Modul ajar dsp_2020-bab_3-review filter analog-ver2020
Download as PPTX, PDF1 like208 views
Dokumen ini membahas pengolahan sinyal digital dengan fokus pada filter analog, termasuk perancangan dan spesifikasi low pass filter. Terdapat penjelasan mengenai metode Butterworth, perbandingan antara passive dan active filter, serta prosedur perancangan filter yang meliputi spesifikasi, simulasi, dan implementasi. Selain itu, dokumentasi juga mencakup klasifikasi filter dan pendekatan terhadap respons frekuensi.
Modul ajar dsp_2020-bab_3-review filter analog-ver2020
- 1. REVIEW FILTER ANALOG (PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL) Bersama: Tri Budi Santoso Laboratorium Multimedia Communication Gedung Pasca Sarjana, Lantai 10, PENS-Surabaya
- 2. Outline: • Pengantar • Pengambaran System Function Filter Filter Orde Dua Contoh Kasus pada Low Pass Filter • Prosedur Perancangan Filter Analog • Spesifikasi Low Pass Filter Secara Umum • Pendekatan Respon Ideal dengan Metode Butterworth
- 3. 1. Pengantar Implementasi rangkaian filter, ada tiga katagori: • Passive Filter (LC realization), dengan inductor,capacitor, resistor dan transformator • Active Filter (inductorless realization) dengan resistor, capacitor, transformator, op-amp • Digital realization, dengan komponen komponen digital seperti delay, multiplier dan adder.
- 4. Passive Filter dan Active Filter Passive Filter: • Sangat bagus, sensitivitas rendah terhadap pengaruh komponen • Mudah dalam realisasi, dari konsep fungsi transfer ke ujud real rangkaian • Tetapi pada low frequency operation kurang praktis karena ada masalah dengan dimensi (komponen L) Active Filter: • Lebih praktis, ramping, biaya rendah, high-performance. • Lebih flexible dalam design untuk realisasi semua model fungsi transfer • High orde filter dapat direalisasikan dalam bentuk cascade filter • Ada kekurangan dalam hal dynamic range dan frequency range yang terbatas • Power consumption, sensitive terhadap toleransi komponen
- 5. Filter Digital • Mampu menjawab hampir semua permasalahan pada filter analog (baik passive maupun active filter)
- 6. 2. Pengambaran System Function Filter Filter dapat direpresentasikan sebagai two-port network, yang memiliki fungsi transfer: Di mana D(s) dan N(s) adalah polinomial “s” (domain-s) s = s + jw Untuk H(s), agar dapat direalisasikan: • Causal • Linear & Time Invariant • Orde D(s) > Orde N(s) H(s)X(s) Y(s) 𝐻 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 𝑁(𝑠) 𝐷(𝑠) ......(1)
- 7. Berdasarkan respon frekuensinya (selectivity function), maka filter diklasifikasikan menjadi:
- 8. Penggambaran filter analog dengan bidang-s (domain Laplace) dengan penempatan nilai-nilai pole dan zero sbb. Di mana: 𝑧1,2 = ± 𝑗𝜔 𝑧1,2 𝑃1,3 = −𝜎 𝑃1,3 ± 𝑗𝜔 𝑃1,3 𝑃2 = −𝜎 𝑃2 ......(2) Fungsi transfer system tersebut: 𝐻 𝑠 = 𝐻0 (𝑠 + 𝑗𝜔 𝑧1 )(𝑠 − 𝑗𝜔 𝑧2 ) (𝑠 + 𝜎 𝑃1 + 𝑗𝜔 𝑃1 )(𝑠 + 𝜎 𝑃3 − 𝑗𝜔 𝑃3 )(𝑠 + 𝜎 𝑃2 ) Di mana H0 adalah suatu konstanta yangbiasanya dipilih untuk meyakinkan bahwa H(0) =1
- 9. Respon impulse,h(t) diperoleh sbb: Output filter, y(t) dengan input x(t) diperoleh Penggambaran filter juga bisa di dalam persamaan diferensial ℎ 𝑡 = ℒ−1 𝐻(𝑠) ......(3) ℒ−1 ∙ ℎ 𝑡 ←−−−→ 𝐻 𝑠 ℒ1 ∙ 𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 0 ∞ ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝑡 ......(4) 𝑑 𝑁 𝑦 𝑑𝑡 𝑁 + 𝑏 𝑁−1 𝑑 𝑁−1 𝑦 𝑑𝑡 𝑁−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑏0 = 𝑎 𝑀 𝑑 𝑀 𝑥 𝑑𝑡 𝑀 + 𝑎 𝑀−1 𝑑 𝑀−1 𝑥 𝑑𝑡 𝑀−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑎0 𝑥
- 10. Untuk transformasi Laplace-nya adalah: Fungsi transfer Bahwa M < N 𝑌 𝑠 ∙ 𝑠 𝑁 + 𝑏 𝑁−1 𝑠 𝑁−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 = 𝑋 𝑠 ∙ 𝑎 𝑀 𝑠 𝑀 + 𝑎 𝑀−1 𝑠 𝑀−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝐻 𝑠 = 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝑎 𝑀 𝑠 𝑀 + 𝑎 𝑀−1 𝑠 𝑀−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑠 𝑁 + 𝑏 𝑁−1 𝑠 𝑁−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0
- 11. Contoh 1: Suatu filter dihambarkan dalam bentuk persamaan diferensial a. Dapatkan fungsi transfernya, H(s). b. Gambarkan posisi pole-zero pada bidang-s c. Berikan persamaan respon frekuensi 𝑑2 𝑦 𝑑𝑡2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 4𝑦 = 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Penyelesaian: a. Fungsi transfer Dengan Maka persamaaan di atas menjadi.. 𝐻(𝑠) = ℒ ℎ 𝑡 𝑠2 + 5𝑠 + 4 𝑌 𝑠 = 5𝑠𝑋 𝑠 ↔ 𝐻 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 5𝑠 𝑠2 + 5𝑠 + 4 = 5𝑠 𝑠 + 4 𝑠 + 1
- 12. b. Gambaran posisi pole-zero Zero pada s = 0, dan pole pada s = - 4 dan s = -1 c. Respon Frekuensi Memberikan.... Misal: 𝐻(𝑠) = 𝑗5𝜔 4 − 𝜔2 + 𝑗5𝜔 = 25𝜔2 4 − 𝜔2 2 + 25𝜔2 𝐻(𝑠) 𝑠 = 𝑗𝜔 𝐻(𝑠) = 𝑗5𝜔 𝑗𝜔 2 + 𝑗5𝜔 + 4 = 5𝜔 −𝜔2 + 4 + 𝑗5𝜔 = 5𝜔 4 − 𝜔2 + 𝑗5𝜔 𝜔 = 0 → 𝐻(𝑠) = 0 𝜔 = 2 → 𝐻(𝑠) = 25 × 22 4 − 22 2 + 25 × 22 = 1 𝜔 = ∞ → 𝐻(𝑠) = 25 × ∞2 4 − ∞2 2 + 25 × ∞2 = 0
- 13. W H(jw) 0 0 2 1 ∞ 0 Tabel Respon Frekuensi pada suatu BPF
- 14. 2.1. Filter Orde Dua Standar pembentukan blok filter adalah dengan orde dua. Fungsi untuk sistem orde dua dapat digambarkan sbb: Di mana: Koefisien-koefisien a dan b menentukan perilaku filter. 𝐻 𝑠 = 𝑎2 𝑠2 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑠2 + 𝑏1 𝑆 + 𝑏2 𝐻 𝑠 = 𝐾 𝑠 − 𝑧1 𝑠 − 𝑧2 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 𝑝1,2 = −𝑏1 ± 𝑏1 2 − 4𝑏2 2 𝑧1,2 = −𝑎1 ± 𝑎1 2 − 4𝑎2 𝑎0 2𝑎2 ......(5)
- 15. Kita definisikan terminologi “pole quality” Tulis ulang persamaan (5) tsb menjadi: Pole quality Asumsikan Maka: 𝑄 = 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑒 2 × 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑒 𝑝1,2 = −𝑏1 2 ± 𝑗 𝑏2 − −𝑏1 2 4 𝑄 = 𝑏2 − −𝑏1 2 4 𝑏1 = 𝑏2 − −𝑏1 2 4 𝑏1 2 = 𝑏2 𝑏1 2 − 1 4 ≈ 𝑏2 𝑏1 2 𝑏2 = 𝜔 𝐶 2 𝑑𝑎𝑛 𝑏1 = 𝜔 𝐶 𝑄 𝑝1,2 = −𝜔 𝐶 2𝑄 ± 𝑗 𝜔 𝐶 2 − 𝜔 𝐶 2𝑄 2
- 16. Nilai absolut |P1,2| dapat dihitung dengan cara: 𝑃1,2 = 𝑏𝑎𝑔 𝑅𝑒𝑎𝑙 2 + 𝑏𝑎𝑔 𝐼𝑚𝑎𝑔 2 = 𝜔 𝐶 2 4𝑄2 + 𝜔 𝐶 2 − 𝜔 𝐶 2 4𝑄2 ≈ 𝜔 𝐶 2 = 𝜔 𝐶 • Hal ini mengindikasikan bahwa nilai absolut pada suatu pole adalah konstan dan selalu sebanding dengan frekuensi cut-off dari filter wC. • Baha pole-pole seharusnya terdistribusi pada setengah lingkaran dengan radius senilai wC.
- 17. Fungsi Koef Pembilang Koef Penyebut LPF a0 b1, b2 HPF a2 b1, b2 BPF a1 b1, b2 BSF a0, a2 b1, b2 Tabel 3.2 Menyajikan koefisien-koefisien non-zero yang mungkin untuk filter orde 2 pada semua kasus.(LPF, BPF, HPF, BSF)
- 18. 2.2. Contoh Kasus pada Low Pass Filter Suatu filter pada Low Pass Filter orde 2 memiliki fungsi transfer sbb. Respon frekuensi diberikan seperti berikut. 𝐻 𝑠 = 𝑎0 𝑠2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑏2
- 19. Dengan mengacu pada persamaan dasar filter orde 2, maka: Persamaan tersebut bisa ditulis ulang Memberi pole-pole seperti berikut. Pada s = 0 (gain unity), kita punya a0 = wC 2 𝑏1 = 𝜔 𝐶 𝑄 𝑏2 = 𝜔 𝐶 2 𝐻 𝑠 = 𝑎0 𝑠2 + 𝑠 𝜔 𝐶 𝑄 + 𝜔 𝐶 2 𝑝1,2 = −𝜔 𝐶 2𝑄 ± 𝑗 1 − 1 2𝑄 2
- 20. Dari Gambar 3.6, H(jw) menunjukkan pole frequency (wp) dengan nilai Bentuk puncak tergantung pole quality “Q”, dan Jika kita tidak menginkan munculnya puncak (respon flat),perlu didorong ke kondisi di mana gain pada s = jwp dengan nilai satu satuan. (s = 0) . Hal ini memberikan: Di mana Q seperti sebelumnya merupakan pole quality leading Memberikan suatu nilai pole quality pada: 𝜔 𝑝 = 𝜔𝑐 1 − 1 2𝑄 2 𝐻 𝑗𝜔 𝑝 = 𝑄 1 − 1 2𝑄 2 𝐻 𝑗𝜔 𝑝 = 𝑄 1 − 1 2𝑄 2 = 1 4𝑄4 − 4𝑄2 + 1 = 0 𝑄 = 1 2
- 21. Magnitudo H(jw) pada wC dapat diperoleh dengan substitusi pers (3.11) untuk memberikan Dalam skala db Persamaan ini mengindikasikan bahwa frefkuensi wC merepresentasikan bandidth 3 dB konvensional. Yang dalam terminologi filter dikenal sebagai frequency cut-off frequency, atau corner frequency. Respon relatif datar antara freq 0 s/d freq cut-off (-3dB), pada frekuensi di atasnya respon cenderung turun drastis pada suatu slope/rate yang sebanding dengan orde filter (N-th). 𝐴 𝑗𝜔 𝐶 = 20𝑙𝑜𝑔 1 2 = -3dB 𝐻 𝑗𝜔 𝐶 = 𝜔 𝐶 2 𝜔 𝐶 2 𝑄 2 = 𝜔 𝐶 2 𝜔 𝐶 2 𝑄 = 𝑄 = 1 2
- 23. Prosedur Perancangan Filter Analog 1. Filter Specification; Respon frekuensi, decay rate terhadap respon, tollerable fluctuations (ripple) 2. Approximation; suatu kondisi pendekatan pada yg mungkin untuk direalisasi. Order filter N(th), koefisien-koefisien numerator (a)-denumerator (b) pada polinomial, zero freuency 3. Realization; implementasi ke bentuk rangkaian sesuai rancangan filter LC, RC active realization, dsb. 4. Simulasi: sebelum diaplikasikan perlu diuji untuk meyakinkan apakah memenuhi spesifikasi yang dirancang. Simulasi kompoter merupakan langkah yg tepat untuk mengetahui komponen-komponen mana yg kritis. 5. Breadboarding; langkah terakhir sebelum implentasi adalah penyusunan dalam prototype di breadboard dan diuji dengan kuensi yang berbagai input untuk mengetahu fingkat toleransi komponen yang akan digunakan..
- 25. Spesifikasi Low Pass Filter Secara Umum Spesifikasi Utama: • Attenuasi passband (Ap) • Attenuasi stop band (A) • Sudut passband (wp ) • Sudut passband (wp ) / ujung stop band Beberapa hal pada tolerance structure: 1. Responbisa berfluktuasi pada daerah passband (ripple) dengan nilai max ripple tertentu 2. Finite attenuation, Ar sebagai minimum attenuation yang bisa diterimaattenuasi stop band 3. Transition band, berada diantara passband dan stop band.
- 27. Pendekatan Respon Ideal dengan Metode Butterworth Ada banyak metode pendekatan ke filter iedeal: • Butterworth • Cebyshev 1-2 • Elliptical • Bessel • ...
- 28. ..... Metode Butterworth Pendekatan Butterwirth memaksimalkan respon magnitude flat pada daerah passband. Responmagnitude pada LPB Buttterwoth dinyatakan: Di mana: ep adalah ripple index pada passband wp adalah frekuensi sudut terbesat passband (ujung) 𝐻 𝑗𝜔 = 1 1 + 𝜀2 𝜔 𝜔 𝑝 2𝑁 .....(3.23)
- 29. ..... Metode Butterworth Ripple indek (ep) passband dapat diperoleh memlalui substitusi koordinat pada ujung passband (wp, Ap) dalam persamaan (2.23) Attenuasi Ap di dalam dB dihitung sbb: Kemudian memberikan 𝐻 𝑗𝜔 = 1 1 + 𝜀2 𝜔 𝜔 𝑝 2𝑁 = 1 1 + 𝜀 𝑝 2 𝐴 𝑝 = 20𝑙𝑜𝑔 1 𝐻 𝑗𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜀 𝑝 2 = 10𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜀 𝑝 2 𝜀 𝑝 = 100.1𝐴 𝑝 − 1 1 + 𝜀 𝑝 2 = 100,1𝐴 𝑝
- 30. ..... Metode Butterworth Dengan cara yang mirip, kita dapat memperoleh ripple index pada stop band dalam bentuk: Substitusi koordinat (wp, Ar) kepersamaan yang sama Memberikan: Ini akan memberikan hasil sbb: 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 𝑁 𝑒 𝑝 ≥ 𝜀 𝑟 𝜀 𝑝 Tanda “>” digunakan untuk menunjukkab bahwa Ar adalah attenuasi terkecil (minimum) ang bisa diterima dalam rejection band. 𝜀 𝑟 = 100.1𝐴 𝑟 − 1 𝐻 𝑗𝜔 𝑟 = 1 1 + 𝑒 𝑝 2 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 2𝑁 20𝑙𝑜𝑔 𝐻 𝑗𝜔 𝑟 = −10𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑒 𝑝 2 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 2𝑁 ≥ 𝐴 𝑟
- 31. ..... Metode Butterworth Membagi kedua sisi persamaan tersebut dengan ep, memberikan bentuk baru: Operasi logarimtik pada kedua sisi 𝑁𝑙𝑜𝑔 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 ≥ 𝑙𝑜𝑔 𝜀 𝑟 𝜀 𝑝 Orde filter Buutterworth (N) diperoleh sbg 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 𝑁 ≥ 100.1𝐴 𝑟 − 1 𝜀 𝑝 ≥ 𝜀 𝑟 𝜀 𝑝 𝑁𝑏𝑢𝑡𝑡 ≥ 𝑙𝑜𝑔 𝜀 𝑟 𝜀 𝑝 𝑙𝑜𝑔 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 𝑁𝑏𝑢𝑡𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 𝜀 𝑟 𝜀 𝑝 𝑙𝑜𝑔 𝜔 𝑟 𝜔 𝑝 Atau: Suatu bentuk pembulatan ke atas....(3.25) ....(3.26)
- 32. Untuk mendapatkan frekuensi cut off (wc) pada persamaan (3.23), kita tetapkan w = wc dan 𝐻 𝑗𝜔 𝐶 = 1 2 1 2 = 1 1 + 𝜀 𝑝 2 𝜔 𝐶 𝜔 𝑝 2𝑁 Seelah manipulasi beberapa baghian kita sederhanapan sebagai: Diperoleh: Dengan cara yang mirip, dan memanfaatkan wr 1 𝜀 𝑝 1 𝑁 = 𝜔 𝐶 𝜔 𝑝 HPF 𝜔 𝐶 = 𝜔 𝑝 𝜀 𝑝 1/𝑁 LPF 𝜔 𝐶 = 𝜔 𝑝 𝜀 𝑝 −1/𝑁 LPF 𝜔 𝐶 = 𝜔 𝑟 𝜀 𝑟 −1/𝑁 HPF 𝜔 𝐶 = 𝜔 𝑟 𝜀 𝑟 1/𝑁
- 33. Orde Polynomial 1 s + 1 2 s2 + 1,414s + 1 3 s3 + 2 s2 + 2 s + 1 4 s4 + 2,61 s3 + 3,41 s2 + 2,61 s + 1 5 s5 + 3,24 s4 + 5,24 s3 + 5,24 s2 + 3,24 s + 1 6 s6 + 3,86 s5 + 7,64 s4 + 9,145 s3 + 7,46 s2 + 3,86 s + 1 Tabel Polinomial Butterworth
- 34. Slope= 6N/dB; Octave = 20N/dB decade
- 35. Pole-pole Butterworth Filter tersebar pada sudut: 𝜃 = 180 𝑜 𝑁 𝜃 = 180 𝑜 5 = 36 𝑜
- 36. Gambar tersebut menjelaskan bahwa: • Pole-pole terjadi dalam pasagan-pasangan komplek konjugate menempati kedua sisi. • Kecuali pada filter orde ganjil yang memiliki satu pole bernilai real saja (paa sumbu datar) • Lokasi-lokasi pole tersebut adalah: Di mana ji adalah sudut terdekat antara sumbu jw dengan garis radial yang menghubungkan pole terkait dengan titik asal. Sudut ini: 𝑝𝑖 = −𝜎𝑖 ± 𝑗𝜔𝑖 = −𝜔 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑖 ± 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 𝜑𝑖 = 𝜃 2 + 𝑖 − 1 𝜃; 𝑖 = 1, 2, 3 … … 𝑁 − 1 2 + 1 ; 𝑁 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑖 = 1, 2, 3 … … 𝑁 2 ; 𝑁 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
- 37. Dari pole-pole yang diketahui tersebut kemudian dapat disusun fungsi transfer sbb: Yang mana: pN = p1*; pN -1 = p2* ...dst adalah pole-pole saling konjugate Perkalian antar konjugate (berpasangan) Di mana 𝜎𝑖 2+𝜔𝑖 2 = 𝜔 𝐶 2 pada posisi di lingkaran 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑆 − 𝑝 𝑠 − 𝑝 … 𝑠 − 𝑝 𝑁 𝐻0 = 𝐻 𝑠 𝑠=0 = 1 𝐷𝑖 𝑠 = 𝑠 + 𝜎𝑖 − 𝑗𝜔𝑖 𝑠 + 𝜎𝑖 + 𝑗𝜔𝑖 ↔ 𝐷𝑖 𝑠 = 𝑠 + 𝜎𝑖 2 + 𝜔𝑖 2 ↔ 𝐷𝑖 𝑠 = 𝑠2 + 2𝑠𝜎𝑖 + 𝜎𝑖 2 +𝜔𝑖 2
- 38. Sehingga kita dapat menulis untuk pasangan pole ke-i, sbb: Untuk menyusun fungsi transfer suatu filter Butterworth, ada beberapa aturan yang harus dipenuhi: 1. Setiap pasangan pole conjugate direpresentasikan dalam orde 2 2. Koefisien-koefisien pada s2 adalah unity (satu satuan) 3. Koefisien-koefisien pada s adalah sebanding dengan (-2 x bagian real) dari pole ke-i (si). 4. Untuk suatu LPF (all-pole filter), pembilang (numerator) adalah suatu konstanta dalam terminologi H0 = wC N. 5. Terminologi absolut pada setiap bentuk orde 2 di dalam denominator (penyebut) selalu sebanding dengan wC 2. 𝐷𝑖 𝑠 = 𝑠2 + 2𝜎𝑖 𝑠𝑖 + 𝜔 𝐶 2
- 39. Contoh 3 Hitung nilai konstanta H0 untuk suatu filter Butterworth LP orde-6 yang memiliki frekuensi cut-off di 10 k Hz. Penyelesaian: Fungsi transfer dituliskan sebagai berikut: ; Maka Memberikan, sesuai orde N = 6. Dengan frekuensi cut off, fc = 10 kHz 𝐻 𝑆 = 𝐻0 𝑆2 + 2𝜎1 𝑆 + 𝜔 𝐶 2 𝑆2 + 2𝜎2 𝑆 + 𝜔 𝐶 2 𝑆2 + 2𝜎3 𝑆 + 𝜔 𝐶 2 𝐻0 → 𝐻 0 = 𝐻(𝑆) 𝑆=0 = 1 𝐻 0 → 𝐻0 𝜔 𝐶 2 3 = 1 → 𝐻0 𝜔 𝐶 6 = 1 𝐻0 = 𝜔 𝐶 𝑁 𝜔 𝐶 = 2𝜋 × 104 = 20𝜋 𝑘 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝐻0 = 2𝜋 × 104 6
- 40. Contoh 4 Dapatkan posisi pole untuk suatu Butterworth Filter LP orde 5, kemudian dengan nilai-nilai tersebut anda tuliskan fungsi transfer filter. Penyelesaian: • Dengan orde N = 5, maka jarak (sudut) pemisah antar pole membagi ½ lingkaran dengan orde filter. • Maka diperoleh nilai q = 180o/5 = 36o. • Dengan kondisi filter ternormalisasi maka wk = 1. Posisi pole ada di sudut ji, di mana j3 tepat di sumbu datar (sumbu-x, atau y = 0),atau 90o. 𝜑𝑖 = 𝜃 2 + 𝑖 − 1 𝜃 𝜑1 = 36 𝑜 2 + 1 − 1 36 𝑜 = 18 𝑜 𝜑2 = 36 𝑜 2 + 2 − 1 36 𝑜 = 54 𝑜 𝜑3 = 36 𝑜 2 + 3 − 1 36 𝑜 = 90 𝑜 𝜑4 = 36 𝑜 2 + 4 − 1 36 𝑜 = 126 𝑜 𝜑5 = 36 𝑜 2 + 5 − 1 36 𝑜 = 172 𝑜
- 41. Posisi pole-pole: (dalam hal ini cukup i = 1 s/d i = 3), sebab p4 conjugate p2, dan p5 conjugate p1. 𝑝𝑖 = −𝜎𝑖 ± 𝑗𝜔1 = −𝜔𝑐 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑖 ± 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 𝑝1,5 = −1 𝑠𝑖𝑛18 𝑜 ± 𝑗𝑐𝑜𝑠18 𝑜 = −0,5877 ± 𝑗0,809 𝑝2,4 = −1 𝑠𝑖𝑛54 𝑜 ± 𝑗𝑐𝑜𝑠54 𝑜 = −0, 809 ± 𝑗0,5877 𝑝3 = −1 𝑠𝑖𝑛90 𝑜 = −1 Contoh 4…
- 42. Contoh 4… Formulasi fungsi transfer H(s) dimulai dari sini…. • Pada pole yang saling konjugate: 𝑠 − 𝜎1 + 𝑗𝜔1 𝑠 − 𝜎1 − 𝑗𝜔1 = 𝑠2 − 𝜎1 + 𝑗𝜔1 𝑠 − 𝜎1 − 𝑗𝜔1 𝑠 + 𝜎1 + 𝑗𝜔1 𝜎1 − 𝑗𝜔1 = 𝑠2 − 2𝜎1 𝑠 + 𝜎1 2 + 𝜔1 2 = 𝑠2 − 2𝜎1 𝑠 + 1 Dengan nilai-nilai pole tersebut, bisa disusun fungsi transfer sbb: 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 𝑠 − 𝑝3 𝑠 − 𝑝4 𝑠 − 𝑝5 = 𝐻0 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝5 𝑠 − 𝑝2 𝑠 − 𝑝4 𝑠 − 𝑝3 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠2 − 2𝜎1 𝑠 + 1 𝑠2 − 2𝜎2 𝑠 + 1 𝑠 + 1 𝑝1 = 𝜎1 + 𝑗𝜔1; 𝑝5 = 𝑝1 ∗ = 𝜎1 − 𝑗𝜔1 𝑝2 = 𝜎2 + 𝑗𝜔2; 𝑝4 = 𝑝2 ∗ = 𝜎2 − 𝑗𝜔2 𝑝3 = −1
- 43. Dengan nilai-nilai pole tersebut, bisa disusun fungsi transfer sbb: Sifat konjugate memberikan juga… 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 𝑠 − 𝑝3 𝑠 − 𝑝4 𝑠 − 𝑝5 = 𝐻0 𝑠 + 𝜎1 − 𝑗𝜔1 𝑠 + 𝜎1 + 𝑗𝜔1 𝑠 + 𝜎2 − 𝑗𝜔2 𝑠 + 𝜎2 + 𝑗𝜔2 𝑠 + 𝜎3 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝5 = 𝑠 + 𝜎1 − 𝑗𝜔1 𝑠 + 𝜎1 + 𝑗𝜔1 = 𝑠2 + 2𝜎1 𝑠 + 1 Maka fungsi transfernya menjadi: 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠2 + 2𝜎1 𝑠 + 1 𝑠2 + 2𝜎2 𝑠 + 1 𝑠 + 𝜎3 Filter ternormalisasi: Sehingga: 𝜎1 2 + 𝜔1 2 = 𝜎2 2 + 𝜔2 2 = 𝜔𝑐 2 = 1 𝐻 0 = 1 = 𝜔𝑐 𝑁 Contoh 4…
- 44. Contoh 5 Fungsi transfer H(s) pada suatu Butterworth LPF untuk memenuhi kondisi seperti Gambar di samping. Ap = -0,32; wp = 10 k rad/s Ar = -15; wr = 20 k rad/s Penyelesaian: Mulai dengan persamaan 3.24, dan ambil absolutnya 𝜀 𝑝 = 100.1𝐴 𝑝 − 1 𝜀 𝑝 = 100.1 0.32 − 1 ≈ 1 𝜀 𝑟 = 100.1 15 − 1 = 5,533
- 45. Contoh 5…. Untuk mendapatkan orde filter (pers. 3.26) 𝑁 ≥ 𝑙𝑜𝑔 𝜀 𝑟 𝜀 𝑝 𝑙𝑜𝑔 𝜔𝑟 𝜔 𝑝 ≥ 𝑙𝑜𝑔 5,33 1 𝑙𝑜𝑔 20 10 ≥ 2,4568 = 3 Frekuensi cut-off (wc) Frekuensi cut-off pada -3 dB dapat dihitung sbb: 𝜔𝑐 = 𝜔 𝑝 𝜀 𝑝 −1/𝑁 = 10 𝑘 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Penentuan lokasi pole-pole…..
- 46. Contoh 5…. • Lokasi pole-pole dengan orde 3 (N=3) menyebar pada posisi melingkar dengan jari-jarai senilai r = wc = 10 k rad/s • Pole-pole terpisah dengan sudut q = 180o/3 = 60o Lokasinya: 𝜑𝑖 = 𝜃 2 + 𝑖 − 1 𝜃 𝜑1 = 60 𝑜 2 + 1 − 1 60 𝑜 = 30 𝑜 𝜑2 = 60 𝑜 2 + 2 − 1 60 𝑜 = 90 𝑜 𝜑3 = 60 𝑜 2 + 3 − 1 60 𝑜 = 120 𝑜 Pole-pole konjugate 𝑝𝑖 = −𝜎𝑖 ± 𝑗𝜔1 = −𝜔𝑐 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑖 ± 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 𝑝1,3 = −10 𝑠𝑖𝑛30 𝑜 ± 𝑗𝑐𝑜𝑠18 𝑜 = −10 0,5 ± 𝑗0,866 𝑘 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑝2 = −10 𝑠𝑖𝑛90 𝑜 = −10 𝑘 𝑟𝑎𝑑/𝑠
- 47. Contoh 5…. Fungsi transfer dapat disusun dengan langkah sbb: 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 𝑠 − 𝑝3 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠2 − 2𝜎1 𝑠 + 1 𝑠 + 𝜔𝑐 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠2 − 2 −𝜔𝑐 2 𝑠 + 1 𝑠 + 𝜔𝑐 𝐻 𝑠 = 𝐻0 𝑠2 + 𝜔𝑐 𝑠 + 1 𝑠 + 𝜔𝑐 𝑝1= 𝑝3 ∗ 𝑝2= −𝜔𝑐
- 48. Selamat belajar…
Editor's Notes
- #41: h