Factorizar polinomios (slide share)

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Polinomios
Factorizar Polinomios
1

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Objetivos
Factorizar polinomios utilizando:
Factor Común
Diferencia de Cuadrados
Suma de Cubos
Diferencia de Cubos
Agrupación
Tanteo
Estrategias de Factorización
2

Factorización
La factorización es el proceso que se
utiliza para expresar un polinomio como una
multiplicación. Veamos algunos ejemplos de
polinomios factorizados.
3
𝑥2 − 16
2𝑥3
− 18𝑥
= 𝑥 + 4 𝑥 − 4
= 𝑥 + 3 𝑥 − 3
2𝑥
polinomios factores del polinomio

Factor Común
4
Un factor es un factor común cuando es un
factor de todos los términos de un polinómio.
Esta técnica consiste en encontrar los factores
comunes entre todos los términos del polinomio.
2𝑦4 + 6𝑦3 + 12𝑦2
2𝑦2
polinomio
factor común
Escribir los tres términos
del otro factor del polinomio.
𝑦2
+ 3𝑦 + 6
factorización
Identificar el máximo común
factor del polinomio. El factor
mayor que se repite en todos los
términos del polinomio. Dividir el
polinomio por el máximo común
factor.

Factor Común
5
Ejemplo 1:
Factorizar el polinomio 4𝑥 − 36𝑥𝑦.
Solución:
Identificar el máximo común factor
del polinomio. El factor mayor que se
repite en todos los términos del
polinomio.
Dividir todos los términos que tiene el
polinomio por el máximo común factor.
4𝑥 − 36𝑥𝑦
4𝑥
4𝑥 36𝑥𝑦
−
4𝑥 4𝑥
Escribir la forma factorizada del
polinomio.
4𝑥 1− 9𝑦

Factor Común
6
Ejemplo 2:
Factorizar el polinomio 3𝑥3 + 6𝑥.
Solución:
del polinomio. El factor mayor que se
repite en todos los términos del
polinomio.
Dividir todos los términos que tiene el
polinomio por el máximo común factor.
3𝑥3 + 6𝑥
3𝑥
3𝑥3 6𝑥
+
3𝑥 3𝑥
polinomio.
3𝑥 𝑥2
+ 2

Práctica
9
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Hacer los ejercicios de la página 1

Factor Común
10
Práctica:
Factoriza los siguientes polinomios.
1. 4𝑥2 + 12𝑥
2. 4𝑥2 − 4𝑥 + 28
3. 4𝑥2𝑦 + 14𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦2
4. 12𝑥 𝑥 − 6 − 6 𝑥 − 6
5. 5𝑥2 𝑥 + 3 − 15𝑥 𝑥 + 3
6. 𝑥 − 1 2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 1 𝑥 + 2 3

Una diferencia de cuadrados es un binomio de
la forma 𝑎2 – 𝑏2 . Una diferencia de cuadrados
factoriza de la forma 𝑎2 – 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏).
11
Requisitos para alpicar esta técnica
El polinomio sea un binomio.
La operación es resta.
Los términos se pueden escribir como cuadrados.

3
Ejemplo 6:
Factorizar el polinomio 16𝑦2 − 25𝑥2.
Solución:
Identificar que el polinomio es una
diferencia de cuadrados.
Obtener la raíz cuadrada de los dos
términos y escribir el polinomio en la
forma de diferencia de cuadrados.
16𝑦2 − 25𝑥2
16𝑦2 − 25𝑥2
4𝑦 2 − 5𝑥 2
polinomio.
4𝑦+5𝑥 4𝑦−5𝑥

15
Ejemplo 8:
Factorizar el polinomio 36 − 𝑦 + 2 2.
Solución:
diferencia de cuadrados.
Obtener la raíz cuadrada de los dos
forma de diferencia de cuadrados.
polinomio y simplificar cada factor si es
posible.
36 − 𝑦 + 2 2
36
6
−
𝑦 + 2
−
𝑦 + 2 2
6 𝑦 + 2
+
6 2 − 𝑦 + 2 2
8 + 𝑦 4 − 𝑦

Práctica
16

17
Práctica:
1. 36𝑚2 − 25
2. 4𝑥2 − 49
3. 121𝑥2 − 144𝑘2
4.
9
25
𝑏2 −
49
36
𝑐2
5. 16 𝑥 + 3 2 − 9
6. 𝑥 − 1 2
− 2𝑥 + 3 2

Una suma de cubos es un binomio de la forma
𝑎3 + 𝑏3. La factorización de una suma de cubos
tiene dos factores, un binomio (𝑎 + 𝑏) y un
trinomio (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2).
Suma de Cubos
18
Requisitos para aplicar esta técnica:
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
El polinomio debe ser un binomio.
+
La operación debe ser suma.
Los términos se pueden escribir como cubos.
𝑎3
𝑏3

Suma de Cubos
19
Ejemplo 9:
Factorizar el polinomio 𝑥3 + 8.
Solución:
suma de cubos.
Obtener la raíz cubica de los dos
forma de suma de cubos.
posible.
𝑥 +2 𝑥2−2𝑥 +4
𝑥 +2 𝑥 2
− 2 𝑥 + 2 2
𝑥 3 + 2 3
3
𝑥3 +
3
8
𝑥3 + 8

Suma de Cubos
22
Ejemplo 12:
Factorizar el polinomio 27𝑝3 + 64.
Solución:
suma de cubos.
forma de suma de cubos.
27𝑝3
+ 64
3
27𝑝3 +
3
64
3𝑝 3 + 4 3
posible.
3𝑝+4 9𝑝2−12𝑝+16
3𝑝+4 3𝑝 2
− 3𝑝 4 + 4 2

Práctica
23

Suma de Cubos
24
Práctica:
1. 125𝑚3 + 27
2. 8𝑥3 + 343
3. 64𝑥3 + 27𝑘3
4.
27
8
𝑏3 +
64
27
𝑐3
5. 𝑥 + 3 3 + 27
6. 216𝑥3 + 125𝑦3

Una diferencia de cubos es un binomio de la
forma 𝑎3 + 𝑏3. La factorización de una diferencia
de cubos tiene dos factores, un binomio (𝑎 − 𝑏) y
un trinomio (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2).
Diferencia de Cubos
25
Requisitos para aplicar esta técnica:
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 – 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
El polinomio debe ser un binomio.
−
La operación debe ser resta.
Los términos se pueden escribir como cubos.
𝑎3
𝑏3

Diferencia de Cubos
26
Ejemplo 13:
Factorizar el polinomio 𝑥3 − 27.
Solución:
diferencia de cubos.
forma de diferencia de cubos.
𝑥3
− 27
3
𝑥3 −
3
27
𝑥 3 − 3 3
posible.
𝑥 −3 𝑥2+3𝑥 +9
𝑥 − 3 𝑥 2 + 𝑥 3 + 3 2

Diferencia de Cubos
29
Ejemplo 16:
Factorizar el polinomio 27𝑝3 − 8.
Solución:
3𝑝−2 9𝑝2+6𝑝 +4
posible.
3𝑝−2 3𝑝 2
+ 3𝑝 2 + 2 2
3𝑝 3 − 2 3
forma de diferencia de cubos.
3
27𝑝3 −
3
8
27𝑝3 − 8 Identificar que el polinomio es una
diferencia de cubos.

Práctica
30

Diferencia de Cubos
31
Práctica:
1. 27𝑚3 − 125
2. 8𝑥3 − 343
3. 64𝑥3 − 27𝑘3
4.
64
27
𝑏3 −
27
8
𝑐3
5. 𝑥 − 3 3 − 27
6. 125𝑥3 − 216𝑦3

Generalmente esta técnica se aplica cuando el
polinomio tiene cuatro términos o más.
Se utiliza en combinación con las otras
técnicas especialmente con la de factores
comunes.
Método de Agrupación
32
El método consiste en agrupar los términos
de manera que se destaque algún factor común
en cada grupo.

33
Ejemplo 17:
Factorizar el polinomio 3𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 6.
Solución:
de cada grupo. El factor mayor que se
repite en todos los términos de cada
grupo.
Dividir todos los términos que tiene
cada grupo por el máximo común factor
que corresponde al grupo y escribir la
forma factorizada de cada grupo.
Repetir los pasos anteriores para el
nuevo polinomio que tiene dos términos.
polinomio.
3𝑥 2
+
3𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 6
3𝑥3 + 2𝑥2 + −9𝑥 − 6
𝑥2 𝑥2
3𝑥 2
+
𝑥2 3𝑥 2
−3
−3 −3
3𝑥 2
+ 3𝑥 2
+
𝑥2
− 3
+

36
Ejemplo 20:
Factorizar el polinomio 4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦.
Solución:
4𝑥2
− 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦
4𝑥2 − 25 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦
2𝑥 5
− 𝑦
𝑦 𝑦
+ 2𝑥 5
+
2𝑥 5
+
de un grupo. El otro grupo factoriza
utilizando diferencia de cuadrados.
Dividir todos los términos del grupo
que tiene el máximo común factor por
este.
del nuevo polinomio.
2𝑥 + 5
Dividir todos los
términos de este polinomio por el
máximo común factor.
2𝑥 + 5 2𝑥 + 5
Escribir la forma
factorizada del polinomio.
2𝑥 5
+ + 𝑦

Práctica
37

38
Práctica:
1. 𝑚3 + 2𝑚2 + 5𝑚 + 10
2. 𝑎𝑑𝑦 − 𝑤 + 𝑑 − 𝑎𝑤𝑦
3. 𝑥2𝑦2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑦2 − 𝑏𝑥2
4. 2𝑤3 − 2𝑤2 + 3𝑤 − 3
5. 𝑥3
+ 𝑥2
− 7𝑥 − 7
6. 6𝑦𝑧 − 3𝑦 − 10𝑧 + 5

Tanteo Trinomios 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
39
Los trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde
𝑏 y 𝑐 son números enteros, se obtienen al
multiplicar polinomios lineales de la forma
𝑥 + 𝑝 y 𝑥 + 𝑞 .
𝑥 + 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞
𝑞𝑥
𝑝𝑥
𝑥2 𝑝𝑞
+
= 𝑥2 + 𝑝 + 𝑞 𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑥2 𝑝𝑥
+ 𝑞𝑥
+ 𝑝𝑞
+
El proceso consiste en buscar dos números
enteros 𝑝 y 𝑞 cuya suma sea 𝑏 y producto sea 𝑐.

+ 𝒃𝒙 + 𝒄
40
Ejemplo 21:
Factorizar el polinomio 𝑝2 − 𝑝 − 2.
Solución:
El primer y el tercer termino tienen
signos diferentes por lo tanto usamos la
combinación de factores que se restan.
𝑝2 − 𝑝 − 2
Escribir los factores del primer y tercer
termino.
Buscar el producto de los factores cuya
resta es −𝑝. Utilizar diferentes productos
de factores hasta obtener la factorización.
De otra manera no existe la factorización.
𝒑
𝒑
−𝟐
𝟏
−𝟐𝒑
𝒑
= −𝒑
𝑝 𝑝 −1 2
∗
∗
1 −2
∗
−𝑝 −𝑝
∗
Escribir la factorización del polinomio.
𝑝 𝑝
2 1
− +

+ 𝒃𝒙 + 𝒄
43
Ejemplo 24:
Factorizar el polinomio 𝑥2 − 11𝑥 + 18.
Solución:
El primer y el tercer termino tienen
signos diferentes por lo tanto usamos la
combinación de factores que se restan.
𝑥2 − 11𝑥 + 18
Escribir los factores del primer y tercer
termino.
Buscar el producto de los factores cuya
suma es −11𝑥. Utilizar varios productos de
factores hasta obtener la factorización.
De otra manera no existe la factorización.
𝑥 𝑥
2 9
∗
∗ −2 −9
∗
−𝑥 −𝑥
∗ 3 6
∗
−3 −6
∗
𝒙
𝒙
−𝟐
−𝟔
−𝟐𝒙
−𝟗𝒙
= −𝟏𝟏𝒙
𝑥 𝑥
2 9
− −

Práctica
44

+ 𝒃𝒙 + 𝒄
45
Práctica:
1. 𝑚2 + 5𝑚 − 14
2. 𝑏2 − 13𝑏 + 14
3. 𝑥2 + 𝑥 − 30
4. 𝑤2 + 3𝑤 − 28
5. 𝑥2
− 6𝑥 + 8
6. 𝑝2 − 13𝑝 − 30

Trinomios 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
46
Los trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde
𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números enteros, se obtienen al
multiplicar polinomios lineales de la forma
𝑟𝑥 + 𝑝 y 𝑠𝑥 + 𝑞 .
𝑟𝑥 + 𝑝 ∙ 𝑠𝑥 + 𝑞
𝑞𝑟𝑥
𝑝𝑠𝑥
𝑝𝑞
+
= 𝑟𝑠𝑥2 + 𝑝𝑠 + 𝑞𝑟 𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑟𝑠𝑥2 𝑝𝑠𝑥
+ 𝑞𝑟𝑥
+ 𝑝𝑞
+
𝑟𝑠𝑥2
El proceso consiste en buscar dos números
enteros 𝑝𝑠 y 𝑞𝑟 cuya suma sea 𝑏 y producto sea 𝑎𝑐.

+ 𝒃𝒙 + 𝒄
48
Ejemplo 26:
Factorizar el polinomio 6𝑥2 − 7𝑥 − 3.
Solución:
6𝑥2 − 7𝑥 − 3
3𝑥
2𝑥 1 −3
+
Identificar los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
𝑎 = 6 𝑏 = −7 𝑐 = −3
𝑎 ∙ 𝑐 = 6 −3 = −18 Buscar el producto de 𝑎 y 𝑐.
Escribir el polinomio a factorizar.
¿Qué dos expresiones tienen como
producto −18𝑥2 y suma −7𝑥?
2𝑥 −9𝑥
𝑦
6𝑥2 + 2𝑥 −9𝑥 − 3
+
3𝑥 1
+
Formar un grupo con el primer término
y una de estas expresiones y otro con el
tercer término y la otra expresión.
Factorizar por agrupación.
3𝑥+1 2𝑥−3

+ 𝒃𝒙 + 𝒄
49
Ejemplo 27:
Factorizar el polinomio 10𝑥2 − 3𝑥 − 4.
Solución:
10𝑥2 − 3𝑥 − 4
5𝑥
2𝑥 4 +
Identificar los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
𝑎 = 10 𝑏 = −3 𝑐 = −4
𝑎 ∙ 𝑐 = 10 −4 = −40 Buscar el producto de 𝑎 y 𝑐.
Escribir el polinomio a factorizar.
¿Qué dos expresiones tienen como
producto −40𝑥2 y suma −3𝑥?
−8𝑥 5𝑥
𝑦
10𝑥2
− 8𝑥 5𝑥 − 4
+
5𝑥 4
−
Formar un grupo con el primer término
y una de estas expresiones y otro con el
tercer término y la otra expresión.
Factorizar por agrupación.
−
5𝑥−4 2𝑥+1

Práctica
51

+ 𝒃𝒙 + 𝒄
52
Práctica:
1. 2𝑚2 + 11𝑚 − 6
2. 6𝑏2 − 𝑏 − 2
3. 4𝑥2 + 5𝑥 − 6
4. 10𝑤2 − 11𝑤 − 6
5. 12𝑥2
+ 17𝑥 + 6
6. 12𝑝2 − 32𝑝 + 21

1. Factorizar todos los factores comunes.
2. Observar el número de términos en el polinomio. Si el
polinomio tiene:
a. Cuatro términos o más:
b. Tres términos:
c. Dos términos y cuadrados:
d. Dos términos y cubos:.
3. Verificar que la factorización fue completa.
Estrategia General
Factorizar formando grupos
Tanteo o Criterio AC
Diferencia de cuadrados
Suma o Diferencia de cubos
53

Estrategia General
54
Solución:
Utilizar la estrategia del factor
común. Factor que se repite en todos los
términos.
En el binomio se aplica la estrategia
de diferencia de dos cuadrados.
3𝑥3 − 48𝑥
3𝑥 𝑥2
− 16
3𝑥 𝑥2
− 42
Ejemplo 29:
Factorizar el polinomio 3𝑥3 − 48𝑥.
posible.
3𝑥 𝑥 + 4 𝑥 −4

Estrategia General
55
Ejemplo 30:
Factorizar completamente 3𝑥3 + 2𝑥2 − 27𝑥 − 18.
Solución:
El polinomio no tiene factor común.
Este tiene cuatro términos, por lo tanto
utilizamos la estrategia de agrupación.
3𝑥 2
+
3𝑥3
+ 2𝑥2
− 27𝑥 − 18
3𝑥3 + 2𝑥2 + −27𝑥 − 18
3𝑥 2
+
𝑥2 3𝑥 2
−9 +
3𝑥 2
+ 𝑥2
− 32
3𝑥 2
+
En uno de los factores se utiliza la
estrategia de la diferencia de dos
cuadrados.
𝑥2
− 9
𝑥 + 3 𝑥 − 3

Práctica
58

Estrategia General
59
Práctica:
1. 6𝑚2 + 33𝑚 − 18
2. 16𝑏4 − 81𝑥4
3. 16𝑡4
+ 54𝑤3
𝑡
4. 𝑤4 − 𝑤3 + 𝑤 − 1
5. 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
6. −6𝑝4
−𝑝3
+15𝑝2

Mapa Factorizar Polinomios
60
Suma de
Cubos
Trinomios
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Trinomios
a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Diferencia
de Cubos
Diferencia
de
Cuadrados
Factor
Común
Agrupación
Estrategias de
Factorización

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