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  • 2. Mo d e l od e p r o g r a ma c i ó nl i n e a l d e d o s v a r i a b l e . E se l c a mp od el ap r o g r a ma c i ó nma t e má t i c ad e d i c a d aama x i mi z a romi n i mi z a ru n a f u n c i ó nl i n e a l , d e n o mi n a d af u n c i ó no b j e t i v od et a l f o r maq u el av a r i a b l ed ed i c h af u n c i ó n e s t as u j e t aau n as e r i ed er e s t r i c c i o n e se x p r e s a d a s me d i a n t eu ns i s t e mad ee c u a c i o n e so i n e c u a c i o n e s t a mb i é nl i n e a l e s . E n l a p r o g r a ma c i ó n l i n e a lP L c o n s i s t e e n o p t i mi z a ru n a f u n c i ó n l i n e a ls u j e t a a r e s t r i c c i o n e s l i n e a l e s d e v a r i a b l e s r e a l e s . L o smé t o d o sd ep r o g r a ma c i ó nl i n e a l s eu t i l i z a nd i f e r e n t e s mé t o d o s d es o l u c i ó ny l o s ma s d i f u n d i d o s s o nl o s mé t o d o s g r á f i c o s y mé t o d o s s i mp l e x L o sp r o b l e ma sd es i s t e ma sd ei n e c u a c i ó nyt a mb i é np r o b l e ma sd eo p t i mi z a c i ó n ys e r e s u e l v e d e d i f e r e n t e s f o r ma s . E x i s t ep r o b l e ma sd ed o si n c ó g n i t ae nd o n d ed e b e mo sma x i mi z aomi n i mi z a r u n af u n c i ó n e n d o n d e d e c i mo s q u e v a mo s a o p t i mi z a E s t af u n c i ó nl al l a ma r e mo sf u n c i ó no b j e t i v o F ( x , y ) l u e g ol e e r e mo sn u e s t r o p r o b l e ma sy v a mo sap l a n t e a r q u ed i c h af u n c i ó no b j e t i v o , l u e g op l a n t e a r e mo sn u e s t r o s i s t e ma d ei n e c u a c i ó ny p a r ae l l o sn o sv a mo saa y u d a r d eu n at a b l ad ed o b l ee n t r a d ay r e s o l v e mo sd i c h os i s t e mac o mol as o l u c i ó ne ne l p u n t od e l p l a n o q u es a t i s f a c ed i c h o s i s t e maf o r ma nu np o l í g o n oou n ar e g i ó np o l i g o n a l s e aa c o t a d aon o a d e má sp a r al o s p r o b l e ma sd ep r o g r a ma c i ó nl i n e a l d e b e mo sc a l c u l a r l o sv é r t i c e sd ed i c h ar e g i ó ns o l u c i ó n q u e t a mb i é nl a l l a ma r e mo s r e g i ó nf a c t i b l e . C o moh a l l a r e mo se s t o sv é r t i c e s , r e s o l v i e n d os i s t e ma sd ed o se c u a c i o n e sl i n e a l e sc o n d o si n c ó g n i t a sc o r r e s p o n d i e n t e sal al í n e ar e c t aq u eh a c eol oq u ef o r mae s t ar e g i ó n f a c t i b l e D i c h ov é r t i c e ss o np o s i b l e ss o l u c i o n e sys e r á ns o l u c i ó naa q u e l l aq u eo p t i mi c en u e s t r a f u n c i ó no b j e t i v oe s d e c i r q u e l ama x i mi c e ol a mi n i mi c e s e g ú ne l c a s o . S i e x i s t eu n aú n i c as o l u c i ó nq u es ee n c u e n t r ae nu nv é r t i c ed el ar e g i ó nf a c t i b l es i e x i s t e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s e e n c u e n t r a e nu n o s d e l o s l a d od e d i c h a r e g i ó n . V a mo sar e s o l v e r u np r o b l e mad eo p t i mi z a c i ó nd ep r o g r a ma c i ó nl i n e a l p e r o r e c o r d a mo s q u ed e b e mo sl e e rb i e n e l p r o b l e map a r ap l a n t e a rn u e s t r af u n c i ó no b j e t i v ayt a mb i é n n u e s t r os i s t e ma d e i n e c u a c i o n e s ) E j e mp l o U n a ma q u i n a p r o d u c e d o s t i p o s d e c o mp u t a d o r a A yB ,p a r a f a b r i c a r l o ss e n e c e s i t a u n t i e mp o d e p r o d u c c i ó n e n ma q u i n a s y u n a c a b a d o a ma n o q u e r e a l i z a nl o so p e r a r i o s . L av e n t ad e l mo d e l o An e c e s i t a2h o r a se nl ama q u i n a sy me d i a h o r a d e t r a b a j o a ma n o y p r o d u c e u n b e n e f i c i od e6 0 $ . L av e n t ad e l mo d e l oB n e c e s i t a 3 h o r a s e n l a ma q u i n a s y u n c u a r t od eh o r ad et r a b a j oama n oyo r i g i n a u n b e n e f i c i od e 5 5 $ . S ed i s p o n eu nt o t a l d e3 0 0h o r a s d et r a b a j o e nma q u i n a sy 6 0h o r a sd et r a b a j oama n o . E n t r el o sd o st i p o sd ec o mp u t a d o r ah a nd e C o mp u t a d o r a T r a b a j oa ma q u i n a ( h o r a s ) T r a b a j oa ma n o ( h o r a s ) B e n e f i c i o ( D ó l a r e s ) A x B y T o t a l :
  • 3. f a b r i c a r s ep o r l ome n o s9 0 . ¿ Q u éc a n t i d a d d e c o mp u t a d o r a d e c a d a t i p o h a d e p r o d u c i r s e p a r a b e n e f i c i os e a má x i mo ? C o mp u t a d o r a T r a b a j oama q u i n a ( h o r a s ) T r a b a j oama n o ( h o r a s ) B e n e f i c i o ( D ó l a r e s ) A x 2 ½ 6 0 B y 3 ¼ 5 5 T o t a l : 3 0 0 6 0 B( x , y ) T e n i e n d oe l o r d e n a d ol o sd a t o se nu n at a b l ad ed o b l ee n t r a d av a mo sa h o r aap l a n t e a r n u e s t r a f u n c i ó no b j e t i v oe nn u e s t r os i s t e ma d e i n e c u a c i o n e s . R e c o r d a mo sq u el af u n c i ó nq u en o sp i d eo p t i mi z a r e su nb e n e f i c i oq u el l a ma mo sB ( X , Y ) l o sc o mp u t a d o r at i e n eu nb e n e f i c i od et i p oAt i e n eu nb e n e f i c i od e6 0 $y l l a ma r e mo sXa e s t en u me r od ec o mp u t a d o r a , e l b e n e f i c i os e r ád e6 0 & p o r e l n u me r od ec o mp u t a d o r a v e n d i d oma s e l b e n e f i c i oq u e a p o r t a l o s c o mp u t a d o r a oBq u e e ne s t e c a s oe s 5 5 $ B ( x , y ) =6 0 x + 5 5 y e s t a e s n u e s t r af u n c i ó n o b j e t i v o . P l a n t e a r e mo sn u e s t r o s i s t e ma d e e c u a c i ó n yt e n e mo sq u e p a r a u n o c o mp u t a d o r a t e n e mo su n a sh r s .q u en e c e s i t a mo se nma q u i n ayt e n e mo s2 x + 3 yt e n e mo sc o mo má x i mo s3 0 0h o r a sme n o r ei g u a l 3 0 0h o r a syt r a b a j oama n ot e n e mo s½h o r ap a r al o s e q u i p o sA+ ¼ d eh o r a sp a r al o se q u i p o sBy t e n e mo su nmá x i mod e6 0h o r a s , ½x+¼y _6 0 y e n t r e a mb o s c o mp u t a d o r a t e n e mo s q u e p r o d u c i r c o momí n i mo9 0e n t o c e s x + y /9 0 t a mb i é np l a n t e a r e mo sd o sc o n d i c i o n e se l n u me r od ec o mp u t a d o r ad e b ed e s e r s i e mp r e ma y oq u e 0 x /0 y /0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ C o me n z a mo sar e p r e s e n t a r g r á f i c a me n t ea 2 x+3 y= 3 0 0 yt o ma mo su np u n t oe ne l B ( x , y ) =6 0 x +5 5 y 2 x + 3 y _ 3 0 0 ½x +¼y _6 0 x +y /9 0 x /0 y /0 y a t e n i e n d on u e s t r os i s t e ma d e i n e c u a c i ó ny r e s o l v e mo s q u e c a d a u n a e s e s t a s i n e c u a c i o n e s r e p r e s e n t a s i n e l me n o r oi g u a l u n a e c u a c i ó nd e u n a l í n e a r e c t a
  • 4. p l a n oc a r t e s i a n oc o moe l ( 0 , 0 ) s o mb r e a mo se s t es e mi p l a n oe nd o n d es ee n c u e n t r ae l p u n t o( 0 , 0 ) R e p r e s e n t a n d o½x +¼y_6 0y t o ma mo s u np u n t oe ne l p l a n oc a r t e s i a n oc o moe l ( 0 , 0 ) y n o sd aq u e0e sme n o r q u e3 0 0s o mb r e a mo se s t es e mi p l a n oe nd o n d es ee n c u e n t r ae l p u n t o( 0 , 0 ) R e p r e s e n t a mo sx+y= 9 0yt o ma mo su np u n t oe ne l p l a n oc a r t e s i a n oc o moe l ( 0 , 0 ) t o ma n d oe nc u e n t aq u ee l 0n oe sma y oq u e9 0s o mb r e a mo sl ao t r ap a r t ed e l s e mi p l a n o a l c u a l n op e r t e n e c e e l p u n t o( 0 , 0 ) Y aq u e x /0 y y /0 s e e n c u e n t r a ne ne l p r i me r c u a d r a n t e y t e n e mo s e n t o n c e a s í n u e s t r op o l í g o n oon u e s t r a r e g i of a c t i b l e Y a t e n i e n d on u e s t r a r e g i ó nf a c t i b l e d e b e mo s h a l l a l o s v é r t i c e s d e e s a r e g i ó n R e s o l v i e n d o s i s t e ma d e d o s e c u a c i o n e s c o n d o s i n c ó g n i t a s y a q u e t e n e mo s t r e s e c u a c i o n e s d e r e c t a s d i f e r e n t e s c a n t i d a d e s R e s o l v e mo s c o nl o s c o r t e s d e l o s e j e s Xy e l e j e Yc o nl o s s i g u i e n t e s v é r t i c e s B ( x , y ) =6 0 x +5 5 y B( 0 . 9 0 ) = 4 9 5 0$ B( 0 , 1 0 0 ) = 5 5 0 0$ B( 9 0 , 0 ) = 5 4 0 0$ B( 1 2 0 , 0 ) = 7 2 0 0$ B( 1 0 5 , 3 0 ) = 7 9 5 0$ N o s p e d í a a q u e l l ol a c a n t i d a dd e c o mp u t a d o r a d e c a d a t i p oh a d e p r o d u c i r s e p a r a b e n e f i c i os e a má x i moy l a r e s p u e s t a B( 1 0 5 , 3 0 ) =7 9 5 0$e s q u e d e b e mo s f a b r i c a r 1 0 5 c o mp u t a d o r a t i p oA y 3 0c o mp u t a d o r a t i p oBp a r a q u e e l b e n e f i c i os e a má x i moc o nd i c h o b e n e f i c i oa 7 9 5 0$