IJPC-2 C問題解説
- 2. 問題概要 （言い換え） N 個の頂点に対して、数 𝑉𝑖 が与えられる 各頂点対 (𝑖, 𝑗) に対して、𝑖 → 𝑗 に長さ 𝑉𝑗 × |𝑖 − 𝑗| の辺 を張る このとき、𝑄個の最短路クエリに答えよ 1 ≦ 𝑁 ≦ 4000 , 1 ≦ 𝑄 ≦ 200,000
- 6. 解法 終点を固定すると、ありうる道筋としては以下のどちらか 始点 𝑠 と終点 𝑡 に対して、 𝑠 からどこにも止まらずに直接 𝑡 に行く 𝑠 から別の駅 𝑘 に行ってその後 𝑡 に行く
- 7. 解法 終点を固定すると、ありうる道筋としては以下のどちらか 始点 𝑠 と終点 𝑡 に対して、 𝑠 からどこにも止まらずに直接 𝑡 に行く 𝑠 から別の駅 𝑘 に行ってその後 𝑡 に行く 上の可能性は別に処理して下だけ考える
- 8. 解法 最後に経由する駅 𝑘 が 𝑡 のどちら側に存在するかで場 合分けする 𝑘 < 𝑡 の時を考える（ 𝑡 < 𝑘 の時も同様 ）
- 9. 解法 𝑘 < 𝑡 の時を考える 𝑡 より左で初めて 𝑉 の値が𝑉𝑡より大きくなるところを 𝑙 と する（ない場合は 𝑙 = −1）
- 10. 解法 𝑘 < 𝑡 の時を考える 𝑡 より左で初めて 𝑉 の値が 𝑉𝑡より小さくなるところを 𝑙 と する（ない場合は 𝑙 = −1） このとき、𝑙 = 𝑘 であるとしてよいことを示す
- 11. 証明 まず、𝑙 ≦ 𝑘 を示す もし、𝑘 < 𝑙 であるとしたら、𝑘 → 𝑡 と行かずに、途中で 𝑙 を経由した方が明らかによい よって、𝑙 ≦ 𝑘
- 12. 証明 次に、𝑘 ≦ 𝑙 を示す もし、𝑙 < 𝑘 であるとしたら、𝑠 ≠ 𝑘 なので、𝑘 の一個前の 位置を場合分けすると、𝑉𝑘 ≧ 𝑉𝑡 だから、𝑘 に行かずにそ のまま 𝑡 へ行ってもよいと分かり、最短経路として考えな くてもよいと分かる よって、𝑘 ≦ 𝑙
- 13. 証明 以上より、𝑘 = 𝑙 同様に、𝑡 への右からの変移も一意に定めてよい
- 14. 解法 以上より、辺が𝑂(𝑁)に減った でも、辺の性質上、𝑉 の値が小さい頂点から順にそれを 終点とする最短経路を求めていけば、すべての頂点間 の最短距離が𝑂(𝑁2 )で求められる おわり