Stat prob09 distribution_continue
Download as PPT, PDF6 likes4,362 views
Dokumen tersebut membahas distribusi probabilitas variabel kontinyu dan diskrit, termasuk fungsi probabilitas, distribusi uniform, triangular, eksponensial, gamma, dan hubungannya.
Stat prob09 distribution_continue
- 1. DISTRIBUSI PROBABILITAS : Variabel Kontinyu ARIF RAHMAN 1
- 2. Ruang Sampel dan Variabel Acak Ruang sampel (sample space) adalah satu set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi. Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite). 2
- 3. Distribusi Distribusi adalah sebaran variabel acak X dalam ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik. 3
- 4. Distribusi Empiris dan Teoritis Distribusi empiris (empirical distribution) adalah distribusi sebaran data aktual dari observasi atau eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi frekuensi. Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah distribusi sebaran variabel acak dalam rentang tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya. 4
- 5. Fungsi Probabilitas Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai kontinyu. 5
- 6. Probability Mass Function Fungsi massa probabilitas (probability mass function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai tertentu. Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x) memenuhi : p(x)>0 untuk seluruh x∈R Σ p(x) = 1 6
- 7. Probability Density Function Fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval tertentu. Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai probabilitas P(a<X<b)=a∫b f(x) dx untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi : f(x)>0 untuk seluruh x∈R ∫ f(x) dx = 1 7
- 8. Cumulative Distribution Function Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu. Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai F(x) memenuhi : F(x) = Σb p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R F(x) = -∞∫b f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R 8
- 9. Distribusi Diskrit Hubungan antara p(x) dengan F(x) 9 RxF xpxXPxF xX rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi )()()( 0 = =≤= ∑≤≤ p(x) F(x)
- 10. Distribusi Kontinyu Hubungan antara f(x) dengan F(x) 10 RxF dxxfxXPxF xX rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi )()()( = =≤= ∫ ≤≤∞− f(x) F(x)
- 11. Distribusi Continuous Uniform Distribusi Continuous Uniform atau Rectangular menunjukkan sebaran variabel acak dengan peluang keluaran berimbang (equally likely) dalam rentang tertentu antara a hingga b, X∈{a<x<b}. Penerapan Distribusi Uniform Kontinyu antara lain untuk menunjukkan model awal kejadian acak antara a hingga b, sebaran sampel dalam rentang a hingga b. 11
- 12. Distribusi Uniform Kontinyu Parameter a (minimum) dan b (maximum) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 12 ≤≤ −= other bxa abxf 0 1 )( f(x) F(x) ≥ <≤ − − < = bx bxa ab ax ax xF 1 )( )( 0 )(
- 13. Distribusi Uniform Kontinyu Dinotasikan dengan U(x;a,b) Parameter a dan b Mean Variance 13 2 ba + =µ 12 )( 2 2 ab − =σ
- 14. Distribusi Triangular Distribusi Triangular menunjukkan sebaran variabel acak dengan peluang berubah linier dalam rentang tertentu antara a hingga c, X∈{a<x<c} dan memiliki modus pada nilai b. Penerapan Distribusi Triangular antara lain untuk menunjukkan model kasar kemunculan kejadian acak antara a hingga c dengan pemusatan modus pada b. 14
- 15. Distribusi Triangular Parameter a (minimum), b (mode) dan c (maximum) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 15 ≤< −− − ≤≤ −− − = other cxb bcac xc bxa abac ax xf 0 ))(( )(2 ))(( )(2 )( f(x) F(x) ≥ << −− − − ≤≤ −− − < = cx cxb bcac xb bxa abac ax ax xF 1 ))(( )( 1 ))(( )( 0 )( 2 2
- 16. Distribusi Triangular Dinotasikan dengan TRIA(x;a,b,c) Parameter a, b dan c Mean Variance 16 3 cba ++ =µ 18 222 2 bcacabcba −−−++ =σ
- 17. Distribusi Exponential Distribusi Exponential menunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan waktu antar kejadian sukses (interarrival time) dari proses Poisson dengan laju λ. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (∞), X∈{0<x<∞}. 17
- 18. Distribusi Exponential Penerapan Distribusi Exponential antara lain untuk menunjukkan waktu antar kejadian sukses proses Poisson dengan laju konstan λ, waktu antar kedatangan, waktu antar kerusakan, waktu antar pesanan. 18
- 19. Distribusi Exponential Parameter λ (rate of occurences) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 19 ≥ = − other xe xf x 0 0. )( .λ λ f(x) F(x) ≥− < = − 01 00 )( . xe x xF xλ
- 20. Distribusi Exponential Dinotasikan dengan EXPO(x;λ) Parameter λ Mean Variance 20 λ µ 1 = 2 2 1 λ σ =
- 21. Distribusi Exponential Parameter β (scale) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 21 ≥ = − other x e xf x 0 0 )( / β β f(x) F(x) ≥− < = − 01 00 )( / xe x xF x β
- 22. Distribusi Exponential Dinotasikan dengan EXPO(x;β) Parameter β Mean Variance 22 βµ = 22 βσ =
- 23. Distribusi Exponential Hubungan antara Distribusi Exponential dengan Distribusi Poisson. Hingga saat T=t tidak terdapat satu kejadian sukses proses Poisson, maka P(N(t)=0) berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T>t) berdistribusi Exponential. 23 tt t t ee e te tTPttNP tTPtNP .. . 0. )1(1 !0 ).( )(1).,0)(( )()0)(( λλ λ λ λ λβ −− − − = −−= ≤−=== >==
- 24. Distribusi Exponential Hubungan antara Distribusi Exponential dengan Distribusi Poisson. Jika waktu antar kejadian sukses proses Poisson sebesar T<t, sehingga dalam selang t minimal terdapat satu kejadian yang terjadi, maka P(N(t)>1) berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T<t) berdistribusi Exponential. 24 tt t t ee e te tTPttNP tTPtNP .. . 0. 11 )1( !0 ).( 1 )().,0)((1 )()1)(( λλ λ λ λ λβ −− − − −=− −= − ≤===− ≤=≥
- 25. Distribusi Exponential Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Gamma pada saat parameter shape (α) bernilai 1. Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Weibull pada saat parameter shape (α) bernilai 1. 25
- 26. Distribusi Exponential Distribusi Erlang merupakan multiplikasi variabel acak (x1+x2+...+xm) dari Distribusi Exponential Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Erlang pada saat parameter multiplication (m) bernilai 1. 26
- 27. Distribusi Double Exponential atau Laplace Parameter β (scale) dan γ (location) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 27 ∞≥≤∞−= − − x e xf x .2 )( )( β β γ f(x) F(x) ( ) ≥− < = −− − γ γ γ γ x e x e xF x x 2 1 2)( )(
- 28. Distribusi Double Exponential Dinotasikan dengan DBLEXPO(x;β,γ) Parameter β, γ Mean Variance 28 γµ = 22 2βσ =
- 29. Distribusi Gamma Distribusi Gamma menunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah (α) kejadian sukses dari proses Poisson dengan laju λ atau 1 /β. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (∞), X∈{0<x<∞}. 29
- 30. Distribusi Gamma Penerapan Distribusi Gamma antara lain untuk menunjukkan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah kejadian sukses proses Poisson dengan laju konstan λ, waktu menghimpun sejumlah kedatangan, waktu penyelesaian beberapa tugas, waktu antar kerusakan, waktu pengerjaan. 30
- 31. Distribusi Gamma Fungsi Gamma, Γ(α) didefinisikan dengan Untuk α bilangan bulat positif maka Untuk α=1 /2 maka 31 )1().1()( 0untuk)( 0 1 −Γ−=Γ >=Γ ∫ ∞ −− ααα αα α dxex x )!1()( −=Γ αα πα =Γ )(
- 32. Distribusi Gamma Parameter α (shape) dan λ (rate of occurences) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 32 ∫ ∞ −− −− −=Γ=Γ > Γ= 0 1 .1 )!1()(positifbulatjikadan)(manadi 0 0 )()( αααα α λ α λαα dxex other x ex xf x x f(x) F(x) > ≤ = ∫ 0)( 00 )( 0 xdiif x xF x
- 33. Distribusi Gamma Dinotasikan dengan GAMMA(x;α,λ) Parameter α dan λ Mean Variance 33 λ α µ = 2 2 λ α σ =
- 34. Distribusi Gamma Parameter α (shape) dan β (scale) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 34 ∫ ∞ −− −−− −=Γ=Γ > Γ= 0 1 /1 )!1()(positifbulatjikadan)(manadi 0 0 )()( αααα α β α βαα dxex other x ex xf x x f(x) F(x) > ≤ = ∫ 0)( 00 )( 0 xdiif x xF x
- 35. Distribusi Gamma Dinotasikan dengan GAMMA(x;α,β) Parameter α dan β Mean Variance 35 βαµ .= 22 .βασ =
- 36. Distribusi Gamma Hubungan Distribusi Gamma dengan Distribusi Exponential Pada saat nilai α =1, Distribusi Gamma (1,β) sama dengan Distribusi Exponential (β) Jika X1,X2,...,Xm adalah m variabel acak independen berdistribusi Exponential (β), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak berdistribusi Gamma (m,β) dengan α= m 36
- 37. Distribusi Gamma Distribusi Gamma sebagai gabungan (compound) Distribusi Gamma Jika α1,α2,...,αm adalah m parameter shape independen variabel X1,X2,...,Xm berdistribusi Gamma (αi,β), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak berdistribusi Gamma (α1+α2+... +αm,β) 37
- 38. Distribusi Erlang atau Gamma (m,β) Parameter m (number of events) dan β (scale) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 38 positifbulatmanadi 0 0 )!1()( /1 m other x m ex xf xmm > −= −−− β β f(x) F(x) ( ) >− ≤ = ∑ − = − 0 ! 1 00 )( 1 0 / x j e x xF m j jx x ββ
- 39. Distribusi Erlang Dinotasikan dengan ERLANG(x;m,β) Parameter m dan β Mean Variance 39 βµ .m= 22 .βσ m=
- 40. Distribusi Chi-Square atau Gamma (υ/2,2) Parameter α=υ/2 dan β=2 Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 40 f(x) F(x) > ≤ = ∫ 0)( 00 )( 0 xdiif x xF x > Γ= −−− other x ex xf x 0 0 )( 2 )( 2/1 α αα
- 41. Distribusi Chi-Square Dinotasikan dengan CHISQR(x;υ,β) Parameter α=υ/2 dan β=2 Mean Variance 41 υµ = υσ 22 =
- 42. Distribusi Weibull Distribusi Weibull menunjukkan sebaran variabel acak sebagai pendekatan hukum probabilitas beberapa variabel acak. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (∞), X∈{0<x<∞}. 42
- 43. Distribusi Weibull Penerapan Distribusi Weibull antara lain untuk menunjukkan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah kejadian sukses, waktu menghimpun sejumlah kedatangan, waktu penyelesaian beberapa tugas, waktu antar kerusakan, waktu pengerjaan. 43
- 44. Distribusi Weibull Parameter α (shape) dan λ (rate of occurences) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 44 > = −− other xex xf x 0 0.. )( ).(1 α λα λα f(x) F(x) > ≤ = ∫ 0)( 00 )( 0 xdiif x xF x
- 45. Distribusi Weibull Dinotasikan dengan WEIBULL(x;α,λ) Parameter α dan λ Mean Variance 45 +Γ= − α λµ α 1 1. 1 +Γ− +Γ= − 2 2 2 1 1 2 1 αα λσ α
- 46. Distribusi Weibull Parameter α (shape) dan β (scale) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 46 > = −−− other xex xf x 0 0. )( )/(1 α βαα βα >− ≤ = − 01 00 )( )/( xe x xF x α β F(x) f(x)
- 47. Distribusi Weibull Dinotasikan dengan WEIBULL(x;α,β) Parameter α dan β Mean Variance 47 Γ= αα β µ 1 Γ− Γ= 22 2 112 2 αααα β σ
- 48. Distribusi Weibull Hubungan Distribusi Weibull dengan Distribusi Exponential Pada saat nilai α =1, Distribusi Weibull (1,β) sama dengan Distribusi Exponential (β) Jika Xα adalah variabel acak berdistribusi Exponential (βα ), maka jumlah X adalah variabel acak berdistribusi Weibull (α,β) 48
- 49. Distribusi Weibull Parameter α (shape), β (scale) dan γ (location) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 49 ≥− = −−−− other xex xf x 0 )(. )( )/)((1 γγβα α βγαα ≥− < = −− γ γ α βγ xe x xF x )/)(( 1 0 )( f(x) F(x)
- 50. Distribusi Weibull Dinotasikan dengan WEIBULL(x;α,β,γ) Parameter α, β dan γ Mean Variance 50 +Γ+= α βγµ 1 1. +Γ− +Γ= 2 22 1 1 2 1. αα βσ
- 51. Distribusi Rayleigh atau Weibull (2,β) Parameter α=2 (shape) dan β (scale) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 51 > = −− other xex xf x 0 0..2 )( 2 )/(2 β β f(x) F(x) >− ≤ = − 01 00 )( 2 )/( xe x xF x β
- 52. Distribusi Rayleigh Dinotasikan dengan RAYLEIGH(x;β) Parameter α=2 dan β Mean Variance 52 π β µ 2 = −= 2 2 2 2 2 πβ σ
- 53. Distribusi Beta Distribusi Beta menunjukkan sebaran variabel acak dengan dua parameter shape (α1 dan α2) sebagai pendekatan hukum probabilitas dua variabel acak. Variabel acak dalam rentang 0 hingga 1, X∈{0<x<1}. 53 )).(( )2).(( )).(( )2).(( 2 1 acb cabc acb caba −− −−− = −− −−− = µ µ α µ µ α
- 54. Distribusi Beta Penerapan Distribusi Beta antara lain untuk menunjukkan model kasar ketiadaan data, distribusi proporsi random, proporsi cacat item dalam batch, waktu penyelesaian tugas dalam PERT. 54 bcxa cba modusdanjika 6 .4 ≤≤ ++ =µ
- 55. Distribusi Beta Fungsi Beta, B(α1,α2) didefinisikan dengan 55 )( )().( ),( 0dan0untuk)1(),( 21 21 21 21 1 0 11 21 21 αα αα αα αααα αα +Γ ΓΓ =Β >>−=Β ∫ −− dxxx )).(( )2).(( )).(( )2).(( 2 1 acb cabc acb caba −− −−− = −− −−− = µ µ α µ µ α
- 56. Distribusi Beta Parameter α1 (shape1) dan α2 (shape2) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 56 )( )().( ),(manadi 0 10 ),( )1( )( 21 21 21 21 11 21 αα αα αα αα αα +Γ ΓΓ =Β << Β − = −− other x xx xf f(x) F(x) > ≤ = ∫ 0)( 00 )( 0 xdiif x xF x
- 57. Distribusi Beta Dinotasikan dengan BETA(x;α1,α2) Parameter α1 dan α2 Mean Variance 57 21 1 αα α µ + = ( ) ( )121 2 21 212 +++ = αααα αα σ
- 58. Distribusi Beta Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Continuous Uniform Variabel acak berdistribusi Uniform (0,1) adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,1) Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Triangular Variabel acak berdistribusi Triangular (0,0,1) adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,2) Variabel acak berdistribusi Triangular (0,1,1) adalah variabel acak berdistribusi Beta (2,1) 58
- 59. Distribusi Beta Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma Jika X1 dan X2 adalah dua variabel acak independen berdistribusi Gamma (αi,β), maka nilai X1/(X1+X2) adalah variabel acak berdistribusi Beta (α1,α2) 59
- 60. Distribusi Beta Parameter a (minimum), b (maximum), α1 (shape1) dan α2 (shape2) Probability Density Function, f(x) Cummulative Distribution Function, F(x) 60 )( )().( ),(manadi 0 ),( )()( )( 21 21 21 21 11 21 αα αα αα αα αα +Γ ΓΓ =Β ≤≤ Β −− = −− other bxa xbax xf ≥ < = ∫ axdiif ax xF x a )( 0 )( f(x) F(x)
- 61. Distribusi Beta Dinotasikan dengan BETA(x;a,b,α1,α2) Parameter a, b, α1 dan α2 Mean Variance 61 − + += ).( 21 1 aba αα α µ ( ) ( )121 2 21 212 +++ = αααα αα σ
- 62. 62
- 63. Pendekatan Distribusi Kontinyu Pendekatan Distribusi Exponential pada variabel acak berdistribusi Geometric saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0) Pendekatan Distribusi Gamma pada variabel acak berdistribusi Negative Binomial saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0) 63
- 64. Dist. Exponential Dist. Geometric Variabel acak distribusi Exponential dapat ditinjau sebagai bentuk pendekatan distribusi Geometric dengan mengasumsikan selang antar trial ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen dengan laju kejadian sukses (λ) atau kebalikan scale (1 /β) yang menjadi parameter distribusi Exponential. 64
- 65. Dist. Exponential Dist. Geometric 65 p xE p 11 )(lim 0 === → λ β β λ / . 0 0 1 1)(lim )1(1)(lim x x p x p e exXP pxXP − − → → −= −=≤ −−=≤ a n n e aa a n a →++++= + ∞→ ... !3!2 11lim 32
- 66. Dist. Exponential Dist. Geometric Dist. Exponential Mean Variance Dist. Geometric Mean Variance 66 β λ µ == = 1 1 p 2 2 2 2 )1( )1( β λ σ == − = p p apa p →− → )(lim 0 λ βµ 1 == 2 22 1 λ βσ == pp 11 lim 0 == → λ β
- 67. Dist. Gamma Dist. Negative Binomial Variabel acak distribusi Gamma dapat ditinjau sebagai bentuk pendekatan distribusi Negative Binomial dengan mengasumsikan selang antar trial ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen dengan kebalikan scale (1 /β) dan banyaknya sukses (s) ekuivalen dengan shape (α) yang menjadi parameter distribusi Gamma. 67
- 68. Dist. Gamma Dist. Negative Binomial 68 p xE p 11 )(lim 0 === → λ β ∫ ∫ ∑ Γ = Γ =≤ − − − =≤ −− −− → = − → x y x y p x si sis p dy ex dy ex xXP pp s i xXP 0 /1 0 .1 0 0 )( )( )(lim )1( 1 1 )(lim α λ α λ βαα λαα a n n e aa a n a →++++= + ∞→ ... !3!2 11lim 32
- 69. Dist. Gamma Dist. Negative Binomial Dist. Gamma Mean Variance Dist. Negative Binomial Mean Variance 69 βα λ α µ .== = p s 2 2 2 2 . )1.( )1.( βα λ α σ == − = p ps apa p →− → )(lim 0 λ α βαµ == . 2 22 . λ α βασ == pp 11 lim 0 == → λ βs=α
- 70. 70
- 71. 71 Terima kasih ...Terima kasih ... ... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???