Sayısal Devreler 04, Feza BUZLUCA

Sayısal Devreler (Lojik Devreleri)
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.1
http://www.akademi.itu.edu.tr/buzluca
http://www.buzluca.info
Lojik Fonksiyonların Yalınlaştırılması (İndirgenmesi)
Bir lojik fonksiyonun birçok cebirsel ifadesi vardır. (Bkz. kanonik açılımlar ve
yalınlaştırılmış ifadeleri)
Yalınlaştırmada amaç, belli bir maliyet kriterine göre bu cebirsel ifadeler içinden
en uygun olanını seçmektir.
Maliyet kriteri uygulamaya göre değişebilir.
Örneğin tasarım aşamasında istenen özellikler şunlar olabilir: İfadenin az sayıda
çarpım (ya da toplam) içermesi, her çarpımda az sayıda değişken olması, devrenin
aynı tip bağlaçlar (örneğin TVE) ile gerçeklenebilmesi, elde var olan bağlaçların
kullanılabilmesi gibi.
Yalınlaştırmanın amaçları:
• Devrenin boyutlarını küçültmek
• Enerji tüketimini azaltmak (pil, soğutma problemi)
• Gecikmeyi azaltmak (hızı arttırmak) (Bkz. 3.20: Yayılma gecikmesi)
• Maliyeti azaltmak
Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA’ya aittir.
Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.2
Asal Çarpım (Temel İçeren) “Prime Implicant”:
Hatırlatma: Bir fonksiyonun 1. kanonik açılımını oluşturan çarpımlar (minterimler)
bu fonksiyon tarafından örtülürler (içerilirler).
1. kanonik açılımda yer alan bazı çarpımları birleştirerek daha az değişken içeren
ve birden fazla "doğru" noktaya karşı gelen yeni çarpımlar elde edilebilir.
Daha fazla basitleştirilemeyen ve fonksiyonun mümkün olan en fazla sayıda
doğru noktasını örten çarpımlar asal çarpımdır.
Yalınlaştırma İle İlgili Tanımlar
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Örnek: F(A, B, C)= Σm(1,3,5,6,7) : 1. kanonik açılım
= A'B'C + A'BC + AB'C + ABC' + ABC
Bu çarpımlar, asal çarpım (temel içeren) değildir, çünkü onlardan
daha az değişkene sahip olan bölenleri de bu fonksiyonun içinde
yer almaktadır.
Bu durum basitleştirme sonucu görülmüştü ve fonksiyon için
aşağıdaki ifade elde edilmişti.
F= AB+C
Kanonik açılımdaki çarpımlar sadece 1 adet doğru nokta örterken
AB çarpımı 2 adet, C ise 4 adet nokta örtmektedir.

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.3
Örnek (devamı):
F(A, B, C)= Σm(1,3,5,6,7) : 1. kanonik açılım
= A'B'C + A'BC + AB'C + ABC' + ABC
F= AB+C
Asal çarpım (temel içeren) kendi bölenleri fonksiyonda yer almayan (daha fazla
sadeleştirilemeyen) ve mümkün olan en fazla sayıda doğru noktayı örten çarpımlardır.
• Örneğin yukarıdaki örnekte ABC' bir asal çarpım değildir, çünkü onun böleni olan AB
de fonksiyon tarafından örtülmektedir.
• AB ise bir asal çarpımdır, çünkü onun bölenleri A ve B fonksiyon tarafından örtülmez
(daha fazla 1 üretiyorlar, fonksiyonun ifadesinde yer alamazlar).
Lojik fonksiyonları yalınlaştırma işlemi:
1. Tüm asal çarpımlar kümesinin bulunması
2. Fonksiyonun tüm "doğru" noktalarını örtecek şekilde, asal çarpımlardan en uygun
olanların seçilmesi.
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.4
Asal Çarpımların Bulunması:
Çarpım terimlerini birleştirerek daha az değişkene sahip ve daha çok doğru noktayı
örten çarpımlar elde etmek için Boole cebri kullanılabilir.
Bu işlemi özellikle büyük fonksiyonlar için elle kağıt üstünde yapmak zor olur. Bu
işlemler bilgisayar programları ile yapılır.
Fonksiyonun cebirsel ifadesini kullanmadan daha pratik olarak uygulanabilecek bir
yöntem:
• Doğruluk tablosunda "1" üreten kombinezonlar incelenir,
• Sadece bir değişkenin değer değiştirdiği, bir veya daha fazla değişkenin (girişin)
sabit kaldığı kombinezonlar birleştirilir,
• Değeri sabit kalan değişkenler çarpımda kalır, değişenler çarpımdan çıkarılır.
Örnek:
B sabit. Her ikisinde de B=0.
B değişkeni yeni çarpımda yer alacak.
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
A nın değeri değişiyor.
A yeni çarpımda olmayacak.
= (A'+A)B' = B'F = A'B'+AB'
B=0 olduğu için yeni çarpım: B'
Cebirsel olarak birleştirme:

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.5
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
Boyutu 0 olan iki nokta birleştirilerek
boyutu 1 olan bir çizgi elde edildi. Bu çizgi
B=0'ı yani B’nin tümleyenini temsil
etmektedir.
0 1
B
A
0
1
1
1 0
0
F
Bu tür gruplamaları Karnaugh
diyagramları ile yapmak daha
kolaydır. Bitişiklilik özelliğinden
yararlanılarak komşu noktalar
gruplanabilir.
Yukarıda gruplamanın yapıldığı
sütunda B=0 (sabit), A ise
değişkendir. Bu sütun B’nin
tümleyenini temsil etmektedir.
A
B
11
00
01
10
Yapılan işlemin Boole küpünde
gösterilmesi:
Yapılan işlemin Karnaugh diyagramında
gösterilmesi:
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.6
AC
0 0 0 0
0 1 1 1
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
BF
Aynı anda birden fazla değişken sabit kalıyorsa gruplama sonucu
bu değişkenlerin çarpımı oluşur.
A=1 , B=1 ve sabit. C ise değişiyor. Bu gruplama
sonucu AB çarpımı oluşur.
Cebirsel: ABC' + ABC = AB(C'+C) = AB
A000
B C
111
101
100
001
010
011
110
AB
AC
AB
Örnek:
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A=1 , C=1 ve sabit. B ise değişiyor. Bu gruplama
sonucu AC çarpımı oluşur.
Cebirsel: AB'C + ABC = AC(B'+B) = AC

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.7
1 1 1 1
0 0 0 0
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
BF
Gruplamalarda 2'den daha fazla nokta da birleştirilebilir.
Örnek: F(A,B,C) = Σ(4,5,6,7)
A=1 ve sabit. B ve C ise değişiyor.
Küpün bu yüzü A yı temsil ediyor.
Cebirsel: AB'C' + AB'C + ABC' + ABC
= AB'+AB
= A
A
B C
000
111
101
100
001
010
011
110
A=1 ve sabit. B ve C ise değişiyor.
Karnaugh diyagramı ile:
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.8
A
B
C
A
B
C
D
Asal Çarpımların Karnaugh Diyagramları İle Bulunması:
Karnaugh diyagramlarındaki bitişiklilik ve çevrimlilik özelliği nedeniyle komşu gözler
arasındaki geçişlerde sadece 1 değişken (giriş) değer değiştirir, diğerleri sabit kalır.
Girişlerin sabit kaldığı komşu gözlerdeki "doğru" noktaları 2'li, 4'lü, 8'li … gruplarda
toplamak mümkündür.
Aşağıda 3 ve 4 değişkenli Karnaugh diyagramları için girişlerin sabit kaldıkları alanlar
gösterilmiştir.
0 2
1 3
00 01
AB
C
0
1
6 4
7 5
11 10
C
B
A
0 1
4 5
00 01
BC
A
0
1
3 2
7 6
11 10
Aynı diyagram, değişkenler farklı
şekillerde yerleştirilerek de
yandaki gibi oluşturulabilir.
0 1
4 5
3 2
7 6
00 01 11 10
12 13
8 9
15 14
11 10
AB
CD
00
01
11
10

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.9
Örnek: Aşağıda verilen fonksiyonun asal çarpımlarının bulunması
F(A,B,C,D) = Σ1(0,2,5,8,9,10,11,12,13,14,15)
C
B
00 01 11 10
1 0
0 1
0 1
0 0
1 1
1 1
1 1
1 1
A
AB
F CD
00
01
11
10
D
Asal Çarpımlar: A , B'D' , BC'D
• Asal çarpımlar bulunurken fonksiyonun "doğru" noktaları mümkün olan en büyük
gruplara yerleştirilirler.
• Bir grupta yer alan iki nokta tekrar birleştirilerek daha küçük bir grup
oluşturulmaz.
• Örneğin ayrı ayrı 4 'lü gruplarda bulunan iki nokta birleştirilerek 2'li yeni bir
grup oluşturmaya gerek yoktur. Yeni bir 4’lü grup oluşturulabilir.
• Ancak noktalardan biri daha büyük bir gruba ait değilse (yukarıdaki 0101 gibi) o
nokta gruptaki başka bir nokta ile kümelenebilir.
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.10
1 1 1
1 1 1
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
B
Tüm Asal Çarpımlar Kümesinin Bulunması:
Lojik devre tasarımında yalınlaştırma işlemi o fonksiyonun bütün asal çarpımlarının
bulunmasıyla başlar.
Bütün asal çarpımların oluşturduğu kümeye tüm asal çarpımlar kümesi (tüm temel
içeren tabanı) denir.
İndirgemenin 2. aşamasında fonksiyonun bütün doğru noktalarını örtecek şekilde,
tüm asal çarpımlar kümesinden en uygun asal çarpımlar seçilir.
Fonksiyonun bütün doğru noktalarını örten asal çarpımların oluşturduğu kümeye
yeterli küme denir. Yeterli kümeden bir asal çarpım kaldırılırsa fonksiyonun tüm
doğru noktaları örtülmemiş olur.
Asal Çarpımlar:
BC' , A'B , A'C , AB' , B'C , AC'
Buna göre bir fonksiyonu yalınlaştırma işlemi en uygun (ucuz) yeterli
kümeyi (minimal covering sum) bulmak demektir.
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz.

Aynı fonksiyonun bir çok yeterli kümesi olabilir.
1 1 1
1 1 1
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
B
F(A,B,C)= BC' + A'C + AB'
1 1 1
1 1 1
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
B
A'B + B'C + AC'F(A,B,C)=
F(A,B,C)=
1 1 1
1 1 1
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
B
A'B + BC' + AB'+ B'C
1 1 1
1 1 1
00 01
BC
A
0
1
11 10
A
C
B
F(A,B,C)= BC' + A'C + B'C + AC'
Yeterli küme bir asal çarpım kaldırıldığında
tüm doğru noktalar kapsanmamış olur.
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.12
Başlıca Nokta ve Gerekli Asal çarpım (Essential Prime Implicant):
Bazı fonksiyonlarda bazı doğru noktalar sadece bir asal çarpım tarafından
örtülürler. Bu noktalara başlıca nokta denir. Bu noktaları örten asal çarpımlara da
gerekli asal çarpım (essential prime implicant) denir.
Gerekli asal çarpımlar fonksiyonun yeterli kümesinde mutlaka yer alırlar. Çünkü
başlıca noktaların başka asal çarpımlar tarafından örtülmesi mümkün değildir.
Örnek:
C
B
00 01 11 10
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
1
A
AB
F CD
00
01
11
10
D
Tüm Asal Çarpımlar Kümesi:
C'D , BC' , AC' , BD' ,A'CD' , AB'D
Başlıca Noktalar Gerekli çarpımlar
0001 C'D
0010 A'CD'
1000 AC'
1110 BD'
1011 AB'D
Buradaki gerekli asal çarpımlar fonksiyonun tüm doğru noktalarını örtmektedir.
Bu özel bir durumdur.
F= C'D + A'CD' + AC' + BD' + AB'D

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.13
C
B
00 01 11 10
1
1
1 1
1 1
1 1 1 1
1
A
AB
F CD
00
01
11
10
D
Örnek: Bir fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesinin, başlıca noktalarının
ve gerekli çarpımların bulunması.
CD , AB , A'C , BC , BD', A'D'
Başlıca Noktalar Gerekli çarpımlar
0000 A'D'
1101 AB
1011 CD
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.14
Hatırlatma: Yalınlaştırma işlemi 2 aşamadan oluşmaktadır:
1. Tüm asal çarpımlar kümesinin (Tüm temel içerenlerin) bulunması
2. Fonksiyonun tüm "doğru" noktalarını örtecek şekilde, asal çarpımlardan en uygun
(ucuz) olanların seçilmesi.
En uygun asal çarpımların (yeterli kümenin) seçilmesinde kullanılan yöntemlerden
biri seçenekler tablosu yöntemidir.
Yalınlaştırma: Uygun Asal Çarpımların Seçilmesi
Seçenekler Tablosu:
• Fonksiyonun asal çarpımları bulunduktan sonra bu çarpımlara isimler verilir.
Örneğin A, B, C, .. gibi.
• Verilen bir maliyet kriterine göre her asal çarpımın maliyeti hesaplanır.
Seçenekler tablosu bir matris şeklinde hazırlanır.
• Tablonun satırlarında, fonksiyonun asal çarpımlarının isimleri yer alır. Sütunlarda
ise o fonksiyonun doğru noktalarının numaraları bulunur.
• En son sütuna asal çarpımların maliyetleri yazılır.
• Bir asal çarpım bir noktayı örtüyorsa matrisin ilgili gözüne X konur.

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.15
Örnek: Verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz ve
seçenekler tablosunu oluşturunuz.
f(x1, x2, x3, x4)=Σm(2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15)
Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi 1 birim
maliyete sahip olacaktır.
x3
x2
00 01 11 10
1
1
1
1 1
1 1
1
1
x1
x1x2
f x3x4
00
01
11
10
x4
x1 x3'
x2 x3' x4' x1 x2 x4x1'x2 x4' x1 x2' x4'x1'x3 x4' x2' x3 x4'
Semboller: A B C D E F G
Maliyetler: 5 8 8 6 8 8 8
Örttüğü Noktalar:8,9,12,13 4,12 4, 6 13, 15 2, 6 2, 10 8, 10
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.16
X X X X 5
X X 8
X X 8
X X 6
X X 8
X X 8
x1 x3'
Örttüğü Noktalar:8,9,12,13 4,12 4, 6 13, 15 2, 6 2, 10 8, 10
X X 8
Fonksiyonun "doğru" noktaları

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.17
1. Başlıca noktalar belirlenir. Bir sütunda sadece bir tane X varsa o sütundaki
nokta başlıca noktadır.
Başlıca noktayı örten asal çarpım (gerekli asal çarpım) mutlaka fonksiyonun
ifadesinde yer alacağından seçilir. Bu asal çarpıma ait satır ve onun örttüğü
noktalara ait sütunlar tablodan kaldırılır.
Seçenekler Tablosunun İndirgenmesi
2. Tabloda j. satırın X olan her gözünde i. satırda da X varsa i.
satır, j. satırı örtüyor denir. Yani j. satırın örttüğü bütün
noktaları i. satır da örtüyordur.
Eğer i. satır j. satırı örtüyorsa ve i. satırdaki maliyet j.
satırdaki maliyetten küçükse veya ona eşitse j. satır (örtülen
satır) tablodan kaldırılır.
3. Bir sütun başka bir sütunu örtüyorsa örten sütun (daha
fazla X'e sahip olan) tablodan silinir.
i
j X
X X 4
5
Bu kurallar peş peşe uygulanarak fonksiyonun doğru noktaları toplam maliyet en az
olacak şekilde örtülmeye çalışılır.
X
X
X
X
Xi
j
k
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.18
Örnek: Aşağıda verilen fonksiyona ait seçenekler tablosunun indirgenmesi.
f(x1, x2, x3, x4)=Σm(2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15)
1. Adım: Bu tabloda 9 ve 15 başlıca noktalardır. A ve D gerekli çarpımlar
oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır.
Bu çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir.
√
√ x1 x3'
x2 x3' x4'
x1 x2 x4
x1'x2 x4'
x1 x2' x4'
x1'x3 x4'
x2' x3 x4'
X X X X 5
X X 8
X X 8
X X 6
X X 8
X X 8
X X 8

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.19
2 4 6 10 Maliyet
B x 8
C x x 8
E x x 8
F x x 8
G x 8
√
2. Adım: Bu tabloda C, B'yi örter. Maliyetleri aynı olduğu için örtülen satır (B)
tablodan silinir.
Benzer şekilde F, G'yi örter ve maliyetleri aynıdır. Bu nedenle G satırı tablodan
silinir. Bu çarpımlar sonuç ifadede yer almayacaktır.
2 4 6 10 Maliyet
C x x 8
E x x 8
F x x 8
3. Adım: Bu tabloda 4 ve 10 başlıca noktalardır. Bu nedenle C ve F çarpımlarını
almak gerekir. Bu iki asal çarpım seçildiğinde tüm noktalar örtülmüş olur.
√
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.20
Sonuç: İşaretlenmiş olan asal çarpımlar fonksiyonun en ucuz ifadesini
oluştururlar.
Seçilen asal çarpımlar: A + D + C + F
Toplam Maliyet= 5 + 6 + 8 + 8 = 27
f(x1, x2, x3, x4) = x1 x3' + x1 x2 x4 + x1'x2 x4' + x2' x3 x4'
Karnaugh diyagramı ile hangi asal çarpımların seçildiğini görebiliriz.
x3
x2
00 01 11 10
1
1
1
1 1
1 1
1
1
x1
x1x2
f x3x4
00
01
11
10
x4
x1 x3' x1 x2 x4x1'x2 x4' x2' x3 x4'
Bu seçimde tüm 1’ler örtülmeli ve bir fazlalık
olmamalı.
Seçilmiş olan asal çarpımlar bir yeterli küme
oluşturmalı. Yani çarpımlardan biri kaldırıldığında tüm
noktalar örtülememeli.

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.21
Tümüyle Tanımlanmamış Fonksiyonların Yalınlaştırılması
Bu girişler için devrenin (fonksiyonun)
çıkışlarının alacağı değer belirsizdir.
Belirsiz değerleri göstermek için
X yerine Φ sembolü de kullanılır.
Hatırlatma:Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlarda, bazı giriş kombinezonları için
fonksiyonun alacağı değer belirsizdir (önemli değildir).
Çünkü bu giriş kombinezonları ilgili devrede fiziksel olarak oluşamazlar ya da
tasarımcı tarafından yasaklanmışlardır.
I8 I4 I2 I1 O8 O4 O2 O1
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 X X X X
1 0 1 1 X X X X
1 1 0 0 X X X X
1 1 0 1 X X X X
1 1 1 0 X X X X
1 1 1 1 X X X X
O1
O2
O4
O8
I1
I2
I4
I8
Örnek: BCD sayıları 1 arttıran devre
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.22
• Tüm asal çarpımlar kümesi bulunurken daha basit çarpımlar elde etmek için
(Karnaugh diyagramında daha büyük gruplamalar yapabilmek için) Φ = 1 olarak
seçilir.
• Seçenekler tablosunda kapsanması gereken noktalar yazılırken Φ = 0 olarak
seçilir. Çünkü bu noktaların çarpımlar tarafından örtülmesine gerek yoktur.
Örnek: Aşağıda verilen tümüyle tanımlanmamış fonksiyonu en düşük maliyetle
tasarlayınız.
f(x1, x2, x3, x4)=Σm(2, 4, 8, 9, 13, 15 ) + ΣΦ(6,10,12)
Not:
f(x1, x2, x3, x4)=∪1(2, 4, 8, 9, 13, 15 ) + ∪Φ(6,10,12) şeklinde de yazılabilir.
Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi 1 birim maliyete sahip
olacaktır.
Yalınlaştırma işleminde, belirsiz değerler (Φ) en ucuz ifadeyi elde edecek
şekilde gerektiğinde lojik 0, gerektiğinde lojik 1 olarak seçilebilirler.
Belirsiz Değerlerin (Φ) Seçilmesi:

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.23
x3
x2
00 01 11 10
1
1
Φ
Φ 1
1 1
1
Φ
x1
x1x2
f x3x4
00
01
11
10
x4
x1 x3'
Örttüğü Noktalar: 8,9,13 4 4 13,15 2 2 8
Asal çarpımlar bulunurken
Φ’ler 1 olarak seçilir.
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.24
x1 x3'
Örttüğü Noktalar: 8,9,13 4 4 13,15 2 2 8
X X X 5
X 8
X 8
X X 6
X 8
X 8
X 8
Bu noktaların örtülmesine gerek
olmadığından Φ’ler seçenekler
tablosunda yer almazlar.
Tablo oluşturulurken
Φ’ler 0 olarak seçilir.

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.25
X X X 5
X 8
X 8
X X 6
X 8
X 8
X 8
1.Adım: Bu tabloda 9 ve 15 başlıca noktalardır.
A ve D gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar
tablodan kaldırılır.
Bu çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir.
√
√
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.26
2 4 Maliyet
B x 8
C x 8
E x 8
F x 8
2. Adım: B ve C aynı noktaları örtmektedir ve maliyetleri eşittir. Bu nedenle bu iki
çarpım arasında bir seçim yapmak mümkün değildir. Verilen maliyet kriterine göre
herhangi biri seçilebilir.
Aynı durum E ve F çarpımları için de geçerlidir.
Buna göre fonksiyon aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılarak
gerçeklenebilir:
f= A + D + B + E = x1 x3' + x1 x2 x4 + x2 x3' x4' + x1'x3x4'
f= A + D + B + F = x1 x3' + x1 x2 x4 + x2 x3' x4' + x2' x3x4'
f= A + D + C + E = x1 x3' + x1 x2 x4 + x1'x2 x4' + x1'x3x4'
f= A + D + C + F = x1 x3' + x1 x2 x4 + x1'x2 x4' + x2' x3x4'
Tüm tasarımların maliyeti eşittir (27).

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.27
Genel Fonksiyonların Yalınlaştırılması
Hatırlatma: Genel fonksiyonların birden fazla çıkışı vardır.
f
x1 x2 x3 y1 y2
0 0 0 1 1
0 0 1 1 Φ
0 1 0 0 0
0 1 1 Φ 0
1 0 0 1 Φ
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 Φ 0
x1
x2
x3
y1
y2
Genel fonksiyonlar yalınlaştırılırken her çıkışa ait fonksiyon için ayrı ayrı tüm asal
çarpımlar kümesi bulunur ve bunların içinden seçim yapılır.
Burada dikkat edilmesi gereken nokta her iki çıkış için ortak çarpımların
kullanılmaya çalışılmasıdır.
Genel fonksiyonlar yalınlaştırılması bu dersin kapsamı dışında tutulmuştur.
y1= f1(x1,x2 ,x3)
y2= f2(x1,x2 ,x3)
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.28
Tüm Asal Çarpımlar Kümesinin
Tablo Yöntemiyle (Quine-McCluskey) Bulunması
Karnaugh diyagramları görsel özellikleri nedeniyle az değişkenli fonksiyonlarla ilgili
çalışmalarda kolaylık sağlarlar.
Ancak değişken sayısı 5 ve daha fazla olduğunda Karnaugh diyagramlarını çizmek ve
bitişiklilik özelliğini kullanmak zorlaşır.
Tablo yöntemi (Quine-McCluskey) ise sistematik bazı işlemlerin peş peşe
tekrarlanmasından oluşmaktadır. Bu işlemleri elle yapmak fazla zaman alabilir,
ancak söz konusu işlemleri bilgisayar programı ile gerçekleştirmek kolaydır.
Tablo (Quine-McCluskey) Yöntemi:
Hatırlanacağı gibi, asal çarpımları bulmak için “1” değeri üreten ve bitişik olan giriş
kombinezonları (minterimler) gruplanmaya çalışılıyordu. Sadece bir değişkenin
değiştiği (bitişik) olan kombinezonlar aynı gruba alınıyordu. (Bkz. 4.4’teki şekil)
Tablo yönteminde “1” değeri olan her kombinezon (minterim) diğer minterimler ile
karşılaştırılır.
Eğer iki kombinezon arasında sadece bir giriş (değişken) farklıysa o iki kombine-
zon gruplanır.
Farklı olan değişken silinerek yeni terim elde edilir.
Bu durum hiç gruplama yapılamayana kadar devam eder.
Hiç bir gruba girmeyen terimler asal çarpımlardır.

2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.29
1. Adım: Tüm asal çarpımlar kümesinin bulunması
• Doğruluk tablosunda 1 üreten giriş kombinezonlarını belirleyin.
• Karşılaştırma kolaylığı sağlamak için içindeki 1'lerin sayısına göre kombinezonları
kümeleyin. Örneğin; 1011 giriş kombinezonunda üç adet 1 vardır.
• Komşu kümlerdeki kombinezonları karşılaştırın. Tek girişin farklı olduğu
kombinezonları gruplayıp yeni kombinezonlar oluşturun.
• Yeni kombinezonlarda değeri değişen giriş yer almayacaktır.
• Bir gruba girmiş olan kombinezonları işaretleyin.
• Yeni oluşan kombinezonlar üzerinde de aynı gruplama işlemlerini yeni gruplar
oluşmayıncaya kadar sürdürün.
• Hiç bir gruba girmemiş olan kombinezonlar (işaretsizler) tüm asal çarpımlar
kümesini oluştururlar.
Yöntem:
2. Adım: En ucuz yeterli kümenin (minimal covering sum) bulunması
Tüm asal çarpımlar kümesi bulunduktan sonra yalınlaştırma işlemi için yine
seçenekler tablosu kullanılarak en ucuz yeterli küme bulunur.
Willard Van Orman Quine (1908-2000), Felsefe, lojik
Edward J. McCluskey(1929-) Elektrik müh.
2000 - 2015 Feza BUZLUCA 4.30
0,8,2,10 - 0 - 0
10,14,11,15 1 - 1 -
Tüm asal çarpımlar kümesi (İşaretsiz olanlar): x1' x2' x3' , x2' x4' , x1 x3
Örnek:
Aşağıda verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini Quine-McCluskey
yöntemiyle bulunuz.
f(x1, x2, x3, x4)= Σm(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15 )
K.No x1 x2 x3 x4
0,1 0 0 0 -√
√ 0,2 0 0 - 0
√
0,8 - 0 0 0
√ 2,10 - 0 1 0
√
8,10 1 0 - 0
10,11 1 0 1 -
√ 10,14 1 - 1 0
√ 11,15 1 - 1 1
√ 14,15 1 1 1 -
K.No x1 x2 x3 x4
0,2,8,10 - 0 - 0
√
√
10,11,14,15 1 - 1 -
√
√
√
√
Aynı olanları
yazmaya gerek yok
√
√
En ucuz çözümü elde etmek için bu aşamadan sonra seçenekler tablosu oluşturulur
ve en ucuz yeterli küme bulunur.
K.No x1 x2 x3 x4
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
8 1 0 0 0
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1

Sayısal Devreler 04, Feza BUZLUCA

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Sayısal Devreler 04, Feza BUZLUCA (20)

More from Feza BUZLUCA (18)

Sayısal Devreler 04, Feza BUZLUCA