Tiếp tuyến
- 1. CHUYÊN ĐỀ: TIẾP TUYẾN A. Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến I. Bài Toán 1. Viết PT tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị 1. Bài toán. Cho đồ thị (C): y = f(x) và điểm ( , ) ( )o o oM x y C∈ . Viết PT tiếp tuyến của (C) tại ( , )o o oM x y 2. Phương pháp. Bước 1. Tìm '( ),o of x y Bước 2. PT tiếp tuyến có dạng '( )( )o o oy f x x x y= − + II. Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. 1. Bài toán. Cho đồ thị (C): y = f(x) và một số thực k. Viết PTTT của đồ thị (C) với hệ số góc k. 2. Phương pháp. a) PP1. Bước 1. G/s ( ; )o oM x y là tọa độ tiếp điểm của PTTT cần tìm với đồ thị (C). Bước 2. Tìm các nghiệm của PT '( )of x k= . Số nghiệm tìm được là số tọa độ tiếp điểm nên việc làm bài toán lúc này là làm như bài toán 1. b) PP2. (PP điều kiện nghiệm kép) Bươc 1. G/s PTTT có dạng (d): y kx m= + Bươc 2. (d) là PTTT của (C) ( )kx m f x⇔ + = có nghiệm bội (nghiệm kép) • Lưu ý: PP2 chỉ áp dụng được khi PT: ( )kx m f x+ = biến đổi tương đương về dạng một phương trình bậc 2 ẩn x với tham số m. 3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k a) Dạng trực tiếp 1 1 1, 2..., 2, 3..., , ... 2 3 k = ± ± ± ± ± ± b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc tankα α⇒ = với α là các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt c) Tiếp tuyến // với đường thẳng ( ) : axy b k a∆ = + ⇒ = d) Tiếp tuyến ⊥ với đường thẳng ( ) : ax . 1 ( 0)y b k a a∆ = + ⇒ = − ≠ e) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( ) : axy b∆ = + một góc tan 1 k a ka α α − ⇒ = + III. Bài toán 3. Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước
- 2. 1. Bài toán: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) và điểm ( )A a; b ( )d∈ A(a; b) cho trước. Viết PTTT đi qua A(a; b) đến đồ thị (C) 2. Phương pháp a) PP1. Bước 1. G/s PTTT cần tìm tiếp xúc với (C) tại ( ; )o oM x y khi đó PTTT có dạng ( ): '( )( ) ( ) ( ( ))o o o o od y f x x x f x y f x= − + = b) Bước 2. Do ( , ) ( )A a b d∈ nên ta có: '( )( ) ( )o o ob f x a x f x= − + . Giải PT tìm được các tọa độ tiếp điểm việc giải bài toán bây giờ giải như bài toán 1 Loại 1: PTTT tại một điểm thuộc đồ thị 1. Viết PTTT của đồ thị 3 ( ) : ( ) 3 5C y f x x x= = − + khi biết a) Hoành độ của tiếp điểm là 1 2 31; 2; 3x x x= − = = b) Tung độ của tiếp điểm là 1 2 35; 3; 7y y y= = = 2. Cho 3 2 ( ): ( ) 2 3 9 4C y f x x x x= = − + − . Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị hàm sau: a) Đường thẳng ( ): 7 4d y x= + b) Parabol 2 ( ): 8 3P y x x= − + − c) Đường cong 3 2 ( ): 4 6 7C y x x x= − + − 3. (HVQY 97). Cho hàm số 3 ( ) : 1 ( 1)mC y x m x= + − + . a) Viết PTTT của ( )mC tại giao điểm của ( )mC với trục Oy b) Tìm m để PTTT trên chắn trên 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. 4. (ĐHTM 2000). Cho điểm ( ; )o oA x y thuộc đồ thị 3 ( ): 3 1C y x x= − + . Tiếp tuyến với (C) tại ( ; )o oA x y cắt đồ thị ( )C tại điểm B khác A. Tìm tọa độ của B. 5. (ĐHYHN 96). Cho 3 2 ( ): 3 3 5C y x x x= + + + a) CMR: không tồn tại 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau b) Tìm k để (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đường thẳng y = kx + m.
- 3. 6. Cho 3 2 ( ): ( ) 3 1mC y f x x x mx= = + + + a) Tìm m để ( )mC cắt đường thẳng y =1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E. b) Tìm m để các tiếp tuyến với ( )mC tại D và E vuông góc với nhau. 7. (ĐHQG TPHCM 96). Cho 3 2 ( ) : ( ) 1mC f x x mx= + + . Tìm m để ( )mC cắt đường thẳng y = -x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0, 1), B, C sao cho các tiếp tuyến với ( )mC tại B và C vuông góc với nhau. 8. (HVCNBCVT 2001). Cho hàm số 3 ( ): 3 2C y x x= − + a) CMR: Đường thẳng ( ): ( 2) 2m y m x∆ = + + luôn cắt (C) tại điểm A cố định b) Tìm m để ( )m∆ cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau. 9. (ĐHNNHN 2001). Tìm các điểm trên đồ thị (C): 31 2 3 3 y x x= − + mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 1 2 3 3 y x − = + . 10.(ĐHNT TPHCM 98). Cho đồ thị 3 2 ( ): 3 9 5c y x x x= + − + . Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) để tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất. 11.(HVQHQT 2001). Cho hàm số 3 21 ( ) : 1 3 C y x mx x m= − − + − . Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 12.(HVQY 97). Cho 3 ( ): 1 ( 1)C y x k x= + − + . Viết PTTT (t) tại giao điểm của (C) với Ox và Oy. Tìm k để (t) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8. 13. Cho hàm số 4 2 ( ) 2 3 ( )y f x x x C= = − + . Tìm trên đồ thị (C) những tiếp tuyến với (C) tại điểm đó song song tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1 ; 2). Loại 2. Viết PTTT theo hệ số góc cho trước 14.(ĐH AN 2001). Viết PTTT với (C) : 3 2 3y x x= − biết : a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 3 y x= b) Tiếp tuyến // y= 9x + 2012 15. Cho đồ thị 3 ( ): 3 7C y x x= − + a) Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó // y = 6x + 2
- 4. b) Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với 1 3 9 y x − = + c) Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó tạo với y = 2x + 3 góc 0 45 16. Cho hàm số 3 21 ( ) : 2 4 3 C y x x x= − + − a) Viết PTTT có hệ số góc k = -2 b) Viết PTTT tạo với chiều dương trục Ox góc 0 60 c) Viết PTTT // với đường thẳng y = -x+2 d) Viết PTTT ⊥ với đường thẳng y = 2x -3 e) Viết PTTT tạo với đường thẳng y = 3x +7 góc 0 45 f) Viết PTTT tạo với đường thẳng 1 3 2 y x − = + một góc 0 30 Loại III. PTTT đi qua một điểm cho trước đến đồ thị 17. Viết PTTT đi qua 2 ; 1 3 A − ÷ đến 3 3 1y x x= − + 18.Viết PTTT đi qua A (2 ; 0) đến 3 6y x x= − − 19. Cho hàm số 4 2 ( ) 2 3 (*)y f x x x= = − + . Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*). 20. Cho hàm số 3 2 3 3 ( ).y x x C= − + Tìm trên đường thẳng y = -1 những điểm mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (C). 21.Cho 2 ( 1) 6 ( ): ( )m m m x m C y f x x m − + + = = − . Định m để tiếp tuyến với ( )mC tại điểm trên ( )mC có hoành độ bẳng 2 song song với đường thẳng d: y = -x +3 22. Cho hàm số 2 (3 1) ( )m m x m m y C x m + − + = + . Định m để tại giao điểm của đồ thị ( )mC với trục Ox, tiếp tuyến đó // với đường thẳng d: y= x +1. 23. Cho hàm số 3 2 3 3 ( )y x x C= − + . Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà qua đó kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C).