MATERI_METODE_NUMERIK_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf

METODE NUMERIK
3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1
Mohamad Sidiq
PERTEMUAN : 3 & 4

PENYELESAIAN
PERSAMAAN NON
LINIER
METODE NUMERIK
• TEKNIK INFORMATIKA – S1
• 3 SKS
Mohamad Sidiq

MATERI PERKULIAHAN
SEBELUM-UTS SETELAH-UTS
 Pengantar Metode Numerik
 Sistem Bilangan dan Kesalahan
 Penyajian Bilangan Bulat & Pecahan
 Nilai Signifikan
 Akurasi dan Presisi
 Pendekatan dan Kesalahan
 Penyelesaian Persamaan Non Linier
 Metode Tabel
 Metode Biseksi
 Metode Regula Falsi
 Penyelesaian Persamaan Non Linier (Lanjutan)
 Metode Iterasi Sederhana
 Metode Newton Raphson
 Metode Secant
 Penyelesaian Persamaan Simultan
 Metode Eliminasi Gauss
 Metode Gauss Jordan
 Penyelesaian Persamaan Simultan (Lanjutan)
 Metode Gauss Seidel
 Studi Kasus
 Diferensi Numerik
 Selisih Maju
 Selisih Tengahan
 Diferensi Tingkat Tinggi
 Integrasi Numerik
 Metode Reimann
 Metode Trapezoida
 Metode Simpson
 Integrasi Numerik (Lanjutan)
 Metode Gauss
 Studi Kasus
 Interpolasi
 Metode Linier
 Metode Kuadrat
 Interpolasi (Lanjutan)
 Metode Polinomial
 Metode Lagrange
 Regresi
 Linier
 Eksponensial
 Polinomial
 Tugas Akhir Semester

PERSAMAAN NON LINIER
Fokus pada menentukan akar-akar persamaan non
linier.
 Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x
yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol.
 Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara
kurva f(x) dan sumbu X.
●
●

 Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0
dimana m dan c adalah konstanta, dapat
dihitung dengan :
mx + c = 0
x = -
 Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx
+ c = 0 dapat dihitung dengan
menggunakan rumus ABC.
m
c
a
ac
b
b
x
2
4
2
12





PENYELESAIAN PERSAMAAN NON
LINIER
 Metode Tertutup
Mencari akar pada range [a,b] tertentu
Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar
Hasil selalu konvergen  disebut juga metode
konvergen
 Metode Terbuka
Diperlukan tebakan awal
xn dipakai untuk menghitung xn+1
Hasil dapat konvergen atau divergen

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON
LINIER
Metode Tertutup
 Metode Tabel
 Metode Biseksi
 Metode Regula Falsi
Metode Terbuka
 Metode Iterasi Sederhana
 Metode Newton-Raphson
 Metode Secant

THEOREMA
 Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0
 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai
berikut:
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range
x=[a,b] terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka pada
range x=[a,b] tidak dapat
dikatakan terdapat akar.

METODE TABEL :: PRINSIP
 Metode Tabel atau
pembagian area.
 Di mana untuk x di antara a
dan b dibagi sebanyak N
bagian dan pada masing-
masing bagian dihitung
nilai f(x) sehingga diperoleh
tabel :
x f(x)
x0=a f(a)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
…… ……
xn=b f(b)
1

METODE TABEL :: CONTOH
 Selesaikan persamaan:
x + ex = 0 dengan range x =
[-1, 0]
 Untuk mendapatkan
penyelesaian dari persamaan
di atas range x = [-1, 0] dibagi
menjadi beberapa bagian
atau interval kecil, misal
sebanyak 10 bagian.
 Sehingga diperoleh:
x f(x)
-1.0 -0.63212
-0.9 -0.49343
-0.8 -0.35067
-0.7 -0.20341
-0.6 -0.05119
-0.5 0.10653
-0.4 0.27032
-0.3 0.44082
-0.2 0.61873
-0.1 0.80484
0.0 1.00000

METODE TABEL :: CONTOH
 Dari tabel diperoleh penyelesaian berada
di antara –0.6 dan –0.5 dengan nilai f(x)
masing-masing -0.0512 dan 0.1065.
sehingga dapat diambil keputusan
penyelesaiannya di x=-0.6
(f(x) yang terdekat dengan 0).
 Bila pada range x = [-0.6,-0.5] dibagi 10
maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol
pada x = -0.57 dengan f(x) = 0.00447

METODE TABEL :: KELEMAHAN
 Metode table ini secara umum sulit
mendapatkan penyelesaian dengan error
yang kecil, karena itu metode ini sering
tidak digunakan dalam mencari akar
penyelesaian persamaan non linier
 Tetapi metode ini digunakan sebagai
taksiran awal mengetahui area
penyelesaian yang benar sebelum
menggunakan metode yang lebih baik
dalam menentukan penyelesaian.

METODE BISEKSI :: PRINSIP
 Ide awal metode ini adalah metode tabel, di
mana area dibagi menjadi N bagian.
 Hanya saja metode biseksi ini membagi
range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini
dipilih bagian mana yang mengandung
akar dan bagian yang tidak mengandung
akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-
ulang hingga diperoleh akar persamaan.
2

METODE BISEKSI :: PRINSIP
 Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan
batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai
tengah :
x =
 Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.
Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila
f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :
f(a) . f(b) < 0
 Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas
bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari
bagian yang mempunyai akar.
2
b
a 

METODE BISEKSI :: CONTOH
 Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan
menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel
biseksi sebagai berikut:

METODE BISEKSI :: CONTOH
 Di mana x =
Pada iterasi ke 10 diperoleh nilai x = -0.56738 dan nilai
f(x) = -0.00066
 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan
menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum.
 Catatan: Dengan menggunakan metode biseksi
dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi,
semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin
besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.
2
b
a 

METODE REGULA FALSI :: PRINSIP
 Metode pencarian akar persamaan dengan
memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari
dua titik batas range.
 Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk
mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.
 Dikenal dengan metode False Position
3

METODE REGULA FALSI :: PRINSIP
x
b
b
f
a
b
a
f
b
f




 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
a
f
b
f
a
b
b
f
b
x




)
(
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
a
bf
b
af
x




METODE REGULA FALSI :: CONTOH
 Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada
range x= [0,-1]

Metode Regula Falsi :: Contoh
Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741
dengan kesalahan e =0,00074

METODE ITERASI SEDERHANA :: PRINSIP
 Metode iterasi sederhana adalah metode
yang memisahkan x dengan sebagian x
yang lain sehingga diperoleh: x = g(x).
 Contoh:
x – ex = 0  diubah menjadi:
x = ex atau g(x) = ex
 g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada
metode iterasi sederhana ini
4

METODE ITERASI SEDERHANA :: PRINSIP

METODE ITERASI SEDERHANA :: CONTOH
 Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3
 x2-2x-3 = 0
 x2 = 2x + 3
 Tebakan awal = 4
 E = 0.00001
 Hasil = 3
3
2 
 x
x
3
2
1 

 n
n x
x

 x2-2x-3 = 0
 x(x-2) = 3
 x = 3 /(x-2)
 E = 0.00001
 Hasil = -1

 x2-2x-3 = 0
 x = (x2-3)/2
 E = 0.00001
 Hasil divergen

SYARAT KONVERGENSI
Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap
 Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen
monoton.
 Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen
berosilasi.
 Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi
divergen monoton.
 Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi
divergen berosilasi.

KONVERGENSI :: CONTOH
 Tebakan awal 4
 G’(4) = 0.3015 < 1
 Konvergen Monoton
 Tebakan awal 4
 G’(4) = |-0.75| < 1
 Konvergen Berisolasi
2
1
)
2
(
3
)
(
'
)
2
(
3
)
(
)
2
(
3








x
x
g
x
x
g
x
x
r
r
3
2
2
1
)
(
'
3
2
)
(
3
2
1







r
r
r
r
x
x
g
x
x
g
x
x

KONVERGENSI :: CONTOH
 Tebakan awal 4
 G’(4) = 4 > 1
 Divergen Monoton
x
x
g
x
x
g



)
(
'
2
)
3
(
)
(
2

METODE ITERASI SEDERHANA :: LATIHAN SOAL
 Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada
pencarian akar persamaan :
 x3 + 6x – 3 = 0
 Dengan:
 Cari akar persamaan dengan x0 = 0.5; x0 = 1.5,
x0 = 2.2, x0 = 2.7
6
3
3
1




r
r
x
x

METODE NEWTON RAPHSON :: PRINSIP
 Metode pendekatan yang menggunakan
satu titik awal dan mendekatinya dengan
memperhatikan slope atau gradien pada
titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1
dituliskan dengan:
xn+1 = xn -
 
 
n
n
x
F
x
F
1
5

METODE NEWTON RAPHSON :: TAHAP
1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e
– Hitung f(xi) dan f1(xi)
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
 
 
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x 1
1 



METODE NEWTON RAPHSON :: CONTOH
 Selesaikan persamaan x - e-x = 0
dengan titik pendekatan awal x0 = 0
 f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x
 f(x0) = 0 - e-0 = -1
 f’(x0) = 1 + e-0 = 2
 
 
5
,
0
2
1
0
0
1
0
0
1 





x
f
x
f
x
x

 f(x1) = -0.106631 dan f1(x1) = 1.60653
› x2 =
 f(x2) = -0.00130451 dan f1(x2) = 1.56762
› x3 =
 f(x3) = -1.96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
 Sehingga akar persamaan x = 0.567143.
 
 
566311
.
0
60653
,
1
106531
,
0
5
.
0
1
1
1
1 




x
f
x
f
x
 
 
567143
,
0
56762
.
1
00130451
.
0
566311
.
0
2
1
2
2 




x
f
x
f
x

 x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001

 x + e-x cos x -2 = 0  x0=1
 f(x) = x + e-x cos x - 2
 f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x

METODE NEWTON RAPHSON ::
PERMASALAHAN
 Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya
berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik
ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari
sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai
berikut:
Bila titik pendekatan
berada pada titik
puncak, maka titik
selanjutnya akan
berada di tak
berhingga.
 
 
x
F
x
F
1

PERMASALAHAN
 Metode ini menjadi sulit atau
lama mendapatkan
penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di
antara dua titik stasioner.
 Bila titik pendekatan berada
pada dua tiitik puncak akan
dapat mengakibatkan
hilangnya penyelesaian
(divergensi).
 Hal ini disebabkan titik
selanjutnya berada pada
salah satu titik puncak atau
arah pendekatannya
berbeda.

PENYELESAIAN PERMASALAHAN
1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak
maka titik pendekatan tersebut harus di geser
sedikit, xi = xi di mana adalah konstanta
yang ditentukan dengan demikian dan
metode newton raphson tetap dapat berjalan.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang
berada jauh, sebaiknya pemakaian metode
newton raphson ini didahului oleh metode tabel,
sehingga dapat di jamin konvergensi dari
metode newton raphson.

 
  0
1

i
x
F

 x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281
 f(x) = x . e-x + cos(2x)
 f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x)
 f(x0) = 1,086282
 f1(x0) = -0,000015
X = 71365.2
padahal dalam
range 0
sampai dengan
1 terdapat
akar di sekitar
0.5 s/d 1.

 Untuk menghindari hal ini sebaiknya digunakan grafik
atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal
yang baik. Digunakan pendekatan awal x0=0.5
x

 Hasil dari penyelesaian persamaan:
x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5]

METODE NEWTON RAPHSON :: DENGAN
MODIFIKASI TABEL

METODE NEWTON RAPHSON :: DENGAN
MODIFIKASI TABEL :: CONTOH
 Hitunglah akar dengan metode Newthon Raphson. Gunakan
e=0.00001. Tebakan awal akar x0 = 1
 Penyelesaian
Prosedur iterasi Newthon Raphson
2
5
)
( x
e
x
f x


2
5
)
( x
e
x
f x

 x
e
x
f x
10
)
(
' 

x
e
x
e
x
x x
x
r
r
10
5 2
1





0 1 -2.28172
1 0.686651 -0.370399
2 0.610741 -0.0232286
3 0.605296 -0.000121011
4 0.605267 -3.35649e-009
Akar terletak di x = 0.605267

METODE SECANT :: PRINSIP
 Metode Newton Raphson memerlukan
perhitungan turunan fungsi f’(x).
 Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya
terutama fungsi yang bentuknya rumit.
 Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara
menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen
 Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan
metode Secant.
6

1

r
x
r
x
r
x

› Metode Newton-Raphson
1
1)
(
)
(
)
(
'








r
r
r
r
x
x
x
f
x
f
x
y
x
f
)
(
'
)
(
1
r
r
r
r
x
f
x
f
x
x 


)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1







r
r
r
r
r
r
r
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x

 Definisikan fungsi F(x)
 Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
 Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu
x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik
pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar
persamaan yang diharapkan.
 Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|
Hitung yi+1 = F(xi+1)
 Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
1
1
1







i
i
i
i
i
i
i
y
y
x
x
y
x
x

METODE SECANT :: CONTOH
 Penyelesaian dari x2 –(x + 1) e-x = 0 ?

CONTOH KASUS PENYELESAIAN
 Penentuan nilai maksimal dan minimal fungsi non
linier
 Perhitungan nilai konstanta pada matrik dan
determinan, yang biasanya muncul dalam
permasalahan sistem linier, bisa digunakan untuk
menghitung nilai eigen
 Penentuan titik potong beberapa fungsi non linier,
yang banyak digunakan untuk keperluan
perhitungan-perhitungan secara grafis.

PENENTUAN NILAI MAKSIMAL DAN
MINIMAL FUNGSI NON LINIER
 nilai maksimal dan minimal dari f(x) 
memenuhi f’(x)=0.
 g(x)=f’(x)  g(x)=0
 Menentukan nilai maksimal atau minimal
 f”(x)

CONTOH SOAL
 Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2-(x+1)e-2x+1
Nilai minimal terletak antara –0.4 dan –0.2
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x**2-(x+1)*exp(-2*x)+1

MENGHITUNG TITIK POTONG 2 BUAH KURVA
x
y
y=f(x)
y=g(x)
p
f(x) = g(x)
atau
f(x) – g(x) = 0

CONTOH SOAL
› Tentukan titik potong y=2x3-x dan y=e-x
Akar terletak di antara 0.8 dan 1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2*x**3-x
exp(-x)

SOAL-SOAL
 Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar
persamaan:
F(x) = x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0
dan menemukan x = 1.368808107.
 Tidak seorangpun yang mengetahui cara
Leonardo menemukan nilai ini. Sekarang rahasia
ini dapat dipecahkan dengan metode iterasi
sederhana.
 Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu
dengan memberikan sembarang input awal,
tentukan x=g(x) yang mana yang menghasilkan
akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu.

SOAL-SOAL
 Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi!
Bandingkan ke dua metode tersebut! Mana yang lebih
cepat ? Catat hasil uji coba
 Tentukan nilai puncak pada kurva y = x2 + e-2xsin(x) pada
range x=[0,10] dengan metode newthon raphson
a b N e Iterasi Biseksi Iterasi Regula Falsi
0.1
0.01
0.001
0.0001

MATERI_METODE_NUMERIK_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf

More Related Content

Similar to MATERI_METODE_NUMERIK_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf (20)

Recently uploaded (7)

MATERI_METODE_NUMERIK_TEKNIK_INFORMATIKA.pdf