Líneas rectas (slide share)

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1
Líneas Rectas

Objetivos
Definir la pendiente como una razón de cambio.
Trazar la gráfica de la recta con un punto y la pendiente.
Hallar la pendiente de la recta dado dos puntos.
Encontrar ecuaciones de rectas verticales y horizontales.
Escribir la ecuación de la recta en la forma
punto pendiente
pendiente intercepto
general
Dibujar la gráfica de la recta conocidos
la pendiente y la intersección en la ordenada
la intersección en los ejes coordenados
2

La pendiente de una recta es la razón de cambio entre
la elevación (ascenso o descenso) y el desplazamiento
(recorrido).
Pendiente
3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
𝑃 𝑥1, 𝑦1
𝑄 𝑥2, 𝑦2
elevación
desplazamiento
Sean 𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2
dos puntos que están en la recta 𝐿,
entonces la pendiente de la recta 𝒎,
se obtiene mediante la ecuación:
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
, 𝑥1 ≠ 𝑥2
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Nota:
Si 𝑥1 = 𝑥2 la recta 𝐿 es una línea recta vertical
y la pendiente de la recta 𝐿 no esta definida.
𝐿

Pendiente
4
Ejemplo:
¿Qué significa que la pendiente de una línea recta es 2 y que
pasa por el punto (−2, −1)?
Solución:
Esto significa que saliendo del
punto (−2, −1) en la línea recta; a
medida que nos desplazamos 1 unidad
hacia la derecha subimos 2 unidades
para poder matenernos en la línea
recta.
𝑚 = 2=
2
1
elevación
desplazamiento
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
−2, −1
desplazamiento
elevación

Práctica
Ir al manual de práctica:
Hacer ejercicios de la página 1
6

Pendiente
7
Práctica:
1. ¿Qué significa que la pendiente de una línea recta es −3 y que
pasa por el punto (2, −1)?
2. La pendiente de una línea recta 𝐿 es
4
5
. Explique el significado de
la expression.

Dibujar la gráfica de una recta con un punto y la pendiente
El punto 𝑃 = 𝑥, 𝑦 y la pendiente 𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
de la recta L son conocidos.
Se localiza el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) en el sistema
de coordenadas rectangulares.
Gráfica de la recta
8
Partiendo del punto (𝑥, 𝑦) nos movemos
Δ𝑥 (desplazamiento) hacia la derecha.
En la posición del Δ𝑦 (elevación) se dibuja
un punto.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
Δ𝑦
Dibujar la recta pasando por los puntos.
Esta es la recta con punto 𝑃 y pendiente 𝑚.
𝑃 Δ𝑥
Desde la posición del Δx (desplazamiento)
nos movemos Δ𝑦 hacia arriba (elevación) si el
Δ𝑦 tiene signo positivo o hacia abajo
(elevación) si el Δ𝑦 tiene signo negativo.

Dibujar la recta pasando por estos puntos.
9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
−3
2
Ejemplo:
Dibuje la gráfica de la recta que pasa por el punto −1, 3 y cuya
pendiente es −
3
2
.
En la posición de la elevación se dibuja un
punto.
Desde la posición del (desplazamiento) nos
movemos 3 hacia abajo (elevación) porque el
− 3 tiene signo negativo.
Partiendo del punto (−1, 3)nos movemos 2
unidades (desplazamiento) hacia la derecha.
Se localiza el punto (−1, 3) en el sistema de
coordenadas rectangulares.
Solución:

Práctica
Ir al manual de práctica:
Hacer ejercicios de la página 1
11

12
Práctica:
Dibuje la gráfica de las líneas rectas conocidas las coordenadas
de un punto y la pendiente.
a) P = −2, −1 𝑦 𝑚 =
4
3
b) Q = 3, 2 𝑦 𝑚 = −3

𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥1, 𝑦1 = −2,3
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
−1 − 3
6 − −2
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
−4
8
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
−1
2
𝑥2, 𝑦2 = 6, −1
Al calcular la pendiente de una recta se
identifican las coordenadas del punto uno y del
punto dos. Después se escribe la fórmula de la
pendiente de la recta. Luego se sustituyen las
coordenadas de los puntos en la fórmula de
pendiente. Finalmente se hacen las operaciones
en el orden correcto.
El valor de la pendiente representa la razón
de cambio entre las variables dependiente
(elevación) e independiente (desplazamiento). El
valor
−1
2
indica que por cada dos unidades hacia la
derecha de la variable independiente disminuye
una unidad la variable dependiente.
Solución:
Pendiente de la recta
13
Ejemplo:
Halle la pendiente de la recta que contiene los puntos −2, 3 𝑦 6, −1 .

Nota:
La pendiente de una recta puede ser positiva, cero, negativa o indefinida.
Cada una de esta pendientes se relaciona con la dirección de la recta.
Recta
creciente
𝑥
𝑦
Recta
decreciente
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
Recta
horizontal
Recta
vertical
𝑚 < 0
pendiente
negativa
𝑚 > 0
pendiente
positiva
𝑚 = 0
pendiente
cero
𝑚 =
∆𝑦
0
pendiente
indefinida
Posibles pendientes de la recta
16

17
Ejemplo:
Halle la pendiente de la línea recta cuya gráfica esta abajo.
Solución:
Seleccionar dos puntos de la línea
recta.
(−𝟑, 𝟎)
(𝟎, −𝟐)
Escribir la formula de la pendiente,
sustituir las coordenadas de los
puntos seleccionados y simplificar.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
−2 − 0
0 − (−3)
=
−2
3
Nota:
Otra forma es utilizando el desplazamiento
y la elevación.
𝟑
− 𝟐
𝑚 =− 𝟐
𝟑

Práctica
19
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 2

a) 5,3 𝑦 6, −1 b) −3,2 𝑦 −3, −5
20
Práctica:
Halle la pendiente de las líneas rectas que contienen los siguientes
pares ordenados.

21
Práctica:
Halle la pendiente de las líneas rectas cuyas gráficas están abajo.
a) b)

La ecuación de una línea recta vertical es de la
forma 𝑥 = ℎ donde ℎ es el intercepto en el eje de
𝑥.
Líneas rectas verticales
23
L
(𝒉, 𝟎)
La línea recta que tiene
la misma abscisa en todos
sus pares ordenados es un
línea recta vertical.
La pendiente de una
línea recta vertical es
indefinida (no se puede
calcular la pendiente).

24
L
Ejemplo:
Determinar la ecuación de las siguientes líneas rectas.
M
(𝟒, 𝟎)
(−𝟐, 𝟎)
La línea recta 𝑀 con
intercepto en el eje de 𝑥 en
(−2,0) tiene ecuación 𝑥 = −2.
La línea recta 𝐿 con
intercepto en el eje de 𝑥 en
(4,0) tiene ecuación 𝑥 = 4.
𝑥 = −2 𝑥 = 4

Una línea recta horizontal está determinada
por una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑘 donde 𝑘 es el
intercepto en el eje de 𝑦.
Líneas rectas horizontales
26
L
(𝟎, 𝒌)
La línea recta que tiene
la misma ordenada en todos
sus pares ordenados es un
línea recta horizontal.
La pendiente de una
línea recta horizontal es
cero (no tiene inclinación).

Líneas rectas horizontales
27
Ejemplo:
Determinar la ecuación de las siguientes líneas rectas.
L
(𝟎, 𝟒)
M
(𝟎, −𝟑)
La línea recta 𝐿 con
intercepto en el eje de 𝑦 en
(0, 4) tiene ecuación 𝑦 = 4.
𝑦 = 4
La línea recta 𝑀 con
intercepto en el eje de 𝑦 en
(0, −3) tiene ecuación 𝑦 = −3.
𝑦 = −3

Práctica
28

29
Práctica:
Traza la gráfica de la línea recta vertical que pasa por el punto
(5, 2).

La ecuación de la línea recta 𝐿 no vertical con
pendiente 𝑚 y que pasa por el punto 𝑥1, 𝑦1 está
dada por 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 .
Recuerde que la pendiente de
una línea recta es la razón de
cambio entre la elevación y el
desplazamiento.
El punto 𝑥1, 𝑦1 está en la
gráfica de la ecuación de la línea
recta y la pendiente representa
la inclinación que tiene esta.
Ecuación de la Recta: Punto Pendiente
31
𝐿
elevación
desplazamiento
(𝑥1, 𝑦1)

32
𝑚 =
−1
2
Se determina el valor de la pendiente de la
recta que contiene los puntos −2,3 y 6, −1 .
Se sustituye el valor de la pendiente y las
coordenadas del punto en la ecuación.
Solución:
Después se escribe la ecuación de la recta
en la forma punto pendiente.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
𝑦 − (3) = −
1
2
𝑥 − −2
Ejemplo:
Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos −2, 3 y 6, −1 .
Se despeja para la variable y.
𝑦 − 3 = −
1
2
𝑥 − 1
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2

Práctica
35

36
Práctica:
Escribe la ecuación de las líneas rectas que contienen los siguientes
pares ordenados.
a) 5,3 𝑦 6, −1 b) −3,2 𝑦 −3, −5

Ecuación Recta: Pendiente Intercepto
37
La ecuación de la recta 𝐿 con pendiente 𝑚 e
intersección en la ordenada 𝑏 es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Recuerde que la pendiente
de una línea recta es la razón de
cambio entre la elevación y el
desplazamiento.
El punto 0, 𝑏 está en la
gráfica de la ecuación de la línea
recta y la pendiente m es la
inclinación que tiene esta.
(0, 𝑏)
desplazamiento
elevación
𝐿

Ejemplo:
Escribe la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos
1, 3 y 3, 1 en la forma pendiente intercepto.
40
𝑚 = −1
Se determina el valor de la pendiente de la
recta que contiene los puntos 1, 3 y 3, 1 .
Se sustituye el valor de la pendiente y las
coordenadas del punto en la ecuación.
Solución:
Después se escribe la ecuación de la recta
en la forma punto pendiente.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
𝑦 − (3) = −1 𝑥 − 1
Se despeja para la variable 𝑦. La ecuación
está en la forma pendiente intercepto.
𝑦 − 3 = −𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 4

Práctica
41

42
Práctica:
Determine la pendiente y el intercepto en la ordenada de las
siguientes ecuaciones.
a) 3𝑥 − 6𝑦 = 4 b) 2 𝑦 − 𝑥 + 2 = −3 𝑥 − 1

43
Práctica:
Escribe la ecuación de las siguientes líneas rectas que:
a) pasa por los puntos 5,3 y
6,1 .
b) tiene el intercepto en la
ordenada en 0, −2 y su
pendiente es −4.

Ecuación Recta: Forma General
45
La ecuación de la recta 𝐿 en forma general está dada por
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 y 𝑏 no
son ambos iguales a cero.
La ecuación de la recta escrita de
esta forma no permite observar las
características de su gráfica. La
podemos transformar utilizando las
propiedades de las igualdad.
La intersección en el eje de 𝑦 se
obtiene sustituyendo cero en la variable
𝑥, luego se resuelve. Para obtener la
intersección en el eje de 𝑥 se sustituye
cero en la variable 𝑦, luego se resuelve.
(𝒙, 𝟎)
(𝟎, 𝒚)
Nota:
Los puntos 0, 𝑦 y 𝑥, 0 son
las intersecciones en los ejes.

46
Solución:
𝑦 = 3𝑥 − 6
−2𝑦 + 6𝑥 = 12
−2
𝑦
−2
−3𝑥
−2
= −6
Escribir la ecuación de la línea recta y
despejar para 𝑦.
La ecuación tiene la forma pendiente
intercepto por lo tanto la pendiente es el
coeficiente de la 𝑥 y la constante es el
intercepto en el eje de 𝑦.
Ejemplo:
Encuentra la pendiente y las intersecciones de en los ejes
coordenados de la línea recta cuya ecuación es −2𝑦 + 6𝑥 = 12.
Sustituir cero en la 𝑦 y despejar la
ecuación para obtener el intercepto en el
eje de 𝑥.
𝑦 = 3𝑥 − 6
0 = 3𝑥 − 6
3𝑥 = 6
𝑥 = 2
𝑚 = 3 𝑏 = −6
Pendiente es 𝑚 = 3 y las intersecciones
en los ejes son 𝐼𝑦 0, −6 e 𝐼𝑥 2, 0 .

Práctica
48

49
Práctica:
Escribe la ecuación de las rectas en forma general tales que:
a) Los puntos 4,3 y 6,1 están
en la grafica de la recta.
b) El intercepto en la ordenada
es 0, 3 y su pendiente es 2.

Trazar Gráfica Línea Recta
50
Se localiza el punto 𝑃 = (0, 𝑏) en el sistema
de coordenadas rectangulares.
Partiendo del punto (0, 𝑏) nos movemos
Δ𝑥 (desplazamiento) hacia la derecha.
Desde la posición del Δ𝑥 (desplazamiento)
nos movemos Δ𝑦 hacia arriba (elevación) si el
Δ𝑦 tiene signo positivo o hacia abajo (elevación)
si el Δ𝑦 tiene signo negativo.
En la posición del Δ𝑦 (elevación) se dibuja un
punto.
Dibujar la recta utilizando el intercepto (0, 𝑏) y la pendiente
Δ𝑦
Δ𝑥
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
Δ𝑥
Δ𝑦
𝑃
Dibujar la recta pasando por los puntos. Esta
es la recta con intercepto 𝑏 y pendiente 𝑚.

Se identifica y localiza el intercepto 𝑃 = (0, 4)
en el sistema de coordenadas rectangulares.
Se identifica la pendiente (𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
= −
3
2
) .
Partiendo del punto (0, 4) nos movemos Δ𝑥 = 2
(desplazamiento) hacia la derecha.
Δ𝑥
Desde la posición del Δ𝑥 = 2 (desplazamiento)
nos movemos Δ𝑦 = −3 hacia abajo (elevación).
Δ𝑦
En la posición del Δ𝑦 (elevación) se dibuja un
punto.
𝑃
Ejemplo:
Dibujar la gráfica de la línea recta cuya ecuación es 𝑦 = −
3
2
𝑥 + 4.
Solución:
51
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
Dibujar la recta pasando por los puntos. Esta es
la recta con intercepto 𝑏 y pendiente 𝑚.

Práctica
53

54
Práctica:
Dibujar la gráfica de las siguientes líneas rectas utilizando el
intercepto en la ordenada y la pendiente.
a) 2(𝑦 − 3) = 𝑥 − 4 b) 𝑦 − 3 = −2𝑥 + 1

55
Dibujar la recta utilizando las intersecciones en los ejes.
Se determina la intersección en el eje de 𝑦.
Recuerde que el punto es 0, 𝑦 , este se
obtiene sustituyendo cero en la variable 𝑥 de
la ecuación y luego se despeja para 𝑦. 𝐼𝑦
Se determina la intersección en el eje de 𝑥.
Recuerde que el punto es 𝑥, 0 este se
obtiene sustituyendo cero en la variable 𝑦 de
la ecuación y luego se despeja para 𝑥.
𝐼𝑥
Dibujar la recta pasando por los puntos
0, 𝑦 y 𝑥, 0 . La recta puede ser creciente,
decreciente, horizontal o vertical.
𝐿

56
Se busca la intersección en el eje de 𝑦
sustituyendo 𝑥 por cero y despejando para 𝑦.
Después se pintan las intersecciones en el plano
cartesiano.
Ejemplo:
Dibujar la gráfica de la línea recta cuya ecuación es −3𝑦 + 2𝑥 = 6
utilizando las intersecciones.
Solución:
𝐼𝑦 0, −2
𝐼𝑥 3, 0
𝐼𝑦
𝐼𝑥
Dibujar la línea recta pasando por las
intersecciones en los ejes.
Se busca la intersección en el eje de 𝑥
sustituyendo 𝑦 por cero y despejando para 𝑥.

Práctica
58

59
Práctica:
Dibujar la gráfica de las siguientes líneas rectas utilizando las
intersecciones en los ejes.
a) 2(𝑦 − 3) = 𝑥 − 4 b) 𝑦 − 3 = −2𝑥 + 1

Esta es una muestra de algunas páginas de la
presentación Líneas Rectas. Si deseas la
presentación completa la puedes obtener en
matematicaspr.com. Espero que esta muestra
ayude a aclarar sus dudas de las líneas rectas y
sus propiedades.
60

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