![ クエリで与えられる(𝑎, 𝑏)に対して、𝑑𝑝 𝑡 を
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑡 となる格子点に書かれてる数の
和とすると、以下の漸化式が成立する
𝑑𝑝 0 = 1
𝑑𝑝[𝑡] = 𝑑𝑝[𝑡 − 𝑎] + 𝑑𝑝[𝑡 − 𝑏]](https://image.slidesharecdn.com/random-151117151944-lva1-app6891/85/IJPC-C-8-320.jpg)
![ この漸化式を用いることで、クエリ(𝑎, 𝑏, 𝑐)に
対して、得られた𝑑𝑝[0]～𝑑𝑝[𝑐]の値の合計が
求めるクエリの答えとなる](https://image.slidesharecdn.com/random-151117151944-lva1-app6891/85/IJPC-C-11-320.jpg)
IJPC C解説
- 2. 直線𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐と𝑥 = 0, 𝑦 = 0で囲まれた 領域に含まれる格子点に含まれる格子点 (𝑥, 𝑦)すべてに対する 𝑥+𝑦 𝑥 の和を求める
- 3. 直線𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐と𝑥 = 0, 𝑦 = 0で囲まれた 領域に含まれる格子点に含まれる格子点 (𝑥, 𝑦)すべてに対する 𝑥+𝑦 𝑥 の和を求める このようなクエリに𝑄個答える
- 4. 直線𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐と𝑥 = 0, 𝑦 = 0で囲まれた 領域に含まれる格子点に含まれる格子点 (𝑥, 𝑦)すべてに対する 𝑥+𝑦 𝑥 の和を求める このようなクエリに𝑄個答える 1 ≦ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≦ 10000 , 1 ≦ 𝑄 ≦ 1000000
- 5. とりあえずクエリに答えることを考える 座標の最大値を𝑀とすると、毎回すべての座 標を見ると𝑂 𝑀2 個の座標を見ることになり 間に合わない 𝑥座標ごとにまとめてCombinationの合計を求 められればよさそう
- 6. Combination の値は漸化式などを用いて 𝑂 𝑀2 ですべて計算できるので、𝑥座標ごとに 累積和を計算しておく そうすることで、 クエリ毎𝑂 𝑀 前計算𝑂 𝑀2 で可能となる
- 7. 今度は別の方法でクエリ毎𝑂 𝑀 に答えること を考える Combination の漸化式の性質を利用しよう
- 8. クエリで与えられる(𝑎, 𝑏)に対して、𝑑𝑝 𝑡 を 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑡 となる格子点に書かれてる数の 和とすると、以下の漸化式が成立する 𝑑𝑝 0 = 1 𝑑𝑝[𝑡] = 𝑑𝑝[𝑡 − 𝑎] + 𝑑𝑝[𝑡 − 𝑏]
- 9. 各座標(𝑥, 𝑦)に対して、そのマスには𝑥 + 𝑦個 のものから𝑥個選ぶ方法が何通りあるか書か れている つまり、これは𝑥個の𝑎と𝑦個の𝑏を並べ替える 方法と一致する
- 10. よって、𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑡 となる格子点に書かれて る数の和とは、すなわち、𝑎と𝑏を並べて合計 が𝑡になる方法が何通りあるかと一致する これは簡単に動的計画法を行え、最後に並べ るのが𝑎か𝑏かの二通りの場合分けで所望の漸 化式が得られる
- 11. この漸化式を用いることで、クエリ(𝑎, 𝑏, 𝑐)に 対して、得られた𝑑𝑝[0]～𝑑𝑝[𝑐]の値の合計が 求めるクエリの答えとなる
- 12. 以上の二つの解法をまとめて使うことを考える 以下、クエリにおいて、𝑥, 𝑦の対称性から𝑎 ≧ 𝑏であるとして考える このとき、𝑎 ≧ 𝑆となるクエリに対しては、解 法(1)を用いて、 𝑎 < 𝑆 なる (𝑎, 𝑏) に対しては、 すべてのクエリをまとめて解法(2)を用いる、 とする
- 13. このとき、解法(1) では、 前計算 𝑂(𝑀2 /𝑆) 毎クエリ 𝑂(𝑀/𝑆) 解法(2) では、 クエリの後処理 𝑂(𝑀𝑆2 )
- 14. よって、計算量 𝑂 𝑀 𝑆2 + 𝑀+𝑄 𝑆 これで、𝑆 = 3 𝑀 + 𝑄 とおくことで、十分間 に合う計算量となる