karmaşık sayılar 2
Download as PPT, PDF0 likes5,427 views
karmaşık sayılar 2
![Birleşme ÖzelliğiBirleşme Özelliği
z1+z2+z3∈ ve z1=a+bi z2=c+di z3=e+fi olsun.
(z1+ z2)+ z3=[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)
=[(a+c)+(b+d)i]+(e+fi)
=[(a+c)+e] +[ (b+d)+f]i dir.
z1+(z2+ z3)=(a+bi)+[(c+di)]+(e+fi)]
=(a+bi)+[(c+e)]+(d+f)i]
=[a+(c+e)]+[b+(d+f)]i dir.
(z1+ z2)+ z3= z1+(z2+ z3) olduğundan karmaşık sayılar
kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
(C,+)sisteminin; kapalılık,etkisiz eleman,ters eleman, ve
birleşme özellikleri olduğundan,bu sistem bir gruptur.](https://image.slidesharecdn.com/lise-karmaksaylar2slayt-130429081722-phpapp01/85/karmasik-sayilar-2-15-320.jpg)
karmaşık sayılar 2
- 1. KARMAŞIK SAYILARKARMAŞIK SAYILAR Sanal sayı birimi Karmaşık sayıların eşitliği Karmaşık sayıların geometrik g Karmaşık sayılarda toplama ve Karmaşık sayılarda çarpma işle Karmaşık sayıların eşleniği
- 2. İki Karmaşık Sayının Eşitliğiİki Karmaşık Sayının Eşitliği a,b,c,d “∈” R, Z1=a+bi ve Z2=c+di olmak üzere; a + bi = c +di ve a = c ve b =d’dir.
- 3. ÖRNEK: Z1 = 3a + 2bi - 3 ve Z2 =3 - 6İ + a + bi sayılarının eşit olabilmesi için , a ve b kaç olabilmelidir?
- 4. ÇÖZÜM: Önce, Z1 ve Z2 sayılarının gerçek ve sanal kısımlarını belirleyelim: Z1 = 3a-3 +2bi ve R(z) = 3a-3 ve lm(z) = 2b Z2 = 3 + a +(b – 6)i ve R(z) = 3+a ve lm(z) = b-6 ‘dır. Z1 = Z2 ve 3a-3 = 3+a ve 2b = b-6 bulunur. a = 3 ve b = -6 bulunur.
- 5. Sanal sayı birimiSanal sayı birimi Tanım: √ –1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i= √ –1 veya i(kare)= -1 biçiminde gösterilir. a,b ∈ R ve i(kare) = -1 olmak üzere, a+bi biçimindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir.Karmaşık sayılar kümesi “C” ile gösterilir. C=(a + bi / a,b ∈ R) ‘ dir. z ∈ C ve z =a + bi olmak üzere; a’ya, karmaşık sayının gerçek (reel) kısmı denir ve Re(z)=a ile gösterilir. b’ye,karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve İm(z) = b ile gösterilir. Im(z) = 0 olduğunda, z bir reel sayı olur. O halde bütün reel sayıları, sanal kısmı sıfır olan karmaşık sayılar olarak yazabiliriz.
- 6. Karmaşık Sayıların geometrikKarmaşık Sayıların geometrik gösterimigösterimi X+yi karmaşık sayısına, analitik düzlemde karşılık gelen noktanın koordinatları(x,y)dir.karm aşık sayılar ile analitik düzlemin noktalarını bire bire eşleyerek oluşturulan düzleme,karmaşık düzlem denir.Ox eksenine,reel eksen;Oy eksenine de sanal eksen adı verilir.
- 7. Karmaşık Sayılarda ToplamaKarmaşık Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemiVe Çıkarma İşlemi Z1=a+bi ve Z2=c+di olmak üzere,bu karmaşık sayıların toplamı ve farkı, Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i ve Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i biçiminde tanımlanır. Yani,iki karmaşık sayının toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken; reel kısımları birbiriyle, sanal kısımlarıda birbiriyle toplanır veya çıkarılır. Toplama İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız Toplama İşleminin Özellikleri İçin Tıklayınız
- 8. Toplama İşleminin GeometrikToplama İşleminin Geometrik YorumuYorumu Z1=a+bi ve Z2=c+di karmaşık sayının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A ve B diyelim.Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OEB açısı=ADC açısına olduğundan, BE= CD= d ve OE= AD= c olur. Bu durumda, C koordinatları,(a+b,c+d)bulunur. O halde C noktası, Z1+Z2=(a+b)+(c+d)i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür. Z1+Z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AOBC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.
- 9. Çıkarma İşleminin GeometrikÇıkarma İşleminin Geometrik YorumuYorumuZ1=a+bi ve Z2=c+di ve - Z2= -c -di karmaşık sayılarının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A,B ve D diyelim.Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OED açısı=AFC açısına olduğundan, DE= CF= d ve OE= AF= c olur. Bu durumda, C noktasının koordinatları,(a-c,b-d)bulunur. O halde,C noktası, Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür.Z1- Z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AODC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.
- 10. Toplama İşleminin ÖzellikleriToplama İşleminin Özellikleri Kapalılık Özelliği Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği Ters Eleman Özelliği Birleşme Özelliği Değişme özelliği
- 11. Kapalılık ÖzelliğiKapalılık Özelliği z1,z2 ∈ C olmak üzere , z1=a+bi , z2=c+di ise; z1+ z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i olur. a,b,c,d ∈R ise; (a+c),(b+d) ∈R olduğundan (z1+ z2) ∈C dir. O halde, karmaşık sayılar kümesi,toplama işlemine göre kapalıdır.
- 12. Etkisiz(Birim)Eleman ÖzelliğiEtkisiz(Birim)Eleman Özelliği z∈C, 0∈C olmak üzere, z1=a+bi, z2=c+di ise; z1+z2=(a+bi)+(0+0i) 0+z =(0+0i)+(a+bi) =(a+0)+(b+0)i =(0+a)+(0+b)i =a+bi =a+bi =z =z z+0=0+z=z olduğundan sıfır sayısı karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanıdır.
- 13. Ters Eleman ÖzelliğiTers Eleman Özelliği Z∈C ve z =a+bi ise,-z =-a –bi olsun. z+(-z)=(a+bi)+(-a –bi) (-z)+z =(-a-bi)+(a+bi) =(a-a)+(b-b)i =(-a+a)+(-b+b)i =0+0i =0+0i =0 =0 z+(-z)=(-z)+z =0 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır. z =a+bi sayısının toplama işlemine göre tersi –z = -a –bi dir.
- 14. Değişme ÖzelliğiDeğişme Özelliği z1+z2∈C ve z1=a+bi, z2=c+di olsun. z1+z2 =(a+bi)+(c+di) z1+z2 =(c+di)+(a+bi) =(a+c)+(b+d)i =(c+a)+(b+d)i z1+z2 = z2+z1 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. O halde (C,+) sistemi bir değişmeli sistemdir.
- 15. Birleşme ÖzelliğiBirleşme Özelliği z1+z2+z3∈ ve z1=a+bi z2=c+di z3=e+fi olsun. (z1+ z2)+ z3=[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi) =[(a+c)+(b+d)i]+(e+fi) =[(a+c)+e] +[ (b+d)+f]i dir. z1+(z2+ z3)=(a+bi)+[(c+di)]+(e+fi)] =(a+bi)+[(c+e)]+(d+f)i] =[a+(c+e)]+[b+(d+f)]i dir. (z1+ z2)+ z3= z1+(z2+ z3) olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. (C,+)sisteminin; kapalılık,etkisiz eleman,ters eleman, ve birleşme özellikleri olduğundan,bu sistem bir gruptur.
- 16. Karmaşık Sayının EşleniğiKarmaşık Sayının Eşleniği a+bi ve a-bi karmaşık sayılarından birine,diğerinin eşleniği denir.z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir.Karmaşık düzlemde,bir z’nin eşleniği reel eksen(apsise)göre simetriktirler. a,b,c ∈ R a ≠ 0 koşuluyla ax+bx+c=0 denkleminin köklerinden biri z = k+pi ise diğeri z =k-pi’dir.
- 17. Çarpma İşlemiÇarpma İşlemi z1,z2 ∈C, z1=a+bi ve z2=c+di olmak üzere,bu karmaşık sayıların çarpımı, z1.z2=(a+bi).(c+di) = a(c+di)+bi(c+di) =ac+adi +bci +bd(ikare) dir.(ikare) yerine –1 yazarsak; z1.z2 =(ac+bd)+(ad+bc) olur. Çarpma işleminin özellikleri için tıklayınız!!!!!!
- 18. Çarpma İşleminin ÖzellikleriÇarpma İşleminin Özellikleri Kapalılık özelliği Etkisiz(birim)eleman özelliği Ters eleman özelliği Değişme özelliği Birleşme özelliği Dağılma özelliği
- 19. Kapalılık ÖzelliğiKapalılık Özelliği z1,z2∈C olmak üzere z1=a+bi z2=c+di ise z1. z2=(a+bi) (c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i olur. a,b,c,d,∈R ise (ac-bd) ∈ R ve (ad+bc)∈R olduğundan; z1. z2= C bulunur. O halde karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
- 20. Etkisiz(Birim)Eleman ÖzelliğiEtkisiz(Birim)Eleman Özelliği z∈C 1∈C ve z=a+bi,1=1+0i olsun. z.1=a+bi).(1+0i) =(a.1- b.0)+(a.0+b.1)i =a+bi=z olur. z.1=z olduğundan,karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre birim(etkisiz)elemanı, 1= 1+0i dir.
- 21. Ters Eleman ÖzelliğiTers Eleman Özelliği Z∈C karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi z(-1’incikuvveti)olsun. z.z(-1’incikuvveti)=1dir. bunu denkleme dökersek sıfır hariç, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre her elemanın tersi vardır.
- 22. Değişme ÖzelliğiDeğişme Özelliği z1,z2∈C, z1=a+bi z2=c+di olsun. z1. z2=(a+bi) (c+di) z1. z2=(c+di) (a+bi) =(ac-bd)+(ad+bc)i =(ca-bd)+(cb+da)i olur. z1. z2= z2. z1 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işleminin değişme özelliği vardır.