TIPS GUIDE - Mathematics DU
- 1. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein. Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS) 2015-1-ES01-KA219-015719_1 Teaching Innovative Practices in STEM Wiskunde Van den Eynde, K. Sint Donatus Bovenbouw (Merchtem) 1. Inleiding Een veelhoek of polygoon is een meetkundige vlakke figuur, gevormd door een gesloten keten van een aantal lijnstukken. Indien deze veelhoek zes gelijke hoeken en gelijke zijden heeft is het een regelmatige zeshoek of hexagon. Een regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken (1). Flexagons zijn vlakke figuren gemaakt van gevouwen stroken papier, die kunnen omgebogen worden, zodat een aantal verborgen aanzichten zichtbaar worden (2). Een flexagon ziet eruit als een stuk papier, gevouwen in een zeshoek met een bepaald voor- en achteraanzicht. Binnenin de structuur zit echter nog een derde aanzicht, dat door het ombuigen van de flexagon zichtbaar kan gemaakt worden. (2). In deze workshop zullen we een tri-hexa-flexagon construeren. Dit is een flexagon die zes unieke patronen omhult. Elk van de drie aanzichten die hierboven werden beschreven kan immers op twee manieren verschijnen bij het ombuigen 2. Materiaal en methode Materiaal: Papier Potlood Lat Passer Lijm Schaar Methods: Om een tri-hexa-flexagon te construeren is een correct sjabloon onontbeerlijk. Dit sjabloon wordt verkregen door te beginnen met een rechthoekige strook papier. Hiervan wordt eerst een 30° , 60° driehoek afgeknipt aan een zijde. Vervolgens plooit men de strook in de lengte in twee gelijke delen. Deze twee delen worden elk verdeeld in gelijkzijdige driehoeken (hoeken van 60°). Het langste deel resulteert in tien gelijkzijdige driehoeken, de rest mag afgeknipt en verwijderd worden. Het kortste deel resulteert in acht gelijkzijdige driehoeken, waarna het resterende papier eveneens afgeknipt en verwijderd wordt. Tot slot worden beide delen genummerd. Hiervoor houdt men de strook opengevouwd voor zich, met het langste deel bovenaan en uiterst linkse driehoek van de bovenste rij met zijn punt naar beneden. De volgorde van de nummers die geplaatst moeten worden in de bovenste rij is 3 – 1 – 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 1 – 1 – 2.De volgorde voor de kortste, onderste rij is 2 -3 – 3 – 1 – 1 – 2 – 2 – 3. Vanwege het grote belang van de nauwkeurigheid bij het tekenen van het sjabloon om uiteindelijk tot een flexibele flexagon te komen, geeft figuur 1 een sjabloon die voldoet aan deze beschrijving weer. Om verder onregelmatigheden te voorkomen wordt aangeraden dit sjabloon te gebruiken. Het sjabloon moet met grote precisie worden uitgeknipt om verdere constructie vqn de flexagon uit te voeren. Vervolgens wordt het sjabloon op alle lijnen van de gelijkzijdige driehoeken in beide richtingen goed geplooid om verder vouwen in de volgende stappen te vergemakkelijken.
- 2. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein. Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS) 2015-1-ES01-KA219-015719_1 Figuur 1: Sjabloon: het sjabloon om een flexagon te bouwen, dat uitgeknipt kan worden om de workshop verder te zetten. Stap een: Draai het sjabloon en plooi het in de lengte in twee, zodat de twee blanco driehoeken tevoorschijn komen en lijm de twee helften samen. Figuur 2: Achteraanzicht: Het eenmaal gevouwen sjabloon, achteraanzicht. De twee blanco driehoeken moeten gelijmd worden. Stap twee: Vouw naar achter op de zwarte lijn. Figuur 3: Achteraanzicht tweede vouw. Sjabloon na tweede vouw. Gevouwen op de lijn tussen de groenen en blauwe driehoek, uiterst links op figuur 2.
- 3. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein. Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS) 2015-1-ES01-KA219-015719_1 Stap drie: Vouw nogmaals, nu voorwaarts, op de horizontale lijn. Figuur 4: Achteraanzicht van het driemaal gevouwen sjabloon. Sjabloon na tweede plooi, met een horizontale lijn die aanduid waar de derde plooi moet komen. Links: Voor de derde vouw. Rechts: Na de derde plooi. Stap vier: Plooi een laatste maal, voorwaarts, om een hexagon te verkrijgen. Nu zouden vijf blauwe driehoeken met nummer drie op zichtbaar moeten zijn. Figuur 5: Hexagon: Het sjabloon van figuur 4 kan nog eenmaal geplooid worden, tussen de twee oranje driehoeken met nummer 1, zodat een hexagon wordt gevormd. Stap vijf: De zeshoek die op deze manier werd bekomen bevat, zoals in de vorige stap werd beschreven, nog een blanco driehoek. Trek de blauwe driehoek die verborgen zit achter deze blanco driehoek naar voor, zodat aan de voorzijde zes blauwe driehoeken met nummer 3 zichtbaar worden en aan de achterzijde zes groene driehoeken met nummer 2. Stap zes: Kleef de blanco zijde van de driehoeken die in stap vijf van positie wisselden aan elkaar. Laat de lijm gedurende vijf minuten drogen. Volgende manipulaties zorgen voor het los komen van de driehoeken indien de lijm nog niet volledig is gedroogd. Maak de verborgen zijde zichtbaar door de structuur te buigen op volgende manier: o Duw twee zijden samen waartussen een papiervouw zit. Deze zijden liggen dus wel naast elkaar maar hangen niet aan elkaar vast. o Duw vervolgens met je andere hand de tegenoverliggende hoek van de flexagon die aan de onderzijde ligt naar boven en trek het centrum van het flexagon naar boven. o Laat de twee driehoeken die je samenduwde los, zodat ze bovenaan openen en de structuur binnenste buiten klapt. Uiteindelijk zou aan de bovenzijde een hexagon zichtbaar moeten zijn dat bestaat uit de groene gelijkzijdige driehoeken met nummer 2. Ombuigen van de ene naar de andere hexagon kan eerst moeizaam verlopen, aangezien het papier nog stijf is. Na enige tijd zal het aan flexibiliteit winnen en verloopt dit vlotter. Toch moet dit steeds met de nodige nauwkeurigheid en voorzichtigheid gebeuren, zodat het papier niet scheurt. Het ombuigen wordt geïllustreerd in figuur 6. Figuur 6: Ombuigen: Aangezien de flexibiliteit van het papier toeneemt, verloopt na een poosje het ombuigen van de ene naar de andere flexagon vlot.
- 4. The European Commission support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents which reflects the views only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein. Teaching Innovative Practices in STEM (TIPS) 2015-1-ES01-KA219-015719_1 Na constructie van een hexagon met dit sjabloon kunnen ook andere flexagons worden ontworpen met zijden die logo’s, de kleuren van vlaggen en dergelijke onthullen. Figuur 7 toont hiervan enkele mogelijkheden. Figuur 7: Flexagon freestyle: Bouwen van flexagon met verschillende logo’s of kleuren dan het beschreven sjabloon. 3. Discussie Deze workshop helpt studenten tot het inzicht komen dat wiskunde meer is dan theoretische formules en abstracte cijfers. Door de geometrie te visualiseren zullen studenten haar beter onthouden, hun eigenschappen ontdekken en leren ze nieuwe geometrische ontwerpen kennen. Het flexagon kan gebruikt worden om een boodschap of figuur te onthullen door deze op de verborgen zijde te noteren. 4. Referenties (1) Conway, J. H. ; Burgiel H.; Goodman-Strauss C. Types of symmetry of a polygon. The Symmetries of Things. 275-278 (2008) (2) Oakley, C. O.; Wisner, R. J. Flexagons. The American Mathematical Monthly. 64, 143–154 (1957) (3) Video will be posted on https://tipssintdonatus.wixsite.com/tips