Gsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
2 เอกสารประกอบการอบรม Thai GSP สสวท. ระดับมัธยมศึกษา (พื้นฐาน)
คําชี้แจง
การจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตรในชั้นเรียนปจจุบันใหสอดคลองกับแนวทาง
ปฏิรูปการศึกษาของประเทศที่ประสงคใหครูคณิตศาสตรทั่วประเทศใชเทคโนโลยีสารสนเทศ ชวยในการ
จัดการเรียนการสอนในชั้นเรียนนั้นเปนปญหาใหญของครูคณิตศาสตรที่มีความรูความสามารถสูงในการ
สอนคณิตศาสตร เชี่ยวชาญในเนื้อหา แตยังไมมีแนวคิดวาจะตองดําเนินการอยางไรกับเทคโนโลยีหรือกับ
คอมพิวเตอร ดวยธรรมชาติของวิชาที่แตกตางไปจากวิชาอื่น ๆ โดยเฉพาะอยางยิ่งวิชาคณิตศาสตรเปน
วิชาที่เนื้อหามีความเปนนามธรรมสูง ตัวอยางแนวทางการจัดการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตรที่ให
ความรูครูถึงบทบาทของตน บทบาทของนักเรียนในชั้นเรียน นอกชั้นเรียนในการใชเทคโนโลยี จึงมีความ
จําเปนสูงในชวงเริ่มตนของการเปลี่ยนแปลงวิธีการดังกลาว
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดตระหนักถึงปญหาดังกลาวของ
ครูคณิตศาสตรจึงไดจัดซื้อลิขสิทธิ์โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และแปลโปรแกรมดังกลาวเปน
ภาษาไทยเพื่อใหครูและนักเรียนสามารถใชโปรแกรมนี้ในการเรียนรู และการสอนไดงายและสะดวกขึ้น
นอกจากนี้ยังไดเปดการอบรมเชิงปฏิบัติการใหครูคณิตศาสตรสามารถใหโปรแกรมดังกลาวในการสงเสริม
การเรียนรูของนักเรียนไดคลองแคลวในเวลาอันรวดเร็ว เพื่อใหเห็นตัวอยางในการจัดกิจกรรมการเรียนการ
สอนคณิตศาสตรในหองเรียนใหสอดคลองกับการปฏิรูปการเรียนรู บทบาทของครูและนักเรียนในชั้นเรียน
เพื่อใหนักเรียนบรรลุมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตร
เอกสารเลมนี้เปนเอกสารประกอบการจัดอบรมเชิงปฏิบัติการ การใชโปรแกรม The Geometer’s
Sketchpad เพื่อพัฒนาคุณภาพการเรียนรูคณิตศาสตร ที่สสวท. จัดทําขึ้นเพื่อเปนแนวทางในการ
เผยแพรความรูดานการใชเทคโนโลยี ชวยในการเรียนการสอนคณิตศาสตรอยางมีประสิทธิภาพ
สถาบันขอถือโอกาสนี้ขอบคุณ นายดนัย ยังคง นางเพ็ญพรรณ ยังคง นางชมัยพร ตั้งตน
นายสมนึก บุญพาไสว นางกรองทอง ตรีอาภรณ นางแจมจันทร ศรีอรุณรัศมี นายถนิม ทิพยผอง
นายอลงกต ใหมดวง ที่ใชความพยายามอยางยิ่งในการจัดทําเอกสารเลมนี้ขึ้นเพื่อประโยชนแกเพื่อนครู
เพื่อเปนตัวอยาง และแนวทางลัดในการศึกษาวิธีใช โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ชวยในการ
จัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร
หวังวาเอกสารเลมนี้จะเปนประโยชนใหครูไดนําประสบการณที่ไดไปเปนแนวทางจัดกิจกรรมการ
เรียนการสอนคณิตศาสตรในรายวิชาอื่น ๆ ตอไป
(นางพรพรรณ ไวทยางกูร )
ผูชวยผูอํานวยการ
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com

หนา
1.คําชี้แจง 2
2. การใช GSP ในการสอนเรื่องการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิต 5
3. การสรางรูปเรขาคณิตอยางงายโดยใชเมนูสราง 11
- สรางมุมที่มีขนาด 90° , 45° , 60° 11
- สรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่มีความยาวของดานเทากับสวนของเสนตรงที่กําหนดให 16
- สรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 17
- สรางรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน 18
4. การสรางตารางแสดงความสัมพันธระหวางความกวาง ความยาว พื้นที่ เสนรอบรูป 19
ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
5. การสรางสวนโคงของวงกลม มุมที่จุดศูนยกลาง และมุมที่เสนรอบวง 20
6. การเคลื่อนไหวจุดและเสน 22
7. การแปลงทางเรขาคณิต 23
- การสะทอน 23
- การหมุน 23
- การเลื่อนขนาน 24
- เทสเซลเลชัน 31
- การยอ/ขยาย 32
8. การสรางรูปเรขาคณิตที่มีขนาดคงที่ 35
9. การสรางตัวเลื่อน (Slider) 36
10. การเคลื่อนที่รูปเรขาคณิต 38
11. การสรางเครื่องมือกําหนดเอง 39
- รูปสามเหลี่ยมดานเทาและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดคงที่ 41
12. การนําเครื่องมือกําหนดเองไปใช 42
- การสรางสื่อแสดงจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ 43
- การสรางสื่อแสดงความสัมพันธของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 44
ในทฤษฎีบทพีทาโกรัส
13. แผนภูมิรูปวงกลม 48
สารบัญ

หนา
14. การสรางสื่อการสอนเรื่อง ขนาดของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกับพื้นที่ที่มากที่สุด 46
15. การสรางสื่อแสดงภาพการเปดกระดาษ 51
16. การสรางสื่อแสดงภาพกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 52
17. การสอนเรื่อง กราฟของสมการเสนตรง 54
18. การเขียนกราฟของฟงกชันไซน 58
19. กราฟของฟงกชันอดิศัย 60
20. การสรางสื่อการสอนเรื่องฟงกชัน 61
21. การสรางสื่อการสอนเรื่องเวกเตอร 63
22. การสรางสื่อเรื่องลิมิตของฟงกชัน 68
23. การสรางสื่อสําหรับการศึกษาเรื่องลิมิตของฟงกชัน 70
24. การสรางเสนสัมผัสเสนโคง ณ จุดที่กําหนดให 72
25. การสรางกราฟของอนุพันธของฟงกชัน 74
26. การสรางกราฟของอสมการ 76
27. การสรางสื่อการสอนเรื่องเมทริกซ 80
28. ภาคผนวก 82
- ผูจัดทํา
- เอกสารอางอิง

การใช GSP ในการสอนเรื่องการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิต
การสรางรูปเรขาคณิตที่เปนพื้นฐานของการศึกษาเรขาคณิตนั้น สามารถทําไดดวยวงเวียน และ
สันตรง การใช GSP ในการชวยสอนการสรางพื้นฐานนี้ ครูสามารถตรวจสอบรองรอยการสรางของนักเรียน
ไดจากคําสั่ง แสดงสิ่งที่ซอนไวทั้งหมด ในเมนูแสดงผล
การสรางรูปเรขาคณิตตองอาศัยความรูเรื่องการสรางพื้นฐาน 6 แบบ คือ
1. การสรางสวนของเสนตรงที่ยาวเทากับความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนดให
2. การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให
3. การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให
4. การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให
5. การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให
6. การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให
การสรางสวนของเสนตรงที่ยาวเทากับความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนดให
ให AB เปนสวนของเสนตรงที่กําหนดให
1. กําหนดจุดอิสระใดๆ 1 จุด บริเวณที่วาง สมมติชื่อ จุด C
2. เลือกจุด C และสวนของเสนตรง AB ..>ที่เมนูสราง
เลือกคําสั่ง วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี
จะไดวงกลมที่มี C เปนจุดศูนยกลาง มีรัศมียาวเทากับสวนของเสนตรง AB
3. เลือกเสนวงกลม C ..>ที่เมนูสราง
เลือกสรางจุดบนเสนรอบวง สมมติชื่อจุด D
จากนั้นลากสวนของเสนตรงเชื่อมระหวางจุดศูนยกลางกับจุดอิสระD จะได สวนของเสนตรง CD
มีความยาวเทากับสวนของเสนตรง AB ตามตองการ
4. ซอนสวนที่ไมตองการโดยเลือกอ็อบเจกตนั้นๆ แลว เลือกที่เมนูแสดงผล —> ซอนอ็อบเจกต
สวนของเสนตรงที่กําหนด
A B
C D

การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให ทําไดโดยการหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่กําหนด
ให AB เปนสวนของเสนตรงที่กําหนดให
วิธีหาจุดกึ่งกลาง
1. สรางสวนของเสนตรง XY ใหยาวพอสมควร (เพื่อกําหนดเปนความยาวรัศมีของวงกลม)
2. สรางวงกลมโดย
..>เลือกจุด A และจุด B เปนจุดศูนยกลางของวงกลม เลือกสวนของเสนตรง XY เปนรัศมี
เลือกเมนูสราง และเลือกคําสั่ง วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี
จะไดวงกลม A และวงกลม B ตัดกัน
3. ที่เมนูสราง ..>สรางจุดตัดของวงกลมทั้ง 2 วง คือที่จุด C และจุด D
4. สรางสวนของเสนตรง CD และสรางจุดตัด สวนของเสนตรง CD กับสวนของเสนตรง AB
ตั้งชื่อเปนจุด O
5. จะได O เปนจุดแบงครึ่งสวนของเสนตรง AB ที่กําหนด
O
C
D
x y
A B
x y

การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให
กําหนดมุม ABC ดังรูป
สรางมุม XYZ ใหมีขนาดเทากับขนาดของมุม ABC ทําไดดังนี้
1. สรางรังสี YZ เพื่อสรางมุมและสวนของเสนตรงPQ เพื่อกําหนดเปนรัศมีวงกลม
2. คลิกที่จุด B และสวนของเสนตรง PQ สรางวงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี จากเมนูสราง
หาจุดตัดของวงกลมกับรังสี AB และรังสี BC ตั้งชื่อจุด M และจุด N ตามลําดับ
3. ใช Y เปนจุดศูนยกลาง รัศมี PQ สรางวงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี ตัดรังสี YZ ที่จุด J
4. ใชจุด J เปนจุดศูนยกลางและสวนของเสนตรง MN เปนรัศมีวงกลม เขียนวงกลมตัดเสนรอบวงของ
วงกลม Y ที่จุด X ลากรังสี YX
จะไดมุม XYZ ซึ่ง m(XYZ) = m(ABC)
B
C
A
N
M
B
C
A
P Q
X
JN
M
B
C
A
Y Z
P Q

การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให
ให มุม ABC เปนมุมที่กําหนดให
1. สรางสวนของเสนตรง PQ เพื่อใชเปนรัศมีของวงกลม
2. เลือกจุด B เปนจุดศูนยกลาง และเลือกสวนของเสนตรง PQ เปนรัศมี
…>ที่เมนูสราง เลือกวงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและ รัศมี
จะไดวงกลมที่มี B เปนจุดศูนยกลาง
3. เลือกเสนรอบวงของวงกลม B และรังสี BA (รังสี BC)
…>ที่เมนูสราง สรางจุดตัดของวงกลมกับรังสี ตั้งชื่อเปนจุด E (และ D ตามลําดับ)
4. เลือกจุด E และจุด D เปนจุดศูนยกลาง เลือกรัศมีเทากับสวนของเสนตรง PQ
…>ที่เมนูสราง สรางวงกลม จะไดวงกลม 2 วงตัดกัน
5. …>ที่เมนูสราง สรางจุดตัดของวงกลม E และวงกลม D ใหชื่อจุด B และ F จากนั้นสรางรังสี BF
6. …>ที่เมนูแสดงผล ซอนขั้นตอนการสราง
P Q
B
C
A
FD
E
P Q
B
C
A
B
C
A

การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให
1. กําหนดเสนตรง AB และ สรางจุดอิสระอีก 1 จุดสมมติชื่อจุด C อยูหางจากเสนตรง AB พอสมควร
2. สรางสวนของเสนตรง PQ เพื่อกําหนดเปนรัศมี
3. เลือกจุด C เปนจุดศูนยกลาง เลือกสวนของเสนตรง PQ เปนรัศมี
…>ที่เมนูสราง สรางวงกลมจากจุดศูนยกลางและรัศมี
จะไดวงกลม C ตัดเสนตรง AB ..>ที่เมนูสราง สรางจุดตัด สมมติชื่อจุด X และ Y
4. เลือก X และ Y เปนจุดศูนยกลาง เลือกสวนของเสนตรง PQ เปนรัศมี
…>ที่เมนูสราง สรางวงกลม 2 วง ..>สรางจุดตัด สมมติชื่อจุด C และจุด S
5. ลากสวนของเสนตรง CS ตัดสวนของเสนตรง AB สมมติชื่อจุด D จะไดสวนของเสนตรง CD ตั้งฉากกับ
เสนตรง AB ที่จุด D ตามตองการ
6. ซอนขั้นตอนการสราง
D YXA B
C
P Q
DA B
C
A B
C
P Q

การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนสวนของเสนตรงที่กําหนดให
กําหนดสวนของเสนตรง PQ และสวนของเสนตรง XY เพื่อเปนรัศมีของวงกลม
1. เสนตรง AB เปนสวนของเสนตรงที่กําหนด C เปนจุดๆหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให
2. เลือกจุด C เลือกสวนของเสนตรง XY
…>ที่เมนูสราง เลือกวงกลมสรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี ไดวงกลม 1 วง
3. เลือกเสนรอบวงและสวนของเสนตรง AB
…>ที่เมนูสราง เลือกสรางจุดตัด ตั้งชื่อเปนจุด D และ E
4. เลือกจุด D เปนจุดศูนยกลางของวงกลม และเลือกรัศมียาวเทากับ PQ เขียนวงกลม ที่เมนูสราง
เลือกจุด E เปนจุดศูนยกลางของวงกลม และเลือกรัศมียาวเทากับ PQ เขียนวงกลม ที่เมนูสราง
5. เลือกเสนรอบวงของวงกลม D และ E ..>ที่เมนูสราง เลือกจุดตัดของวงกลมทั้งสองวง
ตั้งชื่อเปนจุด M และ N ลากสวนของเสนตรง MN เชื่อมจุดตัดนั้นผานจุด O
6. จะได สวนของเสนตรง MO ตั้งฉากกับสวนของเสนตรง AB ตามตองการ
ED
O
M
N
P Q
A B
yx

การสรางรูปเรขาคณิตอยางงายโดยใชเมนูสราง
การสรางมุมที่มีขนาด 90°
1. สรางสวนของเสนตรง AB
2. เลือกที่จุด A และสวนของเสนตรง AB สรางเสนตั้งฉากจากเมนูสราง คําสั่งสรางเสนตั้งฉาก
3. สรางจุดอิสระบนเสนตั้งฉากที่สราง ตั้งชื่อจุด C
4. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุด A และ C
5. ซอนสวนที่ไมตองการแสดง
2. สรางเสนตั้งฉากที่จุด A โดยเลือกที่จุด A และสวนของเสนตรง AB เลือกเมนูสราง คําสั่งเสนตั้งฉาก
3. สรางจุดอิสระบนเสนตั้งฉากที่ไดตั้งชื่อ จุด C
4. เลือกที่จุด B, A และ C ตามลําดับ เลือกเมนูสราง คําสั่งเสนแบงครึ่งมุม
A B
C
A B
C
A B
C

2. สรางวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด A โดยเลือกที่จุด A และจุด B เลือกเมนูสราง คําสั่งสราง
วงกลมจากจุดศูนยกลางและจุดอื่น
3. สรางวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด B โดยเลือกที่จุด B และจุด A เลือกเมนูสราง คําสั่งสราง
วงกลมจากจุดศูนยกลางและจุดอื่น
4. หาจุดตัดของวงกลมทั้งสองวง ตั้งชื่อจุดตัดเปนจุด C
5. เลือกที่จุด A และ C สรางรังสี จะไดมุม BAC ที่มีขนาดเทากับ 60°
การระบายสี
การระบายสีบริเวณภายในรูปตางๆ ที่เกิดจากการสรางสามารถทําไดดังนี้
1. สรางรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ขึ้นมา 1 รูป ตั้งชื่อเปนสี่เหลี่ยม ABCD
2. เลือกที่จุด A, B, C และ D (โดยเรียงไปตามแนวเสน) เลือกที่เมนูสราง คําสั่งภายในรูปสี่เหลี่ยม จะ
ไดสีบริเวณภายในรูป
C
A B
C
A B
A
B
CD

การสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2. เลือกที่จุด A และสวนของเสนตรง AB ใชคําสั่งสรางเสนตั้งฉาก จากเมนูสราง
3. สรางจุดอิสระบนเสนตั้งฉากที่ได ตั้งชื่อเปนจุด C
4. เชื่อมสวนของเสนตรง AC และ สวนของเสนตรง BC
การสรางรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
2. เลือกที่จุด A และสวนของเสนตรง AB ใชคําสั่งสรางเสนตั้งฉาก จากเมนูสราง
3. ที่จุด B สรางเสนตั้งฉาก เชนเดียวกันกับขอ 2
4. เลือกที่จุด A และ B สรางวงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและจุดอื่น และที่จุด B สรางวงกลมที่จุดนี้
ในวิธีการเดียวกัน
5. หาจุดตัดของเสนตั้งฉากและวงกลมทั้งสอง ตั้งชื่อ จุด C และ D
6. เชื่อม AC, CD, และ DB ดวยสวนของเสนตรง
7. ซอนสวนที่ไมตองการแสดง
A B
C
A B
C
D C
A B
D C
A B

การวัดขนาดของมุม
การวัดขนาดของมุมตางๆ สามารถทําไดดังตัวอยางตอไปนี้
1. สรางรูปสามเหลี่ยมใดๆ ขึ้นมาหนึ่งรูป ชื่อสามเหลี่ยม ABC
2. ตองการวัดมุม B เลือกที่จุด A , B และ C ตามลําดับ เลือกที่เมนูวัด คําสั่งมุม
ตองการวัดมุม A เลือกที่จุด B , A และ C ตามลําดับ เลือกที่เมนูวัด คําสั่งมุม
ตองการวัดมุม C เลือกที่จุด A , C และ B ตามลําดับ เลือกที่เมนูวัด คําสั่งมุม
3. จะไดขนาดของมุมที่ตองการวัดดังภาพ
การวัดความยาวของดาน
การวัดความยาวของดานของรูปเรขาคณิตตางๆ สามารถทําไดโดยใชเมนูวัด ดังตัวอยางตอไปนี้
1. สรางรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ขึ้นมา 1 รูป ตั้งชื่อเปน สี่เหลี่ยม ABCD
2. วัดความยาวดาน AB เลือกที่ดาน AB ที่เมนูวัด คําสั่งความยาว วัดเชนเดียวกันนี้กับดาน BC, AD
และ CD จะไดคาที่ไดจากการวัดดังภาพตัวอยาง
m∠ACB = 77.96°
m∠ABC = 51.20°
m∠BAC = 50.84°
C
A B
m DC = 3.47 ซม.
m CB = 3.61 ซม.
m AB = 4.15 ซม.
m AD = 2.70 ซม.
A B
D
C

การวัดพื้นที่
การวัดพื้นที่โดยการใชคําสั่งจากเมนูวัดนั้น สามารถหาไดเมื่อรูปที่ตองการหาพื้นที่นั้นตองมีการระบาย
สีบริเวณภายในรูปนั้น ดังตัวอยางตอไปนี้
1. สรางรูปสามเหลี่ยมใดๆ 1 รูป ชื่อสามเหลี่ยม ABC
2. ระบายสีบริเวณภายในรูปโดยเลือกที่จุด A, B และ C เลือกเมนูสราง คําสั่งภายในรูปสามเหลี่ยม
3. เลือกเฉพาะพื้นที่ที่ระบายสีภายในรูป เลือกที่เมนูวัด คําสั่งพื้นที่ ดังภาพ
พื้นที่ ACB = 6.26 ซม.2
A B
C

การสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่มีความยาวของดานเทากับสวนของเสนตรงที่กําหนดให
มีขั้นตอนการสรางดังนี้
2. เลือกที่จุด A เลือกที่เสน AB เลือกที่เมนูสราง —> วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี
3. จากนั้นเลือกที่จุด B และเลือกที่เสน AB ไปที่เมนูสราง —> วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลาง
และรัศมี
4. จะไดวงกลม 2 วง ซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด A และจุด B
5. หาจุดตัดของวงกลม 2 วง โดยเลือกวงกลมทั้ง 2 วง จากนั้นเลือกที่เมนูสราง—-> จุดตัด ตั้งชื่อจุดตัด
เปนจุด C
6. ลากสวนของเสนตรงเชื่อมไปยังจุดตัด จะไดดังภาพ
7. เลือกที่วงกลมและจุดเพื่อทําการซอน โดยเลือกที่เมนูแสดงผล—-> ซอนวงกลม
ขอแนะนํา : ทุกๆ ครั้ง ของการเลือกเครื่องมือตอไป ควรตรวจสอบวายังมีการเลือกอ็อบเจกตใดๆ คางอยู
หรือไม กอนเลือกเครื่องมือทุกครั้ง โดยเลือกไปที่เครื่องมือลูกศร หรือกดปุม ESC ที่คียบอรด
C
A B

การสรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
มีขั้นตอนการสรางวิธีหนึ่งดังนี้
2. สรางเสนตั้งฉากที่จุด A และ B โดยการเลือกจุด A และ จุด B และสวนของเสนตรง AB เลือกที่เมนู
สราง—-> เสนตั้งฉาก
3. เลือกจุด A เลือกสวนของเสนตรง AB เลือกที่เมนูสราง —> วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและ
รัศมี จากนั้นเลือกจุด B และเลือกที่สวนของเสนตรง AB ที่เมนูสราง —> วงกลมที่สรางจากจุด
ศูนยกลางและรัศมี จะไดวงกลม 2 วง ซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด A และจุด B
4. หาจุดตัดของวงกลมกับเสนตั้งฉากที่สรางขึ้น โดยการเลือกที่เสนตั้งฉากและเสนรอบวง เลือกเมนู
สราง—-> จุดตัด
5. เชื่อมแตละจุดดวยสวนของเสนตรง จากนั้นทําการซอนอ็อบเจกตที่ไมตองการแสดงใหเห็นโดยเลือกที่
เมนูแสดงผล —> ซอนอ็อบเจกต

การสรางรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน
มีขั้นตอนการสรางวิธีหนึ่งดังนี้
2. เลือกจุด A เลือกที่สวนของเสนตรง AB เลือกที่เมนูสราง —> วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและ
รัศมี
3. เลือกที่เสนรอบวง เลือกที่เมนูสราง —> จุดบนวงกลม จะไดจุดใดๆ ที่สามารถวิ่งบนเสนรอบวงได
ตั้งชื่อเปนจุด C เพื่อกําหนดใหสวนของเสนตรง AC เปนดานๆ หนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม
4. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุด A และจุด C
5. สรางเสนขนานผานจุด C และใหขนานกับสวนของเสนตรง AB โดย เลือกจุด C และสวนของเสนตรง
AB เลือกที่เมนูสราง —> เสนขนาน จะไดเสนตรงที่ขนานกับสวนของเสนตรง AB
6. สรางเสนขนานกับสวนของเสนตรง AC ผานจุด B โดยเลือกจุด B และสวนของเสนตรง AC เลือกที่เมนู
สราง—-> เสนขนาน หาจุดตัดของเสนขนานที่เกิดขึ้น ตั้งชื่อเปนจุด D
7. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งหมด จากนั้นทําการซอนอ็อบเจกตที่ไมตองการแสดง จะไดรูป
สี่เหลี่ยม
ขนมเปยกปูนที่มีความยาวของดานที่ยาวเทากับสวนของเสนตรงที่กําหนด
ขอแนะนํา : ทุกๆ ครั้ง ของการเลือกเครื่องมือตอไป ควรตรวจสอบวายังมีการเลือกอ็อบเจกตใดๆ คางอยู
หรือไม กอนเลือกเครื่องมือทุกครั้ง โดยเลือกไปที่เครื่องมือลูกศร หรือกดปุม ESC ที่คียบอรด

การสรางตารางแสดงความสัมพันธระหวางความกวาง ความยาว พื้นที่ เสนรอบรูป
ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
GSPมีสมบัติที่เอื้อใหครูใชสรางตารางเพื่อชวยในการสอนในเนื้อหาตางๆ ได ดังตัวอยางตอไปนี้
1. สรางรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD ดังภาพ
2. ระบายสีบริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
3. วัดความยาวของแตละดาน จากเมนูวัด
4. วัดพื้นที่โดยเลือกที่พื้นที่บริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
จากเมนูวัด
5. วัดความยาวรอบรูปโดยเลือกที่พื้นที่บริเวณภายใน เลือกเมนูวัด คําสั่งความยาวรอบรูป จะไดดังภาพ
6. การสรางตารางแสดงความสัมพันธระหวางความกวาง ความยาว พื้นที่ เสนรอบรูปนั้น เพื่อใหหัว
ตารางมีความหมาย เราอาจเปลี่ยนชื่อระหวางหัวตารางไดดังนี้
- เปลี่ยนปายชื่อของความยาวดาน AB เปน ความยาว โดยเลือก m AB ที่วัดไดแลวคลิกขวา ที่สมบัติ
ตั้งชื่อวาความยาว
- ดําเนินการเชนเดียวกันกับความกวาง
- เลือกคาที่วัดไวตามลําดับดังนี้ เลือก ความกวาง ,ความยาว , พื้นที่ และเสนรอบรูป เลือกเมนูกราฟ
คําสั่งสรางตาราง จะปรากฏดังภาพ
B
D C
A
m DC = 4.07ซม.
m BC = 2.30ซม.
m AB = 4.07ซม.
m DA = 2.30ซม.
พื้นที่ ABCD = 9.38ซม.2
เสนรอบรูป ABCD = 12.75 ซม.
B
D C
A

การสราง สวนโคงของวงกลม มุมที่จุดศูนยกลางและ มุมที่เสนรอบวง
1. เลือกเครื่องมือสรางวงกลม สรางวงกลมที่มีขนาดพอสมควร ซึ่งจะประกอบดวยจุดศูนยกลางวงกลม
และจุดบนเสนรอบวง (จุดบนเสนรอบวงมีไวเพื่อกําหนดขนาดของวงกลม)
2. ทําการซอนจุดที่อยูบนเสนรอบวงโดยเลือกจุดนั้น เลือกเมนูแสดงผล —> ซอนจุด ตั้งชื่อจุด
ศูนยกลาง
เปนจุด A
3. สรางจุดใดๆ บนวงกลม 2 จุด โดยเลือกที่เสนวงกลม เลือกเมนูสราง —> จุดบนวงกลม ตั้งชื่อเปน
จุด B และจุด C
4. สรางสวนโคงนอย BC โดยการเลือกที่จุด A จุด B และ C ตามลําดับ (เลือกจุดที่อยูบนเสนรอบวงใน
ลักษณะทวนเข็มนาฬิกา)
5. เลือกที่เมนู สราง—-> สวนโคงบนวงกลม จะไดสวนโคงนอย BC
6. ลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุด A , B และจุด A , C จะไดเปนรูปมุมที่จุดศูนยกลาง
7. สรางจุดบนเสนรอบวงอีก 1 จุด ตั้งชื่อเปนจุด D ลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุด B,D และ C,D จะได
ดังภาพ

8. การสรางสวนที่แสดงมุม D ทําไดดังนี้
- กําหนดสวนของเสนตรงความยาวพอสมควรเพื่อเปนรัศมี
- สรางวงกลมโดยมีจุดศูนยกลางที่จุด D โดย และสวนของเสนตรงที่สรางขึ้นเปนรัศมี
เลือกที่เมนูสราง—-> วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี
- หาจุดตัดของเสนรอบวงกับแขนของมุม ตั้งชื่อเปนจุด E และ F
- สรางสวนโคงของวงกลม EF โดยเลือกที่จุด D, E และ F (ลักษณะทวนเข็มนาฬิกา)
- เลือกที่เมนูสราง- -> สวนโคงบนวงกลม จะไดสวนโคง EF ซอนวงกลม
- ระบายสีเซกเตอรโดยการเลือกที่สวนโคง EF เลือกที่เมนูสราง —> ภายในสวนโคง —>
อารกเซกเตอร
9. คลิกอ็อบเจกตที่ตองการซอนทั้งหมด จะไดดังภาพ

การเคลื่อนไหวของจุดและเสน
การใชคําสั่งการเคลื่อนไหว สามารถสรางโดยใชปุมแสดงการทํางาน เลือกการเคลื่อนไหว จากเมนู
แกไข มีวิธีการดังนี้
ตัวอยาง ตองการกําหนดใหรัศมีของวงกลมเคลื่อนไหว
1. สรางวงกลมดวยเครื่องมือวาดวงกลม
2. ซอนจุดที่อยูบนเสนวงกลม
3. เลือกที่เสนวงกลม สรางจุดบนวงกลมจากเมนู สราง ตั้งชื่อ จุด A
4. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุด A และจุดศูนยกลางของวงกลม
การสรางปุมควบคุมการเคลื่อนไหว ทําไดดังนี้
5. เลือกที่จุด A ไปที่เมนูแกไข คําสั่งปุมแสดงการทํางาน เลือกการเคลื่อนไหวจะปรากฏหนาตางดัง
ภาพ
6. จะไดปุมแสดงการเคลื่อนไหว เมื่อคลิกที่ปุมนี้จุด A ก็จะเคลื่อนไหวรอบเสนวงกลมในทิศทางตาม
กําหนด
การเคลื่อนไหว จุด
A

การแปลงทางเรขาคณิต
3. สํารวจโดยการลากรูปตนแบบ สวนตางๆของรูป หรือที่เสนสะทอน
2.สรางรูปเรขาคณิตใดๆ คลิกเลือกรูปนั้นแลว
----> การแปลง---> สะทอน
-----> การแปลง---> ระบุเวกเตอร
หรือ ดับเบิลคลิกที่เสนนั้น
1.ในการสะทอนตองมี เสนสะทอนซึ่งเปนเสนแทนกระจกสรางสนในแนวตรงเปนเสนสะทอน
กําหนดใหเสนนี้เปนเสนสะทอน โดยคลิกเลือกเสนนี้
การสะทอน (Reflection )
A
B
C
D
6.พิจารณาการเปลี่ยนแปลงที่เกิดเมื่อปรับขนาดของมุมที่กําหนด
เลือกรูปตนแบบ ---> การแปลง --->หมุน----> การแปลง ---> ระบุมุม
5.กําหนดการหมุนแบบอื่นทําไดโดย
สรางมุมอิสระขึ้นมา 1 มุม เลือกจุดบนมุมนั้น 3 จุดตามลําดับ
4.สํารวจโดยการเคลื่อนรูป เคลื่อนจุดหรือเคลื่อนตรงกลาง
-เลือกรูปนั้น ---> การแปลง ---> หมุน เติมขนาดของมุมในกลองเชน90°
3.สรางรูปใดๆ กําหนดการหมุนรูปนั้นแบบกําหนดมุมแนนอน ทําดังนี้
-หรือ ดับเบิลคลิกที่จุดนั้น
-เลือกจุดนั้น ------> การแปลง ----> ระบุจุดศูนยกลาง
2.กําหนดใหจุดนี้เปนจุดศูนยกลางของการหมุน โดย
-สรางจุดใดๆ เตรียมไว 1 จุด
1.จะทําการหมุนไดตองมีจุดศูนยกลางของการหมุน กอน
การหมุน
m∠KLM = 111°
O
A
B
C
D
K
L M
(Rotation)
- ----> การแปลง ---> ระบุเสนสะทอน
หรือ ดับเบิลคลิกที่เสนนั้น

การแปลงทางเรขาคณิต
4.สํารวจโดยการลากรูปตนแบบ สวนตางๆของรูป หรือจุดที่แสดงเวกเตอร
--->การแปลง---> ระบุเวกเตอร คลิกเลือกรูป
---> การแปลง---> เลื่อนขนาน
3.กําหนดการเลื่อนแบบอื่น ทําไดดังนี้ สรางจุด2 จุดใดๆ เพื่อกําหนดเปน
เวกเตอร จากจุดแรกไปยังจุดที่สองคลิกเลือก2จุดนี้ตามลําดับ แลว
2.สํารวจโดยการลากรูปตนแบบ หรือ สวนตางๆของรูป
1.สรางและเลือกรูปเรขาคณิตที่ตองการจะเลื่อนแบบตายตัว
----> การแปลง ----> เลื่อนขนาน แลวเลือกแบบของการเลื่อน
แบบเชิงขั้วหรือแบบสี่เหลื่ยมมุมฉาก
การเลื่อนขนาน
A
D
C
B
K
L
(Translation)

กิจกรรม 1 การสะทอน กับแกน x
1. เลือกใชแกน x เปนเสนสะทอน ใหหารูปสามเหลี่ยม A′B′C′ ซึ่งเปนภาพสะทอน
จากรูปสามเหลี่ยม ABC
2 . ถาลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอจุดที่สมนัยกัน สวนของเสนตรงดังกลาวสัมพันธ กับ
เสนสะทอนอยางไร
3 . เมื่อ (x′, y′) เปนพิกัดของจุดที่เกิดจากการสะทอนจุด (x, y)
6
4
2
-2
5 10
A
B
C
รูปที่
พิกัดของรูปตนแบบ
พิกัดของภาพที่เกิดจากการสะทอน
ดวยแกน x
จุด x y จุด x′ y′
1
A A′
B B′
C C′
2
A A′
B B′
C C′
3
A A′
B B′
C C′

4. จากขอมูลที่ไดในตาราง ขอ 3 ใหเติมจํานวนเพื่อแสดงความสัมพันธทางพีชคณิตของพิกัดใหมกับพิกัดเดิม
x′ = …x หรือ * x′ = …… x + ……y
y′ = …y หรือ * y′ = ….. x + …..y
5.* ถาเขียนพิกัดของจุด (x,y) ในรูปของเมทริกซ มิติ 2 x 1 จะได พิกัดของจุดที่เกิด
จากการสะทอนนั้น จะไดจากการคูณ เมทริกซ ใดกับเมทริกซ






y
x






y
x

กิจกรรม 2 การสะทอน กับแกน Y
1. เลือกใชแกน Y เปนเสนสะทอน ใหหารูปสามเหลี่ยม A′B′C′ ซึ่งเปนภาพสะทอน
2 . ถาลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอจุดที่สมนัยกัน สวนของเสนตรงดังกลาวสัมพันธกับเสนสะทอน
อยางไร
6
4
2
-2
5 10
A
B
C
รูปที่
1
A A′
B B′
C C′
2
A A′
B B′
C C′
3
A A′
B B′
C C′

x′ = …x หรือ * x′ = …… x + ……y
y′ = …y หรือ * y′ = ….. x + …..y
จากการสะทอนนั้น จะไดจากการคูณ เมทริกซ ใดกับ เมทริกซ






y
x






y
x

กิจกรรม 3 การสะทอน ดวยเสนตรง y = x
1. เลือกใชเสนตรง y = x เปนเสนสะทอน ใหหารูปสามเหลี่ยม A′B′C′ ซึ่งเปนภาพสะทอน
2 . ถาลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอจุดที่สมนัยกัน สวนของเสนตรงดังกลาวสัมพันธ
กับเสนสะทอนอยางไร
6
4
2
-2
5 10
A
B
C
รูปที่
1
A A′
B B′
C C′
2
A A′
B B′
C C′
3
A A′
B B′
C C′

x′ = …x หรือ * x′ = …… x + ……y
y′ = …y หรือ * y′ = ….. x + …..y
จากการสะทอนนั้น จะไดจากการคูณ เมทริกซ ใดกับเมทริกซ






y
x






y
x

เทสเซลเลชัน
1. ใชเครื่องมือเสน สรางดาน AB และ BC ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD
2. ระบุ BC เปนเวกเตอรในเมนูการแปลง
3. เลื่อนขนานจุด A ดวย เวกเตอร BC
4. ในเมนูการแปลงใชเครื่องมือเสนเขียนดานที่เหลือของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
5. ใชเครื่องมือเสนสรางเสน เชื่อมอื่นๆ ระหวางจุด Aและจุด D
6. ระบุ AB เปนเวกเตอร เลือกทุกจุดที่เชื่อมระหวางจุด A และจุด D
แลวสั่งเลื่อนขนาน
7. เชื่อมตอจุดทุกจุดจาก B ไป C แลวซอนดาน AD และดาน BC
8. ใชการเลื่อนขนานทําเทสเซลเลชันรูปที่ไดตามชอบโดยกําหนดเวกเตอรที่จะใหเลื่อนไป
D
A B
C D C
BA
D C
B
A
D C
B
A
D C
B
A

การยอ / ขยาย
ในเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตมีเรื่องหนึ่งที่ครูสามารถนําไปประยุกตใชในการสรางสื่อการสอน
เพื่อเราความสนใจในการเรียนคณิตศาสตร คือ การยอขยาย ใน GSP มีคําสั่งนี้อยูในเมนูการแปลง
การยอขยายสามารถทําได 3 ลักษณะ คือ
1. ยอ / ขยาย ใน 1 มิติ เชน ยอ / ขยายสวนของเสนตรง
2. ยอ / ขยาย ใน 2 มิติ เชน ยอ / ขยายพื้นที่
3. ยอ / ขยาย ใน 3 มิติ เชน ยอ / ขยายรูปที่มีปริมาตร
ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะการยอ / ขยายรูปใน 1 มิติและ 2 มิติ
แบบที่ 1 ยอขยายใน 1 มิติ
การยอ / ขยายจะตองมีองคประกอบตอไปนี้
1. รูปเรขาคณิตหรือวัตถุที่ตองการยอ / ขยาย
2. จุดศูนยกลาง (หรือจุดเริ่มตน)
3. อัตราสวนของการยอ / ขยาย
4. ทิศทางของการยอขยาย
ตัวอยางการสรางตอไปนี้
1. กําหนดจุด A ใด ๆ แลวระบุเปนจุดศูนยกลาง
2. สรางสวนของเสนตรง CD แลวเลือก สวนของเสนตรง CD (สวนของเสนตรงที่ตองการยอ / ขยาย)
3. ที่เมนูการแปลงเลือกคําสั่งยอ ขยายจะไดกลองโตตอบ ทดลองเติมจํานวนลงในอัตราสวนที่ตัวเศษและ
ตัวสวน ทั้งจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบ พิจารณาเสนจาง ๆ ที่เกิดวาสัมพันธกับจํานวนที่ระบุ
ลงในกลองโตตอบอยางไร
4. ลองขยับจุดศูนยกลาง หรือสวนของเสนตรงตนแบบ (CD ) พิจารณาทิศทางของภาพที่เกิดจากการ
ยอขยาย
5. ลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุดปลายของรูปตนแบบและภาพที่เกิด พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น
เชน
C D
C′
D′
A
C′
D′
C D
A

จะเห็นวา สามเหลี่ยม ACD และ AD'C' เปนสามเหลี่ยมคลายไมวาจะโยกจุดไปยังทิศทางใด
แบบที่ 2 การยอ / ขยาย ใน 2 มิติ
องคประกอบของการยอ / ขยายใน 2 มิติทํานองเดียวกันกับ 1 มิติ ตัวอยางการสรางเชน
1. สรางรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ 1 รูป
2. สรางจุด A ใด ๆ ระบุใหเปนจุดศูนยกลาง
3. ที่เมนูการแปลง เลือกคําสั่งยอ / ขยาย กําหนดอัตราสวนตามใจชอบ เชน
4. เคลื่อนจุดศูนยกลางพิจารณาภาพที่เคลื่อนไหว
5. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมตอระหวางจุดสมนัยของรูปตนแบบและภาพที่เกิดจากการยอ /
ขยาย จะเห็นวา เมื่อเทียบกับจุดศูนยกลางจะไดรูปสามเหลี่ยมคลายเสมอ
การยอ / ขยายที่มีการเปลี่ยนขนาดอยางตอเนื่องจะตองใชอัตราสวนที่มีการเปลี่ยนคาอยาง
ตอเนื่องเปนอัตราสวนที่ระบุ
อัตราสวนของการยอ / ขยายมี 2 แบบคือ
1. อัตราสวนคงที่ เปนอัตราสวนที่จะตองกําหนดตัวเลขแนนอน
2. อัตราสวนที่ระบุ เปนอัตราสวนที่เราสามารถเปลี่ยนแปลงได
การเคลื่อนจุดใน GSP จุดสามารถสั่งใหเคลื่อนได 2 แบบ ดังนี้
– การเคลื่อนที่จุด เปนการสั่งใหจุดเคลื่อนที่จากจุดตนทางไปยังจุดปลายทาง ดังนั้น การสั่ง
ใหจุดเคลื่อนที่จะตองคลิกจุดตนทางและจุดปลายทางตามลําดับ
– การเคลื่อนไหวจุด เปนการสั่งใหจุดเปลี่ยนตําแหนงโดยไมตองมีจุดหมายปลายทาง
การสั่งใหจุดเคลื่อนไหวทําได 2 แบบคือ
1. การสั่งเคลื่อนไหวจุดที่วาง ณ ตําแหนงใด ๆ บนระนาบ จุดประเภทนี้จะเคลื่อนไหว
แบบสุมมีทิศทางไมแนนอน
2. การสั่งเคลื่อนไหวจุดใหไปในทิศทางที่ตองการ จะตองมีการสรางเสนทางการเคลื่อน
ของจุดกอนแลวนําจุดไปวางบนเสนทางที่สรางซึ่งอาจเปนสวนของเสนตรง สวนโคง
จากนั้นจึงใชคําสั่งการเคลื่อนไหวจุดแลวกําหนดทิศทางและความเร็วของการเคลื่อนไหว

ตัวอยางการสรางสื่อการยอ / ขยายอยางตอเนื่องโดยใชอัตราสวนที่ระบุ
1. กําหนดจุด 1 จุด
2. เลื่อนขนานจุดนั้นไปในแนวนอน 1 เซนติเมตร
3. เลือกจุดที่ 1 และ 2 ตามลําดับ สรางรังสี
กําหนดจุดใด ๆ บนรังสี
5. เลือกจุดที่ 1 , 2 และ 3 ตามลําดับ ที่เมนูวัด เลือกคําสั่งอัตราสวน จะไดอัตราสวน
จะสังเกตเห็นวา ระยะระหวางจุดที่ 1 และ 2 จะเปนตัวสวนของอัตราสวน
ระยะระหวางจุดที่ 1 และ 3 จะเปนตัวเศษของอัตราสวน
6.เมื่อไดอัตราสวน นําอัตราสวนนั้นมาใชยอ/ขยายโดยวาดรูปใด ๆ โดยดําเนินการตอไปนี้
– กําหนดจุดศูนยกลาง แลวระบุเปนจุดศูนยกลางที่เมนูการแปลง
– เลือกคาอัตราสวน แลวไปที่เมนูการแปลง เลือกคําสั่งระบุตัวประกอบพารามิเตอร
เพื่อกําหนดเปนอัตราสวนในการยอ / ขยาย
– เลือกรูปที่เราตองการยอ / ขยาย ที่เมนูการแปลง เลือกคําสั่งยอ / ขยาย
7. ทดลองปรับ / เคลื่อนจุดที่ 3 บนรังสี
ทดลองปรับเคลื่อนจุดศูนยกลางของการยอขยาย
8.เพื่อใหการแสดงผลนาพอใจ เราอาจซอนรูปตนแบบที่เมนูแสดงผล โดยเลือกคําสั่งซอน
A A'
A A' B
AB
AA'
= 5.1

การสรางรูปเรขาคณิตที่มีขนาดคงที่
การสรางรูปเรขาคณิตโดยใชคําสั่งการแปลงจะทําใหไดจุด ซึ่งผูกพันกับจุดเดิม รูปที่เกิดขึ้นจึงมีขนาดและ
รูปรางคงที่
การสรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวดานละ 2 ซม.
สามารถสรางไดหลายวิธีตัวอยางเชน
1. สรางจุดอิสระ 1 จุด เลื่อนขนานจุดนี้แบบเชิงขั้ว 0 องศา ขนาด 2 ซม. หรือ แบบสี่เหลี่ยมมุมฉาก ใน
แนวนอน 2 ซม. ในแนวตั้ง 0 ซม.
2. เลือกที่จุดทั้ง 2 จุด เลื่อนขนานทั้งสองจุดนี้แบบเชิงขั้ว 90 องศา ขนาด 2 ซม.
3. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งสี่ที่ได
4. ระบายสีบริเวณภายใน
การสรางรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูนที่มีความยาวดานละ 1 ซม.
สามารถสรางไดหลายวิธี ตัวอยางเชน
1. สรางจุดอิสระขึ้นมา 1 จุด เลื่อนขนานจุดนี้ไปแบบเชิงขั้ว 0 องศา 1 ซม.
2. เลือกที่จุดทั้งสอง เลื่อนขนานแบบเชิงขั้วตามมุมองศาที่ตองการ เชน 60องศา ระยะ 1 ซม.
3. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งสี่ และระบายสีบริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยมที่ได
4. ไดรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีความยาวดานละ 1 ซม.

การสรางตัวเลื่อน (Slider)
ในทางคณิตศาสตร เราเรียกสัญลักษณที่กําหนดใหแทนคาของจํานวนที่เปลี่ยนแปลงได วาตัวแปร ใน
GSP เราสามารถกําหนดคาของตัวแปรไดในพารามิเตอร ซึ่งเปนคําสั่งในเมนูกราฟ นอกจากนี้ยังสามารถใชเครื่องมือ
อีกชนิดหนึ่งแทนคาของความยาวที่เปลี่ยนแปลงไดอีก เรียกวา ตัวเลื่อน ตอไปนี้เปนตัวอยางการสรางตัวเลื่อน 2 วิธี
ที่ใหผลแตกตางกันขึ้นอยูกับจุดประสงคของการนําไปใชตอ
การสรางตัวเลื่อน
1. เปด แฟมใหมจากคําสั่งแฟม
2. กําหนดจุด A ที่ตําแหนงใดๆ
3. ตองการใหจุด A เลื่อนขนานไปทางขวามือ 1 ซม.
เลือก จุดA ..> คําสั่ง การแปลง
เลือก เลื่อนขนาน จะไดกลองโตตอบดังรูป
สําหรับเวกเตอรของการเลื่อนขนานใหเปน เชิงขั้ว
โดยใหระยะคงที่เปน 1 ซม. มุมคงที่ เปน 0 องศา
แลวให เลื่อนขนาน
4. สรางเสนตรงผานจุด A และ A'
5. สรางจุดใดๆบนเสนตรง AA' หนึ่งจุด เชนจุดB
6. เลือกจุดตามลําดับตอไปนี้ A , A' และB
จากเมนู วัด เลือก อัตราสวน จะไดอัตราสวน
ดังรูป
7. สราง สวนของเสนตรง เชื่อมจุด AB
8. ซอนสิ่งที่ไมใช คือเสนตรง AA’ และจุด A'
9. ทดลองลากจุดB และสังเกตการเปลี่ยนแปลงที่อัตราสวน
การเปลี่ยนปายชื่อ อัตราสวน
คลิกขวาที่ปายอัตราสวน จะไดกลองโตตอบ เลือกสมบัติ พิมพชื่อที่ตองการ เชน a แลว ตกลง
จะไดปายใหมที่ตองการ
AB
AA'
= 3.110
A'A B
a = 3.110
A B

ตัวเลื่อน AB ที่ได เราสามารถนําไปใชในการกําหนดขนาดของรูปเรขาคณิตที่เราสรางขึ้น และควบคุมการปรับ
ขนาดของรูปจากภายนอก
นอกจากนี้เราสามารถเก็บตัวเลื่อนที่เราสรางเอาไวในโอกาสตอไปได
การเก็บตัวเลื่อน (Slider) ไวใน เครื่องมือกําหนดเอง
1) เลือกจุด A และ
2) เลือกเครื่องมือกําหนดเอง สรางเครื่องมือใหม
3) พิมพชื่อที่ตองการในกลองโตตอบ ดังรูป
คลิกตกลง
การสรางตัวเลื่อน (Slider) แบบกําหนดขอบเขตได
ในทางคณิตศาสตรบางครั้ง เราตองการเปลี่ยนแปลงคาเฉพาะในขอบเขตที่จํากัดเพื่อใหนักเรียนเกิดความ
คิดรวบยอด วิธีสรางตัวเลื่อนแบบกําหนดขอบเขตมีดังนี้
1. กําหนดจุดใด ๆ 1 จุด เชน จุด A
2. เลื่อนขนานจุด A ในแนวนอนไปตามตองการเชน 3 เซนติเมตร ไดจุด A'
3. ลากสวนของเสนตรงเชื่อม 2 จุดนั้น
4. หาจุดกึ่งกลางสวนของเสนตรงนั้น (จุดC)
5. ที่เมนูการแปลง ระบุให จุด C เปนจุดศูนยกลาง
6. คลิกเลือกจุดปลาย A' ..>เมนูการแปลง คําสั่ง ยอขยาย ไดกลองโตตอบ
กําหนด อัตราสวน 1 : 10 จะไดจุดใหม 1 จุด
7. สรางจุดอิสระใหม 1 จุด บนสวนของเสนตรง
8. สรางอัตราสวนระหวางระยะระหวางจุดโดยคลิกเลือกตามลําดับดังนี้
-จุดกึ่งกลาง
-จุดเกิดจากการยอขยาย
-จุดอิสระ
เมนูวัด คําสั่งอัตราสวน
9. ไดอัตราสวน คลิกคาของอัตราสวน เปลี่ยนปายชื่อเปน a
10. ที่สวนของเสนตรงซอนจุดตรึงทุกจุดยกเวนจุดอิสระ ตั้งชื่อจุดนั้นวา จุด a
11. จะไดตัวเลื่อนแบบมีขอบเขต ตั้งแต –10 ถึง 10
AB

การเคลื่อนที่รูปเรขาคณิต
เราสามารถสรางปุมควบคุมการเคลื่อนที่ของรูปเรขาคณิตได โดยอาศัยสมบัติของ GSPที่ เมื่อมีจุด 2
จุด เชน จุด A และจุด B เมื่อเลือกจุด A และจุด B ตามลําดับ ที่เมนูแกไข เลือกคําสั่งปุมแสดงการทํางาน
ระบุขอมูลในกลองโตตอบ แลวจะไดปุมควบคุม เมื่อกดปุมนี้จุด A จะเคลื่อนไปหาจุด B เสมอ ไมวาจุด B
จะเคลื่อนไปอยูในจุดใด
การเคลื่อนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
1. สรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวของดานคงที่แนนอน เชน 2 ซม.
2. เลือกเครื่องมือ จุด สรางจุดใดๆ บนบริเวณแบบราง 1 จุด ตั้งชื่อเปนจุด F
3. กําหนดใหรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเคลื่อนที่ไปยังจุด F ทําไดดังนี้
- คลิกที่จุด A และคลิกที่จุด F ตามลําดับ ( ระบุสิ่งที่จะใหเคลื่อนไปยังเปาหมาย)
- เลือกที่เมนู แกไข —-> ปุมแสดงการทํางาน —-> การเคลื่อนที่... กําหนดความเร็ว ชา ปาน
กลาง ตามตองการ กดปุมตกลง
5. จะปรากฏปุมแสดงการเคลื่อนที่ A —F เมื่อกดที่ปุมนี้ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็จะเคลื่อนที่ไปยังจุด F

การสรางเครื่องมือกําหนดเอง
นอกจากคําสั่งทางเรขาคณิตที่ใชบอยๆ ที่ GSP กําหนดไวใหในเมนูและคําสั่งยอยแลว เรายังสามารถ
สรางรูปเรขาคณิตที่มีสมบัติตามตองการ ที่เราใชบอยครั้งเก็บไวใชสวนตัวไดอีก เชน
เครื่องมือกําหนดเองรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ขั้นตอนการสรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
2. คลิกที่จุด A และสวนของเสนตรง AB เลือกเมนูสราง —> วงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี
3. ที่จุด B ใหสรางลักษณะเดียวกัน จากนั้นหาจุดตัดของวงกลมกับเสนตรงที่ตัดวงกลมทั้ง 2 จุด ตั้งชื่อ
เปนจุด C และ D
4. ลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งสี่ ใหไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD
5. ซอนวงกลมและเสนตรงที่ไมตองการแสดงทั้งหมด
ขั้นตอนการสรางเครื่องมือกําหนดเองรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
1. เลือกที่จุด A ,สวนของเสนตรง AB, จุด B , สวนของเสนตรง BC, จุด C, สวนของเสนตรง CD, จุด D
และสวนของเสนตรง DA ตามลําดับ
2. เลือกที่ปุมเครื่องมือกําหนดเอง —> สรางเครื่องมือใหม ตั้งชื่อในกลองโตตอบ
การเรียกใชเครื่องมือที่เรากําหนดเองไวแลว
- เลือกที่ปุมเครื่องมือกําหนดเองคางไว แลวเลือกไปยังชื่อเครื่องมือที่เราตั้งไว เชน จัตุรัส นํามาวางที่แบบ
รางที่หนาจอ เลือกครั้งที่ 1 จะเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาที่ปลายเมาส คลิกวางตําแหนงอีกจุดหนึ่ง
ที่ตองการ ก็จะไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เครื่องมือกําหนดเองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูงตามกําหนด
ในการสรางทางเรขาคณิตบางครั้ง เราตองการใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เรากําหนดความสูงของดาน
ประกอบมุมฉากใหยืดหยุนตามตองการได มีวิธีการหนึ่งในการสรางดังนี้
กําหนด XY เปนสวนของเสนตรงที่จะกําหนดเปนความสูงและสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
1. สรางสวนของเสนตรง AB และเลือกที่จุด B เปนจุดศูนยกลางของวงกลมรัศมี XY เขียนวงกลม
2. สรางเสนตั้งฉากที่จุด B
3. สรางจุดใดๆ บนเสนตั้งฉากที่ได จากนั้นเชื่อมจุดทั้งสามดวยสวนของเสนตรง
4. ซอนสวนที่ไมตองการแสดง จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และเสนแสดงความสูง
การเก็บเปนเครื่องมือกําหนดเอง รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่สามารถกําหนดความสูงตามตองการ
1. เลือกตามลําดับดังนี้ จุด A, AB, จุด B, สวนของเสนตรง XY, BC, จุด C, AC ตามลําดับ
2. เลือกที่ปุมเครื่องมือกําหนดเอง ตั้งชื่อเชน สามเหลี่ยมมุมฉากกําหนดสูง หรืออื่นๆ
การเรียกเครื่องมือมาใชทําตามลําดับดังนี้
1. เลือกที่ปุมเครื่องมือกําหนดเอง เลือกชื่อของเครื่องมือที่ตองการ
2. เลือกที่แบบรางที่วางอยูจุดที่ 1 และจุดที่ 2 เพื่อลากสวนของเสนตรงที่เปนฐานของสามเหลี่ยม ใช
เมาสชี้ที่สวนเสนตรงที่ตองการใหเปนความยาวของสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตองการ จะ
ปรากฏรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใหโดยอัตโนมัติ
3. เมื่อไดความสูงตามที่ตองการแลว ก็คลิกที่เสนที่ชี้นั้น จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีสวนสูงตามที่
ตองการ
x y
A B

เครื่องมือกําหนดเองรูปสามเหลี่ยมดานเทาและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ในการสรางทางเรขาคณิต บางครั้งเราอาจตองการใชรูปที่มีขนาดเทาๆ กันหลายๆ รูป เรามีวิธีกําหนด
รูปที่มีขนาดแนนอน เก็บไวเรียกใชบอยเทาที่ตองการดังนี้
การเก็บเครื่องมือรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่มีความยาวดานตามตองการ (ในที่นี้ยาวดานละ 1 ซม.)
1. สรางจุดอิสระขึ้นมา 1 จุด ตั้งชื่อ จุด A
2. เลื่อนขนานจุด A ไป 1 ซม. เชนอาจเลือกการเลื่อนขนานแบบเชิงขั้ว 60 องศา จะไดจุด A' และ
เลื่อนขนานจากจุด A ไป 1 ซม. โดยเลือกการขนานแบบ
เชิงขั้ว ศูนยองศาจะไดดังภาพ
สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งสาม จะไดรูปสามเหลี่ยม
ดานเทาที่มีความยาวดานละ 1 ซม.
3. ซอนปายชื่อของจุดเหลือเฉพาะรูปสามเหลี่ยม เลือกคลุมรูป
ทั้งหมด เลือกปุมเครื่องมือกําหนดเอง
คําสั่งสรางเครื่องมือใหม ตั้งชื่อเปน สามเหลี่ยมดานเทา
การสรางเครื่องมือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวตามตองการ (ในที่นี้ยาวดานละ 1 ซม.)
1. สรางจุดอิสระขึ้นมา 1 จุด เลื่อนขนานจุดนี้ไป 1 ซม. โดยอาจเลื่อนขนานแบบสี่เหลี่ยมมุมฉาก
กําหนดแนวตั้งเปน 0 ซม. แนวนอน 1 ซม. ดังภาพ
2. เลือกที่จุดทั้งสอง เลื่อนขนานแบบสี่เหลี่ยมมุมฉากกําหนดแนวนอนเปน 0 ซม.
แนวตั้ง 1 ซม.
3. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งสี่
วิธีเก็บรูปเรขาคณิตที่มีขนาดคงที่ ไวในปุมเครื่องมือสรางเอง
เลือกคลุมรูปที่สรางทั้งหมด เก็บเปนเครื่องมือ โดยสรางเครื่องมือใหมแลวกําหนดชื่อ
A'
A'
A

การนําเครื่องมือกําหนดเองไปใช
เมื่อเราเก็บรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่สามารถกําหนดความสูงตามตองการและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่
กําหนดขนาดของดานไดตามตองการไวในเครื่องมือกําหนดเองแลว เราสามารถเลือกปุมนั้นมาใชสรางรูป
เรขาคณิตที่แสดงความสัมพันธของพื้นที่บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได หรืออาจนํามาสราง
รูปเทสเซเลชันแบบตางๆ เชน

การสรางสื่อแสดงจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ
การสรางรูปแสดงจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ สามารถสรางโดยใชเครื่องมือกําหนดเองดังนี้
1. สรางเครื่องมือกําหนดเองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูงตามที่ตองการ
- สรางสวนของเสนตรง xy ยาวพอสมควร
- สรางสวนของเสนตรง AB จากนั้นสรางเสนตั้งฉากที่จุด B
- สรางวงกลมใหที่จุด B โดยคลิกที่จุด B และเลือกสวนของเสนตรง xy เปนรัศมี
- หาจุดตัดของวงกลมกับเสนตั้งฉากที่จุด B ตั้งชื่อเปนจุด C
- ลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุด A กับ C และ B กับ C จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
- ทําการซอนสวนที่ชวยในการสรางทั้งหมดใหมีองคประกอบแสดงใหเห็นเฉพาะรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
และเสน xy
2. เก็บเปนเครื่องมือกําหนดเอง (ควรทําการซอนปายชื่อของแตละจุด)
- คลิกตามลําดับดังนี้ คลิกที่จุด A , สวนของเสนตรง AB , จุด B, สวนของเสนตรงที่ xy, สวน
ของเสนตรง BC, จุด C และสวนของเสนตรง AC ตามลําดับ
- เลือกที่ปุมเครื่องมือกําหนดเอง ตั้งชื่อเครื่องมือใหมเปน สามเหลี่ยมมุมฉากสูง 1 หนวย
3. สรางรูปกนหอยโดยเลือกเครื่องมือกําหนดเองและเลือกสามเหลี่ยมมุมฉาก ลากฐานของสามเหลี่ยม
มุมฉากรูปแรก โดยคลิกที่จุดแรกและลากไปยังจุดที่สองที่หางกันพอควร ( a หนวย ) แลวใชเมาสชี้ที่
เสนฐานดังกลาวตอเสนฐานนั้นจะเปลี่ยนเปนสีฟาและจะปรากฏเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูง
เทากับฐานที่เมาสชี้
4. สรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่สองบนดานตรงขามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วรูปแรกตอโดย
คลิกที่จุดแรกและจุดที่สองตามความยาวของดานตรงขามมุมฉาก จากนั้นคลิกที่ฐานของสามเหลี่ยม
รูปแรก จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมาโดยอัตโนมัติ โดยที่มีความยาวฐานยาวเทากับดานตรงขาม
มุมฉากของรูปสามเหลี่ยมรูปแรก
5. จากนั้นคลิกตอๆ กันไปโดยเริ่มฐานจากดานตรงขามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตอๆ กันมาและ
ความสูงเทากับฐานของสามเหลี่ยมรูปแรก จะไดดังภาพ
6. ถาใหความยาวฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากรูปแรกยาว 1 หนวย
จะไดความยาวของดานตรงขามมุมฉากของสามเหลี่ยมรูปแรก
ยาว หนวย2

การสรางสื่อการสอนเพื่อแสดงความสัมพันธของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสไดกลาวถึงความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุม
ฉากดังนี้ “กําลังสองของความยาวของดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของกําลังสองของความ
ยาวของดานประกอบมุมฉาก” นั้น เพื่อชวยใหนักเรียนเห็นภาพของความสัมพันธชัดเจนขึ้น เราอาจใช
การสรางรูปเรขาคณิตชวยแสดงไดหลายๆ วิธี ตัวอยางการสราง เชน
1. สรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยสรางสวนของเสนตรง AB
2. คลิกที่จุด Aและสวนของเสนตรง AB สรางเสนตั้งฉากกับสวนของเสนตรง AB ผานจุด A
3. กําหนดจุด B บนเสนตั้งฉาก ใหจุด B เลื่อนไปมาได
4. ซอนเสนตั้งฉาก ลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุด

2. สรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานของรูปสามเหลี่ยม
- ไปที่เครื่องมือกําหนดเอง เลือกเครื่องมือสี่เหลียมจัตุรัสที่สรางไว
- คลิกที่จุด B กดปุมซายคางไว แลวลากมาตามเข็มนาฬิกาใหปลายมาพบกันที่จุด A จะไดรูป
สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดาน สวนของเสนตรง AB ทําเชนนี้จนครบทุกดาน
- กดแปน Esc เพื่อออกจากคําสั่งการสรางสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- คลิกทุกจุดของมุมรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปเมนู วัด คําสั่ง ภายใน ใสสี และวัดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสทั้งสามรูป
- ใชเมนูการวัด เลือกคําสั่งคํานวณ จะเกิดกลองคํานวณ ใหคลิกคาของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
บนดาน a และคลิกเครื่องหมายบวกในกลอง จากนั้นจึงคลิกคาของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน
ดาน b คลิก ตกลง จะไดคาผลรวมของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดาน aและดาน b

การแสดงสรางรูปสี่เหลี่ยมดานขนานบนดาน a
- ใหคลิกที่พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ไปเมนูสราง ซอนบริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทําทุกรูป
- สรางเสนขนานกับดาน a ใหผานดานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยูตรงขามกับดาน a
- กําหนดจุดบนเสนขนานนี้ใหชื่อจุด D ให D สามารถลากไปมาได
ลากสวนของเสนตรง BD ลากเสนขนานกับ BD ผานจุด C สรางจุดตัด ใสชื่อจุด E
ซอนเสนขนาน ลากสวนของเสนตรง CE สรางภายในรูป BCED ใสสี
สรางรูปสี่เหลี่ยมดานขนานบนดาน b
สรางเสนขนานกับดาน b ใหผานดานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยูตรงขามกับดาน bกําหนดจุดบนเสนขนานนี้
ใหชื่อจุด F ให F สามารถลากไปมาได ลากสวนของเสนตรง AF ลากเสนขนานกับ AF ผานจุด C ตัด
เสนขนานที่จุด G ลาก AF และ GC สรางสวนภายในของรูป ACFG ใสสี
ACGF เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีพื้นที่เทากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดาน bใชหรือไม เพราะ
เหตุใด
ลองลากจุด D และ F เพื่อตรวจสอบดูวา
- รูปสี่เหลี่ยมดานขนานบนดาน a มีพื้นที่เทากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดาน a จริง
- รูปสี่เหลี่ยมดานขนานบนดาน b มีพื้นที่เทากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดาน b จริง
- การตรวจสอบ ลองใชเมนูวัดเรียก เครื่องคํานวณ เพื่อหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนานบนดาน a
และพื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนานบนดาน b
การสรางรูปหกเหลี่ยมบนดาน c
ใสชื่อจุดรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดาน cวา ABIH
- สรางเสนตั้งฉากกับดาน AB ผานจุด C หาจุดตัดของเสนตั้งฉากนี้กับดาน AB ใสชื่อ K
ลงจุด L บนเสนตั้งฉากให L วิ่งไปมาได ลาก IL และ HL สรางเสนขนานกับ IL ผานจุด B
และสรางเสนขนานกับ HL ผานจุด A เสนขนานทั้งสองตัดกันที่จุด M
เลือกจุด A, H, L, I, B และ Lซึ่งเปนรูปหกเหลี่ยม สรางพื้นที่ภายในของรูปหกเหลี่ยม

การแสดง
1)ลากจุด L ใหจุด M ลงมาถึงจุด C รูปหกเหลี่ยม AHLIBM จะเลื่อนมาบนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ลากจุด D และลากจุด F มาพบกันที่ J
รูปสี่เหลี่ยมดานขนานทั้งสองรูปจะเปนรูปหกเหลี่ยม
คลิกที่รูปหกเหลี่ยม AHLIBM ไปเมนูแกไข คัดลอก และวาง
คลิกรูปที่คัดลอกไวมาวางทับบนรูปหกเหลี่ยมที่อยูติดกันเพื่อดูความสัมพันธ
b
ca
L
K
F
j
D
o
I
H
C A
B
E
G
M

แผนภูมิรูปวงกลม
การนําเสนอขอมูลดวยแผนภูมิรูปวงกลม ใชวิธีแบงเนื้อที่ของรูปวงกลมเปนสวนยอยตามปริมาณที่
ตองการเปรียบเทียบ มีขั้นตอนในการสรางดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง ชายคนหนึ่งไดรับเงินเดือนๆ ละ 12,000 บาท มีรายจายในรอบเดือนมีนาคม 2548 ดังตาราง
ตอไปนี้
1. สรางพารามิเตอรจากเมนูกราฟ โดยตั้งชื่อและกําหนดคาดังขอมูลในตาราง จะไดคาพารามิเตอร 4 คา
2. หาผลรวมของคาพารามิเตอร โดยใชเครื่องคํานวณจากเมนูวัด เมื่อหาผลรวมแลวเปลี่ยนปายชื่อเปน
คําวา รวม
3. คํานวณหาคาเปนเปอรเซ็นโดยคิดจากคาพารามิเตอรแตละคาหารดวยผลรวมคูณดวย 100
4. ใชเครื่องคํานวณจากเมนูวัด หาขนาดมุมที่จุดศูนยกลางวงกลมโดยคิดจากคาที่ไดจากเปอรเซ็นตของ
การคํานวณแตละคา คูณดวย 3.6 (เมื่อคูณดวย 3.6 ใหระบุหนวยเปนองศา จะไดคาที่ไดมีหนวยเปน
องศา ดังภาพตัวอยาง)
5. สรางรูปวงกลมขึ้นมา 1 รูป ขนาดพอสมควร ทําการซอนจุดที่อยูบนเสนรอบวงกลม และสรางจุดใดๆ
ขึ้นมาที่วงกลมหนึ่งจุด (จุดนี้จะสามารถวิ่งอยูบนเสนของวงกลมได)
6. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดนี้กับจุดศูนยกลาง
รายจาย จํานวนเงิน (บาท)
คาอาหาร
คาเสื้อผา
ฝากธนาคาร
เบ็ดเตล็ด
3,600
1,200
2,400
4,800
รวม 12,000
คาอาหาร
รวม( )⋅100( )⋅3.6°= 108.00°

7. คลิกที่จุดศูนยกลางของวงกลม เลือกระบุจุดศูนยกลางจากเมนูการแปลง
8. คลิกที่มุมแรกที่วัดได แลวเลือกระบุมุมจากเมนูการแปลง (เพื่อจะหมุนตามมุมที่ระบุ)
9. คลิกที่สวนของเสนตรงและจุดบนเสนวงกลม เลือกเมนูการแปลง —> หมุน ซึ่งจะปรากฏหนาตาง
เปนการหมุนตามคามุมที่ระบุ
10. ทําเชนเดียวกันจนครบตามจํานวนทั้งหมด ทําการระบายสีแตละสวน (การระบายสีแตละสวนตอง
สรางสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยมุมที่จุดศูนยกลางวงกลมนั้นๆ กอน แลวจึงเลือกระบายสี
ภายในเซกเตอร)
11. จะไดดังภาพตัวอยาง

การสรางสื่อการสอนเรื่อง ขนาดของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกับพื้นที่ที่มากที่สุด
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีผลรวมของดานกวางและดานยาวเปน 10 เซนติเมตร จะมีรูปแตกตางกันไดมากมาย แต
รูปที่มีพื้นที่มากที่สุดนั้นเปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีขนาดอยางไร เราสามารถสรางสื่อการสอนเพื่อสํารวจขนาดของรูป
สี่เหลี่ยมมุมฉากดังกลาวไดดังนี้
1. สรางจุดๆหนึ่ง เชน จุด A
จากจุด A ให เลื่อนขนาน จุดA ในแนวนอนไป 10 ซม. ซึ่งเปนผลรวมของความยาวของดานกวางและดานยาว
ใหชื่อจุดใหมที่ไดวาจุด X ลากสวนของเสนตรง AX
2. สรางจุด B ใดๆบนสวนของเสนตรง AX
3. สรางวงกลมที่มี จุด B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวตามสวนของเสนตรง BX
4. สรางเสนตั้งฉากกับสวนของเสนตรง AB ตัดวงกลม B ที่
จุด C สรางสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD
8. สรางพื้นที่ภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD
9. วัดความยาวของสวนของเสนตรง AB และ BC และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD
10. สรางตารางจากเมนู กราฟ เพื่อพิจารณาความสัมพันธ ของความกวางความยาว และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุม
ฉาก ABCD
โดยเลือกตามลําดับตอไปนี้
ความยาวของสวนของเสนตรง AB ความยาวของ
สวนของเสนตรง BC และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุม
ฉาก ABCD จากเมนูกราฟ เลือกคําสั่งสรางตาราง
จะไดตาราง ดังภาพ ที่แสดงใหเห็นคาของความยาวของ
สวนของเสนตรง AB , สวนของเสนตรง BC และพื้นที่
เมื่อเพิ่มขอมูลหลายๆ จํานวนจากเมนูกราฟ ใชขอมูล
เหลานี้สรางขอความคาดการณ เรื่องความสัมพันธได

การสรางภาพแสดงการเปดแผนกระดาษ
การสรางภาพแสดงการเปดแผนกระดาษมีขั้นตอนการสรางดังนี้
1. เลือกเครื่องมือวาดเสนสรางสวนของเสนตรง AB สรางเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานดังภาพ
2. เลือกที่จุด A สรางเสนตั้งฉาก
3. เลือกที่จุด A และสวนของเสนตรง AB สรางวงกลมที่สรางจากจุดศูนยกลางและรัศมี
4. หาจุดตัดของวงกลมและเสนตั้งฉาก ตั้งชื่อจุด C
5. สรางสวนโคง BC โดยเลือกที่จุด A B และ C ในทิศทวนเข็มนาฬิกา เลือกที่เมนูสราง คําสั่งสวนโคง
บนวงกลม ซอนวงกลมเพื่อใหเห็นเฉพาะสวนโคงที่สราง
6. สรางจุดบนสวนโคงของวงกลม ตั้งชื่อจุด F
7. ระบุเวกเตอรที่จุด B และ D เลื่อนขนานจุด F จะไดจุด F'
8. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุด F,F' และจุด E กับ F'
9. ระบายสีและ ซอนสิ่งที่ไมตองการแสดงทั้งหมด จะไดผลดังภาพ
E
A B
D
C E
A B
D
F
F'
C E
A B
D
F

การสรางสื่อแสดงภาพกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
การสรางสื่อแสดงภาพกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีขั้นตอนในการสรางดังนี้
1. สรางตัวเลื่อน (Slider) มา 2 เสน โดยเสนหนึ่งกําหนดเปนความยาวของดานสี่เหลี่ยมจัตุรัส อีกหนึ่ง
เสนกําหนดเปนความยาวที่จะตองตัดออกในแตละมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
2. สรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใหมีความยาวเทากับตัวเลื่อน (Slider) ที่กําหนดความยาวของดาน
สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ใชเครื่องมือวงเวียนชวยในการสราง) ตั้งชื่อเปน ABCD
3. คลิกที่จุดมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ Slider เสนที่สั้น (เสนที่กําหนดความยาวในการตัดมุมออก)
สรางวงกลมที่มีรัศมีเทากับเสนนี้ จะไดวงกลมทั้ง 4 มุม หาจุดตัดแตละเสน ดังภาพ
4. สรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดทั้งสี่ที่เกิดขึ้นและหาจุดตัด เลือกเสนเปนแบบเสนประ ดังภาพ

5. ทําการซอนวงกลมทั้งสี่มุม จะไดรูปกระดาษที่แสดงการตัดมุมทั้งสี่
6. สรางกลองแบบ 3 มิติโดยมีวิธีการสรางดังนี้
- สรางฐานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในบริเวณที่วางของแบบราง (Sketch) โดยใหมีความยาวเทากับ
สวนของเสนตรง AB (ความยาวของฐานกลอง) ตั้งชื่อจุดเปน M และ N
- สรางวงกลมที่มีรัศมีเทากับตัวเลื่อน (Slider) ที่เปนสวนตัดของสี่เหลี่ยม ที่จุด M สรางเสนตั้งฉากที่จุด
นี้ หา
จุดตัดของวงกลมกับเสนตั้งฉาก ตั้งชื่อเปนจุด O
- ที่จุด N สรางเสนตั้งฉากกับดานความยาวฐาน จากนั้นคลิกที่จุด O กับเสนฐาน สรางเสนขนาน หา
จุดตัดตั้งชื่อจุดเปนจุด P
- คลิกที่จุด MNO สรางเสนแบงครึ่งมุม จากนั้นสรางขนานกับเสนแบงครึ่งมุมโดยใหผานจุด O และ
ผานจุด P
- คลิกที่จุด N และสวนของเสนตรง AB สรางวงกลมที่มีความรัศมีที่กําหนด หาจุดตัดของเสนตรงกับ
วงกลม ตั้งชื่อเปนจุด S
- ที่จุด S สรางเสนขนานกับเสนตรงที่ลากผานจุด P จากนั้นหาจุดตัด เชนเดียวกันสรางเสนขนานจุด
อื่น จากนั้นเชื่อมจุดทั้งหมด ซอนสวนที่ไมตองการแสดง จะไดดังภาพ
ในกรณีที่ตองการสรางภาพกลองกระดาษนี้ใหคลี่ได ใหดําเนินการสรางแตละชิ้นที่ดานทั้งสี่ ตาม
วิธีการเดียวกันกับที่สรางในหัวขอเปดแผนกระดาษ

การสอนเรื่อง กราฟของสมการเสนตรง
ใน GSP มีเมนูกราฟที่ชวยใหการสอนเรื่องกราฟทําไดงายขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้
กราฟเสนตรงที่ผานจุดที่กําหนดให
1. สรางระบบพิกัด โดยไปที่เมนูกราฟ แลวเลือกคําสั่งกําหนดระบบพิกัด
2. เลือกคําสั่งลงจุดจากเมนูกราฟ ใหนักเรียนทดลองลงจุดของคูอันดับ
3. เลือกจุด 2 จุด เชน A และ D แลวไปที่เมนูสราง เลือกคําสั่งเสนตรง
4. อธิบายความหมายของความชันของกราฟเสนตรง โดยใหนักเรียนเลือกจุด A และแกน X แลวไปที่เมนูสราง
เลือกคําสั่งเสนขนาน จากนั้นเลือกจุด D และแกน y ไปที่เมนูสราง เลือกคําสั่งเสนขนาน

5. จากเสนขนานกับแกน X ผานจุด A และเสนขนานกับแกน y ผานจุด D สรางจุดตัด E
6. ใหนักเรียนหาความชันของกราฟเสนตรง โดยการคํานวณจากเมนูวัด
- เลือกจุด A ไปที่เมนูวัด เลือกวัดพิกัดที่หนึ่ง(x) จะไดคา XA
- เลือกจุด A ไปที่เมนูวัด เลือกวัดพิกัดที่สอง (y) จะไดคา yA
ในทํานองเดียวกัน วัดพิกัดที่หนึ่ง (x) และวัดพิกัดที่สอง (y) ของจุด D
EAระยะจาก
DEระยะจาก
เสนตรงความชันของ
→
→
=
AEระยะจาก
EDระยะจาก
เสนตรงความชันของหรือ
→
→
=

- ไปที่เมนูวัด เลือกคําสั่งคํานวณ ปอนคา (yD - yA)/(XD - XA) ลงในเครื่องคํานวณ
จะไดคาความชันของกราฟเสนตรงที่ผานจุดที่กําหนดให ครูสามารถใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบไดโดย
ใหนักเรียนเลือกกราฟเสนตรงแลวไปที่เมนูวัด เลือกคําสั่งความชัน GSP จะแสดงความชันของกราฟเสนตรงให
7. การหาสมการของกราฟเสนตรง
- เลือกกราฟเสนตรง ไปที่เมนูสราง เลือกคําสั่งจุดบนเสนตรง ตั้งชื่อจุดที่ไดเปนจุด P จุด P นี้สามารถเลื่อนไป
มาไดบนกราฟเสนตรง
- เลือกจุด P แลวไปที่เมนูวัด เลือกคําสั่ง วัดพิกัดที่หนึ่ง (x) จะไดคา XP เลือกจุด P แลวไปที่เมนูวัดเลือกคําสั่ง
วัดพิกัดที่สอง(y) จะไดคา yP
เมื่อลากจุด P จะสังเกตเห็นคา XP และ yP เปลี่ยนเปลง
P
P
P

- เลือก XP และ yP แลวไปที่เมนูกราฟเพื่อสรางตาราง
เพิ่มจํานวนแถวในตารางเพื่อใหไดขอมูลมากพอสําหรับใหนักเรียนเพื่อใชในการหาความสัมพันธระหวางพิกัด
x และ y ของจุดบนกราฟเสนตรงและสรุปเปนสมการ
การเพิ่มจํานวนแถวในตารางมีขั้นตอนดังนี้
1. เลือกตารางแลวไปที่เมนูกราฟ เลือกคําสั่งเพิ่มตารางครั้งละ 1 แถว จากนั้นเพิ่มแถวของตาราง โดยการเลื่อน
จุด P ไปยังตําแหนงที่ตองการแลวคลิกเมาสเพื่อรับคา XP และ yP ของตําแหนงใหม
2. เลือกตารางแลวกดแปน + หรือ Shift และ + เพื่อเพิ่มแถวของตารางอีก 1 แถว
3. เลือกจุด P แลวลากไปยังตําแหนงใหม คลิกเมาสเพื่อรับคา XP และ yP คาใหม
4. ทําซ้ําขอ 2, 3 เมื่อตองการเพิ่มจํานวนแถว
5. ถาตองการลบจํานวนแถวใหกดแปน - หรือ shift และ -
เมื่อไดขอมูลมากพอ ก็ใหนักเรียนสรุปวา x และ y มีความสัมพันธกันอยางไร และสรุปออกมาเปนสมการของ
กราฟเสนตรงตามขอมูลที่สังเกตได
- เลือกกราฟของเสนตรงแลวไปที่เมนูวัด เลือกคําสั่งสมการ จะไดสมการของกราฟเสนตรง แลวเปรียบเทียบกับ
สมการที่นักเรียนไดจากการสังเกตขอมูล
PP

การเขียนกราฟของฟงกชันไซน เมื่อกําหนดโดเมนเปน ( 0, 2¶) โดยอาศัยวงกลม 1 หนวย
1. สรางวงกลมที่มีขนาดแนนอน
กําหนดจุดใดๆ 1 จุด สมมุติชื่อ จุด A
สรางจุดอีก 1 จุดที่หางจากจุดแรก 2 ซม. โดยการเลื่อนขนานไปทางซายมือ
ที่จุด A สรางวงกลมมีรัศมีเทากับจุดที่เกิดจากการเลื่อนขนาน
2. ตองการสรางจุดกําเนิดที่ผูกพันธกับวงกลมหนึ่งที่สรางขึ้น
สรางจุดที่เกิดจากการเลื่อนขนานจุด A ในแนวแกน X หาง (2+1 = 3) ซม.เพื่อใหเปนจุดกําเนิดของกราฟ สมมุติชื่อ
วา จุด O
คลิกเลือก จุด O ที่เมนูกราฟเลือกคําสั่งกําหนดจุดกําเนิด จะไดจุดกําเนิดที่จุด O
เนื่องจากตองการใหวงกลมที่เราสรางมีรัศมี 1 หนวยเราสามารถปรับความกวางของแกนไดดังนี้
- เลื่อนจุดบังคับ หนึ่งหนวย เพื่อปรับระยะ 1 หนวย ของตารางใหเทากันกับรัศมีของวงกลม
1 หนวย แลวซอนจุดบังคับหนึ่งหนวย
3. ที่จุด O ตองการสรางสวนของเสนตรงบนแกน X ที่มีความยาวเทากับเสนรอบวงของวงกลมหนึ่งหนวย
วัดความยาวของเสนรอบของวงกลม A (ควรใชทศนิยมอยางนอย 3 ตําแหนง)
คลิกเลือกความยาวที่วัดได ที่เมนูการแปลง เลือกคําสั่งระบุระยะทาง
คลิกเลือก จุด O ที่เมนูการแปลง เลือกคําสั่งเลื่อนขนาน สั่งเลื่อนขนานโดยระยะทางที่ระบุ จะได จุด O’ ใน
ตําแหนงที่ตองการ สรางสวนของเสนตรง
4. กําหนดจุดกึ่งอิสระ บนวงกลมหนึ่งหนวย 1 จุด และจุดกึ่งอิสระบน 1 จุด
'OO
'OO
2
1
-1
-2 2 4 6
เสนรอบวง AA' = 12.566 ซม.
O'O
A
P

5. สรางจุดตัดที่จะใชแสดงกราฟฟงกชันไซน
– เลือกจุดอิสระบน และเสนตรง ไปที่ เมนูสราง เลือกคําสั่งเสนตั้งฉาก
จะไดเสนตั้งฉากกับ ผานจุดอิสระ
– เลือกจุดอิสระบนเสนรอบวงของวงกลม A และเสน ไปที่เมนูสรางเลือกคําสั่ง
เสนขนาน จะไดเสนขนานกับ ผานจุดอิสระบนเสนรอบวงของวงกลม
– เลือกเสนตรงที่ขนานกับ และผานจุดอิสระบนเสนรอบวงของวงกลม A กับเสนตรงที่
ตั้งฉากกับ และผานจุดอิสระบน แลวไปที่ เมนูสราง เลือกคําสั่งสรางจุดตัดให
ชื่อจุด Q
6. สรางปุมคําสั่งเคลื่อนไหว
เลือกจุดอิสระบนเสนรอบวงของวงกลม A (P) และจุดอิสระที่อยูบน (P1)
ที่ เมนูแกไข เลือกปุมแสดงการทํางาน แลวไปเลือก การเคลื่อนไหว
จะได หนาตางโตตอบ พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดบนสวนของเสนตรง เลือกไปขางหนา
( * ทั้งจุดอิสระบนเสนรอบวงกลม A และจุดอิสระบน ตองใชความเร็วการเคลื่อนไหวเทากัน)
7. สรางปุมจุดเริ่มตน คลิกเลือกตามลําดับดังนี้
- เลือกจุดอิสระบนเสนรอบวงของวงกลม A (จุดP) และ เลือกจุดที่ใชเปนจุดสรางเสนรอบวงขอวงกลม (จุด A’)
ตามลําดับ
- เลือกจุดอิสระบน จุด(P1) และจุดกําเนิด O (ดูรูป)
ไปที่เมนูแกไข เลือกปุมแสดงการทํางาน เลือกการเคลื่อนที่ เมื่อหนาตางโตตอบปรากฏใหเลือกอัตราเร็วชั่วขณะ
เปลี่ยนชื่อ ปาย เปน ไปที่จุดเริ่มตน แลวตอบตกลง
ไดสื่อที่แสดงกราฟตามตองการ หากการเคลื่อนที่ของเสนกราฟผิดทิศทางตองไปแกที่สมบัติของการเคลื่อนไหว
อีกครั้งตามความเหมาะสม
'OO 'OO
'OO
'OO
'OO
'OO
'OO 'OO
'OO
'OO
'OO

กราฟของฟงกชันอดิศัย
ฟงกชันอดิศัย ( Trancendental Function) เปนฟงกชันที่มิใชฟงกชันพีชคณิต ฟงกชันอดิศัยที่รูจักและ
คุนเคยกันดีไดแกฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล และฟงกชันลอการิทึม
ในโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad มีสมบัติใหสามารถเขียนกราฟของฟงกชันใดๆ ตามที่
กําหนด ใหนักเรียนทดลอง ปรับเปลี่ยนคาคงตัว พิจารณารูปกราฟ ตลอดจนตรวจสอบคาตางๆได โดยใชคําสั่งงายๆ
เชน
การสรางกราฟของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
1. ที่เมนูกราฟ ..> พารามิเตอรใหม แลวกําหนดพารามิเตอร 4 ตัว
เชน a b c d โดยใหคาเปนเทาไรก็ได
2. กําหนดฟงกชันจากเมนูกราฟ ตัวอยางเชน
1. ax
จะได f(x) = ax
2. bx
จะได g(x) = bx
3. cx
จะได h(x) = cx
โดยเลือกจากคาพารามิเตอร a b c และ d ที่กําหนดไวกอนแลวใสในฟงกชัน
3. วาดกราฟของฟงกชันใหม f(x) = ax
ใหนักเรียนพิจารณากราฟของ f(x) = ax
เมื่อพารามิเตอรเปนบวกและลบ โดยใชเครื่องหมาย + และ -
บนคียบอรด ควบคุมการเปลี่ยนคาพารามิเตอร
4. เขียนกราฟ g(x) = bx
ปรับคา b = 3
h(x) = cx
ปรับคา c = 5
ใหพิจารณากราฟ ณ จุด (0, 1)
5. สราง inverse ของฟงกชัน f(x) = ax
เมื่อ a = 2
เลือกเมนูกราฟ คําสั่งฟงกชันใหม เลือกสมการ x = f(y) จะเห็น y เกิดในกลองโตตอบแทน x
เขียนสมการ f(y) = ay
พิจารณากราฟเมื่อเปลี่ยนคา a ไปตาง ๆ
นอกจากนี้ฟงกชันเอกโพเนนเชียลแลว ยังสามารถเขียนของฟงกชันตรีโกณมิติในรูปแบบตางๆ เชน bsin ax ,
bcos ax , btan ax และอื่นๆ เมื่อ a และ b เปนพารามิเตอร ซึ่งจากการพิจารณากราฟดังกลาว จะชวยเพิ่มความ
เขาใจของนักเรียนเกี่ยวกับแอมพลิจูดและคาบของฟงกชัน

การสรางสื่อการสอนเรื่องฟงกชัน
การใช GSP สรางสื่อการสอนเพื่อใหนักเรียนสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับเรื่องความสัมพันธระหวาง x
และ f(x) นั้นสามารถทําไดหลายวิธี ตัวอยางเชน
1. ที่เมนูกราฟเลือก – กําหนดระบบพิกัด
– สแนพจุด
– ซอนกริด
2. คัดลอกแกน X และวาง เลื่อนแกน X ที่คัดลอกมาวางใหจุดกําเนิดอยูบนแกน Y และ
หางจากแกน X เดิมพอสมควร
3. กําหนดชื่อแกนบน เปนแกนของ X
กําหนดชื่อแกนลาง เปนแกน f(x) แลวซอนแกน Y และ ซอนจุดยอ-ขยายแกน
กําหนดจุดเคลื่อนที่อิสระบนแกน X
4. เลือกจุดอิสระบนแกน x (จากขอ 3) แลววัดพิกัดที่หนึ่ง (x)
5. กําหนดฟงกชันโดยเลือกเมนูกราฟ .. > ฟงกชันใหม
กําหนด f(x)= x2
คํานวณคา f(x) จากเมนูวัด โดยใชพิกัดที่หนึ่ง (x) ของจุดอิสระบนแกน x ที่วัดไดในขอ 4
แทนตัวแปร x ในฟงกชัน
6. วัดพิกัดทางแกน y ของจุด 0 บนแกน f(x)
7. ใชคาที่ไดจากขอ 5 และ 6 ลงจุดแบบ (x,y) จากเมนูกราฟ โดยเลือกคา f(x) เปนพิกัดที่หนึ่ง (x) และคาพิกัด
ทางแกน y ของจุด 0 บนแกน f(x) เปนพิกัดที่สอง (y)
8. ลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอระหวางจุดอิสระบนแกน x และจุดที่ลงใหมในขอ 7 แลวตกแตงตามตองการ
จะไดสื่อการสอนที่ใหนักเรียนไดสังเกตแบบรูปของความสัมพันธของสมาชิกบนแกน x และ แกน f(x)
แลวสรางเปนขอความคาดการณและตรวจสอบดวยการลากจุดที่กําหนดใหไปมา จากตัวอยางขางตนเงื่อนไขของ
ความสัมพันธคือ f(x)=x2
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
f(x) = 6.84x = 2.62
f(x)
0
0
x
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10

ถาตองการสรางสื่อการสอนใหคาที่ปรากฏเปนจํานวนเต็ม มีขั้นตอนดังนี้
1. ที่เมนูกราฟเลือก – กําหนดระบบพิกัด
– สแนพจุด
– ซอนกริด
2. คัดลอกแกน X และวาง เลื่อนแกน X ที่คัดลอกมาวางใหจุดกําเนิดอยูบนแกน Y และ
หางจากแกน X เดิมพอสมควร
3. กําหนดชื่อแกนบน เปนแกนของ X
กําหนดชื่อแกนลาง เปนแกน f(x) แลวซอนแกน Y และ ซอนจุดยอ-ขยายแกน
กําหนดจุดเคลื่อนที่อิสระบนแกน X
4. เลือกจุดอิสระบนแกน X (จากขอ3) แลววัดพิกัดที่หนึ่ง( X)
5. ทําใหพิกัด X ที่ไดจากขอ 4. เปนจํานวนเต็ม โดย
เลือกเมนูวัด..>เลือกคําสั่ง คํานวณ ไดกลองโตตอบ
..>เลือกฟงกชัน round เติมคา X ที่วัดไดในวงเล็บ
6. ซอนพิกัดที่วัดไดจากขอ 4 ( คา X เปนจํานวนจริง) เหลือคา X ที่เปนจํานวนเต็มเปลี่ยนชื่อเปน X
7. วัดพิกัดที่สอง( y) ของจุดกําเนิดบนแกน X
8. เลือกคาที่ไดจากการวัดลงจุดแบบ (X,Y) บนแกน X จากเมนูกราฟ โดยใชคาxx จากขอ 6.
และ y0 จากขอ 7
กําหนดฟงกชัน f(x) โดยเลือกเมนูกราฟ ฟงกชันใหม กําหนด f(x) = 2(x – 1)
จากเมนูวัด ..>คําสั่งคํานวณ คํานวณคา f(x) โดยใชคา x เปนจํานวนเต็ม(ขอ 5.)
9. วัดพิกัดแกน Y ของจุดกําเนิด บนแกน f(x)
10. ลงจุดแบบ ( X,Y) บนแกน f(x) โดยใชคา f(x) จากขอ 7 เปนพิกัดที่หนึ่งและพิกัดที่สองจากขอ 8 เปน (f(x), y0)
11. ลากเสนเชื่อมตอระหวางจุดบนแกนทั้ง 2 ที่ไดจากการลงจุด
12. สรางปุมเลื่อน ตกแตงตามความตองการ

การสรางสื่อการสอนเรื่องเวกเตอร
เวกเตอร
บทนิยาม ปริมาณที่มีแตขนาดเพียงอยางเดียว เรียกวา ปริมาณสเกลาร (scalar quantity) สวนปริมาณที่มีทั้ง
ขนาดและทิศทาง เรียกวา ปริมาณเวกเตอร (vector quantity) หรือเรียกสั้น ๆ วา เวกเตอร
จากบทนิยามจะพบวา ปริมาณเวกเตอรประกอบดวยสองสวนที่สําคัญคือ ทิศทาง และ ขนาด ในเชิงเรขาคณิต
แทนทิศทางดวยหัวลูกศรและแทนขนาดดวยความยาวของสวนของเสนตรง
ขั้นตอนการสรางเวกเตอร
1. สรางตัวเลื่อน (Slider) 1 เสน สําหรับการควบคุมขนาดของเวกเตอร
2. สรางจุดอิสระ 1 จุด (จุด A) เปนจุดเริ่มตนของเวกเตอร
3. เลือกจุด A และตัวเลื่อน (สวนของเสนตรง PQ) แลวสรางวงกลม
4. สรางจุดบนสวนของวงกลม 1 จุด (จุด B) เปนจุดปลายของเวกเตอร สามารถเคลื่อนที่ไดบนเสน
รอบวงของวงกลม
5. สรางสวนของเสนตรง AB เปนขนาดของเวกเตอร AB
6. ที่จุด B สรางหัวลูกศร แสดงทิศทางของเวกเตอร
– เลือกจุด B แลวเลื่อนขนาน จุด B ไป 0.7 เซนติเมตร ในทิศศูนยองศา
7. เลือกจุด B (เปนจุดศูนยกลาง) และเลือกจุดที่ไดจากการเลื่อนขนานจุด B แลวสรางวงกลม
8. สรางจุดตัดระหวางสวนของเสนตรง AB และเสนรอบวงของวงกลมไดจุด C
P Q
A
B จุดปลายของเวกเตอร
จุดเริ่มตนของเวกเตอร
C B'
A
B

9. เลือกจุด C เลื่อนขนานจุด C เปนระยะ 0.2 เซนติเมตร มุมศูนยองศา
10. เลือกจุด C และจุดที่เกิดจากการเลื่อนขนานจุด C สรางวงกลม
11. สรางจุดตัดระหวางวงกลมเดิมกับวงกลมใหม และจุดตัดระหวางวงกลมใหม กับสวนของเสนตรงAB
ไดจุด D, E และ F ดังแสดงในรูป
12. เลือกจุด D E F และ B ตามลําดับ สรางภายในรูปสี่เหลี่ยม
13. ซอนจุดและเสนรอบวงที่ไมตองการแสดง จะไดเวกเตอรตามตองการ
ED
FC
B'
A
B
A
B
P Q
v
u
u + v
การบวกเวกเตอร
นิยาม ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ เลื่อน v ใหจุดเริ่มตนของ v อยูที่
จุดสิ้นสุดของ u ผลบวกของ u และ v เขียนแทนดวย " u + v " คือ
เวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนอยูที่จุดเริ่มตนของ u และจุดสิ้นสุดอยูที่จุดสิ้นสุดของ v

ขั้นตอนการสรางสื่อการสอนเรื่องการบวกเวกเตอร
1. สรางเวกเตอร 2 เวกเตอร คือ เวกเตอร AB และ CD โดยมี a,b เปนตัวเลื่อนเพื่อกําหนดขนาดเวกเตอร
2. สรางจุดอิสระ 2 จุด คือ จุด M และ N สําหรับเปนตําแหนงที่อยูของ เวกเตอร AB และเวกเตอร CD
3. สรางปุมเคลื่อนที่สําหรับเคลื่อนเวกเตอร AB และ CD กลับที่อยูโดยเลือกจุด A, M, C และ N
ตามลําดับ แลวไปที่เมนูแกไข เลือกคําสั่งปุมแสดงการทํางาน เคลื่อนที่ ที่หนาตางโตตอบ เลือก
ความเร็วในการเคลื่อนที่เปนชั่วขณะ (ทดสอบการทํางานของปุม) ตั้งชื่อปายเปนกลับ
4. สรางปุมเคลื่อนที่ C -> B โดยเลือกจุด C และ B ตามลําดับ (ในกรณีที่เวกเตอร AB และ CD อยูที่
ตําแหนง M และ N ตองใชเมาสลากเวกเตอรทั้งสองออกจากตําแหนง M และ N กอน) แลวไปที่เมนู
แกไข เลือกคําสั่งปุมแสดงการทํางาน เคลื่อนที่ ที่หนาตางโตตอบ เลือกความเร็วในการเคลื่อนที่
เปนเร็วหรือปานกลาง (ทดสอบการทํางานของปุม)
A
B
C
D
a b
กลับ
C -> A
A
B
C
D
M N
a b

5. สรางเวกเตอรลัพธ โดยกําหนดจุดอิสระ 2 จุด แลวสรางเวกเตอรเปนเวกเตอร EF
6. สรางปุมการเคลื่อนที่ F → D เลือกความเร็วในการเคลื่อนที่แบบปานกลางหรือเร็ว
7. สรางปุมการเคลื่อนที่ E → A และ F → A เลือกความเร็วในการเคลื่อนที่แบบชั่วขณะ เลือกปุม
ทั้งสองแลวไปที่เมนูแกไข คําสั่งแสดงปุมแสดงการทํางานเลือกการนําเสนอที่หนาตางโตตอบเลือก
ทํางานพรอมกัน แลวตั้งชื่อปายเปนกลับจุด A
8. สรางปุมการนําเสนอ 2 ปุม ดังนี้
ปุมที่ 1 กลับไปเริ่มตน มีขั้นตอนดังนี้
– เลือกปุมกลับ (ในขอ 3) และปุมกลับจุด A (ในขอ 7) แลวไปที่เมนูแกไข เลือก
คําสั่งปุมแสดงการทํางานการนําเสนอ
– ที่หนาตางโตตอบเลือก การทํางานพรอมกัน แลวตั้งชื่อปาย กลับไปเริ่มตน
ปุมที่ 2 เวกเตอร AB + CD มีขั้นตอนดังนี้
– เลือกปุมเคลื่อนที่ C → B (ในขอ 4) และปุม F → D ในขอ 8 แลวไปที่เมนูแกไข
เลือกคําสั่งปุมแสดงการทํางาน การนําเสนอ ที่หนาตางโตตอบเลือกการทํางานตาม
ลําดับ แลวตั้งชื่อปายวาเวกเตอร AB + CD
กลับ
C -> A
A
B
C
D
M N
E F
a b

การลบเวกเตอร
การสรางนิเสธของ
1. สรางเวกเตอร 1 เวกเตอร เปนเวกเตอร CD
2. ที่จุด C สรางเสนตั้งฉากกับสวนของเสนตรง CD
3. เลือกเสนตั้งฉากเปนเสนสะทอน
4. สะทอนเวกเตอร CD ไดนิเสธของเวกเตอร CD
การสรางสื่อการสอนเรื่องลบเวกเตอร เชน เวกเตอร AB ลบดวยเวกเตอร CD ทําเหมือนกับการบวกเวกเตอร
นั่นคือ เวกเตอร AB บวกดวยนิเสธของเวกเตอร CD แตตองเพิ่มปุมการซอน/แสดงเวกเตอร AB กับนิเสธของเวกเตอร
AB เพื่อใชในการสรางปุมการนําเสนอ
C
D
C
D
บทนิยาม นิเสธของ u (negative of u ) คือเวกเตอรที่มีขนาดเทากับขนาดของ u
แตมีทิศทางตรงกับทิศของ u แทนดวย -u
บทนิยาม ให u และ vเปนเวกเตอรใดๆ ผลลบของ uดวย v หมายถึง ผลบวกของ u
และนิเสธของ v เขียนแทนดวย u - v นั่นคือ u - v = u +(-v)
D'
u


การสรางสื่อเรื่องลิมิตของฟงกชัน
ในการศึกษาเรื่องลิมิตของฟงกชัน เราสามารถสรางสื่องายๆ เพื่อทําใหนักเรียนเห็นภาพ ของคา x ที่เขาใกล a
และคาลิมิตของฟงกชัน ไดชัดเจนขึ้นโดยมีขั้นตอนดังตอไปนี้
1. จากเมนูกราฟ กําหนดฟงกชัน และวาดกราฟของฟงกชันนี้
2. ใชคําสั่งจุดเพื่อสรางจุดอิสระ 1 จุดบนแกน x ใหชื่อวา “a” จากเมนูวัดหาพิกัดที่หนึ่ง (x) ของ a จะให xa
3. จากเมนูวัด คําสั่งคํานวณ หาคา f(x) แลวเลือก xa และ f(xa) ตามลําดับ จากเมนูกราฟ เลือกคําสั่งลงจุดแบบ (x,y)
4. จากเมนูกราฟใชคําสั่งพารามิเตอรใหม สรางพารามิเตอร t=0
5. เลือก t=0 และ f( xa) ตามลําดับ แลวไปที่เมนูกราฟ ใชคําสั่งลงจุดแบบ (x,y) จะไดจุด (0,f(xa )) บนแกน y
6. จากเมนูสราง ใชคําสั่งสวนของเสนตรง สรางเสนตรงเชื่อมจุดที่ลงไว จะไดภาพดังนี้
เมื่อเลื่อน a ไปบนแกน x จะไดคา f(a) บนแกน y
7. เลือกจุด a และจากเมนูการแปลง เลือกคําสั่งเลื่อนขนานแบบเชิงขั้ว ระยะคงที่ 3 ซม. และมุมคงที่ 0 องศา จะไดจุด
ทางขวาของ a หางจาก a 3 หนวย และจากเมนูสรางเลือกคําสั่งสวนของเสนตรง เพื่อสรางสวนของเสนตรงเชื่อม
2 จุดนี้
8. ใชคําสั่งจุดสรางจุดอิสระ 1 จุด บนสวนของเสนตรงในขอ 7 ใหชื่อวา x1 จุดนี้จะเคลื่อนที่บนสวนของเสนตรงที่
สรางขึ้นเทานั้นและจากเมนูวัด หาพิกัดที่หนึ่งของ x1 จะไดคา Xx1
9. จากเมนูวัด ใชคําสั่งคํานวณ เลือกฟงกชัน f และเลือก Xx1 จะไดคา f( Xx1)
10. เลือก Xx1 และ f( Xx1) ไปที่เมนูกราฟ ใชคําสั่งลงจุดแบบ (x,y)
11. เลือก t=0 และ f( Xx1) ไปที่เมนูกราฟ ใชคําสั่งลงจุดแบบ (x,y)
12. จากเมนูสรางใชคําสั่ง สวนของเสนตรง สรางเสนตรงเชื่อมจุดที่ลงไว จะไดภาพดังนี้
1
16
)2(
)(
2
+
+
=
x
xf
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15
f(a) = 11.02
a=10.66
f x( ) =
x+2( )2
16
+1

เมื่อเลื่อนจุด x1 เขาใกล a ภาพดังกลาวจะแสดงคาของ f( x1 ) เมื่อ x เขาใกล a จะเห็นวา f( x1) เขาใกล f(a)
13. ในทํานองเดียวกัน เราสามารถสรางจุด x2 ทางซายของจุด a อยูบนสวนของเสนตรง ระยะหางจากจุด a 3 ซม. ได
เชนเดียวกัน (ทํานองเดียวกับขอ 7 ถึง 12)
14. หลังจากสรางภาพแสดงคาของ f(x1) และ f(x2) เสร็จแลว ใหเลือกจุด x1 และ a ตามลําดับ จากเมนูแกไข ใช
คําสั่ง ปุมแสดงการทํางาน และเลือกคําสั่งการเคลื่อนที่ จะไดปายการเคลื่อนที่ x1- >a
15. เลือกจุด x2 และ a ตามลําดับ จากเมนูแกไข ใชคําสั่ง ปุมแสดงการทํางาน และเลือกคําสั่งการเคลื่อนที่ จะได
ปายการเคลื่อนที่ x2 - >a
16. กดปุมในขอ 14 และขอ 15 จะไดภาพการเคลื่อนที่ของ x เขาใกล a ทั้งทางซายและทางขวาของ a ซึ่งจะเห็นภาพ
ของ f(x1) และ f(x2) ตางก็เขาไปหาคา f(a) ไดเชนเดียวกัน
17. ในกรณีที่ฟงกชัน ที่กําหนดให ไมเปนฟงกชันตอเนื่องที่ x=a สามารถสรางสื่อแสดงลิมิตของฟงกชัน เมื่อ
x เขาใกล a ทางซายและทางขวาไดในหลักการเดียวกัน
20
15
10
5
-5
-10
-30 -20 -10 10 20
f xx1( ) = 14.64
xx1 = 12.77
f(a) = 8.61
f xa( ) = 8.61
xa = 9.03
t = 0.00
f x( ) =
x+2( )2
16
+1
a x1
20
15
10
5
-5
-10
-30 -20 -10 10 20
f xx1( ) = 14.64
xx1 = 12.77
f(a) = 8.61
f xa( ) = 8.61
f xx2( ) = 5.80
xx2 = 6.77
xa = 9.03
t = 0.00
f x( ) =
x+2( )2
16
+1
ax2 x1

การสรางสื่อสําหรับการศึกษาเรื่องลิมิตของฟงกชัน
การศึกษาเรื่องลิมิตเปนสิ่งสําคัญมากสําหรับวิชาแคลคูลัสเราจะพิจารณาฟงกชัน f ซึ่งเปนฟงกชันคาจริง
และศึกษานิยามของลิมิตโดยละเอียดดังนี้
เราจะนิยามวา f มีลิมิตเปนจํานวนจริง L เมื่อ x เขาใกล a
(ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ )
ก็ตอเมื่อ สําหรับทุกจํานวนจริง >0 ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริง > 0 ที่ทําให |f(x) - L| < สําหรับทุก x ซึ่ง 0 <|x – a | <
เพื่อใหนักเรียนไดเขาใจถึงจํานวนจริง และ ที่มีบทบาทมากสําหรับนิยามของลิมิต เราทําสื่องาย ๆ ดังนี้
จากบทนิยาม
เมื่อเรากลาววา |f(x) - L|< (ทุก > 0)
เราจะไดวา - < f(x) – L <
หรือ L - < f(x) < L +
หรือพูดงาย ๆ วา f(x) มีคาใกล L
เราสามารถสรางสื่อใหเห็นภาพไดวาถาเราสามารถบีบชวง (L- , L+ ) ใหเล็กมากเทาใดก็ได โดยใช
เปนตัวกําหนด และเมื่อ f(x) ตกในชวง (L - , L + ) แสดงวา f(x) กับ L มีคาหางกันไมเกิน โดยทําดังนี้
1) กําหนด L บนแกน y เลื่อนขนาน L ไป 1 หนวยในแนวแกน Y ซึ่งตั้งฉากกับแกน x(ใชคําสั่งเลื่อน
ขนาน 1 หนวย 90 องศา)
2) ลากเสนตรงผาน จุด 2 จุดนั้น
3) สรางตัวเลื่อน ( slider) ความยาวพอสมควร
4) ใช L เปนจุดศูนยกลางเขียนวงกลมรัศมี หาจุดตัดเสนตรงกับวงกลม ตั้งชื่อวา L + และ L -
ตามลําดับ
ε
δ δε
ε δ
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε
Lxf
ax
=
→
)(lim
ε
ε
ε
ε

5) สรางเสนเชื่อมจุด L - และ L + จะมี L เปนจุดกึ่งกลางชวง
6) ลองเลื่อนความยาว slider จะเห็นชวง (L - , L + ) เปลี่ยนไปดวย
ตอไปเราจะสรางสื่อเพื่อสรางความเขาใจเกี่ยวกับคา delta( ) เมื่อเราตองการแสดงใหเห็นภาพที่
x " a–
เราทําสื่อดังนี้
1) ใชเครื่องมือจุด กําหนดจุด a บนแกน x เลื่อนขนาน a ไปในแนวนอนทางซายมือ 1 หนวย
ลากเสนตรงผานจุด a และจุดที่เกิดใหม
2) กําหนดคา โดยวิธีสราง slider ความยาวพอสมควร
3) ใช a เปนศูนยกลางรัศมี สรางวงกลม หาจุดตัดของวงกลม กับเสนตรงที่ผานจุด a ได
จุด 2 จุด
4) เลือกจุดทางซายของ a ใหชื่อจุดนั้นวา a –
5) ซอนเสนตรงที่ผานจุด a แลวสรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดa – กับจุด a
6) สรางจุด 1 จุดบนสวนของเสนตรงนั้นใหชื่อวา x
x สามารถเคลื่อนที่ไปมาไดบนสวนของเสนตรง
7) สรางหัวลูกศรตามใจชอบใหมีทิศทางพุงเขาหาจุด a
8) ทําปุมเคลื่อนที่ x โดยใหเคลื่อนที่เริ่มจากจุด a – ไปยังจุด a
ในทํานองเดียวกัน ถาเราตองการแสดงใหเห็นภาพที่ x ¦ a+
เราก็สามารถสรางไดโดยกระทําเชนเดียวกัน
ตั้งแตขอ 1) ถึง 4) โดยในขอที่ 4) ใหเลือกจุดตัดทางดานขวามือ ของ a และใหชื่อจุดนั้นวา a +
a x a +
หลังจากนั้นเมื่อรวมภาพ x ¦ a-
และ x " a+
ก็จะไดภาพของ x " a (หมายถึงเขาใกล a ทั้งสอง
ทางซายและขวา) ดังภาพ
a- x
นั่นคือ x สามารถ เคลื่อนไหวไดบนชวง (a – , a + ) และเมื่อเรากลาววา 0 < |x – a|<
จะหมายความวา a - < x < a + และ x ≠ a
δ
δ
δ
δδ
ε ε
ε ε
δδ
ε
δ
δ
δ δ
δ
δ
δ δ
δ
a a+

การสรางเสนสัมผัสเสนโคง ณ จุด ที่กําหนดให
การสรางเสนสัมผัสเสนโคง ณ จุด P ที่กําหนดใหมีขั้นตอนดังตอไปนี้
1. กําหนดพารามิเตอรใหม a , b , c , d จากเมนูกราฟใชคําสั่งฟงกชันใหม สรางฟงกชัน ƒ(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
2. จากเมนูกราฟ วาดกราฟฟงกชัน ƒ(x)
3. กําหนดจุด P บนกราฟของฟงกชัน ƒ และจากเมนูวัด หาพิกัดที่หนึ่ง(x) ของจุด P และหาพิกัดที่สอง (y)
ของจุด P จะไดคา xp และ yp
4. เลือกฟงกชัน ƒ(x) และจากเมนูกราฟใชคําสั่งอนุพันธจะได
ƒ'(x) = 3ax2
+ 2bx + c
5. จากเมนูวัดเลือกคําสั่งคํานวณ แลวเลือก ƒ'(x) และ xp ตามลําดับจะได
ƒ'(xp) = m
6. เราตองการสรางเสนสัมผัส L ที่มีความชัน m และผานจุด (xp, yp) ซึ่งมีสมการ y = m(x – xp) + yp เมื่อ
m = ƒ'(xp) เราจะสรางฟงกชันเสนตรง L นี้ไดโดย จากเมนูกราฟ ใชคําสั่งฟงกชันใหมโดยใชชื่อ g(x)
g(x) = m(x – xp) + yp
7. จากเมนูกราฟ ใชคําสั่ง วาดกราฟฟงกชันใหม จะไดกราฟของเสนตรง ซึ่งผานจุด P และ สัมผัสกราฟของ ƒ
ที่จุด P
8. เลื่อนจุด P ไปบนสวนโคงของฟงกชัน ƒ จะพบวา เสนสัมผัสเปลี่ยนแปลงไปตามจุด P
9. กําหนดจุด Q บนกราฟของ ƒ(x) แลวสรางเสนตรงผานจุด P และ จุด Q จากเมนูสราง
ใชเครื่องมือลูกศร เคลื่อนที่ Q ใหเขาใกล P แลวสังเกตเสนตรงที่ผานจุด P และจุด Q จะพบวาเมื่อ Q เคลื่อนที่
เขาใกล P เสนตรง PQ จะเคลื่อนเขาใกลเสนสัมผัส L ดังนั้น ความชันของเสนตรง PQ จะเขาใกลความชันของเสน
สัมผัส L
ความชันของเสนตรง PQ =
ถาเราให h = XQ - XP เมื่อ Q ¦ P จะได XQ ¦ XP และทําให h ¦ 0
ดังนั้น เมื่อ Q ¦ P แสดงวา h ¦ 0
นั่นคือ เมื่อเราพิจารณา ความชันของเสนตรง PQ เมื่อ Q ¦ P จะเห็นวา ความชันของเสนตรง PQ มีคาเขา
ใกลความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่ P ซึ่งทําใหเราพอจะสังเกตเห็นไดวา
เปนคาความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ณ จุด P
( ) ( )
pQ
pQ
xx
xfxf
−
−
( ) ( )
pQ
pQ
xx xx
xfxf
pQ
−
−
→
lim หรือ
h
xfhxf pp
h
)
0
()(
lim
++
→

14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10 15
P: (-0.47, 1.31)
g x( ) = f' x P( )⋅ x -x P( )+yP
f' x P( ) = 0.31
yP = 1.3
xP = -0.5
f' x( ) = 3⋅a⋅x 2+2⋅b⋅x +c
f x( ) = a⋅x 3+b⋅x 2+c⋅x+d
d = 1.70
c = 1.40
b = 1.30
a = 0.20
P
Q

การสรางกราฟของอนุพันธของฟงกชัน
การเขียนกราฟของอนุพันธของฟงกชัน f ในที่นี้จะเขียนโดยอาศัยความชันของเสนสัมผัสของเสนโคง ณ จุดตาง ๆ
บนกราฟของฟงกชัน f มีขั้นตอนดังตอไปนี้
1. กําหนด พารามิเตอร a, b, c และ d จากเมนูกราฟ วาดกราฟฟงกชันใหม ƒ(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
2. กําหนดจุด A บนกราฟของฟงกชัน ƒ ใชเมนูวัดหาพิกัดที่หนึ่ง(XA)
3. สรางกราฟของเสนสัมผัสเสนโคงƒ ที่จุด A (ดูวิธีสรางจากหัวขอการสรางเสนสัมผัสเสนโคง)
4. เลือกกราฟเสนสัมผัสจากเมนูวัดใชคําสั่งความชันหาคาความชันของเสนสัมผัสที่จุด A เปลี่ยนปาย ความชันของ
เสนสัมผัสที่ A เปน m
5. เลือก XA และ m ตามลําดับ ใชเมนูกราฟลงจุดแบบ(x, y) ใหชื่อจุดดังกลาววา B
6. สรางปุมแสดงการทํางาน ของการเคลื่อนไหวของจุด A โดยคลิกเลือกจุด A จากเมนูแกไขใชคําสั่งปุมแสดงการ
ทํางาน เลือกการเคลื่อนไหว
7. เลือก B และจากเมนู แสดงผลใชคําสั่งสรางรอยจุด(เราจะใหมีรอยการเคลื่อนที่ของ B)
8. กดปุมการเคลื่อนไหวของจุด A สั่งให A เคลื่อนไหวจะทําใหทั้งจุด A และ B เคลื่อนไหว สังเกตรอยจุด ที่เกิดขึ้น
รอยดังกลาวจะเปนกราฟของอนุพันธของฟงกชัน ƒ นั้น
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
A: (-2.69, 3.44)
g x( ) = m ⋅ x-x A( )+y A
m = -1.25
y A = 3.4
x A = -2.7
f x( ) = a⋅x 3+b⋅x 2+c⋅x +d
d = 1.70
c = 1.40
b = 1.30
a = 0.20
B
A

9. เราจะสรางตารางแสดงพิกัดที่หนึ่งของจุด A และคาความชันของเสนสัมผัสของเสนโคงแลวนํามาลงจุดแบบ (x,y)
เพื่อใหเห็นความสัมพันธระหวางจุด A และจุด B และเสนสัมผัสเสนโคง ณ จุด A รวมทั้งความชันของเสนสัมผัส
เสนโคง ณ จุด A ดังนี้
- เลือก XA และ m ซึ่งเปนความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด A ตามลําดับและจาก เมนูกราฟใชคําสั่งตาราง
10. ดับเบิลคลิกที่ตารางเพื่อเพิ่มขอมูลในตาราง ใชเมนูลูกศร เพื่อเคลื่อนที่ จุด A ไปเล็กนอย ขอมูลในตารางจะ
เปลี่ยนไป เพิ่มขอมูลในตารางที่แตกตางกันประมาณ 20 ขอมูล
11. เลือกตารางและจากเมนูกราฟ เลือกคําสั่ง ลงขอมูลในตารางจะไดจุดตาง ๆ จากตารางบนหนาจอ
12. จากเมนูแสดงผลเลือกคําสั่งลบรอย(เพื่อลบรอยของจุด B ที่เกิดขึ้นกอนหนานี้)
13. เลือกจุด A และ B และจากเมนูสรางใชคําสั่งสรางสวนของเสนตรง(เลือกใชเสนประ) เราจะไดเสนเชื่อมจุด A
และจุด B
14. ลองเคลื่อนจุด A ไปบนกราฟของฟงกชัน ƒ แลวสังเกตความสัมพันธระหวางจุด A และจุด B และเสนสัมผัส
เสนโคง ณ จุด A รวมทั้งความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ณ จุด A ขณะนั้นดวย

การสรางกราฟของอสมการ
กําหนดการเชิงเสน (Linear programming) สามารถใชชวยในการตัดสินใจเกี่ยวกับปญหาทรัพยากรที่มีอยู
อยางจํากัด เพื่อใหไดประโยชนสูงสุดแกผูตัดสินใจ วิธีการนี้ใชประยุกตในหลายดาน เชน ตองการใหไดกําไร
สูงสุดภายใตตนทุนจํากัด ตองการเสียเงินในการซื้ออาหารนอยที่สุด แตใหไดรับสารอาหารมากที่สุด
เปนตน การแกปญหาจึงสามารถแสดงทําไดโดยใชสมการและระบบอสมการเชิงเสนหาคําตอบที่ตองการ ซึ่ง
ใชเทคนิคการหาสมการจุดประสงคและอสมการขอจํากัด แลวนํามาเขียนกราฟของอสมการแตละอสมการ
คําตอบจะอยูที่บริเวณที่ซ้ํากันของกราฟ
ตอไปนี้เปนตัวอยางเกี่ยวกับปญหาที่ใชกําหนดการเชิงเสนพรอมทั้งวิธีหาคําตอบจากกราฟ
ตัวอยาง อุตสาหกรรมครัวเรือนแหงหนึ่งผลิตนมเย็นและไอศกรีมทุกวัน สมมุติวานมเย็นแตละลิตรตองใชนม
0.4 ลิตรและครีม 0.2 ลิตร สวนไอศกรีมแตละลิตรตองใชนม 0.2 ลิตร และใชครีม 0.4 ลิตร จากสวนผสม
ดังกลาวปรากฏวาขายนมเย็นไดกําไรลิตรละ 8 บาท สวนไอศกรีมไดกําไรลิตรละ 10 บาท ถาในแตละวัน
อุตสาหกรรมนี้มีนม 10 ลิตร และครีม 14 ลิตร เขาควรจะผลิตนมเย็นและไอศกรีมอยางละเทาใด จึงจะไดผล
กําไรมากที่สุดตอวัน
วิธีทํา
ให x เปนจํานวนลิตรของนมเย็นที่ผลิต
y เปนจํานวนลิตรของไอศกรีมที่ผลิต
z เปนผลกําไรทั้งหมด
สมการจุดประสงคคือ z = 8x + 10y
0.4x + 0.2y ≤ 10
0.2x + 0.4y ≤ 14
x ≥ 0
y ≥ 0
เขียนกราฟของอสมการขอจํากัด แตละอสมการดังนี้
การเขียนกราฟของอสมการ x ≥ 0
1. จากเมนูกราฟกําหนดระบบพิกัด และซอนกริด
2. สรางรังสีเพื่อแสดงคา x ที่มากกวาหรือเทากับ 0 โดยเลือกที่จุดกําเนิด
และจุดหนึ่งหนวย ตามลําดับ สรางรังสี
3. สรางจุดบนรังสี แลวเลือกที่จุดนั้นและเสนรังสีเพื่อ สรางเสนตั้งฉาก
4. จากเมนูแสดงผล เลือกสรางรอยเสนตั้งฉาก
5. เมื่อเลื่อนเสนตั้งฉาก จะไดอาณาบริเวณที่แรเงา ซึ่งแสดงใหเห็นกราฟ
ของ x ≥ 0
x ≥ 0

การเขียนกราฟของอสมการ y ≥ 0
1. สรางรังสีเพื่อแสดงคา X2 ที่มากกวาหรือเทากับ 0 โดยเลือกจุดมาวางบนแกน y ตั้งชื่อจุดเปน B เลือกที่จุด
กําเนิดและจุด B ตามลําดับ สรางรังสี จากนั้นซอนจุด B
2. เลือกที่เสนรังสี สรางจุดบนรังสี แลวเลือกที่จุดนั้นและเสนรังสีเพื่อ สรางเสนตั้งฉาก
3. จากเมนูแสดงผล เลือกสรางรอยเสนตั้งฉาก เมื่อเลื่อนเสนตั้งฉาก
จะไดอาณาบริเวณที่แรเงาที่แสดงใหเห็นกราฟของ y ≥ 0
การเขียนกราฟของอสมการ 0.4x + 0.2y ≤ 10
1. จากอสมการ 0.4x + 0.2y ≤ 10 จะได y ≤
2. จากเมนูกราฟ เลือกคําสั่งฟงกชันใหม พิมพ f(x) = แลววาดกราฟฟงกชันนี้
3. สรางจุด M และ N บนกราฟของฟงกชัน เลือกที่เสนกราฟของฟงกชันเพื่อซอนเสนกราฟ จากนั้นเลือกที่จุด
M และ N เพื่อสรางเสนตรงแทนเสนกราฟของฟงกชัน
4. เลือกที่จุด M และเสนตรงที่แทนเสนกราฟของฟงกชัน สรางเสนตั้งฉาก
5. สรางจุดบนเสนตั้งฉาก โดยเลือกวางจุดใหอยูเหนือเสนกราฟ ตั้งชื่อจุดเปนจุด P ซอนเสนตั้งฉาก จากนั้น
เลือกที่จุด M และจุด P ตามลําดับ สรางรังสี ซอนจุด P
6. สรางจุดบนรังสี ตั้งชื่อจุด O เลือกที่จุด O และเสนตรงที่อยูบนกราฟ สรางเสนขนาน จะไดเสนขนานกับ
เสนกราฟ ซอนเสนรังสี
6. เลือกสรางรอยบนเสนขนานนี้ เมื่อเลื่อนขนานนี้จะไดอาณาบริเวณที่แรเงา ซึ่งจะแสดงกราฟ
ของอสมการ 0.4x + 0.2y ≤ 10
y ≥ 0
0.2
0.4x-10
0.2
0.4x-10

การเขียนกราฟของอสมการ 0.2x + 0.4y ≤ 14
1. จากอสมการ 0.2x + 0.4y ≤ 14 จะได y ≤
2. จากเมนูกราฟ เลือกคําสั่งฟงกชันใหม พิมพ f(x) = แลววาดกราฟฟงกชันนี้
3. สรางจุด S และ T บนกราฟของฟงกชัน เลือกที่เสนกราฟของฟงกชันเพื่อซอนเสนกราฟ จากนั้นเลือกที่จุด S
และ T สรางเสนตรงแทนเสนกราฟของฟงกชัน
4. เลือกที่จุด S และเสนตรงที่แทนเสนกราฟของฟงกชัน สรางเสนตั้งฉาก
5. สรางจุดบนเสนตั้งฉาก โดยเลือกวางจุดใหอยูเหนือเสนกราฟ ตั้งชื่อจุดเปนจุด R ซอนเสนตั้งฉาก จากนั้น
เลือกที่จุด S และจุด R ตามลําดับ สรางรังสี ซอนจุด R
6. สรางจุดบนรังสี ตั้งชื่อจุด V เลือกที่จุด V และเสนตรงที่อยูบนกราฟ สรางเสนขนาน จะไดเสนขนานกับ
เสนกราฟ ซอนเสนรังสี
6. เลือกสรางรอยบนเสนขนานนี้ เมื่อเลื่อนขนานนี้จะไดอาณาบริเวณที่แรเงา ซึ่งจะแสดงกราฟ
ของอสมการ 0.2x + 0.4y ≤ 14
การเขียนกราฟของสมการจุดประสงค z = 8x + 10y
1. จากสมการ z = 8x + 10y จะได y =
2. สรางพารามิเตอรใหม จากเมนูกราฟ ตั้งชื่อ z กําหนดคาเริ่มตนเปน 0
3. จากเมนูกราฟ เลือกคําสั่งฟงกชันใหม พิมพ f(x) = ดังภาพ
0.4
0.2x-14
10
8 xz −
0.4
0.2x-14
10
8 xz −

4. จากนั้นวาดกราฟฟงกชัน y=
เมื่อ z = 0 จะไดดังภาพ
เมื่อสรางกราฟของอสมการทั้งหมดแลว จะไดสวนแรเงาที่มีการซอนทับกัน ดังภาพ
เซตของจุดที่อยูในอาณาบริเวณที่แรเงาซอนทับกัน เปนอาณาบริเวณที่หาคําตอบได ซึ่งจุดทุกจุดในอาณา
บริเวณนี้สอดคลองอสมการขอจํากัดทั้งหมด และมีจุดมุมที่ใชพิจารณาหาคาต่ําสุดของสมการจุดประสงค
เมื่อเขียนกราฟของสมการจุดประสงคบนระบบพิกัดเดียวกัน (ในรูปคือเสนประ) แลวเลื่อนกราฟนี้ไปแบบ
ขนานจะไปพบที่จุดมุม ซึ่งที่จุดมุมนี้จะเปนจุดที่จะใชพิจารณาคําตอบได
10
8 xz −

การสรางสื่อการสอนเรื่อง เมทริกซ
เราสามารถใช GSP ชวยในการสรางสื่อการสอนคณิตศาสตรในการทํางานแบบซ้ําๆ เชน เรื่องเมทริกซ เพื่อลด
ความจําเจ และใชเวลาในการฝกการวิเคราะหโจทยปญหาใหมากขึ้น หากเปนงานที่ครูมอบหมายใหนักเรียนสราง
template ของการดําเนินการระหวางเมทริกซ ก็จะชวยใหนักเรียนจํานิยามทฤษฎีหรือสมบัติไดงายขึ้น เชน การบวก ลบ
หรือคูณ ระหวางเมทริกซและการหา At
, A-1
และ det A เมื่อ A เปนเมทริกซใดๆ เปนตน ทําใหนักเรียนมีเวลาใน
การศึกษา วิเคราะหและแกโจทยปญหาโดยใชเมทริกซชวยแกระบบสมการมากขึ้น
วิธีสรางวงเล็บ
1. กําหนดจุดอิสระใดๆ สมมติชื่อจุด A
2. สรางสวนบนของวงเล็บ ดวยการเลื่อนขนาน
3. สรางความสูงของวงเล็บ ดวยการสรางเสนตั้งฉาก
4. กําหนดขนาดของความสูง ดวยจุดอิสระใดๆ บนเสนตั้งฉากนั้น สมมติชื่อจุด B
สรางสวนปดของวงเล็บ
5. สรางวงเล็บปด
- ตองอยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับวงเล็บเปด
- ความสูงตองเทากัน
วิธีกําหนดเปนเครื่องมือสวนตัว
1. เลือกอ็อบเจกตที่ตองการ ตามลําดับ
2. ที่เครื่องมือกําหนดเอง .. > สรางเครื่องมือใหม ตั้งชื่อ
วิธีเรียกใชงานวงเล็บ
ที่เครื่องมือสรางเอง
..> เลือกชื่อเครื่องมือที่เราตั้งชื่อไว นําไปวางในที่ๆ ตองการ
1 -1
3 2
1 -1
3 2
a11 = 1 a12 = -1
a21 = 3 a22 = 2

3. วิธีเปลี่ยนปายชื่อ ใหคลิกขวาที่พารามิเตอรแตละคา จะไดกลองสมบัติของพารามิเตอร
ลบ(delete) ชื่อออกจากปาย จะได
ยกไปวางใหตรงตําแหนงที่ตองการ
4. การคํานวณคาในแตละคูของสมาชิก สามารถทําไดดวยคําสั่งคํานวณ จาก เมนูการวัด โดยอาศัยนิยาม สมบัติ
หรือ ทฤษฎีเกี่ยวกับเมทริกซ เพื่อหาคาของสมาชิกตัวใหม แลวนําไปใสในเมทริกซใหมที่เปนผลลัพธ
1
3
-1
2

คณะที่ปรึกษา
ผูอํานวยการสถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร. พิศาล สรอยธุหร่ํา
รองผูอํานวยการสถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร. นงนุช ชาญปริยวาทีวงศ
ผูเชี่ยวชาญพิเศษ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายดนัย ยังคง
ผูชวยผูอํานวยการสถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร. พรพรรณ ไวทยางกูร
หัวหนาโครงการสงเสริมการใชเทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อการเรียนการสอน
ดร. สมศรี ตั้งมงคลเลิศ
คณะผูจัดทํา
นายดนัย ยังคง ผูเชี่ยวชาญพิเศษ สสวท.
ผศ.เพ็ญพรรณ ยังคง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
นางชมัยพร ตั้งตน ผูชํานาญ สาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา สสวท.
นายสมนึก บุญพาไสว ผูชํานาญ สาขาออกแบบและอุปกรณ สสวท.
นางกรองทอง ตรีอาภรณ ผูชํานาญ สาขาเทคโนโลยีสารสนเทศ สสวท.
นางแจมจันทร ศรีอรุณรัศมี นักวิชาการ สาขาเทคโนโลยีสารสนเทศ สสวท.
นายถนิม ทิพยผอง นักวิชาการ สาขาเทคโนโลยีสารสนเทศ สสวท.
นายอลงกต ใหมดวง นักวิชาการ สาขาเทคโนโลยีสารสนเทศ สสวท.
ภาคผนวก

เอกสารอางอิง
1. หนังสือเรียนคูมือครูสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตรเลม 1 กลุมสาระการเรียนรู
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1.สํานักพิมพคุรุสภา,2546.
2. หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตรเลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2.สํานักพิมพคุรุสภา,2547.
3. หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร ค013 ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย .สํานักพิมพคุรุสภา,2542.
4. Cindy Clements, Ralph Pantossi, Scott Steketee.Exploring Calculus with The Geometer’s
Sketchpad. Key Curriculum Press, 2002.
5. Dan Bennett . Exploring Geometry with The Geometer’s Sketchpad. Key curriculum
press,2002.
6. Danial Scher, Scott Steketee, Pual Kunkel, Irina Lyublinskqya.Exploring Precalculus with
The Geometer’s Sketchpad. Key Curriculum Press, 2002.
7. Karen Windham Wyatt, Ann Lawrence, Gina M. Foletta. Geometry Activites for middle
School students. Key curriculum press, 2002.
8. Reference Manual. The Geometer’s Sketchpad. Key curriculum press. 2001.
9. Steven Chanan, Eric Bergofsley, Dan Bennett. Exploring Algebra with the geometer’s
Sketchpad . Key Curriculum Press,2002.
10. Teaching Mathematics with The Geometer’s Sketchpad. Key curriculum press.2002.

Gsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Gsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad (20)

More from อนุชิต ไชยชมพู (11)

Gsp สำหรับมัธยม Geometer's Sketchpad