
收斂域
收斂域

58
1
0 1 0
1 1
1
1 0
( ), :
( )
( )
1, ; 1,
:
:
: .
( )
n
x x
n n n n n n n n n n
n n n n n
n n n n n n
n n n
x n a
R z R
X z a z a z a z a z a z
az z a az z a
a z a
X z a
Z
Z
Z
z a z a z
− +
∞ − ∞ ∞ ∞
− − − − −
=−∞ =−∞ = = =
− −
−
∞ ∞ ∞
− −
=−∞ = =
=
< <
= = + = +
< < < >
∴ < <
= = +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
雙邊序列收斂域
變換
兩部分的收斂域分別為
序列變換的收斂域分別為
2
1
1 1
2
1 1
where and 1
,
.
1 1 (
Fo
1 )(
uri
1 )
1
( ) ( ) |
(1 )(1 )
er ,
j
j
j jz e
az a
a z a a
az az az az
a
X e X z
ae ae
ω
ω
ω ω
−
− −
−=
−
= + = < < <
− − − −
−
= =
− −
∑
收斂域包含單位圓其變換存在可直接求出
Ex:
n
n
a
-4 -2 420-6 6
1
a
a
1, ( )
0 1, ( ) ( )
a X z
a x n X z
≥ ⇒
< <
無公共收斂域不存在
與收斂域如圖

59
逆逆逆逆Z變換變換變換變換
已知序列的Z變換及其收斂域, 求原序列.
方法:
• 部分分式展開
• 圍線積分法
• 冪級數法

60
1. 部分部分部分部分分式分式分式分式展開展開展開展開
將Z變換的有理分式分解為簡單的部分分式之和.
查表得到各部分分式所對應的序列.
求和, 獲得原序列.
0
1
0
1
0
0
( )
( )
( )
,
( ) ( )
Res[ , 0], Res
:
,
[ , ]
N
m
m m
N
m
m m
m
m m
A z
X z A
z z
A AX z
z z z z
A A
X z X z
A A z
z
N
z
X z
=
=
= +
−
= +
−
= =
∑
∑
設有個一階極點
通過留數求取

61
Ex:用部分分式法求逆用部分分式法求逆用部分分式法求逆用部分分式法求逆Z變換變換變換變換
1
1 2
1
1 2 2
1 2
2
1 2
2 3
1 1
5
( ) , 2 3
1 6
:
5 5
( )
1 6 6
( ) 5
6 2 3
( ) 5
Res[ , 2] ( 2) | 1
( 2)( 3)
( ) 5
Res[ , 3] ( 3) | 1
( 2)( 3)
( ) 1 1 1 1
( )
2 3 1 2 1 3
z
z
z
X z z
z z
sol
z z
X z
z z z z
A AX z
z z z z z
X z
A z
z z z
X z
A z
z z z
X z
X z
z z z z z
−
− −
−
− −
=
=−
− −
= < <
+ −
= =
+ − + −
= = +
+ − − +
= = − =
− +
= − = + = −
− +
⇒ = − = −
− + − +
雙邊
:
:
3
( 3) ( 1)
( ) 2 ( ) ( 3)
2
2 (
:
, :
(
)
() : 1)
, n
n n
n
z
X z x n u n
u n
z
n
u n
u= +
<
− − −
>
− − −
序列
根據極點確定每個分式的收斂域
第一個分式的收斂域
第二個分式的收斂域
查表獲得每個分式的原序列
的原序列

62
2. 圍圍圍圍線積分線積分線積分線積分法法法法
11
( ) ( ) ( , )
2
( ) .
Cauchy's residue theorem :
n
x xc
x n X z z dz c R R
j
X zC
π
−
− += ∈∫
基於圍線積分的原序列求取公式
是收斂域中任意一條包含原點的逆時針旋轉的封閉曲線
計算圍線積分
Re[ ]z
Im[ ]z

63
1
1
1
1
1
( ) ( ) ( , )
2
( )
(
.
Cauchy's residue theo
) ( ) , ( )
1
( ) ( ) Res[ ( ), ]
2
Res[
rem
,
: ( )
:
,
n
x xc
n
M
n
k
c
k
k
k
x n X z z dz c R R
j
X z
F z X z z F z
x n X z z dz F z z
j
C
c M
F z
z
z
π
π
−
− +
−
−
=
= ∈
=
= =
∫
∑∫
是收斂域中任意一條包含原點的逆時針旋轉的封閉曲線
計算圍線積分
在圍線內的極點設有個極點用表示
為單階極點
令
若
1 2
1
1
1 2
1 2
1 1
, ] ( ) ( ) |
1
Res[ ( ), ] ( ) ( )
( 1)!
Res[ ( ), ] Res[
:
, .
( ) , ,
:
( ), ]
k
k
k k z z
N
N
k k kN z z
N N
k k
k k
z z z F z
d
z F z z z z F z
N dz
N N
F z z F z z
N
F z z N c c
F
=
−
− =
= =
= −
 = − −
= −∑ ∑
為階極點
多階極點留數的計算比較麻煩可以改求圍線以外的極點的留數之和
如在平面上有個極點圍線內有個圍線外有個
則
上式成立的條件
若
1
( ) 2.
( ) ( )
( )
( ) , ( ), ( )
( )
( 1)
1
,
2
.
n
F z X z z
Q z
X z P z Q z
P z
z
N M
N M n
n N M
−
=
=
− − − ≥
≤ − −
≥ +分母的階次分子的階次
設的階次分別為設

64
1 1
1
1
1
1
,
( ) (1 ) , ( )
1
( ) ( ) ( , )
2
( ) ( ) , :
(1 ) ( )
0:
(
( ) ( ) Res[ ( ), ] ( ) 0
0:
) (
,
)
)
(
n
x xc
n
n
n
n
n
n
z a
x n a u
X z az z a x n
x n X z z dz c R R
j
z z
F z X z z ROC z a
az z a
z
n F z x n F z a z a a n
z a
n
Z
a
F
z
z
n
c
π
− −
−
− +
−
−
−
=
= − >
= ∈
= = = >
− −
≥ = = − = ≥
−
<
=
=
∫
已知求其逆變換
的極點為被圍線包圍所以
的 0,
, 1,
:
( ) 1
( ) 0, 0
( ) ( )n
X z n N
x n n
x n a u n
z a n z c
N M M≤ −
=
−=
=
=
=
<
=
極點為和階極點被圍線包圍
的分子分母的階次相等滿足留數輔助定理的條件
圍線外無極點, 用圍線外的留數代替圍線內的留數
原序列為
Ex:

65
2
1
1
1
2 2
1
1 1
1
1
( ) , 1 ( )
(1 )(1 )
,
1
( ) ( ) ( , )
2
1 (1 )
( )
(1 )(1 ) ( )( )
0: ( ) , , ,
( )
n
x x
c
n
n
a
X z a z a a Z x n
az az
x n X z z dz c R R
j
a a z
F z z
az az a z a z a
n F z z a z a z a c
x n
π
−
−
−
− +
−
− −
−
−
= < < <
− −
= ∈
− −
= = −
− − − −
≥ = = =
=
∫
已知，求其逆變換
收斂域為環狀域原序列是雙邊序列
的極點為只有極點被圍線包圍所以
1
2
1
1
1
2
1 1
1
(1 )
Res[ ( ), ] ( )
( )( )
0: ( ) 0, , , 0
, 0, ,
(1 )
( ) Res[ ( ), ] ( )
( )( )
0
( )
0
n
n
z a
n
n
z a
n
n
n
a z
F z a z a a
a z a z a
n F z z a a n z
c z a c z a
a z
x n F z a z a a
a z a z a
a n
x n a
a n
−
−
=
−
−
− − −
−
=
−
− −
= − =
− −
< = =
= =
− −
= − = − − =
− −
 ≥
⇒ = =
<
的極點為階極點
圍線內有極點圍線外有極點
Ex:

66
2
1
1
1
2 2
1
1 1
1
1
1
( ) , 1 ( )
(1 )(1 )
1
( ) ( ) ( , )
2
1 (1 )
( )
(1 )(1 ) ( )( )
, 0 ( )
0: ( ) , , ,
n
x xc
n
n
a
X z a z a Z x n
az az
x n X z z dz c R R
j
a a z
F z z
az az a z a z a
a z n x n
n F z z a z a z a c
π
−
−
−
− +
−
− −
−
−
−
= < <
− −
= ∈
− −
= = −
− − − −
< <
≥ = = =
∫
原序列是因果右序列不用求的
的極點為只有極點被圍線包圍
1
2 2
1 1
1 1
(1 ) (1 )
( ) Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ).
n n
n n
z a z a
n n
a z a z
x n F z a F z a z a z a a a
a z a z a a z a z a
x n a a u n
−
− − −
− −
= =
−
− − − −
= + = − + − = −
− − − −
= −
所以

67
2
1
1
2 2
1
1 1
1
( ) , 1 ( )
(1 )(1 )
1
( ) ( ) ( , )
2
1 (1 )
( )
(1 )(1 ) ( )( )
, 0 ( )
0: ( ) 0,
( ) Res[ ( ), ] Res[
n
x xc
n
n
a
X z z a a Z x n
az az
x n X z z dz c R R
j
a a z
F z z
az az a z a z a
z a n x n
n F z n z
x n F z a
π
−
−
− +
−
− −
−
= < <
− −
= ∈
− −
= = −
− − − −
< ≥
< =
= − −
∫
原序列是左序列不用求的
的階極點為所以
1
2 2
1 1
1 1
(1 ) (1 )
( ), ] ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( 1).
n n
n n
z a z a
n n
a z a z
F z a z a z a a a
a z a z a a z a z a
x n a a u n
−
− − −
− −
= =
−
− − − −
= − − − = −
− − − −
= − − −

68
3. 冪級數冪級數冪級數冪級數法法法法
1 1
0 1 1
1 1
0 1 1
:
, , :
( ) ( )
( )
( )
( )
n
n
M M
M M
N N
N N
X z x n z
p p z p z p zP z
X z
D z d d z d z p z
z
Z z
∞
−
=−∞
− − + −
−
− − + −
−
=
+ + + +
= =
+ + + +
∑
⋯
⋯
從定義出發
原序列是的冪級數的係數
變換的兩個多項式之比通過長除可以得到的負冪級數

69
( )
1
2
1 2 3
2 1
2
1 2
1 3
2 3
1
1
13 ,
1 21
4
1 1 1
1
3 4 12
1 1
1 1
4 3
1
1
4
______________________
1 1
3 4
1 1
3 12
______________________
1 1
4 12
1 1 1
( ) 1, , , ,
3 4 12
z
X z z
z
z z z
z z
z
z z
z z
z z
x n
−
−
− − −
− −
−
− −
− −
− −
−
= >
−
− + − +
− −
−
− +
− +
+ −
 
= − − 
 
⋯
⋯
Ex:

70
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 線性線性線性線性
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
max[ , ] min[ , ]
( )
w x y w x y
x x
y y
w w
x n X z R z R
y n Y z R z R
w n ax n
R R R R
by n
W z aX z bY z
R z R
R R
− +
− +
−
− − − + + +
+
⇔ < <
⇔ < <
= +
=
= =
+
< <

71
+ =
]Im[zj
]Re[z
]Im[zj
]Re[z
]Im[zj
]Re[z
1 2
1 1
1 1
Ex : ( ) ( ) ( ) ,1
1 1
n
ROC ROC ROC
x n u n a u n z a
z az− −
⊃ ∩
= − ⇔ + < <
− −

72
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
1 1
( ) cos( ) ( ) ( )
( ) cos( ) ( ) [ ] ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1
( ) ,
2 1 2 1
1 1 1 1
( ) ,
2 1 2 1
1 1
( ) ( ) ( ) (
2 1
n
n
j n j nn
n
j n n
j
j
j
j
x n r n u n Z x n
r
x n r n u n e e u n
r
v n e u n u n
V z re z
z re z
V z re z
z re z
X z V z V z
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
α
α
α
−
− −
∗ ∗
−∗ − −
∗ ∗
=
= = +
= =
= = < ≤ ∞
− −
= = < ≤ ∞
− −
= + =
−
求逆變換
0 0
1
0
1 1 1 2 2
0
1 cos1
) ,
1 1 2 cosj j
r z
z r
re z re z r z r zω ω
ω
ω
−
−− − −
−
+ = >
− − +
Ex:

73
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 序列移位序列移位序列移位序列移位
0
0 0( ) ( ), 0n
x n n z X z n−
− ⇔ ≥

74
0
0
1
0 0
0 0
1
1
( ) , : , ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)
( ) ( ), 0
(
:
( ) 1, ( ) , (
) ( ) ( )
1
( ) ( )
1
) : max 1[ , ]
n
x
m
n n
m m
n
x
x n ROC z R y n x m Z
x n x m x m y n y n
x n n z X z n
X z Y z z Y z
Y z
Y z z y n Y
X z
z
z Rz
=
−
= =
−
−
−
> =
= − = − −
− ⇔ ≥
=
=
−
=
−
>
∑
∑ ∑∵
是因果序
序列移位
因有極點且為因果序列的收斂
列求變換即其收斂域
又域為
Ex:

75
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 時間反轉時間反轉時間反轉時間反轉
1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
x n X z R z R
x n X z R z R
− +
− − −
+ −
⇔ < <
− ⇔ < <

76
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 乘以指數序列乘以指數序列乘以指數序列乘以指數序列
1
( ) ( )
( ) ( )
x x
n
x x
x n X z R z R
a x n X a z a R z a R
− +
−
− +
⇔ < <
⇔ < <

77
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 微分微分微分微分
( ) ( )
( )
( )
x xx n X z R z R
dX z
nx n z ROC
dz
− +⇔ < <
⇔ − 不變

78
( )
0
1
1
1
1
0 0
1
1
1
1
( ) lg(1 ), ,
,
( )
1
( )
( )
[ ] ( ) ( )
1
: ( ) ( ), 0
[ ] ( 1) ( )
1
( 1)
( ) ( 1)
n
n
n
n n
X z az z a
dX z az
z z a
dz az
dX z
nx n z
dz
a
IZT a a u n
az
x n n z X z n
az
IZT a a u n nx n
az
a
x n u n
n
−
−
−
−
−
−
−
−
−
= + >
− = >
+
⇔ −
= −
+
− ⇔ ≥
= − − =
+
−
= −
求其反變換
利用微分性質將非有理函數轉換成有理函數運算式
序列移位性質
Ex:

79
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 共軛共軛共軛共軛
( ) ( )
( ) ( )
x xx n X z R z R
x n X z ROC
− +
∗ ∗ ∗
⇔ < <
⇔ 不變

80
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 時時時時域卷積定理域卷積定理域卷積定理域卷積定理
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
max[ , ], min[ , ]
x x
y y
w w
w x y w x y
x n X z R z R
y n Y z R z R
w n x n y n
W z X z Y z
R z R
R R R R R R
− +
− +
− +
− − − + + +
⇔ < <
⇔ < <
= ∗
=
< <
= =

81
Ex:
1
1
1 1
1
1
( ) ( ), 1, ( ) ( ), ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( )] ,
1
1
( ) [ ( )] , 1
1
1
( ) , 1
(1 )
, (
(1 )
( ) ( )
( )(
)
n
n
n
n
h n a u n a x n u n y n
y n h n x n
Y z H z X z
H z ZT a u n z a
az
X z ZT u n z
z
Y z z
az z
z
F z Y z z
z a
y n
z
−
−
− −
+
−
= < =
= ∗
=
= = >
−
= = >
−
= >
− −
= =
−
令系統的單位脈衝響應
利用圍
輸入序列求系統的輸出序
線積分求輸
列
出序列
1
1
1 1
1 1
1)
( ) Res[ ( ), ] Res[ ( ), 1] ( ) ( 1)
( )( 1) ( )( 1
1
(
)
, 0, 2
) ( )
1 1
1 1
1
1
1
,
n n
z a z
n n
n
z z
y n F z a F z z a z
z
a
y n
a z z a z
a a
a a a
n a
u n
z
a
+ +
=
+
+
=
+
≥
−
= + = − + −
− − − −
−
= + =
− − −
−
=⇒
−
=輸出序列均為因果序列圍線包圍個極入點輸

82
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 複複複複卷卷卷卷積定理積定理積定理積定理
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
max[ , / ] min[ , / ]
x x
y y
c
x y x y
x y x y
x n X z R z R
y n Y z R z R
w n x n y n
z dv
W z X v Y
j v v
R R z R R
R z R v R z R
π
− +
− +
− − + +
− + + −
⇔ < <
⇔ < <
=
=
< <
< <
∫

83
1
2
1
1
1
1
1
2
1
( ) [ ( )] , 1
1
1
( ) [ ( )] , ,
(1 )(1 )
( ) ( ) ( ), ( ) [ ( )]
(1) :
1
( ) [ ] ( )
1
( )
( ) ( ) ( )
1
( )
1
1
( ) 1
1
1
( )
(1
n
n n
Y z ZT y n z
z
a
X z ZT x n a z a
az az
w n x n y n W z ZT w n
sol
y n IZT u n
z
x n a
w n a u n a u n
W z z a
az
Y z z
z
a
X z
a
−
−
−
−
−
−
= = >
−
−
= = < <
− −
= =
= =
−
=
= =
∴ = >
−
= >
−
−
=
−
設
求及其收斂域
1
1
)(1 )
a z a
z az
−
−
< <
−
Ex:

84
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 初值定理初值定理初值定理初值定理
( ) , ( ) [ ( )]
lim ( ) (0).
z
x n X z Z x n
X z x
→∞
=
=
若是因果序列已知
則
Z變換變換變換變換的的的的性質性質性質性質: 終值定理終值定理終值定理終值定理
1
( ) , ( )
lim ( )
,
lim( 1) ( )
n z
x n z
x n z X
X
z
→∞ →
= −
在單位圓上只能有一個一階極點其它極點若是因果序列
則
均在單位圓內

85

86
補充補充補充補充:序列序列序列序列的的的的Z變換與連續時間信號的變換與連續時間信號的變換與連續時間信號的變換與連續時間信號的
Laplace變換變換變換變換、、、、Fourier變換的關係變換的關係變換的關係變換的關係
( ) ( )x n X z→序列的序列的序列的序列的z變換變換變換變換：：：：
( ) ( )a ax t X s→連續時間信號的連續時間信號的連續時間信號的連續時間信號的Laplace變換變換變換變換：：：：
( ) ( )a ax t X j→ Ω連續時間信號的連續時間信號的連續時間信號的連續時間信號的Fourier變換變換變換變換：：：：

87
序列序列序列序列的的的的Z變換變換變換變換&理想抽樣信號的理想抽樣信號的理想抽樣信號的理想抽樣信號的Laplace變換變換變換變換
:
Lapla
ˆ ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
: ( ) ( )
( ) (
ce :
):
L
a a
n
st st st snT
a a a a a
n n n
a
n
a
n
x t x nT t nT
X s x t e dt x nT t nT e dt x nT e t nT dt x nT e
x n x nT
Z X z x nT z
δ
δ δ
∞
=−∞
∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞
− − − −
−∞ −∞ −∞
=−∞ =−∞ =−∞
∞
−
=−∞
= −
= = − = − =
=
=
∑
∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫
∑
抽樣序
理想抽樣信號
其變換
其變換
比較理想抽樣信號的
列
ˆ ( ) ( )
ˆ, ( ) ( )
aplace
Laplace
ˆ( ) ( ) ( )
( ):
: )(
sT
snT
a a
n
sT
a
sT
az e
j
X
Z
s Z
s
s x nT e
z e X z X s
X z X e X s
s j
reZ z ω
σ
∞
−
=−∞
=
=
=
= =
= = ⇒
= + Ω
=
∑
變換:
抽樣序列的變換理想抽樣信號的變換:
是複平面平面到平面的映射
平面
當時
直角坐
平面極座標
標
( )sT j T T j T
j
T
e e e e
z re
r e T
σ σ
ω
σ
ω
+ Ω Ω
= =
=
∴ = = Ω

88
單位圓外部r > 1右半平面σ > 0
單位圓內部r < 1左半平面σ < 0
單位圓r = 1虛軸σ = 0
Z平面S平面
T
r eσ
=

89
s平面到Z平面的
映射是多值映射
ω = 0 正實軸零頻
ω = Ω0T 輻射線角度
ω:
ω:
Ω = 0 實軸零頻
Ω = Ω0 平行直線頻率
Ω
Ω:
Z平面S平面
/ 2s= ±Ω π= ±複實軸
π π− →/ /
2 2
s s
T Tπ π
Ω Ω
− → − →
2 2
2 / s
T
T
ω π π
π
Ω Ω
= Ω = =
Ω

90
ˆ, ( ) ( )
1ˆ ( ) ( ),
1 1 2
( ) ( )
1ˆ( ) ( ) ( ( ))
( Fouri r) e ( )
,
sT
j
j
sT
a
a a s
k
a s az e
k k
a sz e s j
k
z e
z e X z X s
X s X s jk
T
X z X s jk X s j k
T T T
X z X s X j k
T
X z
ω
ω
π
∞
=−∞
∞ ∞
=
=−∞ =−∞
∞
= = Ω
=−∞
=
= =
= − Ω
 
= − Ω = − 
 
= = Ω − Ω
∑
∑ ∑
∑
當時
而
表示序列的變換即頻譜函數
由上式可見採樣序列的頻譜就是原連續信號頻譜
所以
的週期延拓
2
2, .s sF
T
π
πΩ = =延拓週期為

91
系統的傳輸函數和系統函數系統的傳輸函數和系統函數系統的傳輸函數和系統函數系統的傳輸函數和系統函數
0
0 0 0( )
( ) ( )
( ) [ ( )]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
,
( ) :
( ) 0
( ) ( ) (
(1) :
)
FT
j
m
j j n
n
j n
j n m j n j m
m
H e
h n T n
y n h n x n x m h n m
H e h n e
x n
x n e n
y n h m e e h m e
h n ω
ω ω
ω
ω ω ω
δ
∞
=−∞
∞
−
=−∞
∞
− −
=−∞
↔
=
= ∗ = −
=
= ≥
= =
∑
∑
∑
系統的時域描述單位脈衝響應
系統的傳輸函數也稱頻率響應函數
系統的傳
是
輸函數的意義
設輸入單一頻率複指數序列
0
00 0 0
0
0
arg ( )
0
( ) ( )
( )
arg ( )
:
:
j
m
j n H ej n j j
j
j
e H e H e e
H e
H e
ω
ωω ω ω
ω
ω
ω
∞
=−∞
 +
 
= =
∑
輸出同頻序列
幅頻特性
幅頻特性
相位為輸入相位與系統相位響應之和
(2) :
( ) ( ) ( )
( )
.
j j j
j
Y e H e X e
H e
ω ω ω
ω
=
∴
系統的傳輸函數的意義
輸出信號的頻譜取決於輸入信號的頻譜特性和系統的傳輸函數
稱為系統的頻率響應函數
設計不同的頻率響應函數
可以實現對信號的放大、濾波、相位均衡等功能

92
( ) ( ) 1, Fourier
( )
( )
(
(:
.
) ( )
)
j
n
n
j
z e
h n Z
H
H z ROC z H e
z h n z
H z
Z
ω
ω
=
∞
−
=−∞
= =
= ∑
如果的收斂域包含單位圓則序列的變換存在
系統的傳輸函數是系統單位脈衝響應在單位圓上的
系統函數定義
表徵系統的複頻域特性
有時亦將系統函數稱為
將
傳
變
變換
換
行
輸函數
進

93
根據系統函數極點的分佈分析系統根據系統函數極點的分佈分析系統根據系統函數極點的分佈分析系統根據系統函數極點的分佈分析系統的因果的因果的因果的因果性和穩定性性和穩定性性和穩定性性和穩定性
0 1
0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ), ( )
( )
(1 )
( )
(
:
1
:
)
,
.
M N
i i
i i
M
i
iM N M N
i i i
i i i i N
ii i i i
i
i
M
r
r
N
r
r
y n b x n i a y n i
b z
Y z
b x n i a y n i b z X z a z Y z H z
X z
a z
c z
H z A
N
Z
d z
A
c
= =
−
− − =
−= = = =
=
−
=
−
=
= − − −
− = − ⇒ = = =
−
=
−
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑
∏
∏
系統用階差分方程表示
變換得系統函數
因式分解
影響輸出信號的幅度
( ) (, .)
, .
.
r rH z d H z是的零點是的極點
零極點分佈將影響系統的頻率特性
極點分佈影響系統的因果性和穩定性

94
:
1. .
2. ,
, ,
( ) ,
:
( ) ( )
(
.
:
( ) )
,
:
:
x
x
n
x
n
R z
R
h n
Z
R z
h
h n Z
Z
h n
Z
h n Z n
−
−
∞
=−∞
∞
=−∞
−
⇒
< ≤ ∞
<
≤ ∞
∞
< ∞
∑
因果性
因果序
指系統可實現性如果系統可實現他的單位脈衝響應一定是因果序列
單位脈衝響應是因果序列其變換的收斂域為
因果序列變換的極點在以為半徑的圓內
結論
穩定時域條件序列絕對可和即
變換的
列變換的極點均集中在某個
收斂域
圓
的
內
收斂域為包含
穩定性
變換
1
1. : .
2
:
(
:
.
. .
) n
n z
h n z
∞
−
=−∞ =
= < ∞∑ ∑
系統穩定系統函數的收斂域包含單位
因果穩定系統系
圓
系統函數的極點不
統函數的極點必須在
在單位
論
圓上
單位圓內
結

95
Re[ ]z
Im[ ]j z
0 1
4
0.2
j
e
π
4
0.2
j
e
π
−
0.4 1.5
6
2
j
e
π
6
2
j
e
π
−
: 2
: 0.4 1.5z
z
< <
>
穩定系统
因果系统

96
2
1
1
1
1
1
( ) 1,
(1 )(1 )
,
1.
,
,
( )
2.
,
,
( )
3.
,
n n
n
a
H z a
az az
z a a
a z
h n a a
a z a
h n a
z a
−
−
−
−
−
−
= <
− −
=
< ≤ ∞
∞
= −
< <
∞
=
<
∞
已知分析系統的因果性和穩定性
系統的極點為
收斂域取
收斂域包含是因果系統
收斂域不包含單位圓系統不穩定
單位脈衝響應為
收斂域取
收斂域不包含不是因果系統
收斂域包含單位圓系統穩定
收斂域取
收斂域不包含不是因果系統
收斂 ,
( ) ( ) ( 1)n n
h n a a u n−
= − − −
域不包含單位圓系統不穩定
Ex:

97
用用用用Z變換求解系統的輸出響應變換求解系統的輸出響應變換求解系統的輸出響應變換求解系統的輸出響應
求解系統的輸出響應的方法:
• 遞推法: 已知差分方程、初始條件, 遞推求解差分方程
• 卷積
• Z變換
• Matlab

98
1. 零零零零狀態響應與零輸入響應狀態響應與零輸入響應狀態響應與零輸入響應狀態響應與零輸入響應
0 1
( )
0 0
: ( ) ( ) ( )
( ) , 0, ( ) 0. . . ( 1), ( 2)... ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ( )
:
) (
M N
i i
i i
n n l m m l
n m l
n n l m l
N y n b x n i a y n i
x n n x n I C y y y N
ZT y n m u n y n m u n z y n m z y l z z y l z
Z
y
Z
= =
∞ ∞ ∞ ∞
− − − + − −
− =
=−∞ = =− =
= − − −
< = − − −
− = − = − = = +
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
移位序列的變換要
系統階差分方程為
輸入因
換
果序列
用單邊變
1
( )
1
1
2 1
3 2 1
)
( ) ( )
ex:
[ ( 1)] ( ) ( 1)
[ ( 2)] ( ) ( 1) ( 2)
[ ( 3)] ( ) ( 1) ( 2) ( 3)
l m
l m
m m l
l m
l z
z Y z z y l z
ZT y n z Y z y
ZT y n z Y z z y y
ZT y n z Y z z y z y y
−
− +
=−
−
− − −
=−
−
− −
− − −
= +
− = + −
− = + − + −
− = + − + − + −
∑
∑

99
0 1
0 0
1
1
0 0
0
: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
M N
i i
i i
M N
i i
i i
m l m
l m
M N
i i l
i i
i i l i
M
i i l
i i
i l
N y n b x n i a y n i
b x n i a y n i
ZT x n m u n z X z x l z z X z
b z X z a z Y z y l z
b z X z l
Z
a z y z
= =
= =
−
− − −
=−
−
− − −
= = =−
− − −
= =−
= − − −
− = −
− = + =
 
= + 
 
−
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
∑
系統階差分方程
變
為
換
1
0 0
1
0 0
0 0
( )
( ) ( )
( )
N N
i
i
i i i
M N
i i l
i i
i i l i
N N
i i
i i
i i
a z Y z
b z X z a z y l z
Y z
a z a z
−
−
= =
−
− − −
= = =−
− −
= =
=
= −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
第一項與系統參數和輸入信號有關, 與初始狀態無關→系統的零狀態響應
第二項與系統和初始狀態有關, 與輸入信號無關→系統的零輸入響應
系統的響應:
• 全響應 = 系統的零輸入響應 + 系統的零狀態響應.

100
Ex:
1
1
1 1 1
( ) ( 1) ( ), 1
( ) ( ), 1, ( 1) 2,
1
( ) [ ( )] ,
1
( ) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( )
( )
1 1 1
:
:
n
n
y n by n x n b
x n a u n a y
X z ZT a u n z a
az
Y z bz Y z by X z
by X z by X z
Y z
so
b b
Z
z bz z
l
−
−
− − −
= − + <
= ≤ − =
= = >
−
= + − +
− + −
= = +
− − −
已知系統的差分方程為
輸入信號為初始條件為求系統的輸出
對輸入信號和差分方程進行變換
代入初始條件及
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 1
( )
1 (1 )(1 )
2 1
( ) [ ]
1 (1 ) (1 )
max{ , }
1
( ) 2 ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
:
:
n n n
n n n
b
Y z
bz bz az
b a b
Y z
bz a b az bz
z a b
y n b b u n a a b b u n
a b
y n b u n a b u n
a b
− − −
− − −
+ + +
= +
− − −
= + −
− − − −
>
= ⋅ + ⋅ + ⋅
−
= + +
−
輸入
收斂域取
系統輸出
零輸入解 + 零狀態解

101
clear all;close all
b=0.8; %input('b= '); %輸入差分方程係數b
a=0.8; %input('a= '); %輸信號x(n)的參數a
B=1;A=[1,-b]; %H(z)的分子、分母多項式係數B、A
n=0:31;xn=a.^n; %計算產生輸入信號x(n)的32個樣值
ys=2; %初始條件y(-1)=2
xi0=filtic(B,A,ys) %由初始條件計算等效初始條件的輸入序列xi
yn=filter(B,A,xn,xi0); %調用filter解差分方程,求系統輸出信號y(n)
subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.');title('(a) b=0.8,a=0.8,y(-1)=2')
xlabel('n');ylabel('y(n)');axis([0,32,0,max(yn)+0.5])
%=======================================================================
b=0.8; %輸入差分方程係數b
a=1; %輸信號x(n)的參數a
n=0:31;xnb=a.^n; %計算產生輸入信號x(n)的32個樣值
ys=2; %初始條件y(-1)=2
ynb=filter(B,A,xnb,xi1); %調用filter解差分方程,求系統輸出信號y(n)
subplot(3,2,2);stem(n,ynb,'.');title('(b) b=-0.8,a=1,y(-1)=2')
xlabel('n');ylabel('y(n)');axis([0,32,0,max(ynb)+0.5])
%=======================================================================
b=0.8; %輸入差分方程係數b
n=0:31;xnc=a.^n; %計算產生輸入信號x(n)的32個樣值
ys=0; %初始條件y(-1)=2
yn=filter(B,A,xnc,xi3); %調用filter解差分方程,求系統輸出信號y(n)
subplot(3,2,5);stem(n,yn,'.');title('(c) b=0.8,a=1,y(-1)=0')
0 0
0
0
( ) ( )
( )
( )
:
( )
M N
i i
i i
M
i
i
i
N
i
i
i
b x n i a y n i
b z
Y z
H z
X z
a z
N
= =
−
=
−
=
− = −
= =
∑ ∑
∑
∑
系統用階差分方程表示
b=-0.8; %輸入差分方程係數b
n=0:31;xnd=a.^n; %計算產生輸入信號x(n)的32個樣值
ys=0; %初始條件y(-1)=2
yn=filter(B,A,xnd,xi4); %調用filter解差分方程,求系統輸出信號y(n)
subplot(3,2,6);stem(n,yn,'.');title('(d) b=-0.8,a=1,y(-1)=0')
a
b
c
d

102
0 10 20 30
0
1
2
3
(a) b=-0.8,a=0.8,y(-1)=2
n
y(n)
0 10 20 30
0
2
4
(b) b=-0.8,a=1,y(-1)=2
n
y(n)
0 10 20 30
0
2
4
(c) b=0.8,a=1,y(-1)=0
n
y(n)
0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
(d) b=-0.8,a=1,y(-1)=0
n
y(n)

103
2. 穩穩穩穩態響應和暫態響應態響應和暫態響應態響應和暫態響應態響應和暫態響應
1
0 0
0 0
:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )]
( )
( ) lim ( )
:
:
,
M N
i i l
i i
i i l i
N N
i i
i i
i i
ss
ss
n
b z X z a z y l z
Y z
a z a z
Y z
y n y n
H z X z
y n IZT Y z
y n
→∞
−
− − −
= = =−
− −
= =
= −
=
=
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑
系統的零狀態響應
系統的時域零狀態響應
系統的穩態響應
如果系統不穩定
設系統處於零狀態與初始
將會無限制的增長
狀態無關或者只
和輸入信號
考慮下式第一項
無關.
如果系 ( )ssy n統穩定將取決於輸入信號和系統的頻率特性.

104
1
1
1
1
1
, (
( ) ( )
( ) [ ( )]
1
( ) ( ) ( ) ( )
1
: ( ) [ ( ) ]
1
( 1) ( ) (1)
1
( ) [ ( )
) , 0
]
1
z
x n Au n
A
X z ZT x n
z
A
Y z H z X z H z
z
r
Y z H z
z
Az
r z H z AH
z
r
Y z H z
z
H z n
−
−
−
=
−
=
= =
−
= =
−
= +
−
= − =
−
=
→ ∞
+
−
將上式展成
如系統穩定的極點在單位圓內第二部分
部分分式
所對應的
法的極點構成的部分分式之和
的極點
序列收斂這部分序列趨
構成的
近於
部分分式之和
穩態響應
1
( ) [ (
: ( ) lim[ ( )] lim (1)1 ( ) (1)
.
, ( )
)
.
1
,
]
n
ss
n n
r
Y z H z
y n y n
H
AH u n AH
z
z
n
→∞ →∞
−
=

→ ∞
+
= = 
−
=
穩態響應與系統的輸入信號和頻率特性有關
如系統不穩定的部分或全部極點在單位圓外第二部分所對應的序列發散這部分序列趨於無限大
系統
的
的
極點構成的部
輸出與輸入信
分分式之和
號無關
為
Ex:

105
Ex: 1 2
1 1
1 2
1 1 1
1 1 1
2
( ) ( ), ( )
(1 2 )(1 0.5 )
2 1
( ) ( ) ( )
(1 2 )(1 0.5 ) 1
2 / 3 6 / 5 18 /1
:
:
:
: 1, 2, 0.5,
5
( )
1 1 2 1 0.
2
5
z z
x n u n H z
z z
z z
Y z H z X z
z z z
Y z
z z
s
z
ol
z z
− −
− −
− −
− − −
− − −
−
= =
− +
−
= =
− + −
− −
= +
= − >
+
− − +
已知系統的輸入信號系統函數為求系統的輸出響應
系統的零狀態響應為
展開為部分分式
極點為取收斂域
輸
2 6 8
( ) 1 2 ( 0.5) 0
3 5 15
: n n n
y n n
 
= − + − − ≥  
出響應為
輸入信號輸入信號輸入信號輸入信號系統的系統的系統的系統的
不穩定極點不穩定極點不穩定極點不穩定極點
系統的系統的系統的系統的
穩定極點穩定極點穩定極點穩定極點

106
1 2
1 1
1 2
1 1 1
1 1 1
2
( ) ( ), ( )
(1 2 )(1 0.5 )
2 1
( ) ( ) ( )
(1 2 )(1 0.5 ) 1
2 / 3 6 / 5 18 /1
:
:
:
: 1, 2, 0.5,
5
( )
1 1 2 1 0.
2
5
z z
x n u n H z
z z
z z
Y z H z X z
z z z
Y z
z z
s
z
ol
z z
− −
− −
− −
− − −
− − −
−
= =
− +
−
= =
− + −
− −
= +
= − >
+
− − +
已知系統的輸入信號系統函數為求系統的輸出響應
系統的零狀態響應為
展開為部分分式
極點為取收斂域
輸
1 2
1 1 1
1 1 1 1 1
1
:
: 1, 0.8, 0.5
,
2 6 8
( ) 1 2 ( 0.5) 0
3 5 15
2
( )
(1 )(1 0.5 )
10 / 3 13/ 30 40 / 39
( ) ( ) ( )
1 1 0.8 1 0.5
10 30 40
( ) 1 (0.
0.8
8)
3 3
:
1
1
n n n
n n
y n n
z z
H z
z z
Y z H z X z
z z z
y n
z
z
− −
− −
− − −
 
= − + − − ≥
= −
>
 
−
=
− +
− −
= = + +
− − +
= − −
出響應為
極點變為
系統穩定取收斂
假如
域
輸出響應為
1 11 1
( 0.5)
39
10 10
( ) lim ( ) (:
3
)1
3
n
n
ss
n z
n y n Hy z =→∞
−
= = ==穩態響應

107
穩態輸出的結論穩態輸出的結論穩態輸出的結論穩態輸出的結論
1
2
1 2
1
2
1 2
: ,
:
( )
( ) lim[ ( )] ( )
:
( ) , ( )
1
1
( ) ( )
1
( )
( )
1
( ) ( 1) ( 2)
, ,
, (:
ss zn
ss z
u n
y n y n H z
Ex
z
H z u n
z z
y n H z
u n
z
H z
z z
y n y n y n x
α β
α β
α β
α β
=→∞
−
− −
=
−
− −
= =
=
+ +
= =
+ +
=
+ +
+ − + − =
條件系統穩定輸入為單位階躍序列
系統的穩態輸出為
條件已知差分方程系統穩定求系統對於
該系統穩定其差分方程如下
輸入為
的穩態輸出
2)
( ), : ( ) ( 1) ( 2) ( ), ( 2) 1
( )(1 ) 1
1
( )
1
ss
ss
ss
n
u n n y n y n y n y n x n
y n
y n
α β
α β
−
→ ∞ ≈ − ≈ − = − =
+ + =
=
+ +
輸入為當

108
0 0
0
0
0
1
1
( ), ( )
( ) ( ) , ( ) arg[ ( )]
( ) cos( ) ( ) ( )
:
1
( ) ( ) ( )
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
,
:
1
j
j j
ss
j n j n
j
j
H e H z
A H e H e
x n n u n y n
sol
e x n e u n X z
e z
Y z H z
Z
X z H z
e z
ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω θ ω
ω
−
−
= =
=
= =
−
= =
−
因果穩定系統的傳輸函數和系統函數分別為
幅頻特性表示為相頻特性表示為
輸入為求
先求複正弦序列的穩態輸出令其變換為
系統的零狀態輸出為
部分
0
0 0
0
0
0
0 0 0 0 0
0
1
( )
0
[ ( )]
01
( ) [ ( ) ]
1
1
( ) ( ) ( )
( )
, ( )
( ) lim ( ) [ ] ( ) ( )
:
,
1
,
j
j
j j
j
z e
j
j n j j n j n
ss jn
r
Y z H z
e z
z
r z e H z H e
z z e
A e
r
y n y n IZT re H e e A e
e z
n H z
ω
ω
ω ω
ω
θ ω
ω ω ω ω θ ω
ω
ω
ω
−
=
+
−→∞
= +
−
= − =
−
=
→ ∞
= = = = =
−
分式展開
系統穩定系統函數的極點在單位圓內當極點引起的序列趨於
極點形成的部
零
分分式
對於
0
0
0 0 0
0 0 0
( ) Re[ ( )] ( )cos[ ( )]
( ) Im[ ( )] ( )sin[ (
:
.
:
)]:
j n
css ss
sss ss
e
y n y n A n
y n y n A n
ω
ω
ω ω θ ω
ω ω θ ω
= = +
= = +
因果穩定系統
輸入複指數序列穩態響應為同頻率的複指數序列
輸出的幅度與相位取決於的傳輸函數
餘弦序列是複指數序列的實部
因果穩定系統對於余弦序列的穩態輸出為
因果穩定系統對於正弦序列的出為
的
穩態輸
處
Ex:

109
系統穩定性的測定及穩定時間的計算系統穩定性的測定及穩定時間的計算系統穩定性的測定及穩定時間的計算系統穩定性的測定及穩定時間的計算
: , 1%, .
,
( )
1% 0,1,...
max )
,
[ ( ]
y M
n
n
y
M T
n
M>
< =
穩定性的判定
穩定時間工程上系統的輸出中暫態響應的幅度減小到最大值的就認為系統進入穩態
當時上式成立則為穩定時間

110
0 0
0 0
0 0
1 2 2
1
1
1 1 1 1
1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 0 3
,
,
(1)
( ) [ ( ) ]
1
(1)
( )
1 1 1 1
( )
( ) sin( )
j j
j j
j n j nn n n
n n
e e
H
Y z H z
z
k a a H
Y z
z e z e z z
y n k a e a e
y n k k j n k
ω ω
ω ω
ω ω
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ω
−
−
∗
−− − − −
−∗
= +
−
= + + +
− − − −
= + + +
= + +
和一對複數極點
系統輸入是單位躍階序列系統輸出為
的極點構成的部分分式之和
設有一個實數
應
極點
穩態響
1 1 1 2 2 0 3
1 2
1 2
( ) sin( )
1, 1
:
:
max[ , ]
1/ ln
:
:
1%, : 4.5 / ln ( )
n n
y n k k j n k
x x
ρ ρ ω
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ
α ρ
+
= + +
< <
=
−
= −      
暫態響應
系統穩定
穩定時間估算公式
時間常數
達到暫態峰值的所需採樣間隔數
穩態響應
表示大於的最小整數向下取整

113
Matlab:
%判斷系統的穩定性和穩定時間
A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; %H(z)的分母多項式係數
B=[0,0,1,5,-50]; %H(z)的分子多項式係數
%用極點分佈判斷系統是否穩定
subplot(2,1,1);
zplane(B,A); %繪製H(z)的零極點圖
p=roots(A); %求H(z)的極點
pm=abs(p); %求H(z)的極點的模
if max(pm)<1 disp('系統因果穩定'),else,disp('系統不因果穩定'),end
%畫出系統的單位躍階響應波形判斷系統穩定性
un=ones(1,700);
sn=filter(B,A,un);
n=0:length(sn)-1;
subplot(2,1,2);plot(n,sn)
xlabel('n');ylabel('s(n)')
系統因果穩定

114
Thank you for your attention

115
• Taiwan is a country.
• Taiwan is Taiwan, NOT Chinese Taipei or ROC…
• Taiwan No. 1.
• Thank you.

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