Statistics2013 talk "Nonlinear expectation and Risk measure"

Nonlinear expectation and risk measure
D. V. Artamonov1 N. V. Artamonov2
April 26, 2013
1
Lomonosov Moscow State University
2
MGIMO University
D. Artamonov, N. Artamonov Nonlinear expectation and risk measure

Если известно распределение F(x) случайной величины X, то
математическое ожидание определяется как
EX =
R
xp(x)dx p(x) = F (x)
Тогда
E(λX) = λEX для всех λ ∈ R.
E(X + Y ) = EX + EY
если X ≥ 0, то EX ≥ 0
При этом
P(X ∈ [a, b]) = E(I[a,b](X)).

Shige Peng (Nonlinear Expectations and Stochastic Calculus under
Uncertainty, 2010, arXiv:1002.4546) рассмотрел функционалы E,
определенные на случайных величинах и называемые
нелинейным (точнее сублинейным) ожиданием.
Deﬁnition
Сублинейное ожидание – это функционал, удовлетворящий
свойствам
Монотонность: если X ≤ Y , то E(X) ≤ E(Y ).
Сохранение константы: E(const) = const.
Субаддитивность: E(X + Y ) ≤ E(X) + E(Y ).
Положительная однородность: E(αX) = αE(X) для чисел
α > 0.

Данное определение проистекает из понятия когерентной
меры риска r(X) (P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D.Heath,
1997)
Для введения этого понятия вводится сначала понятия
множества A = {X ∈ H, Xдопустимо} – допустимые рисковые
состояния. Требования к множеству допустимых состояний.
1 Монотонность: если X ∈ A,X ≤ Y ,то Y ∈ A.
2 Положительная однородность: α > 0, X ∈ A,тогда αX ∈ A.
3 0 ∈ A, −1 /∈ A.
4 Выпуклость: X, Y ∈ A, α ∈ [0, 1],тогда αX + (1 − α)X ∈ A.

Определим когерентную меру риска так:
r(X) = inf{m ∈ R : m + X ∈ A}.
Тогда
X ≤ Y =⇒ r(X) ≤ r(Y )
r(X + Y ) ≤ r(X) + r(Y )
r(αX) = αr(X), α > 0
Легко проверяется, что E(X) = r(−X) будет нелинейным
ожиданием.

Произвольное нелинейное ожидание представляется в виде
E(X) = sup
θ∈Θ
Eθ(X),
где Eθ(X) – (линейное) математическое ожидание
относительно распределения Fθ(x).

Распределение случайной величины X можно рассматривать
как функционал FX , сопоставляющий каждой гладкой функции
f число E(f (X)).
Для распределений на пространстве случайных величин с
нелинейным ожиданиям имеются классические аналоги
нормальных распределений, закона больших чисел,
центральной предельной теоремы.

Случайная величина η максимально распределена, если
E(f (η)) = max
y∈Γ
f (y), Γ ⊂ Rn
Данные распределения имеют смысл мер риска, основанных на
рассмотрении худшего сценария. Эти распределения
выполняют роль констант на пространстве с нелинейным
ожиданием.
Закон больших чисел. Пусть Sn = 1
n (X1 + ... + Xn). Тогда
последовательность Sn сходится к максимальному
распределению.

Deﬁnition
Скажем, что случайный n-мерный вектор X распределён
нормально с нулевым средним, равным нулю, если для любой
случайной величины Y , независимой с X, имеющей то же
распределение, для любых положительных константант a, b
выполняется равенство:
aX + bY ∼
d
(a2
+ b2
)X.

В случае одномерной нормально распределенной случайной
величины положим
σ = E(X2
), τ = −E(−X2
).
Обозначение:
X ∼ N(0, [τ, σ]).

Определим функцию
u(t, x) = E ϕ(x +
√
tX) .
Доказывается, что она есть решение нелинейного
параболического уравнения
∂u
∂t
=
1
2
σ
∂2u
∂x2
+
− τ
∂2u
∂x2
−
,
u(0, x) = ϕ(x)
где a+ = max{a, 0}, a− = max{−a, 0}. Тогда
u(1, 0) = E(ϕ(X)).

Рассмотрим модель бинарного выбора, определяющую будет
ли клиент банкротом, или нет.
yi =
1 если i-ый клиент обанкротился
0 иначе.
Пусть
xi = (x1
i , . . . , xk
i )
– набор объясняющих переменных для i-ого клиента.

Пробит модель бинарного выбора:
y∗
i = 1 + xi β + εi , εi N(0, σ2
).
и
yi =
1, если y∗
i > 0
0, если y∗
i < 0
y∗ – латентная переменная.

Если выборка, с помощью которой оценивается данная модель
мала, то оценки параметров
β = (β1, . . . , βk), σ2
очень неточны. В частности, корректнее говорить не об
определённых числах ˆβ и ˆσ2, а о доверительных интервалах. В
частности, об интервале
ˆσ2
1 ≤ σ2
≤ ˆσ2
2.

В соответствии с этим, более надежной будет следующая
оценка для вероятности банкротства
P(yi = 1) = P(y∗
i > 0) =
P εi > −1 − xi
ˆβ = E I[−1−xi
ˆβ,∞)(ε) ,
При этом
ε ∼ N 0, [ˆσ2
1, ˆσ2
2] .

Соответвенно должна быть решена задача
∂u
∂t
=
1
2
ˆσ2
1
∂2u
∂x2
+
− ˆσ2
2
∂2u
∂x2
−
u(0, x) = I[−1−xi
ˆβ,∞)(x)
Тогда u(1, 0) = P(yi = 1).

Численное решение может быть найдено с помощью Wolfram
Mathematica
i[x] := 1 + 2/Pi(ArcTan[(x + yf ∗
)/1
solution =
NDSolve[{D[u[x, t], t] == sigma2Maxp[0, D[u[x, t], x, x]]−
sigma1Min[0, D[u[x, t], x, x]],
u[x, 0] == I(x), u[−20, t] == 0, u[20, t] == 1},
u, {x, −20, 20}, {t, 0, 1}]

Новая работа:
Lu Lin, Yufeng Shi, Xin Wang, Shuzhen Yang – Sublinear
expectation linear regression, arXiv:1304.3559 (Submitted on 12
Apr 2013)
Применение к линейной регрессии.

Дальнейшее развитие:
1 Модели временных рядов с небольшим числом
наблюдений (в идеале – модели VAR).
2 Линейная регрессия в условиях проблемы эндогенности:
случай «слабых инструментов».

Statistics2013 talk "Nonlinear expectation and Risk measure"

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Statistics2013 talk "Nonlinear expectation and Risk measure" (8)

More from Nikita V. Artamonov (9)

Statistics2013 talk "Nonlinear expectation and Risk measure"