Mtk xi semester 2

ii Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Dilindungi Undang-Undang
MILIK NEGARA
TIDAK DIPERDAGANGKAN
Disklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka
implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah
koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal
penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki,
diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman.
Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Matematika/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.--
Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.
vi, 230 hlm. : ilus. ; 25 cm.
Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2
ISBN 978-602-282-095-6 (jilid lengkap)
ISBN 978-602-282-098-7 (jilid 2b)

1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul
II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
510
Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto
Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga,
Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi
Bayuzetra.
Penelaah : Agung Lukito, Turmudi, dan Dadang Juandi.
Penyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Cetakan Ke-1, 2014
Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.

iiiMatematika
Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi
sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan
dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan
yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan
evaluasi selanjutnya.
Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan
dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya
matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif
untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari
keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu
gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak
yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.
Buku Matematika Kelas XI untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman
konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan
membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak,
menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.
Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap,
pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran
berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika,
dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya,
dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.
Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang
diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan
untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat
penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada
buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan
relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.
Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan
masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan
buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Walaupun demikian,
sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan untuk penyempurnaan.
Oleh karena itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan
dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami mengucapkan terima kasih.
Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka
mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).
Jakarta, Januari 2014
Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
Mohammad Nuh

iv Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Kata Pengantar ................................................................................................................ iii
Daftar Isi ............................................................................................................................ iv
Peta Konsep Matematika SMA Kelas XI ......................................................................... viii
Bab 7 Statistika ................................................................................................. 1
A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 1
B. Peta Konsep ............................................................................................... 2
C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3
1. Ukuran Pemusatan ............................................................................. 3
2. Ukuran Letak Data ............................................................................... 12
3. Ukuran Penyebaran Data ..................................................................... 20
Uji Kompetensi 7 ................................................................................................ 26
D. Penutup........................................................................................................ 31
Bab 8 Aturan Pencacahan.......................................................................................... 33
B. Peta Konsep ............................................................................................... 35
1. Menemukan Konsep Pecahan (Perkalian, Permutasi, dan
Kombinasi) ........................................................................................... 36
Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................. 62
2. Peluang ................................................................................................ 64
Uji Kompetensi 8.2 ............................................................................................. 71
D. Penutup ................................................................................................. 74
Bab 9 Lingkaran ................................................................................................. 75
B. Peta konsep ................................................................................................ 76
1. Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran ........................................ 77
2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran .................................................. 82
Uji Kompetensi 9.1 ............................................................................................. 85
3. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran ................................................... 87
4. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran ................................................ 90
5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran ............................................... 95
Uji Kompetensi 9.2 ............................................................................................. 102
D. Penutup ................................................................................................. 104

vMatematika
Bab 10 Transformasi .................................................................................................... 105
B. Peta Konsep ............................................................................................... 106
1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) ............ 107
2. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)............. 113
Uji Kompetensi 10.1 ........................................................................................... 125
3. Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)................... 127
4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian).................... 137
Uji Kompetensi 10.2 ........................................................................................... 144
D. Penutup ................................................................................................. 146
Bab 11 Turunan.............................................................................................................. 149
B. Peta Konsep ............................................................................................... 151
1. Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi ........................................ 152
1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen ................... 152
1.2 Turunan sebagai Limit Fungsi ....................................................... 156
1.3 Turunan Fungsi Aljabar.................................................................. 160
Uji Kompetensi 11.1 ........................................................................................... 166
2. Aplikasi Turunan ................................................................................... 167
2.1 Fungsi Naik dan Turun................................................................... 167
2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun
................................................................................................. 169
2.3 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Maksimum
dan Minimun................................................................................... 177
2.4 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan
dan Percepatan.............................................................................. 188
3. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan ......................... 191
Uji Kompetensi 11.2 ........................................................................................... 196
D. Penutup ................................................................................................. 198
Bab 12 Integral .............................................................................................................. 201
B. Peta Konsep ............................................................................................... 202
1. Menemukan Konsep Integral tak Tentu sebagai Kebalikan dari
Turunan Fungsi ................................................................................... 203
Uji Kompetensi 12.1 ........................................................................................... 208
2. Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu .......................... 209
Uji Kompetensi 12.2 ........................................................................................... 224
D. Penutup ................................................................................................. 227
Daftar Pustaka................................................................................................................. 228

Kompetensi Dasar Pengalaman BelajarKompetensi Dasar Pengalaman Belajar
A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama
yang dianutnnya.
2. Memiliki motivasi internal, kemampuan
bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa
percaya diri, dan sikap toleransi dalam
perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
3. Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku
jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis
dan disiplin dalam melakukan tugas belajar
matematika.
4. Menunjukkan sikap bertanggung jawab,
rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli
lingkungan.
5. Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai
ukuran pemusatan, letak dan penyebaran
data sesuai dengan karakteristik data melalui
aturan dan rumus serta menafsirkan dan
mengomunikasikannya.
6. Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif
ke dalam tabel distribusi dan histogram untuk
memperjelas dan menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan kehidupan nyata. Mampu
mentransformasi diri dalam berprilaku jujur,
tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin
dalam melakukan tugas belajar matematika.
Melalui pembelajaran materi peluang, siswa
memperoleh pengalaman belajar:
• Berdiskusi, bertanya dalam menemukan
konsep dan prinsip statistik melalui pemecahan
masalah autentik yang bersumber dari fakta
dan lingkungan.
• Berkolaborasi memecahkan masalah autentik
dengan pola interaksi edukatif.
• Berpikir tingkat tinggi dalam menyajikan, serta
menga-nalisis statistik deskriptif.
STATISTIKA
• Mean
• Median
• Modus
• Simpangan baku
• Varian
• Histogram
• Quartil
• Desil
• Persentil
Bab
7

2 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
B. PETA KONSEP
MATERI
PRASYARAT
Statistika
Penyajian Data
Diagram
Angket
Median
Pengumpulan
Tabel
Wawancara
Rata-rata
Pengolahan Data
Grafik
Observasi
Modus
BILANGAN
PENGUKURAN
Masalah
Otentik

3Matematika
1. UKURAN PEMUSATAN
Mean atau yang sering disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai
tengah dari data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering muncul
merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan nilai-nilai dari data yang
diperoleh dari suatu peristiwa yang telah diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan
modus disebut sebagai ukuran pemusatan. Untuk lebih memahami tentang ukuran
pemusatan data, mari kita cermati dari masalah berikut ini.
Masalah-7.1
Kepala Sekolah SMA Negeri 1 Bakara-Baktiraja ingin mengevaluasi hasil
belajar siswa dan meminta guru untuk memberikan laporan evaluasi hasil
belajar siswa. Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap
64 siswa/siswi kelas XI dinyatakan sebagai berikut.
61 83 88 81 82 60 66 98 93 81 38 90 92 85 76 88 78 74 70 48
80 63 76 49 84 79 80 70 68 92 61 83 88 81 82 72 83 87 81 82
81 91 56 65 63 74 89 73 90 97 48 90 92 85 76 74 88 75 90 97
75 83 79 86 80 51 71 72 82 70 93 72 91 67 88 80 63 76 49 84
Guru berencana menyederhanakan data tunggal tersbut menjadi bentuk data
berinterval dan membuat statitistiknya, hal ini dilakukan untuk mengefisienkan
laporan evaluasi hasil belajar siswa. Bantulah guru tesebut untuk menyusun
laporannya!
Alternatif Penyelesaian
Untuk dapat memudahkan penggunaan data tersebut, susun data berdasarkan urutan
terkecil hingga terbesar. Urutan data tersebut dinyatakan sebagai berikut.
38 48 48 49 49 51 56 60 61 61 63 63 63 65 66 67 68 70 70 70
71 72 72 72 73 74 74 74 75 75 76 76 76 76 78 79 79 80 80 80
80 81 81 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 84 84 85 85 86 87
88 88 88 88 88 89 90 90 90 90 91 91 92 92 92 93 93 97 97 98
C. MATERI PEMBELAJARAN

Setelah data diurutkan, dengan mudah kita temukan, data terbesar adalah 98 dan
data terkecil adalah 38. Selisih data terbesar dengan data terkecil disebut sebagai
jangkauan data. Untuk data yang kita kaji, diperoleh:
Jangkauan Data adalah 60. Langkah kita selanjutnya adalah untuk mendistribusikan
data-data tersebut ke dalam kelas-kelas interval. Untuk membagi data menjadi
beberapa kelas, kita menggunakan aturan Sturgess. Aturan tersebut dinyatakan
bahwa jika data yang diamati banyaknya n dan banyak kelas adalah k, banyak kelas
dirumuskan sebagai berikut:
k = 1 + (3, 3). log n
Untuk data di atas diperoleh,
Banyak Kelas = 1 + (3,3). log 80
= 1 + (3,3). (1,903)
= 7,28 = 7
Jadi 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval.
Pertanyaan kritis:
Jelaskan mengapa angka pembulatan yang dipilih angka 7 bukan angka 8?
Sekarang kita perlu menentukan berapa banyak data yang terdapat pada satu kelas
interval. Banyak data dalam satu interval, disebut panjang interval kelas, yang
dirumuskan sebagai berikut:
Maka diperoleh: Panjang Kelas =
Jangkauan data
Banyak kelas
dari data di atas dapat di peroleh
Panjang Kelas =
Jangkauan 60
= = 8,57 9
Banyak Kelas 7
≈
Selanjutnya, dengan adanya banyak kelas adalah 7 dan panjang kelas adalah 9 dapat
kita gunakan untuk membentuk kelas interval yang dinyatakan sebagai berikut:
Kelas I : 38 – 46
Kelas II : 47 – 55
Kelas III : 56 – 64
Kelas IV : 65 – 73
Kelas V : 74 – 82
Kelas VI : 83 – 91
Kelas VII : 92 – 100

5Matematika
Dari hasil pengolahan data di atas dapat dibentuk ke dalam bentuk tabel berikut.
Tabel 7.1. Tabel Frekuensi
Kelas Frekuensi
38 – 46 1
47 – 55 5
56 – 64 7
65 – 73 12
74 – 82 25
83 – 91 22
92 – 100 8
80
Perlu dicermati bahwa pembentukan interval kelas tersebut harus memuat semua
data. Jika ada satu data yang tidak tercakup pada interval kelas, maka terdapat
kesalahan dalam mendistribusikan data.
Bentuk histogram dari hasil pengolahan data nilai siswa di atas digambarkan sebagai
berikut.
Gambar 7.1 Histogram Data Nilai Siswa
a. Menentukan Nilai Mean (Rata-rata)
Sajian data pada tabel di atas, tentunya harus kita memaknai setiap angka yang tersaji.
Dari Interval 38 – 46 dapat diartikan bahwa:
38 disebut batas bawah interval
46 disebut batas atas interval.
Titik tengah interval, dinotasikan xi , diperoleh:
x - i -i = ( )+
1
2
batas bawah interval ke batas atas interval ke ii( ) 
Sehingga: [ ]1
1
38 46 42
2
x = + =

Setiap interval memiliki batas bawah, batas atas, dan titik tengah interval ( xi
).
Data hasil belajar siswa di atas, dapat diperbaharui sebagai berikut:
Tabel 7.2 Tabel Frekuensi
Kelas xi
F xi
. F
38 – 46 42 1 42
47 – 55 51 5 255
56 – 64 60 7 420
65 – 73 69 12 828
74 – 82 78 25 1,950
83 – 91 87 22 1,914
92 – 100 96 8 768
Total 80 6,177
Titik tengah setiap interval diartikan sebagai perwakilan data setiap interval. Nilai ini
digunakan untuk menentukan rata-rata data tersebut.
Data yang diperoleh dari Tabel 7.2 dapat digambarkan kedalam bentuk histogram
Gambar 7.2 Histogram Data Nilai Siswa
Dengan mengembangkan konsep mean pada data tunggal, yakni, mean merupakan
perbandingan jumlah seluruh data dengan banyak data. Dari tabel dan histogram
dapat kita peroleh jumlah seluruh data, yakni, jumlah perkalian nilai tengah terhadap
frekuensi masing-masing. Maka jumlah seluruh data adalah: = (1) 42 + (5) 51 + (7)
60 + (12) 69 + (25) 78 + (22) 78 + (22) 87 + (8) 96
Sehingga diperoleh rata-rata (mean):
mean =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )
+
+ + + +
+ + + +
1 42 5 51 7 60 12 69 25 78 22 87+ 8 96
1 5 7 12 25 222+8
6177
77.21= =
80

7Matematika
Dengan demikian, dengan tabel frekuensi di atas dan nilai rata-rata data, ditemukan:
Ø Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di bawah nilai rata-rata!
Ø Banyak siswa yang memiliki nilai matematika di atas nilai rata-rata!
Perhitungan rata-rata di atas dapat kita dirumuskan secara matematis menjadi:
Mean x
x f
f x f x f x f x
f f f f
k k
k
i i
i
k
( ) =
=
( )
+ + + +
+ + + +
=
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1
...
...
.∑∑
∑=
fi
i
k
1
Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat disimpulkan bahwa rata-rata (mean)
merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang dinyatakan sebagai berikut.
x
f x
f
f x f x f x f x
f f f f
i i
i
k
i
i
k
k k
k
= =
+ + + +
+ + + +
=
=
∑
∑
1
1
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
dimana:
fi
: frekuensi kelas ke-i
xi
: nilai tengah kelas ke-i
Selain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rata-rata. Dengan data yang sama,
cermati langkah-langkah di bawah ini.
Tabel 7.3 Perhitungan Rataan sementara
Interval (xi
) fi
di
= xi
-xs
xs
= 78
fi.
di
38 – 46 42 1 -36 -36
47 – 55 51 5 -27 -135
56 – 64 60 7 -18 -126
65 – 73 69 12 -9 -108
74 – 82 78 25 0 0
83 – 91 87 22 9 198
92 – 100 96 8 18 144
Total 80 -63

Dengan cara memperkirakan bahwa nilai rata-rata sementara yang dipilih pada kelas
yang memiliki frekuensi tertinggi dan letak rata-rata sementara tersebut adalah titik
tengah kelas interval.
Secara lengkap, langkah-langkah menentukan rata-rata data dengan menggunakan
rata-rata sementara sebagai berikut
Langkah 1. Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar sebagai
mean sementara xs
Langkah 2. Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan mean sementara
dan catat hasilnya dalam kolom di
= xi
– xs.
Langkah 3. Hitung hasil kali f, d, dan tuliskan hasilnya pada sebuah
kolom, dan hitung totalnya.
Langkah 4. Hitung mean dengan menggunakan rumus rataan
sementara.
Sehingga diperoleh rata-rata adalah:
x x
f d
f
s
i i
i
k
i
i
k
= +
( )
=
=
∑
∑
.
1
1
dengan:
xs
: rata-rata sementara.
di
: deviasi atau simpangan terhadap rata-rata.
fi
: frekuensi interval kelas ke-i.
xs
: nilai tengah interval kelas ke-i.
Maka untuk data di atas dapat diperoleh:
Mean x
f d
f
s
i i
i
k
i
i
k
= +
( )
= +
−
==
=
∑
∑
.
. .1
1
78
117
64
77 21

b. Menentukan Nilai Modus
Pada waktu SMP kamu telah membahas modus untuk data tunggal, untuk
data berkelompok secara prinsip adalah sama yakni nilai yang sering muncul.
Dalam hal ini frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai letak modus
tersebut. Misalkan dari sekumpulan data kita mengambil 3 kelas interval yakni
kelas interval dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas interval

9Matematika
sebelum dan sesudah kelas modus. Dengan bantuan histogram dapat digambarkan
sebagai berikut:
D
Gambar 7.3 Penentuan Modus dengan Histogram
Perhatikan ilustrasi diatas, terlihat bahwa ∆ ABG sebangun dengan ∆ DCG,
dan panjang AB = d1
; CD = d2
; EG = ∆x dan FG = k - ∆x. Secara geometri dari
kesebangunan di atas berlaku perbandingan berikut ini;
AB
CD
EG
FG
d
d
x
k x
d k x d x
d k d x d x
d x d
= ⇔ =
∆
− ∆
⇔ − ∆( ) = ∆
⇔ − ∆ = ∆
⇔ ∆ + ∆
1
2
1 2
1 1 2
1 2 xx d k
x d d d k
x
d k
d d
x k
d
d d
=
⇔ ∆ +( ) =
⇔ ∆ =
+( )
⇔ ∆ =
+






1
1 2 1
1
1 2
1
1 2

Sehingga dapat diperoleh modus adalah:
M t x
t k
d
d d
b
b
0
1
1 2
= + ∆
= +
+






M t k
d
d d
b0
1
1 2
= +
+






dimana:
M0
: Modus
tb
: Tepi bawah kelas modus
k : Panjang kelas
d1
: Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
: Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Perhatikan tabel berikut.
Tabel 7.4 Perhitungan Modus
No Kelas Titik tengah (xi
) Frekuensi (fi
)
1 38 – 46 42 1
2 47 – 55 51 5
3 56 – 64 60 7
4 65 – 73 69 12
5 74 – 82 78 25
6 83 – 91 87 22
7 92 – 100 96 8
Dari data di atas dapat ditentukan sebagai berikut:
Tampak modus terletak pada frekuensi terbanyak f = 25 yaitu kelas interval modus
74 – 82 dengan dan panjang kelas k = 9. Oleh karena itu, tb
= 73,5, dan d1
= 25 – 12
=13 serta d2
= 25 – 22 = 3.
Jadi modus data di atas adalah:
M t k
d
d d
M
o b
o
= +
+






= +
+






= +
=
1
1 2
73 5 9
13
13 3
73 5 7 31
80 81
,
, ,
,

11Matematika
M t k
d
d d
M
o b
o
= +
+






= +
+






= +
=
1
1 2
73 5 9
13
13 3
73 5 7 31
80 81
,
, ,
,
c. Median
Median dari sekelompok data yang telah terurut merupakan nilai yang terletak
di tengah data yang membagi data menjadi dua bahagian yang sama. Untuk data
berkelompok berdistribusi frekuensi median ditentukan sebagai berikut:
M t k
n
F
f
e b
m
= +
−










2
dengan :
Me
= Median
tb
= tepi bawah kelas median
k = panjang kelas
n = banyak data dari statistik terurut ∑ fi
F = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median
fm
= frekuensi kelas median
Dari data sebelumnya diperoleh k = 9 ; tb
= 73,5 ; N = 80; fm
= 25
sehingga:
Masih menggunakan data di atas maka kita bentuk tabel berikut ini.
Tabel 7.5 Perhitungan Median
Kelas Frekuensi fi
Frekuensi Kumulatif F
38 – 46 1 1
47 – 55 5 6
56 – 64 7 13
65 – 73 12 25
74 – 82 25 50
83 – 91 22 77
92 – 100 8 80
80

Median = +
−










= +
−










= +
t k
n
F
f
b
m
2
73 5 9
80
2
25
25
73 5
,
, 33 705
77 205
,
,=
Pertanyaan kritis:
Ÿ Dari ketiga pembahasan tentang ukuran pemusatan data pada data kelompok,
dapatkah kamu menemukan hubungan antara ketiga pemusatan data di atas?
Diskusikan dengan temanmu!
Ÿ Dapatkah terjadi nilai ukuran x Mo Me= = pada sekumpulan data, jelaskan.
2. UKURAN LETAK DATA
Ukuran letak data yang dimaksud dalam subbab ini adalah kuartil, desil, dan
persentil. Ingat kembali materi statistik yang telah kamu pelajari di kelas X, konsep
kuartil dan desil untuk data berdistribusi analog dengan yang ada pada data tunggal.
a. Kuartil
Jika semua data yang telah diurutkan mulai dari data terkecil dan data terbesar,
maka data tersebut dapat dibagi menjadi empat bagian. Ukuran letak yang membagi
empat bagian dari sekumpulan data disebut kuartil.
Untuk lebih memahami pengertian kuartil perhatikan ilustrasi berikut.
Xmin Q1 XmaxQ2 Q3

Gambar 7.4 Letak Kuartil
Untuk menentukan Kuartil data berdistribusi, dirumuskan:
Q L k
i
n F
f
i i
Q
Qi
= +
−






4

13Matematika
n : banyak data
k : panjang kelas
Qi
: Kuartil ke-i data, untuk i = 1,2, 3.
Li
: Tepi bawah kelas ke-i. Li
= batas bawah – 0.5.
FQ
: jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i.
Fi
: frekuensi kelas yang memuat Kuartil ke-i.
Contoh 7.1
Perhatikan tabel berikut ini dan tentukan
a. Kuartil bawah (Q1
)
b. Kuartil tengah (Q2
)
c. Kuartil atas (Q3
)
Tabel 7.6 Distribusi Frekuensi
Kelas Frekuensi fi
42 – 46 2
47 – 51 5
52 – 56 5
57 – 61 15
62 – 66 7
67 – 71 4
72 – 76 2
Dengan melengkapi tabel 7.6 diperoleh:
Tabel 7.7 Distribusi Frekuensi Kumulatif
Kelas Frekuensi fi
Frekuensi Kumulatif F
42 – 46 2 2
47 – 51 5 7
52 – 56 5 12
57 – 61 15 27
62 – 66 7 34
67 – 71 4 38
72 – 76 2 40

a. Kuartil ke-1
Kuartil bawah dapat juga disebut kuartil ke-1 (Q1
), dan untuk menentukan
letak Q1
terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat Q1
yakni dengan
menghitung nilai dari
1 1
(40) 10.
4 4
n= = Hal ini berarti Q1
adalah data ke-10,
kelas interval 52 – 56, dan fi
= 11.
Dari tabel juga diperoleh L1
= 51,5, FQ
= 7, 1Qf = 5, k = 5.
Sehingga kuartil bawah diperoleh:

Q L k
i
n F
f
Q
Q
i i
Q
Qi
= +
−






= +
−( )
= +
=
4
51 5 5
10 6
5
51 5 4
55 5
1
1
,
,
,
Sehingga kuartil ke-1 adalah 55,5
b. Kuartil ke-2
Analog dengan mencari Q1
maka diperoleh nilai Q2
, yakni: 2
4
1
4
40 20n = ( ) = .
Hal ini berarti Q2
berada pada kelas interval 57 – 61, dan 2Qf = 15.
= 56,5, FQ
= 12, 2Qf = 15, k = 5.
Sehingga dapat ditentukan kuartil tengah adalah:

Q L k
i
n F
f
Q
Q
i i
Q
Qi
= +
−






= +
−( )
= +
=
4
56 5 5
20 12
15
56 5 2 66
59
2
2
,
, ,
,116
F

15Matematika
c. Kuartil ke-3
Sama seperti menentukan Q1
dan Q2
maka diperoleh nilai-nilai yang
kita perlukan untuk memperoleh nilai Q3
, yakni:
3
4
3
4
40 30n = ( ) = . Hal ini
berarti Q3
berada pada kelas interval 62 – 66, dan 3Qf = 7.
= 61,5, FQ
= 27, 3Qf = 7, k = 5.
Sehingga dapat ditentukan kuartil atas adalah:

Q L k
i
n F
f
Q
Q
i i
Q
Qi
= +
−






= +
−( )
= +
=
4
61 5 5
30 27
7
61 5 2 14
63 6
3
3
,
, ,
, 44
b. Desil
Prinsip untuk mencari desil hampir sama dengan kuartil, jika kuartil mem-
bagi data yang terurut menjadi empat bagian maka desil menjadi 10 bagian dengan
ukuran data n > 10. Hal ini berarti sekumpulan data yang terurut memiliki 9 nilai
desil, yakni D1
, D2
, D3
, ..., D9
Untuk menentukan Desil, dirumuskan sebagai berikut:

D L k
i
n F
f
i i
D
Di
= +
−





10
i = 1,2, 3, … , 9
Di
: Desil ke-i
Li
: Tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i
FD
: jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
iDf
: frekuensi kelas yang memuat desil ke-i
n : Banyak data
k : panjang kelas.

Contoh 7.2
Dari 1.000 siswa peserta Olimpiade Matematika diperoleh data skor berupa tabel
berikut.
Tabel 7.8 Skor Olimpiade Matematika
Skor Frekuensi
0-9 5
10-19 54
20-29 215
30-39 263
40-49 223
50-59 124
60-69 72
70-79 38
80-89 5
90-99 1
Tentukanlah desil
a. Desil ke-1
b. Dan desil ke-8
Dengan melengkapi tabel 7.8 diperoleh:
Skor Frekuensi
Frekuensi
Kumulatif F
0-9 5 5
10-19 54 59
20-29 215 274
30-39 263 537
40-49 223 760

17Matematika
Skor Frekuensi
Frekuensi
Kumulatif F
50-59 124 884
60-69 72 956
70-79 38 994
80-89 5 999
90-99 1 1000
a. Desil ke-1
Untuk menentukan letak D1
terlebih dahulu kita mencari kelas yang
memuat D1
yakni dengan menghitung nilai dari
1
10
1
10
1000 100n = ( ) = . Hal ini
berarti D1
adalah data ke-100 yaitu, kelas interval 20 – 29, dan 1Df = 215.
= 19,5, FD
= 59, 1Df = 215, k = 10.

D L k
i
n F
f
D
D
i i
D
Di
= +
−






= +
−( )
= +
10
19 5 10
100 59
215
19 5 43 76
1 ,
, ,
11 63 26= ,
b. Desil ke-8
Untuk menentukan letak D8
terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat D8
yakni dengan
menghitung nilai dari
8
10
8
10
1000 800n = ( ) = . Hal ini berarti D8
adalah data ke-
800, kelas interval 40 – 49, dan 8Df = 223.
= 39,5, FD
= 573, 8Df = 223, k = 10.


D L k
i
n F
f
D
i i
D
Di
= +
−






= +
−( )
= +
3
10
9 5 10
800 573
223
39 5 10 17
8 ,
, ,
DD8 49 67= ,
c. Persentil
Jika kuartil dan desil membagi data yang terurut menjadi empat dan sepuluh
bagian maka desil menjadi 100 bagian data. Hal ini berarti sekumpulan data yang
terurut memiliki 99 nilai persentil, yakni P1
, P2
, P3
, ..., P99
.
Untuk menentukan persentil, dirumuskan sebagai berikut:

P L k
i
n F
f
i i
P
Pi
= +
−






100
i = 1,2, 3, … , 9
Pi
: Persentil ke-i
Li
: Tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-i
FP
: jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
iPf
: frekuensi kelas yang memuat persentil ke-i
n : Banyak data
k : panjang kelas.
Contoh 7.3
Dengan menggunakan data pada contoh 7.2
Tentukanlah
a. persentil ke-10
b. persentil ke-99

19Matematika
Perhatikan tabel berikut
Skor Frekuensi
Frekuensi
Kumulatif F
0-9 5 5
10-19 54 59
20-29 215 274
30-39 263 537
40-49 223 760
50-59 124 884
60-69 72 956
70-79 38 994
80-89 5 999
90-99 1 1.000
a. Persentil ke-10
Untuk menentukan letak P10
terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat
P10
yakni dengan menghitung nilai dari 10
100
10
100
1000 100n = ( ) = . Hal ini berarti
P10
adalah data ke-100, kelas interval 20 – 29, dan 10Pf = 215.
= 19,5, FP
= 59, 10Pf = 215, k = 10.

P L k
i
n F
f
P
i i
P
Pi
= +
−






= +
−( )
= +
10
19 5 10
100 59
215
19 5 43 76
10 ,
, ,
PP10 63 26= ,
Sehingga persentil ke-10 adalah 63,26

b. Persentil ke-99
Untuk menentukan letak P99
terlebih dahulu kita mencari kelas yang memuat P99
yakni dengan menghitung nilai dari
99
100
99
100
1000 990n = ( ) = . Hal ini berarti P99
adalah data ke-990, kelas interval 70 – 79, dan 99Pf = 38.
= 69,5, FP
= 956, 99Pf = 38, k = 10.

P L k
i
n F
f
P
P
i i
P
Pi
= +
−






= +
−( )
= +
6
10
9 5 10
990 956
38
69 5 8 94
99 ,
, ,
999 78 44= ,
Sehingga persentil ke-99 adalah 49,67
Dari ukuran letak data yang telah dibahas di atas tentu kita akan menemukan
keterkaitan nilai ukuran satu dengan yang lainnya. Misalkan data yang dimiliki
adalah sama maka akan ditemukan nilai median = Q2
= D5
= P50
, dan Q1
= P2
, dan
Q3
= P75. Cobalah membuktikannya dengan teman kelompokmu.
3. UKURAN PENYEBARAN DATA
Ukuran penyebaran data menunjukkan perbedaan data yang satu dengan data
yang lain serta menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki
nilai yang berbeda. Adapun ukuran penyebaran data yang akan kita kaji adalah
sebagai berikut.
a. Rentang Data atau Jangkauan (Range)
Masalah-7.2
Suatu seleksi perekrutan anggota Paskibra di sebuah sekolah diperoleh data
tinggi badan siswa yang mendaftar adalah sebagai berikut:

21Matematika
Tabel 7.11 Distribusi Tinggi Badan Siswa
Tinggi badan (cm) Banyak siswa yang mendaftar (fi
)
140-144 7
145-149 8
Tinggi badan (cm) Banyak siswa yang mendaftar (fi
)
150-154 12
155-159 16
160-164 24
165-169 13
170-174 2
Tentukanlah rentang (range) dari data distribusi di atas!
Range merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Sedangkan untuk
data berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan data
terendah diambil dari nilai kelas yang terendah, sehingga diperoleh:
Nilai tengah kelas tertinggi =
+
=
170 174
2
172
Nilai tengah kelas terendah =
+
=
140 144
2
142
Sehingga dari kedua hasil di atas diperoleh range untuk data berdistribusi adalah:
Rentang (R) = 172 – 142
= 30
b. Rentang Antar Kuartil (Simpangan Kuartil)
Dengan pemahaman yang sama yakni rentang merupakan selisih data terbesar
dengan data terkecil, maka rentang antar kuartil dirumuskan dengan selisih kuartil
terbesar dengan kuartil terkecil yakni kuartil atas (Q3
) dengan kuartil bawah (Q1
),
maka dapat dituliskan dengan: simpangan kuartil = Q3
– Q1
Dengan menggunakan hasil pada contoh 7.1 maka dapat kita peroleh rentang
antar kuartil data tersebut adalah:
Simpangan kuartil = 63, 4 – 55, 5
= 7,9

c. Simpangan Rata-Rata
Andaikan kita memiliki data x1
, x2
, x3
, ..., xn
maka dengan konsep nilai rentang
data kita dapat menentukan rentang nilai rata-rata atau simpangan rata-rata sehingga
diperoleh urutan data yang baru yaitu:
x x x x x x x xn1 2 3−( ) −( ) −( ) −( ), , , ,
Dalam urutan data di atas mungkin ada yang positif dan negatif namun konsep
jarak atau rentang tidak membedakan keduanya, untuk itu diambil harga mutlak
sehingga diperoleh:
x x x x x x x xn1 2 3− − − −, , , ,
Dan jika urutan nilai data tersebut dijumlahkan kemudian dibagi dengan banyak
data (n) maka akan diperoleh simpangan rata-rata sebagai berikut:
S
x x
n
R
i
i
n
=
−
=
∑1
dengan :
SR
= Simpangan rata-rata
xi
= nilai data ke-i
x- = nilai rata-rata
n = banyak data
Formula di atas merupakan simpangan rata-rata untuk data tunggal. Data
berdistribusi memiliki nilai frekuensi dalam tiap kelompok atau interval data dan
nilai data pengamatan merupakan nilai tengah kelas sehingga untuk data berdistribusi
diperoleh simpangan rata-rata yang dituliskan sebagai berikut:
S
f x x
f
R
i i
i
n
i
i
n
=
−
=
=
∑
∑
1
1
dengan :
SR
= Simpangan rata-rata
xi
= nilai tengah kelas ke –i
x- = nilai rata-rata
fi
= frekuensi kelas ke –i

23Matematika
Contoh 7.4
Dengan menggunakan pembahasan masalah 7.3 diperoleh tabel distribusi sebagai
berikut:
Kelas Frekuensi
38 - 46 1
47 - 55 5
56 - 64 7
65 - 73 12
74 - 82 25
83 - 91 22
92 - 100 8
80
dan rata-rata = 77.21. Tentukanlah simpangan rata-rata dari data di atas!
Dengan melengkapi tabel 7.12 agar dapat diperoleh nilai-nilai yang diperlukan,
sehingga diperoleh tabel yang baru seperti berikut ini:
Kelas
Frekuensi
(fi
)
Titik
Tengah (xi
)
x xi − f x xi −
38 - 46 1 42 35.21 35,21
47 - 55 5 51 26.21 131,05
56 - 64 7 60 17.21 120,47
65 - 73 12 69 8.21 98,52
74 - 82 25 78 0.79 19,75
83 - 91 22 87 9.79 215,38
92 - 100 8 96 18.79 150,32
fi
=80 Σ fi
ǀ xi
- ǀ=639.65

Sehingga dari nilai-nilai yang diperoleh pada tabel di atas diperoleh:
S
f x x
f
R
i i
i
n
i
i
n
=
−
= =
=
=
∑
∑
1
1
7 99
639.65
80
,
Jadi, simpangan rata-rata data di atas adalah 7,99
d. Ragam dan Simpangan Baku
Penentuan nilai simpangan rata-rata memiliki kelemahan karena menggunakan
harga mutlak yang berakibat simpangan rata-rata tidak dapat membedakan antara
rentang yang lebih besar dan lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut ahli
statistik menggunakan simpangan baku yang menggunakan kuadrat pada rentang
datanya, simpangan baku dirumuskan sebagai berikut:
S
n
f x xB i i
i
r
= −( )=
∑
1
1
2
. .
Ragam, atau sering disebut varian merupakan kuadrat dari nilai simpangan baku, data
berdistribusi dirumuskan sebagai berikut:
S
n
f x xB i i
i
r
2
1
2
1
= −( )=
∑. .
dengan:
SB
: Simpangan baku
S2
B
: Ragam/varian.
fi
: frekuensi kelas ke-i.
xi
: titik tengah interval ke-i.
x- : rata-rata.
n : ukuran data.
Contoh 7.5
Masih dengan menggunakan pembahasan masalah 7.3 diperoleh tabel distribusi
sebagai berikut:

25Matematika
Kelas
Frekuensi
(fi
)
Titik
Tengah
(xi
)
ix x− 2
( )ix x− 2
( )if x x−
38 - 46 1 42 -35.21 1239.74 1239.744
47 - 55 5 51 -26.21 686.96 3434.821
56 - 64 7 60 -17.21 296.18 2073.289
65 - 73 12 69 -8.21 67.40 808.8492
74 - 82 25 78 0.79 0.62 15.6025
83 - 91 22 87 9.79 95.84 2108.57
92 - 100 8 96 18.79 353.06 2824.513
Σ fi
=80
Σ fi
ǀ xi
-
ǀ=12505.38
Sehingga dari nilai-nilai yang diperoleh pada tabel di atas diperoleh:
Ÿ Simpangan baku

S
n
f x xB i i
i
r
= −( )=
∑
1
1
2
. .

SB= =
1
80
.12505.39 12.5

Ÿ Ragam atau varian

S
n
f x xB i i
i
r
2
1
2
1
= −( )=
∑. .

SB
2 1
80
= .12505.39=156.31
Untuk semua jenis ukuran penyebaran data ini, tentunya tidaklah sesuatu hal yang
sulit untuk menentukan nilainya. Namun, yang penting dari semua adalah memahami
makna setiap angka statistik yang diperoleh.

Uji Kompetensi 7
1. Perhatikan tabel penjualan 4 jenis mainan anak-anak pada sebuah toko pada
periode 5 minggu berturut-turut.
Minggu Mainan 1 Mainan 2 Mainan 3 Mainan 4
1 50 48 64 51
2 52 55 34 53
3 35 52 43 32
4 20 12 30 30
5 15 20 25 28
Jumlah 172 187 196 194
Dari tabel diatas,
Ÿ Gambarkan diagram batang, garis, serta lingkaran pada masing-masing jenis
mainan dalam 5 minggu.
Ÿ Tentukanlah semua ukuran yang terdapat pada data tersebut!
2. Tentukanlah nilai mean, median, dan modus pada data penghasilan orang tua
siswa di suatu yayasan sekolah swasta berikut ini.
Pengahasilan tiap bulan (Rp) Banyak orang tua
1.000.000 – 2.000.000 300
2.000.000 – 3.000.000 590
3.000.000 – 4.000.000 750
4.000.000 – 5.000.000 150
5.000.000 – 10.000.000 70
> 10.000.000 40

27Matematika
3. Suatu pertandingan karate mewajibkan setiap team yang akan masuk babak final
harus memperoleh poin rata-rata 205 pada empat kali pertandingan. Pada babak
semifinal diperoleh 3 tim dengan data sebagai berikut.
Tim Nilai Setiap Pertandingan
1 2 3 4
I 210 195 200 x
II 200 200 195 x
III 205 198 218 x
Tim yang manakah yang akan masuk babak final jika diperoleh nilai 215 pada
pertandingan keempat?
4. Tentukanlah nilai a dan b dari tabel distrubusi frekuensi dibawah ini, jika median
adalah 413,11 dan ∑ f = 1000
Nilai Frekuensi
200 - 234 80
235 - 249 9
250 - 274 17
275 - 299 a
300 - 324 88
325 - 349 b
350 - 374 326
475 - 499 5

5. Data berikut mempunyai modus 162.
Nilai Frekuensi
140-149 3
150-159 8
160-169 x
170-179 2
Tentukanlah :
a. Nilai x
b. Mean
6. Gaji karyawan suatu pabrik ditampilkan dalam tabel berikut.
Gaji (×Rp 10.000) Frekuensi
66-70 3
71-75 12
76-80 x
81-85 36
86-90 24
91-95 y
96-100 9
a. Tentukan rata-rata gaji jika setiap karyawan mendapat tambahan sebesar
Rp50.000,00.
b. JikamodusdatadiatasadalahRp830.000,00,danbanyakdata120,tentukanlah
nilai x – y.
7. Dengan menggunakan tabel yang lengkap pada soal no.5, tentukan:
a. Kuartil ke-1
b. Kuartil ke-2
c. Kuartil ke-3

29Matematika
8. Dari grafik histogram di bawah ini, bentuklah tabel frekuensi realatif dan tentukan
seluruh ukuran pemusatan data.
9. Dari tabel data di bawah ini tentukanlah :
a. Simpangan kuartil
b. Simpangan rata-rata
c. Simpangan baku
Nilai Frekuensi
40-44 5
45-49 8
50-54 7
55-59 4
60-64 4
65-69 3
70-74 2
75-80 1

10. Suatu penelitian terhadap dua jenis baterai mendapatkan hasil pengukuran daya
tahan pemakaian yang ditampilkan pada data berikut ini.
Nilai statitik Jenis 1 Jenis 2
Banyak sampel 100 80
Rentang 240 120
Kuartil bawah 468 488
Kuartil atas 533 562
Simpangan baku 40 20
Simpangan kuartil 65 74
Rata-rata 500 600
Median 500 500
Berdasarkan data penelitian di atas jelaskan merek baterai mana yang memiliki
ukuran penyebaran yang besar!
Projek
Kumpulkanlah data-data perkembangan ekonomi yang ada di indonesia,
misal data pergerakan nilai tukar rupiah terhadap mata uang asing (dolar,
ringgit, dll). Tabulasi dan gambarkan data tersebut kedalam diagram.
Analisislahdatatersebutdalambentukstatistikdeskriptifsertapresentasikan
di depan kelas.

31Matematika
D. PENUTUP
Berdasarkan materi yang telah kita uraikan di atas, beberapa konsep perlu kita
rangkum guna untuk mengingatkan kamu kembali akan konsep yang nantinnya
sangat berguna bagi kamu sebagai berikut.
1. Jangkauan Data = Data tertinggi – Data terendah = xmaks
– xmin
.
2. Statistik yang membagi data menjadi empat bagian disebut Kuartil.
3. Statistik terurut memiliki kuartil jika banyak data ≥ 4, sebab kuartil Q1
dan Q2
membagi data menjadi empat kelompok yang sama.
4. Statistik yang membagi data menjadi 10 bagian disebut Desil.
5. Jika banyak data ≥ 10, maka kita dapat membagi data menjadi 10 kelompok yang
sama, dengan setiap kelompok memiliki
1
10
data. Ukuran statistik ini disebut
Desil.
6. Mean untuk data berkelompok didefinisikan dengan
x
f x
f
f x f x f x f x
f f f f
i i
i
k
i
i
k
k k
k
= =
+ + + +
+ + + +
=
=
∑
∑
1
1
1 1 2 2 3 3
1 2 3


dengan fi
= frekuensi kelas ke-i; xi
=
nilai tengah kelas ke-i.
7. Mean untuk data berkelompok dengan rumusan rataan sementara didefinisikan
dengan x x
f d
f
s
i i
i
k
i
i
k
= + =
=
∑
∑
1
1
dengan fi
= frekuensi kelas ke-i; xi
= nilai tengah kelas ke-i.
8. Modus untuk data berkelompok didefinisikan dengan M t k
d
d d
o b= +
+






1
1 2
dengan tb
= tepi bawah kelas modus; k = panjang kelas; d1
= selisih frekuensi
kelas modus dengan kelas sebelumnya; d2
= selisih frekuensi kelas modus dengan
kelas sesudahnya.

9. Median untuk data berkelompok didefinisikan dengan Median = t k
n
F
f
b
m
+
−










2

Dengan tb
= tepi bawah kelas median; k = panjang kelas; N = banyak data dari
statistik terurut = ∑ fi
; F = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median; fm
=
frekuensi kelas median.
10. Simpangan rata-rata untuk data berkelompok didefinisikan dengan:

S
f x x
f
R
i i
i
n
i
i
n
=
−
=
=
∑
∑
1
1
11. Simpangan baku dan varian untuk data berkelompok di-definisikan dengan:
• S
n
f x xB i i
i
r
= −( )=
∑
1
1
2
. .
• S
n
f x xB i i
i
r
2
1
2
1
= −( )=
∑. .

Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2. Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai
aturan pencacahan melalui beberapa contoh
nyata serta menyajikan alur perumusan
aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan
kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya.
3. Menerapkan berbagai konsep dan prinsip
permutasi dan kombinasi dalam pemecahan
masalah nyata.
4. Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan
menentukan peluang suatu kejadian dalam
suatu percobaan.
5. Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/
rumus peluang dalam memprediksi terjadinya
suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan
alasan-alasannya.
6. Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan
suatu kejadian dan menggunakannya dalam
pemecahan masalah.
Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan,
siswa memperoleh pengalaman belajar:
konsep dan prinsip aturan pencacahan melalui
pemecahan masalah otentik yang bersumber
dari fakta dan lingkungan.
.• Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki,
memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep
dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam
memecahkan masalah otentik.
ATURAN PENCACAHAN
• Pencacahan
• Permutasi
• Kombinasi
• Kejadian
• Ruang Sampel
• Titik Sampel
• Peluang
Bab
8

Setelah mengikuti pembelajaran turunan siswa
mampu:
7. Memilih dan menggunakan aturan pencacahan
yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata
serta memberikan alasannya.
8. Mengidentifikasi masalahnyatadanmenerapkan
aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
dalam pemecahan masalah tersebut.
9. Mengidentifikasi, menyajikan model matematika
dan menentukan Peluang dan harapan suatu
kejadian dari masalah kontektual.
Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan,
siswa memperoleh pengalaman belajar:
konsep dan prinsip aturan pencacahan melalui
pemecahan masalah otentik yang bersumber
dari fakta dan lingkungan.
.• Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki,
memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep
dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam
memecahkan masalah otentik.

35Matematika
B. PETA KONSEP
Masalah
Otentik
dapat dihitung melalui dihitung menggunakan
Aturan
Perkalian
Permutasi
Titik
Sampel
Ruang
Sampel
Kombinasi
Teorema
Binomal
Peluang
Kaidah
Pencacahan
Unsur
Peluang

1. Menemukan Konsep Pencacahan (Perkalian, Permutasi, dan
Kombinasi)
a. Aturan Perkalian
Setiap orang pasti pernah dihadapkan dalam permasalahan memilih atau
mengambil keputusan. Misalnya: setelah tamat sekolah akan memilih program studi
dan di perguruan tinggi yang mana? Ketika berangkat ke sekolah memilih jalur yang
mana. Dalam matematika kita dibantu untuk menentukan banyak pilihan yang akan
diambil. Untuk lebih memahami cermati masalah dan kegiatan berikut.
Masalah-8.1
Beni, seorang siswa Jurusan IPA lulusan dari SMA Negeri 1 Tarutung Tahun
2013 ingin menjadi mahasiswa di salah satu perguruan tinggi negeri (PTN)
yang ada di pulau Sumatera pada Tahun 2013. Ayah Beni menyetujui cita-
cita Beni asalkan kuliah di Medan. Di Medan terdapat PTN dan juga memiliki
jurusan yang digemari dan yang dipilih oleh Beni, yaitu Biologi atau Pendidikan
Biologi. Panitia SNMPTN memberikan kesempatan kepada calon mahasiswa
untuk memilih maksimum tiga jurusan di PTN yang ada di Indonesia.
Bantulah Beni untuk mengetahui semua kemungkinan pilihan pada saat
mengikuti SNMPTN Tahun 2013?
Untuk mengetahui semua pilihan yang mungkin, kita harus mengetahui apakah
semua PTN di Medan memiliki Jurusan Biologi atau Jurusan Pendidikan Biologi.
Ternyata, hanya USU dan Unimed saja yang memiliki pilihan Beni tersebut. USU
hanya memiliki Jurusan Biologi, tetapi Unimed memiliki Jurusan Biologi dan Jurusan
Pendidikan Biologi.
Sesuai aturan panitia SNMPTN, Beni diberi kesempatan memilih maksimal 3 dan
minimal 1 jurusan.
Mari kita uraikan pilihan-pilihan yang mungkin.
Untuk 3 Pilihan
1. Seandainya Beni memilih 3 pilihan tersebut di satu kota, maka pilihannya adalah:
Pilihan 1: Biologi USU
Pilihan 2: Pend. Biologi UNIMED
Pilihan 3: Biologi UNIMED

37Matematika
Untuk 2 Pilihan
1. Beni hanya boleh memilih 2 jurusan di UNIMED, yaitu:
2. Beni juga memilih 1 jurusan di USU dan 1 di UNIMED, yaitu:
Atau
Untuk 1 Pilihan
1. Beni boleh hanya memilih Biologi USU.
2. Beni boleh hanya memilih Pend. Biologi UNIMED
3. Beni boleh hanya memilih Biologi UNIMED
Jadi, banyak cara memilih yang mungkin yang dimiliki Beni sebanyak 7 cara.
• Menurut kamu, seandainya tidak ada strategi memilih jurusan, berapa cara yang
dimiliki Beni?
• Coba kamu pikirkan, bagaimana pola rumusan untuk menghitung banyak cara
yang mungkin untuk Masalah 8.1.
Pernahkah kamu mengikuti pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu?
Mari kita cermati contoh berikut, sebagai masukan jika suatu saat kamu menjadi
panitia pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu.
Contoh 8.1
Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi
yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah
setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara
untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?
Ada beberapa metode untuk menghitung banyak cara dalam pemilihan tersebut.
Ingat!!!!
Ada strategi memilih jurusan.

i. Cara Mendaftar
Mari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu:
a. Jabatan ketua OSIS
Untuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang ditunjuk yakni
Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat
dipilih dengan 3 cara.
b. Jabatan sekretaris OSIS
Karena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka posisi sekretaris
hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa.
c. Jabatan bendahara OSIS
Karena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya
ada satu kandidat.
Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih tiga kandidat
untuk menjadi pengurus OSIS adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.
iI. Cara Diagram
Untuk dapat lebih memahami uraian di atas perhatikan diagram berikut.
Gambar 8.1 Diagram Pohon Pemilihan Ketua OSIS

39Matematika
♦ Misalnya, Abdul merupakan siswa kelas X, Beny dan Cindy dari Kelas XI.
Berapa banyak cara memilih pengurus OSIS jika Bendahara OSIS merupakan
siswa dari kelas XI.
Biasanya di kota-kota besar terdapat banyak jalur alternatif menuju suatu tempat dan
jalur ini diperlukan para pengendara untuk menghindari macet atau mengurangi lama
waktu perjalanan. Contoh berikut mengajak kita mempelajari banyak cara memilih
jalur dari suatu kota ke kota lain.
Contoh 8.2
Dari Kota A menuju Ibukota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar 8.1.
Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?
Gambar 8.2 Jalur dari Kota A ke Kota D
• Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota B
Dari kota A ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat dilalui, sedangkan dari kota B
terdapat 3 jalur yang dapat dilalui menuju kota D.
Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah
4 × 3 = 12 cara.
• Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota C
Terdapat 3 jalur dari kota A menuju kota C dan 3 jalur dari kota C menuju kota D.
Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah
3 × 3 = 9 cara.
Jadi banyak jalur yang dapat dilalui melalui Kota A sampai ke Kota D adalah 12 + 9
= 21 cara.

♦ Seandainya ada satu jalur yang menghubungkan kota B dan kota C, berapa banyak
jalur yang dapat dipilih dari kota A menuju kota D?
Kegiatan 8.1
Catatlah baju, celana, dan sepatumu berdasarkan warna, kemudian isilah dalam
bentuk tabel berikut ini:
Tabel 8.1 Tabel Daftar Warna Pakaian
Baju Celana Sepatu
Putih Hitam Coklat
Merah Abu-abu Hitam
Biru Coklat Putih
Salin dan lengkapi tabel di atas kemudian perhatikan data yang diperoleh dan cobalah
menjawab pertanyaan berikut:
1. Jika diasumsikan setiap warna dapat dipasangkan, berapa banyak kemungkinan
warna baju dan warna celana yang dapat dipasangkan?
2. Berapakah banyak kemungkinan pakaian lengkap yakni baju, celana, dan sepatu
kamu yang dapat dipasangkan?
1. Jika diasumsikan setiap warna pada baju, celana dan sepatu dapat dipasangkan
maka dapat ditentukan kemungkinan pasangan yang dihasilkan; yakni:
Banyak warna baju × banyak warna celana = Banyak pasangan warna baju dan
celana.
2. Banyak pemasangan baju, celana, dan sepatu untuk tabel di atas adalah:
Banyak warna baju × Banyak warna celana × Banyak warna sepatu = Banyak
kombinasi warna pakaian.
Dalam dunia kerja seorang pemimpin atau karyawan juga pernah dihadapkan dengan
bagaimana memilih cara untuk menyusun unsur atau memilih staff. Masalah berikut
ini, mengajak kita untuk memahami bagaimana cara kerja pada suatu supermarket.

41Matematika
Masalah-8.2
Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor
seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000
sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak
nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Mari kita uraikan permasalahan di atas.
Ÿ Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak
angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi:
Ÿ Perhatikan untuk mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya
terdapat 5 cara mengisi ribuan.
Ÿ Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang
mungkin (mengapa?).
Ÿ Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka
yang mungkin (mengapa?).
Ÿ Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka
yang mungkin (mengapa?).
Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah
sebagai berikut:
5 7 6 5
Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara.

Berkaitan dengan Masalah 8.2,
Ÿ Hitunglah banyak cara menyusun nomor seri barang, jika angka 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, dan 8 diperbolehkan berulang.
Ÿ Seandainya manager supermarket tersebut ingin menyusun nomor seri
barang adalah bilangan-bilangan ganjil yang terdiri dari 5 angka. Berapa cara
menyusun nomor seri tersebut.
Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam
aturan perkalian berikut ini.
Aturan Perkalian :
Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan:
n1
= banyak cara untuk menyusun unsur pertama
= banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
n3
= banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun
:
nk
= banyak cara untuk menyusun unsur ke- k setelah objek- unsur sebelumnya
tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:
n1
× n2
×n3
× ... × nk
.
♦ Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan
dalam aturan perkalian berikut ini.
Matematika merupakan bahasa simbol. Oleh karena itu, penulisan aturan perkalian di
atas dapat disederhanakan dengan menggunakan faktorial.
Mari kita pelajari dengan teliti materi berikut.
b. Faktorial
Pada pembahasan di atas kamu telah melakukan perkalian 3 × 2 × 1 = 6.
Coba anda lakukan perkalian berikut:
1) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...
2) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...
3) 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...

43Matematika
Perkalian-perkalian semua bilangan bulat positif berurut di atas dalam matematika
disebut faktorial, yang biasa disimbolkan dengan "!"
Maka perkalian tersebut dapat dituliskan ulang menjadi:
1) 3 × 2 × 1 = 3!
2) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!
3) 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7!
4) 9 × 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 9!
Secara umum faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 8.1
a) Jika n bilangan asli maka n! (dibaca “n faktorial”) didefinisikan dengan:

( ) ( ) ( )n! = n× n -1 × n - 2 × n - 3 × ...× 3× 2×1
atau

( ) ( ) ( )n! =1× 2× 3×...× n - 3 × n - 2 × n -1 × n
b) 0! = 1
Contoh 8.3
1. Hitunglah:
a. 7! + 4! b. 7! × 4! c.
7!
4!
a. 7! + 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1)
= 5.040 + 24 = 5.064
b. 7! × 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1)
= 5.040 × 24 = 120.960
c. 7!
4!
7× 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
4 × 3 × 2 × 1
= = 210

2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk faktorial.
a. 7 × 6 b. (6!) × 7 × 8 c. n × (n – 1) × (n – 3)
a. 7 × 6=
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
7
5
!
!
Maka dapat dituliskan bahwa 7 × 6=
7!
5!
.
b. (6!) × 7 × 8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8!
c. Kerjakan secara mandiri
3. Diketahui
( ) ( )
( )
14. 1 !. 4 ! 4!
5. !. 5 ! 120
n n
n n
− −
=
−
, tentukanlah nilai n, dengan n bilangan asli.
( ) ( )
( )
14. 1 !. 4 ! 4!
5. !. 5 ! 120
n n
n n
− −
=
−
⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
14. 1 !. 4 ! 4!
5. . 1 !. 5 . 4 ! 120
n n
n n n n
− −
=
− − −
⇔
( )
14 4!
5. . 5 120n n
=
−
⇔
( )
14 5!
. 5 120n n
=
−
⇔ n2 – 5n –14 = 0
∴ n = 7.
c. Permutasi
1) Permutasi dengan Unsur yang Berbeda
Masalah-8.3
Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri
tiga angka dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian
dibuat dari:
a. Tiga angka pertama.
b. Empat angka yang tersedia.

45Matematika
a. Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat
disusun adalah:
123 132 213 231 312 321
Terdapat 6 angka kupon antrian.
b. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka
susunan nomor antrian yang diperoleh adalah:
123 142 231 312 341 421
124 143 234 314 342 423
132 213 243 321 412 431
134 214 241 324 413 432
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.
Mari kita cermati bagaimana menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan
konsep faktorial.
1. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3 maka banyak
susunan nomor antrian adalah:

6 3 2 1
3 2 1
1
3
1
3
3 3
= × × =
× ×
= =
−( )
!
!
!
!
2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka
banyak susunan nomor antrian adalah:

24 4 3 2 1
4 3 2 1
1
4
1
4
4 3
= × × × =
× × ×
= =
−( )
!
!
!
!
Demikian selanjutnya jika diteruskan, banyak susunan k angka dari n angka yang
disediakan yang dapat dibuat adalah:
( )
!
!
n
n k−
dengan n ≥ k. (*)
Untuk menguji kebenaran pola rumusan (*), coba kita gunakan untuk memecahkan
masalah berikut ini.

Masalah-8.4
Sekolah SMA Generasi Emas, setiap tahun mengadakan acara pentas seni.
Biasanya 8 bulan sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk
jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang
mendaftarkan diri; yakni, Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E).
Bagaimana kita mengetahui banyak cara memilih ketua dan sekretaris untuk
acara pentas seni sekolah tersebut?
Untuk mengetahui banyak susunan pengurus dapat dilakukan dengan beberapa cara,
antara lain:
a) Dengan cara mendaftar:
Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut:
AB BA CA DA EA
AC BC CB DB EB
AD BD CD DC EC
AE BE CE DE ED
Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20
cara.
b) Dengan Aturan Perkalian
Untuk masalah ini, akan dipilih 2 pengurus dari 5 kandidat yang ada. Dengan
menggunakan pola rumusan (*) diperoleh:
n = 5 dan k = 2
maka
( ) ( )
! 5!
! 5 2 !
n
n k
=
− −
= 20 cara
Dengan pembahasan Masalah 8.3 dan 8.4 ditemukan bahwa banyak susunan k
unsur berbeda dari n unsur yang tersedia dan memperhatikan urutan susunannya
dapat dirumuskan dengan
n
n k
!
!−( )
. Bentuk susunan ini dikenal dengan ”permutasi”.

47Matematika
Definisi 8.2
Permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia biasa dituliskan
n
kP atau n kP serta
P(n, k) dengan k ≤ n.
• Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan

( ) ( )− −n
nP = n× n 1 × n 2 ×L×3×2×1= n!
• Banyak permutasi unsur dari n unsur yang tersedia, dapat ditentukan dengan:
( )
n
k
n!
P =
n - k !
Pada buku ini, penulisan permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia kita
menggunakan: n
kP .
Sekarang cermati permutasi-permutasi di bawah ini:
1)
( )
10
1
10! 10 9!
10
10 1 ! 9!
P
×
= = =
−

2)
( )
10
9
10! 10!
10!
10 9 ! 1!
P= = =
−
3)
( )
8
7
8! 8!
8!
8 7 ! 1!
P= = =
−
4)
( )
45
44
45! 45!
45!
45 44 ! 1!
P= = =
−

5)
( )
1000
1
1000! 1000 999!
1000
1000 1 ! 999!
P
×
= = =
−

6)
( )
2014
2013
2014! 2014!
2014!
2014 2013 ! 1!
P= = =
−

7)
( )
1000
1000
1000! 1000!
1000!
1000 1000 ! 0!
P= = =
−
Diperlukan strategi untuk
menyelesaikan perkalian
dengan faktorial.

Dari pembahasan permutasi-permutasi di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini.

Sifat 8.1
Diketahui
( )
n
k
n!
P =
n - k !
, dengan n ≥ k.
1) Jika n – k = 1, maka
( )
n
k
n!
P =
n - k !
= n!.
2) Jika k = 1, maka
( )
n
k
n!
P =
n - k !
= n.
( )
n
k
n!
P =
n - k !
= n!.
Bukti:
1) Diketahui
( )
!
!
n
k
n
P
n k
=
−
, dengan n ≥ k, dan n – k = 1 atau n = k + 1. Akibatnya:

( )
!
!
n
k
n
P
n k
=
−
⇔
( ) ( )
! ! !
!
! 1 ! 1!
n
k
n n n
P n
n k k k
= = = =
− + −

∴
( )
!
!
n
k
n
P
n k
=
−
= n!.
2) Diketehui k = 1 dan
( )
!
!
n
k
n
P
n k
=
−
, dengan n ≥ k, maka:

( )
!
!
n
k
n
P
n k
=
−
⇔
( )
( )
( )1
1 !!
1 ! 1 !
n n nn
P n
n n
× −
= = =
− −
3) Kerjakan sebagai latihanmu.

49Matematika
2) Permutasi dengan Unsur-Unsur yang Sama
Masalah-8.5
Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari
huruf-huruf pembentuk kata APA?
Tersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat
2 unsur yang sama; yaitu, huruf A.
Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari
melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, huruf-
huruf yang sama (huruf A) diberi label A1
, dan A2
.
Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah:
A1
PA2
, A2
PA1
, A1
A2
P, A2
A1
P, PA1
A2
, PA2
A1
.
Susunan-susunan tersebut dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu
kelompok memuat permutasi yang sama apabila labelnya dihapuskan.
Misalnya:
Ÿ Kelompok A1
PA2
dan A2
PA1
, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi
APA .
Ÿ Kelompok A1
A2
P, A2
A1
P , jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP.
Ÿ Kelompok PA1
A2
, PA2
A1
, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA.
Dalam tiap-tiap kelompok di atas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan banyak
permutasi dari unsur A1
dan A2
. Sedangkan A1
dan A2
menjadi unsur-unsur yang sama
jika labelnya dihapuskan.
Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat
ditentukan sebagai berikut.
3
2,1
3!
2!.1!
P= = 3 susunan

Masalah-8.6
Pada sebuah upacara pembukaan turnamen olah raga disusun beberapa
bendera klub yang ikut bertanding. Terdapat 3 bendera berwarna putih, 2
bendera berwarna biru, dan 1 bendera berwarna merah. Tentukanlah susunan
bendera yang ditampilkan pada acara upacara pembukaan tersebut!
Dengan analogi yang sama pada Masalah 8.5 diperoleh:
Banyak unsur yang tersedia 6, sedangkan unsur yang sama adalah
1. 3 bendera berwarna putih
2. 2 bendera berwarna biru
dan 1warna merah. Oleh karena itu dapat diperoleh banyak permutasi dari 6 unsur
yang memuat 3 unsur yang sama dan 2 unsur yang sama adalah
6
3,2,1
6!
3!.2!.1!
P = susunan
Dari pembahasan Masalah 8.5 dan 8.6 , dapat kita rumuskan pola secara umum
permutasi n unsur dengan melibatkan sebanyak k1
, k2
, k3
, …, kn
unsur yang sama
adalah sebagai berikut.
Sifat 8.2
Misalkan dari n unsur terdapat k1
, k2
, k3
, …, kn
unsur yang sama dengan k1
+ k2
+ k3
+ …+ kn
≤ n. Banyak permutasi dari unsur tersebut adalah
1 2 3, , ,...,
1 2 3
!
! ! !... !n
n
k k k k
n
n
P
k k k k
=
Contoh 8.4
Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-
huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K?

51Matematika
Tersedia 13 unsur dalam kata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S,
T, I, K. Dari 13 unsur yang tersedia memuat 4 huruf I yang sama, 2 huruf K yang
sama dan 2 huruf T yang sama.
Jika kita partisi banyak huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K adalah
sebagai berikut:
kK
+ kO
+ kG
+ kN
+ kI
+ kT
+ kV
+ kS
= 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 13.
Jadi permutasi yang melibatkan unsur yang sama, dihitung dengan menggunakan
Sifat 8.2, diperoleh:
1 2 3
! 13!
129.729.600 cara.
!. !. !.... ! 2!.1!.1!.1!.4!.2!.1!.1!k
n
k k k k
= =
Sampai sejauh ini, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan susunan unsur baik
yang melibatkan unsur yang sama atau tidak. Pernahkan kamu melihat susunan objek-
unsur dalam suatu meja berputar? Bagaimana menentukan banyak cara menyusun
unsur jika disusun melingkar?
Berikut ini, kita akan pelajari permutasi siklis sebagai cara menentukan banyak cara
menyusun unsur yang tersusun melingkar.
c. Permutasi Siklis
Masalah-8.7
Beny (B), Edo (E), dan Lina (L) berencana makan bersama di sebuah restoran.
Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat
mereka. Selang beberapa waktu Siti datang bergabung dengan mereka.
Berapa banyak cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar
tersebut?
Meskipun dalam keseharian kita tidak mempersoalkan urutan posisi duduk mengitari
suatu meja, tidak ada salahnya kita menyelidiki posisi duduk Beny, Edo, Lina, dan
Siti yang duduk mengitari meja bundar. Adapun posisi duduk yang mungkin keempat
orang tersebut adalah sebagai berikut:

(f)
B E
L
S
B L
E
(d)
S
(e)
B
E
L
S
(c)
B E
L
S
(b)
B
E
L
SB L
E
(a)
S
Gambar 8.3 Susunan posisi tempat duduk
Terdapat 6 cara posisi duduk keempat mengitari meja bundar tersebut.
• Ternyata, pola (n – 1)! Akan menghasilkan banyak cara dengan banyak cara yang
diperoleh dengan cara manual, yaitu (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
Coba temukan susunan posisi duduk Beny, Edo, dan Lina secara manual.
Kemudian bandingkan dengan menggunakan pola (n – 1)!.
Masalah-8.8
Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melakukan
rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, yaitu Fahmi (Jakarta),
Cintha (Surabaya), Trisnawati (Bandung), Novand (Medan), dan Rahmat
(Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang
mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya.
Bantulah staff ahli tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang
bank swasta tersebut
Misalkan kelima kepala cabang tersebut duduk melingkar, seperti diilustrasikan
pada gambar berikut ini.

53Matematika
Posisi kepala cabang sebelum rotasi
F
C
T
NR
J
S
B
MP
F
C
T
RN
J
S
B
MP
Pilihan rotasi 1
F
R
C
TN
J
S
B
MP
Pilihan rotasi 4
F
R
C
TN
J
S
B
MP
Pilihan rotasi 5
F
C
R
TN
J
S
B
MP
Pilihan rotasi 2
F
C
R
NT
J
S
B
MP
Pilihan rotasi 3
Gambar 8.4 Ilustrasi rotasi kepala cabang bank swasta
♦ Menurut kamu, ada berapakah pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut?
Berikan penjelasanmu.
Untuk menentukan banyak cara menyusun unsur dalam posisi melingkar, kita dapat
menguji validitas pola (n – 1)!.
• Jika terdapat 4 unsur, maka banyak susunan adalah (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
Secara umum, jika terdapat n unsur yang disusun melingkar, maka banyak susunan
unsur yang mungkin disebut permutasi siklis, dinyatakan dalam sifat berikut ini.

Sifat 8.3
Misalkan dari n unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi
siklis dari n unsur tersebut dinyatakan:
( )−siklisP = n 1 !
♦ Perhatikan kembali Masalah 8.8, karena alasan keluarga Fahmi dan Trisnawati
hanya mau dirotasi jika mereka berdua ditempatkan di pulau yang sama. Berapa
pilihan rotasi kepala cabang bank swasta yang mungkin? Kerjakan secara mandiri
dan bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu.
1.4 Kombinasi
Cara menyusun unsur dengan memperhatikan urutan telah dikaji pada sub pokok
bahasan permutasi. Selanjutnya, dalam percakapan sehari-hari kita mungkin pernah
mengatakan “kombinasi warna pakaian kamu sangat tepat” atau tim sepakbola
itu merupakan kombinasi pemain-pemain handal”. Apakah kamu memahami arti
kombinasi dalam kalimat itu?
Untuk menjawabnya, mari kita pelajari makna kombinasi melalui memecahkan
masalah-masalah berikut ini.
Masalah-8.9
Hasil seleksi PASKIBRAdi Kabupaten Bantul tahun 2012, panitia harus memilih
3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera dari 5 PASKIBRA yang terlatih, yaitu
Abdul (A), Beny (B), Cyndi (C), Dayu (D), dan Edo (E). 3 PASKIBRA yang
dipilih dianggap memiliki kemampuan sama, sehingga tidak perhatikan lagi
PASKIBRA yang membawa bendera atau penggerek bendera.
Berapa banyak pilihan PASKIBRA yang dimiliki panitia sebagai pengibar
bendera?
Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara manual, sambil memikirkan bagaimana
pola rumusan untuk menyelesaikannya.
Adapun pilihan-pilihan yang mungkin sebagai pengibar bendera adalah sebagai
berikut:
• Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi
• Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu

55Matematika
• Pilihan 3: Abdul, Badu, Edo
• Pilihan 4: Abdul, Cyndi, Dayu
• Pilihan 5: Abdul, Cyndi, Edo
• Pilihan 6: Abdul, Dayu, Edo
• Pilihan 7: Badu, Cyndi, Dayu
• Pilihan 8: Badu, Cyndi, Edo
• Pilihan 9: Badu, Dayu, Edo
• Pilihan 10: Cyndi, Dayu, Edo
Terdapat 10 pilihan PASKIBRA sebagai pengibar bendera.
Dengan menggunakan faktorial, 10 cara yang ditemukan dapat dijabar sebagai
berikut:
10 =
5
3!
3
× atau
( ) ( )
5 4 3 2 1 5!
10
2 1 3 2 1 2!.3!
× × × ×
= =
× × × ×
(#)
♦ Seandainya terdapat 4 PASKIBRA, berapa banyak cara memilih 3 PASKIBRA
sebagai pengibar bendera? Coba kerja dengan cara manual, kemudian coba uji
dengan menggunakan pola (#).
Perlu kita cermati, bahwa susunan kali ini perlu digarisbawahi bahwa pilihan (Abdul,
Badu, Cyndi) sama dengan pilihan (Abdul, Cyndi, Badu) atau (Badu, Abdul, Cyndi)
atau (Badu, Cyndi, Abdul) atau (Cyndi, Abdul, Badu) atau (Cyndi, Badu, Abdul).
♦ Jika pembawa bendera harus PASKIBRA perempuan, berapa banyak pilihan
pengibar bendera yang mungkin? Coba kerjakan secara mandiri.
Masalah-8.10
Pada suatu pusat pelatihan atlit bulu tangkis, terdapat 3 atlit perempuan
dan 4 atlit laki-laki yang sudah memiliki kemampuan yang sama. Untuk
suatu pertandingan akbar, tim pelatih ingin membentuk 1 pasangan ganda
campuran.
Berapa banyak pasangan yang dapat dipilih oleh tim pelatih?

Mari kita selesaikan masalah ini dengan menggunakan cara manual. Untuk memilih
1 pasangan ganda campuran berarti memilih 1 atlit wanita dari 3 atlit wanita dan
memilih 1 atlit laki-laki dari 4 atlit laki-laki.
Misalkan tiga atlit wanita kita beri inisial: AW1
¬, AW2
, AW3
; dan
4 atlit laki-laki kita beri inisial: AL1
¬, AL2
, AL3
, AL4
.
Dengan menggunakan metode diagram, banyak pilihan 1 pasangan ganda campuran
dinyatakan sebagai berikut:
AW1
AL1
AL2
AL3
AL4
AW2
AL1
AL2
AL3
AL4
AW3
AL1
AL2
AL3
AL4
Terdapat 12 pasangan
ganda campuran yang
dapat dipilih.
Gambar 85 Diagram pohon pilihan pasangan ganda campuran
Dengan menggunakan faktorial, mari kita mencoba menentukan jabarkan 12 cara
dengan menerapakan pola (#).
12 = 3 × 4 =
3 4 3! 4!
1! 1!
1 1 1!.2! 1!.3!
       
× × × = ×       
       

57Matematika
Dari pembahasan Masalah 8.9 dan 8.10, memilih k unsur dari n unsur tanpa
memperhatikan urutan unsur yang dipilih disebut kombinasi. Kombinasi k unsur
dari n unsur yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 8.3
Kombinasi k unsur dari n unsur biasa dituliskan
n
kC ; n kC ; C(n, k) atau
 
 
 
n
r
Banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan
urutan susunannya dapat ditentukan dengan:
( )
n
k
n!
C =
n - k !.k!
, dengan n ≥ k, n, k merupakan bilangan asli.
Untuk keseragaman notasi, pada buku ini kita sepakati menggunakan simbol
n
kC
untuk menyatakan kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.
Contoh 8.5
Selidiki hubungan n
kP dengan n
kC .
Pada Definisi 8.2
( )
!
!
n
k
n
P
n k
=
−
. Sedangkan berdasarkan Definisi 8.3
( )
!
!. !
n
k
n
C
n k k
=
−
.
Dari kedua definisi tersebut, dipereoleh hubungan:
!
n
n k
k
P
C
k
= .
♦ Secara hitungan matematis, hubungan n
kP dengan n
kC adalah
!
n
n k
k
P
C
k
= . Jelaskan
arti hubungan tersebut secara deskriptif.
Dari pembahasan komputasi dan Contoh 8.5 di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut
ini.

Sifat 8.4
Diketahui
( )
n
k
n!
C =
n - k !.k!
, dengan n ≥ k.
( )
n
k
n!
C =
n - k !.k!
= n.
2) Jika k = 1, maka
( )
n
k
n!
C =
n - k !.k!
= n.
3) Jika n = k, maka
( )
n
k
n!
C =
n - k !.k!
=1.
4) Jika
( )
n
k
n!
P =
n - k !
, maka
n
n k
k
P
C =
k!
.
Bukti:
1) Diketahui
( )
!
!. !
n
k
n
C
n k k
=
−
, dengan n ≥ k, dan n – k = 1 atau n = k + 1, maka:

( )
!
!. !
n
k
n
C
n k k
=
−
=
( )
( )
( )
( )
1 ! 1 !
1 .
1 !. ! 1 !. !
k k k
k n
k k k k
+ + ×
= = + =
+ −
2) Karena k = 1, dan
( )
!
!. !
n
k
n
C
n k k
=
−
, dengan n ≥ k, maka:

( )
!
!. !
n
k
n
C
n k k
=
− ( )
( )
( ) ( )1
1 !!
.
1 !.1! 1 !. 1 !
n n nn
C n
n n
× −
⇔= = =
− −
3) Kerjakan sebagai latihanmu.
1.5 Binomial Newton
Kamutelahmempelajaritentangkombinasisebagaibagiandariaturanpencacahan.
Dengan menggunakan konsep kombinasi dapat juga kita kembangkan pada bahasan
binomial. Perhatikan perpangkatan berikut ini.

59Matematika

( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
0
1
2
2 2
3 2
2 2
3 2 2 3
1
1 1
1 2 1
1 2 1
1 3 3 1
a b
a b a b
a b a b a b
a ab b
a b a b a b
a b a ab b
a a b ab b
+ =
+ = +
+ = + +
= + +
+ = + +
= + + +
= + + +

( ) ( )( )
( )( )
4 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3 3
1 3 3 1
1 4 6 4 1
a b a b a b
a b a a b ab b
a a b a b ab b
+ = + +
= + + + +
= + + + +
Bagaimana untuk penjabaran pada perpangkatan yang lebih tinggi? Untuk itu
perhatikan langkah berikut. Dengan menggunakan sifat distribusi penjabaran dari
(a + b)4
adalah:
a a a b a b ab b b
a a b a b a b ab
a
×( ) + + + + ×( )
+ + + +
1 4 6 4 1
1 4 6 4
1
4 3 2 2 3 3
5 4 3 2 2 3 4
4
bb a b a b ab b
a a b a b a b ab b
+ + + +
+ + + + +
+4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
Sehingga diperoleh (a + b)5
= 1a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ 1b5
.
Koefisien-koefisien penjabaran di atas jika disusun dalam bentuk diagram dapat
menghasilkan gambar di bawah ini:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Diagram di atas dikenal dengan sebutan segitiga Pascal

Sekarang amati pola segitiga Pascal. Dengan menggunakan konsep kombinasi n
rC
dapat dikaitkan dengan pola segitiga Pascal di atas yakni:
C C C C C C C C C C C
C
C C
0
0
0
1
1
1
0
2
2
2
0
3
3
3
0
4
4
4
0
5
5
5
1
2
1
3
2
3
1
2
= = = = = = = = = = =
=
= = 33
dan seterusnya
sehingga dengan menggunakan konsep kombinasi maka dapat diperoleh pola segitiga
Pascal yang baru, yakni:
Dari uraian di atas maka penjabaran perpangkatan dapat kita tuliskan kembali dalam
bentuk kombinasi yaitu
a b C
a b C a C b
a b C a C ab C b
a b C
+( ) =
+( ) = +
+( ) = + +
+( ) =
0
0
0
1
0
1
1
1
2
0
2 2
1
2
2
2 2
3
00
3 3
1
3 2
2
3 2
3
3 3
4
0
4 4
1
4 3
2
4 2 2
3
4
a C a b C ab C b
a b C a C a b C a b C ab
+ + +
+( ) = + + + 33
4
4 3
5
0
5 5
1
5 4
2
5 3 2
3
5 2 3
4
5 4
5
5 5
+
+( ) = + + + + +
C b
a b C a C a b C a b C a b C ab C b

61Matematika
Dengan pola di atas, dikenal sebagai aturan Binomial Newton (ekspansi binomial)
dan bentuk umum (a + b)n
dituliskan sebagai berikut:
Aturan Binomial Newton
a b C a C a b C ab C b
a b C a
n n n n n
n
n n
n
n n
n
r
n n
+( ) = + + + +
+( ) =
−
−
−
−
0 1
1 1
1
1

atau
rr r
r
n
b
=
∑0
n, r merupakan bilangan asli.
Contoh 8.6
Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
1. (2a – 5)3
=
2. (a + b)5
=
3. (3a + 2b)4
=
4.
5
2
a
a
 
+ = 
 

5. Diketahui binomial
14
1
2a
a
 
+ 
 
. Jabarkanlah 3 suku pertama dan dua suku
terakhir.
6. Tentukanlah koefisien dari pada bentuk binomial
12
2 2
a
a
 
+ 
 
.
1. Dari soal di atas diketahui a = 2a dan b = 5 maka

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5
2 8
3
0
3 3 0
1
3 2 1
2
3 1 2
3
3 0 3
3
a C a C a C a C a
a
−( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
= ( )11 3 4 5 3 2 25 1 1 125
2 5 16 60 150 125
2
3 3 2
+ ( ) + ( ) + ( )
−( ) = + + +
a a
a a a a

2.

a b C a b C a b C a b C a b C a b
C
+( ) = + + + + +− − − −6
0
6 6 0
1
6 6 1 1
2
6 6 2 2
3
6 6 3 3
4
6 6 4 4
5
6
aa b C a b
a a b a b a b a b a b a
6 5 5
6
6 6 6 6
6 5 1 4 4 3 3 2 4 1 5
1 1 6 15 20 15 6 1
− −
+
= + + + + + + 00 6
6 5 4 4 3 3 2 4 6 6
6 15 20 15 6
b
a a b a b a b a b ab b= + + + + + +
3. Cermati ekpansi di bawah ini.

3 2 3 3 3
4
0
4 4 0
1
4 4 1 1
2
4 4 2 2
3
4 4 3 3
a b C a b C a b C a b C a b+( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +
− − −
CC a b
a a b a b a b a b
4
4 4 4 4
4 3 1 2 2 1 3 0 4
1 81 1 4 3 6 3 4 3 1 3
( )
= ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
=
−
881 4 81 6 9 4 3 1
81 324 54 12
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2
a a b a b a b b
a a b a b a
+ ( ) + ( ) + ( ) +
= + + + bb b3 4
+
♦ Sebagai latihan untuk mengasah kemampuan dalam menyelesaikan soal-
soal binomial newton, kerjakan secara mandiri soal nomor 4, 5, dan 6.
Uji Kompetensi 8.1
1. Seorang staff ahli di suatu POLDA mendapat tugas untuk menyusun nomor pada
plat kendaraan roda empat yang terdiri 3 angka dan 4 angka. Staff tersebut hanya
diperbolehkan menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 untuk plat yang terdiri dari 3
angka dan angka 0 sampai 9 untuk plat yang terdiri 4 angka.
a) Berapa cara menyusun plat kendaraan yang terdiri dari 3 angka dan 4 angka?
b) Jika nomor-nomor plat tersebut akan dilengkapi dengan seri yang terdiri dari
dua huruf vokal. Berapa banyak susunan seri plat yang mungkin?
2. Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Rangkailah bilangan yang
terdiri dari 5 angka yang berbeda dengan syarat:
a) Bilangan ganjil
b) Bilangan genap
3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang
berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga
melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang
sama, maka hitunglah banyak cara perjalanan orang tersebut.

63Matematika
4. Tentukan nilai dari:

89 38
86 41
! !
! !
×
×
5. Sederhanakanlah persamaan berikut:
a. n
n
!
!−( )1
b. n
n
+( )2 !
!
c.
n
n
+( )
−( )
1
1
!
!
6. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik
yang segaris?
7. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik
yang segaris?
8. Tentukan banyak susunan pemain yang berbeda dari team bola voli yang terdiri
dari 10 pemain bila salah seorang selalu menjadi kapten dan seorang lain tidak
bisa bermain karena cedera!
9. Berapa banyak cara untuk menempatkan 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan
duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak?
10. Suatu delegasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5
pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh
mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau
anggota termuda dari kalangan pria. Hitunglah banyak cara memilih delegasi
tersebut.
11. Seminar Matematika dihadiri oleh 20 orang. Pada saat bertemu mereka saling
berjabat tangan satu dengan yang lain. Berapakah jabat tangan yang terjadi?
12. Perhatikan gambar berikut.
Jika suatu segitiga dibentuk dengan menggunakan 3 titik. Berapa banyak segitiga
yang dapat dibentuk.
13. Tentukanlah banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf:
a. MATEMATIKA c. TRIGONOMETRI
b. PENDIDIKAN d. MALAKA

11. Jabarkanlah bentuk binomial berikut ini:
a. (2a + 3b)8
c. 2
2
6
a
b
+







b. (4a + 2b)10
d. 2
3
1
3
8
a
b
+






Projek
Rancang suatu permainan yang menggunakan konsep aturan pencacahan.
Sebelum kamu susun laporan projek ini, terlebih dahulu lakukan simulasi
sebagai uji validitas penggunaan konsep.
2. PELUANG
Kamu sudah mempelajari konsep peluang pada Bab 12 Buku Matematika kelas
X. Dengan pengalaman belajar itu, kita akan mengembangkan konsep peluang
dengan memperhatikan banyak cara semua kejadian mungkin terjadi dan banyak
cara suatu kejadian mungkin terjadi. Dengan demikian, pada sub bab ini, kita akan
mendalami bagaimana menentukan banyak anggota ruang sampel kejadian dengan
menggunakan konsep aturan pencacahan.
Mari kita mulai sub bab ini dengan mengkaji ruang sampel suatu kejadian.
2.1 Konsep Ruang Sampel
Masih ingatkah kamu konsep himpunan yang kamu pelajari di kelas VII SMP?
Pada sub bab ini, kita ingin membangun konsep ruang sampel dengan menggunakan
konsep aturan pencacahan melalui konsep himpunan bagian.
Mari kita cermati pembahasan di bawah ini.
Diberikan S = {p, r, s, t} n(S) = 4.
Tentu kamu masih ingat bagaimana cara menentukan himpunan bagian dari S.
Semua himpunan bagian S disajikan di tabel berikut ini.

65Matematika
Tabel 8.2: Himpunan bagian S dengan tidak memperhatikan urutan
Himpunan Bagian Beranggota
43210Kejadian
{p, r, s, t}{p,r,s},
{p,r,t},
{p,s,t}
{r,s,t}
{p,r},
{p,s},
{p,t},
{r,s},
{r,t},
{s,t}
{p},
{r},
{s},
{t}
∅
1614641Total
2n
4
4C4
3C4
2C4
1C4
0C
Perhatikan angka-angka; 1, 4, 6, 4, 1 merupakan koefisien binomial untuk ekspansi
(a + b)4
, yang dapat ditentukan berturut-turut melalui 4
0C , 4
1C , 4
2C , 4
3C , dan 4
4C .
Dari tabel di atas, dapat diartikan bahwa banyak kejadian munculnya 2 anggota
himpunan bagian dari S adalah 4
2C = 6. Banyak semua himpunan bagian dari himpunan
S = 24 = 16. Himpunan kuasa S adalah koleksi semua himpunan bagian S (Ingat kembali
konsep himpunan kuasa seperti yang telah kamu pelajari pada kelas VII SMP). Jadi 16
adalah banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian S.
Selanjutnya Tabel 8.2 akan berubah jika kita memperhatikan urutan anggota.
Kondisi ini disajikan pada tabel berikut ini.
Tabel 8.3: Himpunan bagian S dengan memperhatikan urutan
Himpunan Bagian Beranggota
43210Kejadian
{p, r, s, t},
{p, r, t, s},
{p, s, r, t},
…
{p,r,s},
{p,s,r},
…
{p,r,t},
{p,t,r},
…
{p,s,t},
{p,s,t},
…
{p,r},{r,p}
{p,s},{s,p}
{p,t},{t,p}
{r,s},{s,r}
{r,t},{t,r}
{s,t},{t,s}
{p},
{r},
{s},
{t}
∅
{r,s,t},
{r,t,s},
…
652424641Total
4
4P4
3P4
2P4
1P4
0P

Pada kasus memperhatikan urutan anggota, konsep kombinasi yang digunakan
pada Tabel 8.2 berubah menjadi konsep permutasi. Analog dengan kombinasi,
banyak anggota kejadian munculnya himpunan bagian S beranggota dua (dengan
memperhatikan urutan) adalah 4
2P = 12. Sedangkan 65 merupakan banyak anggota
ruang sampel kejadian semua himpunan bagian dengan memperhatikan urutan
anggotanya.
Tentunya sudah punya gambaran tentang penerapan konsep permutasi atau
kombinasi dalam menentukan banyak kejadian muncul pada suatu percobaan.
Berikut ini seorang ibu memiliki kesempatan memilih, mari kita selidiki apakah
masalah tersebut menggunakan konsep permutasi atau kombinasi.
Masalah-8.11
Pada suatu tempat penitipan anak berusia 3 – 6 tahun menyediakan makanan
dan minimum bergizi yang bervariasi. Bu Sity, karena alasan jam kerja memilih
menitipkan anaknya di tempat penitipan ini. Dari semua variasi makanan
dan minimum, Bu Sity harus memilih 2 jenis buah dari 4 jenis buah yang
disediakan dan memilih 4 makanan dari 6 jenis makanan yang disediakan.
Berapa banyak pilihan yang dimiliki oleh Bu Sity? Diasumsikan setiap anak
makan juga harus makan buah.
Diketahui:
Tersedia 4 jenis buah dan akan dipilih 2 jenis buah.
Tersedia 6 jenis makanan dan akan dipilih 4 jenis makanan.
Setiap si anak makan harus makan bauh.
Ditanya:
Banyak pilihan jenis susu dan jenis makanan.
Untuk kasus ini, misalnya Bu Sity memilih jenis buah 1 (b1
) dan jenis buah 2 (b2
)
sama saja dengan memilih b2
dan b1
. Demikian juga makanan, jika Bu Sity makanan
1 (m1
) dan makanan 3 (m3
) sama saja dengan memilih m3 dan m1(mengapa?).
Dengan demikian kita menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan banyak
pilihan yang dimiliki oleh Bu Sity.

67Matematika
Karena setiap makan anak Bu Sity juga harus makan bauh, maka banyak kombinasi
pilihan makanan dan minuman dinyatakan sebagai berikut:
4 6
2 4 6 15 90C C× = × = pilihan.
♦ Menurut kamu, apa alasannya mengapa kita menggunakan operasi perkalian?
Mengapa bukan operasi penjumlahan? Berikan alasanmu serta berikan contoh
yang menggunakan operasi penjumlahan.
Contoh 8.7
Bu Jein Mumu, seorang guru matematika di Ambon. Suatu ketika dia ingin
memberikan tugas kepada siswa yang sangat rajin dan memiliki daya tangkap di atas
rata-rata teman satu kelasnya. Dia mempersiapkan 15 soal matematika berbentuk
essai. Namun dari 15 soal itu, Bu Mumu hanya meminta si anak mengerjakan 10 soal,
tetapi harus mengerjakan soal nomor 7, 12, dan 15.
Berapa banyak pilihan yang dimiliki anak itu?
Siswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (mengapa) dan untuk
mengetahui banyak cara memilih soal tersebut ditentukan dengan menggunakan
kombinasi (beri alasannya), yaitu:
( ) ( )
12
7
12! 12 11 10 9 8 7!
729
12 7 !.7! 5 4 3 2 1 7!
C
× × × × ×
= = =
− × × × × ×
cara.
Contoh 8.8
Toko perhiasan yang berlokasi pusat perbelanjaan menerima 5 jenis cincin keluaran
terbaru, misalkan C1
, C2
, C3
, C4
, dan C5
. Tidak lama setelah toko itu buka, 4 wanita
berminat mencoba kelima cincin itu. Berapakah banyak cara pemasangan cincin
tersebut?
Untuk menyelesaikan ini, kita menggunakan aturan kaidah pencahahan. Semua
kemungkinan pemasangan cincin dengan keempat wanita tersebut, diilustrasikan
sebagai berikut:

W1
C1
C2
C3
C4
C5
W2
C1
C2
C3
C4
C5
W3
C1
C2
C3
C4
C5
W4
C1
C2
C3
C4
C5
10 cara 10 cara
Gambar 8.6 Diagram pemasangan cincin
Dengan menggunakan permutasi pemasangan cincin ditentukan sebagai berikut:
( ) ( )
5 4
1 1
5! 4!
5 4 20
5 4 ! 4 1 !
P P× = × = × =
− −
cara.
♦ Jelaskan mengapa perhitungan permutasi di atas menggunakan operasi perkalian!
Seandainya setiap dua wanita pertama ingin membeli masing-masing 1 cincin.
Banyak pilihan cincin untuk kedua wanita itu dihitung dengan permutasi, yaitu:
5 4
1 1 5 4 20P P× = × = cara (selidiki dengan menggambarkan skema pencacahan).
Dari pembahasan kajian, masalah-masalah, dan contoh-contoh di atas perlu kita
tarik kesimpulan penggunaan permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak
susunan/cara dalam memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Kesimpulan itu
dinyatakan dalam prinsip berikut ini.
Prinsip-8.1
Misalkan dipilih k unsur dari n unsur (secara acak) yang tersedia, dengan
n ≥ k,
i. Jika ada urutan dalam pemilihan k unsur, maka menentukan banyak cara
pemilihan ditentukan dengan
n
kP .
ii. Jika tidak urutan dalam pemilihan k unsur, maka menentukan banyak
cara pemilihan ditentukan dengan
n
kC .

69Matematika
Contoh 8.9
Dalam sebuah kantong berisi 8 manik putih dan 5 manik merah. Dari kantong itu
diambil 6 buah manik. Berapa banyak pilihan untuk mengambil manik-manik itu,
jika 6 buah manik itu terdiri atas:
a) 5 manik putih dan 1 manik merah?
b) 4 manik merah dan 2 manik putih?
Objek yang akan diambil dari kantong adalah objek yang tidak memperhatikan
urutan. Dengan demikian, menentukan banyak pilihan menggunakan konsep
kombinasi, yaitu:
a) 8 5
5 1
8! 5!
280
3!.5! 4!.1!
C C× = × = cara.
b) 8 5
4 2
8! 5!
700
4!.4! 2!.3!
C C× = × = cara.
2.2 Peluang Kejadian Majemuk
Masih ingatkah kamu konsep peluang yang telah kamu pelajari pada kelas X
SMA? Definisi 12.3 pada buku matematika kelas X menyatakan:
( )
( )
( )
n E
P E
n S
=
Pada kelas X, kamu sudah mempelajari bagaimana menentukan n(E) dan n(S)
untuk kejadian tunggal. Pada Sub bab 2.1 di atas, kita sudah mengkaji bagaimana
menentukan n(E) dan n(S) untuk suatu kejadian majemuk. Sekarang kita akan
mempelajari menentukan peluang suatu kejadian dengan kejadian yang dimaksud
adalah kejadian majemuk.

Mari kita mulai sub bab ini, dengan memecahkan masalah berikut ini.
Masalah-8.12
Dalam sebuah kolam kecil terdapat sebanyak 10 ikan lele dan sebanyak
5 ikan gurame. Dengan menggunakan jaring tangan, akan diambil 12 ikan
secara acak. Hitunglah nilai peluangnya jika yang terambil itu adalah:
a) 10 ikan lele dan 2 ikan gurame,
b) 9 ikan lele dan 3 ikan gurame,
c) 7 ikan lele dan 5 ikan gurame.
Jelas untuk kasus ini, banyak cara memilih 12 ikan dari 15 ikan yang ada dihitung
dengan menggunakan kombinasi, yaitu:
( )
15
12
15! 15 14 13 12!
455
3!.12! 3 2 1 .12!
C
× × ×
= = =
× ×
cara.
Artinya banyak anggota ruang sampel memilih 12 ikan dari 15 ikan adalah 455.
a) Banyak cara memilih 10 ikan lele dari 10 ikan lele dan memilih 2 ikan gurame
dari 5 ikan gurame, dihitung menggunakan konsep kombinasi, yaitu:

10 5
10 2C C× =1 × 10 = 10 cara.
Artinya banyak kejadian terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah 10
cara.
Jadi, peluang terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah:
( )
( )
( )
n E
P E
n S
= ⇔
10 2
455 91
=
♦ Bagian b) dan c) kerjakan sebagai latihanmu.

71Matematika
Uji Kompetensi 8.2
1. Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang sama tetapi berbeda warna. 5 bola
berwarna merah, 3 bola berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Seorang
anak mengambil 3 bola secara acak dari kotak. Tentukanlah:
a) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut.
b) Banyak cara pengambilan ketiga bola dengan dua bola berwarna sama.
c) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut dengan banyak bola
berwarna merah selalu lebih banyak daripada banyak bola berwarna lainnya.
d) Banyak cara pengambilan ketiga bola jika bola berwarna kuning paling
sedikit terambil 2.
2. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan dengan angka yang berbeda.
Tentukanlah:
a) Banyak bilangan yang dapat dibentuk.
b) Banyak bilangan ribuan yang lebih besar atau sama dengan 4000.
c) Banyak bilangan ratusan dengan angka ratusan adalah bilangan prima.
d) Jika x adalah bilangan ratusan yang dapat dibentuk dari angka di atas, maka
tentukan banyaknya bilangan ratusan yang memenuhi 250 < x < 750.
e) Banyak bilangan ratusan dengan angka di posisi puluhan selalu lebih dari
angka di posisi satuan.
3. Tentukan banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata:
a) ATURAN
b) INDONESIA
c) KURIKULUM
d) STATISTIKA
4. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata PERMUTASI
dengan selalu mengandung unsur kata TAMU.
5. Sepuluh buku yaitu: 6 buku IPA, 2 buku IPS, dan 2 buku Bahasa akan disusun di
atas meja. Tentukanlah:
a) Banyak susunan jika disusun berjajar.
b) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku yang sejenis bidang ilmu
berdekatan.
c) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku IPAselalu berada di pinggir.

d) Banyak susunan jika disusun secara siklis.
e) Banyak susunan jika disusun secara siklis dengan buku yang sejenis bidang
ilmu berdekatan.
6. Bayu pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki
5 pintu masuk/keluar maka tentukan banyak cara Bayu memilih masuk ke stadion
dengan dan keluar melalui pintu yang berbeda.
7. Dua orang pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion
memiliki 6 pintu masuk/keluar maka:
a. Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk
melalui pintu yang sama tetapi keluar dengan pintu yang berbeda.
b. Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk
melalui pintu yang sama tetapi mereka keluar dengan pintu yang berbeda
dan tidak melalui pintu di saat mereka masuk.
8. Didalam sebuah kotak terdapat 12 bola yang sama dan berbeda warna, yaitu 6
bola berwarna Merah, 4 bola berwarna Biru, dan 2 berwarna hijau. Jika, seorang
anak mengambil 3 bola secara acak maka tentukan:
a. Peluang pengambilan ketiga bola tersebut
b. Peluang terambil 2 bola berwarna merah
c. Peluang terambil ketiga bola berbeda warna
d. Peluang terambil banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak dari bola
lainnya.
e. Peluang terambil banyak bola berwana merah selalu lebih banyak dari
banyak bola berwarna biru dan banyak bola berwarna berwarna biru lebih
banyak dari bola berwarna hijau.
9. Di dalam kandang terdapat 40 ekor ayam, yaitu 18 ekor ayam jantan, 6 diantaranya
berbulu tidak hitam dan 21 ekor ayam berwarna hitam. Ibu memilih 2 ekor ayam
untuk dipotong, maka tentukanlah peluang bahwa ayam yang terpilih untuk
dipotong adalah ayam betina berbulu tidak hitam.
10. Siti menyusun bilangan ratusan dari angka 0, 1, 2, 3, dan 5. Siti menuliskan setiap
bilangan di kertas dan menggulungnya dan mengumpulkannya di dalam sebuak
kotak. Siti meminta Udin mengambil sebuah gulungan secara acak. Tentukanlah:
a. Peluang yang terambil adalah bilangan 123.
b. Peluang yang terambil adalah bilangan ganjil
c. Peluang yang terambil adalah bilangan dengan angka di posisi satuan adalah
bilangan prima.
d. Peluang yang terambil adalah bilangan diantara 123 dan 321

73Matematika
11. Dua puluh lima titik disusun membentuk pola bilangan persegi (5 5), seperi
gambar
Jika dibentuk segitiga dengan menghubungkan tiga titik maka tentukan
banyak segitiga yang dapat dibentuk.
12. Didalamkelasterdapat10siswa(6priadan4wanita)sebagaicalonpengurusOSIS,
yaitu ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan peluang terpilih kepengurusan
dengan:
a. Kepengurusan tidak mempunyai persyaratan atau mereka semua berhak
menduduki salah satu posisi.
b. Ketua dan sekretaris harus pria
c. Ketua, sekretaris harus pria dan bendahara harus seorang wanita
d. Ketua harus seorang pria.
13. Tunjukkan bahwa 0 1 2 3 ... 2n n n n n n
nC C C C C+ + + + + = dengan n bilangan bulat
positif.
14. Jika n
kP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan
n
kC adalah kombinasi k unsur
dari n unsur maka 5
3 22n
nC +
+ = maka tentukan nilai
3
5
n
nP −
−
15. Jika n
kP adalah permutasi k unsur dari n unsur dan n
kC adalah kombinasi k unsur
dari n unsur maka tentukan harga n yang memenuhi 1
2 3 3 2
n n n n
n n n nP P P C+
− − − −− − =

D. PENUTUP
Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep aturan pencacahan, beberapa
hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.
1. Aturan pencacahan merupakan metode untuk menentukan banyak cara/susunan/
pilihan pada saat memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Aturan pencacahan
ini meliputi perkalian berurut (faktorial), permutasi, dan kombinasi.
2. Faktorial dinyatakan dengan n! = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × ... × 3 × 2 × 1.
3. Permutasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dalam satu urutan.
Terdapat tiga jenis unsur permutasi yakni 1. Permutasi dengan unsur-unsur yang
berbeda, 2. Permutasi dengan unsur-unsur yang sama, dan 3. Permutasi siklis.
Secara umum banyak permutasi dinyatakan dengan:
( )
!
,dengan .
!
n
k
n
P n k
n k
= ≥
−
4. Kombinasi adalah susunan k unsur dari n unsur tersedia dengan tanpa
memperhatikan urutannya, dinyatakan dengan
( )
!
,dengan .
! !
n
k
n
C n k
n k k
= ≥
−
5. Untuk kejadian majemuk, banyak anggota ruang sampel n(S) suatu kejadian
merupakan banyak cara/susunan suatu kejadian majemuk tersebut. Sedangkan
banyak anggota kejadian n(E) merupakan kombinasi atau permutasi suatu
kejadian pada kejadian majemuk.
6. Peluang suatu kejadian majemuk (E) dirumuskan: ( )
( )
( )
n E
P E
n S
= .
Dengan memiliki sikap, pengetahuan, dan keterampilan akan aturan pecacahan
dapat kamu aplikasikan mengatasi masalah dunia nyata. Untuk selanjutnya, konsep
dasar aturan pencacahan ini akan membantu kamu memahami konsep peluang
majemuk dan matematika diskrit. Selanjutnya kita akan membahas materi lingkaran,
tentunya pengalaman belajar yang kita peroleh pada Bab VIII ini harus membantu
cara berpikir kita memecahkan masalah.

Setelah mengikuti pembelajaran lingkaran siswa
mampu:
1. Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran
dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran
dengan menggu-nakan metode koordinat.
2. Mendeskripsikan konsep dan Kurva lingkaran
dengan titik pusat tertentu dan menurunkan
persamaan umum lingkaran dengan metode
koordinat.
3. Mengolah informasi dari suatu masalah nyata,
mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat
lingkaran yang melalui suatu titik tertentu,
membuat model Matematika berupa persamaan
lingkaran dan menyelesaikan masalah tersebut.
4. Merancang dan mengajukan masalah
nyata terkait garis singgung lingkaran serta
menyelesaikannya dengan melakukan
manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai
konsep lingkaran.
Melalui proses pembelajaran lingkaran, siswa
memiliki pengalaman belajar sebagai berikut.
• menemukan konsep persamaan lingkaran
berpusat di (0, 0) dan (a, b) melalui pemecahan
masalah otentik;
• menemukan persamaan garis singgung yang
melalui suatu titik pada lingkaran;
• Menemukan persamaan garis singgung yang
gradiennya diketahui;
• berkolaborasi memecahkan masalah aktual
dengan pola interaksi sosial kultur dalam
menentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran dengan menggunakan diskriminan;
• berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif)
dalam menyelidiki dan mengaplikasikan
konsep lingkaran dalam memecahkan masalah
otentik.
LINGKARAN
• Persamaan lingkaran
• Persamaan garis
singgung lingkaran
• Kedudukan garis pada
lingkaran
• Kedudukan titik pada
lingkaran
• Diskriminan
Bab
9

B. PETA KONSEP
Masalah
Otentik
Lingkaran
Melalui
sebuah titik
di luar
lingkaran
Pusat di
(a, b)
jari-jari r
Gradien mGradien m
Melalui (x, y)
pada
lingkaran
Melalui (x, y)
pada
lingkaran
Pusat di
(0, 0)
jari-jari r
Pusat di
(0, 0)
jari-jari r
Pusat di
(a, b)
jari-jari r
Bentuk
Umum
Persamaan
Lingkaran
Tempat Kedudukan
Titik pada Lingkaran
Persamaan Garis
Singgung
Lingkaran

77Matematika
1. Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu
dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian
masalah kehidupan sehari-hari.
Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang pada
akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.
Masalah-9.1
Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus
sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material
yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama dua hari lalu.
Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun
memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari
puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus
bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah
kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus
mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)
Gambar 9.1: Peta Kabupaten Karo

Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari) sepanjang 3 km dari
titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar
dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat
tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena
berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang,
dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan
Payung.
Definisi 9.1
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak
sama terhadap sebuah titik tertentu
Masalah-9.2
Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat
cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan jari-jarinya r = 3.
Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik S(x, y) pada
lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!
Alternatif penyelesaian
jarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat
ditentukan dengan rumus:
PS x y= −( ) + −( )0 0
2 2
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS
= r, maka
r x y
x y r
= −( ) + −( ) ⇔
−( ) + −( ) =
0 0
0 0
2 2
2 2
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
Gambar 9.2: Lingkaran pusat P(0, 0) dan
jari-jari r = 3

79Matematika
(x – 0)2
+ (y – 0)2
= r2
⇔ x2
+ y2
= r2
Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh
x2
+ y2
= 32
⇔ x2
+ y2
= 9
Sifat 9.1
Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2
+
y2
= r2
Atau dengan kata lain
Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x,
y) | x2
+ y2
= r2
}
Contoh 9.1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai
berikut:
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3
adalah x2
+ y2
= 32
⇔ x2
+ y2
= 9
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4
adalah x2
+ y2
= 42
⇔ x2
+ y2
= 16
c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 5
adalah x2
+ y2
= 52
⇔ x2
+ y2
= 25
d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 6
adalah x2
+ y2
= 62
⇔ x2
+ y2
= 36
Masalah-9.3
Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius
dan gunung Sinabung berpusat di P(a, b) dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah
satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan
lingkaran tersebut!

Alternatif Penyelesaian:
Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b)
adalah PS x a y b= −( ) + −( )
2 2
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah
r dan PS = r, maka
r x a y b
x a y b r
= −( ) + −( ) ⇔
−( ) + −( ) =
2 2
2 2
Dikuadratkan kedua ruas maka
diperoleh (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh
(x – a)2
+ (y – b)2
= 32
⇔ (x – a)2
+ (y – b)2
= 9
Sifat 9.2
Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x –
a)2
+ (y – b)2
= r2
Atau dengan kata lain
Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) maka L {(x,
y) | (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
}
Contoh 9.2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2.
Gambar 9.3: Lingkaran pusat P(a, b) dilalui titik S(x, y)

81Matematika
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
a= 2; b = 2; c = 2
⇔ (x – 2)2
+ (y – 2)2
= 22
⇔ (x – 2)2
+ (y – 2)2
= 4
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2,
2) dan berjari-jari r = 2 adalah (x – 2)2
+ (y –
2)2
= 4
Contoh 9.3
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut!
a. (x – 2)2
+ (y + 2)2
= 4
b. (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 9
c. (x + 2)2
+ (y – 2)2
= 16
d. (x + 2)2
+ y 2
= 16
a. (x – 2)2
+ (y + 2)2
= 4
⇔ (x – 2)2
+ (y + 2)2
= 22
a = 2; b = –2; r = 2
lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2
b. (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 9
⇔ (x + 2)2
+ (y + 2)2
= 32
a = –2; b = –2; r = 3
Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3
Gambar 9.4 : Lingkaran pusat (2, 2)
dan r = 2

c. (x + 2)2
+ (y – 2)2
= 16
⇔ (x + 2)2
+ (y – 2)2
= 42
a = –2; b = 2; r = 4
Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4
d. (x + 2)2
+ y2
= 16
⇔ (x + 2)2
+ y2
= 16
a = –2; b = 0; r = 4
Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 0) dan berjari-jari 4
2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran
yaitu :
a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r persamaannya adalah
x2
+ y2
= r2
b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r persamaannya adalah
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung
diketahuititikpusatlingkarandanpanjangjari-jarinya.Persamaantersebutdinamakan
bentuk baku persamaan lingkaran.
Kegiatan 9.1
Jabarkanlah persamaan (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
.
Untuk menyelesaikan persoalan di atas, maka kamu harus mengingat kembali tentang
operasi bentuk aljabar yang telah kamu pelajari sebelumnya.
Contoh 9.4
Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan a2
+ b2
– r2
= C dengan –a = A; –b =
B, tentukanlah nilai r.

83Matematika
Karena a2
+ b2
– r2
= C dan –a = A; –b = B, maka r2
= A2
+ B2
– C2
⇔ r A B C= ± + −2 2
Contoh 9.5
Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah
persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran!
x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0
⇔ x2
+ y2
+ 2Ax + 2By = –C
⇔ (x2
+ 2Ax + A2
)– A2
+ (y2
+ 2By + B2
)– B2
= –C
⇔ (x+ A)2
+ (y+ B)2
= A2
+ B2
= –C
⇔ (x+ A)2
+ (y+ B)2
= A B C2 2
2
+ −( )
Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.2 diperoleh bahwa persamaan
(x + A)2
+ (y + B)2
= A B C2 2
2
+ −( ) adalah persamaan lingkaran yang berpusat di
titik P(–A, –B) dan berjari-jari r A B C= + −2 2
Sifat 9.3
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0
dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari r A B C= + −2 2
dengan A, B, C bilangan real dan A2
+ B2
≥ C
Pertanyaan Kritis
1. Berdasarkan Fakta 9.1 diperoleh bahwa r A B C= + −2 2
. Bagaimana jika A2
+
B2
= 0? Apa yang kamu peroleh?
2. Mengapa C2
≤ A2
+ B2

Contoh 9.6
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan
x2
+ y3
+ 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius!
x2
+ y3
+ 10x – 8y + 25 = 0
A = –5; B = 4, dan C = 25
Titik Pusat (–5, 4)
Jari-jari lingkaran
r A B C= + −2 2
r = −( ) + − =5 4 25 4
2 2
Latihan 9.1
Tentukanlah persamaan-persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan
lingkaran.
a. x – y = 16
b. x2
+ 4y2
+ 8x – 6 – 16y = 25
c. x2
+ y2
+ 6x – 8y + 21 = 0
d. x2
– y2
+ 8x – 2y + 100 = 0
Latihan 9.2
Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang terletak pada titik
(3, 3), desa sukameriah terletak pada titik (–1, 2), dan desa Kutatonggal terletak pada
titik (2, –1) yang terkena dalam radius daerah yang penduduknya harus mengungsi.
Tentukanlah letak gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!
Gambar 9.5 : Lingkaran x2
+ y3
+ 10x –
8y + 25 = 0

85Matematika
Gambar 9.6 Lingkaran dilalui titik (3, 3), (-1, 2), (2, -1)
Uji Kompetensi 9.1
1. Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan melalui titik
berikut.
a. (1, 2) c. (0, 1)
b. (3, 2) d. (4, 0)
2. Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-
jari sebagai berikut.
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
3. Tulislah dan gambarkan pada bidang koordinat Kartesius persamaan lingkaran
yang
a. Pusat di titik P(1, 2) dan panjang jari-jari 1
b. Pusat di titik P( –1, 2) dan panjang jari-jari 2
c. Pusat di titik P(1, –2) dan panjang jari-jari 3
d. Pusat di titik P(–1, –2) dan panjang jari-jari 4

4. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut.
a. x2
+ y2
= 5 e. x2
+ y2
– 4x –2y – 31 = 0
b. x2
+ y2
– 4 = 5 f. 4x2
+ 4y2
+ 8x – 4y – 10 = 0
c. (x – 1)2
+ (y + 2)2
= 30 g. (x – p)2
+ (y – q)2
= 25
d. x2
+ (y – 4)2
= 15 h. 2x2
+ 2y2
– 8x + 6y = 20
5. Tulis dan gambarkanlah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut.
a. Titik A(–4 , 7), B(–1, 7), dan C(0, 5)
b. Titik A(–2, 7), B(2, 7), dan C(0, 4)
c. Titik A(0, 6), B(0, 3), dan C(–4, 3)
d. Titik A(–2, 1), B(1, 1), dan C(–1, –1)
6. Tentukan pusat lingkaran x2
+ y2
+ 4x – 6y – 13 = 0.
7. Tentukan pusat lingkaran 3x2
+ 3y2
– 4x + 6y – 12 = 0.
8. Nyatakanlah persamaan lingkaran-lingkaran berikut ini ke dalam bentuk umum
a. Pusat (1, 2), dan jari-jari 1
b. Pusat (–3, –4), dan jari-jari 2
c. Pusat
1
2
1
2
, −





 , dan jari-jari 3
d. Pusat 1
1
2
1
3
,





 , dan jari-jari
1
2
9. Carilah pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.
a. x2
+ (y – 2)2
= 1
b. (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 4
c. x2
+ y2
+ 2x – 4y = –3
d. x2
+ y2
+ 2x – 4y + 1 = 0
e. x2
+ y2
– 4y + 1 = 0
f. x2
+ y2
– 4y + 3 = 0
10. Titik A(–2, a) terletak di dalam lingkaran x2
+ y2
+ 4x – 8y – 5 = 0?

87Matematika
3. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Masalah-9.4
Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika disajikan letak
beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung
berada pada titik P(0, 0) dan berjari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik
desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa
Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari-
jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?
Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x2
+ y2
= 25
Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)
Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran x2
+ y2
= 25 kemudian periksa
apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan
apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)
Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x2
+ y2
= 25 kemudian periksa
apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan
apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Bekerah dengan titik
(2, –1)
Substitusikan titik (2, –1) pada
persamaan lingkaran x2
+ y2
=
25 kemudian periksa apakah
titik tersebut terletak di dalam
lingkaran atau di luar lingkaran lalu
simpulkan apakah desa tersebut
perlu mengungsi atau tidak.
Alternatif penyelesaian lainnya
adalah dengan menggambar
titik-titik letak desa di koordinat
kartesius.
Gambar 9.7 Lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5

Definisi 9.2
1. Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan
berjari-jari r jika v2
+ w2
< r2
.
2. Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-
jari r jika v2
+ w2
= r2
.
3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-
jari r jika v2
+ w2
> r2
.
Masalah-9.5
Misalkan Gambar 9.8 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan
menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5
satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan
desa bekerah berdasarkan gambar di samping. Apakah penduduk desa-desa
tersebut perlu mengungsi?
Gambar 9.8 : Lingkaran dengan Pusat P(3, 2) dan r = 5
Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2
+
(y – 2)2
= 25
Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)
Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3)2
+ (y – 2)2
= 25 kemudian
periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu
simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.

89Matematika
Untuk desa Simacem dengan titik (6, 3)
+ (y – 2)2
= 25 kemudian
Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)
+ (y – 2)2
= 25 kemudian
Definisi 9.3
1. Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan
berjari-jari r jika (v – a)2
+ (w– b)2
< r2
.
2. Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-
jari r jika (v – a)2
+ (w– b)2
= r2
.
3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-
jari r jika (v – a)2
+ (w– b)2
> r2
.
Contoh 9.7
Apakah titik-titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2
+ y2
– 8x
+ 6y + 20 = 0 ?
a. Q(–1, –1) c. S(0, 5)
b. R(2, –3) d. T(–4, 0)
Persamaan lingkaran x2
+ y2
– 8x + 6y
+ 20 = 0 diubah menjadi bentuk baku
persamaan kuadrat menjadi (x – 4)2
+ (y
+ 3)2
= 5
a. Q(–1, –1) disubstitusikan ke
persamaan (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5
diperoleh
(–1 – 4)2
+ (–1 + 3)2
= (–5)2
+ 22
= 29
> 5
Titik Q(–1, –1) berada di luar
lingkaran (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5
Gambar 9.9 : Titik-titik yang terletak di luar, di dalam,
atau pada lingkaran x2
+ y2
– 8x + 6y + 20 = 0

b. R(2, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5 diperoleh
(2 – 4)2
+ (–3 + 3)2
= (–2)2
+ 0 = 4 < 5
Titik R(2, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5
c. S(4, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5 diperoleh
(4 – 4)2
+ (–3 + 3)2
= 0 + 0 = 0 < 5
Titik S(4, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5
d. T(2, –4) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5 diperoleh
(2 – 4)2
+ (–4 + 3)2
= (–2)2
+ (–1)2
= 4 + 1 = 5 = 5
Titik T(2, –4) berada pada lingkaran (x – 4)2
+ (y + 3)2
= 5
Pertanyaan Kritis
Mengapa (pada contoh 9.7) untuk menentukan suatu titik terletak di luar, di dalam,
atau pada lingkaran, persamaan lingkaran harus kita ubah ke bentuk baku persamaan
lingkaran?
4. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Masalah-9.6
Perhatikan gambar berikut ini
Gambar 9.10 : Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Gambar 9.10 merupakan kedudukan garis terhadap lingkaran. Berdasarkan gambar
di atas, buatlah pendapatmu mengenai gambar tersebut!
Gambar 9.10 (i) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah
lingkaran di dua titik yang berlainan.

91Matematika
Gambar 9.10 (ii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah
lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran.
Gambar 9.10 (iii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang tidak memotong
sebuah lingkaran.
Contoh 9.8
Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2
+ y2
= 9, selesaikanlah sistem
persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.
Alternatif Penyelesaian :
2x + y = 2 ................................................................................................................(1)
x2
+ y2
= 9 ................................................................................................................(2)
digambarkan pada bidang Kartesius
akan diperoleh seperti gambar 9.11.
Berdasarkan persamaan (1) dan (2)
diperoleh:
x2
+ y2
= 5
⇔ x2
+ (2 – 2x)2
= 5
⇔ x2
+ 4 – 8x + 4x2
= 5
⇔ 5x2
– 8x – 1 = 0
Sehingga selesaian dari sistem
persamaan linear-kuadrat tersebut
adalah 5x2
– 8x – 1 = 0, dengan nilai
diskriminan D = b2
– 4ac = (–8)2
–
4(5)(–1) = 64 + 20 = 84
Contoh 9.9
Diberikan sebuah garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2
+ y2
= 5, selesaikanlah sistem
Gambar 9.11: garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2
+ y2
= 9

2x + y = 5 ...............................................................................................................(1)
x2
+ y2
= 5 ...............................................................................................................(2)
Digambarkan pada bidang kartesius
diperoleh:
x2
+ y2
= 5
⇔ x2
+ (–2x + 5)2
= 5
⇔ x2
+ 4x2
– 20x + 25 – 5 = 0
⇔ 5x2
+ 20x2
+ 20 = 0
⇔ x2
+ 4x + 4 = 0
Sehingga selesaian dari sistem
persamaan linear-kuadrat tersebut
adalah x2
+ 4x + 4 = 0 dengan nilai
diskriminan D = b2
– 4ac = (4)2
– 4(1)
(4) = 16 – 16 = 0
Contoh 9.10
Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x2
+ y2
= 5 , selesaikan-lah sistem
–x + y = 3 .......................................(1)
x2
+ y2
= 5.......................................(2)
Digambarkan pada bidang kartesius
diperoleh:
x2
+ y2
= 5
⇔ x2
+ (3 + x)2
= 5
⇔ x2
+ 9 + 6x + x2
= 5
Gambar 9.12 : garis 2x + y = 5 dan
lingkaran x2
+ y2
= 5
Gambar 9.13 garis –x + y = 3 dan lingkaran x2
+ y2
= 5

93Matematika
⇔ 2x2
+ 6x + 4 = 0
⇔ x2
+ 3x + 2 = 0
Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2
+ 3x + 2
dengan nilai diksriminan
Latihan 9.3
Diketahui sebuah garis x + y = 2 dan sebuah
lingkaran x2
+ y2
= 9 seperti yang disajikan pada
gambar 9.14, kemudian tentukan persamaan
kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran,
kemudian tentukan nilai diskriminannya.
Latihan 9.4
Diketahui sebuah garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2
+ y2
= 9 seperti yang disajikan
pada gambar 9.15, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan
lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.
Gambar 9.15 garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2
+ y2
= 9
Gambar 9.14 garis x + y = 2 dan sebuah
lingkaran x2
+ y2
= 9

Latihan 9.5
Diketahui sebuah garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2
+ y2
= 9 seperti yang
disajikan pada gambar 9.16, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara
garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.
Gambar 9.16 garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2
+ y2
= 9
Latihan 9.6
Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.1, 9.2, dan 9.3 syarat apa yang harus dipenuhi
agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, garis menyinggung
lingkaran, dan garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran?
Sifat 9.4
Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan
x2
+ y2
= r2
Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D
= (1 + a2
)r2
– b2
, yaitu:
(1) D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
(2) D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran
(3) D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

95Matematika
5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
a. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran
berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r
Masalah-9.7
Beberapa anak berkumpul dan sedang bermain. Di tangan mereka terdapat
beberapa tutup botol plastik yang dijadikan permainan ibarat kelereng. Tutup
botol dibuat berdiri, lalu bagian atasnya ditekan dengan telunjuk agar tutup botol
itu meluncur ke depan. Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang
melaju kencang itu.
Gambar 9.17 Tutup Botol terletak di lantai
Dari gambar 9.17 di atas jelas terlihat bahwa lantai yang dilalui tutup botol selalu
menyinggung di titik A(x1
, y1
). Garis di lantai yang dilalui tutup botol dapat disebut
garis singgung dan titik yang bersinggungan antara tutup botol dan lantai disebut titik
singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1
, y1
) tegak lurus
dengan lantai. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (0, 0). Berdasarkan
keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut!
Misalnya titik A(x1
, y1
) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari-jari r yaitu, x2
+ y2
= r2
. Asumsikan x1
≠ 0 dan y1
≠ 0 Gradien garis PA adalah
mop
=
y
x
1
1
, garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien garis g adalah
m
m y
x
x
y
g
OP
= − = − = −
1 1
1
1
1
1
. Akibatnya, persamaan garis singgung g adalah
y – y1
= mg
(x – x1
)

⇔ y y
x
y
x x− = − −( )1
1
1
1
⇔ (y – y1
)y1
= –x1
(x – x1
)
⇔ yy1
– y1
2
= –xx1
2
⇔ xx1
– yy1
2
= x1
2
+ y1
2
Karena A(x1
, y1
) terletak pada lingkaran
x2
+ y2
= r2
, maka diperoleh x1
2
y1
2
r. Jadi,
persamaan garis singgung lingkaran yang
berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari r
yang melalui titik A(x1
, y1
) pada lingkaran x2
+ y2
= r adalah x1
x + y1
y = r2

Sifat 9.5
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2
+ y2
= r2
adalah x1
x + y1
y = r2

Contoh 9.11
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat
P(0,0) dan berjari-jari 3!
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah x2
+ y2
= 9
Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 9 yang melalui titik (2, 0) adalah
x1
x + y1
y = r2
⇔ xx1
+ yy1
= 9
⇔ x(2) + y(0)= 9
⇔ 2x – 9 = 0
Gambar 9.18 : Lingkaran Pusat (0, 0)
dan jari-jari r

97Matematika
Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah
2x – 9 = 0
b. PersamaanGarisSinggungmelaluiSuatuTitikpadaLingkaranberpusat
P (a, b) dan berjari-jari r
Masalah-9.8
Gambar 9.19 : Yoyo menyinggung dinding
Seorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang
lain. Mainan Yoyo tersebut dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan
dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya anak-anak tersebut
melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok.
Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu
menyinggung di titik A(x1
, y1
). Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat disebut
garis singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik
singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1
, y1
) tegak lurus
dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (a, b). Berdasarkan
keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut!
Misalkan titik A(x1
, y1
) terletak pada lingkaran(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
. Perhatikan
gambar 9.20.
Gradien garis PA adalah m
y b
x a
PA =
−
−
1
1
.

Garis singgung g tegak lurus garis PA,
sehingga gradien garis singgung g adalah
m
m
x a
y b
g
PA
= − = −
−
−
1 1
1
Persamaan garis singgung g adalah
y – y1
mg
(x – x1
)
⇔ y y
x a
y b
x x− = −
−
−
−( )1
1
1
1
⇔ (y – y1
)(y1 – b) = – (x1
– a)(x – x1
)
⇔ yy1
– yb – y1
2
+ y1
b = –(x1
x – x1
2
– ax + ax1
)
⇔ yy1
– yb – y1
2
+ yb = –x1
x + x1
2
+ ax – ax1
⇔ xx1
– xa + x1
a + yy1
– yb + y1
b = x1
2
– y1
2
Karena A(x1
, y1
) terletak pada lingkaran (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
, maka diperoleh
(x1
– a)2
+ (y1
– b)2
= r2
⇔ x1
2
– 2x1
a + a2
+ y1
2
– 2y1
b + b2
= r2
⇔ x1
2
+ y1
2
= r2
+ 2x1
– a2
+ a2
+ 2y1
b – b2
Substitusikan x1
2
+ y1
2
= r2
+ 2x1
– a2
+ a2
+ 2y1
b – b2
ke persamaan garis singgung di
atas, diperoleh
xx1
– xa + x1
a + yy1
– yb + y1
b = r2
+ 2x1
a – a2
+ 21
yb – b2
⇔ (xx1
– xa + x1
a + a2
) + (yy1
– yb + y1
b + b2
) = r2
⇔ (x – a)(x1
– a)+ (y – b)(y1
– b) = r2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-
jari r yang melalui titik A(x1
, y1
) pada lingkaran (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
adalah
(x – a)(x1
– a) + (y – b)(y1
– b) = r2
Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik A(x1
, y1
)

99Matematika
Sifat 9.6
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1
, y1
) pada lingkaran (x – a)2
+ (y –
b)2
= r2
adalah (x – a)(x1
– q) + (y1
– b) = r2
Contoh 9.12
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan
persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 5.
Persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 5 yang melalui titik (2, 4)
adalah
(x – a)(x1
– a) + (y – b)(y1
– b) = r2
⇔ (x – 1)(x1
– 1) + (y – 2)(y1
– 2) = 5
⇔ (x – 1)(2 – 1) + (y – 2)(4 –2) = 5
⇔ (x – 1)1 + (y – 2)2 = 5
⇔ x – 1 + 2y – 4 = 5
⇔ x + 2y = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 5 adalah
x + 2y = 0
Latihan 9.7
1. Misalkan titik A(x1
, y1
) terletak pada lingkaran x2
+ y2
+ ax + by + c = 0.Tentukanlah
persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
+ ax + by + c = 0 yang melalui
titik A(x1
, y1
)!
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
+ 10x – 12y + 25 = 0 di titik
a. (5, 12)
b. (1, 6)
c. (–5, 0)

c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar
Lingkaran
Masalah-9.9
Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda.
Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur (seperti pada gambar),
lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar
tutup botol itu meluncur ke depan.
Gambar 9.21 Dua buah tutup botol
Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu.
Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan
mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah
satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan
A(x1
, y1
) adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi
tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g1
dan
g2
tersebut!
Misalkan titik A(x1
, y1
) terletak di luar
lingkaran. Terdapat dua garis singgung
lingkaran yang melalui titik A(x1
, y1
) dan
digambarkan sebagai berikut.
Langkah-langkah untuk menentukan
persamaan garis singgungnya adalah sebagai
berikut:
1. Misalkan gradien garis singgung yang
melalui titik A(x1
, y1
) adalah m sehingga
diperoleh persamaan.
Gambar 9.22 : Dua Buah garis yang
menyinggung Lingkaran

101Matematika
y – y1
= m(x – x1
)
⇔ y – y1
= mx – mx1
⇔ y = mx – mx1
+ y1
2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1
+ y1
ke dalam persamaan lingkaran,
sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai
diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut.
3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran
akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai
m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx1
+ y1
sehingga diperoleh
persamaan-persamaan garis singgung tersebut.
Contoh 9.13
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-
jari 5 yang melalui titik (7, 1).
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2
+ y2
= 25 sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan
ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 > 25
Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalah
x2
+ y2
= 25
Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki persamaan
y = mx – mx1
+ y1
⇒ y = mx –7m + 1
Substitusikan nilai y = mx –7m + 1 ke persamaan lingkaran x2
+ y2
= 25 diperoleh
x2
+ (mx – 7m + 1)2
= 25
⇔ x2
+ m2
x2
– 49m2
+ 1 – 14m2
x + 2m – 14m = 25
⇔ (1 + m2
)x2
+ (2m – 14m2
)x + (–49m2
– 14m – 24) = 0

Selanjutnya ditentukan nilai diskriminan D = b2
– 4ac
D = (2m – 14 m2
)2
– 4(1 + m2
)(49m2
– 14m – 24)
= 4m2
– 56m3
+ 196m4
– 4(49m2
– 14m – 24 + 49m4
– 14m3
– 24m2
)
= 4m2
– 56mm3
+ 1196m4
– 196m2
+ 56m + 96 – 196m4
+ 56m3
+
96m2
= 4m2
+ 96m2
– 196m2
+ 56m + 96
= –96m2
+ 56m + 96
Syarat D = 0
–96m2
+ 56m + 96 = 0
⇔ 96m2
– 56m – 96 = 0
⇔ 12m2
– 7m – 12 = 0
⇔ (4m + 3)(3m – 4) = 0
⇔ m = −
3
4
atau m =
4
3
Sehingga diperoleh persamaan garis singgung
3x – 4y – 25 = 0 atau 4x – 3y – 25 = 0
Latihan 9.8
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 yang melalui titik (0, 2).
Uji Kompetensi 9.2
1. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 25.
2. Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x2
+ y2
= r?
3. Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik
(0, 0) dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x2
+ y2
– 6x + 2y + 5
= 0!
4. Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 0 dan membagi
lingkaran x2
+ y2
+ 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama!
5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
– 4x + 6y – 12 = 0
melalui titik (6, –6)!

103Matematika
6. Jika lingkaran x2
+ y2
– 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai
a!
7. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung
sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran
terhadap gaaris y = – x !
8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 4 bergradien 1!
9. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 yang melalui titik
(–3, –4)!
10. Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 8 di titik A pada kuadran pertama!
11. Tentukanlah nilai k, jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran x2
+ y2
+ 2x – 5y – 12 = 0!
12. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 25!
13. Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x2
+ y2
– 2x – 4y
+ 2 = 0 tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0!

D. PENUTUP
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Lingkaran,
disajikan sebagai berikut:
1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama
terhadap titik tertentu.
2. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikut
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah
x2
+ y2
+ r2
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
c. Bentuk Umum persamaan lingkaran yang memiliki jari-jari r dengan
r A B C= + −2 2
dan A, B, C bilangan real adalah x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0
3. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran ada tiga yaitu di dalam lingkaran, pada
lingkaran, dan di luar lingkaran.
4. Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan
x2
+ y2
+ r2
sehingga membentuk sistem persamaan linear-kuadrat. Persamaan
garis singgung lingkaran dapat ditentukan dengan menentukan persamaan garis
y = mx – mx1
+ y1
yang bergradien m dengan syarat diskriminan pada selesaian
sistem persamaan linear-kuadrat sama dengan nol kemudian mensubstitusikan
nilai m ke persamaan y = mx – mx1
+ y1

Setelah mengikuti pembelajaran transformasi
siswa mampu:
menerapkan stra-tegi menyelesaikan masalah.
2. Menganalisis sifat-sifat transformasi
geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi
dan rotasi) dengan pendekatan koordinat
dan menerapkannya dalam menyelesaikan
masalah.
3. Menyajikan objek kontekstual, menganalisis
informasi terkait sifat-sifat objek dan
m e n e r a p k a n a t u r a n t r a n s f o r m a s i
geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan
rotasi) dalam memecahkan masalah.
Melalui proses pembelajaran transformasi, siswa
memiliki pengalaman belajar sebagai berikut.
• Terlatih berpikir kritis dan berpikir kreatif.
• Menemukan ilmu pengetahuan dari
pemecahan masalah nyata
• Mengajak untuk melakukan penelitian dasar
dalam membangun konsep.
• Dilatih bekerjasama dalam tim untuk
menemukan solusi permasalahan.
• Dilatih mengajukan ide-ide secara bebas dan
terbuka
• Merasakan manfaat matematika dalam
kehidupan sehari-hari.
TRANSFORMASI
• Translasi
• Refleksi
• Rotasi
• Dilatasi
Bab
10

B. PETA KONSEP
Bangun
Datar
Sistem Koordinat
Hasil Transformasi
Sifat-Sifat
TRANSFORMASI
Translasi
(Pergeseran)
Refleksi
(Pencerminan)
Rotasi
(Perputaran)
Dilatasi
(Perkalian)
MASALAH
OTENTIK
MATERI
PRASYARAT

107Matematika
Kamu masih ingat pelajaran transformasi di kelas VII, bukan? Nah, kita akan
melanjutkan pelajaran transformasi tersebut ke bentuk analitik atau dengan
pendekatan koordinat. Sebagai langkah awal, kita akan mengingat kembali
sifat-sifat transformasi dengan menggunakan media atau obyek nyata dalam
kehidupan sehari-hari dan objek (titik, bidang dan kurva) dalam bidang koordinat
kartesius. Menemukan kembali konsep transformasi translasi (pergeseran), refleksi
(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian) dengan pendekatan
koordinat.
1. Memahami dan Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)
Untuk mengingat kembali sifat-sifat translasi, kita akan mencoba mengamati dan
mempelajari serta mengambil kesimpulan terhadap pergeseran beberapa benda.
1.1 Menemukan Sifat-Sifat Translasi
Masalah-10.1
Coba kamu perhatikan dan amati bentuk dan ukuran setiap benda yang
bergerak (bergeser) atau berpindah tempat yang ada di sekitarmu. Sebagai
contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, orang yang sedang berjalan
ataupun berlari, bola yang memantul ataupun menggelinding, dan lain-lain.
Menurutmu, apakah bentuk objek tersebut berubah? atau apakah ukuran
objek tersebut berubah oleh karena perpindahan tersebut? Tentu tidak,
bukan? Jika demikian, pada sistem koordinat Kartesius, apakah kurva
berubah bentuk dan ukuran bila digeser? Perhatikan pergeseran objek (titik,
bidang dan kurva) pada sistem koordinat kartesius berikut.
Gambar 10.1 Pergeseran titik, bidang dan kurva pada bidang koordinat Kartesius

Secara analitik, titik, bidang dan kurva (garis) pada gambar di atas tidak
mengalami perubahan bentuk dan ukuran oleh pergeseran, bukan? Tetapi letak
mereka pasti berubah; artinya, koordinat benda setelah mengalami pergeseran akan
berubah dari koordinat semula. Dengan demikan, kita akan mempelajari lebih lanjut
tentang koordinat pergeseran suatu titik pada sistem koordinat. Berikut adalah sifat-
sifat pergeseran atau translasi.
Sifat 10.1
Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan
ukuran.
Sifat 10.2
Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.
1.2 Menganalisis Konsep Translasi
Masalah-10.2
Empat orang anak dan seorang guru olahraga sedang berlatih mengover bola
voli di lapangan olahraga. Mereka membuat formasi sebagai berikut: Keempat
anak berdiri di empat penjuru (utara, selatan, timur, dan barat) sedangkan
guru mereka berdiri sebagai pusat penjuru. Tiap-tiap anak berjarak 4 meter
ke guru olah raga mereka. Aturan latihan sebagai berikut:
1. Guru mengirim bola ke anak yang di utara dan anak tersebut akan
mengirimnya kembali ke gurunya, kemudian
2. Guru langsung mengirim bola ke anak yang di timur dan anak tersebut
akan mengirim kembali ke gurunya,
3. Demikian seterusnya, bola selalu dikirim ke gurunya, dan guru mengirim
bola secara siklis dari utara ke timur, ke selatan, ke barat dan kembali ke
utara.
Permasalahan:
1. Dapatkah kamu gambarkan formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka
sesuai permasalahan di atas?
2. Seandainya mereka dianggap sebagai titik, dapatkah kamu kembali
menggambarkan formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius? Anggap guru
olah raga tersebut adalah titik pusat O(0, 0).

109Matematika
3. SeandainyaposisigurudianggapsebagaititikP(1,3),dapatkahkamumenggambar
kembali formasi mereka di koordinat Kartesius?
4. Jika guru olah raga mengintruksikan kepada siswa untuk bebas mengover bola
ke teman-temannya maka dapatkah kamu temukan pola pergeseran bola voli
tersebut? Coba kamu amati, teliti dengan baik hubungan koordinat Kartesius pada
setiap titik. Dapatkah kamu temukan konsep pergeseran?
Alternatif Penyelesaian.
1. Gambar formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka pada latihan
mengirim bola boli sesuai permasalahan di atas adalah sebagai berikut:
Gambar 10.2: Formasi guru dan siswa dalam latihan bola voli
2. Formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius. Anggap guru olah raga
tersebut adalah titik pusat O(0, 0).
Gambar 10.3 Formasi 4 orang siswa dan 1 orang guru pada koordinat kartesius

3. Coba kamu gambarkan formasi mereka dalam bidang koordinat kartesius dengan
posisi guru olah raga tersebut adalah titik pusat P(1, 3).
Langkah 1. Letakkanlah titik P(1, 3) di koordinat kartesius.
Langkah 2. Buatlah garis berarah di empat penjuru (utara, timur, selatan, dan
barat) dengan titik P adalah titik pusatnya.
Langkah 3. Bergeraklah 4 satuan ke masing-masing penjuru dan letakkanlah
sebuah titik serta berilah nama titik A, B, C atau D.
Langkah 4. Tentukanlah koordinat titik A, B, C dan D tersebut.
4. Perhatikan tabel berikut.
Tabel 10.1 Posisi keempat siswa dalam bidang koordinat Kartesius dan
hubungannya.
Dari/ke
Siswa 1
A(0, 4)
Siswa 2
B(4, 0)
Siswa 3
C(0, -4)
Siswa 4
D(-4, 0)
Siswa 1
A(0,4)
0
4
0
4
0
0





 =





 +






4
0
0
4
4
4





 =





 +
−






0
4
0
4
0
8−





 =





 +
−





 . . .
Siswa 2
B(4,0)
. . .
4
0
4
0
0
0





 =





 +





 . . . . . .
Siswa 3
C(0,-4)
. . .
4
0
0
4
4
4





 =
−





 +
−






0
4
0
4
0
0−





 =
−





 +





 . . .
Siswa 4
D(-4,0)
. . . . . . . . .
−




 =
−




 +






4
0
4
0
0
0
Coba kamu isi sel yang masih kosong pada tabel di atas. Secara umum dapat kita
lihat bahwa: jika titik A(x, y) ditranslasi oleh T(a, b), koordinat hasil translasinya
adalah A'(x + a, y + b). Perhatikan definisi berikut.
Definisi 10.1
Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real,
Translasi titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser
ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y + b), secara notasi ditulis:
A
x
y
A
x a
y b
T
a
b




  →
+
+












'
Mari kita pelajari beberapa soal berikut yang diselesaikan dengan definisi di atas.

111Matematika
Contoh 10.1
Sebuah titik A(10, -8) ditranlasikan berturut-turut dengan T1
(–1, 2) dilanjutkan
T2
(1,–12) kemudian dilanjutkan lagi dengan T3
(–5, –6) dan tentukan koordinat titik
banyangan A tersebut setelah ditranslasikan.
Alternatif Penyelesaian-1
Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan:
A A
x
y
A
T T10
8
1 2
1
2
1
12
−





  →





  →
−





−






'
'
'
''
xx
y
A
x
y
T"
"
'''
'''
'''





  →






−
−





3
5
6
Dengan demikian, proses translasi dapat dilakukan secara bertahap (3 tahap)
Tahap 1.
A A
x
y
T10
8
1
1
2
−





  →






−





'
'
'
x
y
'
'





 =
−




 +
−





 =
− +
−





 =
−






1
2
10
8
1 10
2 8
9
6
Jadi, koordinat bayangan pada tahap 1 adalah A'(9,–6).
Tahap 2.
A
x
y
A
x
y
T
'
'
'
''
"
"





  →






−





2
1
12
x
y
''
''





 =
−





 +
−





 =
+
− −





 =
−



1
12
9
6
1 9
12 6
10
18

Jadi, koordinat bayangan pada tahap 2 adalah A''(10, –18).
Tahap 3.
A
x
y
A
x
y
T
''
"
"
'''
'''
'''





  →






−
−





3
5
6

x
y
'''
'''





 =
−
−





 +
−





 =
− +
− −





 =
−
5
6
10
18
5 10
6 18
5
244






Jadi, koordinat bayangan pada tahap 3 adalah A'''(5, –24). Dengan demikian,
bayangan titik A(10, −8) setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T1
(–1, 2), T2
(1,
–12), dilanjutkan dengan T3
(–5, –6) adalah A'''(5, –24).
Permasalahan translasi di atas, dapat juga kita proses secara langsung atau tidak
bertahap sebagai berikut:
A A
x
y
A
T T10
8
1 2
1
2
1
12
−





  →





  →
−





−






'
'
'
''
xx
y
A
x
y
T"
"
'''
'''
'''





  →






−
−





3
5
6
x
y
'''
'''





 =
−
−





 +
−





 +
−




 +
−





 =
5
6
1
12
1
2
10
8
−− + − +
− − + −





 =
−






5 1 1 10
6 12 2 8
5
24
Dengan demikian, bayangan titik A(10, −8) setelah ditranlasikan berturut-turut
dengan T1
(–1, 2), T2
(1, –12) dilanjutkan dengan T2
(–5, –6) adalah A'''(5, –24).
Permasalahan di atas, dapat kita selesaikan secara geometri atau dengan menggambar
pada bidang koordinat Kartesius.
Gambar 10.4 Pergeseran bertahap sebuah titik

113Matematika
Contoh 10.2
Sebuah garis g dengan persamaan y = mx, ditranslasikan dengan T(x1
, y1
) sehingga
terbentuk garis g’. Jika garis g’ melalui titik A(x2
, y2
) maka tentukanlah nilai m.
A
x
y
A
x
y
T
x
y




  →












1
1
'
'
'
x
y
x
y
x
y
x x
y y
'
'





 =





 +





 =
+
+






1
1
1
1
Diperoleh x' = x1
+ x atau x = x' – x1
serta y = y' − y1
atau y' = y1
− y sehingga
dengan mensubstitusi ke persamaan garis g diperoleh garis g’ dengan persamaan:
y = mx ⇒ y' – y1
= m(x – x1
)
Karenagarisg’melaluititikA(x2
, y2
) makay2
–y1
=m(x2
–x1
)sehingga m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
2. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)
2.1 Menemukan Sifat-Sifat Refleksi
Pada saat kamu berdiri di depan cermin (cermin datar), kemudian kamu berjalan
mendekati cermin dan mundur menjauhi cermin, bagaimana dengan gerakan
bayanganmu? Tentu saja bayanganmu mengikuti gerakanmu bukan? Bagaimana
dengan jarak dirimu dan bayanganmu dengan cermin? Jarak dirimu dengan cermin
sama dengan jarak bayanganmu dengan cermin. Mari kita lihat dan amati bentuk,
ukuran dan posisi suatu objek bila dicerminkan pada sistem koordinat. Perhatikan
gambar berikut.

Gambar 10.5 Pencerminan titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat Kartesius.3
Pada sistem koordinat kartesius di atas, objek (titik, bidang, kurva lingkaran)
mempunyai bayangan dengan bentuk dan ukuran yang sama tetapi letak berubah bila
dicerminkan (dengan garis). Perhatikan sifat- sifat pencerminan berikut.
Sifat 10.3
Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran.
Sifat 10.4
Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak
bayangan dengan cermin tersebut.
Kerja kelompok.
Perhatikan gambar berikut. Jika garis 1 dan garis 2 adalah cermin maka berdasarkan
sifat pencerminan, gambarkanlah bayangan kurva 1 dan kurva 2!

115Matematika
Garis 1
Garis 2
kurva
Gambar 10.6 Pencerminan kurva oleh cermin garis 1 dan garis 2
2.2 Menganalisis Konsep Refleksi
Berdasarkan sifat pencerminan (pada cermin datar), jarak objek dengan cermin
sama dengan jarak bayangan objek tersebut ke cermin. Secara analitik, konsep dapat
kita temukan dengan melakukan beberapa percobaan. Objek yang digunakan adalah
titik pada koordinat kartesius dan garis sebagai cermin. Dengan demikian, kamu
diminta mengamati perubahan koordinat titik menjadi bayangan titik oleh cermin.
Tentu garis sebagai cermin yang kita kaji adalah garis lurus. Ingatlah kembali (atau
pelajari kembali) buku Matematika di kelas VII pada pokok bahasan Transformasi.
Menemukan konsep pencerminan terhadap titik asal O(0,0)
Coba amati gambar berikut!
y
x
Gambar 10.7 Pencerminan terhadap titik asal koordinat

Setiap pasangan titik dan banyangan pada gambar mendefinisikan garis melalui
titik asal O(0,0). Jarak setiap titik ke titik asal sama dengan jarak banyangan titik
tersebut ke titik asal. Sebagai contoh, titik A berpasangan dengan titik B dan jarak
A ke O sama dengan jarak B ke O. Dengan demikian, titik O adalah sebuah cermin.
Tabel 10.2 Koordinat titik objek dan bayangannya oleh pencerminan terhadap titik O
Koordinat objek
Koordinat
bayangan
A (3, 3) B (-3, -3)
C (-3, 3) D (3, -3)
E (-3, 3) F (-1, -4)
G (-2, 5) H (2, -5)
I (-6, 1) J (6, -1)
Berdasarkan pengamatanmu terhadap koordinat objek dengan koordinat bayangan
dari setiap titik pada tabel di atas, dapatkah kamu ambil pola hubungan setiap
pasangan titik tersebut? Jika koordinat objek adalah titik A(a, b) maka koordinat
bayangan adalah A’(-a, -b). Ingat konsep matriks! Koordinat A(a, b) dapat dituliskan
dengan
a
b
a
b





 =












1 0
0 1
Perhatikan definisi berikut.
Definisi 10.2
Pencerminan terhadap titik asal (0,0)
Jika titik P(a, b) dicerminkan terhadap/ke titik asal (0, 0) maka bayangannya
adalah P’(-a, -b).
Dituliskan, A
a
b
A
a
b
CO





  →
−
−






( , )
'0 0
dengan
−




 =
−
−












a
b
a
b
1 0
0 1

117Matematika
Dengan demikian pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks
CO( , )0 0
1 0
0 1
=
−
−





 .
Menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu x (atau y = 0)
Perhatikan pencerminan beberapa titik berikut terhadap sumbu x!
y
x
Gambar 10.8 Pencerminan titik terhadap sumbu x
Mari kita sajikan setiap pasangan titik pada tabel berikut.
Tabel 10.3 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan
terhadap sumbu x
Objek A(1, 1) C(3, 2) E(6, 4) G(-2,3) I(-5, 2) K(-7, 1)
Bayangan B(1, -1) D(3, -2) F(6, -4) H(-2,-3) J(-5, -2) L(-7, -1)
Secara umum, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu x (garis dengan persamaan
y = 0) akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b').
Perhatikan gambar berikut.

Gambar 10.9 Pencerminan terhadap sumbu x
Jika kamu amati gambar di atas, dengan menentukan koordinat bayangan dari
setiap objek yang dicerminkan terhadap sumbu x maka nilai absis tetap tetapi nilai
ordinat berubah yaitu: jika koordinat objek adalah A(a, b) maka koordinat bayangan
adalah A’(a, ˗b). Ingat konsep matriks bahwa koordinat A(a, -b) dapat dituliskan
dengan .
a
b
a
b−





 =
−












1 0
0 1
Perubahan koordinat bayangan tersebut dapat diformulasikan pada konsep sebagai
berikut:
Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0)
Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y = 0) maka bayangannya
adalah A’(a,-b). Dituliskan,
A
a
b
A
a
b
Csumbu x





  →
−





'
dengan
a
b
a
b−





 =
−












1 0
0 1
Dengan demikian pencerminan terhadap sumbu x ditunjukkan dengan matriks .
Csumbu x =
−






1 0
0 1

119Matematika
Menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = h
Misalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu x atau garis dengan persamaan y
= h akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b').
Perhatikan gambar berikut!
Gambar 10.10 Pencerminan terhadap garis y = h
Kerja Kelompok
Perhatikan gambar di atas! Berikan komentar anda, mengapa koordinat bayangan
A'(a, 2h – b) jika objek A(a, b) dicerminkan ter-hadap garis y = k. Untuk menjawabnya,
kamu harus menggunakan sifat pencerminan, yaitu AC sama dengan A’C.
Menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu y (atau x = 0)
Perhatikan pencerminan titik terhadap sumbu y atau garis x = 0 berikut.
Gambar 10.11 Pencerminan titik terhadap sumbu y

Perhatikan tabel berikut
Tabel 10.4 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap sumbu y
Objek A(-1, 1) C(-3, -2) E(-2, 3) G(-4, 4) I(-5, -3) K(-8, -4)
Bayangan B(1, 1) D(3, -2) F(2, 3) H(4, 4) J(5, -3) L(8, -4)
Misalkan titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu y atau garis dengan persamaan
x = 0 akan menghasilkan koordinat bayangan A'(a', b').
Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0)
Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu
y (garis x = 0) maka bayangannya adalah A’(-a, b).
Dituliskan, A
a
b
A
a
b
Csumbu y




  →
−





−





1 0
0 1
'

dengan
−




 =
−











a
b
a
b
1 0
0 1`
Tugas Kelompok
Coba kamu temukan konsep pencerminan dengan garis x = k
Menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = k
Masalah-10.3
Kamu pernah berbelanja sepatu di sebuah toko, bukan? Jika kita memilih
sepatu dan mencobanya, maka toko tersebut menyediakan sebuah cermin yang
membuat kita bisa melihat sepatu yang sedang kita pakai, bukan. Cermin tersebut
adalah cermin datar namun diletakkan miring terhadap objek yang dicerminkan.
Seandainya, permasalahan ini, kita bawakan ke pendekatan koordinat dengan
memisalkan kembali bahwa objek yang dicerminkan adalah sebuah titik pada
koordinat kartesius dengan cermin tersebut adalah sebuah garis, maka dapatkah
kamu temukan hubungan koordinat objek dengan koordinat bayangannya?
Ingat, kamu harus memegang sifat pencerminan bahwa jarak objek ke cermin
sama dengan jarak bayangan ke cermin. Mari kita kaji konsep pencerminan
pada garis y = x dan y = –x.
Coba kamu amati pencerminan titik A(1, 2), B(2, -3), C(-2, 3), D(-4, -2), dan E(1, -4)
terhadap garis y = x berikut.

121Matematika
Gambar 10.12 Pencerminan beberapa titik terhadap garis y = x
Tabel 10.5 Koordinat titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap
garis y = x
Koordinat objek
Koordinat
bayangan
A (1, 2) A (2, 1)
B (2, -3) B (-3, 2)
C (-2, 3) C (3, -2)
D (-4, -2) D (-2, -4)
E (1, -4) E (-4, 1)
Secara umum, jika titik A(a, b) dicerminkan dengan garis maka koordinat
bayangannya adalah A’(b, a).
Gambar 10.13 Pencerminan terhadap garis y = x

Dapatkah kamu melihat hubungan koordinat objek dengan koordinat
bayangannya. Perhatikanlah, jika titik A(a, b) dicerminkan dengan garis maka
koordinat bayangannya adalah A’(b, a). Ingat pada matriks bahwa koordinat A(b, a)
dapat dituliskan dengan b
a
a
b





 =












0 1
1 0
.
Perhatikan konsep berikut.
Pencerminan terhadap garis y = x
Jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis y = x) maka bayangannya adalah
A’(b, a). Dituliskan, A
a
b
A
b
a
Cy x





  →






=
' dengan
b
a
a
b





 =












0 1
1 0
Dengan demikian pencerminan terhadap garis y = x ditunjukkan dengan matriks
C xy= =






0 1
1 0
.
Tugas Kelompok
Coba kamu tunjukkan bahwa pencerminan terhadap garis y = – x diwakili dengan
matriks C xy=− =
−
−






0 1
1 0
.
Dengan demikian, matriks pencerminan dapat disajikan seperti berikut ini.
Matriks pencerminan terhadap
1. Titik O(0,0)
−
−






1 0
0 1
4. Garis y = x
0 1
1 0






2. Sumbu x
1 0
0 1−





 5. Garis y = –x
0 1
1 0
−
−






3. Sumbu y
−





1 0
0 1

123Matematika
Contoh 10.3
Tentukan bayangan titik A(1, -2) dan B(-3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x.
Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan:
A A
x
y
Csumbu x1
2
1 0
0 1
−





  →






−






'
'
'
x
y
'
'





 =
−





 −





 =






1 0
0 1
1
2
1
2
Jadi bayangan titik A(1, -2) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah A’(1, 2).
B B
x
y
Csumbu x−




  →






−





3
5
1 0
0 1
'
'
'
x
y
'
'





 =
−






−




 =
−
−






1 0
0 1
3
5
3
5
Jadi bayangan titik A(-3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x adalah A’(-3, -5).
Contoh 10.4
Sebuah titik P(10, 5) dicerminkan terhadap sumbu y kemudian dilanjutkan
dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik tersebut.
P P
x
y
C Csumbu y y x10
5
1 0
0 1
0 1
1 0
−





  →






−






=
'
'
'





 →





P
x
y
''
''
''

Permasalahan ini dapat diselesaikan secara bertahap, sebagai berikut:
Tahap 1.
P P
x
y
Csumbu y10
5
1 0
0 1
−





  →






−





'
'
'
x
y
'
'





 =
−




 −





 =
−
−






1 0
0 1
10
5
10
5
Jadi, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y adalah P’(-10,
-5). Bayangan ini akan dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x pada tahap 2,
sebagai berikut:
Tahap 2.
P
x
y
P
x
y
Cy x
'
'
'
''
''
''





  →






=






0 1
1 0
x
y
''
''





 =






−
−





 =
−
−






0 1
1 0
10
5
5
10
Jadi, bayangan titik P'(-10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y = x adalah
P"(-5, -10).
Dengan demikian, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y,
dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P"(-5, -10).
Permasalahan di atas, dapat juga diselesaikan secara langsung sebagai berikut:
P P
x
y
C Csumbu y y x10
5
1 0
0 1
0 1
1 0
−





  →






−






=
'
'
'





 →





P
x
y
''
''
''
x
y
''
''





 =






−




 −





 =
−






0 1
1 0
1 0
0 1
10
5
0 1
1 0
10
−−





 =
−
−





5
5
10
Dengan demikian, bayangan titik P(10, -5) setelah dicerminkan terhadap sumbu y,
dilanjutkan terhadap garis y = x adalah P’’(-5, -10).

125Matematika
Contoh 10.5
Sebuah lingkaran dengan persamaan x2
+ y2
– 2x + 2y – 3 = 0 dicermin-kan terhadap
garis y = –x. Tentukan persamaan bayangan lingkaran yang terjadi.
Misalkan titik P(x, y) dilalui oleh lingkaran tersebut atau terletak pada kurva lingkaran
sehingga permasalahan di atas dapat dinotasikan sebagai berikut:
P
x
y
P
x
y
C y x




  →






=−
−
−






0 1
1 0
'
'
'
x
y
x
y
y
x
'
'





 =
−
−











 =
−
−






0 1
1 0
Diperolehx'=–yatauy=–x'sertay'=–xataux=–y'sehinggadenganmensubstitusikan
ke persamaan lingkaran maka diperoleh bayangan lingkaran dengan persamaan:
( ) ( ) ( ) ( )− + − − − + − − =y x y x2 2
2 2 3 0 ⇔ y x y x2 2
2 2 3 0+ + − − = .
Dengan demikian, bayangan lingkaran: x2
+ y2
– 2x + 2y – 3 = 0 setelah dicerminkan
terhadap garis y = –x adalah y2
+ x2
+ 2y – 2x – 3 = 0.
Uji Kompetensi 10.1
1. Tunjukkanlah secara gambar pergeseran dari beberapa titik berikut! Asumsikan
arah ke kanan adalah arah sumbu x positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu
y positif.
a. Titik A(2, –3) bila digeser 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah.
b. Titik A(–3, 4) bila digeser 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas.
c. Titik A(1, 2) bila digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas dilanjutkan
dengan pergeseran 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.
d. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila digeser
3 satuan ke kiri dan 6 satuan ke bawah. Tentukanlah luas segitiga dan
bayangannya.

2. Tentukanlah persamaan kurva oleh translasi T berikut, kemudian tunjukkanlah
sketsa pergeseran kurva tersebut. Asumsikan arah ke kanan adalah arah sumbu x
positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu y positif.
a. Garis lurus 2x – 3y + 4 = 0 digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah.
b. Parabola y = x2
– 2x – 8 ditranslasikan oleh T(–3, 9).
c. Lingkaran x2
+ y2
– 2x – 2y – 23 = 0 ditranslasikan dengan P(a, b) di mana P(a,
b) adalah koordinat lingkaran tersebut.
3. Titik A(-2, 1) ditranslasikan berturut-turut dengan translasi 





+
−
=
2
12
n
n
Tn untuk n
∈ N. Tentukan posisi titik pada translasi ke-2013.
4. Tunjukkanlah secara gambar pencerminan dari beberapa titik berikut!
a. Titik A(2, –3)bila dicerminkan terhadap sumbu x.
b. Titik A(–3, 4) bila dicerminkan terhadap garis x = 5.
c. Titik A(1, 2) bila bila dicerminkan dengan garis y = x dilanjutkan terhadap
garis y = –2.
d. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila dicerminkan
dengan sumbu x. Tentukanlah luas segitiga dan bayangannya.
5. TentukanlahpersamaankurvaolehpencerminanCberikut,kemudiantunjukkanlah
sketsa pencerminan kurva tersebut.
a. Garis lurus 2x – 3y + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x.
b. Garis lurus x + 2y + 3 = 0 dicerminkan terhadap garis y = –x.
c. Parabola y = –x2
– 2x – 8 dicerminkan terhadap garis x = 1.
d. Parabola y = x2
+ x – 6 dicerminkan terhadap garis y = 1.
e. Lingkaran x2
+ y2
– 2x – 2y – 23 = 0 dicerminkan terhadap 4 cermin yaitu
dengan garis y = –4, dengan garis y = 6, dengan garis y = –1, dan terhadap
garis x = 6.
6. Tunjukkan dan berilah tanda “v” pada tabel di bawah ini, pencerminan yang
mungkin ada pada setiap kurva berikut.
No. Pers. Kurva
Pencerminan terhadap
Titik
O(0, 0)
Sumbu
x
Sumbu
y
y = x y = -x
1 Lingkaran
x2
+ y2
= r2
, r > 0

127Matematika
No. Pers. Kurva
Pencerminan terhadap
Titik
O(0, 0)
Sumbu
x
Sumbu
y
y = x y = -x
2 Parabola y = x2
3 Parabola x = y2
4 Kurva y = x3
5 Kurva y = |x|
6 Kurva y = cos x
7 Kurva y = sin2013
x
3. Memahami dan Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)
3.1 Menemukan Sifat-Sifat Rotasi
Coba kamu perhatikan benda-benda yang berputar di sekelilingmu. Contohnya,
jarum jam dinding, kincir angin, dan lain-lain. Menurutmu apakah bentuk dan ukuran
benda tersebut berubah oleh perputaran tersebut? Tentu tidak, bukan. Bagaimana
dengan objek yang diputar pada sistem koordinat, apakah bentuk dan ukurannya
berubah juga? Perhatikan gambar berikut!
Gambar 10.14 Rotasi titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat Kartesius
Coba kamu amati perputaran objek (titik, bidang dan kurva) pada sistem koordinat
di atas. Titik, bidang dan kurva bila diputar tidak berubah bentuk dan ukuran tetapi
mengalami perubahan posisi atau letak. Jadi, bentuk dan ukuran objek tidak berubah
karena rotasi tersebut tetapi posisinya berubah. Perhatikan sifat-sifat rotasi berikut.

Sifat 10.5
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Sifat 10.6
Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
Tugas kelompok.
Putarlah kurva berikut sebesar 2700
searah putaran jarum jam dengan pusat O (0,0).
Tunjukkanlah bahwa rotasi kurva tersebut memenuhi sifat-sifat rotasi.
Gambar 10.15 Kurva yang akan dirotasikan sebesar 270o
dengan pusat O(0,0)
3.2 Menemukan Konsep Rotasi
Percobaan 10.1
Bahan.
Selembar kertas karton
Selembar bidang berbentuk persegi panjang (beri nama bidang ABCD)
Sebuah pensil (atau alat tulis lainnya)
Sebuah paku payung
Sebuah lidi
Lem secukupnya

129Matematika
Percobaan 1.
Letakkanlah bidang ABCD di atas kertas karton. Lukislah garis di atas kertas karton
tersebut mengikuti keliling bidang ABCD dan berilah nama di kertas karton tersebut
mengikuti nama bidang ABCD tersebut.Tusuklah dengan paku payung di pusat bidang
ABCD menembus bidang di bawahnya. Putarlah bidang ABCD sesuai keinginanmu.
Percobaan 2.
Tusuklah dengan paku payung di salah satu titik sudut bidang ABCD menembus
bidang di bawahnya. Putarlah bidang ABCD sesuai keinginanmu.
Percobaan 3.
Rekatlah salah satu ujung sebuah lidi pada bidang ABCD, kemudian peganglah lidi di
ujung yang lain. Putarlah lidi tersebut sesuai keinginanmu.
Dari percobaan 1, 2, dan 3, kesimpulan apa yang dapat kamu berikan. Mari
kaji lebih lanjut percobaan ini. Misalkan percobaan 1, 2, dan 3 ditunjukkan dengan
gambar dibawah ini.
Perhatikan beberapa gambar berikut.
a b c
Gambar 10.16 Sebidang kertas dirotasi dengan pusat rotasi yang berbeda
Berdasarkan gambar di atas, letak sebuah titik atau bidang setelah rotasi dipengaruhi
oleh titik pusat rotasinya. Dengan demikian, mari kita temukan konsep rotasi sebuah
titik dengan menampilkan percobaan tersebut ke dalam koordinat kartesius. Kamu
diharapkan aktif dalam mengamati rotasi titik di pokok bahasan ini.
Rotasi pada Pusat O(0, 0)
Mari kita amati beberapa contoh rotasi titik dengan pusat O(0, 0) sebagai berikut.

Contoh 10.6
Rotasi titik sebesar 900
dengan pusat O(0, 0)
Gambar 10.17 Rotasi 900
beberapa titik pada bidang koordinat Kartesius
dengan pusat O(0,0)
Rotasi titik pada gambar di atas disajikan pada tabel berikut.
Tabel 10.6 Koordinat titik dan bayangannya oleh rotasi sejauh 900
Rotasi sejauh 900
dengan Pusat Rotasi O(0, 0)
Titik Objek Titik Bayangan Pola
A(3, 0) A’(0, 3) 










 −
=





0
3
01
10
3
0
B(4, 1) B’(-1, 4) 










 −
=




−
1
4
01
10
4
1
C(5, 2) C’(-2, 5) 










 −
=




−
2
5
01
10
5
2

131Matematika
Dengan demikian, rotasi 900
dengan pusat O(0, 0) diwakili dengan matriks
R o
O[ , ( , )]0 0 0
0 1
1 0
=
−





Contoh 10.7
Bidang ABCD dengan A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3) dan D(0, 3) dirotasikan sebesar 900
dengan pusat A(0, 0). Tunjukkan dan tentukan koordinat objek setelah dirotasikan.
Gambar 10.18 Rotasi sebuah bidang ABCD dengan pusat O(0, 0)
Hasil rotasi setiap titik A, B, C, dan D menghasilkan bayangan titik A', B', C', dan
D' yang dapat kita ketahui koordinatnya seperti pada tabel berikut.

Tabel 10.7 Koordinat titik dan bayangan bidang ABCD oleh rotasi sejauh 900
Rotasi sejauh 900
dengan Pusat Rotasi A(0, 0)
Titik Objek Titik Bayangan
A(0, 0) A’(0, 0)
B(4, 0) B’(0, 4)
C(4, 3) C’(-3, 4)
D(0, 3) D’(-3, 0)
Secara umum, kamu pasti sudah dapat melihat pola atau hubungan antara koordinat
objek dengan koordinat bayangan, bukan? Jika sebuah titikA(a, b) dirotasikan dengan
sudut 900
searah jarum jam dan pusat rotasi O(0, 0) maka koordinat bayangan adalah
A'(-b, a). Ingat koordinat A’(-b, a) dapat dituliskan dengan 










 −
=




−
b
a
a
b
01
10
.
Contoh 10.8
titik pada koordinat kartesius dengan pusat O(0, 0)

133Matematika
Rotasi titik pada gambar 10.19 di atas disajikan pada tabel berikut.
Tabel 10.8 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh 1800
dan pusat O(0, 0)
Rotasi sejauh 1800
dengan Pusat Rotasi O(0, 0)
Titik Objek Titik Bayangan Pola
A(2, 0) A’(-2, 0) 











−
−
=




−
0
2
10
01
0
2
B(3, 1) B’(-3, -1) 











−
−
=





−
−
1
3
10
01
1
3
C(4, 2) C’(-4, -2) 











−
−
=





−
−
2
4
10
01
2
4
Dengan demikian, rotasi 1800
dengan pusat O(0,0) diwakili dengan matriks
R o
O[ , ( , )]180 0 0
1 0
0 1
=
−
−






Tugas Kelompok
Tunjukkan matriks yang mewakili rotasi titik sebesar -900
Dengan demikian, matriks rotasi dapat disajikan pada tabel berikut:
Matriks rotasi dengan sudut
1. 270o

0 1
1 0
−
−





 4. –90o

0 1
1 0−






2. 180o

−
−






1 0
0 1 5. –180o

−
−






1 0
0 1
3. 90o

0 1
1 0
−




 6. –270o
0 1
1 0
−






Rotasi pada Pusat P(a,b)
Mari kita amati beberapa contoh rotasi titik dengan pusat P(a, b) sebagai berikut.
Contoh 10.9
dengan pusat P(a, b)
Tunjukkanlah rotasi titik A(-5, 4) sebesar 900
dengan pusat P(1, 2) pada sistem
koordinat.
titik A(-5,4) pada sistem koordinat Kartesius
dengan pusat P(1, 2)
Langkah-langkah rotasi sebagai berikut.
Langkah 1. Translasikan koordinat objek dengan (-a, -b) sehingga pusat rotasi
berubah menjadi O(0, 0)
Titik A(-5, 4) ditranslasi dengan T(-1, -2) diperoleh A'(-6, -2)
Langkah 2. Rotasikan objek yang telah ditranslasikan sebesar sudut rotasi.
Titik A'(-6, -2) dirotasikan sebesar 900
dan pusat O(0, 0) diperoleh
A"(-2, -6)
Langkah 3. Translasikan kembali koordinat hasil langkah 2 dengan pusat rotasi
P(a, b). TitikA"(-2, -6) ditranslasikan kembali dengan (1, 2) diperoleh
A"'(-1,-4)
Jadi, banyangan rotasi titikA(-5, 4) dengan rotasi sebesar 900
dengan pusat rotasi P(1,
2) adalah A"'(-1, -4)

135Matematika
Contoh 10.10
Perhatikan bidang ABCD adalah A(0, 0), B(4, 0), C(4,3) dan D(0, 3) dirotasikan
sebesar -900
dengan pusat rotasi P(7, 3).
Perhatikan gambar!
Gambar 10.21 Rotasi sebuah bidang ABCD dengan pusat P(7,3)
Tabel 10.9 Koordinat titik dan bayangan titik oleh rotasi sejauh -900
dan pusat P(7, 3)
Rotasi sejauh -900
dengan Pusat Rotasi P(7, 3)
Titik Objek Tranlasi T(-7, -3)
Rotasi -900
Pusat O(0, 0)
Translasi P(7, 3) =
Titik Bayangan
A(0, 0) A1
(-7, -3) A2
(-3, 7) (-3,7) + (7,3) = A’(4, 10)
B(4, 0) B1
(-3, -3) B2
(-3, 3) (-3, 3) + (7,3) = B’(4,6)
C(4, 3) C1
(-3, 0) C2
(0, 3) (0, 3) + (7,3) = C’(7, 6)
D(0, 3) D1
(-7, 0) D2
(0, 7) (0, 7) + (7, 3) = D’(7,10)
Rotasi dengan matriks rotasi MR
dan pusat P(p,q)
Jika titik A(a,b) dirotasi dengan matriks rotasi MR
dan pusat P(p,q) adalah A′(b,a).
Dituliskan,
a
b
MR
a p
b q
p
q
'
'

















=
−
−
+

Contoh 10.11
Sebuah garis 2x – 3y – 4 = 0 dirotasikan sebesar 1800
dengan titik pusat rotasi P(1,
-1). Tentukanlah persamaan garis setelah dirotasikan.
Dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan. Misalkan titik A(x, y) adalah
sembarang titik yang dilalaui oleh garis tersebut, sehingga:
)','('),( ]0180),1,1([
yxAyxA P
R
 → −
Langkah 1. Translasi dengan T(-1,1)






+
−
=




−
+





1
1
1
1
y
x
y
x
Langkah 2. Rotasi dengan sudut 1800
dan pusat O(0,0)






−−
+−
=





+
−






−
−
1
1
1
1
10
01
y
x
y
x
Langkah 3. Translasi dengan P(1,-1)






−−
+−
=





−
+





−−
+−
2
2
1
1
1
1
y
x
y
x
Jadi,






−−
+−
=





2
2
'
'
y
x
y
x
atau x = -x'+2 dan y = -y'-2 sehingga persamaan garis setelah
dirotasikan adalah:
04)2(3)2(2 =−−−−+− yx
046342 =−+++− yx
0632 =++− yx

137Matematika
4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)
4.1 Menemukan Sifat-Sifat Dilatasi
Kamu pernah mengamati sebuah balon yang dihembus atau diisi dengan udara,
bukan? Makin banyak udara yang dipompa ke balon balon makin membesar.
Pembesaran tersebut merupakan dilatasi sebuah benda. Perhatikan dilatasi beberapa
objek pada gambar berikut.
Gambar 10.22 Dilatasi titik, bidang dan kurva pada koordinat kartesius.
Berdasarkan gambar di atas, bentuk suatu objek bila dilatasi tidak akan berubah,
bukan? Tetapi bagaimana dengan ukurannya? Ukuran objek yang didilatasi akan
berubah. Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut.
Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut.
Sifat 10.7
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah
ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka
bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan
bangun semula.
Sifat 10.8
ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami
perubahan ukuran dan letak.

138 Kelas XI SMA/MA
Sifat 10.9
ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil
dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Sifat 10.10
ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika –1 < k < 0 maka
bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula.
Sifat 10.11
ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k < – 1 maka
bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula.
4.2 Menemukan Konsep Dilatasi
Masalah-10.4
Pernahkah kamu melihat gelombang di permukaan air yang tenang. Coba kamu
isi air pada ember dengan permukaan berbentuk lingkaran kemudian biarkan
sejenak agar permukaan air tidak beriak atau tenang. Kemudian, coba kamu
jatuhkan setetes air ke permukaan air yang tenang tersebut. Pengamatan apa
yang kamu peroleh?
Tentu kamu melihat ada gelombang di permukaan air. Misalkan gelombang
air tersebut kita ilustrasikan sebagai berikut.
(a) (b) (c)
Gambar 10.23 Bentuk gelombang pada permukaan air

139Matematika
Gambar 10.23 a terjadi jika kamu jatuhkan setetes air di tengah permukaan air
tersebut. Coba kamu lakukan sebuah percobaan tersebut di sekolah atau di rumah.
Gambar 10.23 b terjadi jika kamu menjatuhkan air di permukaan di luar titik pusatnya.
Jika demikian, dapatkah kamu berikan komentar, di manakah dijatuhkan setetes air
pada permukaan air agar terbentuk pola gelombang air pada gambar 10.23 c? Kamu
dapat melakukan pengamatan pada beberapa percobaan sederhana di rumahmu.
Mari kita lakukan kembali pengamatan pada gambar 10.23 a, 10.23 b, 10.23 c di
atas. Berdasarkan gambar tersebut, gelombang diperbesar atau diperkecil bergantung
kepada sebuah faktor pengali. Perhatikan kembali sifat-sifat dilatasi. Perhatikan
kembali gambar tersebut, bentuk dilatasi gelombang tersebut juga bergantung pada
pusat dilatasi. Dengan demikian, kita akan mempelajari kasus ini kembali untuk
membangun konsep dilatasi. Ingat kembali materi dilatasi pada pokok bahasan
transformasi di saat kamu di kelas VII.
Mari kita angkat kembali permasalahan dilatasi bangun tersebut. Amatilah perkalian
bangun pada koordinat kartesius berikut.
Contoh 10.12
Sketsalah dilatasi titik berikut:
Titik A(1, 3) dengan skala 2 dan pusat O(0, 0)
Titik B(3, 2) dengan skala 3 dan pusat O(0, 0)
Langkah 1 : Letakkanlah titik A atau titik B pada bidang koordinat
Kartesius
Langkah 2 : Tariklah sebuah garis lurus yang menghubungkan titik A atau titik B
ke titik pusat dilatasi.
Langkah 3 : Tentukanlah titik A' atau B' yang jaraknya 2 kali dari titik A atau
titik B dengan pusat dilatasi.
Langkah 4 : Titik tersebut adalah dilatasi titik A dengan faktor skala 2 dan pusat
dilatasi.

Gambar 10.24 Dilatasi dua buah titik dengan pusat O(0, 0)
Dengan demikian bayangan titikAatau B oleh didilatasi dengan faktor skala 2 dengan
pusat O(0, 0) adalah A'(2, 6) atau B’(6, 4).
Contoh 10.13
Sketsalah dilatasi titik A(2, 5) dengan pusat P(-1, 2) dan skala 2
Perhatikan sketsa dilatasi titik di atas.
Gambar 10.25 Dilatasi titik A(2, 5) dengan pusat P(-1, 2)
Agar proses dilatasi titik dengan pusat P(p, q) dan skala k dapat dengan mudah
diproses maka perlu dialihkan ke dilatasi dengan pusat O(0, 0), yaitu dengan

141Matematika
melakukan translasi T(-p, -q), hasil dilatasi akan ditranslasikan kembali dengan
translasi P(p, q). Dengan demikian, proses dilatasi adalah:
Langkah 1. Translasikan pusat P(p, q) dan objek A(a, b) dengan translasi T(-p, -q).
Diperoleh:
a
b
a p
b q
'
'











=
−
−
Langkah 2. Dilatasikan A'(a – p, b – q) dengan skala k dan pusat O(0, 0)
Diperoleh: 





−
−
=





qb
pa
k
b
a
''
''
Langkah 3. Translasikan A" dengan P(p, q)
Diperoleh: 





+





−
−
=





q
p
qb
pa
k
b
a
'''
'''
Contoh 10.14
Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor
skala k = 2, k = -1, dan k = -3 serta pusat O(0, 0) sehingga diperoleh berturut-turut
segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"'
Gambar 10.26 Dilatasi bidang pada pusat O(0, 0) dan faktor berbeda

Tabel 10.10 Dilatasi bidang ABC pada pusat O(0,0) dan faktor berbeda
Titik Obyek 





2
1
A 





1
2
B 





1
4
C
Faktor
skala
Pusat 





0
0
O 





0
0
O 





0
0
O
Titik Bayangan
1 





=





2
1
2
4
2
'A 





=





1
2
2
2
4
'B 





=





1
4
2
2
8
'C k = 2
Titik Bayangan
2 





−=





−
−
2
1
1
2
1
''A 





−=





−
−
1
2
1
1
2
''B 





−=





−
−
1
4
1
1
4
''C k = -1
Titik Bayangan
3 





−=





−
−
2
1
3
6
3
'''A 





−=





−
−
1
2
3
3
6
'''B C '''
−
−





 = −






12
3
3
4
1
k = -3
Contoh 10.15
Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor
skala k = a, k = b, dan k = c serta pusat C(4, 1) sehingga diperoleh berturut-turut
segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"'
Gambar 10.27 Dilatasi sebuah bidang dengan pusat pada salah satu titik pojoknya

143Matematika
Tabel 10.11 Dilatasi bidang ABC pada pusat P(4, 1) dan faktor berbeda
Titik
Obyek 





2
1
A 





1
2
B 





1
4
C
Faktor
skala
Pusat 





1
4
C 





1
4
C 





1
4
C
Titik
Bayangan
1






=





2
1
2
4
2
',
A 





=





1
2
2
2
4
',
B 





=





1
4
2
2
8
'C k = 2
Titik
Bayangan
2






−=





−
−
2
1
1
2
1
''A 





−=





−
−
1
2
1
1
2
''B 





−=





−
−
1
4
1
1
4
''C k = -1
Titik
Bayangan
3






−=





−
−
2
1
3
6
3
'''A 





−=





−
−
1
2
3
3
6
'''B 





−=





−
−
1
4
3
3
12
'''C k = -3
1. Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k

[ ]
)','('),( ,
baAbaA kOD
 →







=





′
′
b
a
k
b
a
2. Dilatasi dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k

[ ]
),('),( ),,(
baAbaA kqpPD
′′ →







+





−
−
=





′
′
q
p
qb
pa
k
b
a
Contoh 10.16
Sebuah garis g: 0632 =−− yx didilatasikan dengan faktor k = 3 dan pusat dilatasi
pada titik )2,1( −P . Tentukanlah bayangannya.

Misalkan titik ),( yxA adalah sembarang titik pada garis yang akan didilatasikan,
sehingga:
)','('),( ]3),2,1([
yxAyxA PD
 → −






+
−
=





−
+





+
−
=





43
23
2
1
2
1
3
'
'
y
x
y
x
y
x
sehingga 23' −= xx atau
3
2'+
=
x
x dan 43' += yy atau
3
4'−
=
y
y
sehingga bayangan garis 0632 =−− yx adalah 06)
3
4
(3)
3
2
(2 =−
−
−
+ yx
atau
0232 =−− yx .
Uji Kompetensi 10.2
1. Tunjukkanlah secara gambar perputaran dari beberapa titik berikut!
a. Titik A(2, –3) dirotasi sebesar 900
dengan pusat rotasi O(0, 0).
b. Titik A(2, –3) dirotasi sebesar – 900
c. Titik A(–3, 4) dirotasi sebesar 900
dengan pusat rotasi P(-1, 1).
d. Titik A(–3, 4) dirotasi sebesar – 1800
dengan pusat rotasi P(-1, 1).
e. Titik A(1, 2) bila dirotasi sebesar 900
dengan pusat rotasi O(0, 0) kemudian
dilanjutkan dengan rotasi sebesar –2700
f. TitikA(–1, 3) bila dirotasi sebesar – 900
dengan pusat rotasi P(1, 2) kemudian
dilanjutkan dengan rotasi sebesar 1800
dengan pusat rotasi Q(-1, 1).
g. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila dirotasi
sebesar 900
dengan pusat rotasi salah satu titik pojoknya.

145Matematika
2. Tentukanlah persamaan kurva oleh rotasi R berikut!
a. Garis lurus 0432 =+− yx dirotasi sebesar 900
b. Garis lurus 0432 =+− yx dirotasi sebesar 900
dengan pusat rotasi P(1, -1).
c. Parabola 0432
=+−− xxy dirotasi sebesar 1800
dengan pusat rotasi O(0,
0).
d. Parabola 0432
=+−− xxy dirotasi sebesar 2700
dengan pusat rotasi pada
titik puncaknya.
e. Lingkaran 2 2
2 4 20 0x y x x+ − − − =dirotasi sebesar 900
dengan pusat rotasi
pada titik O(0, 0).
f. Lingkaran 2 2
dengan pusat rotasi
pada titik P(6, 3).
g. Lingkaran 2 2
dengan pusat rotasi
pada titik P(8, 1).
3. Tunjukkanlah secara gambar dilatasi dari beberapa titik berikut!
a. Titik A(2, –3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(0, 0).
b. Titik A(–3, 4) bila didilatasikan dengan skala -2 dan pusat P(0, 0).
c. Titik A(1, 2) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(0, 0) dilanjutkan
dengan dilatasi dengan skala -3 dan pusat P(0, 0).
d. Titik A(–3, 4) bila didilatasikan dengan skala -2 dan pusat P(1, -1).
e. Titik A(2, –3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(-2, 0).
f. Titik A(2, –3) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat P(-1, 1) dilanjutkan
dengan dilatasi dengan skala -1 dan pusat P(2, -1).
g. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila didilatasikan
dengan faktor skala 2 dengan pusat P(0, 0).
h. Segitiga PQR dengan koordinat P(2, 0), Q(–3, 3) dan R(8, 0) bila didilatasikan
dengan faktor skala -3 dengan pusat P(1, 1).

4. Tentukanlah persamaan kurva oleh Dilatasi D berikut!
a. Parabola y – x2
– x3
+ 4 = 0 didilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat
rotasi O(0, 0).
b. Parabola y – x2
– x3
+ 4 = 0 didilatasi dengan faktor skala -2 dengan pusat
rotasi pada titik puncaknya.
c. Lingkaran x2
+ y2
– 2x – 4x – 20 = 0 didilatasi dengan faktor skala 1/2
dengan pusat rotasi pada titik O(0, 0).
d. Lingkaran x2
+ y2
– 2x – 4x – 20 = 0 didilatasi dengan faktor skala -1
dengan pusat rotasi pada titik P(1,-5).
e. Lingkaran x2
+ y2
– 2x – 4x – 20 = 0 didilatasi dengan faktor skala -1
dan pusat P(0,0) dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala -1 dengan pusat
rotasi pada titik P(1,5).
D. PENUTUP
Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep transoformasi di atas, beberapa
hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.
1. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap
titik pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan
b adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) adalah menggeser
absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh
A′(x + a, y + b), secara notasi dilambangkan dengan: 





+
+
 →




 





by
ax
A
y
x
A b
a
T
'
2. Refleksi atau pencerminan adalah satu jenis transformasi yang memindahkan
setiap titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari
titik-titik yang dipindahkan.
a. Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal (0, 0) 





−
−
 →





b
a
A
b
a
A OC
')0,0(
dengan












−
−
=




−
b
a
b
a
10
01
b. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu x = h didefinisikan dengan:
),2('),( bahAbaA hxC
− → =
, sedangkan pencerminan titik A (a, b)
terhadap sumbu y = k didefinisikan dengan: )2,('),( bkaAbaA kyC
− → =

147Matematika
c. 











−
=





−





−
 →





b
a
b
a
b
a
A
b
a
A xsumbuC
10
01
dengan'
d. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu x
e. Pencerminan A(a, b) terhadap garis y = x dengan 











=





b
a
a
b
01
10
3. Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik
lain dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Rotasi terhadap titik O(0, 0)
sebesar 900
dirumuskan dengan: 0[ (0,0),90 ]
( , ) '( , )O
R
A a b A b a→ − .
4. Dilatasi atau perubahan skala adalah suatu transformasi yang memperbesar
atau memperkecil bangun tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi dengan pusat
O(0, 0) dan faktor skala k dirumuskan dengan [ ],
( , ) '( , ),O kD
A a b A ka kb→ :
sedangkan dilatasi dengan pusat P(p, q) dan faktor skala k dirumuskan dengan:
[ ]( , ),
( , ) '[ ( ), ( )]P p q kD
A a b A p k a p q k b q→ + − + − .

Catatan:
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................

mampu:
1. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku
jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis
matematika.
2. Mendeskripsikan konsep turunan dengan
menggunakan konteks matematik atau konteks
lain dan menerapkannya.
3. Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi
aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi.
4. Mendeskripsikan konsep turunan dan
menggunakannya untuk menganalisis grafik
fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk
mengetahui fungsi naik dan fungsi turun.
5. Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi
untuk menentukan gradien garis singgung
kurva, garis tangen, dan garis normal.
6. Mendeskripsikan konsep dan sifat turunan
fungsi terkait dan menerapkannya untuk
menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik
minimum dan titik belok).
Melalui pembelajaran materi turunan, siswa
• Terlatih berpikir kritis, kreatif dalam
menganalisis permasalahan.
• Bekerjasama dalam tim dalam menemukan
solusi permaslahan melalui pengamatan,
diskusi, dan menghargai pendapat dalam
saling memberikan argumen.
• Terlatih melakukan penelitian dasar terhadap
penemuan konsep.
• Mengkomunikasikan karakteristik masalah
otentik yang pemecahannya terkait turunan.
• Merancang model matematika dari sebuah
permasalahan otentik yang berkaitan dengan
turunan.
TURUNAN
Bab
11
• Turunan
• Fungsi naik
• Fungsi turun
• Garis singgung fungsi

mampu:
7. Menganalisis bentuk model matematika berupa
persamaan fungsi, serta menerapkan konsep
dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan
masalah maksimum dan minimum.
8. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan
model matematika dalam memecahkan masalah
nyata tentang turunan fungsi aljabar.
model matematika dalam memecahkan masalah
nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun.
10 Merancang dan mengajukan masalah nyata
serta menggunakan konsep dan sifat turunan
fungsi terkait dalam titik stasioner (titik
maksimum, titik minimum dan titik belok).
11.Menyajikan data dari situasi nyata, memilih
variabel dan mengkomunikasikannya dalam
bentuk model matematika berupa persamaan
fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat
turunan fungsi dalam memecahkan masalah
maksimum dan minimum.
Melalui pembelajaran materi turunan, siswa
• Menyelesaikan model matematika
untukmenganalisis dan mendapatkan solusi
permasalahan yang diberikan.
• Menuliskan dengan kata-katanya sendiri
konsep turunan berdasarkan ciri-ciri yang
dituliskan sebelumnya.
• Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika
yang berkaitan dengan turunan berdasarkan
konsep yang sudah dimiliki.
• Menerapkan berbagai sifat turunan dalam
pemecahan masalah.

151Matematika
B. PETA KONSEP
Fungsi
Limit Fungsi
Grafik Fungsi
Turunan Fungsi
Fungsi
Turun
Titik Stasioner
Titik Belok
Titik Balik
Maksimum
Titik Balik
Minimum
Fungsi
Naik
MASALAH
OTENTIK
MATERI
PRASYARAT
f '(x) = 0
f '(x) < 0
f "(x) < 0
f '(x) > 0
f "(x) > 0
f "(x) = 0

1. Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi
Turunan merupakan salah satu dasar atau fundasi dalam analisis sehingga
penguasaan kamu terhadap berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi membantu
kamu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Suatu fungsi
dapat dianalisis berdasarkan ide naik/turun, keoptimalan dan titik beloknya dengan
menggunakan konsep turunan. Pada bagian berikut, kita akan mencoba mengamati
berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contoh untuk
menemukankonsepturunan.Kitamemulainyadenganmenemukankonseppersamaan
garis tangen/singgung.
1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen
Coba kamu amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat
sebagai sumber abstraksi kita dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis
sekan atau tali busur dan garis singgung.
Masalah-11.1
Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang bergelombang.
Dia meluncur turun kemudian naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga di
suatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan. Perhatikan
gambar di bawah ini.
Gambar 11.1 Bermain ski
Permasalahan
Secara analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang (dimensi dua) dengan
sudut pandang tegak lurus ke depan sehingga terdapat garis dan papan ski adalah
sebuah garis lurus. Dapatkah kamu tunjukkan hubungan kedua garis tersebut?
B. PETA KONSEP

153Matematika
Coba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan deskripsi permasalahan di atas
ditampilkan dalam bentuk gambar berikut.
Gambar 11.2 Garis sekan, garis singgung, dan garis normal
Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis
normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke
udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung. Jadi,
garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Tujuan kita adalah mendapatkan
persamaan garis singgung (PGS).
Misalkan pemain ski mulai bergerak dari titik Q(x2
, y2
) dan melayang ke udara
pada saat titik P(x1
, y1
) sehingga ia akan bergerak dari titik Q mendekati titik P.
Garis yang menghubungkan kedua titik disebut garis tali busur atau garis sekan.
Sepanjang pergerakan tersebut, terdapat banyak garis sekan yang dapat dibentuk dari
titik Q menuju titik P dengan gradien awal m
y y
x x
sec =
−
−
2 1
2 1
.
Coba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan x2
= x1
+ ∆x dan
y2
= y1
+ ∆y sehingga: jika ∆x makin kecil maka Q akan bergerak mendekati P atau
jika ∆x → 0 maka Q → P.

Perhatikan gambar!
Gambar 11.3 Gradien garis sekan mendekati gradien garis singgung
Karena y = f (x) maka gradien garis sekan PQ adalah
m m
y
x
f x f x
x x
PQ = = =
−
−
sec
( ) ( )∆
∆
2 1
2 1
.
m
f x x f x
x x x
m
f x x f x
x
PQ PQ=
+ −
+ −
⇔ =
+ −( ) ( )
( )
( ) ( )1 1
1 1
1 1∆
∆
∆
∆
Definisi 11.1
Misalkan f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1
, y1
) dan Q(x1
+ ∆x,
y1
+ ∆y) pada kurva f. Garis sekan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien
m
f x x f x
x
sec
( ) ( )
=
+ −1 1∆
∆
Amati kembali gambar di atas. Jika titik Q mendekati P maka ∆x → 0 sehingga
diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien:
m
f x x f x
x
PGS
x
=
+ −
( )→
lim
( ) ( )
.
∆
∆
∆0
1 1
jika limitnya ada

155Matematika
Definisi 11.2
Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1
, y1
) pada kurva f.
Gradien garis singgung di titik P(x1
, y1
) adalah limit gradien garis sekan di titik
P(x1
, y1
), ditulis:
m m
f x x f x
x
PGS
x x
= =
+ −
(→ →
lim lim
( ) ( )
sec
∆ ∆
∆
∆0 0
1 1
Jika limitnya ada))
Contoh 11.1
Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = –1 pada kurva f(x) = x4
.
Misalkan x1
= –1 dan y1
= (–1)4
= 1 sehingga titik singgung P(-1,1). Jadi, gradien garis
singgung adalah: m
f x x f x
x
PGS
x
=
+ −
→
lim
( ) ( )
∆
∆
∆0
1 1
m
f x f
x
m
x
x
PGS
x
PGS
x
=
− + − −
⇔ =
− + − −
⇔
→
→
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
4 4
1 1
1 1
mm
x x
x
PGS
x
=
− + + − − + − −
→
lim
[( ) ( ) ][( ) ( ) ]
∆
∆ ∆
∆0
2 2 2 2
1 1 1 1
⇔ =
− + + − − + + − − + − −
→
m
x x x
PGS
x
lim
[( ) ( ) ][( ) ( )][( ) ( )]
∆
∆ ∆ ∆
∆0
2 2
1 1 1 1 1 1
xx
m
x x x
x
m x
PGS
x
PGS
x
⇔ =
− + + − +
⇔ = − +
→
→
lim
[( ) ][ ]
lim[(
∆
∆
∆ ∆ ∆
∆
∆
0
2
0
1 1 2
1 )) ][ ]2
1 2 4+ − + = −∆x
Jadi, persamaan garis singgung adalah y – 1 = –4(x – (–1)) atau y + 4x + 3 = 0.

Gambar 11.4 Garis singgung dan garis normal kurva f(x) = x4
di titik P(-1,1)
1.2 Turunan sebagai Limit Fungsi
Kita telah menemukan konsep garis singgung grafik suatu fungsi dan hubungannya
dengan garis sekan dan garis normal. Berikutnya, kita akan mempelajari lebih dalam
lagi konsep garis singgung grafik suatu fungsi tersebut untuk mendapatkan konsep
turunan.
Coba kamu perhatikan dan amati kembali sketsa kurva pada Gambar 11.3. Dengan
memisalkan x2
= x1
+ ∆x dan y2
= y1
+ ∆y maka titik Q akan bergerak mendekati P
untuk ∆x makin kecil. Gradien garis singgung di titik P disebut turunan fungsi pada
titik P yang disimbolkan dengan:
m f x
f x x f x
xx
tan '( ) lim
( ) ( )
.= =
+ −
( )→
1
0
1 1
∆
∆
∆
jika limitnya ada
Jika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu
fungsi pada setiap x dalam daerah asal adalah:
f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )
.=
+ −
( )→∆
∆
∆0
jika limitnya ada
Perlu diinformasikan, penulisan simbol turunan dapat berbeda-beda. Beberapa simbol
turunan yang sering dituliskan adalah:
Notasi Newton
• f ’(x) atau y’ turunan pertama fungsi

157Matematika
Notasi Leibniz
•
df x
dx
( )
atau
dy
dx
turunan pertama fungsi
Definisi 11.3
Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan
di titik c jika dan hanya jika lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f c x f c
x→
+ −
0
ada.
Definisi 11.4
Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan
hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.
Masalah-11.2
Seekor burung camar terbang melayang di udara dan melihat seekor ikan
di permukaan laut. Burung tersebut terbang menukik dan menyambar ikan
kemudian langsung terbang ke udara. Lintasan burung mengikuti pola fungsi
f(x) = |x|. Dapatkah kamu sketsa grafik tersebut. Coba amati dan teliti dengan
cermat turunan fungsi tersebut pada titik O(0,0).
Ingat kembali pelajaran nilai mutlak pada bab 2 kelas X
Misalkan posisi ikan di permukaan laut adalah titik O(0,0) sehingga sketsa
permasalahan di atas adalah sebagai berikut (ingat cara meng-gambar kurva
f(x) = |x| di kelas X):

Gambar 11.5 Kurva fungsi f(x) = |x|
Berdasarkan konsep turunan di atas maka f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→∆
∆
∆0
bila limitnya
ada.
i. Jika x ≥ 0 maka f(x) = x sehingga:
f x
f x x f x
x
x x x
xx x
'( ) lim
( ) ( )
lim
( )
=
+ −
=
+ −
=
→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
1(limit kanan ada).
ii. Jika x < 0 maka f(x) = –x sehingga:
f x
f x x f x
x
x x x
xx x
'( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
=
+ −
=
− + − −
= −
→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
1 (limit kiri ada).
Coba kamu amati proses tersebut, jika ∆x menuju 0 didekati dari kanan dan ∆x menuju
0 didekati dari kiri, maka f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→∆
∆
∆0
tidak sama, bukan? Hal ini
mengakibatkan turunan fungsi f(x) = |x| di titik x = 0 tidak ada atau fungsi tidak dapat
diturunkan di x = 0.

159Matematika
Definisi 11.5
Misalkan fungsi f : S→R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x) ⊆ S
• Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika
lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f c x f c
x→ +
+ −
0
ada.
• Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika
lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f c x f c
x→ −
+ −
0
ada.
Berdasarkan pembahasan Masalah 11-2 di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan
pada suatu titik jika memenuhi sifat berikut.
Sifat 11.1
Misalkan fungsi f : S→R, S ⊆ R dengan x ⊆ S dan L ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan
di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis:
f x L
f x x f x
x
f x x f x
x
L
x x
'( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
= ⇔
+ −
=
+ −
=
→ →+ −
∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
Keterangan:
1. lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f x x f x
x→ +
+ −
0
adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan
pada domain S.
2. lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f x x f x
x→ −
+ −
0
adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri
pada domain S.
Contoh 11.2
Tentukan turunan fungsi y x= 2

Jika f x x( ) = 2
maka f x
f x x f x
x
x x x
x
x
x
x
x
'( ) lim
( ) ( )
lim
lim
=
+ −
=
+ −
=
+
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
0
2 2 2
2 2∆∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆∆
∆
x x
x
x x x
x x x
x
x x x xx
x
− + +
+ +
=
+ +
=
→
→
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 20
.
lim
( )
lim
00
2
2 2 2
1
2
x x x
x
+ +
=
∆
(ingat perkalian sekawan)
1.3 Turunan Fungsi Aljabar
Mari kita temukan aturan-aturan turunan suatu fungsi berdasarkan limit fungsi yang
telah dijelaskan di atas. Coba pelajari permasalahan berikut.
Masalah-11.3
Pada subbab di atas, telah dijelaskan bahwa turunan merupakan limit suatu
fungsi, yaitu: f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→∆
∆
∆0
.
Coba kamu amati dan pelajari beberapa contoh penurunan beberapa fungsi
berikut dengan konsep limit fungsi:
Contoh 11.3
Jika f(x) = x2
maka f '(x) =
+ −
=
+ −
= +
=
→
→
→
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
f x x f x
x
x x x
x
x x
x
0
0
2 2
0
2
2

161Matematika
Contoh 11.4
Jika f(x) = x4
maka f '(x) =
+ −
=
+ −
=
+
→
→
→
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
f x x f x
x
x x x
x
x x x
0
0
4 4
0
4 3
4 ++ ( ) + ( ) + ( ) −
=
+ + ( ) + (
→
6 4
4 6 4
2 2 3 4 4
0
3 2 2
x x x x x x
x
x x x x x x
x
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆ ∆
∆
lim
))( )
=
3
3
4
∆
∆
x
x
x
Contoh 11.5
Jika f(x) = x100
maka f '(x) =
+ −
=
+ −
=
=
→
→
→
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
?
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
f x x f x
x
x x x
x
x
0
0
100 100
0
....?
(dengan menjabarkan; proses semakin sulit, bukan?)

Contoh 11.6
Jika f(x) = x
3
5
maka f '(x) =
+ −
=
+ −
=
=
→
→
→
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
?
..
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
f x x f x
x
x x x
x
x
0
0
3
5
3
5
0
..?
(dengan menjabarkan; proses juga semakin sulit, bukan?)
Dari keempat contoh di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Jelas, kita
kesulitan dan harus mempunyai banyak strategi aljabar untuk melanjutkan proses
pada Contoh 11.5 dan 11.6. Bentuk suatu fungsi beragam sehingga penurunannya
dengan menggunakan limit fungsi akan ada yang sederhana diturunkan dan ada yang
sangat sulit diturunkan. Kita harus mempermudah proses penurunan suatu fungsi
dengan menemukan aturan-aturan penurunan.
1.3.1 Menemukan turunan fungsi f(x) = axn
,untuk n bilangan asli.

f x
f x x f x
x
a x x ax
x
x
x
n n
'( ) lim
( ) ( )
lim
( )
=
+ −
=
+ −
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
Gunakan Biinomial Newton( )
=
+ + + +
→
− −
lim
...
∆
∆ ∆ ∆
x
n n n n
ax anx x aC x x a x
0
1
2
2 2 nn n
x
n n n n
n
ax
x
x anx aC x x a x
x
anx
−
=
+ + +
=
→
− − −
−
∆
∆ ∆ ∆
∆∆
lim
( ... )
0
1
2
2 1
1
• Coba kamu buktikan sendiri jika f (x) = au(x) dan u'(x) ada, maka f '(x) = au'(x)

163Matematika
1.3.2 Menemukan turunan jumlah fungsi f(x) = u(x) + v(x) dengan u'(x)
dan v'(x) ada.

f x
u x x v x x u x v x
x
u x
x
x
'( ) lim
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
lim
[ (
=
+ + + − +
=
+
→
→
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
0
0
xx u x v x x v x
x
u x x u x
x
v x x v
x
) ( )] [ ( ) ( )]
lim
( ) ( ) ( )
− − + −
=
+ −
+
+ −
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆ 0
(( )
lim
( ) ( )
( ) ( )
'( ) '( )
x
x
u x x u x
x
v x x v x
x
u x v x
x
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=
+ −
+
=
+ −
= +
→0
Dengan cara yang sama, buktikan sendiri bahwa turunan fungsi f(x) = u(x) – v(x)
adalah f '(x) = u'(x) – v'(x)
Contoh 11.7
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut!
a. f(x) = 5x4
– 4x3
+ 3x2
– 2x + 1
f '(x) = 5.4x4–1
– 4.3x3–1
+ 3.2x2–1
– 2.1x1–1
+ 1.0x0–1
f '(x) = 20x3
– 12x2
+ 6x – 2
b. f x x x( ) = −
1
3
2
5
1
4
1
3
f x x x
f x x x
'( ) . .
'( )
= −
= −
− −
− −
1
3
1
4
2
5
1
3
1
12
2
15
1
4
1
1
3
1
3
4
2
3
(Ingat Sifat 10.6 pada Bab 10 di kelas X)

1.3.3 Menemukan turunan fungsi f(x) = [u(x)]n
dengan u'(x) ada, n
bilangan asli.
Dengan konsep limit fungsi.
f x
f x x f x
x
u x x u x
x
x
x
n n
'( ) lim
( ) ( )
lim
[ ( )] [ ( )]
li
=
+ −
=
+ −
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
mm
[ ( ) ( ) ( )] [ ( )]
[ ( ) ( )]
∆
∆
∆
∆
x
n n
u x x u x u x u x
x
P u x x u x
→
+ − + −
= + −
=
0
Misal
llim
[ ( )] [ ( )]
lim
∆
∆
∆x
n n
x
P u x u x
x→
+ −
( )
=
0
Gunakan Binomial Newton
→→
− −
−
−
+ + + + +
0
1
1
2
2 2
1
1
P C P u x C P u x C P u x un n n n n
n
n n
[ ( )] [ ( )] ... [ ( )] [ (xx u x
x
P nP u x C P u x C
n n
x
n n n n
)] [ ( )]
lim
[ ( )] [ ( )] ...
−
=
+ + + +
→
− −
∆
∆ 0
1
2
2 2
nn
n n
n
n n
x
n n
P u x C P u x
x
P P nP u x
−
−
−
−
→
− −
+
=
+
2
2 2
1
1
0
1 2
[ ( )] [ ( )]
lim
( [ (
∆
∆
))] ... [ ( )] [ ( )] )
lim lim
2
2
2
1
1
0
+ + +
=
−
−
−
−
→
C P u x C u x
x
P
x
n
n n
n
n n
x x
∆
∆∆ ∆ →→
− −
−
−
−
−
+ + + +
0
1 2 2
2
2
1
1
( [ ( )] ... [ ( )] [ ( )] )P nP u x C P u x C u xn n
n
n n
n
n n
(Ingat Sifat 10.5 pada Bab X di kelas X)
Karena lim lim
( ) ( )
'( )
lim lim
∆ ∆
∆ ∆
∆
∆
∆x x
x x
P
x
u x x u x
x
u x
P
→ →
→
=
+ −
=
=
0 0
0 →→
+ − =
0
0u x x u x( ) ( )∆
(lihat Definisi 11.3)
= +
=
−
−
u x n u x
nu x u x
n
n
'( )[ [ ( )]
'( )[ ( )]
0 1
1

165Matematika
Aturan Turunan:
Misalkan f, u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a
bilangan real dapat diturunkan maka:
f(x) = a → f '(x) = 0
f(x) = ax → f '(x) = a
f(x) = axn
→ f '(x) = naxn–1
f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x)
f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v(x)
f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
f x
u x
v x
f x
u x v x u x v x
v x
( )
( )
( )
'( )
'( ) ( ) ( ) '( )
[ ( )]
= → =
−
2
Dengan menggunakan aturan turunan tersebut, gradien garis singgung suatu kurva
akan lebih mudah ditentukan, bukan? Perhatikan contoh berikut!
Contoh 11.11
Tentukan persamaan garis singgung kurva f x
x
x
( ) =
−
2
1
di titik P(2, 4).
Titik P(2, 4) berada pada kurva f x
x
x
( ) =
−
2
1
sebab jika kita subtitusikan nilai
x = 2 maka f ( )2
2
2 1
4
2
=
−
= .
Pertama,kitatentukanturunanpertamadarifungsi f x
x
x
( ) =
−
2
1
denganmemisalkan
u(x) = x2
sehingga u'(x) = 2x dan v x x x( ) ( )= − = −1 1
1
2
sehingga v x x'( ) ( )= −
−1
2
1
1
2
. Dengan demikian, turunan pertama fungsi adalah f x
u x v x u x v x
v x
'( )
'( ) ( ) ( ) '( )
( ( ))
=
−
2 atau
f x
x x
x
x
x
'( )
( )
=
− − −
−
−
2 1
2
1
1
2 1
2
.
Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalah f '( )2
4 2
1
2=
−
= sehingga
persamaan garis singgung tersebut adalah y – 4 = 2(x – 2) atau y – 2x = 0.

Gambar 11.5 Garis singgung kurva f x
x
x
( ) =
−
2
1
di titik P(2, 4).
Uji Kompetensi 11.1
1. Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 1 pada tiap-
tiap fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan
menggunakan limit fungsi.
a. f(x) = 2x
b. f(x) = 2x2
c. f(x) = 2x3
– 1
d. f(x) =
2
1x +
e. f(x) =
2
2
x
2. Misalkan u(x), v(x), w(x), h(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan.
Dengan menggunakan konsep turunan sebagai limit fungsi, tentukanlah turunan
dari fungsi-fungsi berikut:
a. f(x) = (2x + 1)2
b. f(x) = (x2
– x + 1)2
c. f(x) =
2 1
3 4
x
x
+
+

167Matematika
d. f(x) = u(x)v(x)w(x)
e. f(x) = (h ° g)(x)
3. Dengan menggunakan konsep turunan, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi
berikut.
a. f(x) = x3
(2x + 1)5
b. f(x) =
1
2
2
3
2
3
3
4
x x−
c. f(x) =f x x x( ) ( )= −
1
2
1
3
2
1
4
d. f(x) = x x+ +1
e. f(x) =
1
0 1 2 3
2 3
! ! ! !
...
!
...+ + + + + +
x x x x
n
n
5. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(–1,1) pada masing-
masing fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung
dengan menggunakan konsep turunan.
a. f(x) = (x + 2)–9
b. f(x) = 2 123
x −
c. f(x) = –x3
(x + 2)–2
d. f(x) = − − +x x2 2
e. f(x) =
x
x
+
−
2
2 12
2. Aplikasi Turunan
Konsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika
di kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk
menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu
kurva.
2.1 Fungsi Naik dan Turun
Coba bayangkan ketika kamu pergi ke plaza atau mall, di sana kita temukan
ekskalator atau lift. Gerakan lift dan ekskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai
fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan ekskalator saat turun dapat diilustrasikan

sebagai fungsi turun.Amatilah beberapa grafik fungsi naik dan turun di bawah ini dan
coba tuliskan ciri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai ide untuk mendefinisikan
fungsi naik dan turun.
x
d
y
y
y = f(x)
x
d
y = f(x)
y
d
y
x
d
y
d
y
y = f(x)
x
d
y
d
y
y = f(x)
x
d
x
y
d
y
y = f(x)
y
d
y
y = f(x)
x
Beberapa grafik fungsi turun dari kiri ke kanan
Beberapa grafik fungsi naik dari kiri ke kanan
Dari beberapa contoh grafik fungsi naik dan turun di atas, mari kita definisikan fungsi
naik dan turun sebagai berikut.
Definisi 11.5
Misalkan fungsi,
• Fungsi f dikatakan naik jika ∀ x1
, x2
∈ S, x1
< x2
⇒ f(x1
) < f(x2
)
• Fungsi f dikatakan turun jika ∀ x1
, x2
∈ S, x1
< x2
⇒ f(x1
) > f(x2
)
Contoh 11.12
Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x3
, x ∈ R dan x > 0 adalah fungsi naik.

169Matematika
f(x) = x3
, x ∈ R dan x > 0 Ambil sebarang x1
, x2
∈ R dengan 0 < x1
< x2
x = x1
⇒ f(x1
) = x1
3
x = x1
⇒ f(x2
) = x2
3
Karena 0 < x1
< x2
maka x1
3
< x2
3
Karena x1
3
< x2
3
maka f(x1
) < f(x2
)
Dengan demikian ∀x1
, x2
∈ S, x1
< x2
⇒ f(x1
) < f(x2
). Dapat disimpulkan f adalah
fungsi naik. Bagaimana jika f(x) = x3
, x ∈ R dan x < 0, apakah grafik fungsi f adalah
fungsi naik? Selidiki!
2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi
Turun
Mari kita bahas aplikasi turunan dalam permasalahan fungsi naik dan fungsi turun
dengan memperhatikan dan mengamati permasalahan berikut.
Masalah-11.4
Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti
kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang
menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukaan air laut. Pada saat nelayan
tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya melayang
ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3
detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode
dalam beberapa interval waktu pengamatan.
Permasalahan
Dari ilustrasi ini, dapatkah kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam
2 periode? Ingat pengertian periode pada pelajaran trigonometri di kelas X. Dapatkah
kamu tentukan pada interval waktu berapakah lumba-lumba tersebut bergerak naik
atau turun? Dapatkah kamu temukan konsep fungsi naik/turun?

Gambar 11.7 Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentu
Gambar 11.8 Sketsa pergerakan naik/turun lumba-lumba dalam pengamatan tertentu
Secara geometri pada sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interval 0 < t <
7,5 atau 16,5 < t < 25,5 atau 34,5 < t < 36 dan disebut bergerak naik di interval 7,5 <
t < 16,5 atau 25,5 < t < 34,5.
• Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat
fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva
pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat
fungsi turun.

171Matematika
Gambar 11.9 Garis singgung di interval fungsi naik/turun
Selanjutnya, mari kita bahas hubungan persamaan garis singgung dengan fungsi
naik atau turun. Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen
sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Pada persamaan
garis singgung, gradien adalah tangen sudut garis tersebut dengan sumbu x positif
sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik singgungnya. Pada gambar
di atas, misalkan besar masing-masing sudut adalah 00
< α1
< 900
, 00
< α2
< 900
,
00
< α3
< 900
, 00
< α4
< 900
sehingga nilai gradien atau tangen sudut setiap garis
singgung ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 11.1 Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turun
PGS Sudut Nilai tangen Menyinggung di
PGS 1 α1
m = tan (α1
) = f '(x) > 0 Fungsi Naik
PGS 2 3600
- α2
m = tan(3600
– α2
) = f '(x) < 0 Fungsi Turun
PGS 3 α3
m = tan (α3
) = f '(x) > 0 Fungsi Naik
PGS 4 3600
- α4
m = tan(3600
– α4
) = f '(x) < 0 Fungsi Turun
Coba kamu amati Gambar 11.9 dan Tabel 11.1! Apakah kamu melihat konsep fungsi
naik/turun. Coba kamu perhatikan kesimpulan berikut:
• Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi naik maka garis singgung akan
membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran I. Hal ini menyebabkan
besar gradien adalah positif atau m = f '(x) > 0.

• Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi turun maka garis singgung akan
membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran IV. Hal ini menyebabkan
besar gradien adalah negatif atau m = f '(x) < 0.
Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa fungsi f(x) yang dapat diturunkan
pada interval I, akan mempunyai kondisi sebagai berikut:
Tabel 11.2 Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turun
No. Nilai turunan pertama Keterangan
1 f ' (x) > 0 Fungsi selalu naik
2 f ' (x) < 0 Fungsi selalu turun
3 f ' (x) ≥ 0 Fungsi tidak pernah turun
4 f ' (x) ≤ 0 Fungsi tidak pernah naik
Sifat 11.2
Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ∈ I maka
1. Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
2. Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.
3. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.
4. Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.
Konsep di atas dapat digunakan jika kita sudah memiliki fungsi yang akan
dianalisis. Tetapi banyak kasus sehari-hari harus dimodelkan terlebih dahulu sebelum
dianalisis. Perhatikan kembali permasalahan berikut!
Masalah-11.5
Tiga orang anak sedang berlomba melempar buah mangga di ketinggian 10
meter. Mereka berbaris menghadap pohon mangga sejauh 5 meter. Anak
pertama akan melempar buah mangga tersebut kemudian akan dilanjutkan
dengan anak kedua bila tidak mengenai sasaran. Lintasan lemparan setiap
anak membentuk kurva parabola. Lemparan anak pertama mencapai
ketinggian 9 meter dan batu jatuh 12 meter dari mereka. Lemparan anak kedua
melintas di atas sasaran setinggi 5 meter. Anak ketiga berhasil mengenai
sasaran. Tentu saja pemenangnya anak ketiga, bukan?

173Matematika
Permasalahan.
Dapatkah kamu mensketsa lintasan lemparan ketiga anak tersebut? Dapatkah
kamu membuat model matematika lintasan lemparan? Dapatkah kamu menentukan
interval jarak agar masing-masing lemparan naik atau turun berdasarkan konsep
turunan?
a. Sketsa Lintasan Lemparan
Permasalahan di atas dapat kita analisis setelah kita modelkan fungsinya. Misalkan
posisi awal mereka melempar adalah posisi titik asal O(0,0) pada koordinat kartesius,
sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut.
Gambar 11.11 Sketsa lemparan 1, 2 dan 3
b. Model Lintasan Lemparan
Kamu masih ingat konsep fungsi kuadrat, bukan? Ingat kembali konsep fungsi kuadrat
di kelas X Fungsi kuadrat yang melalui titik puncak P(xp
, yp
) dan titik sembarang P(x,
y) adalah y – yp
= a(x – xp
)2
sementara fungsi kuadrat yang melalui akar-akar x1
, x2
dan titik sembarang P(x, y) adalah y = a(x – x1
)(x – x2
), dengan x
x x
p =
+1 2
2
dan a ≠
0, a bilangan real. Jadi, model lintasan lemparan setiap anak tersebut adalah:

Lintasan lemparan anak pertama
Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P1
(6,9).
y = a(x – 0)(x – 12) ó 9 = a(6 – 0)(6 – 12)
ó a = –0,25
Fungsi lintasan lemparan anak pertama adalah y = –0,25x2
+ 3x.
Lintasan lemparan anak kedua
(5,15).
y – 15 = a(x – 5)2
ó 0 – 15 = a(0 – 5)2
ó a = –0,6
Fungsi lintasan lemparan anak kedua adalah y = –0,6x2
+ 6x.
Lintasan lemparan anak ketiga
(5,10).
y – 0 = a(x – 5)2
ó 0 – 10 = a(0 – 5)2
ó a = –0,4
Fungsi lintasan lemparan anak ketiga adalah y = –0,4x2
+ 4x.
C. Interval Fungsi Naik/Turun Fungsi Lintasan
Coba kamu amati kembali Gambar 11.11! Secara geometri, jelas kita lihat interval
fungsi naik/turun pada masing-masing lintasan, seperti pada tabel berikut:
Tabel 11.3 Fungsi dan interval naik/turun fungsi lemparan anak 1, 2, dan 3
Lintasan
ke
Fungsi
Secara Geometri
Interval Naik Interval Turun
1 y = –0,25x2
+ 3x 0 < x < 6 6 < x < 12
2 y = –0,6x2
+ 6x 0 < x < 5 5 < x < 10
3 y = –0,4x2
+ 4x 0 < x < 5 5 < x < 10
Mari kita tunjukkan kembali interval fungsi naik/turun dengan menggunakan
konsep turunan yang telah kita pelajari sebelumnya.
Fungsi naik/turun pada lintasan lemparan anak 1
Fungsi yang telah diperoleh adalah y = –0,25x2
+ 3x sehingga y = –0,5x2
+ 3x. Jadi,
fungsi akan naik: y = –0,5x2
+ 3x ⇔ x < 6
fungsi akan turun: y = –0,5x + 3 < 0 ⇔ x > 6

175Matematika
Menurut ilustrasi, batu dilempar dari posisi awal O(0,0) dan jatuh pada posisi
akhir Q(12,0) sehingga lintasan lemparan akan naik pada 0 < x < 6 dan turun pada
6 < x < 12.
• Bagaimana menunjukkan interval fungsi naik/turun dengan konsep turunan pada
fungsi lintasan lemparan anak 2 dan anak 3 diserahkan kepadamu.
Contoh 11.13
Tentukanlah interval fungsi naik/turun fungsi f(x) = x4
– 2x2
Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga:
f '(x) = 4x3
– 4x > 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) > 0
⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = –1
Dengan menggunakan interval.
- +-+
11− 0
Interval Turun Interval Turun
Interval Naik Interval Naik
Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval 1 –1 < x < 0 atau x > 1 tetapi turun
pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4
– 2x2
tersebut.
Gambar 11.12 Fungsi naik/turun kurva f(x) = x4
– 2x2

Contoh 11.14
Tentukanlah interval fungsi naik f x x x( ) = −2
Masih ingatkah kamu syarat numerus P x( ) adalah P(x) ≥ 0. Jadi, syarat numerus
f x x x( ) = −2
adalah x2
– x ≥ 0. Ingatlah kembali cara-cara menyelesaikan
pertidaksamaan.
x2
– x ≥ 0 ⇔ x(x – 1) ≥ 0
⇔ x = 0 atau x = 1
+-+
10
Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x ≤ 0 atau x ≥ 1 Berdasarkan konsep,
sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga:
f x
x
x x
'( ) =
−
−
>
2 1
2
0
2
⇔ 2x – 1 > 0 karena x x2
0− > dan x ≠ 0, x ≠ 1
⇔ x >
1
2
10
2
1
naik
Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval x > 1.

177Matematika
Perhatikanlah grafik fungsi f x x x( ) = −2
berikut!
Gambar 11.13 Fungsi naik/turun f x x x( ) = −2
• Coba kamu lakukan dengan cara yang sama untuk mencari interval fungsi turun!
Jika kamu benar mengerjakannya maka fungsi turun pada interval x < 0.
2.3 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Maksimum dan
Minimum
Setelah menemukan konsep fungsi naik dan turun, kita akan melanjutkan
pembelajaran ke permasalahan maksimum dan minimum serta titik belok suatu
fungsi. Tentu saja, kita masih melakukan pengamatan terhadap garis singgung kurva.
Aplikasi yang akan dibahas adalah permasalahan titik optimal fungsi dalam interval
terbuka dan tertutup, titik belok, dan permasalahan kecepatan maupun percepatan.
2.3.1 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbuka
Grafik fungsi dapat naik kemudian turun sehingga fungsi tersebut memiliki nilai
maksimum pada interval tertentu. Sebuah fungsi dapat pula turun kemudian naik
kembali sehingga fungsi memiliki nilai minimum pada interval berikut.
Perhatikan masalah berikut.

Masalah-11.6
Seorang anak menarik sebuah tali yang cukup panjang. Kemudian dia
membuat gelombang dari tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas
dan ke bawah sehingga terbentuk sebuah gelombang berjalan. Dia terus
mengamati gelombang tali yang dia buat. Dia melihat bahwa gelombang tali
memiliki puncak maksimum maupun minimum. Dapatkah kamu menemukan
konsep nilai maksimum ataupun minimum dari sebuah fungsi?
Gradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri
dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya.
Gambar 11.15 Sketsa gelombang tali
Coba kamu amati gambar di atas. Garis singgung (PGS 1, PGS 2, PGS 3 dan
PGS 4) adalah garis horizontal atau y = c, c konstan, sehingga gradiennya adalah m
= 0. Keempat garis singgung tersebut menyinggung kurva di titik puncak/optimal,
di absis x = x1
, x = x2
, x = x3
, dan x = x4
. Dari pengamatan, dapat disimpulkan
bahwa sebuah fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) pada suatu
daerah jika m = f '(x) = 0. Titik yang memenuhi f '(x) = 0 disebut titik stasioner.
Berikutnya, kita akan mencoba menemukan hubungan antara titik stasioner dengan
turunan kedua fungsi. Pada Gambar 11.15, f '(x1
) = 0, f '(x2
) = 0, f '(x3
) = 0 dan
f '(x4
) = 0. Artinya kurva turunan pertama fungsi melalui sumbu x di titik A(x1
, 0),
B(x2
, 0), C(x3
, 0) dan D(x4
, 0).
• Coba kamu amati kurva turunan pertama fungsi dan garis singgungnya sebagai
berikut. Kesimpulan apa yang kamu dapat berikan?

179Matematika
Gambar 11.16 Hubungan garis singgung kurva m = f '(x) dengan titik stasioner
Titik A(x1
, y1
) adalah titik maksimum pada Gambar 11.15 sehingga titik dengan
absis x = x1
adalah titik stasioner karena f '(x1
) = 0. Persamaan garis singgung kurva
dengan gradien M pada fungsi m = f '(x) menyinggung di titik x = x1
membentuk sudut
di kuadran IV sehingga nilai tangen sudut bernilai negatif. Hal ini mengakibatkan
M = m ' = f ''(x1
) < 0. Dengan kata lain, titik A(x1
, y1
) adalah titik maksimum jika
f '(x1
) = 0 dan f "(x1
) < 0.
Kesimpulan: lihat Gambar 11.16 misalkan gradien persamaan garis singgung
kurva m = f '(x) adalah M sehingga M = m ' = f ''(x) maka hubungan turunan kedua
dengan titik stasioner adalah:
Tabel 11.4 Hubungan turunan kedua fungsi dengan titik optimal (stasioner)
PGS Gradien M = m ' = f ''(x) Jenis Titik Pergerakan kurva
a Ma = f "(x1) < 0 Max Naik-Max-Turun
b Mb = f "(x2) > 0 Min Turun-Min-Naik
c Mc = f "(x3) < 0 Max Naik-Max-Turun
d Md = f "(x4) > 0 Min Turun-Min-Naik
p Mp = f "(x5) = 0 T. Belok Turun-Belok-Turun
q Mq = f "(x6) = 0 T. Belok Naik-Belok-Naik
r Mr = f "(x7) = 0 T. Belok Turun-Belok-Turun

Sifat 11.3
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama
dan kedua pada x1
∈ I sehingga:
1. Jika f '(x1
) = 0 maka titik (x1
, f(x1
))disebut stasioner/kritis
2. Jika f '(x1
) = 0 dan f "(x1
) > 0 maka titk (x1
, f(x1
)) disebut titik balik minimum
fungsi
3. Jika f '(x1
) = 0 dan f "(x1
) < 0 maka titik (x1
, f(x1
)) disebut titik balik maksimum
fungsi
4. Jika f ''(x1
) = 0 maka titik (x1
, f(x1
)) disebut titik belok fungsi
Contoh 11.15
Tentukanlah titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2
– 4x + 3
Alternatif Penyelesaian 1 (Berdasarkan Konsep Fungsi Kuadrat)
Dengan mengingat kembali pelajaran fungsi kuadrat. Sebuah fungsi f(x) = ax2
+ bx + c mempunyai titik balik B
b
a
D
a
( , )− −
2 4
di mana fungsi mencapai maksimum
untuk a < 0 dan mencapai minimum untuk a > 0 sehingga fungsi f(x) = x2
– 4x + 3
mempunyai titik balik minimum pada B B(
( )
,
( ) ( )( )
( )
) ( , )−
−
−
− −
= −
4
2 1
4 4 1 3
4 1
2 1
2
.
Alternatif Penyelesaian 2 (Berdasarkan Konsep Turunan)
Dengan menggunakan konsep turunan di atas maka fungsi f(x) = x2
– 4x + 3
mempunyai stasioner: f '(x) = 2x – 4 = 0 atau x = 2 dan dengan mensubstitusi nilai
x = 2 ke fungsi y = f(x) = x2
– 4x + 3 diperoleh y = –1 sehingga titik stasioner adalah
B(2, –1). Mari kita periksa jenis keoptimalan fungsi tersebut dengan melihat nilai
turunan keduanya pada titik tersebut. f "(x) = 2 atau f "(2) = 2 > 0. Berdasarkan
konsep, titik tersebut adalah titik minimum. Jadi, titik balik fungsi kuadrat f(x) =
x2
– 4x + 3 adalah minimum di B(2, –1).

181Matematika
Gambar 11.17 Titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2
– 4x + 3
Contoh 11.16
Analisislah kurva fungsi y = f(x) berdasarkan sketsa kurva turunan pertamanya
berikut.
Gambar 11.18 Sketsa turunan pertama suatu fungsi y = f(x)
Secara geometri sketsa turunan pertama fungsi di atas, nilai setiap fungsi di bawah
sumbu x adalah negatif dan bernilai positif untuk setiap fungsi di atas sumbu x.
h
Gambar 11.19 Analisis fungsi berdasarkan konsep turunan fungsi y = f(x)

Dengan demikian, melalui pengamatan dan terhadap grafik turunan pertama dan
konsep turunan maka fungsi y = f(x) akan:
• Naik (f '(x) > 0) pada a < x < c, c < x < e dan x > i
• Turun (f '(x) < 0) pada x < a, e < x < g dan g < x < i
• Stasioner (f '(x) = 0) pada absis x = a, x = c, x = e, x = g dan x = i
• Optimal maksimum (f '(x) = 0 dan f "(x) < 0) pada absis x = e
• Optimal minimum (f '(x) = 0 dan f "(x) > 0) pada absis x = a dan
x = i
• Titik belok ( f "(x) = 0) pada absis x = b, x = c, x = d, x = f, x = g dan x = h
2.2.2 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval tertutup
Masalah-11.7
Coba kamu amati posisi titik maksimum dan minimum dari beberapa gambar
berikut.
Gambar 11.20 Titik maksimum dan minimum suatu fungsi
Kesimpulan apa yang kamu peroleh?

183Matematika
Gambar A di atas telah kita bahas pada permasalahan 11.6. Jika kamu amati
dengan teliti, perbedaan antara gambar A dengan ketiga gambar lainnya (B, C dan
D) adalah terdapat sebuah daerah yang membatasi kurva. Dengan demikian, gambar
A adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada daerah terbuka dan
ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada
daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada
titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi.
Contoh 11.7
Sebuah pertikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva
f(t) = t3
– 9t2
+ 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukanlah nilai optimal pergerakan partikel
tersebut.
Daerah asal fungsi adalah {t | 0 ≤ t ≤ 6} Titik stasioner f '(t) = 0
f(t) = t3
– 9t2
+ 24t – 16 sehingga f '(t) = 3(t2
– 6t + 8) dan f "(t) = 6t – 18
f '(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0
t = 2 → f (2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0
Karena daerah asal {t | 0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga:
t = 0→ f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20
Nilai minimum keempat titik adalah -16 sehingga titik minimum kurva pada daerah
asal adalah A(0,-16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik
maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6,20).
Perhatikan gambar.

Gambar 11.21 Titik optimal kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6.
Masalah-11.8
Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk
lingkaran tetapi terbuat dari bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat
harus mempunyai volume 43.120 cm3
. Biaya pembuatan alas adalah Rp150,-
per cm2
, biaya pembuatan selimut tabung adalah Rp80,- per cm2
sementara
biaya pembuatan atap adalah Rp50,- per cm2
. Berapakah biaya minimal yang
harus disediakan anak tersebut?
Mari kita sketsa tabung yang akan dibuat. Misalkan r adalah radius alas dan atap
tabung, t adalah tinggi tabung π =
22
7
.
V r t t
r
= = ⇔ =
22
7
43120
7
22
2
2
x
43120
Biaya = (Luas alas × biaya alas) + (Luas selimut × biaya
selimut) + (Luas atap × biaya atap)
Biaya =
22
7
22
7
22
7
2 2
r rt r× × ×50 + 80 50+
Gambar 11.22 Tabung
r
r
r
2
πr
t t

185Matematika
Biaya =
22
7
22
7
7
22
22
7
2
2
2
r r
r
r×1 × × × ×50
43120
80 50+ +
Biaya =
22
7
2
r
r
× ×200
43120
80+
Biaya B(r) adalah fungsi atas radius r (dalam Rupiah).
B r r
r
B r r
r
r
r
( )
'( )
= +
= − =
=
4400
7
8800
7
0
88
7
2
2
3
3449600
3449600
34496
22
r3
= 2744 = 143 ó r = 14
Jadi biaya minimum = × × + ×
= × + ×
+
=
22
7
14
14
616 3080
2
200
43120
80
200 80
= 123200 246400
369.6600
Biaya minimum adalah Rp369.600,-
Contoh 11.18
Kamu masih ingat soal pada Bab Limit Fungsi di kelas X, bukan? Sebuah bidang
logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan
luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0, 25t2
+ 0,5t(cm2
). Tentukanlah kecepatan perubahan
pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit.
Alternatif penyelesaian pertama (dengan Numerik)
Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan
dengan besar selisih waktu.

Perhatikan tabel!
Tabel 11.5: Nilai pendekatan f(t) = 0,25t2
+ 0,5t pada saat t mendekati 5
12 ∆t = t-5 ∆f = f(t)-f(5) ∆f /∆t
1 -4 -8 2
2 -3 -6,75 2,25
3 -2 -5 2,5
4 -1 -2,75 2,75
4,5 -0,5 -1,4375 2,875
4,9 -0,1 -0,2975 2,975
4,99 -0,01 -0,029975 2,9975
4,999 -0,001 -0,00299975 2,99975
4,9999 -0,0001 -0,000299997 2,999975
5 0,0000 0 ?
5,0001 0,0001 0,000300002 3,000025
5,001 0,001 0,00300025 3,00025
5,01 0,01 0,030025 3,0025
5,1 0,1 0,3025 3,025
5,5 0,5 1,5625 3,125
6 1 3,25 3,25
Dengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan f(t)
akan mendekati 3 (cm2
/menit).
Alternatif Penyelesaian kedua (dengan konsep Limit)
f(t) = 0,25t2
+ 0,5t
f(5) = 0,25(5)2
+ 0,5(5) = 8,75
lim
( ) ( )
lim
( , , ) ( )
lim
,
t t
t
f t f
t
t t f
t
t
→ →
→
−
−
=
+ −
−
=
5 5
2
5
5
5
0 25 0 5 5
5
0 25 22
5
2
5
0 5 8 75
5
0 5 0 5 17 5
5
0 5 0 5
+ −
−
=
+ −
−
=
+
→
→
, ,
lim
, ( , , )
lim
, ( ,
t
t
t t
t
t
t
t
33 5 5
5
0 5 0 5 3 5
0 5 0 5 5 3 5
3
5
, )( )
lim , ( , , )
, ( , , )
t
t
t
t
−
−
= +
= +
=
→
x

187Matematika
lim
( ) ( )
lim
( , , ) ( )
lim
,
t t
t
f t f
t
t t f
t
t
→ →
→
−
−
=
+ −
−
=
5 5
2
5
5
5
0 25 0 5 5
5
0 25 22
5
2
5
0 5 8 75
5
0 5 0 5 17 5
5
0 5 0 5
+ −
−
=
+ −
−
=
+
→
→
, ,
lim
, ( , , )
lim
, ( ,
t
t
t t
t
t
t
t
33 5 5
5
0 5 0 5 3 5
0 5 0 5 5 3 5
3
5
, )( )
lim , ( , , )
, ( , , )
t
t
t
t
−
−
= +
= +
=
→
x
Alternatif Penyelesaian ketiga (dengan konsep Turunan)
f(t) = 0,25t2
+ ,5t
f '(t) = 0,5t + 0,5 = 0
f(5) = 2,5 + 0,5 = 3
Kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit adalah
3 (cm2
/menit).
Contoh 11.19
Seorang karyawan berencana akan tinggal di rumah kontarakan setelah dia
diterima bekerja di sebuah pabrik. Untuk menghemat biaya pengeluaran, ia berharap
dapat tinggal di kontrakan yang tidak jauh dari tempat dia bekerja dan uang sewa
kontrakan yang juga mendukung. Jika dia tinggal x km dari tempat bekerja maka
biaya transportasi adalah c rupiah per km per tahun. Biaya kontrakan adalah
b
x +1
per
tahun (dalam rupiah), dengan b dan c adalah konstanta bernilai real positif dan b > c.
Dapatkah kamu tentukan biaya minimum pengeluaran karyawan tersebut?
Langkah 1. Modelkan permasalahan
Biaya = Biaya transportasi + Biaya sewa (per tahun)
B x cx
b
x
( ) = +
+1
dengan daerah asal x ≥ 0
Langkah 2. Tentukan titik stasioner
B(x) = cx + b(x + 1)-1
sehingga B'(x) = c – b(x + 1)-2
= 0

⇔
+ −
+
=
⇔ = − − = − +
c x b
x
x
b
c
x
b
c
( )
( )
1
1
0
1 1
2
2
atau
Karena b > c dan x ≥ 0 maka nilai x yang digunakan adalah x
b
c
= − +1
Langkah 3. Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi
B'(x) = c – b(x + 1)-2
sehingga B"(x) = 2b(x + 1)-3
=
2
1 3
b
x( )+
B
b
c
b
b
c
c c
b
''( )
( )
− + = =1
2 2
3
Karena b dan c adalah konstanta bernilai real positif maka B
b
c
''( )− + >1 0 atau
merupakan ekstrim minimum.
Langkah 4. Tentukan biaya minimum
Mensubstitusikan nilai x = -1 +
b
c
ke fungsi B(x) sehingga
B
b
c
c bc( )− + = − +1 2
Jadi, biaya minimum karyawan tersebut adalah: − +c bc2 (dalam rupiah) per tahun.
2.4 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan dan
Percepatan
Secara arti fisis, konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai
optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan
dan percepatan suatu fungsi. Amati dan pelajarilah permasalahan berikut!

189Matematika
Masalah-11.9
Seorang pembalap melakukan latihan di sebuah arena balap dengan
lintasan yang berkelok-kelok. Dia melaju kencang meninggalkan garis start
dengan kecepatan yang diatur dengan baik. Di setiap belokan lintasan,
dia menurunkan kecepatannya tetapi berharap dengan secepat mungkin
menaikkan kecepatan setelah meninggalkan titik belokan tersebut. Demikian
dia berlatih membalap dan akhirnya dia berhenti mendekati titik finish.
Apakah kamu dapat menemukan hubungan jarak lintasan dan kecepatan?
Dapatkah kamu jelaskan ilustrasi di atas berdasarkan konsep turunan?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menemukan konsep turunan
dan mengaplikasikannya kembali. Misalkan lintasan arena balap tersebut adalah
sebuah lintasan yang berupa siklis yaitu garis start dan garis finish adalah sama,
tetapi dipandang berlawanan arah. Garis start berarti garis tersebut ditinggalkan atau
bergerak menjauhi sementara garis finish berarti garis tersebut didekati.
Perhatikan gambar berikut:
Gambar 11.24 Lintasan balap
Pada arena balap yang menjadi variabel adalah waktu sehingga lintasan yang
ditempuh merupakan fungsi waktu s = f(t). Dengan demikian, daerah asal fungsi
adalah waktu t ≥ 0 karena dihitung sejak diam. Setiap titik pada lintasan akan didekati
dan dijauhi, bukan? Hal ini berarti ada peranan kecepatan v(t). Untuk titik yang dijauhi
berarti kecepatan positif, dan titik yang akan didekati berarti kecepatan negatif.

Tabel 11.6 Kecepatan suatu fungsi dan posisinya
Posisi Nilai
Diam v(t)= 0
Bergerak menjauhi titik tetap (Start) v(t) > 0
Bergerak mendekati titik tetap (Finish) v(t) < 0
Jadi, bergerak semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti terjadi perubahan
pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan,
ada waktu perubahan waktu yaitu:
v t
f t t f t
t
f t
t
( ) lim
( ) ( )
'( )=
+ −
=
→∆
∆
∆0
atau v(t) = s'(t)
Pergerakan pembalap pada lintasan di titik belok diperlambat atau dipercepat,
sehingga posisi percepatan adalah sebagai berikut:
Tabel 11.7 Percepatan suatu fungsi dan posisinya
Posisi Nilai
Konstan a(t) = 0
Bergerak diperlambat a(t) < 0
Bergerak dipercepat a(t) > 0
Jadi, bergerak dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan kenderaan
tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kenderaan. Percepatan a(t) adalah laju
perubahan dari kecepatan, yaitu:
a t
v t t v t
t
v t
t
( ) lim
( ) ( )
'( )=
+ −
=
→∆
∆
∆0
atau a(t) = v'(t) = s"(t)
Contoh 11.20
Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang
merupakan fungsi jarak s atas waktu t yaitu s(t) = t4
– 6t2
+ 12.Tentukanlah panjang
lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan.
Diketahui: s(t) = t4
– 6t2
+ 12
Ditanya: s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0

191Matematika
Proses penyelesaian
Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi
v(t) = s'(t) = 4t2
–12t
Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan
a(t) = v'(t) = 12t2
– 12 = 0
12(t + 1)(t – 1) = 0
Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga:
v(1) = s'(1) = 4(1)3
– 12(1) = –8
s(1) = (1)4
– 6(1)2
+ 12 = 7
3. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan
Berdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar
kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik
optimalnya (maksimum atau minimum) dan titik belok. Perhatikan dan pelajarilah
contoh berikut.
Contoh 11.21
Analisis dan sketsalah kurva fungsi f(x) = x4
+ 2x3
.
Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.
f(x) = x4
+ 2x3
ó x3
(x + 2) = 0
ó x3
= 0 atau x + 2 = 0
ó x = 0 atau x = –2
Jadi, kurva melalui sumbu x di titik A(0,0) atau B(-2,0)
Langkah 2. Menentukan titik stasioner.
f '(x) = 4x3
+ 6x2
= 0 ó 2x2
(2x + 3) = 0
ó 2x2
= 0 atau 2x + 3 = 0
ó x = 0 atau x = −
3
2

Nilai f(0) = 0 atau f ( )− = −
3
2
27
16
Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau C( , )− −
3
2
27
16
.
Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik
adalah:
f '(x) = 4x3
+ 6x2
> 0 ó 2x2
(2x + 3) > 0
ó x = 0 atau x = −
3
2
Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X.
0
2
3
−
+ +
-
Interval Turun
Jadi, fungsi akan naik pada x < −
3
2
atau x > 0 dan turun pada
− < <
3
2
0x .
Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi Untuk menentukan titik balik maksimum
atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke turunan
kedua fungsi.
f "(x) = 12x2
+ 12 x sehingga f "(0) = 0
Titik A(0,0) bukanlah sebuah titik balik.
f "(x) = 12x2
+ 12x sehingga f ''( )− = >
3
2
9 0
TitikC( , )− −
3
2
27
16
adalah titik balik minimum.
Langkah 5. Menentukan titik belok
f "(x) = 12x2
+ 12x = 0 ó 12x(x + 1) = 0

193Matematika
ó 12x = 0 atau x + 1 = 0
ó x = 0 atau x = –1
Nilai f(0) = 0 atau f(–1) = –1
Jadi, titik belok fungsi adalah A(0,0) atau D(–1, –1).
Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu
x -7/4 -1/2 1/4 1/2
y = x4
+ 2x3
-343/256 -3/16 9/256 5/16
(x,y) P(-7/4,-343/256) Q(-1/2,-3/16) R(1/4,9/256) S(1/2,5/16)
Gambar 11.25 Sketsa kurva fungsi f(x) = x4
+ 2x3
.
Contoh 11.12
Analisis dan sketsalah kurva fungsi f x
x
x
( ) =
−
2
1
.
Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.
f x
x
x
( ) =
−
2
1
ó
x
x
2
1
0
−
=
ó x2
= 0 dan x – 1 ≠ 0
ó x = 0 dan x ≠ 1
Jadi, kurva melalui sumbu x pada titik A(0,0)

Langkah 2. Menentukan titik stasioner.
f x
x x x
x
'( )
( ) ( )
( )
=
− −
−
=
2 1 1
1
0
2
2

ó 2x(x – 1) – x2
(1) = 0 dan (x – 1)2
≠ 0
ó x2
– 2x = 0 dan x ≠ 1
ó x(x – 2) dan x ≠ 1
ó x = 0 atau x = 2
Nilai f(0) = 0 atau f(2) = 4 Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau
B(2,4).
Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun. Interval pembuat fungsi naik
adalah:
f x
x x
x
'( )
( )
=
−
−
>
2
2
2
1
0 ó (x2
– 2x)(x – 1)2
> 0
ó x(x – 2)(x – 1)2
> 0
ó x = 0, x = 2 atau x = 1
Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X.
Interval Turun
+ +-
20 1
-
Interval Turun
Jadi, fungsi akan naik pada x < 0 atau x > 2 dan fungsi akan turun pada
0 < x < 1 atau 1 < x < 2.
Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi. Untuk menentukan titik balik maksimum
atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasionernya ke turunan
kedua fungsi.
f x
x x
x
'( )
( )
=
−
−
2
2
2
1
sehingga
f x
x x x x x
x x
''( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
=
− − − − −
−
=
−
2 2 1 2 2 1 1
1
2
1
2 2
4 3

195Matematika
f "(0) = –2 < 0 dan f "(2) = 2 > 0
Titik A(0, 0) adalah titik balik maksimum dan titik A(2, 4) adalah titik
balik minimum.
Langkah 5. Menentukan titik belok
f x
x
''( )
( )
=
−
=
2
1
03
ó tidak ada nilai x pembuat fungsi turunan adalah
nol
Jadi, tidak ada titik belok pada fungsi tersebut.
Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu
Gambar 11.26 Sketsa kurva fungsi f x
x
x
( ) =
−
2
1
.

Uji Kompetensi 11.2
1. Tentukanlah titik balik fungsi-fungsi berikut!
a. f(x) = x2
– 2x
b. f x x x( ) = − + −
1
2
2
3
3
4
2
c. f(x) = x3
– x
d. f(x) = x3
– 6x – 9x + 1
e. f(x) = x4
– x2
2. Analisis dan sketsalah bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan
menunjukkan interval fungsi naik/turun, titik maksimum/minimum dan titik
belok!
a. f(x) = x2
– 2x
b. f(x) = x3
– x
c. f(x) = x4
– x2
d. f x
x
( ) =
−
1
1
e. f x
x
x
( ) =
−
+
2
1
3. Analisis (fungsi naik/turun, maksimum/minimum, titik belok) kurva dari suatu
fungsi berdasarkan sketsa turunan pertamanya.
a.

197Matematika
b.
c.
d.
4. Seorang anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan
diameter 28 cm. Kemudian, dia berencana membuat sebuah bangun segiempat di
dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut segiempat menyinggung
keliling kurva.
a. Sketsalah kurva tertutup setengah lingkaran tersebut.
b. Buatlah segiempat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva. Sebutkanlah
jenis-jenis segiempat yang dapat dibuat.

c. Hitunglah masing-masing segiempat yang diperoleh.
d. Segiempat yang manakah yang mempunyai luas terbesar? Carilah luas
segiempat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan
menggunakan konsep diferensial.
5. Sebuah segiempat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu
y dan kurva fungsi y = (x – 1)2
. Jika O adalah titik asal koordinat, A pada sumbu
x, B pada kurva dan C pada sumbu y maka tentukanlah persamaan garis singgung
dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah
permasalahan di atas.
Projek
Jika f adalah fungsi bernilai real pada – ∞ < x < ∞. Berdasarkan konsep,
turunan adalah sebuah limit fungsi, yaitu f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→∆
∆
∆0
.
Nyatakanlah turunan kedua fungsi f "(x) sebagai limit fungsi. Kemudian
tentukanlah turunan kedua dari f x x( ) = 2 pada x > 0.
Buatlah laporan projekmu dan presentasikanlah di depan teman-temanmu
dan gurumu!
D. PENUTUP
Kita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat-sifatnya dari berbagai
pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat
turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut:
1. Misalkan f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1
, y1
) dan Q(x1
+ ∆x, y1
+
∆y) pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan titik P dan Q dengan
gradien m
f x x f x
x
sec
( ) ( )
=
+ −1 1∆
∆
2. Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1
, y1
) pada kurva.
Gradien garis tangen/singgung di titik P(x1
, y1
) adalah nilai limit garis sekan di
titik P(x1
, y1
), ditulis m m
f x x f x
xx x
tan seclim lim
( ) ( )
= =
+ −
→ →∆ ∆
∆
∆0 0
1 1

199Matematika
3. Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan
pada titik c jika dan hanya jika nilai lim
( ) ( )
∆
∆
∆x
f c x f c
x→
+ −
0
ada.
4. Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan
hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S.
5. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan c ∈ S dan L ∈ R. Fungsi f dapat
diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai
turunan kanan, ditulis:
f '(c)= lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
x c x c
f x f c
x c
f x f c
x c
L
→ →+ −
−
−
=
−
−
= .
6. Aturan Turunan:
Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real, dapat
diturunkan maka:
f(x) = a → f '(x) = 0
f(x) = ax → f '(x) = a
f(x) = axn
→ f '(x) = axn–1
f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x)
f(x) = a[u(x)]n
→ f '(x) = au'(x)[u(x)]n–1
f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v'(x)
f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

f x
u x
v x
f x
u x v x u x v x
v x
( )
( )
( )
'( )
'( ) ( ) ( ) '( )
[ ( )]
= → =
−
2
7. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada x ∈ I maka
Jika f '(x) > 0 maka kurva selalu naik pada interval I
Jika f '(x) < 0 maka kurva selalu turun pada interval I
Jika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah turun pada interval I
Jika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah naik pada interval I
8. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan pertama dan
kedua pada x1
∈ I sehingga:

Jika f '(x1
) = 0 maka titik P(x1
, f(x)) disebut dengan stasioner/kritis.
Jika f '(x1
) = 0 dan f "(x1
) > 0 maka titik P(x1
, f(x)) disebut titik balik minimum
fungsi.
Jika f '(x1
) = 0 dan f "(x1
) < 0 maka titik P(x1
, f(x)) disebut titik balik maksimum
fungsi.
Jika f "(x1
) = 0 maka titik P(x1
, f(x1
)) disebut titik belok.
9. Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t,
yaitu:
v t
f t t f t
t
f t
t
( ) lim
( ) ( )
'( )=
+ −
=
→∆
∆
∆0
atau v(t) = s'(t)
Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan
waktu t, yaitu:
a t
v t t v t
t
v t
t
( ) lim
( ) ( )
'( )=
+ −
=
→∆
∆
∆0
atau a(t) = v'(t) = s"(t)

Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa
mampu:
1. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku
jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis
matematika.
2. Mendeskripsikan konsep integral tak tentu suatu
fungsi sebagai kebalikan dari turunan fungsi.
3. Memilihdanmenerapkanstrategimenyelesaikan
masalah dunia nyata dan matematika yang
melibatkan turunan dan integral tak tentu dan
memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.
4. Menurunkan aturan dan sifat integral tak tentu
dari aturan dan sifat turunan fungsi.
model matematika Dalam memecahkan
masalah nyata tentang integral tak tentu dari
fungsi aljabar.
Melalui proses pembelajaran integral, siswa
memiliki penga-laman belajar sebagai berikut.
• menemukan konsep integral melalui
pemecahan masalah otentik;
• berkolaborasi memecahkan masalah aktual
dengan pola interaksi sosial kultur;
• berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif)
dalam menyelidiki dan mengaplikasikan
konsep integral dalam memecahkan masalah
otentik.
INTEGRAL
Bab
12
• Integral tak tentu
• Fungsi aljabar
• Derivatif
• Antiderivatif

B. PETA KONSEP
Masalah
Otentik
Integral
Fungsi
Aljabar
Penerapan
Integral Tak
Tentu
Integral Tentu

203Matematika
1. Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari
Turunan Fungsi
Mari kita ingat kembali konsep aplikasi turunan pada bidang fisika. Kecepatan
adalah turunan pertama dari fungsi jarak dan percepatan adalah turunan pertama
dari fungsi kecepatan. Bila kita berpikir kembali tentang aplikasi ini, bagaimana
hubungan kecepatan jika percepatan yang diketahui. Hal ini mempunyai pemikiran
terbalik dengan turunan, bukan? Nah, konsep inilah yang akan kita pelajari, yang
disebut dengan integral.
Integral adalah konsep yang juga banyak berperan dalam perkembangan ilmu
matematika dan penerapan diberbagai bidang. Ini berarti integral banyak diterapkan
di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti
geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu
pengetahuan.
Menurut sejarah, orang yang pertama kali mengemukakan tentang ide integral
adalah Archimedes yang merupakan seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal
dari Syracusa (287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk
mencari luas daerah suatu lingkaran, luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali
busur, dan sebagainya. Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah
oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Menurut sejarah
pengembangan kalkulus juga sangat besar jasa dan peranan dari George Friederick
Benhard Riemann (1826 – 1866).
Pada bab ini akan dibahas tentang arti “antiturunan” (anti derivatif), “integral tak
tentu”, dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan
teknik yang sistematik dalam menentukan suatu fungsi jika turunannya diketahui.
Masalah-12.1
Di pelabuhan selalu terjadi bongkar muat barang dari kapal ke dermaga
dengan menggunakan mesin pengangkat/pemindah barang. Barang dalam
jaring diangkat dan diturunkan ke dermaga. Terkadang barang diturunkan ke
sebuah bidang miring agar mudah dipindahkan ke tempat yang diharapkan.
Dari permasalahan ini, dapatkah kamu sketsa perpindahan barang tersebut?
Dapatkah kamu temukan hubungan masalah ini dengan konsep turunan (Ingat
pelajaran Turunan pada Bab XI)

Misalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut:
Gambar 12.1 Barang yang diturunkan ke bidang miring
Sekarang, kita misalkan jaring (barang)
yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang
miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y,
dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka
gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan
sederhana pada bidang koordinat kartesius.
Jika jaring tersebut sebuah kurva dan
diturunkan pada Gambar 12.2 maka berdasarkan
konsep Transfromasi (translasi) pada Bab X,
terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi
tersebut sampai akhirnya kurva tersebut
akan menyingung bidang miring atau garis.
Perhatikan gambar kembali.
Berdasarkan Gambar 12.3, kurva yang
bergerak turun akan menyinggung garis
tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah
garis singgung pada Bab XI bahwa gradien
garis singgung adalah turunan pertama fungsi
yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan
konsep tersebut maka Gambar 12.3 memberikan
informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′
y
x
jaring
diturunkan
bidang miring
Gambar 12.2 Jaring dan bidang miring
sebagai kurva dan garis pada bidang
koordinat kartesius
y = f(x)+c1
y = f(x)+c2
y = f(x)+c3
....
y = f(x)+ck
y
x
garis singgung
y = mx + n
Gambar 12.3 Perubahan konstanta fungsi
pada translasi kurva

205Matematika
atau m =
dy
dx
= f ′(x) (ingat notasi turunan di Bab XI) sehingga y adalah anti turunan
dari m. Dengan demikian anti turunan dari m adalah y = f(x) + ck
. Hal ini berarti
bahwa nilai konstanta ck
dapat berubah-ubah.
Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi.
Dan anti turunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat
ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan
sebuah fungsi pada masalah berikut.
Masalah-12.2
Berdasarkan konsep turunan, beberapa fungsi tersebut bila diturunkan
menghasilkan fungsi yang sama. Jika digunakan konsep antiturunan pada fungsi
tersebut, bagaimanakah fungsinya? Apakah dapat kembali ke fungsi asal?
Berikut adalah fungsi-fungsi yang akan diamati. a) F(x) =
1
4
x4
, b) F(x) =
1
4
x4
+ 4,
c) F(x) =
1
4
x4
– 8, d) F(x) =
1
4
x4
–
1
2
, e) F(x) =
1
4
x4
–
13
207
. Turunkan fungsi-
fungsi tersebut kemudian amatilah turunan nilai konstantanya! Hubungkan
kembali fungsi awal dengan turunannya serta anti turunannya! Buatlah
kesimpulan dari hasil pengamatan dari penyelesaian yang kamu peroleh!
(petunjuk: turunan fungsi F(x) adalah F′(x) = f(x) = y′
a) F(x) =
1
4
4
x Adalah F '(x) = f(x) = y' =
d
dx
x
1
4
4




 = x3
b) F(x) =
1
4
44
x + adalah F '(x) = f(x) = y'
d
dx
x
1
4
44
+





 = x3
c) F(x) =
1
4
84
x − adalah F '(x) = f(x) = y' =
d
dx
x
1
4
4
8−





 = x3

d) F(x) =
1
4
1
2
4
x − adalah F x f x y
d
dx
x x'( ) ( ) '= = = − =




1
4
4 31
2
e) F(x) =
1
4
13
207
4
x − adalah F x f x y
d
dx
x x'( ) ( ) '= = = − =




1
4
4 313
207
Jikadilakukanpengamatankepadaketigafungsi,makaseluruhfungsiF(x)tersebut
di atas adalah antiturunan dari fungsi f(x) = x3
, sementara fungsi F(x) mempunyai
konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat
memiliki banyak antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu
f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.
F(x) f(x) F(x) + c
turunan anti turunan
Perhatikan dan pahami definisi dan sifat berikut.
Definisi 12.1
f : R → R dan F : R → R disebut antiturunan atau integral tak tentu f jika
F '(x) = f(x) ∀x ∈ R
Sifat 12.1
Proses menemukan y dari
dy
dx
merupakan kebalikan dari sebuah proses turunan
dan dinamakan antiturunan.
Sifat 12.2
Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa
a. turunan F(x) adalah f (x) dan
b. antiturunan dari f(x) adalah F(x)

207Matematika
Contoh 12.1
Jika m = 2x – 4 adalah gradien garis singgung dari sembarang kurva f(x).
Tunjukkan bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi.
Dengan mengingat konsep gradien suatu garis singung dengan turunan bahwa
gradien adalah turunan pertama fungsi tersebut maka m =
dy
dx
= 2x– 4.
Berdasarkan Definisi 12.1 maka y adalah antiturunan dari gradien
dy
dx
= 2x – 4
sehingga dengan konsep turunan maka y = x2
– 4x + c dengan c adalah konstanta
bernilai real.
Dengan c adalah konstanta bernilai real maka terdapat banyak fungsi y = f(x) yang
memenuhi gradien garis singgung tersebut.
Perhatikan gambar berikut!
PGS
PGS
PGS
PGS
x
y
c1
c2
c3
c4
Gambar 12.4 Persamaan garis singgung dan fungsi f(x)
Pada Gambar 12.4 terdapat banyak persamaan garis singgung yang sejajar. Ingat
kembali definisi persamaan garis yang sejajar. Dengan demikian, terdapat juga
banyak fungsi (kurva) yang disinggung oleh garis singgung tersebut.

Uji Kompetensi 12.1
1. Tentukan antiturunan dari
a. f(x) = 2x e. f(x) = 6x
b. f(x) = 3x f. f(x) = 7x
c. f(x) = 4x g. f(x) = 8x
d. f(x) = 4x h. f(x) = 9x
2. Tentukan antiturunan dari fungsi f(x) berikut!
a. f(x) = 2x2
e. f(x) = 4x2
b. f(x) = 2x3
f. f(x) = 4x3
c. f(x) = 3x2
g. f(x) = axn
d. f(x) = 3x3
3. Tentukan antiturunan dari
a. f(x) = x–2
e. f x x( ) =
−
5
1
3
b. f(x) = 2x–3
f. f x x( ) =
−2
3
3
2
c. f x x( ) =
−
1
2 g. f x x( ) =
−
100
1
4
d. f x x( ) =
1
3 h. f x
a
b
xn
( ) = −1 dengan a, b bilangan real, b ≠ 0, n
rasional.
4. Tentukan antiturunan f(x) dengan memanfaatkan turunan fungsi g(x) dibawah ini!
a. Jika f(x) = 8x3
+ 4x dan g(x) = x4
+ x2
b. Jika f x x( ) = dan g x x x( ) =
c. Jika f(x) = (x + 2)3
dan g(x) = (x + 2)4
5. Jika gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi f(x) memenuhi
m = x2
– 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang
memenuhi gradien tersebut.

209Matematika
2. Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu
2.1 Notasi Integral
Kita telah banyak membahas tentang turunan dan antiturunan serta hubungannya
pada beberapa fungsi yang sederhana pada sub-bab di atas. Pada kesempatan ini,
kita akan menggunakan sebuah notasi operator antiturunan tersebut. Antiturunan dari
sebuah fungsi f(x) ditulis dengan menggunakan notasi “∫” (baca: integral).
Perhatikan kembali Masalah 12.2. Alternatif penyelesaian di atas, dapat kita
tuliskan kembali dengan menggunakan notasi integral tersebut.
a) F(x) =
1
4
4
x Adalah F '(x) = f(x) = y' =
d
dx
x
1
4
4




 = x3
sehingga diperoleh

F x f x dx x dx x c( ) ( )= ∫ = ∫ = +3 41
4
b) F(x) =
1
4
44
x + adalah F '(x) = f(x) = y' =
d
dx
x
1
4
44
+





 = x3
sehingga diperoleh

F x f x dx x dx x c( ) ( )= ∫ = ∫ = +3 41
4
c) F(x) =
1
4
84
x − adalah F '(x) = f(x) = y' =
d
dx
x
1
4
4
8−





 = x3
sehingga diperoleh

F x f x dx x dx x c( ) ( )= ∫ = ∫ = +3 41
4
Contoh 12.2
Jika y = 3x4
+ 2x3
, carilah nilai
dy
dx
, kemudian tentukan ∫ 4x3
+ 2x2
dx.
Jika y = 3x4
+ 2x3
maka
dy
dx
= 12x3
+ 6x2
sehingga diperoleh
∫ 12x3
+ 6x2
dx = 3x4
+ 2x3
+ c
∫ 3(4x3
+ 2x2
)dx = 3x4
+ 2x3
+ c

3 ∫ 4x3
+ 2x2
dx = 3x4
+ 2x3
+ c
∫ 4x3
+ 2x2
dx = x4
+
2
3
x3
+ c
2.2 Rumus Dasar Integral Tak Tentu
Berdasarkan pengamatan pada beberapa contoh di atas, jika semua fungsi yang
hanya dibedakan oleh nilai konstantanya diturunkan maka akan menghasilkan fungsi
turunan yang sama sehingga bila diintegralkan akan mengembalikan fungsi turunan
tersebut ke fungsi semula tetapi dengan konstanta c. Nilai konstanta c disebut tak
tentu karena dapat digantikan oleh semua bilangan. Nilai konstanta c akan dapat
ditentukan bila diketahui titik yang dilalui oleh fungsi asal tersebut. Titik asal (initial
value) dapat disubstitusi ke fungsi hasil antiturunan sehingga nilai c dapat ditentukan.
Sifat 12.3
Jika F(x) adalah fungsi dengan F′(x) maka ∫ f(x)dx = F(x) + c
Dengan c sembarang konstanta
Masalah-12.3
Pada konsep turunan, kita dapat memperoleh aturan turunan dengan
menggunakan konsep limit fungsi sehingga proses penurunan sebuah fungsi
dapat dilakukan dengan lebih sederhana dan cepat. Bagaimana dengan konsep
integral suatu fungsi? Adakah aturan yang dapat dimiliki agar proses integrasi
suatu fungsi atau mengembalikan fungsi turunan ke fungsi semula dapat
dilakukan dengan cepat?
Untuk menjawab permasalahan ini, kita akan melakukan beberapa pengamatan
pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu
diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut.
Perhatikan Tabel 12.1

211Matematika
Tabel 12.1 Pola hubungan turunan dan antiturunan fungsi y = axn
Turunan Fungsi
(f(x))
Antiturunan
Fungsi (F(x))
Pola
1 x
0 1 0+11 1
1 = =
1 0 +1
x x x
2x x2 1 2 1+12 2
2 = =
2 1+1
x x x
3x2
x3 1 3 2+13 3
3 = =
3 2 +1
x x x
8x3
2x4 3 3 3+18 8
8 = =
4 3 +1
x x x
25x4
5x5 4 5 4+125 25
25 = =
5 4 +1
x x x
... ... ...
anxn-1
axn
−
-1 ( -1)+1
= =
1 ( 1)+1
n n na an
anx x x
n
axn
?
n+1
+1
a
x
n
Dari pengamatan pada tabel tersebut, kita melihat sebuah aturan integrasi atau
pola anti turunan dari turunannya yaitu
1
1
n na
ax dx x
n
+
=∫
+
.
Agar kamu dapat melihat kebenaran pola ini, kamu harus memperlihatkan lebih
banyak contoh yang melahirkan aturan tersebut seperti pada Tabel 12.1. Kamu
lakukan kembali proses yang dilakukan pada Tabel 12.1 pada kegiatan berikut.

Kegiatan 12.1
Tentukanlah turunan dan antiturunan fungsi-fungsi yang diberikan pada tabel
berikut seperti yang dilakukan pada Tabel 12.1
Tabel 12.2 Pola hubungan turunan dan antiturunan beberapa fungsi F(x)
Turunan Fungsi (f(x)) Antiturunan Fungsi (F(x)) Pola
... x10
...
... x-2
...
... -3x-12
...
... -3x5
+ 4x-5
...
... 0,5x0,5
- 1,25x1,5
+ 2,5x-1,5
...
...
1
3
2x
...
1 1
3 2
1 1
+
2 3
x x
−
1 1
- -
3 2
3 2
2 3
x x
... 2x-1
...
... 0,55x-1
...
...
-13
2
x ...

213Matematika
Dari hasil pengamatanmu pada Tabel 12.2, dapatkah kamu tentukan syarat n pada
y = axn
agar pola integrasi tersebut berlaku secara umum? Apa yang kamu peroleh
pada tiga baris terakhir pada Tabel 12.2? Tariklah sebuah kesimpulan dari hasil
pengamatanmu.
Dengan adanya aturan tersebut, proses penyelesaian soal pada Contoh 12.2 dapat
lebih sederhana. Kamu amati kembali proses penyelesaian contoh tersebut pada
Contoh 12.3 berikut tanpa melihat fungsi asalnya.
Contoh 12.3
Tentukan nilai ∫ 4x3
+ 2x2
dx.
∫ 4x3
+ 2x2
dx =
3 1 2 14 2
3 1 2 1
x x c+ +
+ +
+ +
=
4 34 2
4 3
x x c+ +
=
4 32
3
x x c+ +

Jadi, dengan menggunakan aturan tersebut, kita tidak perlu mengetahui terlebih
dahulu fungsi awalnya, tetapi cukup diketahui fungsi turunannya. Dengan demikian
jika
F′(x) = 4x3
+ 2x2
, maka F(x) = x4
+
2
3
x3
+ c
F(x) = x4
+
2
3
x3
+ c
Berdasarkan konsep yang telah kita peroleh pada subbab di atas, setiap hasil
integrasi suatu fungsi menghasilkan fungsi dengan konstanta c, bukan? Konstanta c
dapat ditentukan nilainya jika diketahui titik awal (initial value) yang dilalui fungsi
asal tersebut. Perhatikan contoh berikut!

Contoh 12.4
Jika fungsi 3 2
( ) 3 2 1F x x x x dx= + − +∫ melalui titik
1
(1, )
12
A − maka tentukanlah
nilai F(x)
3 2
( ) 3 2 1F x x x x dx= + − +∫
4 3 23 2 1
( )
4 3 2
F x x x x x c= + − + +
Jika fungsi melalui titik
1
(1, )
12
A − artinya
1
(1)
12
F = − sehingga diperoleh:
4 3 23 2 1 1
(1) 1 1 1 1
4 3 2 12
F c= + − + + =−
23 1
12 12
c+ =− atau c = –2.
Jadi, Fungsi tersebut adalah
4 3 23 2 1
( ) 2
4 3 2
F x x x x x= + − + −
Dengan demikian, berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, kita menarik sebuah
kesimpulan akan aturan sebuah integrasi, sebagai berikut:
Sifat 12.4
Untuk n bilangan rasional dengan n ≠ – 1, dan a, c adalah bilangan real maka
berlaku aturan:
a. ∫
+11
= +
+1
n n
x dx x c
n
b. 1
1
n na
ax dx x c
n
+
= +
+∫

215Matematika
Contoh 12.5
Hitunglah integral berikut!
a.
3
4x dx∫ c. 3
x dx∫
b. 2
1
dx
x
∫ d. 3
1
dx
x
∫
a. 3
4x dx∫ =
3 14
3 1
x c+
+
+

= x4
+ c
b. 2
1
dx
x
∫ = 2
x dx−
∫
=
2 11
2 1
x c− +
+
− +

=
1
x c−
− +
=
1
c
x
− +
c. 3
x dx∫ =
3
2
x dx∫
=
3
1
2
1
3
1
2
x
+
+

=
5
2
1
5
2
x
=
22
5
x x c+

d.
3
1
dx
x
∫ =
3
2
x dx
−
∫
=
3
1
2
1
3
1
2
x
− +
− +

=
1
2
1
1
2
x
−
−

=
2
c
x
−
+
Sifat 12.5
Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi yang dapat diintegralkan dan c, k
bilangan real, maka:
1. ∫ dx = x + c 4. ∫ ∫kf(x)dx = k f(x)dx
2. ∫ kdx = kx + c 5. [ ]∫ ∫ ∫f(x)+ g(x) dx= f(x)dx + g(x)dx
3. ∫
1
1
n+
n x
x dx = + c
n +
6. [ ]∫ ∫ ∫f(x) - g(x) dx= f(x)dx - g(x)dx
Contoh 12.6
Tentukanlah hasil dari
a. 4 3
2x x dx∫
b. ( )
2
1x dx+∫
c.
3
2x x
dx
x
−
∫
 
 
 

217Matematika
a. 4 3
2x x dx∫ =
3
4 2
2 .x x dx∫
=
3
4 2
2 .x x dx∫
=
3
4
2
2 x dx
+
∫
=
11
2
2 x dx∫
=
11
1
2
1
2
11
1
2
x c
+
+
+
 
 
 
 
 
=
13
2
1
2
13
2
x c+
 
 
 
 
 
=
13
2
4
13
x c+
b. ( )
2
1x dx+∫ =
2
2 1x x dx+ +∫
=
2 1 1 11 2
2 1 1 1
x x x c+ +
+ + +
+ +
= 3 21
3
x x x c+ + +
c.
3
2x x
dx
x
−
∫
 
 
 
=
3
2x x
dx
x x
−∫
 
 
 
=
1 1
3 2 2
. 2 .x x x x dx
− −
−∫
 
 
 
=
5 1
2 2
2x x dx−∫
 
 
 

=
5 1
1 1
2 2
1 2
5 1
1 1
2 2
x x c
+ +
− +
+ +
=
7 3
2 2
1 2
7 3
2 2
x x c− +
=
7 3
2 2
2 4
7 3
x x c− +
=
32 4
7 3
x x x x c− +
Contoh 12.7
Diketahui biaya marginal (MC
) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan
adalah merupakan fungsi biaya terhadap banyak produksi barang dengan
2 6
3
C
dC Q
M
dQ
+
= = . Tentukan fungsi biaya total C dalam satu bulan!
dimana:
Q = banyak produksi (Quantity)
C = Biaya produksi total (Total Cost)
MC = Biaya marginal (Marginal Cost)
C(Q) =
2 6
3
Q
dQ
+
∫
 
 
 
= ( )
2
3
3
Q dQ+∫
=
2
3
3
Q dQ+∫

219Matematika
=
22 1
3
3 2
Q Q c+ +
 
 
 
= 21
2
3
Q Q c+ +
Contoh 12.8
Tentukan fungsi y = F(x) dari persamaan diferensial
2
2x dy
y x
dx
= − dengan y = 1 di
x = 1
Langkah 1. Ubah bentuk persamaan diferensial tersebut menjadi:
2
2x dy
y x
dx
= − ⇔ 2 2
dy x
dx
y x
= −
⇔
3
2 2
y dy x dx
−
−
= (ingat sifat eksponen)
Langkah 2. Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh:
⇔
3
2 2
y dy x dx
−
−
=∫ ∫
⇔
3
1
2 1 2
1 1
32 1 1
2
y x c
− +
− +
= +
− + − +
⇔
1
1 2
2y x c
−
−
− =− +
⇔
1 2
c
y x
−
− = +
Langkah 3. Dengan mensubstitusi titik awal ke
1 2
c
y x
−
− = +
Karena y = 1 di x = 1 maka
1 2
1 1
c
−
− = + atau c = 1. Jadi, fungsi tersebut adalah
1 2
1
y x
−
− = + atau
2
x
y
x
=
−
.

Sifat 12.6
Misalkan 1 2 nf (x),f (x),...,f (x) adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral
tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak
tentu dari masing-masing fungsi, yaitu:
( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫1 n 1 nf x +...+ f x dx = f x dx+...+ f x dx
Contoh 12.9
Tentukan nilai dari ( )6 2
3 2 1x x dx− +∫
( )6 2
3 2 1x x dx− +∫ =
6 2
3 3 2 1x dx x dx dx− +∫ ∫ ∫
=
7 33 2
7 3
x x x C− + +
Contoh 12.10
Carilah nilai f(x) jika 3 2
'( ) 4 3f x x x= − + dan f(0) = 1
3 2
'( ) 4 3f x x x= − + maka
3 2
( ) 4 3f x x x dx= − +∫
3 2
( ) 4 3f x x x dx= − +∫
⇒ f(x) =
4 31 4
3
4 3
x x x c− + + , karena f(0) = 1
⇒ f(0) = 0 – 0 + 0 + c = 1, berarti c = 1 sehingga 4 31 4
( ) 3 1
4 3
f x x x x= − + +

221Matematika
Contoh 12.11
Tentukanlah integral dari fungsi-fungsi berikut!
a. F(x) = (x + 2)4
b. F(x) = (2x – 3)5
c. F(x) = (3x – 2)6
d. 2 3 41 1 1 1 1 1
( ) ...
0! 1! 2! 3! 4! !
n
F x x x x x x
n
= + + + + + +
e. F(x) = (ax + b)n
Untuk menyelesaian contoh soal berikut, kita harus menjabarkan atau dengan
menggunakan Binomial Newton. Untuk itu, ingat kembali prinsip Binomial Newton
pada Bab 8.
a. F(x) = (x + 2)4
= (x + 2)(x + 2)(x + 2)(x + 2) sehingga diperoleh
F(x) = x4
+ 8x3
+ 24x2
+ 32x + 16

4 3 2
( ) 8 24 32 16F x dx x x x x dx= + + + +∫ ∫ (dengan menggunakan Sifat 12.6)

5 4 3 21 8 24 32
( ) 16
5 4 3 2
F x dx x x x x x c= + + + + +∫

5 4 3 21
( ) 2 8 16 16
5
F x dx x x x x x c= + + + + +∫
(Coba kerjakan kembali dengan Binomial Newton)
b. Coba kerjakan dengan menjabarkan berdasarkan definisi perpangkatan dan
dengan menggunakan Bonomial Newton (diserahkan kepada siswa)
c. Dengan menggunakan Binomial Newton maka diperoleh:
F(x) = (3x – 2)6
F(x) = 6 6 0
0 (3 ) ( 2)C x − +
6 5 1
1 (3 ) ( 2)C x − + 6 4 2
2 (3 ) ( 2)C x − + 6 3 3
3 (3 ) ( 2)C x − +
6 2 4
4 (3 ) ( 2)C x − + 6 1 5
5 (3 ) ( 2)C x − + 6 0 6
6 (3 ) ( 2)C x −
F(x) = 6
(1)(729)(1)x +
5
(6)(243)( 2)x− +
4
(15)(81)(4)x +
3
(20)(27)( 8)x− +
2
(15)(9)(16)x + (6)(3)( 32)x− + (1)(1)(64)

F(x) = 6 5 4 3 2
729 2916 4860 4320 2160 576 64x x x x x x− + − + − +
sehingga dengan menggunakan Sifat 12.6

6 5 4 3 2
( ) 729 2916 4860 4320 2160 576 64F x dx x x x x x x dx= − + − + − +∫ ∫

7 6 5 4 3 2729 2916 4860 4320 2160 576
( ) 64
7 6 5 4 3 2
F x dx x x x x x x x c= − + − + − + +∫

7 6 5 4 3 2729
( ) 486 972 1080 720 288 64
7
F x dx x x x x x x x c= − + − + − + +∫
d. Dengan menggunakan Sifat 12.6.

2 3 41 1 1 1 1 1
( ) ...
0! 1! 2! 3! 4! !
n
F x dx x x x x x dx
n
= + + + + + +∫ ∫

2 3 4 5 11 1 1 1 1 1
( ) ...
1.0! 2.1! 3.2! 4.3! 5.4! ( 1) !
n
F x dx x x x x x x
n n
+
= + + + + + +
+∫

2 3 4 5 11 1 1 1 1 1
( ) ...
1! 2! 3! 4! 5! ( 1)!
n
F x dx x x x x x x
n
+
= + + + + + +
+∫
e. Coba kerjakan kembali dengan Binomial Newton. (diserahkan kepada siswa)
Masalah-12.4
Konsep antiturunan atau integral banyak berperan dalam menyelesaikan
permasalahan di bidang Fisika. Pada bidang ini juga banyak diperankan oleh
konsep Turunan, contohnya adalah permasalahan kecepatan dan percepatan.
Dengan mengingat integral adalah balikan dari turunan, maka dapatkah kamu
temukan hubungan konsep turunan dan integral dalam permasalahan kecepatan
dan percepatan? Coba kamu tunjukkan peran integrasi pada hubungan besaran
tersebut?
Kita ingat kembali konsep yang telah diuraikan pada pelajaran Turunan pada bab
sebelumnya.

223Matematika
Pergerakan sebuah objek yang semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti
ada terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju
perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu, yaitu:
( )
( )
ds t
v t
dt
= atau ( ) '( )v t s t= sehingga ( ) ( )s t v t dt= ∫
Pergerakan dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan objek
tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kendaraan. Percepatan adalah laju
perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu, yaitu:
( )
( )
dv t
a t
dt
= atau ( ) '( ) ''( )a t v t s t= = sehingga ( ) ( )v t a t dt= ∫
dimana:
t = waktu
s(t ) = fungsi lintasan
v(t ) = fungsi kecepatan
a(t ) = fungsi percepatan
Contoh 12.12
Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa
fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi a(t) = –2t2
+ 3t +1 . Tentukan fungsi
lintasan partikel tersebut?
Dengan menggunakan konsep di atas maka:
( ) ( )v t a t dt= ∫ atau
2
( ) 2 3 1v t t t dt= − + +∫
3 22 3
( )
3 2
v t t t t c=− + + +
kemudian
( ) ( )s t v t dt= ∫ atau 3 22 3
( )
3 2
s t t t t cdt= − + + +∫

4 3 2
2 3
13 2( )
4 3 2
s t t t t ct d
−
= + + + +
4 3 21 1 1
( )
6 2 2
s t t t t ct d=− + + + +
Uji Kompetensi 12.2
1. Selesaikanlah!
a. Jika y = x8
, carilah
dy
dx
kemudian tentukan
7
x dx∫ dan tentukan
7
2x dx∫
b. Jika
1
2y x= , carilah
dy
dx
kemudian tentukan nilai
1
2x dx
−
∫ dan tentukan

1
22x dx∫
c. Jika y = 4 2
4 2x x− , carilah nilai
dy
dx
kemudian tentukan ( )3
16 4x x dx−∫
d. Jika y = ( )4
3 1x + , carilah nilai
dy
dx
kemudian tentukan ( )3
3 1x dx+∫
e. Jika 1 4y x= − , carilah nilai
dy
dx
kemudian tentukan
1
1 4
dx
x−∫
2. Selesaikan integral berikut!
a. 3xdx∫ d. 5
x dx−∫ g. 59
20x dx∫
b. 3
3x dx∫ e. 10
x dx∫ h. 4
2
dx
x−∫
c. 4
5x dx∫ f. 27
28x dx∫

225Matematika
3. Tentukan nilai dari
a.
2 3
x dx
x
 
+ 
 ∫

b.
21
2
x x
x
 
+ − 
 ∫ dx
c. 31 4
5
3
x x dx
x
 
+ − 
 ∫

4. Buktikan!
a.
[ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
b.
[ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
Petunjuk: anggap F(x) merupakan antiturunan dari f(x) dan G(x) merupakan
antiturunandarig(x).selanjutnyacarilah ( )( ) ( )
d
F x G x
dx
+ atau ( )( ) ( )
d
F x G x
dx
−
5. Tentukan nilai dari
a.
3 2x
dx
x
+
∫
b.
2
2
4 10x x
dx
x x
− +
∫
c. ( )
3
1x dx+∫
6. Selesaikanlah integral berikut!
a. x x dx−( )∫ 1 d.
x
x
dx
9
3
3−
∫
b. 2
1
x
x dx−





∫ e.
x
x
dx
2
2
3−
∫
c. 3
3
12
x
x
dx−





∫ f. 2
3
2
x
x
dx−





∫

7. Tentukan nilai y jika
a. dy
dx
=10 d. dy
dx
x x= +4 33 2
b.
dy
dx
=
1
10
e. dy
dx
x x
x
=
+ −2
2
2 5
c.
dy
dx
x= −2 42
f. dy
dx x
x= +
2
2
8. Carilah nilai f(x) dan f(1) = 1 jika
a. '( ) 2 1f x x= −
b. 3 2
'( )f x x
x
= +
9. Selesaikanlah persamaan-persamaan diferensial berikut:
a.
2
3 4 1
dy
x x
dx
= + − , y = 5 di x = 2
b.
( )4
2 1
dy
x
dx
= + , y = 6 di x = 0
c. ( )
22 2
2
dy
y x
dx
=− + , y = 1 di x = 0
10. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x, y) = 0 yang melalui titik (2, – 1) dan
gradien garis singgung di setiap titik (x, y), pada grafiknya ditentukan persamaan
, 0
4
x
y y
y
= ≠ .
11. Tentukan persamaan fungsi f, jika fungsi y = f(x) terdefinisi untuk x > 0 yang
melalui titik (4, 0) dan gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan oleh
persamaan
1
( )f x x
x
= + .
12. Tentukanpersamaanfungsifjikagrafikfungsiy=f(x)melaluititik(1,2)dangradien
garis singgung di setiap titiknya ditentukan oleh persamaan 4
' 1 16 , 0y x x−
=− ≠ .

227Matematika
13. Sebuah objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a
(dalam centimeter per detik) dengan kecepatan awal v0
(dalam centimeter per
detik) dan jarak s0
(dalam centimeter). Tentukanlah kecepatan v beserta jarak
berarah s setelah 2 detik.
a. a = t, v0
= 2, s0
= 0
b. a = ( ) 3
1 t
−
+ , v0
= 4, s0
= 6
c. a = 3
2 1t + , v0
= 0, s0
= 10
d. a = ( ) 3
1 t
−
+ , v0
= 4, s0
= 0
Projek
Kumpulkanlah masalah tentang penerapan integral tak tentu dari fungsi
aljabar dalam berbagai bidang maupun masalah nyata yang ada di
sekitarmu. Ujilah sifat-sifat dan rumus dasar tentang integral tak tentu
di dalam pemecahan masalah tersebut, kemudian buatlah laporan hasil
karyamu untuk disajikan di depan kelas.
D. PENUTUP
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Integral,
disajikan sebagai berikut:
1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan turunan.
2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F ‘(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa
a. Turunan dari F(x) adalah f(x) dan
b. Antiturunan dari f(x) adalah F(x)
3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta,
maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).
4. Jika F ‘(x) = f(x) maka f x dx F x C( ) ( )= +∫

DAFTAR PUSTAKA
Anton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with
Applications. John Wiley & Sons, Inc
Ball, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All
Students (Toward a Strategic Research and Development Program in
Mathematics Education). United States of America: RAND.
Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United
States of America: The Association for Supervision and Curriculum
Development (ASCD).
Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic
Press.
Committee on science and mathematics teacher preparation, center for
education national research council (2001). Educating Teachers of
science, mathematics, and technology (new practice for new millennium.
United States of America: the national academy of sciences.
Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United
States of America: Clay Mathematics Institute.
Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint
Michael’s College Colchester.
Howard, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem
Solving 7. Columbus-USA, The McGraw-Hill Companies, Inc.
Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University
of Cambridge.
Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications.
United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge.

229Matematika
Slavin, Robert, E. (1994). Educational psychology, theories and practice.
Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers.
Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika
Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program
Pascasarjana UNESA.
Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics.A Problem SolvingApproach. Singapore:
Federal Publication (S) Pte Lsd.
Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005).
MathematicsForYheInternationalStudent(InternationalBaccalaureate
Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication.
Van de Walle, John A. (1990). Elementary school mathematics: teaching
developmentally. New York: Longman.
Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics
(teaching developmentally). United States ofAmerica:Allyn & Bacon.

Catatan:
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................

Mtk xi semester 2

More Related Content

What's hot (17)

Viewers also liked (8)

Similar to Mtk xi semester 2 (20)

More from Dnr Creatives (20)

Recently uploaded (20)

Mtk xi semester 2