Lttt matlab chuong 2

Chương 2
Thực hành tính toán
trên Matlab

213/03/2014
Phép toán Mô tả
+ x+y
- x-y
* x*y
/ x/y
xy = y/x
^ x^y
Lập trình tính toán
2.1 Các toán tử cơ bản của Matlab

313/03/2014
Độ ưu tiên Phép toán Tính ưu tiên
1 (,) Từ trong ra ngoài
2 ^ Từ trái qua phải
3 ±a
4 *,/, Từ trái qua phải
5 +,- Từ trái qua phải
2.1 Các toán tử cơ bản của Matlab (tt.)
 Độ ưu tiên của phép toán:

413/03/2014 Lập trình tính toán
2.2 Biến (variable)
 Không cần khai báo biến
 Một biến sẽ được tự động tạo ra trong quá trình gán dữ
liệu cho biến đó.
 Tên biến: bắt đầu bằng một ký tự chữ, tiếp theo có thể là
ký tự chữ, ký tự số hoặc dấu gạch chân “_”
Ví dụ:
– Hợp lệ: a, a_b1, a1
– Không hợp lệ: _a, 1a, abc*
 Lệnh “who” và “whos”: cho biết thông tin về các biến
đang hiện hữu.

2.2 Biến (variable) (tt.)
 Một số biến mặc định (hằng số):
Tên biến Giá trị / Ý nghĩa
ans
Tên biến mặc định dùng để lưu kết
quả của phép tính cuối cùng
pi π = 3.14159…
eps epsilon = 2-52
inf Vô cực (∞)
nan hay NaN Not a Number (vô định)

 Một số biến mặc định (tt.):
Tên biến Giá trị / Ý nghĩa
i, j
nargin/nargout Số đối số input/output của hàm
realmin Số thực dương nhỏ nhất (2-1022)
realmax
Số thực dương lớn nhất
((2-esp)*21023)
e
Nhân lũy thừa của 10
(5e2 = 5*102 = 500)

 Xóa giá trị của biến:
Xóa biến x là xóa vùng nhớ đã cấp phát cho biến x.
Lệnh Ý nghĩa
clear x Xóa một biến x
clear x y z Xóa một lúc nhiều biến
clear Xóa hết các biến hiện hữu

813/03/2014
Tìm USCLN, BSCNN
 Lệnh tìm USCLN
>> gcd(a,b)
 Lệnh tìm BSCNN
>> lcm(a,b)
2.3 Tính toán số học và đại số thông dụng

913/03/2014
 Ví dụ:
Tìm USCLN của 2^100-1 và 2^60-1
>>gcd(2^52-1,2^30-1)
3
Tìm BSCNN của 45,72
>>lcm(45,72)
360
2.3 Tính toán số học và đại số (tt.)
Tìm USCLN, BSCNN (tt.)

1013/03/2014
Phân tích một số ra tích các thừa số nguyên tố
 Cú pháp
>> factor(n)
 Ví dụ: Phân tích 1223456789
>>factor(1223456789)
3109 393521

1113/03/2014
Tìm số nguyên tố
 Trước một số a cho trước
>> primes(a)
 Xác định a có phải là số nguyên tố hay không
>> isprime(a)
 Ví dụ: Tìm các số nguyên tố trước số 20?
>> primes(20)
2 3 5 7 11 13 17 19

1213/03/2014
Tìm phần dư
>> rem(a,b) hoặc >>mod(a,b)
 Ví dụ:
>> rem(16,-12)
4
>> mod(16,-12)
-8

1313/03/2014
Dạng hiển thị số
>>format <kiểu>
Kiểu Hiển thị Ví dụ
short (mặc định) 4 chữ số thập phân 3.1416
long 15 chữ số thập phân 3.141592653589793
bank 2 chữ số thập phân 3.14
rat Dạng phân số a/b 355/113

1413/03/2014
Khai báo biến hình thức
 Khai báo biến:
>> syms a b c
hoặc
>> a = sym(‘a’)
 Khai báo biến phức:
>>syms x y real
hoặc >> x=sym(‘x’,‘real’); y=sym(‘y’,‘real’);
>>z =x+i*y

1513/03/2014
Khai báo biến hình thức (tt.)
 Khai báo hàm số:
>> syms f(a,b)
>> f(a,b)=2*a+b
>> f(2,3)
7
Hoặc
>> syms x y
>> g(x,y)=2*x+y

1613/03/2014
Tính tổng
 Hữu hạn:
>> symsum(f(i),m,n)
 Vô hạn:
>> symsum(f(i),m,inf)

1713/03/2014
Tính tổng (tt.)
∑= +
+10
1
2
1
1
x x
x

1813/03/2014
Tính tổng (tt.)
∑
−
=
1
0
3
n
k
k

1913/03/2014
Tính tổng (tt.)
2
1
1
k k
∞
=
∑

2013/03/2014
Tính tích
 Hữu hạn:
>> symprod(f(i),m,n)
 Vô hạn:
>> symprod(f(i),m,inf)

2113/03/2014
Tính tích (tt.)
∏=
−20
2
2
2
1
k k
k

2213/03/2014
Tính tích (tt.)
2
1
1
1
4n n
∞
=
 
− 
 
∏

2313/03/2014
 Cú pháp:
>>expand(expr)
 Ví dụ: Khai triển (x + y)4
>> expand((x+y)^4)
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Khai triển biểu thức đại số

2413/03/2014
 Cú pháp:
>>factor(expr)
 Ví dụ:
>>expr1=(x-1)*(x-2)*(x-3)
expr1=(x-1)(x-2)(x-3)
>>expr2=expand(expr1)
expr2=x3-6x2+11x-6
>>factor(expr2)
(x-3)(x-1)(x-2)
Phân tích thành nhân tử

2513/03/2014
 Cú pháp:
>>simplify(expr)
>>simple(expr)
 Ví dụ: Đơn giản biểu thức
cos5(x) + sin4(x) + 2cos2(x) – 2sin2(x) – cos(2x)
>>simplify(cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x))
cos(x)5 + cos(x)4
Đơn giản biểu thức

Đơn giản biểu thức (tt.)

2713/03/2014
 Cú pháp:
>>subs(expr,old,new)
 Ví dụ:
>> syms z
>> expr=x^2+y^2-2*z^2*x
x2 – 2xz2 + y2
>> subs(expr,{x,y},{1,z})
1 – z2
Tính giá trị biểu thức

2813/03/2014
 Cú pháp:
>>[N D]=numden(frac)
 Ví dụ:
>> [N D]=numden(x/y+y/x)
N = x2 + y2
D = xy
Tính tử và mẫu của phân số

2913/03/2014
 Cú pháp:
>> solve(eqns)
 Ví dụ: Giải phương trình ax2+bx+c=0
>> syms a b c x;
>> f=a*x^2+b*x+c;
>> solve(f)
-(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)
-(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)
Giải phương trình & hệ phương trình

3013/03/2014
 Ví dụ (tt.):
>> solve(f,b)
-(a*x^2+c)/x
Giải phương trình x2+2x=1
>> syms x real
>> solve(‘x^2+2*x=1’) hoặc >>solve(x^2+2*x==1)
2^(1/2)-1
-2^(1/2)-1
Giải phương trình & hệ phương trình (tt.)

3213/03/2014
 Ví dụ (tt.):
>> s.a
10
>> s.b
9
>> s.c
6

3313/03/2014
Phép tính giới hạn
 Tính giới hạn của hàm số tại x=0.
>> limit(f)
 Tính giới hạn của hàm số tại x=a.
>> limit(f,x,a) hoặc >>limit(f,a)
 Tính giới hạn của hàm số tại vô cùng
>> limit(f,x,inf)
2.4 Phép tính vi phân và tích phân

3413/03/2014
 Ví dụ:
>> limit(sin(x)/x)
1
>> limit(exp(x),inf)
Inf
>> limit(exp(x),-inf);
0
>> limit(1/x, x=0, real)
NaN
Phép tính giới hạn (tt.)
2.4 Phép tính vi phân và tích phân (tt.)

3513/03/2014
Giới hạn bên trái – bên phải
 Giới hạn bên trái:
>> limit(f, a, ‘left’);
 Giới hạn bên phải:
>> limit(f, a, ‘right’);

3613/03/2014
Giới hạn bên trái – bên phải

3713/03/2014
 Tích phân bất định:
>> int(f,x) hoặc >> int(f)
Ví dụ:
>> int(1/(x^2-4*x+3),x)
log(x-3)/2 - log(x-1)/2
Tính tích phân

3813/03/2014
Tính tích phân (tt.)
 Tích phân xác định:
>> int(f,a,b)
Ví dụ:
Tính tích phân
>> int(1/(x^2-4*x+3),4,6)
log((3*5^(1/2))/5)
6
24
1
4 3
dx
x x− +∫

3913/03/2014
Tính tích phân (tt.)
 Tích phân xác định (tt.):
Ví dụ (tt.):
Tính tích phân
>> int(sqrt(exp(2*x)+cox(x)^2+1),0,pi)
2 2
0
cos( ) 1x
e x dx
π
+ +∫

4013/03/2014
Tính đạo hàm hàm số một biến
 Cú pháp:
>> diff(f(x))
 Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số
f(x) = cos2(x)/sin(2x)
>> f=cos(x)^2/sin(2*x);
>> f_diff=diff(f)
-(2cos(2x)cos2(x)/sin2(2x)-2cos(x)sin(x))/sin(2x)
>> simplify(f_diff)
2
1
2sin( )x
−

4113/03/2014
Tính đạo hàm hàm số nhiều biến
 Cú pháp:
>> diff(f(x,y),x)
 Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số
g(x,y) = y*cos(xy)
>> g=y*cos(x*y);
>> g_diff=diff(g,x)
-y^2*sin(x*y)

4213/03/2014
Đạo hàm cấp cao
 Đạo hàm cấp hai:
>> diff(f,2) hoặc >> diff(diff(f))
>>diff(f,x,2)
 Đạo hàm cấp k:
>> diff(f,k)
 Ví dụ:
>> diff(x^3-2*x^2,3)
6

4313/03/2014
Khai triển hàm số thành chuỗi số
 Cú pháp:
>> taylor(f,‘Order’,m)
 Ví dụ: Khai triển y=sin(2x).cos(x) tới bậc 15 tại x=0
>> approx=taylor(sin(2*x)*cos(x),‘Order’,15)
(398581*x^13)/3113510400 – (44287*x^11)/19958400 +
(703*x^9)/25920 – (547*x^7)/2520 + (61*x^5)/60 – (7*x^3)/3 +
2*x

4413/03/2014
Nhập ma trận
 Nhập trực tiếp danh sách các phần tử
 Phát sinh ma trận bằng các hàm sẵn có
 Nhập từ file
 Tạo ma trận bằng các file .m
 Ví dụ:
>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2.5 Tính toán trong đại số tuyến tính
 Dấu “[” và “]” mở
đầu và kết thúc nhập
ma trận.
 Dấu “;” kết thúc
một dòng.
 Các phần tử cách
nhau bằng “khoảng
trắng” hoặc dấu “,”

4513/03/2014
Phát sinh ma trận bằng hàm sẵn có
 Cú pháp:
Ma trận 0
>> zeros(m,n)
m, n: kích thước ma trận
Ma trận 1
>> ones(m,n)
Ma trận đơn vị
>> eye(n)
2.5 Tính toán trong đại số tuyến tính (tt.)

4613/03/2014
Phát sinh ma trận bằng hàm sẵn có (tt.)
 Cú pháp (tt.):
Ma trận đường chéo
>> diag([a,b,c,…])
Ma phương
>> magic(n)
Ma trận các số thực ngẫu nhiên từ 0 đến 1
>> rand(m,n)

4713/03/2014
Nhập ma trận bằng hàm load
 Ví dụ:
Giả sử ta có một file mt.dat có nội dung như sau (các số
cách nhau bởi khoảng trắng)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Dòng lệnh
>>load mt.dat
sẽ đọc file mt.dat, tạo biến có tên là mt, là ma trận các
phần tử có trong file mt.dat.

4813/03/2014
Nhập ma trận bằng file .m
 Ví dụ:
Tạo file mt.m bằng Matlab Editor hoặc chương trình soạn
thảo bất kỳ. Nội dung file:
A=[1 2 3
4 5 6
7 8 9]
Dòng lệnh
>>mt
sẽ đọc file mt.m, tạo biến A là ma trận như trên.

4913/03/2014
Trích một phần tử trong ma trận
 Cú pháp:
>>A(i,j)
i: chỉ số dòng
j: chỉ số cột
 Ví dụ:
>> A(3,2)
8
>> A(4) %phần tử thứ 4 duyệt theo cột từ trái qua phải, từ trên
xuống dưới.
2
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5013/03/2014
Chỉ số vượt khỏi kích thước ma trận
 Ví dụ:
>> A(4,5)
Index exceeds matrix dimensions
>> X=A
>> X(3,4)=10
X =
1 2 3 0
4 5 6 0
7 8 9 10
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5113/03/2014
Dấu hai chấm “:”
 Ví dụ:
>> 1:10
ans =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
%tạo bước tăng/giảm khác 1
>> 100:-7:50
ans =
100 93 86 79 72 65 58 51
>> 0:pi/4:pi
ans =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

5213/03/2014
Dấu hai chấm “:” (tt.)
 Ví dụ (tt.):
>> A(1,1:2) %dãy 2 phần tử đầu tiên ở dòng thứ 1 của A
ans =
1 2
>> sum(A(1:2,1)) %tổng 3 số đầu tiên ở cột 1 của A
ans =
5
>> A(1,:)%toàn bộ phần tử của dòng 1
ans =
1 2 3
>> A(end,1) %phần tử cuối cùng của cột 1
ans =
7 Lập trình tính toán
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5313/03/2014
Trích nhiều phần tử trong ma trận
 Ví dụ:
>> A(2,[3,1]) %phần tử thứ 3 và thứ 1 của dòng 2 của A
ans =
6 4
>> x=[2 1 5 8]
x =
2 1 5 8
>> x([2,4])
ans =
1 8
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5413/03/2014
Ghép hai ma trận
 Ví dụ:
Thêm cột:
>>D=[A B]
D =
1 2 3 10 11
4 5 6 12 13
Thêm dòng:
>>E=[A;C]
E =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
9 7 8 Lập trình tính toán
A =
1 2 3
4 5 6
B =
10 11
12 13
C =
7 8 9
9 7 8

5513/03/2014
Xóa dòng, xóa cột
 Ví dụ:
Xóa cột:
>>D(:,2)=[]
D =
1 3 10 11
4 6 12 13
Xóa dòng:
>>D(2;:)=[]
D =
1 3 10 11
Xóa nhiều phần tử:
>>E(1:2:10)=[]
E =
4 9 5 7 6 9 8
D =
1 2 3 10 11
4 5 6 12 13
E =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
9 7 8

5613/03/2014
Tổng các cột của ma trận
 Cú pháp:
>>sum(A)
 Ví dụ:
>> sum(A)
ans =
12 15 18
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5713/03/2014
Ma trận chuyển vị
 Cú pháp:
>>A’
 Ví dụ:
>> A’
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5813/03/2014
Đường chéo ma trận
 Cú pháp:
>>diag(A)
 Ví dụ:
>> diag(A)
1
5
9
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

5913/03/2014
Phép cộng, trừ hai ma trận
 Ví dụ:
Cộng hai ma trận:
>>A+B
ans =
1 3 5
6 8 10
14 14 14
Trừ hai ma trận:
>>A-B
ans =
1 1 1
2 2 2
0 2 4
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B =
0 1 2
2 3 4
7 6 5

6013/03/2014
Phép nhân hai ma trận
 Ví dụ:
>>A*B
ans =
25 25 25
52 55 58
79 85 91
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B =
0 1 2
2 3 4
7 6 5

6113/03/2014
Lũy thừa ma trận
 Cú pháp:
>>A^m
 Ví dụ:
>>A^2
ans =
30 36 42
66 81 96
102 126 150
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

6213/03/2014
Ma trận nghịch đảo
 Cú pháp:
>>A^(-1)
Hoặc
>>inv(A)
 Ví dụ:
>>inv(A)
ans =
-0.4504 0.9007 -0.4504
0.9007 -1.8014 0.9007
-0.4504 0.9007 -0.4504
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

6313/03/2014
Định thức của ma trận
 Cú pháp:
>>det(A)
 Ví dụ:
>>det(A)
ans =
0
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

6413/03/2014
Rút gọn dạng ma trận bậc thang
 Cú pháp:
>>rref(A)
 Ví dụ:
>>rref(A)
ans =
1 0 -1
0 1 2
0 0 0
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

6513/03/2014
Hạng của ma trận
 Cú pháp:
>>rank(A)
 Ví dụ:
>>rank(A)
ans =
2
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

6613/03/2014
Giải phương trình ma trận AX=B
 Cú pháp:
>> AB=A-1B
Hoặc
>> mldivide(A,B)
Hoặc
>> linsolve(A,B,opts)
opts: các tham số chỉ tính chất của ma trận A

6713/03/2014
Giải phương trình ma trận AX=B (tt.)
 Ví dụ:
Giải hệ
>>X=linsolve(A,B)
X =
10.0000
9.0000
6.0000
A =
1 5 -7
-2 3 -1
1 2 -4
B =
13
1
4
5 7 13
2 3 1
2 4 4 0
a b c
a b c
a b c
+ − =

− + − =
 + − − =

6813/03/2014
Giải phương trình ma trận XA=B
 Cú pháp:
>> A/B
Hoặc
>> mrdivide(A,B)

6913/03/2014
Phép cộng, nhân giữa một số và một ma trận
 Ví dụ: A=[1 2;3 4]
>>A+3
A =
4 5
6 7
>>A*2
A =
2 4
6 8

7013/03/2014
Các phép biến đổi sơ cấp
 Biến dòng (cột) i thành k lần dòng (cột) i:
>> A(i,:) = A(i,:) * k
>> A(:,i) = A(:,i) *k
Biến dòng (cột) i thành dòng (cột) i cộng k lần dòng (cột)
j:
>> A(i,:) = A(i,:) + A(j,:) * k
>> A(:,i) = A(:,i) + A(:,j) * k

7113/03/2014
Các phép biến đổi sơ cấp (tt.)
Hoán vị dòng (cột) i và dòng (cột) j:
>> A = A([thứ tự dòng],:)
>> A = A(:,[thứ tự cột])

7213/03/2014
 Ví dụ: A=[2 4;3 8;6 7]
Biến dòng 1 thành 10 lần dòng 1:
>>A(1,:) = A(1,:) * 10
A =
20 40
3 8
6 7

7313/03/2014
 Ví dụ (tt.):
Biến dòng 2 thành dòng 2 cộng 3 lần dòng 3:
>>A(2,:) = A(2,:) + A(3,:) * 3
A =
20 40
21 29
6 7

7413/03/2014
 Ví dụ (tt.):
Hoán vị dòng 2 và dòng 3:
>>A = A([1 3 2],:)
A =
20 40
6 7
21 29

7513/03/2014
Đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vector riêng
 Cú pháp:
Đa thức đặc trưng
>>p = poly(A)
Tính nghiệm của đa thức đặc trưng
>>roots(p)
Giá trị riêng, vector riêng
>>[V, D] = eig(A)

7613/03/2014
Đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vector riêng (tt.)
 Ví dụ:
Đa thức đặc trưng
>>p = poly(A)
p =
1.0000 -15.0000 -9.0000 0.0000
Tính nghiệm của đa thức đặc trưng
>>roots(p)
ans =
15.5777
-0.5777
0.0000
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

7713/03/2014
Đa thức đặc trưng, giá trị riêng, vector riêng (tt.)
 Ví dụ (tt.):
Giá trị riêng, vector riêng
>>[V,D] = eig(A)
V =
0.2205 0.7502 0.4082
0.8238 -0.6597 -0.8165
0.5222 0.0453 0.4082
D =
15.5777 0 0
0 -0.5777 0
0 0 0.0000
Với giá trị riêng là 15.5777 ta có vector riêng tương ứng là [0.2205
0.8238 0.5222]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

7813/03/2014
Mảng (Array hoặc Vector)
 Khi không làm việc trên đại số tuyến tính, ma trận đơn
giản là một mảng hai chiều
 Các phép toán cộng, trừ không đổi giữa ma trận và mảng.
 Đối với phép nhân, Matlab dùng dấu chấm trước các phép
toán (mang tính nhân) trên mảng

7913/03/2014
Phép toán trên mảng một chiều (Vector)
Phép toán Ý nghĩa Kết quả
u.*v Nhân từng phần tử 0 2 -3 8
u./v Chia xuôi từng phần tử Inf 2 -3 2
u.v Chia ngược từng phần tử 0 0.5000 -0.3333 0.5000
u.^2 Lũy thừa từng phần tử 1 4 9 16
u.’ Chuyển thành vector cột
1
2
3
4
 Ví dụ: u=[1 2 3 4] v=[0 1 -1 2]

8013/03/2014
Phép toán trên mảng hai chiều (Array)
Phép toán Ý nghĩa Kết quả
A.*B Nhân từng phần tử [0 2;-3 8]
A./B Chia xuôi từng phần tử [Inf 2;-3 2]
A.B Chia ngược từng phần tử [0 0.5000;-0.3333 0.5000]
A.^2 Lũy thừa từng phần tử [1 4;9 16]
A.’
Ma trận chuyển vị
(giống A’)
[1 3;2 4]
 Ví dụ: A=[1 2;3 4] B=[0 1;-1 2]

8113/03/2014
Khai báo
2.6 Tập hợp
 Một tập hợp trong Matlab được khai báo bằng cách liệt kê
dưới dạng một vector (dòng hoặc cột)
 Ví dụ: Tập hợp a gồm 5 phần tử có thể khai báo như sau:
A = [1 4 8 9 10]
Hoặc A = [1,4,8,9,10]
Hoặc A = [1;4;8;9;10]
 Khai báo tập rỗng: A=[]

8213/03/2014
Các phép toán (tt.)
2.6 Tập hợp (tt.)
 Tìm số phần tử: >> length(A)
 Ví dụ: Tập hợp A gồm 5 phần tử:
A = [1 4 8 9 10]
>> length(A)
5

8313/03/2014
 Kiểm tra phần tử thuộc tập hợp: >> ismember(s,A)
A = [1 4 8 9 10]
Kiểm tra 2 có thuộc A hay không:
>> ismember(s,A)
0

8413/03/2014

8513/03/2014
 Loại bỏ các phần tử trùng nhau: >> unique(A)
A = [1 4 8 9 10]
>> unique(A) = A
B = [1 9 4 8 10 1 8 4 9 10]
>> unique(B)
[1 4 8 9 10]

8613/03/2014
 Hội giữa hai tập hợp: >> union(A,B)
 Ví dụ:
A = [1 4 8 9 10]
B = [4 2 3 5]
>> union(A,B)
[1 2 3 4 5 8 9 10]

8713/03/2014
 Giao giữa hai tập hợp: >> intersect(A,B)
 Ví dụ:
A = [1 4 8 9 10]
B = [4 2 3 5]
>> intersect(A,B)
4

8813/03/2014
 Hiệu giữa hai tập hợp: AB = setdiff(A,B)
 Ví dụ:
A = [1 4 8 9 10]
B = [4 2 3 5]
>> setdiff(A,B)
1 8 9 10

Lttt matlab chuong 2

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Lttt matlab chuong 2 (20)

More from Hoa Cỏ May (20)

Lttt matlab chuong 2