Homework 3 of QFT
0 likes85 views
Tài liệu chứa các bài tập trong lĩnh vực lý thuyết trường lượng tử, bao gồm đồng nhất thức Gordon và các tính toán liên quan đến spinor trong khung lý thuyết này. Các bài tập yêu cầu chứng minh các đồng nhất thức và tính toán đặc biệt với các trường spinor cho fermion. Ngoài ra, tài liệu cũng đề cập đến việc xây dựng biểu thức cho các tích spinor và tính thuộc tính của chúng.
![2
Nếu q = p − p thì p và p trong (4) có thể viết lại dưới dạng:
p =
p + p
2
−
q
2
và p =
p + p
2
+
q
2
. (5)
Ngoài ra, các ma trận γν
γµ
và γµ
γν
có thể biểu diễn qua giao hoán và phản giao hoán tử
giữa chúng:
γµ
γν
=
1
2
{γµ
, γν
}+
1
2
[γµ
, γν
] = ηµν
−ıσµν
và γν
γµ
=
1
2
{γµ
, γν
}−
1
2
[γµ
, γν
] = ηµν
+ıσµν
.
(6)
Trong (6) đã có dùng các hệ thức của ma trận Dirac: {γµ
, γν
} = 2ηµν
và σµν
=
ı
2
[γµ
, γν
].
Thay (5) và (6) vào ma trận kẹp giữa u (p ) và u(p) trong vế phải của (4) thì ta được:
γν
γµ
pν
2m
+
γµ
γν
pν
2m
=
1
2m
(ηµν
+ ıσµν
)
pν + pν
2
+
qν
2
+ (ηµν
− ıσµν
)
pν + pν
2
−
qν
2
=
ηµν
(p + p )ν
2m
+
ıσµν
qν
2m
=
pµ
+ p µ
2m
+
ıσµν
qν
2m
, (7)
chính là ma trận trong vế phải của đồng nhất thức Gordon cần chứng minh (1). Do đó, thay
(7) vào (4), ta được (1):
u (p ) γµ
u (p) = u (p )
p µ
+ pµ
2m
+
ıσµν
qν
2m
u (p) . đpcm
II. BÀI 3.4 (3.3 TRONG PESKIN AND SCHROEDER): TÍCH SPINOR
A. Đề bài
Cho kµ
0 và kµ
1 thỏa k2
0 = 0, k2
1 = −1 và k0 · k1 = 0. Định nghĩa các trường spinor cho
fermion có động lượng k0 là uL0 và uR0 thỏa uR0 = /k1uL0. Khi đó, với mọi vector p loại ánh
sáng p2
= 0 ta định nghĩa:
uL(p) =
1
√
2p · k0
/puR0 và uR(p) =
1
√
2p · k0
/puL0. (8)
1. Chứng minh /k0uR0 = 0 và với mọi vector p loại ánh sáng thì /puL(p) = /puR(p) = 0.
2. Với k0 = (E, 0, 0, −E) và k1 = (0, 1, 0, 0) hãy xây dựng dạng tường minh của
uL0, uR0, uL và uR.](https://image.slidesharecdn.com/hw3ledainam33and34-181218010744/85/Homework-3-of-QFT-2-320.jpg)
![3
3. Định nghĩa các tích spinor s(p1, p2) = uR(p1)uL(p2) và t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) cho
mọi p1 và p2 loại ánh sáng. Sử dụng dạng tường minh của các spinor u ở câu trước,
hãy tính tường minh các tích spin s và t. Chứng minh rằng tích s và t thỏa:
t(p1, p2) = (s(p2, p1))∗
(9)
s(p1, p2) = −s(p2, p1) (10)
|s(p1, p2)|2
= 2p1 · p2. (11)
B. Bài làm
Chứng minh /k0uR0 = 0 Ta có:
/k0uR0= /k0/k1uL0 = γµ
k0,µγν
k1,νuL0
= γµ
γν
k0,µk1,νuL0 =
1
2
{γµ
, γν
} +
1
2
[γµ
, γν
] k0,µk1,νuL0
= ηµν
k0,µk1,νuL0 − ıσµν
k0,µk1,νuL0
= kν
0 k1,νuL0 − ıσµν
k0,µk1,νuL0
= k0 · k1uL0 − ıσµν
k0,µk1,νuL0
= −ıσµν
k0,µk1,νuL0 = −ıσνµ
k0,νk1,µuL0
= ıσµν
k0,νk1,µuL0. (12)
Nhưng ta lại có tương tự (12)
/k1/k0uL0 = k1 · k0uL0 − ıσµν
k1,µk0,νuL0 = −ıσµν
k1,µk0,νuL0, (13)
nên so sánh với (12) thì
/k0uR0 = −/k1/k0uL0 = −/k1m0uL0 = 0. (14)
Chứng minh với mọi vector p loại ánh sáng thì /puL(p) = /puR(p) = 0. Ta có:
/puL(p) =
1
√
2p · k0
/p/puR0(p) (15)
/puR(p) =
1
√
2p · k0
/p/puL0(p) (16)](https://image.slidesharecdn.com/hw3ledainam33and34-181218010744/85/Homework-3-of-QFT-3-320.jpg)
![5
Từ đây, ta cũng tính được dạng tường minh của các u:
uL(p)= u†
L(p)γ0
=
1
2(p0 − p3)
−(p1
− ıp2
) −(p0
− p3
) −(p1
+ ıp2
) −(p0
+ p3
) , (22)
uR(p)= u†
R(p)γ0
=
1
2(p0 − p3)
(p0
− p3
) −(p1
− ıp2
) −(p0
− p3
) (p1
− ıp2
) . (23)
Xây dựng dạng tường minh của các tích spinor s(p1, p2) = uR(p1)uL(p2) và t(p1, p2) =
uL(p1)uR(p2) Ta có:
s(p1, p2)= uR(p1)uL(p2)
=
1
p0
1 − p3
1 p0
2 − p3
2
(p1
1 − ıp2
1)(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)(p1
2 − ıp2
2)
=
{[p1
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p1
2] − ı [p2
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p2
2]}
p0
1 − p3
1 p0
2 − p3
2
. (24)
Đối với t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) thì ta có:
t(p1, p2)= uL(p1)uR(p2) = u†
L(p1)γ0
uR(p2) = uT
R(p2)γ0
u∗
L(p1)
T
= uT
R(p2)γ0
u∗
L(p1) = u†
R(p2)γ0
uL(p1)
∗
= (s(p2, p1))∗
, (25)
nên chỉ cần hoán vị p1 và p2 và lấy liên hợp phức trong tích s là ra tích t.
Từ dạng tường minh của tích s, ta dễ dàng chứng minh tích s phản xứng:
s(p2, p1)=
[p1
2(p0
1 − p3
1) − (p0
2 − p3
2)p1
1] − ı [p2
2(p0
1 − p3
1) − (p0
2 − p3
2)p2
1]
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= −
[p1
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p1
2] − ı [p2
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p2
2]
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= −s(p1, p2). (26)
Không những thế, từ dạng tường minh của tích s, ta tính được module của nó:
|s(p1, p2)|2
=
[p1
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p1
2]
2
+ [p2
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p2
2]
2
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
=
(p0
1 − p3
1)2
((p1
2)2
+ (p2
2)2
) + (p0
2 − p3
2)2
((p1
1)2
+ (p2
1)2
)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
− 2(p1
1p1
2 + p2
1p2
2)
= 2p1 · p2 − 2(p0
1p0
2 − p3
1p3
2) +
(p0
1 − p3
1)2
((p0
2)2
− (p3
2)2
)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
+
(p0
2 − p3
2)2
((p0
1)2
− (p3
1)2
)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= 2p1 · p2 − 2(p0
1p0
2 − p3
1p3
2) 1 −
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= 2p1 · p2 đpcm!. (27)](https://image.slidesharecdn.com/hw3ledainam33and34-181218010744/85/Homework-3-of-QFT-5-320.jpg)
Homework 3 of QFT
- 1. Bài tập QFT tuần 3 Lê Đại Nam1, a) PhD Student, VNU-HCM University of Science (Dated: Ngày 23 tháng 5 năm 2017) Bài tập 3.3 và 3.4 tương ứng với bài 3.2: đồng nhất thức Gordon và bài 3.3: tích Spinor trong Peskin and Schroeder. I. BÀI 3.3 (3.2 TRONG PESKIN AND SCHROEDER): ĐỒNG NHẤT THỨC GORDON A. Đề bài Chứng minh đồng nhất thức Gordon u (p ) γµ u (p) = u (p ) p µ + pµ 2m + ıσµν qν 2m u (p) , (1) với q = p − p. B. Chứng minh Từ phương trình Dirac và phương trình liên hiệp phức của nó, ta có: (γ · p − m) u (p) = 0 → u (p) = γ · p m u (p) (2) u (p ) (γ · p − m) = 0 → u (p ) = u (p ) γ · p m . (3) Lần lượt khéo léo thay (2) và (3) vào vế trái của (1) thì ta được: u (p ) γµ u (p)= 1 2 u (p ) γµ u (p) + 1 2 u (p ) γµ u (p) = u (p ) γ · p 2m (γµ u (p)) + (u (p ) γµ ) γ · p 2m u (p) = u (p ) γ · p γµ 2m + γµ γ · p 2m u (p) = u (p ) γν γµ pν 2m + γµ γν pν 2m u (p) . (4) a) Electronic mail: ldn28593@gmail.com
- 2. 2 Nếu q = p − p thì p và p trong (4) có thể viết lại dưới dạng: p = p + p 2 − q 2 và p = p + p 2 + q 2 . (5) Ngoài ra, các ma trận γν γµ và γµ γν có thể biểu diễn qua giao hoán và phản giao hoán tử giữa chúng: γµ γν = 1 2 {γµ , γν }+ 1 2 [γµ , γν ] = ηµν −ıσµν và γν γµ = 1 2 {γµ , γν }− 1 2 [γµ , γν ] = ηµν +ıσµν . (6) Trong (6) đã có dùng các hệ thức của ma trận Dirac: {γµ , γν } = 2ηµν và σµν = ı 2 [γµ , γν ]. Thay (5) và (6) vào ma trận kẹp giữa u (p ) và u(p) trong vế phải của (4) thì ta được: γν γµ pν 2m + γµ γν pν 2m = 1 2m (ηµν + ıσµν ) pν + pν 2 + qν 2 + (ηµν − ıσµν ) pν + pν 2 − qν 2 = ηµν (p + p )ν 2m + ıσµν qν 2m = pµ + p µ 2m + ıσµν qν 2m , (7) chính là ma trận trong vế phải của đồng nhất thức Gordon cần chứng minh (1). Do đó, thay (7) vào (4), ta được (1): u (p ) γµ u (p) = u (p ) p µ + pµ 2m + ıσµν qν 2m u (p) . đpcm II. BÀI 3.4 (3.3 TRONG PESKIN AND SCHROEDER): TÍCH SPINOR A. Đề bài Cho kµ 0 và kµ 1 thỏa k2 0 = 0, k2 1 = −1 và k0 · k1 = 0. Định nghĩa các trường spinor cho fermion có động lượng k0 là uL0 và uR0 thỏa uR0 = /k1uL0. Khi đó, với mọi vector p loại ánh sáng p2 = 0 ta định nghĩa: uL(p) = 1 √ 2p · k0 /puR0 và uR(p) = 1 √ 2p · k0 /puL0. (8) 1. Chứng minh /k0uR0 = 0 và với mọi vector p loại ánh sáng thì /puL(p) = /puR(p) = 0. 2. Với k0 = (E, 0, 0, −E) và k1 = (0, 1, 0, 0) hãy xây dựng dạng tường minh của uL0, uR0, uL và uR.
- 3. 3 3. Định nghĩa các tích spinor s(p1, p2) = uR(p1)uL(p2) và t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) cho mọi p1 và p2 loại ánh sáng. Sử dụng dạng tường minh của các spinor u ở câu trước, hãy tính tường minh các tích spin s và t. Chứng minh rằng tích s và t thỏa: t(p1, p2) = (s(p2, p1))∗ (9) s(p1, p2) = −s(p2, p1) (10) |s(p1, p2)|2 = 2p1 · p2. (11) B. Bài làm Chứng minh /k0uR0 = 0 Ta có: /k0uR0= /k0/k1uL0 = γµ k0,µγν k1,νuL0 = γµ γν k0,µk1,νuL0 = 1 2 {γµ , γν } + 1 2 [γµ , γν ] k0,µk1,νuL0 = ηµν k0,µk1,νuL0 − ıσµν k0,µk1,νuL0 = kν 0 k1,νuL0 − ıσµν k0,µk1,νuL0 = k0 · k1uL0 − ıσµν k0,µk1,νuL0 = −ıσµν k0,µk1,νuL0 = −ıσνµ k0,νk1,µuL0 = ıσµν k0,νk1,µuL0. (12) Nhưng ta lại có tương tự (12) /k1/k0uL0 = k1 · k0uL0 − ıσµν k1,µk0,νuL0 = −ıσµν k1,µk0,νuL0, (13) nên so sánh với (12) thì /k0uR0 = −/k1/k0uL0 = −/k1m0uL0 = 0. (14) Chứng minh với mọi vector p loại ánh sáng thì /puL(p) = /puR(p) = 0. Ta có: /puL(p) = 1 √ 2p · k0 /p/puR0(p) (15) /puR(p) = 1 √ 2p · k0 /p/puL0(p) (16)
- 4. 4 nên rõ ràng ta cần tính: /p/p= γµ γν pµpν = ηµν pµpν − ıσµν pµpν = pµ pµ − 1 2 ıσµν pµpν − 1 2 ıσµν pµpν = p2 − 1 2 ıσµν pµpν − 1 2 ıσνµ pνpµ = p2 − ı 2 (σµν + σνµ )pµpν = p2 = 0. (17) Thay (17) vào (15) và (16) ta ra được điều cần chứng minh /puL(p) = /puR(p) = 0. Xây dựng uλ với k0 = (E, 0, 0, −E) và k1 = (0, 1, 0, 0). Do k0 là xung lượng của một hạt chuyển động trên chiều âm của trục z nên left-handed spinor có χ = 1 0 . Do đó uL0 có dạng: uL0 = √ E χ −σ3 χ = √ E χ −χ = √ E 1 0 −1 0 . (18) Với k1 = (0, 1, 0, 0) thì /k1 = γ1 nên ta tính được uR0: uR0 = /k1uL0 = γ1 uL0 = √ E 0 σ1 −σ1 0 χ −χ = √ E −σ1 χ −σ1 χ = − √ E 0 1 0 1 . (19) Để xác định uL(p) và uR(p) ta cần sử dụng p · k0 = (p0 − p3 )E: uL(p)= − 1 2(p0 − p3) /p 0 1 0 1 = 1 2(p0 − p3) −(p1 − ıp2 ) −(p0 − p3 ) p1 − ıp2 p0 − p3 , (20) uR(p)= 1 2(p0 − p3) /p 1 0 −1 0 = 1 2(p0 − p3) p0 − p3 −p1 − ıp2 p0 − p3 −p1 − ıp2 . (21)
- 5. 5 Từ đây, ta cũng tính được dạng tường minh của các u: uL(p)= u† L(p)γ0 = 1 2(p0 − p3) −(p1 − ıp2 ) −(p0 − p3 ) −(p1 + ıp2 ) −(p0 + p3 ) , (22) uR(p)= u† R(p)γ0 = 1 2(p0 − p3) (p0 − p3 ) −(p1 − ıp2 ) −(p0 − p3 ) (p1 − ıp2 ) . (23) Xây dựng dạng tường minh của các tích spinor s(p1, p2) = uR(p1)uL(p2) và t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) Ta có: s(p1, p2)= uR(p1)uL(p2) = 1 p0 1 − p3 1 p0 2 − p3 2 (p1 1 − ıp2 1)(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)(p1 2 − ıp2 2) = {[p1 1(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)p1 2] − ı [p2 1(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)p2 2]} p0 1 − p3 1 p0 2 − p3 2 . (24) Đối với t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) thì ta có: t(p1, p2)= uL(p1)uR(p2) = u† L(p1)γ0 uR(p2) = uT R(p2)γ0 u∗ L(p1) T = uT R(p2)γ0 u∗ L(p1) = u† R(p2)γ0 uL(p1) ∗ = (s(p2, p1))∗ , (25) nên chỉ cần hoán vị p1 và p2 và lấy liên hợp phức trong tích s là ra tích t. Từ dạng tường minh của tích s, ta dễ dàng chứng minh tích s phản xứng: s(p2, p1)= [p1 2(p0 1 − p3 1) − (p0 2 − p3 2)p1 1] − ı [p2 2(p0 1 − p3 1) − (p0 2 − p3 2)p2 1] (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) = − [p1 1(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)p1 2] − ı [p2 1(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)p2 2] (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) = −s(p1, p2). (26) Không những thế, từ dạng tường minh của tích s, ta tính được module của nó: |s(p1, p2)|2 = [p1 1(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)p1 2] 2 + [p2 1(p0 2 − p3 2) − (p0 1 − p3 1)p2 2] 2 (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) = (p0 1 − p3 1)2 ((p1 2)2 + (p2 2)2 ) + (p0 2 − p3 2)2 ((p1 1)2 + (p2 1)2 ) (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) − 2(p1 1p1 2 + p2 1p2 2) = 2p1 · p2 − 2(p0 1p0 2 − p3 1p3 2) + (p0 1 − p3 1)2 ((p0 2)2 − (p3 2)2 ) (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) + (p0 2 − p3 2)2 ((p0 1)2 − (p3 1)2 ) (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) = 2p1 · p2 − 2(p0 1p0 2 − p3 1p3 2) 1 − (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) (p0 1 − p3 1)(p0 2 − p3 2) = 2p1 · p2 đpcm!. (27)