![No Way around It. Introduction.
This book is devoted to the study of permutations. While the overwhelming
majority of readers already know what they are, we are going to define them
for the sake of completeness. Note that this is by no means the only definition
possible.
DEFINITION 0.1 A linear ordering of the elements of the set [n] =
{1, 2, 3, · · ·, n} is called a permutation, or, if we want to stress the fact that
it consists of n entries, an n-permutation.
In other words, a permutation lists all elements of [n] so that each element
is listed exactly once.
Example 0.2
If n = 3, then the n-permutations are 123, 132, 213, 231, 312, 321.
There is nothing magic about the set [n]; other sets having n elements
would be just as good for our purposes, but working with [n] will simplify
our discussion. In Chapter 2, we will extend the definition of permutations
to multisets, and in Chapter 3, we will consider permutations from a different
perspective. The set of all n-permutations will be denoted by Sn, and the
reason for that will become clear in Chapter 3.
For now, we will denote an n-permutation by p = p1p2 · · · pn, with pi being
the ith entry in the linear order given by p.
The following simple statement is probably the best-known fact about per-
mutations.
PROPOSITION 0.3
The number of n-permutations is n!.
PROOF When building an n-permutation p = p1p2 · · · pn, we can choose
n entries to play the role of p1, then n − 1 entries for the role of p2, and so
on.
We promise the rest of the book will be less straightforward.
1
© 2012 by Taylor & Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-22-320.jpg)
![4 Combinatorics of Permutations, Second Edition
LEMMA 1.3
Let S = {s1, s2, · · · , sk} ⊆ [n−1], and let α(S) be the number of n-permutations
whose descent set is contained in S. Then we have
α(S) =
n
s1
n − s1
s2 − s1
n − s2
s3 − s2
· · ·
n − sk
n − sk
.
PROOF The crucial idea of the proof is the following. We arrange our n
entries into k +1 segments so that the first i segments together have si entries
for each i. Then, within each segment, we put our entries in increasing order.
Then the only places where the resulting permutation has a chance to have a
descent is where two segments meet, that is, at s1, s2, · · · , sk. Therefore, the
descent set of the resulting permutation is contained in S.
How many ways are there to arrange our entries in these segments? The
first segment has to have length s1, and therefore can be chosen in
n
s1
ways.
The second segment has to be of length s2 − s1, and has to be disjoint from
the first one. Therefore, it can be chosen in
n−s1
s2−s1
ways. In general, segment
i must have length si − si−1 if i k + 1, and has to be chosen from the
remaining n − si−1 entries, in
n−si−1
si−si−1
ways. There is only one choice for the
last segment as all remaining n − sk entries have to go there. This completes
the proof.
Now we are in a position to state and prove the formula for the number of
n-permutations with a given descent set.
THEOREM 1.4
Let S ⊆ [n − 1]. Then the number of n-permutations with descent set S is
β(S) =
T ⊆S
(−1)|S−T |
α(T ). (1.1)
PROOF This is a direct conclusion of the Principle of Inclusion and
Exclusion. (See any textbook on introductory combinatorics, such as [34], for
this principle.) Note that permutations with a given h-element descent set
H ⊆ S are counted ah =
|S−H|
i=0 (−1)i
|S−H|
i
= (1+(−1))|S−H|
times on the
right-hand side of (1.1). The value of ah is 0 except when |S − H| = 0, that
is, when S = H. So the right hand side counts precisely the permutations
with descent set S.
1.1.2 Eulerian Numbers
Let A(n, k) be the number of n-permutations with k − 1 descents. You may
be wondering what the reason for this shift in the parameter k is. If p has
k −1 descents, then p is the union of k increasing subsequences of consecutive
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-24-320.jpg)
![In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 5
entries. These are called the ascending runs of p. (Some authors call them
just “runs,” some others call something else “runs.” This is why we add the
adjective “ascending” to avoid confusion.) Also note that in some papers,
A(n, k) is used to denote the number of permutations with k descents.
Example 1.5
The three ascending runs of p = 2415367 are 24, 15, and 367.
Example 1.6
There are four permutations of length three with one descent, namely 132, 213,
231, and 312. Therefore, A(3, 2) = 4. Similarly, A(3, 3) = 1 corresponding to
the permutation 321, and A(3, 1) = 1, corresponding to the permutation 123.
Thus the permutations with k ascending runs are the same as permutations
with k − 1 descents, providing one answer for the notation A(n, k). We note
that some authors use the notation
n
k for A(n, k).
The numbers A(n, k) are called the Eulerian numbers, and have several
beautiful properties. Several authors provided extensive reviews of this field,
including Carlitz [84], Foata and Schützenberger [131], Knuth [183], and Char-
alambides [83]. In our treatment of the Eulerian numbers, we will make an
effort to be as combinatorial as possible, and avoid the analytic methods that
probably represent a majority of the available literature. We start by proving
a simple recursive relation.
THEOREM 1.7
For all positive integers k and n satisfying k ≤ n, we have
A(n, k + 1) = (k + 1)A(n − 1, k + 1) + (n − k)A(n − 1, k).
PROOF There are two ways we can get an n-permutation p with k
descents from an (n − 1)-permutation p
by inserting the entry n into p
.
Either p
has k descents, and the insertion of n does not form a new descent,
or p
has k − 1 descents, and the insertion of n does form a new descent.
In the first case, we have to put the entry n at the end of p
, or we have
to insert n between two entries that form one of the k descents of p
. This
means we have k + 1 choices for the position of n. As we have A(n − 1, k + 1)
choices for p
, the first term of the right-hand side is explained.
In the second case, we have to put the entry n at the front of p
, or we have
to insert n between two entries that form one of the (n − 2) − (k − 1) ascents
of p
. This means that we have n−k choices for the position of n. As we have
A(n − 1, k) choices for p
, the second part of the right-hand side is explained,
and the theorem is proved.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-25-320.jpg)
![6 Combinatorics of Permutations, Second Edition
We note that A(n, k + 1) = A(n, n − k); in other words, the Eulerian
numbers are symmetric. Indeed, if p = p1p2 · · · pn has k descents, then its
reverse pr
= pnpn−1 · · · p1 has n − k − 1 descents.
The following theorem shows some additional significance of the Eulerian
numbers. In fact, the Eulerian numbers are sometimes defined using this
relation.
THEOREM 1.8
Set A(0, 0) = 1, and A(n, 0) = 0 for n 0. Then for all nonnegative integers
n, and for all real numbers x, we have
xn
=
n
k=1
A(n, k)
x + n − k
n
. (1.2)
Example 1.9
Let n = 3. Then we have A(3, 1) = 1, A(3, 2) = 4, and A(3, 3) = 1, enumer-
ating the sets of permutations {123}, {132, 213, 231, 312}, and {321}. And
indeed, we have
x3
=
x + 2
3
+ 4
x + 1
3
+
x
3
.
PROOF (of Theorem 1.8) Assume first that x is a positive integer. Then
the left-hand side counts the n-element sequences in which each digit comes
from the set [x]. We will show that the right-hand side counts these same
sequences. Let a = a1a2 · · · an be such a sequence. Rearrange the a into a
nondecreasing order a
= ai1 ≤ ai2 ≤ · · · ≤ ain , with the extra condition
that identical digits appear in a
in the increasing order of their indices. Then
i = i1i2 · · · in is an n-permutation that is uniquely determined by a. Note
that i1 tells from which position of a the first entry of i comes, i2 tells from
which position of a the second entry of i comes, and so on.
For instance, if a = 311243, then the rearranged sequence is a
= 112334,
leading to the permutation i = 234165.
If we can show that each permutation i having k − 1 descents is obtained
from exactly
x+n−k
n
sequences a this way, then we will have proved the
theorem.
The crucial observation is that if aij = aij+1 in a
, then ij ij+1 in i.
Taking contrapositives, if j is a descent of p(a) = i1i2 · · · in, then aij aij+1 .
This means that the sequence a
has to be strictly increasing whenever j is a
descent of p(a). The reader should verify that in our running example, i has
descents at 3 and 5, and indeed, a
is strictly increasing in those positions.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-26-320.jpg)
![8 Combinatorics of Permutations, Second Edition
The obvious question that probably crossed the mind of the reader by now
is whether there exists an explicit formula for the numbers A(n, k). The
answer to that question is in the affirmative, though the formula contains a
summation sign. This formula is more difficult to prove than the previous
formulae in this Section.
THEOREM 1.11
For all nonnegative integers n and k satisfying k ≤ n, we have
A(n, k) =
k
i=0
(−1)i
n + 1
i
(k − i)n
. (1.3)
While this theorem is a classic (it is more than a hundred years old), we
could not find an immaculately direct proof for it in the literature. Proofs
we did find used generating functions, or manipulations of double sums of
binomial coefficients, or inversion formulae to obtain (1.3). Therefore, we
solicited simple, direct proofs at the problem session of the 15th Formal Power
Series and Algebraic Combinatorics conference, which took place in Vadstena,
Sweden. The proof we present here was contributed by Richard Stanley. A
similar proof was proposed by Hugh Thomas.
PROOF (of Theorem 1.11) Let us write down k − 1 bars with k com-
partments in between. Place each element of [n] in a compartment. There
are kn
ways to do this, the term in the above sum indexed by i = 0. Arrange
the numbers in each compartment in increasing order. For example, if k = 4
and n = 9, then one arrangement is
237||19|4568. (1.4)
Ignoring the bars we get a permutation (in the above example, it is 237194568)
with at most k − 1 descents.
There are several issues to take care of. There could be empty compart-
ments, or there could be neighboring compartments with no descents in be-
tween. We will show how to sieve out permutations having either of these
problems, and therefore, less than k − 1 descents, at the same time.
Let us say that a bar is a wall if it is not immediately followed by another
bar. Let us say that a wall is extraneous if by removing it we still get a legal
arrangement, that is, an arrangement in which each compartment consist of
integers in increasing order.
For instance, in (1.4), the second bar is an extraneous wall. Our goal is to
enumerate the arrangements with no extraneous walls, as these are clearly in
bijection with permutations with k − 1 descents.
In order to do this, we will apply the Principle of Inclusion and Exclusion.
Let us call the spaces between consecutive entries of a permutation, as well
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-28-320.jpg)
![In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 9
as the space preceding the first entry and the space following the last entry a
position. So we associate n+1 positions to an n-permutation. Let S ⊆ [n+1],
and let AS be the set of arrangements in which there is a an extraneous wall
in each position belonging to S.
Let i ≤ k − 1 be the size of S. Then we claim that
|AS| = (k − i)n
.
In order to see this, first take any legal arrangment that contains k−i−1 bars.
There are (k − i)n
such arrangements. Now insert i extra bars by inserting
one to each position that belongs to S. (If there is already a bar in such a
position, then put the new bar immediately on the right of that bar.) This
results in an arrangement that belongs to AS. Conversely, each arrangment
belonging to AS will be obtained exactly once in this way. Indeed, if a ∈ AS,
then removing one bar from each of the i positions that belong to S, we get
the unique original arrangment with k − i − 1 bars that leads to a.
As there are
n+1
i
choices for the set S, and A∅ is the set of arrangments
with k−1 bars, none of which is an extraneous wall, the proof of our Theorem
is now immediate by the Principle of Inclusion and Exclusion.
For the sake of completeness, we include a more computational proof that
does not need a clever idea as the previous one did.
First, we recall a lemma from the theory of binomial coefficients.
LEMMA 1.12
[Cauchy’s Convolution Formula] Let x and y be real numbers, and let z be a
positive integer. Then we have
x + y
z
=
z
d=0
x
d
y
z − d
.
Note that Lemma 1.12 is sometimes called Vandermonde’s Identity.
PROOF Let us assume first that x and y are positive integers. Then the
left-hand side enumerates the z-element subsets of the set [x + y], while the
right-hand side enumerates these same objects, according to the size of their
intersection with the set [x].
For general x and y, note that both sides can be viewed as polynomials
in x and y, and they agree for infinitely many values (the positive integers).
Therefore, they have to be identical.
PROOF (of Theorem 1.11) As a first step, consider formula (1.2) with
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-29-320.jpg)
![In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 11
where the last step holds as b = k −j 0, and the next-to-last step is a direct
application of Cauchy’s convolution formula.
This shows that the right-hand side of (1.7) simplifies to A(n, k), and proves
our theorem.
1.1.3 Stirling Numbers and Eulerian Numbers
DEFINITION 1.13 A partition of the set [n] into r blocks is a distri-
bution of the elements of [n] into r disjoint non-empty sets, called blocks, so
that each element is placed into exactly one block.
In Section 2.1, we will define the different concept of partitions of an integer.
If there is a danger of confusion, then partitions of the set [n] will be called
set partitions, to distinguish them from partitions of the integer n.
Example 1.14
Let n = 7 and r = 4. Then {1, 2, 4}, {3, 6}, {5}, {7} is a partition of [7] into
four blocks.
Note that neither the order of blocks nor the order of elements within each
block matters. That is, {4, 1, 2}, {6, 3}, {5}, {7} and {4, 1, 2}, {6, 3}, {7}, {5}
are considered the same partition as the one in Example 1.14.
DEFINITION 1.15 The number of partitions of [n] into k blocks is
denoted by S(n, k) and is called a Stirling number of the second kind.
By convention, we set S(n, 0) = 0 if n 0, and S(0, 0) = 1. The next
chapter will explain what the Stirling numbers of the first kind are.
Example 1.16
The set [4] has six partitions into three parts, each consisting of one doubleton
and two singletons. Therefore, S(4, 3) = 6.
Whereas Stirling numbers of the second kind do not directly count permu-
tations, they are inherently related to two different sets of numbers that do.
One of them is the set of Eulerian numbers, and the other one is the afore-
mentioned set of Stirling numbers of the first kind. Therefore, exploring some
properties of the numbers S(n, k) in this book is well-motivated. See Figure
1.1 for the values of S(n, k) for n ≤ 5.
See Exercises 8 and 14 for two simple recurrence relations satisfied by the
numbers S(n, k). It turns out that an explicit formula for these numbers can
be proved without using the recurrence relations.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-31-320.jpg)
![12 Combinatorics of Permutations, Second Edition
n=4
n=2
n=3
n=5
n=1
n=0
25
15 10
6
7
3
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
FIGURE 1.1
The values of S(n, k) for n ≤ 5. Note that the Northeast–Southwest diagonals
contain values of S(n, k) for fixed k. Row n starts with S(n, 0).
LEMMA 1.17
For all positive integers n and r, we have
S(n, r) =
1
r!
r
i=0
(−1)i
r
i
(r − i)n
.
PROOF An ordered partition of [n] into r blocks is a partition of [n] into
r blocks in which the set of blocks is totally ordered. So {1, 3}, {2, 4} and
{2, 4}, {1, 3} are different ordered partitions of [4] into two blocks. Note that
an ordered partition of [n] into r blocks is just the same as a surjection from [n]
to [r]. In orde to enumerate all such surjections, let Ai be the set of functions
from [n] into [r] whose image does not contain i. The function f : [n] → [r] is
a surjection if and only if it is not contained in A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ar, and our
claim can be proved by a standard application of the Principle of Inclusion
and Exclusion.
Stirling numbers of the second kind and Eulerian numbers are closely re-
lated, as shown by the following theorem.
THEOREM 1.18
For all positive integers n and r, we have
S(n, r) =
1
r!
r
k=0
A(n, k)
n − k
r − k
. (1.8)
PROOF Multiplying both sides by r! we get
r!S(n, r) =
r
k=0
A(n, k)
n − k
r − k
.
Here the left-hand side is obviously the number of ordered partitions of [n]
into r blocks. We will now show that the right-hand side counts the same
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-32-320.jpg)
![In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 13
objects. Take a permutation p counted by A(n, k). The k ascending runs of
p then naturally define an ordered partition of [n] into k parts. If k = r, then
there is nothing left to do. If k r, then we will split up some of the ascending
runs into several blocks of consecutive elements, in order to get an ordered
partition of r blocks. As we currently have k blocks, we have to increase the
number of blocks by r − k. This can be achieved by choosing r − k of the
n − k “gap positions” (gaps between two consecutive entries within the same
block).
This shows that we can generate
r
k=0 A(n, k)
n−k
r−k
ordered partitions of
[n] that consist of r blocks each by the above procedure. It is straightforward
to show that each such partition will be obtained exactly once. Indeed, if
we write the elements within each block of the partition in increasing order,
we can just read the entries of the ordered partition left to right and get the
unique permutation having at most r ascending runs that led to it. We can
then recover the gap positions used. This completes the proof.
Inverting this result leads to a formula expressing the Eulerian numbers by
the Stirling numbers of the second kind.
COROLLARY 1.19
For all positive integers n and k, we have
A(n, k) =
k
r=1
S(n, r)r!
n − r
k − r
(−1)k−r
. (1.9)
PROOF Let us consider formula (1.8) for each r ≤ k, and multiply each
by r!. We get the equations
1! · S(n, 1) = A(n, 1)
n − 1
0
,
2! · S(n, 2) = A(n, 1)
n − 1
1
+ A(n, 2)
n − 2
0
,
the equation for general r being
r! · S(n, r) =
r
i=1
A(n, i)
n − i
r − i
, (1.10)
and the last equation being
k! · S(n, k) =
k
i=1
A(n, i)
n − i
r − i
. (1.11)
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-33-320.jpg)
![14 Combinatorics of Permutations, Second Edition
Our goal is to eliminate each term from the right-hand side of (1.11), except
for the term A(n, k)
n−k
k−k
= A(n, k). We claim that this can be achieved by
multiplying (1.10) by (−1)k−r
n−r
k−r
, doing this for all r ∈ [k −1], then adding
these equations to (1.11).
To verify our claim, look at the obtained equation
k
r=1
S(n, r)r!(−1)k−r
n − r
k − r
=
k
r=1
(−1)k−r
n − r
k − r
r
i=1
A(n, i)
n − i
r − i
,
(1.12)
or, after changing the order of summation,
k
r=1
S(n, r)r!(−1)k−r
n − r
k − r
=
r
i=1
A(n, i)
n − i
r − i
k
r=1
(−1)k−r
n − r
k − r
(1.13)
whose left-hand side is identical to the right-hand side of (1.9).
It is obvious that the coefficient of A(n, k) on the right-hand side is
n−k
k−k
=
1. Therefore, our statement will be proved if we can show that the coefficient
t(n, i) of A(n, i) in the last expression is equal to zero if i k.
Note that
n−i
r−i
= 0 if r i. Therefore, for any fixed i k, we have
t(n, i) =
k
r=i
n − i
r − i
n − r
k − r
(−1)k−r
=
k
r=i
n − i
r − i
k − n − 1
k − r
=
k − i − 1
k − i
= 0.
We used Cauchy’s convolution formula (Lemma 1.12) in the last step. This
proves that if i k, then A(n, i) vanishes on the right-hand side of (1.13). We
have discussed that A(n, k) will have coefficient 1 there. (This can be seen
again by setting k = i in the last expression, leading to t(n, i) =
−1
0
= 1.)
So (1.13) implies the claim of this corollary.
1.1.4 Generating Functions and Eulerian Numbers
There are several ways one can define a generating function whose coefficients
are certain Eulerian numbers. Let us start with a “horizontal” version.
DEFINITION 1.20 For all nonnegative integers n, the polynomial
An(x) =
n
k=1
A(n, k)xk
is called the nth Eulerian polynomial.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-34-320.jpg)
![In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 17
DEFINITION 1.24 We say that the sequence of positive real numbers
a1, a2, · · · , an is unimodal if there exists an index k such that 1 ≤ k ≤ n, and
a1 ≤ a2 · · · ≤ ak ≥ ak+1 ≥ · · · ≥ an.
The sequences A(n, k){1≤k≤n} seem to be unimodal for any fixed n. In fact,
they seem to have a stronger property.
DEFINITION 1.25 We say that the sequence of positive real numbers
a1, a2, · · · , an is log-concave if ak−1ak+1 ≤ a2
k holds for all indices k.
PROPOSITION 1.26
If the sequence a1, a2, · · · , an of positive real numbers is log-concave, then it
is also unimodal.
PROOF The reader should find the proof first, then check the proof that
we provide as a solution for Exercise 5.
The conjecture suggested by our observations is in fact correct. This is the
content of the following theorem.
THEOREM 1.27
For any positive integer n, the sequence A(n, k){1≤k≤n} of Eulerian numbers
is log-concave.
While this result has been known for a long time, it was usually shown
as a corollary to a stronger, analytical result that we will discuss shortly, in
Theorem 1.34. Direct combinatorial proofs of this fact are more recent. The
proof we present here was given by Bóna and Ehrenborg [37] who built on an
idea of Vesselin Gasharov [146].
If a path on a square grid uses steps (1, 0) and (0, 1) only, we will call it a
northeastern lattice path.
Before proving the theorem, we need to set up some tools, which will be
useful in the next section as well. We will construct a bijection from the set
A(n, k) of n-permutations with k descents onto that of labeled northeastern
lattice paths with n edges, exactly k of which are vertical. (Note the shift in
parameters: |A(n, k)| = A(n, k + 1), but this will not cause any confusion.)
If a path on a square grid uses steps (1, 0) and (0, 1) only, we will call it a
northeastern lattice path.
Before proving the theorem, we need to set up some tools, which will be
useful in the next section as well. We will construct a bijection from the set
A(n, k) of n-permutations with k descents onto that of labeled northeastern
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-37-320.jpg)
![18 Combinatorics of Permutations, Second Edition
lattice paths with n edges, exactly k of which are vertical. (Note the shift in
parameters: |A(n, k)| = A(n, k + 1), but this will not cause any confusion.)
Let P(n) be the set of labeled northeastern lattice paths that have edges
a1, a2, . . . , an and that corresponding positive integers e1, e2, . . . , en as labels,
so that the following hold:
(i) the edge a1 is horizontal and e1 = 1,
(ii) if the edges ai and ai+1 are both vertical, or both horizontal, then
ei ≥ ei+1,
(iii) if ai and ai+1 are perpendicular to each other, then ei + ei+1 ≤ i + 1.
The starting point of a path in P(n) has no additional significance. Let
P(n, k) be the set of all lattice paths in P(n) which have k vertical edges, and
let P(n, k) = |P(n, k)|.
PROPOSITION 1.28
The following two properties of paths in P(n) are immediate from the defini-
tions.
• For all i ≥ 2, we have ei ≤ i − 1.
• Fix the label ei. If ei+1 can take value v, then it can take all positive
integer values w ≤ v.
Also note that all restrictions on ei+1 are given by ei, independently of
preceding ej, j i. Now we are going to explain how we will encode our
permutations by these labeled lattice paths.
LEMMA 1.29
The following description defines a bijection from S(n) onto P(n), where
S(n) is the set of all n-permutations. Let p ∈ S(n). To obtain the edge ai and
the label ei for 2 ≤ i ≤ n, restrict the permutation p to the i first entries and
relabel the entries to obtain a permutation q = q1 · · · qi of [i]. Then proceed as
follows.
1. If the position i − 1 is a descent of the permutation p (equivalently, of
the permutation q), let the edge ai be vertical and the label ei be equal
to qi.
2. If the position i − 1 is an ascent of the permutation p, let the edge ai be
horizontal and the label ei be i + 1 − qi.
Moreover, this bijection restricts naturally to a bijection between A(n, k)
and P(n, k) for 0 ≤ k ≤ n − 1.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-38-320.jpg)
![In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 25
must be real since complex roots of polynomials with real coefficients come in
conjugate pairs.
We mention that an elementary survey of unimodal, log-concave, and real-
roots-only sequences can be found in [35]. The articles [75] and [236] are
high-level survey papers.
Eulerian numbers can count permutations according to properties other
than descents. Let p = p1p2 · · · pn be a permutation. We say that i is an
excedance of p if pi i. (Note that for this definition, it is important to
require that the entries of p are the elements of [n] and not some other n-
element set.)
Example 1.35
The permutation 24351 has three excedances, 1, 2, and 4. Indeed, p1 = 2 1,
p2 = 4 2, and p4 = 5 4.
THEOREM 1.36
The number of n-permutations with k − 1 excedances is A(n, k).
We postpone the proof of this theorem until Section 3.3.2, where it will
become surprisingly easy, due to a different way of looking at permutations.
However, we mention that if f : Sn → N is a function associating natural
numbers to permutations, then it is often called a permutation statistic. (Re-
call from the Introduction that Sn denotes the set of all n-permutations.) If
a permutation statistic f has the same distribution as the statistic “number
of descents”, that is, if for all k ∈ [n], we have
| {p ∈ Sn : f(p) = k} | = | {p ∈ Sn : d(p) = k} |, (1.16)
then we say that f is an Eulerian statistic. So Theorem 1.36 says that “number
of excedances,” sometimes denoted by exc, is an Eulerian statistic. We will
see further Eulerian statistics in the Exercises section.
1.2 Alternating Runs
Let us modify the notion of ascending runs that we discussed in the last
section. Let p = p1p2 · · · pn be a permutation. We say that p changes direction
at position i if either pi−1 pi pi+1, or pi−1 pi pi+1. In other words,
p changes directions when pi is either a peak or a valley.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-45-320.jpg)
![26 Combinatorics of Permutations, Second Edition
3
5
6
1
2
4
7
FIGURE 1.7
Permutation 3561247 has three alternating runs.
DEFINITION 1.37 We say that p has k alternating runs if there are
k − 1 indices i so that p changes direction at these positions.
For example, p = 3561247 has 3 alternating runs as p changes direction
when i = 3 and when i = 4. A geometric way to represent a permutation
and its alternating runs by a diagram is shown in Figure 1.7. The alternating
runs are the line segments (or edges) between two consecutive entries where
p changes direction. So a permutation has k alternating runs if it can be
represented by k line segments so that the segments go “up” and “down”
exactly when the entries of the permutation do.
The origins of this line of work go back to the nineteenth century. More
recently, D. E. Knuth [183] has discussed the topic in connection to sorting
and searching.
Let G(n, k) denote the number of n-permutations having k alternating runs.
There are significant similarities between these numbers and the Eulerian
numbers. For instance, for fixed n, both sequences have real zeros only, and
both satisfy similar recurrence relations. However, the sequence of the G(n, k)
is not symmetric. On the other hand, almost half of all roots of the generating
function Gn(x) =
p∈Sn
xr(p)
=
k≥1 G(n, k)xk
are equal to −1. Here r(p)
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-46-320.jpg)
![28 Combinatorics of Permutations, Second Edition
(x + 1)(10x2
+ 2x), and that
G5(x) = 32x4
+ 58x3
+ 28x2
+ 2x = (x + 1)(32x3
+ 26x2
+ 2x).
Further analysis shows that G6(x) and G7(x) are divisible by (x + 1)2
, and
that G8(x) and G9(x) are divisible by (x + 1)3
, and so on. In general, it
seems that for any positive integer n ≥ 4, the polynomial Gn(x) is divisible
by (x + 1)(n−2)/2
.
This is an interesting observation, and one that is certainly of combinatorial
flavor. For instance, if we just wanted to prove that Gn(x) is divisible by x+1,
we could proceed as follows. We could arrange our permutations into pairs, so
that each pair consists of two permutations, one with r alternating runs, and
one with r + 1 alternating runs. If we could do that, that would imply that
Gn(x) = (1 + x)Fn(x). Here Fn(x) is the generating function by the number
of alternating runs for the set of permutations that consists of one element
from each pair, the one with the smaller number of alternating runs. If we can
appropriately “iterate” this argument, then we will succeed in proving that
Gn(x) is divisible by a power of (1 + x).
Before we start proving the claim that −1 is a root of Gn(x) with a high
multiplicity, we point out that one might also wonder whether the polynomials
Gn(x)/2(x+1)j
have some natural combinatorial interpretation for each index
j ≤ (n − 2)/2 . Our proof provides such an interpretation. In order to give
that proof, we need the following definitions that were first introduced in [37].
DEFINITION 1.39 For j ≤ m = (n − 2)/2 , we say that p is
a j-half-ascending permutation if, for all positive integers i ≤ j, we have
pn+1−2i pn+2−2i. If j = m, then we will simply say that p is a half-
ascending permutation.
So p is a 1-half-ascending permutation if pn−1 pn. In a j-half-ascending
permutation, we have j constraints, and they involve the rightmost j disjoint
pairs of entries. We call these permutations half-ascending because at least
half of the involved positions are ascents.
Now we define a modified version of the polynomials Gn(x) for j–half-
ascending permutations. As we will see, one of these polynomials will provide
the desired combinatorial interpretation for Gn(x)/(1 + x)m
.
DEFINITION 1.40 Let p be a (j + 1)-half-ascending permutation. Let
rj(p) be the number of alternating runs of the substring p1, p2, . . . , pn−2j, and
let sj(p) be the number of descents of the substring pn−2j, pn+1−2j, . . . , pn.
Denote tj(p) = rj(p) + sj(p), and define
Gn,j(x) =
p∈Sn
xtj (p)
.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-48-320.jpg)
![30 Combinatorics of Permutations, Second Edition
r(p)=3
r(p)=3
r(p)=1 r(p)=2
r(p)=2
r(p)=2
r(p)=2
r(p)=2
r(p)=2
t (p)=1
t (p)=2
t (p)=2
t (p)=2
t (p)=2
t (p)=2
1
1
1
1
1
1
r(p)=3
1234 1243
1324 1342
1423 1432
2314 2341
2413 2431
3412 3421
r(p)=3
r(p)=3
FIGURE 1.9
The values of r(p) and t1(p) for n = 4.
to get pairs as in the initial case, and apply the induction hypothesis to the
leftmost n−2 elements. By the induction hypothesis, the string of the leftmost
n−2 elements can be replaced by a j-half-ascending (n−2)-permutation, and
the number of runs can be replaced by the tj−1-parameter. In particular,
pn−3 pn−2 will hold, and therefore we can verify that our statement holds
in both cases (pn−2 pn−1 or pn−2 pn−1) exactly as we did in the proof of
the initial case.
So almost half of the roots of Gn(x) are equal to −1; in particular, they
are real numbers. This raises the question whether the other half are real
numbers as well. That question has recently been answered in the affirmative
by Herb Wilf [270]. In his proof, he used the rather close connections between
Eulerian polynomials, and the generating functions Gn(x) =
k≥1 G(n, k)xk
.
This connection, established in [101], and given in a more concise form in [183],
can be described by
Gn(x) =
1 + x
2
n−1
(1 + w)n+1
An
1 − w
1 + w
, (1.18)
where w =
1−x
1+x . The proof of (1.18) uses the similarities between the re-
currence relations for An(x) and Gn(x) to get a differential equation satisfied
by certain generating functions in two variables. The details can be found in
[101], pages 157–162.
© 2012 by Taylor Francis Group, LLC](https://image.slidesharecdn.com/30445-250224085912-0c8c60de/85/Combinatorics-of-Permutations-2nd-Edition-Miklos-Bona-50-320.jpg)
Combinatorics of Permutations 2nd Edition Miklos Bona
- 1. Visit https://ebookultra.com to download the full version and explore more ebooks Combinatorics of Permutations 2nd Edition Miklos Bona _____ Click the link below to download _____ https://ebookultra.com/download/combinatorics-of- permutations-2nd-edition-miklos-bona/ Explore and download more ebooks at ebookultra.com
- 2. Here are some suggested products you might be interested in. Click the link to download Combinatorics 2nd Edition Nicholas A. Loehr https://ebookultra.com/download/combinatorics-2nd-edition-nicholas-a- loehr/ The Siege of Sziget 1st Edition Miklos Zrinyi https://ebookultra.com/download/the-siege-of-sziget-1st-edition- miklos-zrinyi/ Additive Combinatorics 1st Edition Terence Tao https://ebookultra.com/download/additive-combinatorics-1st-edition- terence-tao/ Words Languages and Combinatorics Masami Ito https://ebookultra.com/download/words-languages-and-combinatorics- masami-ito/
- 3. Surveys in Combinatorics 2013 1st Edition Wildon https://ebookultra.com/download/surveys-in-combinatorics-2013-1st- edition-wildon/ Words Languages Combinatorics III 1st Edition Masami Ito https://ebookultra.com/download/words-languages-combinatorics-iii-1st- edition-masami-ito/ Introduction to Combinatorics 1st Edition Walter D. Wallis https://ebookultra.com/download/introduction-to-combinatorics-1st- edition-walter-d-wallis/ Combinatorics and Number Theory of Counting Sequences 1st Edition Istvan Mezo (Author) https://ebookultra.com/download/combinatorics-and-number-theory-of- counting-sequences-1st-edition-istvan-mezo-author/ Block Designs Analysis Combinatorics and Applications Damaraju Raghavarao https://ebookultra.com/download/block-designs-analysis-combinatorics- and-applications-damaraju-raghavarao/
- 5. Combinatorics of Permutations 2nd Edition Miklos Bona Digital Instant Download Author(s): Miklos Bona ISBN(s): 9781439850510, 1439850518 Edition: 2nd File Details: PDF, 3.42 MB Year: 2012 Language: english
- 6. COMBINATORICS OF PERMUTATIONS Second Edition © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 7. DISCRETE MATHEMATICS ITS APPLICATIONS Series Editor Kenneth H. Rosen, Ph.D. R. B. J. T. Allenby and Alan Slomson, How to Count: An Introduction to Combinatorics, Third Edition Juergen Bierbrauer, Introduction to Coding Theory Katalin Bimbó, Combinatory Logic: Pure, Applied and Typed Donald Bindner and Martin Erickson, A Student’s Guide to the Study, Practice, and Tools of Modern Mathematics Francine Blanchet-Sadri, Algorithmic Combinatorics on Partial Words Miklós Bóna, Combinatorics of Permutations, Second Edition Richard A. Brualdi and Dragos̆ Cvetković, A Combinatorial Approach to Matrix Theory and Its Applications Kun-Mao Chao and Bang Ye Wu, Spanning Trees and Optimization Problems Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics Gary Chartrand and Ping Zhang, Chromatic Graph Theory Henri Cohen, Gerhard Frey, et al., Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography Charles J. Colbourn and Jeffrey H. Dinitz, Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition Martin Erickson, Pearls of Discrete Mathematics Martin Erickson and Anthony Vazzana, Introduction to Number Theory Steven Furino, Ying Miao, and Jianxing Yin, Frames and Resolvable Designs: Uses, Constructions, and Existence Mark S. Gockenbach, Finite-Dimensional Linear Algebra Randy Goldberg and Lance Riek, A Practical Handbook of Speech Coders Jacob E. Goodman and Joseph O’Rourke, Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition Jonathan L. Gross, Combinatorial Methods with Computer Applications © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 8. Titles (continued) Jonathan L. Gross and Jay Yellen, Graph Theory and Its Applications, Second Edition Jonathan L. Gross and Jay Yellen, Handbook of Graph Theory David S. Gunderson, Handbook of Mathematical Induction: Theory and Applications Richard Hammack, Wilfried Imrich, and Sandi Klavžar, Handbook of Product Graphs, Second Edition Darrel R. Hankerson, Greg A. Harris, and Peter D. Johnson, Introduction to Information Theory and Data Compression, Second Edition Darel W. Hardy, Fred Richman, and Carol L. Walker, Applied Algebra: Codes, Ciphers, and Discrete Algorithms, Second Edition Daryl D. Harms, Miroslav Kraetzl, Charles J. Colbourn, and John S. Devitt, Network Reliability: Experiments with a Symbolic Algebra Environment Silvia Heubach and Toufik Mansour, Combinatorics of Compositions and Words Leslie Hogben, Handbook of Linear Algebra Derek F. Holt with Bettina Eick and Eamonn A. O’Brien, Handbook of Computational Group Theory David M. Jackson and Terry I. Visentin, An Atlas of Smaller Maps in Orientable and Nonorientable Surfaces Richard E. Klima, Neil P. Sigmon, and Ernest L. Stitzinger, Applications of Abstract Algebra with Maple™ and MATLAB® , Second Edition Patrick Knupp and Kambiz Salari, Verification of Computer Codes in Computational Science and Engineering William Kocay and Donald L. Kreher, Graphs, Algorithms, and Optimization Donald L. Kreher and Douglas R. Stinson, Combinatorial Algorithms: Generation Enumeration and Search Hang T. Lau, A Java Library of Graph Algorithms and Optimization C. C. Lindner and C. A. Rodger, Design Theory, Second Edition Nicholas A. Loehr, Bijective Combinatorics Alasdair McAndrew, Introduction to Cryptography with Open-Source Software Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Fifth Edition Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, and Scott A. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography Stig F. Mjølsnes, A Multidisciplinary Introduction to Information Security Jason J. Molitierno, Applications of Combinatorial Matrix Theory to Laplacian Matrices of Graphs Richard A. Mollin, Advanced Number Theory with Applications Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, Second Edition Richard A. Mollin, Codes: The Guide to Secrecy from Ancient to Modern Times Richard A. Mollin, Fundamental Number Theory with Applications, Second Edition © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 9. Titles (continued) Richard A. Mollin, An Introduction to Cryptography, Second Edition Richard A. Mollin, Quadratics Richard A. Mollin, RSA and Public-Key Cryptography Carlos J. Moreno and Samuel S. Wagstaff, Jr., Sums of Squares of Integers Goutam Paul and Subhamoy Maitra, RC4 Stream Cipher and Its Variants Dingyi Pei, Authentication Codes and Combinatorial Designs Kenneth H. Rosen, Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics Douglas R. Shier and K.T. Wallenius, Applied Mathematical Modeling: A Multidisciplinary Approach Alexander Stanoyevitch, Introduction to Cryptography with Mathematical Foundations and Computer Implementations Jörn Steuding, Diophantine Analysis Douglas R. Stinson, Cryptography: Theory and Practice, Third Edition Roberto Togneri and Christopher J. deSilva, Fundamentals of Information Theory and Coding Design W. D. Wallis, Introduction to Combinatorial Designs, Second Edition W. D. Wallis and J. C. George, Introduction to Combinatorics Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 10. DISCRETE MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS Series Editor KENNETH H. ROSEN COMBINATORICS OF PERMUTATIONS Second Edition Miklós Bóna University of Florida Gainesville, Florida, USA © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 11. CRC Press Taylor & Francis Group 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business No claim to original U.S. Government works Version Date: 20120518 International Standard Book Number-13: 978-1-4398-5052-7 (eBook - PDF) This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint. Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, includ- ing photocopying, microfilming, and recording, or in any information storage or retrieval system, without written permission from the publishers. For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged. Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation without intent to infringe. Visit the Taylor & Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com and the CRC Press Web site at http://www.crcpress.com © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 12. Dedication To Linda To Mikike, Benny, and Vinnie To the Mathematicians whose relentless and brilliant efforts throughout the centuries unearthed the gems that we call Combinatorics of Permutations. The Tribute of the Current to the Source. Robert Frost, West Running Brook © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 13. Contents Foreword Preface to the First Edition Preface to the Second Edition Acknowledgments No Way around It. Introduction. 1 1 In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 3 1.1 Descents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 The Definition of Descents . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Eulerian Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Stirling Numbers and Eulerian Numbers . . . . . . . . 11 1.1.4 Generating Functions and Eulerian Numbers . . . . . 14 1.1.5 The Sequence of Eulerian Numbers . . . . . . . . . . . 16 1.2 Alternating Runs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Alternating Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.1 Definitions and a Recurrence Relation . . . . . . . . . 32 1.3.2 Alternating Runs and Alternating Subsequences . . . 35 1.3.3 Alternating Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 In One Line and Anywhere. Permutations as Linear Orders. Inversions. 53 2.1 Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1 The Generating Function of Permutations by Inver- sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.2 Major Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.3 An Application: Determinants and Graphs . . . . . . 65 2.2 Inversions in Permutations of Multisets . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1 An Application: Gaussian Polynomials and Subset Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.2 Inversions and Gaussian Coefficients . . . . . . . . . . 71 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 14. 2.2.3 Major Index and Permutations of Multisets . . . . . . 72 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 In Many Circles. Permutations as Products of Cycles. 85 3.1 Decomposing a Permutation into Cycles . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 An Application: Sign and Determinants . . . . . . . . 87 3.1.2 An Application: Geometric Transformations . . . . . . 90 3.2 Type and Stirling Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.1 The Cycle Type of a Permutation . . . . . . . . . . . . 91 3.2.2 An Application: Conjugate Permutations . . . . . . . 92 3.2.3 An Application: Trees and Transpositions . . . . . . . 93 3.2.4 Permutations with a Given Number of Cycles . . . . . 97 3.2.5 Generating Functions for Stirling Numbers . . . . . . 104 3.2.6 An Application: Real Zeros and Probability . . . . . . 107 3.3 Cycle Decomposition versus Linear Order . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 The Transition Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Applications of the Transition Lemma . . . . . . . . . 110 3.4 Permutations with Restricted Cycle Structure . . . . . . . . . 113 3.4.1 The Exponential Formula . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4.2 The Cycle Index and Its Applications . . . . . . . . . 122 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4 In Any Way but This. Pattern Avoidance. The Basics. 147 4.1 The Notion of Pattern Avoidance . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.2 Patterns of Length Three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3 Monotone Patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.4 Patterns of Length Four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4.1 The Pattern 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.4.2 The Pattern 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.4.3 The Pattern 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.5 The Proof of the Stanley-Wilf Conjecture . . . . . . . . . . . 177 4.5.1 The Füredi–Hajnal Conjecture . . . . . . . . . . . . . 177 4.5.2 Avoiding Matrices versus Avoiding Permutations . . . 178 4.5.3 The Proof of the Füredi–Hajnal Conjecture . . . . . . 178 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 15. 5 In This Way, but Nicely. Pattern Avoidance. Follow-Up. 197 5.1 Polynomial Recurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.1.1 Polynomially Recursive Functions . . . . . . . . . . . . 197 5.1.2 Closed Classes of Permutations . . . . . . . . . . . . . 198 5.1.3 Algebraic and Rational Power Series . . . . . . . . . . 200 5.1.4 The P-Recursiveness of Sn,r(132) . . . . . . . . . . . . 204 5.2 Containing a Pattern Many Times . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.2.1 Packing Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.2.2 Layered Patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.3 Containing a Pattern a Given Number of Times . . . . . . . . 220 5.3.1 A Construction with a Given Number of Copies . . . . 221 5.3.2 The Sequence {kn}n≥0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6 Mean and Insensitive. Random Permutations. 235 6.1 The Probabilistic Viewpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.1.1 Standard Young Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.2 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.2.1 An Application: Finding the Maximum Element of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.2.2 Linearity of Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.3 Variance and Standard Deviation . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.3.1 An Application: Asmyptotically Normal Distributions 259 6.4 An Application: Longest Increasing Subsequences . . . . . . . 261 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7 Permutations and the Rest. Algebraic Combinatorics of Per- mutations. 275 7.1 The Robinson–Schensted–Knuth Correspondence . . . . . . . 275 7.2 Posets of Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.2.1 Posets on Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.2.2 Posets on Pattern–Avoiding Permutations . . . . . . . 294 7.2.3 An Infinite Poset of Permutations . . . . . . . . . . . . 296 7.3 Simplicial Complexes of Permutations . . . . . . . . . . . . . 297 7.3.1 A Simplicial Complex of Restricted Permutations . . . 298 7.3.2 A Simplicial Complex of All n-Permutations . . . . . . 299 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 16. 8 Get Them All. Algorithms and Permutations. 313 8.1 Generating Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.1.1 Generating All n-Permutations . . . . . . . . . . . . . 313 8.1.2 Generating Restricted Permutations . . . . . . . . . . 314 8.2 Stack Sorting Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.2.1 2-Stack Sortable Permutations . . . . . . . . . . . . . 319 8.2.2 t-Stack Sortable Permutations . . . . . . . . . . . . . . 321 8.2.3 Unimodality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 8.3 Variations of Stack Sorting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9 How Did We Get Here? Permutations as Genome Rearrange- ments. 351 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9.2 Block Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 9.3 Block Interchanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.3.1 The Average Number of Block Interchanges Needed to Sort p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 9.4 Block Transpositions Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Solutions to Problems Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Do Not Look Just Yet. Solutions to Odd-Numbered Exercises. 385 Solutions for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Solutions for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Solutions for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Solutions for Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 Solutions for Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Solutions for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Solutions for Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Solutions for Chapter 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 Solutions for Chapter 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 References 435 List of Frequently Used Notation 453 Index 455 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 17. Foreword Permutations have a remarkably rich combinatorial structure. Part of the reason for this is that a permutation of a finite set can be represented in many equivalent ways, including as a word (sequence), a function, a collection of dis- joint cycles, a matrix, etc. Each of these representations suggests a host of nat- ural invariants (or “statistics”), operations, transformations, structures, etc., that can be applied to or placed on permutations. The fundamental statis- tics, operations, and structures on permutations include descent set (with numerous specializations), excedance set, cycle type, records, subsequences, composition (product), partial orders, simplicial complexes, probability dis- tributions, etc. How is the newcomer to this subject able to make sense of and sort out these bewildering possibilities? Until now it was necessary to consult a myriad of sources, from textbooks to journal articles, in order to grasp the whole picture. Now, however, Miklós Bóna has provided us with a comprehensive, engaging, and eminently readable introduction to all aspects of the combinatorics of permutations. The chapter on pattern avoidance is especially timely and gives the first systematic treatment of this fascinating and active area of research. This book can be utilized at a variety of levels, from random samplings of the treasures therein to a comprehensive attempt to master all the material and solve all the exercises. In whatever direction the reader’s tastes lead, a thorough enjoyment and appreciation of a beautiful area of combinatorics is certain to ensue. Richard Stanley Cambridge, Massachusetts © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 18. Preface to the First Edition A few years ago, I was given the opportunity to teach a graduate combi- natorics class on a special topic of my choice. I wanted the class to focus on the combinatorics of permutations. However, I instantly realized that while there were several excellent books that discussed some aspects of the subject, there was no single book that would have contained all, or even most, areas that I wanted to cover. Many areas were not covered in any book, which was easy to understand as the subject is developing at a breathtaking pace, producing new results faster than textbooks are published. Classic results, while certainly explained in various textbooks of very high quality, seemed to be scattered in numerous sources. This was again no surprise; indeed, per- mutations are omnipresent in modern combinatorics, and there are quite a few ways to look at them. We can consider permutations as linear orders; we can consider them as elements of the symmetric group; we can model them by matrices; or by graphs. We can enumerate them according to countless interesting statistics; we can decompose them in many ways, and we can bi- jectively associate them to other structures. One common feature of these activities is that they all involve factual knowledge, new ideas, and serious fun. Another common feature is that they all evolve around permutations, and quite often, the remote-looking areas are connected by surprising results. Briefly, they do belong to one book, and I am very glad that now you are reading such a book. *** As I have mentioned, there are several excellent books that discuss various aspects of permutations. Therefore, in this book, I cover these aspects less deeply than the areas that have previously not been contained in any book. Chapter 1 is about descents and runs of permutations. While Eulerian num- bers have been given plenty of attention during the last 200 years, most of the research was devoted to analytic concepts. Nothing shows this better than the fact that I was unable to find published proofs of two fundamental results © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 19. of the area using purely combinatorial methods. Therefore, in this chapter, I concentrated on purely combinatorial tools dealing with these issues. By and large, the same is true for Chapter 2, whose subject is inversions in permuta- tions, and in permutations of multisets. Chapter 3 is devoted to permutations as products of cycles, which is probably the most-studied of all areas covered in this book. Therefore, while there were many classic results we had to include there for the sake of completeness, nevertheless we still managed to squeeze in less well-known topics, such as applications of Darroch’s theorem, or transpositions and trees. The area of pattern avoidance is a young one, and has not been given sig- nificant space in textbooks before. Therefore, we devoted two full chapters to it. Chapter 4 walks the reader through the quest for the solution of the Stanley-Wilf conjecture, ending with the recent spectacular proof of Marcus and Tardos for this 23-year-old problem. Chapter 5 discusses aspects of pat- tern avoidance other than upper bounds or exact formulae. Chapter 6 looks at random permutations and Standard Young Tableaux, starting with two classic and difficult proofs of Greene, Nijenhaus, and Wilf. Standard tech- niques for handling permutation statistics are presented. A relatively new concept, that of min-wise independent families of permutations, is discussed in the Exercises. Chapter 7, Algebraic Combinatorics of Permutations, is the one in which we had to be most selective. Each of the three sections of that chapter covers an area that is sufficiently rich to be the subject of an entire book. Our goal with that chapter is simply to raise interest in these topics and prepare the reader for the more detailed literature that is available in those areas. Chapter 8 is about combinatorial sorting algorithms, many of which are quite recent. This is the first time many of these algorithms (or at least, most aspects of them) are discussed in a textbook, so we treated them in depth. Besides the Exercises, each chapter ends with a selection of Problems Plus. These are typically more difficult than the exercises, and are meant to raise interest in some questions for further research, and to serve as reference ma- terial of what is known. Some of the Problems Plus are not classified as such because of their level of difficulty, but because they are less tightly connected to the topic at hand. A solution manual for the even-numbered Exercises is available for instructors teaching a class using this book, and can be obtained from the publisher. © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 20. Preface to the Second Edition It has been eight years since the first edition of Combinatorics of Permuta- tions was published. All parts of the subject went through significant progress during those years. Therefore, we had to make some painful choices as to what to include in the new edition of the book. First, there is a new chapter in this edition, Chapter 9, which is devoted to sorting algorithms whose original motivation comes from molecular biol- ogy. This very young part of combinatorics is known for its easily stated and extremely difficult problems, which sometimes can be solved using deep techniques from remote-looking parts of mathematics. We decided to discuss three sorting algorithms in detail. Second, half of the existing chapters, namely Chapters 1, 3, 4, and 6, have been significantly changed or extended. Chapter 1 has a new section on al- ternating permutations, while Chapter 3 has new material on multivariate applications of the exponential formula. In Chapter 4, which discusses pat- tern avoidance, several important results have been improved. Some of these are discussed in the text, some are discussed in the exercises. Chapter 6, dis- cussing some probabilistic aspects of permutations, now covers the concept of asymptotically normal distributions. Third, all chapters have extended Exercises sections and extended Problems Plus sections. The latter often contain results from the last eight years. Ex- ercises marked with a (+) sign are thought to be more difficult than average, while exercises marked with a (–) sign are thought to be easier. The book does not assume previous knowledge of combinatorics above the level of an introductory undergraduate course. We believe that the second edition contains more than enough material for a one-semester course, so the instructor has some liberty to decide which 70–85 percent of the text to cover. We hope that both the instructor and the student will finish the course with the thought that combinatorics of permutations is not only very useful, but also thoroughly enjoyable. © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 21. Acknowledgments This book grew out of various graduate combinatorics courses that I taught at the University of Florida. I am indebted to the authors of the books I used in those courses, for shaping my vision, and for teaching me facts and tech- niques. These books are The Art of Computer Programming by D. E. Knuth, Enumerative Combinatorics by Richard Stanley, The Probabilistic Method by Noga Alon and Joel Spencer, The Symmetric Group by Bruce Sagan, and Enumerative Combinatorics by Charalambos Charalambides. For my knowl- edge of biologically motivated sorting algorithms, which is the topic of a new chapter in the second edition, I am indebted to the book Combinatorics of Genome Rearrangements by Guillaume Fertin, Anthony Labarre, Irena Rusu, Éric Tannier, and Stéphane Vialette. Needless to say, I am grateful to all the researchers whose results made a textbook devoted exclusively to the combinatorics of permutations possible. I am sure that new discoveries will follow. I am thankful to my former research advisor Richard Stanley for having introduced me to this fascinating field, and to Doron Zeilberger, and the late Herb Wilf, who kept asking intriguing questions attracting scores of young mathematicians like myself to the subject. Some of the presented material was part of my own research, sometimes in collaboration. I would like to say thanks to my co-authors, Richard Ehren- borg, Andrew MacLennan, Bruce Sagan, Rodica Simion, Ryan Flynn, Daniel Spielman, Vincent Vatter, and Dennis White. I also owe thanks to Michael Atkinson, who introduced me to the history of stack sorting algorithms. I am deeply indebted to Aaron Robertson for an exceptionally thorough and knowledgeable reading of the first edition, and to the anonymous referees of the second edition. I am also deeply appreciative for manuscript reading by my colleague Andrew Vince, and by Rebecca Smith. I feel grateful to the many mathematicians who pointed out various typos in the first edition. A significant part of the book was written during the summer of 2003. In the first half of that summer, I enjoyed the stimulating professional environment at LABRI, at the University of Bordeaux I, in Bordeaux, France. The hospitality of colleagues Olivier Guibert and Sylvain Pelat-Alloin made it easy for me to keep writing during my one-month visit. In the second half of the summer, I enjoyed the hospitality of my parents, Miklós and Katalin Bóna, at Lake Balaton in Hungary. In 2005, I spent a sabbatical semester at the University of Pennsylvania, where I learned from Herb Wilf and Robin Pemantle. My gratitude is extended to Tina Freebody for preparing the cover page. Last, but not least, I must be thankful to my wife Linda, my first reader and critic, who keeps tolerating my book-writing endeavors. I will not forget how much she helped me, and neither will she. © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 22. No Way around It. Introduction. This book is devoted to the study of permutations. While the overwhelming majority of readers already know what they are, we are going to define them for the sake of completeness. Note that this is by no means the only definition possible. DEFINITION 0.1 A linear ordering of the elements of the set [n] = {1, 2, 3, · · ·, n} is called a permutation, or, if we want to stress the fact that it consists of n entries, an n-permutation. In other words, a permutation lists all elements of [n] so that each element is listed exactly once. Example 0.2 If n = 3, then the n-permutations are 123, 132, 213, 231, 312, 321. There is nothing magic about the set [n]; other sets having n elements would be just as good for our purposes, but working with [n] will simplify our discussion. In Chapter 2, we will extend the definition of permutations to multisets, and in Chapter 3, we will consider permutations from a different perspective. The set of all n-permutations will be denoted by Sn, and the reason for that will become clear in Chapter 3. For now, we will denote an n-permutation by p = p1p2 · · · pn, with pi being the ith entry in the linear order given by p. The following simple statement is probably the best-known fact about per- mutations. PROPOSITION 0.3 The number of n-permutations is n!. PROOF When building an n-permutation p = p1p2 · · · pn, we can choose n entries to play the role of p1, then n − 1 entries for the role of p2, and so on. We promise the rest of the book will be less straightforward. 1 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 23. 1 In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 1.1 Descents The “most orderly” of all n-permutations is obviously the increasing permuta- tion 123 · · ·n. All other permutations have at least some “disorder” in them; for instance, it happens that an entry is immediately followed by a smaller entry in them. This simple phenomenon is at the center of our attention in this Section. 1.1.1 The Definition of Descents DEFINITION 1.1 Let p = p1p2 · · · pn be a permutation, and let i < n be a positive integer. We say that i is a descent of p if pi > pi+1. Similarly, we say that i is an ascent of p if pi < pi+1. Example 1.2 Let p = 3412576. Then 2 and 6 are descents of p, while 1, 3, 4, and 5 are ascents of p. Note that the descents denote the positions within p, and not the entries of p. The set of all descents of p is called the descent set of p and is denoted by D(p). The cardinality of D(p), that is, the number of descents of p, is denoted by d(p), though certain authors prefer des(p). This very natural notion of descents raises some obvious questions for the enumerative combinatorialist. How many n-permutations are there with a given number of descents? How many n-permutations are there with a given descent set? If two n-permutations have the same descent set, or same number of descents, what other properties do they share? The answers to these questions are not always easy, but are always interest- ing. We start with the problem of finding the number of permutations with a given descent set S. It turns out that it is even easier to find the number of permutations whose descent set is contained in S. 3 © 2012 by Taylor & Francis Group, LLC
- 24. 4 Combinatorics of Permutations, Second Edition LEMMA 1.3 Let S = {s1, s2, · · · , sk} ⊆ [n−1], and let α(S) be the number of n-permutations whose descent set is contained in S. Then we have α(S) = n s1 n − s1 s2 − s1 n − s2 s3 − s2 · · · n − sk n − sk . PROOF The crucial idea of the proof is the following. We arrange our n entries into k +1 segments so that the first i segments together have si entries for each i. Then, within each segment, we put our entries in increasing order. Then the only places where the resulting permutation has a chance to have a descent is where two segments meet, that is, at s1, s2, · · · , sk. Therefore, the descent set of the resulting permutation is contained in S. How many ways are there to arrange our entries in these segments? The first segment has to have length s1, and therefore can be chosen in n s1 ways. The second segment has to be of length s2 − s1, and has to be disjoint from the first one. Therefore, it can be chosen in n−s1 s2−s1 ways. In general, segment i must have length si − si−1 if i k + 1, and has to be chosen from the remaining n − si−1 entries, in n−si−1 si−si−1 ways. There is only one choice for the last segment as all remaining n − sk entries have to go there. This completes the proof. Now we are in a position to state and prove the formula for the number of n-permutations with a given descent set. THEOREM 1.4 Let S ⊆ [n − 1]. Then the number of n-permutations with descent set S is β(S) = T ⊆S (−1)|S−T | α(T ). (1.1) PROOF This is a direct conclusion of the Principle of Inclusion and Exclusion. (See any textbook on introductory combinatorics, such as [34], for this principle.) Note that permutations with a given h-element descent set H ⊆ S are counted ah = |S−H| i=0 (−1)i |S−H| i = (1+(−1))|S−H| times on the right-hand side of (1.1). The value of ah is 0 except when |S − H| = 0, that is, when S = H. So the right hand side counts precisely the permutations with descent set S. 1.1.2 Eulerian Numbers Let A(n, k) be the number of n-permutations with k − 1 descents. You may be wondering what the reason for this shift in the parameter k is. If p has k −1 descents, then p is the union of k increasing subsequences of consecutive © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 25. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 5 entries. These are called the ascending runs of p. (Some authors call them just “runs,” some others call something else “runs.” This is why we add the adjective “ascending” to avoid confusion.) Also note that in some papers, A(n, k) is used to denote the number of permutations with k descents. Example 1.5 The three ascending runs of p = 2415367 are 24, 15, and 367. Example 1.6 There are four permutations of length three with one descent, namely 132, 213, 231, and 312. Therefore, A(3, 2) = 4. Similarly, A(3, 3) = 1 corresponding to the permutation 321, and A(3, 1) = 1, corresponding to the permutation 123. Thus the permutations with k ascending runs are the same as permutations with k − 1 descents, providing one answer for the notation A(n, k). We note that some authors use the notation n k for A(n, k). The numbers A(n, k) are called the Eulerian numbers, and have several beautiful properties. Several authors provided extensive reviews of this field, including Carlitz [84], Foata and Schützenberger [131], Knuth [183], and Char- alambides [83]. In our treatment of the Eulerian numbers, we will make an effort to be as combinatorial as possible, and avoid the analytic methods that probably represent a majority of the available literature. We start by proving a simple recursive relation. THEOREM 1.7 For all positive integers k and n satisfying k ≤ n, we have A(n, k + 1) = (k + 1)A(n − 1, k + 1) + (n − k)A(n − 1, k). PROOF There are two ways we can get an n-permutation p with k descents from an (n − 1)-permutation p by inserting the entry n into p . Either p has k descents, and the insertion of n does not form a new descent, or p has k − 1 descents, and the insertion of n does form a new descent. In the first case, we have to put the entry n at the end of p , or we have to insert n between two entries that form one of the k descents of p . This means we have k + 1 choices for the position of n. As we have A(n − 1, k + 1) choices for p , the first term of the right-hand side is explained. In the second case, we have to put the entry n at the front of p , or we have to insert n between two entries that form one of the (n − 2) − (k − 1) ascents of p . This means that we have n−k choices for the position of n. As we have A(n − 1, k) choices for p , the second part of the right-hand side is explained, and the theorem is proved. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 26. 6 Combinatorics of Permutations, Second Edition We note that A(n, k + 1) = A(n, n − k); in other words, the Eulerian numbers are symmetric. Indeed, if p = p1p2 · · · pn has k descents, then its reverse pr = pnpn−1 · · · p1 has n − k − 1 descents. The following theorem shows some additional significance of the Eulerian numbers. In fact, the Eulerian numbers are sometimes defined using this relation. THEOREM 1.8 Set A(0, 0) = 1, and A(n, 0) = 0 for n 0. Then for all nonnegative integers n, and for all real numbers x, we have xn = n k=1 A(n, k) x + n − k n . (1.2) Example 1.9 Let n = 3. Then we have A(3, 1) = 1, A(3, 2) = 4, and A(3, 3) = 1, enumer- ating the sets of permutations {123}, {132, 213, 231, 312}, and {321}. And indeed, we have x3 = x + 2 3 + 4 x + 1 3 + x 3 . PROOF (of Theorem 1.8) Assume first that x is a positive integer. Then the left-hand side counts the n-element sequences in which each digit comes from the set [x]. We will show that the right-hand side counts these same sequences. Let a = a1a2 · · · an be such a sequence. Rearrange the a into a nondecreasing order a = ai1 ≤ ai2 ≤ · · · ≤ ain , with the extra condition that identical digits appear in a in the increasing order of their indices. Then i = i1i2 · · · in is an n-permutation that is uniquely determined by a. Note that i1 tells from which position of a the first entry of i comes, i2 tells from which position of a the second entry of i comes, and so on. For instance, if a = 311243, then the rearranged sequence is a = 112334, leading to the permutation i = 234165. If we can show that each permutation i having k − 1 descents is obtained from exactly x+n−k n sequences a this way, then we will have proved the theorem. The crucial observation is that if aij = aij+1 in a , then ij ij+1 in i. Taking contrapositives, if j is a descent of p(a) = i1i2 · · · in, then aij aij+1 . This means that the sequence a has to be strictly increasing whenever j is a descent of p(a). The reader should verify that in our running example, i has descents at 3 and 5, and indeed, a is strictly increasing in those positions. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 27. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 7 How many sequences a can lead to the permutation i = 234165? It follows from the above argument that in sequences with that property, we must have 1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 a1 ≤ a6 a5 ≤ x, as strict inequality is required in the third and fifth positions. The above chain of inequalities is obviously equivalent to 1 ≤ a2 a3 + 1 a4 + 2 a1 + 2 a6 + 3 a5 + 3 ≤ x + 3, and therefore, the number of such sequences is clearly x + 3 6 . So this is the number of sequences a for which a = 234165. Generalizing this argument for any n and for permutations i with k−1 descents, we get that each n-permutation with k − 1 descents will be obtained from x+(n−1)−(k−1) n = x+n−k n sequences. If x is not a positive integer, note that the two sides of the equation to be proved can both be viewed as polynomials in the variable x. As they agree for infinitely many values (the positive integers), they must be identical. Exercise 7 gives a more mechanical proof that simply uses Theorem 1.7. COROLLARY 1.10 For all positive integers n, we have xn = n k=0 A(n, k) x + k − 1 n . PROOF Replace x by −x in the result of Theorem 1.8. We get xn (−1)n = n k=0 A(n, k) −x + n − k n . Now note that −x + n − k n = (−x + n − k)(−x + n − k − 1) · · · (−x + 1 − k) n! = (−1)n x + k − 1 n . Comparing these two identities yields the desired result. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 28. 8 Combinatorics of Permutations, Second Edition The obvious question that probably crossed the mind of the reader by now is whether there exists an explicit formula for the numbers A(n, k). The answer to that question is in the affirmative, though the formula contains a summation sign. This formula is more difficult to prove than the previous formulae in this Section. THEOREM 1.11 For all nonnegative integers n and k satisfying k ≤ n, we have A(n, k) = k i=0 (−1)i n + 1 i (k − i)n . (1.3) While this theorem is a classic (it is more than a hundred years old), we could not find an immaculately direct proof for it in the literature. Proofs we did find used generating functions, or manipulations of double sums of binomial coefficients, or inversion formulae to obtain (1.3). Therefore, we solicited simple, direct proofs at the problem session of the 15th Formal Power Series and Algebraic Combinatorics conference, which took place in Vadstena, Sweden. The proof we present here was contributed by Richard Stanley. A similar proof was proposed by Hugh Thomas. PROOF (of Theorem 1.11) Let us write down k − 1 bars with k com- partments in between. Place each element of [n] in a compartment. There are kn ways to do this, the term in the above sum indexed by i = 0. Arrange the numbers in each compartment in increasing order. For example, if k = 4 and n = 9, then one arrangement is 237||19|4568. (1.4) Ignoring the bars we get a permutation (in the above example, it is 237194568) with at most k − 1 descents. There are several issues to take care of. There could be empty compart- ments, or there could be neighboring compartments with no descents in be- tween. We will show how to sieve out permutations having either of these problems, and therefore, less than k − 1 descents, at the same time. Let us say that a bar is a wall if it is not immediately followed by another bar. Let us say that a wall is extraneous if by removing it we still get a legal arrangement, that is, an arrangement in which each compartment consist of integers in increasing order. For instance, in (1.4), the second bar is an extraneous wall. Our goal is to enumerate the arrangements with no extraneous walls, as these are clearly in bijection with permutations with k − 1 descents. In order to do this, we will apply the Principle of Inclusion and Exclusion. Let us call the spaces between consecutive entries of a permutation, as well © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 29. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 9 as the space preceding the first entry and the space following the last entry a position. So we associate n+1 positions to an n-permutation. Let S ⊆ [n+1], and let AS be the set of arrangements in which there is a an extraneous wall in each position belonging to S. Let i ≤ k − 1 be the size of S. Then we claim that |AS| = (k − i)n . In order to see this, first take any legal arrangment that contains k−i−1 bars. There are (k − i)n such arrangements. Now insert i extra bars by inserting one to each position that belongs to S. (If there is already a bar in such a position, then put the new bar immediately on the right of that bar.) This results in an arrangement that belongs to AS. Conversely, each arrangment belonging to AS will be obtained exactly once in this way. Indeed, if a ∈ AS, then removing one bar from each of the i positions that belong to S, we get the unique original arrangment with k − i − 1 bars that leads to a. As there are n+1 i choices for the set S, and A∅ is the set of arrangments with k−1 bars, none of which is an extraneous wall, the proof of our Theorem is now immediate by the Principle of Inclusion and Exclusion. For the sake of completeness, we include a more computational proof that does not need a clever idea as the previous one did. First, we recall a lemma from the theory of binomial coefficients. LEMMA 1.12 [Cauchy’s Convolution Formula] Let x and y be real numbers, and let z be a positive integer. Then we have x + y z = z d=0 x d y z − d . Note that Lemma 1.12 is sometimes called Vandermonde’s Identity. PROOF Let us assume first that x and y are positive integers. Then the left-hand side enumerates the z-element subsets of the set [x + y], while the right-hand side enumerates these same objects, according to the size of their intersection with the set [x]. For general x and y, note that both sides can be viewed as polynomials in x and y, and they agree for infinitely many values (the positive integers). Therefore, they have to be identical. PROOF (of Theorem 1.11) As a first step, consider formula (1.2) with © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 30. 10 Combinatorics of Permutations, Second Edition x = 1, then with x = 2, and then for x = i for i ≤ k. We get 1 = A(n, 1) · n n , 2n = A(n, 2) · n n + A(n, 1) · n + 1 n , and so on, the hth equation being hn = h−1 j=0 A(n, k − j) n + j − 1 n , (1.5) and the last equation being kn = k−1 j=0 A(n, k − j) n + j − 1 n (1.6) We will now add certain multiples of our equations to the last one, so that the left-hand side becomes the right-hand side of formula (1.3) that we are trying to prove. To start, let us add (−1) n+1 1 times the (k − 1)st equation to the last one. Then add n+1 2 times the (k − 2)nd equation to the last one. Continue this way, that is, in step i, add (−1)i n+1 i times the (k − i)th equation to the last one. This gives us k i=0 (−1)i n + 1 i (k − i)n = k j=1 A(n, j) k−j i=0 n + k − i − j n n + 1 i (−1)i . (1.7) The left-hand side of (1.7) agrees with the right-hand side of (1.3). There- fore, (1.3) will be proved if we can show that the coefficient a(n, j) of A(n, j) on the right-hand side above is 0 for j k. It is obvious that a(n, k) = 1 as A(n, k) occurs in the last equation only. Set b = k − j. Then a(n, k) can be transformed as follows. a(n, k) = b i=0 (−1)i n + 1 i n − i + b n . Recalling that for positive x, we have −x a = x+a−1 a (−1)a , and noting that (−1)b = (−1)b−2i , this yields (−1)b a(n, k) = b i=0 (−1)b−i n + 1 i n − i + b n = b i=0 (−1)b−i n + 1 i n − i + b b − i = b i=0 n + 1 i −1 − n b − i = 0 b = 0, © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 31. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 11 where the last step holds as b = k −j 0, and the next-to-last step is a direct application of Cauchy’s convolution formula. This shows that the right-hand side of (1.7) simplifies to A(n, k), and proves our theorem. 1.1.3 Stirling Numbers and Eulerian Numbers DEFINITION 1.13 A partition of the set [n] into r blocks is a distri- bution of the elements of [n] into r disjoint non-empty sets, called blocks, so that each element is placed into exactly one block. In Section 2.1, we will define the different concept of partitions of an integer. If there is a danger of confusion, then partitions of the set [n] will be called set partitions, to distinguish them from partitions of the integer n. Example 1.14 Let n = 7 and r = 4. Then {1, 2, 4}, {3, 6}, {5}, {7} is a partition of [7] into four blocks. Note that neither the order of blocks nor the order of elements within each block matters. That is, {4, 1, 2}, {6, 3}, {5}, {7} and {4, 1, 2}, {6, 3}, {7}, {5} are considered the same partition as the one in Example 1.14. DEFINITION 1.15 The number of partitions of [n] into k blocks is denoted by S(n, k) and is called a Stirling number of the second kind. By convention, we set S(n, 0) = 0 if n 0, and S(0, 0) = 1. The next chapter will explain what the Stirling numbers of the first kind are. Example 1.16 The set [4] has six partitions into three parts, each consisting of one doubleton and two singletons. Therefore, S(4, 3) = 6. Whereas Stirling numbers of the second kind do not directly count permu- tations, they are inherently related to two different sets of numbers that do. One of them is the set of Eulerian numbers, and the other one is the afore- mentioned set of Stirling numbers of the first kind. Therefore, exploring some properties of the numbers S(n, k) in this book is well-motivated. See Figure 1.1 for the values of S(n, k) for n ≤ 5. See Exercises 8 and 14 for two simple recurrence relations satisfied by the numbers S(n, k). It turns out that an explicit formula for these numbers can be proved without using the recurrence relations. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 32. 12 Combinatorics of Permutations, Second Edition n=4 n=2 n=3 n=5 n=1 n=0 25 15 10 6 7 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 FIGURE 1.1 The values of S(n, k) for n ≤ 5. Note that the Northeast–Southwest diagonals contain values of S(n, k) for fixed k. Row n starts with S(n, 0). LEMMA 1.17 For all positive integers n and r, we have S(n, r) = 1 r! r i=0 (−1)i r i (r − i)n . PROOF An ordered partition of [n] into r blocks is a partition of [n] into r blocks in which the set of blocks is totally ordered. So {1, 3}, {2, 4} and {2, 4}, {1, 3} are different ordered partitions of [4] into two blocks. Note that an ordered partition of [n] into r blocks is just the same as a surjection from [n] to [r]. In orde to enumerate all such surjections, let Ai be the set of functions from [n] into [r] whose image does not contain i. The function f : [n] → [r] is a surjection if and only if it is not contained in A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ar, and our claim can be proved by a standard application of the Principle of Inclusion and Exclusion. Stirling numbers of the second kind and Eulerian numbers are closely re- lated, as shown by the following theorem. THEOREM 1.18 For all positive integers n and r, we have S(n, r) = 1 r! r k=0 A(n, k) n − k r − k . (1.8) PROOF Multiplying both sides by r! we get r!S(n, r) = r k=0 A(n, k) n − k r − k . Here the left-hand side is obviously the number of ordered partitions of [n] into r blocks. We will now show that the right-hand side counts the same © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 33. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 13 objects. Take a permutation p counted by A(n, k). The k ascending runs of p then naturally define an ordered partition of [n] into k parts. If k = r, then there is nothing left to do. If k r, then we will split up some of the ascending runs into several blocks of consecutive elements, in order to get an ordered partition of r blocks. As we currently have k blocks, we have to increase the number of blocks by r − k. This can be achieved by choosing r − k of the n − k “gap positions” (gaps between two consecutive entries within the same block). This shows that we can generate r k=0 A(n, k) n−k r−k ordered partitions of [n] that consist of r blocks each by the above procedure. It is straightforward to show that each such partition will be obtained exactly once. Indeed, if we write the elements within each block of the partition in increasing order, we can just read the entries of the ordered partition left to right and get the unique permutation having at most r ascending runs that led to it. We can then recover the gap positions used. This completes the proof. Inverting this result leads to a formula expressing the Eulerian numbers by the Stirling numbers of the second kind. COROLLARY 1.19 For all positive integers n and k, we have A(n, k) = k r=1 S(n, r)r! n − r k − r (−1)k−r . (1.9) PROOF Let us consider formula (1.8) for each r ≤ k, and multiply each by r!. We get the equations 1! · S(n, 1) = A(n, 1) n − 1 0 , 2! · S(n, 2) = A(n, 1) n − 1 1 + A(n, 2) n − 2 0 , the equation for general r being r! · S(n, r) = r i=1 A(n, i) n − i r − i , (1.10) and the last equation being k! · S(n, k) = k i=1 A(n, i) n − i r − i . (1.11) © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 34. 14 Combinatorics of Permutations, Second Edition Our goal is to eliminate each term from the right-hand side of (1.11), except for the term A(n, k) n−k k−k = A(n, k). We claim that this can be achieved by multiplying (1.10) by (−1)k−r n−r k−r , doing this for all r ∈ [k −1], then adding these equations to (1.11). To verify our claim, look at the obtained equation k r=1 S(n, r)r!(−1)k−r n − r k − r = k r=1 (−1)k−r n − r k − r r i=1 A(n, i) n − i r − i , (1.12) or, after changing the order of summation, k r=1 S(n, r)r!(−1)k−r n − r k − r = r i=1 A(n, i) n − i r − i k r=1 (−1)k−r n − r k − r (1.13) whose left-hand side is identical to the right-hand side of (1.9). It is obvious that the coefficient of A(n, k) on the right-hand side is n−k k−k = 1. Therefore, our statement will be proved if we can show that the coefficient t(n, i) of A(n, i) in the last expression is equal to zero if i k. Note that n−i r−i = 0 if r i. Therefore, for any fixed i k, we have t(n, i) = k r=i n − i r − i n − r k − r (−1)k−r = k r=i n − i r − i k − n − 1 k − r = k − i − 1 k − i = 0. We used Cauchy’s convolution formula (Lemma 1.12) in the last step. This proves that if i k, then A(n, i) vanishes on the right-hand side of (1.13). We have discussed that A(n, k) will have coefficient 1 there. (This can be seen again by setting k = i in the last expression, leading to t(n, i) = −1 0 = 1.) So (1.13) implies the claim of this corollary. 1.1.4 Generating Functions and Eulerian Numbers There are several ways one can define a generating function whose coefficients are certain Eulerian numbers. Let us start with a “horizontal” version. DEFINITION 1.20 For all nonnegative integers n, the polynomial An(x) = n k=1 A(n, k)xk is called the nth Eulerian polynomial. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 35. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 15 The Eulerian polynomials have several interesting properties that can be proved by purely combinatorial means. We postpone the study of those prop- erties until the next subsection. For now, we will explore the connection between these polynomials and some infinite generating functions. THEOREM 1.21 For all positive integers n, the nth Eulerian polynomial has the alternative description An(x) = (1 − x)n+1 i≥0 in xi . Note that Euler first defined the polynomials An(x) in the above form. Example 1.22 For n = 1, we have A1(x) = (1 − x)2 i≥0 ixi = (1 − x)2 · x (1 − x)2 = x, and for n = 2, we have A2(x) = (1 − x)3 i≥0 i2 xi = (1 − x)3 · 2x2 (1 − x)3 + x (1 − x)2 = x + x2 . PROOF (of Theorem 1.21) Let us use (1.3) to write the Eulerian poly- nomials as n k=1 A(n, k)xk = n k=1 0≤i≤k (−1)i n + 1 i (k − i)n xk = n k=1 ⎛ ⎝ 0≤i≤k (−1)k−i n + 1 k − i in xk ⎞ ⎠ . Changing the order of summation, and noting that the sum in parentheses, being equal to A(n, k), vanishes for k n, we get i≥0 in xi · k≥i n + 1 k − i (−x)k−i = (1 − x)n+1 i≥0 in xi . © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 36. 16 Combinatorics of Permutations, Second Edition n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 302 302 57 57 26 66 26 11 11 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 FIGURE 1.2 Eulerian numbers for n ≤ 6. Again, the NE–SW diagonals contain the values of A(n, k) for fixed k. Row n starts with A(n, 1). It is often useful to collect all Eulerian numbers A(n, k) for all n and all k in a master generating function. This function turns out to have the following simple form. THEOREM 1.23 Let r(t, u) = n≥0 k≥0 A(n, k)tk un n! . Then we have r(t, u) = 1 − t 1 − teu(1−t) . PROOF Using the result of Theorem 1.21, we see that r(t, u) = n≥0 ⎛ ⎝(1 − t)n+1 i≥0 in ti ⎞ ⎠ un n! = (1 − t) i≥0 ti n≥0 (iu(1 − t))n n! = (1 − t) i≥0 ti eiu(1−t) = 1 − t 1 − teu(1−t) . 1.1.5 The Sequence of Eulerian Numbers Let us take a look at the numerical values of the Eulerian numbers for small n, and k = 0, 1, · · ·, n − 1. The nth row of Figure 1.2 contains the values of A(n, k), for 1 ≤ k ≤ n, up to n = 6. We notice several interesting properties. As we pointed out before, the sequence A(n, k) is symmetric for any fixed n. Moreover, it seems that these sequences first increase steadily, then decrease steadily. This property is so important in combinatorics that it has its own name. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 37. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 17 DEFINITION 1.24 We say that the sequence of positive real numbers a1, a2, · · · , an is unimodal if there exists an index k such that 1 ≤ k ≤ n, and a1 ≤ a2 · · · ≤ ak ≥ ak+1 ≥ · · · ≥ an. The sequences A(n, k){1≤k≤n} seem to be unimodal for any fixed n. In fact, they seem to have a stronger property. DEFINITION 1.25 We say that the sequence of positive real numbers a1, a2, · · · , an is log-concave if ak−1ak+1 ≤ a2 k holds for all indices k. PROPOSITION 1.26 If the sequence a1, a2, · · · , an of positive real numbers is log-concave, then it is also unimodal. PROOF The reader should find the proof first, then check the proof that we provide as a solution for Exercise 5. The conjecture suggested by our observations is in fact correct. This is the content of the following theorem. THEOREM 1.27 For any positive integer n, the sequence A(n, k){1≤k≤n} of Eulerian numbers is log-concave. While this result has been known for a long time, it was usually shown as a corollary to a stronger, analytical result that we will discuss shortly, in Theorem 1.34. Direct combinatorial proofs of this fact are more recent. The proof we present here was given by Bóna and Ehrenborg [37] who built on an idea of Vesselin Gasharov [146]. If a path on a square grid uses steps (1, 0) and (0, 1) only, we will call it a northeastern lattice path. Before proving the theorem, we need to set up some tools, which will be useful in the next section as well. We will construct a bijection from the set A(n, k) of n-permutations with k descents onto that of labeled northeastern lattice paths with n edges, exactly k of which are vertical. (Note the shift in parameters: |A(n, k)| = A(n, k + 1), but this will not cause any confusion.) If a path on a square grid uses steps (1, 0) and (0, 1) only, we will call it a northeastern lattice path. Before proving the theorem, we need to set up some tools, which will be useful in the next section as well. We will construct a bijection from the set A(n, k) of n-permutations with k descents onto that of labeled northeastern © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 38. 18 Combinatorics of Permutations, Second Edition lattice paths with n edges, exactly k of which are vertical. (Note the shift in parameters: |A(n, k)| = A(n, k + 1), but this will not cause any confusion.) Let P(n) be the set of labeled northeastern lattice paths that have edges a1, a2, . . . , an and that corresponding positive integers e1, e2, . . . , en as labels, so that the following hold: (i) the edge a1 is horizontal and e1 = 1, (ii) if the edges ai and ai+1 are both vertical, or both horizontal, then ei ≥ ei+1, (iii) if ai and ai+1 are perpendicular to each other, then ei + ei+1 ≤ i + 1. The starting point of a path in P(n) has no additional significance. Let P(n, k) be the set of all lattice paths in P(n) which have k vertical edges, and let P(n, k) = |P(n, k)|. PROPOSITION 1.28 The following two properties of paths in P(n) are immediate from the defini- tions. • For all i ≥ 2, we have ei ≤ i − 1. • Fix the label ei. If ei+1 can take value v, then it can take all positive integer values w ≤ v. Also note that all restrictions on ei+1 are given by ei, independently of preceding ej, j i. Now we are going to explain how we will encode our permutations by these labeled lattice paths. LEMMA 1.29 The following description defines a bijection from S(n) onto P(n), where S(n) is the set of all n-permutations. Let p ∈ S(n). To obtain the edge ai and the label ei for 2 ≤ i ≤ n, restrict the permutation p to the i first entries and relabel the entries to obtain a permutation q = q1 · · · qi of [i]. Then proceed as follows. 1. If the position i − 1 is a descent of the permutation p (equivalently, of the permutation q), let the edge ai be vertical and the label ei be equal to qi. 2. If the position i − 1 is an ascent of the permutation p, let the edge ai be horizontal and the label ei be i + 1 − qi. Moreover, this bijection restricts naturally to a bijection between A(n, k) and P(n, k) for 0 ≤ k ≤ n − 1. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 39. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 19 1 2 1 5 1 1 FIGURE 1.3 The image of the permutation 243165. PROOF The described map is clearly injective. Let us assume that i − 1 and i are both descents of the permutation p. Let q, respectively r, be the permutation when restricted to the i, respectively i + 1, first elements. Observe that qi is either ri or ri − 1. Since ri ri+1 we have qi ≥ ri+1 and condition (ii) is satisfied in this case. By similar reasoning the three remaining cases (based on i − 1 and i being ascents or descents) are shown, hence the map is into the set P(n). To see that this is a bijection, we show that we can recover the permutation p from its image. To that end, it is sufficient to show that we can recover pn, and then use induction on n for the rest of p. To recover pn from its image, simply recall that pn is equal to the label of the last edge if that edge is vertical, and to n + 1 − if that edge is horizontal. Conditions (ii) and (iii) assure that this way we always get a number between 1 and n for pn. See Figure 1.3 for an example of this bijection. Now we are in position to prove that the Eulerian numbers are log-concave. PROOF (of Theorem 1.27). We construct an injection Φ : P(n, k − 1) × P(n, k + 1) −→ P(n, k) × P(n, k). This injection Φ will be defined differently on different parts of the domain. Let (P, Q) ∈ P(n, k − 1) × P(n, k + 1). Place the initial points of P and Q at (0, 0) and (1, −1), respectively. Then the endpoints of P and Q are © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 40. 20 Combinatorics of Permutations, Second Edition 1 1 1 X 1 1 1 1 2 2 1 4 2 1 1 1 1 2 2 1 X 1 1 1 4 FIGURE 1.4 The new pair of paths. (n − k + 1, k − 1) and (n − k, k), respectively, so while Q starts “below” P, it ends “above” P. Let X be the first (most southwestern) common point of P and Q. It then follows that P arrives to X by an east step, and Q arrives to X by a north step. We will now show how to proceed if neither P nor Q changes directions at X, that is, P leaves X by an east step, and Q leaves X by a north step. The other cases are very similar and are left as exercises. Essentially, in all of the other cases, one of the transformations discussed below will have the desired effect when applied appropriately. Decompose P = P1 ∪ P2 and Q = Q1 ∪ Q2, where P1 is a path from (0, 0) to X, P2 is a path from X to (n − k, k), Q1 is a path from (1, −1) to X, and Q2 is a path from X to (n − k + 1, k − 1). Let a, b, c, d be the labels of the four edges adjacent to X as shown in Figure 1.5, the edges AX and XB originally belonging to P and the edges CX and XD originally belonging to Q. Then by condition (ii) we have a ≥ b and c ≥ d. Let P = P1 ∪ Q2 and let Q = Q1 ∪ P2. 1. If P and Q are valid paths, that is, if their labeling fulfills conditions (i)–(iii), then we set Φ(P, Q) = (P , Q ). See Figure 1.4 for this construc- tion. This way we have defined Φ for pairs (P, Q) ∈ P(n, k) × P(n, k) in which a + d ≤ i and b + c ≤ i, where i − 1 is the sum of the two coor- dinates of X. We also point out that we have not changed any labels, therefore in (P , Q ) we still have a ≥ b and c ≥ d, though that is no © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 41. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 21 Q d c a b P X D C A B FIGURE 1.5 Labels around the point X. Q’ P’ i−c X b i−a d D C A B FIGURE 1.6 New labels around the point X. longer required as the edges in question are no longer parts of the same path. It is clear that Φ(P, Q) = (P , Q ) ∈ P(n, k) × P(n, k), (in particular, (P , Q ) belongs to the subset of P(n, k) × P(n, k) consisting of inter- secting pairs of paths), and that Φ is one-to-one. 2. We still have to define Φ(P, Q) for those pairs (P, Q) ∈ P(n, k − 1) × P(n, k + 1) for which it cannot be defined in the way it was defined in the previous case, that is, when either a + d i or b + c i holds. The reader is invited to verify that such pairs (P, Q) actually exist. One example is when P is the path belonging to the permutation 1237654, and Q is the path belonging to the permutation 4567123. Change the label of the edge AX to i − c and change the label of the edge CX to i − a as seen in Figure 1.6, then proceed as in the previous case to get Φ(P, Q) = (P , Q ), where P = P1 ∪ Q2 and Q = Q1 ∪ P2. We claim that P and Q are valid paths. Indeed we had at least one of a + d i and b + c i, so we must have a + c i as a ≥ b and c ≥ d. Therefore, i − a c and i − c a, so we have decreased the values of © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 42. 22 Combinatorics of Permutations, Second Edition the labels of edges AX and CX, and that is always possible as shown in Proposition 1.28. Moreover, no constraints are violated in P and Q by the edges adjacent to X as i−c+d ≤ i and i−a+b ≤ i. It is also clear that Φ is one-to-one on this part of the domain, too. Finally, we have to show that the image of this part of the domain is disjoint from that of the previous part. This is true because in this part of the domain we have at least one of a + d i and b + c i, that is, at least one of i−c b and i−a d, so in the image, at least one of the pairs of edges AX, XB and CX, XD does not have the property that the label of the first edge is at least as large as that of the second one. And, as pointed out in the previous case, all elements of the image of the previous part of the domain do have that property. Given Φ(P, Q) = (P , Q ), the vertex X can be uniquely determined as the most southwestern point of the intersection of P and Q’. It then follows that the map Φ we created is an injection. This proves the inequality A(n, k − 1)A(n, k + 1) ≤ A(n, k)2 , so our theorem is proved. There is a property of sequences of positive real numbers that is even stronger than log-concavity. DEFINITION 1.30 Let a1, a2, · · · , an be a sequence of positive real numbers. We say that this sequence has real roots only or real zeros only if the polynomial n i=1 aixi has real roots only. We note that sometimes the sequence can be denoted a0, a1, · · · , an, and sometimes it is better to look at the polynomial n i=0 aixi (which, of course, has real roots if and only if n i=0 aixi+1 does). Example 1.31 For all positive integers n, the sequence a0, a1, · · · , an defined by ai = n i has real zeros only. SOLUTION We have n i=0 aixi = n i=0 n i xi = (1 + x)n , so all roots of our polynomial are equal to −1. Having real zeros is a stronger property than being log-concave, as is shown by the following theorem of Newton. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 43. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 23 THEOREM 1.32 If a sequence of positive real numbers has real roots only, then it is log-concave. PROOF Let a0, a1, · · · , an be our sequence, and let P(x) = n k=0 akxk . Then for all roots (x, y) of the polynomial Q(x, y) = n k=0 akxk yn−k , the ratio (x/y) must be real. (Otherwise x/y would be a non-real root of P(x)). There- fore, by Rolle’s Theorem, this also holds for the partial derivatives ∂Q/∂x and ∂Q/∂y. Iterating this argument, we see that the polynomial ∂a+b Q/∂xa ∂yb also has real zeros, if a + b ≤ n − 1. In particular, this is true in the special case when a = j − 1, and b = n − j − 1, for some fixed j. This implies that the quadratic polynomial R(x, y) = ∂n−2 Q/∂xj−1 ∂yn−j−1 has real roots only, and therefore the discriminant of R(x, y) is non-negative. On the other hand, we can compute R(x, y) by computing the relevant partial derivatives. Note that we only have to look at the values of k ranging from j − 1 to j + 1 as all other summands of Q(x, y) vanish after derivation. We get R(x, y) = aj−1 ·(j−1)! 1 2 (n−j+1)!y2 +ajj!(n−j)!xy+aj+1(n−j−1)! 1 2 (j+1)! As we said, this polynomial has to have a non-negative discriminant, meaning that a2 j ≥ j + 1 j · n − j + 1 n − j · aj−1aj+1, (1.14) which is stronger than our original claim, a2 j ≥ aj−1aj+1. The alert reader has probably noticed that by (1.14), a log-concave sequence does not necessarily have real zeros only. For instance, the sequence 1, 1, 1 is certainly log-concave, but 1 + x + x2 has two complex roots. One might ask why we would want to know whether a combinatorially defined sequence has real zeros or not. In certain cases, proving the real zeros property is the only, or the easiest, way to prove log-concavity and unimodality. In some cases, unimodality and log-concavity can be proved by other means, but that does not always tell us where the maximum or maxima of a given sequence is, or just how many maxima the sequence has. Note that a constant sequence is always log-concave, so a log-concave sequence could possibly have any number of maxima. The following Proposition shows that in a sequence with real zeros only, the situation is much simpler. PROPOSITION 1.33 If the sequence {ak}0≤k≤n has real zeros only, then it has either one or two maximal elements. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 44. 24 Combinatorics of Permutations, Second Edition PROOF Formula (1.14) shows that in such a sequence, the ratio aj+1/aj strictly decreases, so it can be equal to 1 for at most one index j. Theorem 3.25 will show how to find the maximum (or maxima) of a sequence with real zeros. The following theorem shows that Eulerian numbers have this last, stronger property as well. THEOREM 1.34 For any fixed n, the sequence {A(n, k)}k of Eulerian numbers has real roots only. In other words, all roots of the polynomial An(x) = n k=1 A(n, k)xk are real. Recall that the polynomials An(x) of Theorem 1.34 are called the Eulerian polynomials. This theorem is a classic result, but surprisingly, it is not easy to find a full, self-contained proof for it in the literature. The ideas of the proof we present here are due to Herb Wilf and Aaron Robertson. PROOF (of Theorem 1.34) Theorem 1.7 implies An(x) = (x − x2 )A n−1(x) + nxAn−1(x) (n ≥ 1; A0(x) = x). Indeed, the coefficient of xk on the left-hand side is A(n, k), while the coeffi- cient of xk on the right-hand side is kA(n − 1, k) − (k − 1)A(n − 1, k − 1) + nA(n − 1, k − 1) = kA(n − 1, k) + (n − k + 1)A(n − 1, k − 1) = A(n, k). Now note that the right-hand side closely resembles the derivative of a prod- uct. This suggests the following rearrangement: An(x) = x(1 − x)n+1 d dx (1 − x)−n An−1(x) (1.15) with n ≥ 1 and A0(x) = x. The Eulerian polynomial A0(x) = x vanishes only at x = 0. Suppose, inductively, that An−1(x) has n − 1 distinct real zeros, one at x = 0, and the others negative. From (1.15), or otherwise, An(x) vanishes at the origin. Further, by Rolle’s Theorem, (1.15) shows that An(x) has a root between each pair of consecutive roots of An−1(x). This accounts for n − 1 of the roots of gn(x). Since we have accounted for all but one root, the remaining last root © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 45. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 25 must be real since complex roots of polynomials with real coefficients come in conjugate pairs. We mention that an elementary survey of unimodal, log-concave, and real- roots-only sequences can be found in [35]. The articles [75] and [236] are high-level survey papers. Eulerian numbers can count permutations according to properties other than descents. Let p = p1p2 · · · pn be a permutation. We say that i is an excedance of p if pi i. (Note that for this definition, it is important to require that the entries of p are the elements of [n] and not some other n- element set.) Example 1.35 The permutation 24351 has three excedances, 1, 2, and 4. Indeed, p1 = 2 1, p2 = 4 2, and p4 = 5 4. THEOREM 1.36 The number of n-permutations with k − 1 excedances is A(n, k). We postpone the proof of this theorem until Section 3.3.2, where it will become surprisingly easy, due to a different way of looking at permutations. However, we mention that if f : Sn → N is a function associating natural numbers to permutations, then it is often called a permutation statistic. (Re- call from the Introduction that Sn denotes the set of all n-permutations.) If a permutation statistic f has the same distribution as the statistic “number of descents”, that is, if for all k ∈ [n], we have | {p ∈ Sn : f(p) = k} | = | {p ∈ Sn : d(p) = k} |, (1.16) then we say that f is an Eulerian statistic. So Theorem 1.36 says that “number of excedances,” sometimes denoted by exc, is an Eulerian statistic. We will see further Eulerian statistics in the Exercises section. 1.2 Alternating Runs Let us modify the notion of ascending runs that we discussed in the last section. Let p = p1p2 · · · pn be a permutation. We say that p changes direction at position i if either pi−1 pi pi+1, or pi−1 pi pi+1. In other words, p changes directions when pi is either a peak or a valley. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 46. 26 Combinatorics of Permutations, Second Edition 3 5 6 1 2 4 7 FIGURE 1.7 Permutation 3561247 has three alternating runs. DEFINITION 1.37 We say that p has k alternating runs if there are k − 1 indices i so that p changes direction at these positions. For example, p = 3561247 has 3 alternating runs as p changes direction when i = 3 and when i = 4. A geometric way to represent a permutation and its alternating runs by a diagram is shown in Figure 1.7. The alternating runs are the line segments (or edges) between two consecutive entries where p changes direction. So a permutation has k alternating runs if it can be represented by k line segments so that the segments go “up” and “down” exactly when the entries of the permutation do. The origins of this line of work go back to the nineteenth century. More recently, D. E. Knuth [183] has discussed the topic in connection to sorting and searching. Let G(n, k) denote the number of n-permutations having k alternating runs. There are significant similarities between these numbers and the Eulerian numbers. For instance, for fixed n, both sequences have real zeros only, and both satisfy similar recurrence relations. However, the sequence of the G(n, k) is not symmetric. On the other hand, almost half of all roots of the generating function Gn(x) = p∈Sn xr(p) = k≥1 G(n, k)xk are equal to −1. Here r(p) © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 47. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 27 2 2 4 10 12 58 2 122 300 236 60 32 28 2 2 FIGURE 1.8 The values of G(n, k) for n ≤ 6. The first value of row n is G(n, 1). The NE–SW diagonals contain the values of G(n, k) for fixed k. denotes the number of alternating runs of p. First we prove a simple recurrence relation on the numbers G(n, k), which was first proved by André in 1883. LEMMA 1.38 For positive integers n and k we have G(n, k) = kG(n − 1, k) + 2G(n − 1, k − 1) + (n − k)G(n − 1, k − 2), (1.17) where we set G(1, 0) = 1, and G(1, k) = 0 for k 0. PROOF Let p be an (n − 1)-permutation having k alternating runs, and let us try to insert n into p without increasing the number of alternating runs. We can achieve that by inserting n at one of k positions. These positions are right before the beginning of each descending run, and right after the end of each ascending run. This gives us kG(n − 1, k) possibilities. Now let q be an (n−1)-permutation having k−1 alternating runs. We want to insert n into q so that it increases the number of alternating runs by 1. We can achieve this by inserting n into one of two positions. These two positions are very close to the beginning and the end of q. Namely, if q starts in an ascending run, then insert n to the front of q, and if q starts in a descending run, then insert n right after the first entry of q. Proceed dually at the end of the permutation. Finally, let r be an (n − 1)-permutation having k − 2 alternating runs, and observe that by inserting n into any of the remaining n − (k − 2) − 2 = n − k positions, we increase the number of alternating runs by two. This completes the proof. The first values of G(n, k) are shown in Figure 1.8 for n ≤ 6. Looking at these values of G(n, k), we note they are all even. This is easy to explain as p and its reverse always have the same number of alternating runs. Taking a second look at the polynomials Gn(x), we note that G4(x) = © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 48. 28 Combinatorics of Permutations, Second Edition (x + 1)(10x2 + 2x), and that G5(x) = 32x4 + 58x3 + 28x2 + 2x = (x + 1)(32x3 + 26x2 + 2x). Further analysis shows that G6(x) and G7(x) are divisible by (x + 1)2 , and that G8(x) and G9(x) are divisible by (x + 1)3 , and so on. In general, it seems that for any positive integer n ≥ 4, the polynomial Gn(x) is divisible by (x + 1)(n−2)/2 . This is an interesting observation, and one that is certainly of combinatorial flavor. For instance, if we just wanted to prove that Gn(x) is divisible by x+1, we could proceed as follows. We could arrange our permutations into pairs, so that each pair consists of two permutations, one with r alternating runs, and one with r + 1 alternating runs. If we could do that, that would imply that Gn(x) = (1 + x)Fn(x). Here Fn(x) is the generating function by the number of alternating runs for the set of permutations that consists of one element from each pair, the one with the smaller number of alternating runs. If we can appropriately “iterate” this argument, then we will succeed in proving that Gn(x) is divisible by a power of (1 + x). Before we start proving the claim that −1 is a root of Gn(x) with a high multiplicity, we point out that one might also wonder whether the polynomials Gn(x)/2(x+1)j have some natural combinatorial interpretation for each index j ≤ (n − 2)/2 . Our proof provides such an interpretation. In order to give that proof, we need the following definitions that were first introduced in [37]. DEFINITION 1.39 For j ≤ m = (n − 2)/2 , we say that p is a j-half-ascending permutation if, for all positive integers i ≤ j, we have pn+1−2i pn+2−2i. If j = m, then we will simply say that p is a half- ascending permutation. So p is a 1-half-ascending permutation if pn−1 pn. In a j-half-ascending permutation, we have j constraints, and they involve the rightmost j disjoint pairs of entries. We call these permutations half-ascending because at least half of the involved positions are ascents. Now we define a modified version of the polynomials Gn(x) for j–half- ascending permutations. As we will see, one of these polynomials will provide the desired combinatorial interpretation for Gn(x)/(1 + x)m . DEFINITION 1.40 Let p be a (j + 1)-half-ascending permutation. Let rj(p) be the number of alternating runs of the substring p1, p2, . . . , pn−2j, and let sj(p) be the number of descents of the substring pn−2j, pn+1−2j, . . . , pn. Denote tj(p) = rj(p) + sj(p), and define Gn,j(x) = p∈Sn xtj (p) . © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 49. In One Line and Close. Permutations as Linear Orders. 29 So in other words, Gn,j enumerates the alternating runs in the non-half- ascending part and the first two elements of the half-ascending part, and the descents in the rest of the half-ascending part. LEMMA 1.41 For all n ≥ 4 and 1 ≤ j ≤ (n − 2)/2 , we have Gn(x) 2(x + 1)j = Gn,j(x). PROOF We prove the statement by induction on j. Let j = 1. Clearly, we can restrict our attention to the set of permutations in which pn−3 pn−2. Indeed, if p does not satisfy that condition, then its complement pc will, and vice versa (where pc is the n-permutation whose ith entry is n + 1 − pi), and p and pc certainly have the same number of alternating runs. Let I be the involution acting on the set of all n-permutations (that satisfy the inequality pn−3 pn−2) that swaps the last two entries of each permuta- tion. For instance, I(5613427) = 5613472. It is then straightforward to verify that I either increases the number of alternating runs by one, or it decreases it by one. Therefore, I is just the involution we were looking for. Indeed, we have 1 2 Gn(x) = P (p) xr(p) + xr(p)+1 = P (p) (x + 1)xr(p) , where P ranges through all n!/4 pairs created by the involution I, and P(p) is the permutation in P that has the smaller number of alternating runs. By verifying all (essentially, two, see the example below) possible cases, we see that for all these n!/4 permutations p, the following occurs. The number r(p) equals the number t1(q) of the permutation P(q) in the pair P that is in the same pair as p and ends in an ascent. Therefore, the last equality implies 1 2 Gn(x) = P (q) (x + 1)xt1(q) = (x + 1)Gn,1(x), where P again ranges the n!/4 pairs created by I. Therefore, the initial case is proved. Figure 1.9 shows the twelve 4-permutations for which p1 p2 holds, in pairs formed by I. The values r(p) and t1(p) are shown as well. One then verifies that in each of these pairs, the permutation with the smaller number of alternating runs has a number of alternating runs equal to the t1(p)-value of the element of that pair in which p3 p4. This argument carries over for n 4. Indeed, I has no effect on the number of alternating runs of the substring of the first n − 4 entries of p. Now let us assume that we know that the statement holds for j − 1 and prove it for j. Apply I to the two rightmost entries of our permutations © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 50. 30 Combinatorics of Permutations, Second Edition r(p)=3 r(p)=3 r(p)=1 r(p)=2 r(p)=2 r(p)=2 r(p)=2 r(p)=2 r(p)=2 t (p)=1 t (p)=2 t (p)=2 t (p)=2 t (p)=2 t (p)=2 1 1 1 1 1 1 r(p)=3 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2314 2341 2413 2431 3412 3421 r(p)=3 r(p)=3 FIGURE 1.9 The values of r(p) and t1(p) for n = 4. to get pairs as in the initial case, and apply the induction hypothesis to the leftmost n−2 elements. By the induction hypothesis, the string of the leftmost n−2 elements can be replaced by a j-half-ascending (n−2)-permutation, and the number of runs can be replaced by the tj−1-parameter. In particular, pn−3 pn−2 will hold, and therefore we can verify that our statement holds in both cases (pn−2 pn−1 or pn−2 pn−1) exactly as we did in the proof of the initial case. So almost half of the roots of Gn(x) are equal to −1; in particular, they are real numbers. This raises the question whether the other half are real numbers as well. That question has recently been answered in the affirmative by Herb Wilf [270]. In his proof, he used the rather close connections between Eulerian polynomials, and the generating functions Gn(x) = k≥1 G(n, k)xk . This connection, established in [101], and given in a more concise form in [183], can be described by Gn(x) = 1 + x 2 n−1 (1 + w)n+1 An 1 − w 1 + w , (1.18) where w = 1−x 1+x . The proof of (1.18) uses the similarities between the re- currence relations for An(x) and Gn(x) to get a differential equation satisfied by certain generating functions in two variables. The details can be found in [101], pages 157–162. © 2012 by Taylor Francis Group, LLC
- 51. Another Random Scribd Document with Unrelated Content
- 52. einem Schlage beseitigten. Aus dem reflektierenden Zauderer, der auf Enttäuschungen ebenso stark und schnell reagiert hatte wie auf Hoffnungen, war mit einem Male der sehnige, bestimmte Tatmensch geworden, der Rathenau, einmal in die richtige Bahn gestellt, bis an sein Lebensende geblieben ist. Die Fülle der Gesichte und Möglichkeiten war durch den Anblick des „Ziels“ gebändigt und vereinheitlicht. Das verwirrende Durcheinander der gangbaren Wege war zur Straße geworden, deren Lauf mit Notwendigkeit vorgeschrieben war. Rathenau glaubte, als er Edisons Beleuchtungssystem zuerst sah, sich seiner ganzen Art nach im Sturm der neuen Aufgabe bemächtigen zu können. Als nicht sofort festzustellen war, von wem man die Patente und Nutzungsrechte erwerben könne, kabelte er kurzentschlossen an Edison nach New York, er möge sich sofort auf das Schiff setzen und in einer dringenden, für beide Teile außerordentlich wichtigen Angelegenheit nach Europa kommen. Edison erklärte dies zur Zeit für unmöglich und riet dem ihm unbekannten deutschen Ingenieur, sich an seine Pariser Vertreter zu wenden. Wäre Rathenau der leicht zu entflammende, aber von Schwierigkeiten schnell wieder abgekühlte Stimmungsmensch gewesen, für den er damals vielfach gehalten wurde, so hätte er bald die Büchse ins Korn geworfen. Aber es bildete die erste große Probe auf den inneren Stahl, der in dem Charakter des Mannes enthalten war, mit welcher Energie und Zähigkeit er aus dem Labyrinth der Edisonschen Patent- und Rechtsverwirrnis die Verträge herauszuzwingen verstand, die er für eine gesicherte Anwendung des Edisonlichts in Deutschland haben zu müssen meinte. Edison hatte zur Verwertung seiner Patente zunächst zwei Gesellschaften gegründet. Die Edison Electric Light Company mit dem Sitz in New York sollte die Patente für Amerika verwerten, eine Tochtergesellschaft gleichen Namens in London sollte Europa bearbeiten. Sie veranstaltete die erste elektrische Ausstellung im Crystal Palace und baute die erste elektrische Zentralstation — oder was man damals so bezeichnete — in Europa. Von ihr abgezweigt wurde wieder die C o m p a g n i e C o n t i n e n t a l e E d i s o n, der
- 53. die Verwertung aller Edisonschen Patente auf dem europäischen Kontinent übertragen wurde. Sie errichtete wieder zwei Untergesellschaften, die Société électrique Edison, die sich mit der Ausführung privater Beleuchtungsanlagen beschäftigte, und als Fabrikationsunternehmen die Société industrielle commerciale Edison, die in Ivry bei Paris Maschinen und Apparate herstellte. Die Rechtsverhältnisse waren also reichlich kompliziert, was nicht so sehr an der Vielheit der Gesellschaften, als an der unklaren Organisation und Kompetenzverteilung zwischen ihnen lag. Auch Rathenau hat später in seiner industriellen und finanztechnischen Praxis das System der Dezentralisation und Verschachtelung mit Vorliebe angewandt, aber er beherrschte doch dieses System derart, daß er jederzeit die Zügel in der Hand behielt. Zwischen den von ihm gegründeten Unternehmungen waren die rechtlichen Beziehungen und Aufgaben so klar geordnet und verteilt, daß Zweifel niemals entstehen konnten, wie dies bei den Edisonschen Gesellschaften damals und auch weiterhin noch der Fall war. „Edison hatte,“ so erzählt Rathenau, „seine europäischen Interessen in die Hände von Gesellschaften gelegt, deren Ideal zum wenigsten darin bestand, die Welt mit einem Kulturwerk zu beglücken; und so gelang es erst nach unsäglichen Schwierigkeiten, Verträge zu vereinbaren, die das Fundament solider deutscher Gesellschaften bilden konnten.“ Nachdem die unberechtigten Ansprüche verschiedener Gesellschaften abgewiesen bzw. abgefunden worden waren, wurde der grundlegende Vertrag schließlich mit der C o m p a g n i e C o n t i n e n t a l e E d i s o n i n P a r i s abgeschlossen. Ähnlich wie in Frankreich sollte danach auch für Deutschland eine Fabrikationsgesellschaft und eine zweite zur Herstellung von Zentralstationen gegründet werden. So großzügig wie die Sache geplant war, ließ sie sich allerdings zunächst noch nicht verwirklichen. Während der Verhandlungen hatte sich der finanzielle Himmel infolge einer von Paris ausgehenden Krisis umwölkt. Der etwas gewaltsame Industrialismus, mit dem Frankreich über die Schlappe von 1870/71 hinwegzukommen hoffte, hatte zu einem Rückschlag geführt, und die englische Elektrizitätskrise, die aus einer Überspannung im Gründerwesen auf dem Gebiete der
- 54. Kabeltelegraphie entstanden war, trug dazu bei, daß man gerade Neugründungen auf dem Gebiete der Elektrizitätsindustrie damals mit Zurückhaltung begegnete. Rathenau ließ sich von dem einmal gewählten Wege auch durch dieses Hemmnis nicht abbringen. Er suchte in Berlin in den maßgebenden Bankkreisen Unterstützung für sein Projekt zu finden. Er besuchte Bleichröder und andere führende Finanzgrößen. Ohne Erfolg. Die „Großen“ auf dem Gebiete des Kapitals hielten sich kühl zurück. Schließlich lernte Rathenau bei einem Besuch seiner Mutter in Bad Langenschwalbach L u d w i g v o n K a u f m a n n, den Schwiegersohn Jacob Landaus und Mitinhaber des Bankhauses J a c o b L a n d a u kennen. Es gelang ihm, diesen für die Idee zu interessieren. Es war in verschiedenen Berliner Unterredungen, die sich an dieses Langenschwalbacher Zusammentreffen knüpften, vereinbart worden, ein Bankenkonsortium zu bilden, das die neue Gesellschaft errichten und mit Geld ausstatten sollte. Infolge der finanziellen Krise kamen die Verhandlungen zunächst ins Stocken. Das Bankenkonsortium hatte die Geldmittel natürlich nur v o r s t r e c k e n wollen, und zwar angesichts seiner nicht sehr starken eigenen Kapitalskraft, nur für kurze Zeit. Jahrelange Vorschüsse, wie sie die finanziellen Trustunternehmungen gewährten, die Rathenau später für derartige Zwecke gegründet hatte, konnten und wollten Rathenaus Geldgeber dem Ingenieur, dessen Enthusiasmus die einzige Garantie war, die er bieten konnte, nicht anvertrauen. Man hatte daher von vornherein geplant, das zur Gründung erforderliche Geld sofort durch Ausgabe der Aktien an das Publikum aufzubringen. Als dies unmöglich wurde, verzichtete man auf die sofortige Ausführung des Planes. Rathenau sorgte indessen dafür, daß die einmal angeknüpften Beziehungen zwischen ihm und der Bankengruppe nicht völlig abgebrochen wurden. Er komplizierte die Situation, schon damals sein leidenschaftlich vorwärts drängendes Temperament durch realpolitische Erwägungen zügelnd, nicht dadurch, daß er die Bedingung „Alles oder nichts“ stellte. Er schlug ein Kompromiß vor, das den Mittelweg zwischen völliger Aufgabe und unbestimmter Vertagung des Projekts darstellte. Es sollte eine S t u d i e n g e s e l l s c h a f t mit dem geringen Kapital von 250000
- 55. Mark gegründet werden. Diese sollte die Arbeit unverzüglich aufnehmen und Rathenau war überzeugt, daß sie den praktischen Wert der neuen Beleuchtung einwandfrei dartun würde. Geschah dies aber, so war die Gründung eines größeren Unternehmens später wesentlich leichter, als wenn wiederum ganz neue Verhandlungen hätten angeknüpft und neue Vorbedingungen hätten geschaffen werden müssen. Es war also auf diesem Wege manches zu gewinnen, und wenig zu verlieren. Die Studiengesellschaft trat denn auch bald auf Grund der deutschen Edisonpatente ins Leben. Die drei Patentansprüche des ersten und grundlegenden Patentes lauteten folgendermaßen: 1. Eine elektrische Lampe, die durch Weißglühen Licht gibt, und in der Hauptsache aus Kohlefasern von großem Widerstand besteht, hergestellt und mit den metallischen Drähten verbunden, wie beschrieben. 2. Ein Faden oder Streifen aus Kohlefasern, welche in solcher Weise in Spiralform gewunden ist, daß nur ein Teil der Oberfläche dieses Kohlenleiters (ca. 5 mm) Licht ausstrahlt. 3. Die Platindrähte wie beschrieben an dem Kohlenfaden zu befestigen und das Ganze in einem geschlossenen Gefäß zu karbonisieren. (Der Widerstand ist je nach der Menge des abgelagerten Lampenrusses klein oder groß herstellbar.) Die Studiengesellschaft verfolgte den doppelten Zweck, praktische Erfahrungen für die Glühlampentechnik zu sammeln, und das Publikum mit dem neuen Licht bekannt zu machen. Ein paar kleinere Anlagen wurden für den Berliner Börsencourier und das Böhmische Brauhaus geschaffen. Dann wandte man sich etwas größeren Aufgaben zu. Der Unionklub in der Schadowstraße und die benachbarte Ressource von 1794 erteilten den Auftrag zur Ausführung von Musteranlagen. Die Ressource veranstaltete zur Feier der gelungenen Beleuchtung ein Bankett, das so etwas wie ein gesellschaftliches Ereignis für Berlin darstellte. Gerade während
- 56. Hugo Pringsheim in einer schwungvollen Rede das neue Licht und den Schöpfer der Anlage, Emil Rathenau, feierte, verdüsterte sich allmählich, wie Rathenau später ausplauderte, das Licht und der diensthabende Ingenieur meldete mit schreckensbleichem Gesicht, daß er die Anlage nicht halten könne. In der gehobenen Festesstimmung bemerkte niemand das Verschwinden des Ehrengastes, der im Gesellschaftsanzuge die persönliche Führung der Anlage bis zum Morgen übernahm, und mit zwei Ingenieuren durch eifriges Kühlen der Lager mit dem für die Sektkühler bestimmten Eis den Betrieb aufrecht erhielt. Ein Verlöschen des Lichts an dieser sichtbaren Stelle wäre ein harter Schlag für das Schicksal der elektrischen Beleuchtung geworden und noch ein stärkerer für das Schicksal des in der Gründung befindlichen Unternehmens, dessen Aktien in kurzer Zeit herausgebracht werden sollten. Das Gelingen wirkte dagegen wie eine besonders wirksame Propaganda. Weitere Privatanlagen entstanden bald in Berlin. Auch eine Straßenbeleuchtung wurde versucht und zwar in der Wilhelmstraße zwischen den Linden und der Leipzigerstraße. Die Wirkung war zumal bei dem am Eröffnungstage herrschenden Schneefall eindrucksvoll. Trotzdem ist das intimere Glühlicht in der Folgezeit bei Straßenbeleuchtungen hinter dem lichtstarken Bogenlicht stets zurückgetreten. In München, wo der Ingenieur Oscar von M i l l e r im Jahre 1882 die erste deutsche Elektrizitätsausstellung veranstaltet hatte, von dem größten Teil der Aussteller aber im Stich gelassen worden war, sprang die Studiengesellschaft entschlossen ein. Sie übernahm fast die ganze Versorgung des als Ausstellungsgebäude dienenden Kristallpalastes mit Elektrizität. Unter ihren Vorführungen erregte besonders die Beleuchtung eines zu diesem Zwecke errichteten kleinen Theaters, in dem Balletts aufgeführt wurden, Bewunderung nicht nur beim Publikum, sondern auch bei Fachleuten. Namentlich faszinierte sie den Intendanten der Kgl. Schauspiele in München so, daß er sogleich einen Vertrag über die Einrichtung der elektrischen Beleuchtung des Residenztheaters, der kleineren der beiden Königlichen Bühnen Münchens, die zur Aufführung von Schauspielen und Spielopern diente, abschloß. Die Grundlage dieses Vertrages
- 57. war, daß die Deutsche Edison Gesellschaft das ganze Risiko des Gelingens oder Mißlingens auf sich nehmen mußte. Oscar v. Miller hatte Rathenau die tatkräftige Hilfe bei der Rettung der gefährdeten Ausstellung nicht vergessen. Rathenau hinwiederum hatte in dem Münchener Ingenieur einen für die Sache der Elektrizität begeisterten, durch Tatkraft und Wagemut ausgezeichneten Mann gefunden, der ihm als Mitarbeiter bei seinem Unternehmen wie kein anderer geeignet erschien. Er bewog ihn daher, in die Deutsche Edison Gesellschaft als Mitdirektor einzutreten, als diese — durch die bisherigen technischen und propagandistischen Erfolge der Studiengesellschaft gut vorbereitet — am 19. April 1883 mit einem Aktienkapital von 5 Millionen Mark gegründet und am 5. Mai desselben Jahres in das Handelsregister eingetragen wurde. Das Bankenkonsortium, das Emil Rathenau zwei Jahre vorher zusammengebracht hatte, hielt ihm trotz mancher Zweifel und Meinungsverschiedenheiten, die sich inzwischen eingestellt hatten, die Treue. Es war ihm sogar, als es an die endgültige Konstituierung des Unternehmens ging, gelungen, eine Erweiterung dieses Konsortiums herbeizuführen, das ursprünglich aus den Firmen Jacob Landau in Berlin, Gebr. Sulzbach in Frankfurt a. M. und der Nationalbank für Deutschland in Berlin bestanden hatte. Einen Überblick über seine Mitglieder gibt der erste Aufsichtsrat der Neuen Edison Gesellschaft, der sich aus folgenden Persönlichkeiten zusammensetzte: Bankier Rudolph Sulzbach in Firma Gebrüder Sulzbach in Frankfurt a. M., Vorsitzender. Ludwig von Kaufmann, in Firma Jacob Landau in Berlin, Stellvertretender Vorsitzender. J. F. Bailey, Administrateur délegué der Compagnie Continentale Edison in Paris. Bankier Edmund Becker, in Firma Becker Co. in Leipzig. Rechtsanwalt Robert Esser II in Köln.
- 58. Kommerzienrat Paul Gaspard Friedenthal in Breslau, in Firma Breslauer Discontobank Friedenthal Co. Stadtrichter Julius Friedenthal in Breslau, Direktor der Breslauer Wechslerbank. Bankier Moritz Guggenheimer, in Firma Guggenheimer Co. in München. Bankier Hermann Köhler, Disponent der Firma Gebrüder Sulzbach in Frankfurt a. M. Konsul Dr. Kunheim, in Firma Kunheim Co. in Berlin. Bankier Hugo Landau, in Firma Jacob Landau in Berlin. Assessor a. D. Dr. Hermann Löwenfeld, Direktor der Nationalbank für Deutschland in Berlin. Bankier Carl Schlesinger-Trier, in Firma C. Schlesinger, Trier Co. in Berlin. Kommerzienrat Wilhelm Wolf in Berlin. Es war also für ein Unternehmen von mäßigem Umfang ein ziemlich mitgliederreiches Kollegium, das im ganzen 14 Köpfe umfaßte. Darin lag insofern eine gewisse Absicht, als man einmal durch einen stattlichen Aufsichtsrat mit Namen von gutem Klang eine gewisse werbende Wirkung auf die Öffentlichkeit und die für eine Aktienbeteiligung in Betracht kommende Kapitalistenwelt erzielen wollte. Ferner hielten es aber auch die hauptsächlich beteiligten Bankfirmen Jacob Landau und Gebr. Sulzbach für notwendig, sich im Aufsichtsrat doppelt vertreten zu lassen, einmal um sich bei den Abstimmungen des Kollegiums den ihnen gebührenden Einfluß zu sichern, andererseits aber auch, um eine möglichst weitgehende Kontrolltätigkeit ausüben zu können. Da der große Aufsichtsrat für eine intensive Beteiligung an den innergeschäftlichen Dingen nicht geeignet war, zweigte man von ihm einen aus 5 Mitgliedern bestehenden A r b e i t s a u s s c h u ß ab, der die Aufgabe hatte, der Direktion bei der Führung der Geschäfte zur
- 59. Seite zu stehen und wohl auch auf die Finger zu sehen. Man war wohl von der Lebenskräftigkeit der Rathenauschen Idee durchaus überzeugt, man schätzte die Energie und die Tüchtigkeit des Direktors auch sehr hoch ein, aber man hielt ihn für zu schlau und zu eigenwillig, um sich ihm rückhaltlos anvertrauen zu können. Es zeigte sich schon hier, und es hat sich in den ersten Jahren der Edison Gesellschaft wiederholt gezeigt, daß das Genie Emil Rathenaus mit dem Kritizismus und dem gelegentlichen Mißtrauen einer kleingeistigen Umgebung manchmal recht schwer zu kämpfen hatte. Von einem großzügigen Verständnis für seine aufs Ganze gerichtete Art und seine hochfliegenden Pläne, das ihm später sein Aufsichtsrat stets entgegenbrachte, war anfänglich noch wenig zu spüren. Man glaubte ihn, in dem man noch immer etwas vom Projektemacher witterte, fest an der Kandare halten zu müssen, und wenn er seinen Willen schließlich auch stets zur Geltung zu bringen wußte, so genügte in den Zeiten, in denen seine Autorität noch nicht über allen Zweifel gefestigt war, doch häufig nicht sein einfaches Wort, um überall Vertrauen zu finden, sondern es waren manchmal laute und stille Kämpfe nötig, zu deren Durchführung es seiner ganzen Zähigkeit bedurfte. Zur Erledigung der kaufmännischen Geschäfte, zum Teil wohl auch zur Überwachung seiner Geschäftsleitung im inneren Betriebe war ihm als Helfer Felix D e u t s c h, der bis dahin in dem der Firma Jacob Landau nahestehenden Strontianitkonsortium und in deren Zuckerinteressen sich bewährt hatte, beigegeben worden. Deutsch hat, ohne daß er darum je nötig hatte, das Vertrauen seiner Auftraggeber zu enttäuschen, doch vom ersten Augenblick an seine Aufgabe so aufgefaßt, daß er mit ihr vornehmlich dem Unternehmen, in dessen Dienste er trat, förderlich war und förderlich sein wollte. Er hat die überragende Bedeutung Emil Rathenaus wie seine moralische Zuverlässigkeit keinen Augenblick verkannt, hat sich redlich Mühe gegeben, einen Standpunkt zu gewinnen, der dem des genialen Mannes ebenbürtig war und es ist ihm sowohl als Helfer und Mitarbeiter Rathenaus, wie später auch schöpferisch in dem ihm ziemlich selbständig überlassenen Kreis der Absatz-Organisation gelungen, eine des Meisters würdige Arbeit zu leisten.
- 60. S e c h s t e s K a p i t e l Die Deutsche Edison Gesellschaft Als die Deutsche Edison Gesellschaft gegründet wurde, verfügte sie keineswegs über eine starke und gefestigte Position. Was ihr an Kapitalmacht zur Seite stand, um ihr über die schwierigen Anfänge hinwegzuhelfen, war trotz mancher gut angesehener Namen, die im Bankenkonsortium vertreten waren, nicht eben hervorragend und geeignet, die junge Gesellschaft gegen die Fährnisse der Konjunkturen und die Bedrohungen durch eine übermächtige Konkurrenz sicherzustellen. Von den damals führenden Großbanken war keine an der Gesellschaft beteiligt. Die Nationalbank für Deutschland, die selbst erst im Jahre 1881 gegründet worden war, verfügte über ein Kapital von 40 Millionen Mark, das aber nur zur Hälfte eingezahlt war, und hatte in den folgenden Jahren mit eigenen Schwierigkeiten genug zu tun. Sie wie auch die Breslauer Diskontobank, die gleichfalls in der Bankengruppe vertreten war, stand unter Landauschem Einfluß. Diese Aktienbanken waren also höchstens als Ableger des Bankierkonsortiums, nicht als weitere unabhängige Finanzquellen zu betrachten und konnten einem jungen industriellen Unternehmen jedenfalls keinen sonderlichen Rückhalt geben. Viel Spielraum zum Experimentieren stand Emil Rathenau also nicht zur Verfügung. Er mußte schnell vorwärtskommen und die Tragfähigkeit seiner Schöpfung beweisen. In der II. Etage des Hauses Leipziger Str. 94, in der Rathenau und Deutsch mit einem Buchhalter und einer Schreibmaschine ihr Heim aufgeschlagen hatten, wurde denn auch mit Hochdruck gearbeitet. Aber nicht nur zu arbeiten galt es, sondern auch zu paktieren und zu diplomatisieren. Zuerst mußten die Verträge mit der Pariser Edison Gruppe einer Revision unterzogen werden, denn es hatte sich erwiesen, daß sie in der Form, wie sie im Jahre 1881 vereinbart
- 61. worden waren, nicht aufrechterhalten werden konnten. Der Plan, neben der Fabrikationsgesellschaft eine besondere Gesellschaft für den Bau von Zentralen zu gründen, wurde fallen gelassen, da Zweifel bestanden, ob eine solche in nächster Zeit auf genügende Aufträge würde rechnen können. Man wollte nicht Kapital in einer besonderen Gesellschaft festlegen, um es etwa nachher brach liegen zu lassen. Es wurde vielmehr der Fabrikationsgesellschaft auch das Baugeschäft übertragen; dafür wurde sie mit einem erhöhten Kapital von 5 Millionen Mark statt dem ursprünglich in Aussicht genommenen von 2 Millionen Mark ausgestattet. Durch diese Art der Finanzierung war ein freieres Disponieren über die zur Verfügung stehenden Gesamtkapitalien ermöglicht. Die französische Edison- Gesellschaft beteiligte sich mit Aktienkapital nicht an dem deutschen Unternehmen. Dagegen erhielt sie 1500 Genußscheine. Weitere 1000 Genußscheine wurden den ersten Zeichnern des Aktienkapitals ausgefolgt. Die Inhaber der 2500 Genußscheine hatten Anspruch auf 35% des nach Zahlung einer Dividende von 6% verbleibenden Gewinnüberschusses. Der mit der französischen Gesellschaft abgeschlossene Vertrag, der in das Statut der Deutschen Edison Gesellschaft aufgenommen wurde, hatte folgenden Wortlaut: R e c h t s v e r h ä l t n i s s e z u d e r C o m p a g n i e E d i s o n i n P a r i s , s o w i e z u H e r r n T h o m a s A l v a E d i s o n u n d d e r E d i s o n E l e c t r i c L i g h t C o m p a n y o f E u r o p e L i m . z u N e w Yo r k . § 35. Die Deutsche Edison Gesellschaft für angewandte Electricität erwirbt von der Compagnie Continentale zu Paris mit Genehmigung des Herrn Thomas Alva Edison und der Edison Electric Light Company of Europe lim. zu New York, unter Anwendung des Art. 209 b des Allgemeinen Deutschen Handelsgesetzbuches das Recht der gewerblichen Ausnützung der in § 3 bezeichneten Erfindungen des Herrn Edison und
- 62. der vorgedachten Electric Light Company und zwar für das gesamte deutsche Reichsgebiet als ausschließliches Recht, insbesondere nachbezeichnete Befugnisse: 1. Das Recht, sämtliche zu den im § 3 dieses Statuts spezialisierten (gleichviel ob patentierten oder nicht patentierten) Edisonschen Verfahren gehörigen Maschinen zu fabrizieren oder auch in den Werkstätten ausländischer Edisonscher Gesellschaften fabrizieren zu lassen, während die Herstellung in sonstigen Fabriken, so lange die Compagnie Continentale besteht, nur mit deren Genehmigung statthaft ist; ferner die gedachten Objekte zu beziehen und zu verkaufen; 2. das Recht, Installationen für Beleuchtungs- und Kraftübertragungszwecke einzurichten oder die hierauf bezüglichen Befugnisse anderen einzuräumen; 3. das Recht, die ad I und II gedachten Gegenstände selbst zu benutzen, sowie deren Benutzung Dritten zu gestatten. Eine andere Gewähr, als die für die gegenwärtige Existenz der Patente wird bezüglich derselben von Herrn Edison, der Edison Electric Light Company und der Compagnie Continentale nicht übernommen. Das Recht der Fabrikation (ad I) erstreckt sich auch auf die bei den elektrischen Bahnen zur Verwendung kommenden Maschinen, Apparate, Utensilien und Materialien, nicht aber auf die Anwendung derselben. Die Gesellschaft ist hinsichtlich ihrer gewerblichen Tätigkeit (§ 3) und hinsichtlich der ihr vorstehend eingeräumten Rechte nur beschränkt durch diejenigen Rechte, welche der Firma Siemens Halske in Berlin laut der am 13. März 1883 zwischen dieser Firma einerseits und dem Herrn Edison und der Edison Electric Light Company, der Compagnie Continentale sowie sonstigen Konsorten
- 63. andererseits abgeschlossenen beiden Verträge eingeräumt sind, wogegen aber auch die Rechte, welche in den gedachten Verträgen dem Herrn Edison, der Electric Light Company und deren Rechtsnachfolgern zugestanden sind, auf die Deutsche Edison Gesellschaft von selbst übergehen, sofern dieselbe spätestens innerhalb 4 Wochen nach ihrer Eintragung in das Handelsregister eine schriftliche Annahmeerklärung zu Händen der Herren Siemens Halske abgiebt. Als Erwerbspreis für die vorstehend beschriebenen Rechte wird an die Compagnie Continentale zu Paris die Summe von Dreihundertfünfzigtausend Reichsmark bar aus dem Vermögen der Gesellschaft bezahlt. Es findet aber eine Amortisierung dieser Summe in der Weise statt, daß die Compagnie Continentale auf die ihr im folgenden § 41 zugebilligten Prästationen so lange verzichtet, bis dieselben den Betrag von 350000 Reichsmark erreicht haben. In dem Maße, in welchem dieser Betrag aus dem Geschäftsbetriebe der Gesellschaft aufkommt, fließt er den Aktivis der letzteren zu, während der Erwerbspreis der dafür gemäß Vorstehendem erworbenen Rechte immer nur mit dem entsprechenden Minderbetrage in die Bilanz eingestellt werden darf, bis er spätestens bei Erreichung der vollen Summe aus den Aktivis gänzlich verschwindet. Neben den vorstehend gedachten 350000 Reichsmark gelten auch diejenigen Vermögensvorteile, welche der Compagnie Continentale sonst in dem gegenwärtigen Statut eingeräumt worden sind (vergl. §§ 12 und 41), als Äquivalente für die gemäß dem Vorstehendem und § 36 erworbenen Rechte. Der Wert der von Herrn Edison, der Edison Electric Light Company und der Compagnie Continentale gemäß diesem Statut (§§ 35, 36) eingeräumten Rechte wird hiermit auf den
- 64. mehrgedachten Betrag von 350000 Reichsmark und die in vorstehendem Alinea bezeichneten Äquivalente festgesetzt. § 36. Die Compagnie Continentale in Paris verpflichtet sich, der Gesellschaft und zwar dieser ausschließlich alle einschlägigen patentierten und nicht patentierten Erfindungen, Verbesserungen und Erfahrungen, welche dem Herrn Edison, der Edison Electric Light Company, oder ihr selbst für elektrische Beleuchtungen und Kraftübertragung bereits zu Gebote stehen oder in deren Besitz Herr Edison, die Electric Light Company oder sie selbst bis zum 15. November 1886 noch gelangen wird, für Deutschland im ganzen Umfange der im § 35 erwähnten Verfahren mitzuteilen, und sie in ihrem Geschäftsbetriebe für Deutschland auf jede Art dergestalt zu unterstützen, daß sie in der Lage ist, die Fabrikation in dem nämlichen Grade der technischen Vollkommenheit auszuführen wie die Compagnie Continentale selbst. Insbesondere soll die Pariser Gesellschaft verpflichtet sein, der Gesellschaft auf deren Kosten geeignete Instrukteure zu stellen. Die Deutsche Edison Gesellschaft ist in allen diesen Beziehungen zur Reziprozität verpflichtet. § 37. Sobald die Gesellschaft in das Gesellschaftsregister eingetragen ist, erhält dieselbe von der Compagnie Continentale diejenigen Vollmachten des Herrn Edison und der Light Company zu New York ausgehändigt, deren dieselbe zur Führung etwaiger, wegen Verletzung der durch diesen Vertrag auf sie zu übertragenden Rechte erforderlichen gerichtlichen und außergerichtlichen Maßnahmen bedürfen wird. Dem Herrn Edison und der Light Company wird hiermit das ihnen laut ihres Vertrages mit der Compagnie
- 65. Continentale vom 15. November 1881 gewährleistete Recht, sich an allen wegen unbefugter Nachahmung der von ihnen patentierten Erfindungen zu führenden Prozessen akzessorisch zu beteiligen, sowie an jedem anderen Rechtsstreit und Verwaltungsverfahren, welcher auf Antrag der Lizenzberechtigten in Gang gebracht werden sollte, ausdrücklich reserviert. § 38. Die Deutsche Edison Gesellschaft übernimmt ihrerseits die Verpflichtung, für den Schutz der in Rede stehenden Edison- Patente auf ihre Kosten Sorge zu tragen, und von jeder zu ihrer Kenntnis gelangenden Verletzung der einschlägigen Patentrechte der Compagnie Continentale in Paris unverzüglich Mitteilung zu machen. Ist zur Inschutznahme der gedachten Patente ein prozessualisches Einschreiten erforderlich, so dürfen Vergleiche hierüber nur mit Genehmigung der Compagnie Continentale abgeschlossen werden. § 39. Die Compagnie Continentale ist verpflichtet, der Gesellschaft an deren Sitz unter der Bedingung der Gegenseitigkeit das erforderliche Aktenmaterial zu dem im § 37 gedachten Zweck jederzeit zur Verfügung zu stellen. § 40. Für den Fall der Auflösung der Gesellschaft, insbesondere für den Fall der Liquidation fallen die derselben übertragenen Patentrechte, soweit sie sich zu jener Zeit noch in Kraft befinden sollten, an die Compagnie Continentale zu Paris unentgeltlich zurück. § 41.
- 66. Außer den in dem § 12 bestimmten Vorteilen, welche die Gesellschaft der Compagnie Continentale eingeräumt hat, ist dieselbe verpflichtet, an die Compagnie Continentale in Paris halbjährlich nach Abschluß der Gesellschafts-Rechnungen folgende Prästationen, zahlbar an die Kasse der letzteren, zu entrichten: a) für jede durch die Deutsche Edison Gesellschaft oder deren Lizenzberechtigte oder durch die Firma Siemens Halske auf Grund des im § 35 erwähnten Vertrages in Benutzung genommene oder verkaufte Lampe, unabhängig von der Lichtstärke derselben 16⅔% des jeweiligen Selbstkostenpreises, zu welchem die Deutsche Edison Gesellschaft ihre Lampen fabriziert oder bei einer auswärtigen Edison Gesellschaft entnehmen wird, keinesfalls aber mehr als 25 Pfennige pro Stück; von dieser Abgabe sind jedoch diejenigen Lampen befreit, welche die Firma Siemens Halske gemäß dem vorgedachten Vertrage, sowie die Deutsche Edison Gesellschaft selbst im Bereiche ihrer eigenen Geschäfts- und Fabrikationsräume verwenden wird; b) eine Abgabe für jede von der Deutschen Edison Gesellschaft oder von der Firma Siemens Halske auf Grund des mehrgedachten Vertrages innerhalb des Deutschen Reiches ausgeführte Glühlampenbeleuchtung; diese Abgabe wird entrichtet für jede in solchen Glühlampen tatsächlich verbrauchte Maschinen-Pferdekraft gleich 75 Kilogrammeter per Sekunde. Die Feststellung dieser in Lampen verbrauchten Pferdekraft hat nach dem elektrischen Maßsystem zu erfolgen; für die ersten 50 hiernach bei einer Anlage in Rechnung kommenden Pferdekräfte beläuft sich die Abgabe auf 12½ Mark pro Pferdekraft, für jede weitere Pferdekraft auf 16 Mark; für außerordentliche Anlagen, die vorübergehend eingerichtet werden, wird diese Abgabe nicht entrichtet. Bei Anlagen gemischter (Glüh- und Bogenlicht-)Beleuchtung wird diese Abgabe nur für die in den Glühlichtlampen verbrauchten Pferdekräfte bezahlt. Die
- 67. Abgaben werden fällig für die von der Gesellschaft selbst in Benutzung genommenen resp. verkauften Lampen und Dynamomaschinen mit Ende des jeweilig laufenden Semesters, für die von der Firma Siemens Halske auf Grund des mehrgedachten Vertrages, sowie von etwaigen Lizentiaten der Gesellschaft benutzten oder verkauften Lampen und Maschinen jedesmal alsbald nach Eingang. Die Deutsche Edison Gesellschaft wird der Compagnie Continentale zu Paris allmonatlich eine Liste der ihrerseits sowie seitens ihrer Lizentiaten oder der Herren Siemens Halske in Deutschland veräußerten zur Glühlichtbeleuchtung verwendbaren Stromerzeugungs-Maschinen unter Angabe der näheren Details zufertigen. Von jeder in Glühlicht verbrauchten Maschinen-Pferdekraft und von jeder Lampe ist jedoch diese Angabe nur einmal zu leisten. § 42. Solange und in so weit die Gesellschaft nicht in der Lage sein wird, die zur Anwendung des Edisonschen Glühlichtsystems nötigen Maschinen, Apparate, Utensilien und Materialien bezw. Teile derselben selbst zu fabrizieren oder durch die Firma Siemens Halske fabrizieren zu lassen, jedoch nicht länger als auf die Dauer eines Jahres, hat die Compagnie Continentale in Paris die zur Anwendung der einschlägigen Edisonschen Verfahren nötigen Maschinen, Apparate, Utensilien und Materialien zum Selbstkostenpreise an die Gesellschaft zu liefern. Eine Ausnahme hiervon bilden die Lampen, welche der Deutschen Gesellschaft zu demselben Preise wie der Compagnie Continentale und der Société électrique zu Paris frei an Bord des Dampfers in New York geliefert werden. § 43.
- 68. Die Compagnie Continentale verpflichtet sich, der Deutsches Edison Gesellschaft die zur Errichtung von Installationen oder auch Zentralstationen erforderlichen Hilfskräfte, insbesondere das technische Personal, auf Kosten der letzteren zur Verfügung zu stellen. § 44. Die Compagnie Continentale wird die Gebühren für die in §§ 3 und 36 erwähnten Patente jedesmal rechtzeitig vor Verfall an das Deutsche Reichs-Patentamt entrichten und die Belege darüber der Deutschen Edison Gesellschaft spätestens einen Monat vor Ablauf der letzten Frist zustellen. § 45. Die Compagnie Continentale in Paris hat das Recht, zwei ständige Kommissarien zur Wahrnehmung ihrer Befugnisse und Interessen der Gesellschaft gegenüber zu bestellen. Diese Kommissarien partizipieren als solche, wenn sie nicht schon Mitglieder des Aufsichtsrats sind, an der Tantieme des letzteren und es stehen ihnen, soweit es sich um die Wahrung der Vertragsrechte der Compagnie Continentale handelt, sämtliche den Mitgliedern des Aufsichtsrats in diesem Statut eingeräumten Revisions- und Kontroll-Befugnisse zu. § 46. Die Bestimmungen dieses Titels können ohne Genehmigung der Compagnie Continentale in Paris nicht geändert werden. * * * Ein Vertreter der Compagnie Continentale Edison in Paris trat in den Aufsichtsrat der Deutschen Edison Gesellschaft ein. Daneben
- 69. wurden noch zwei Kommissare der französischen Gesellschaft bestellt, die die Geschäftstätigkeit des neuen Unternehmens unter dem Gesichtspunkte der Interessenwahrnehmung der Compagnie Continentale zu überwachen hatten. Es waren Herr Louis Rau, administrateur délégué de C. C. E. in Paris und der deutsche Rechtsanwalt und Notar A. Simson in Berlin. Abgesehen von der juristischen Auseinandersetzung mit Edison und den von ihm gegründeten Gesellschaften war aber noch eine schwierigere mit der deutschen Konkurrenz zu bewerkstelligen. Insbesondere erschien es nicht als ratsam, die Tätigkeit ohne Übereinkommen mit der stärksten Konkurrenzfirma S i e m e n s H a l s k e zu beginnen, umsomehr, als die Edisonpatente nicht mehr als unerschütterlich gelten konnten. Es hätten Versuche gemacht werden können, Glühlampen von ähnlicher Beschaffenheit und Güte unter Umgehung der Edisonschen Patente herzustellen und solche Versuche sind auch, je erfolgreicher das neue Licht sich bewährte, und je mehr es sich beim Publikum einführte, in großer Zahl unternommen worden. Wenigstens die leistungsfähigste Elektrizitätsfirma Deutschlands galt es von einem derartigen Vorgehen zurückzuhalten. In einem der ersten Geschäftsberichte der Deutschen Edison Gesellschaft wird von der illegitimen Konkurrenz gesprochen und ihre Erzeugnisse werden als „billig und schlecht“ bezeichnet. Infolge dieser Eigenschaften waren sie vielleicht nicht allzusehr zu fürchten. Etwas ganz anderes wäre es aber gewesen, wenn die Firma Siemens Halske mit ihren reichen technischen Mitteln und ihren großen Erfahrungen in der elektrischen Feinmechanik an die Aufgabe, eine Konkurrenzlampe herzustellen, herangegangen wäre. Dies galt es zu verhindern, und so wurde, noch bevor die Deutsche Edison Gesellschaft sich endgültig konstituierte, gleichsam als eine der Vorbedingungen für ihre rechtliche und wirtschaftliche Lebensfähigkeit ein umfassender Vertrag mit der Firma Siemens Halske abgeschlossen, an dem Edison, die europäischen Edisongesellschaften, das Gründungskonsortium der Deutschen Edison Gesellschaft und die Rechtsnachfolger Edisons, unter denen insbesondere die zu
- 70. gründende Deutsche Edison Gesellschaft namhaft gemacht wurde, als Vertragsgenossen teilnahmen. Nach dem Vertrage verpflichteten sich Siemens Halske, die Edison-Patente nicht anzufechten und zu stören, sondern im Gegenteil alles zu tun, um ihre Aufrechterhaltung zu fördern. Ein damals schwebender Prozeß zwischen Edison und Siemens Halske, bei dem es sich um eine angebliche Verletzung der Siemensschen Dynamomaschinen-Patente durch Edison handelte, wurde bei dieser Gelegenheit durch Vergleich aus der Welt geschafft. Rathenau entschloß sich nicht leicht zu dem Pakt mit der älteren Konkurrenzfirma, zumal er damals wie auch später noch die Empfindung hatte, daß trotz der geschriebenen Verträge eine wirkliche Harmonie, ein ehrliches Vertrauensverhältnis schwer herzustellen sein würde. Aber es blieb ihm tatsächlich kein anderer Ausweg und das Bankenkonsortium forderte wenigstens nach dieser Seite hin gesicherte Verhältnisse. Ein Streit mit der Firma Siemens Halske hätte für das junge Unternehmen, gleich wie er auch juristisch und tatsächlich schließlich ausgelaufen wäre, doch sicher jahrelange Kämpfe und Unruhen mit sich gebracht und wäre jedenfalls die denkbar schlechteste Beigabe für die zielbewußte Arbeit der ersten entscheidenden Jahre gewesen. So kam denn der rechtlich durch die eigenartige Stellung der vielen Kontrahenten zueinander sehr verwickelte Vertrag zustande, der 10 Jahre lang in Geltung bleiben sollte. Die Deutsche Edison Gesellschaft übernahm von Siemens Halske mit der Edison Gruppe geschlossene Patentausnutzungs-Verträge in der Weise, daß Siemens Halske ihre Abgaben nicht an die ausländischen Edison Gesellschaften, sondern an die Deutsche Edison Gesellschaft abzuführen hatten, während diese die Hälfte der ihr so zugeflossenen Beträge ebenso wie ihre eigenen Abgaben an die Pariser Gesellschaft weitergeben mußte. Wirtschaftlich erhielt also die Firma Siemens Halske die Stellung einer Unter-Lizenznehmerin der Deutschen Edison Gesellschaft, wenn sie auch rechtlich direkte Lizenznehmerin der ausländischen Edisongruppe blieb. — Natürlich war für Rathenau diese „Einrangierung“ der Firma Siemens Halske in sein deutsches Glühlampenmonopol nicht ohne Zugeständnisse an das alte Elektrizitätshaus zu erreichen gewesen. Die Übertragung der
- 71. Siemensschen Verträge mit der Pariser Gruppe auf die Deutsche Edison Gesellschaft war nur die e i n e Seite des Vertragskomplexes zwischen den beiden Gruppen. Ein zweiter Teil bestand darin, daß Siemens Halske im Verhältnis der Vertragsgenossen das alleinige Recht erhielten, Maschinen, Apparate und Materialien für Beleuchtungsanlagen nach dem System Edison herzustellen, die sie zu Meistbegünstigungspreisen an die Deutsche Edison Gesellschaft liefern und die diese von Siemens Halske beziehen mußte. Glühlampen und Zubehör durften beide Gesellschaften selbst herstellen. Hinsichtlich ihres Bezuges von Dampf- und Hilfsmaschinen war die Deutsche Edison Gesellschaft nicht auf den Bezug von S. H. angewiesen. Was Bogenlampen anlangt, so sollte die Deutsche Edison Gesellschaft die nach dem System von S. H. gebauten verwenden müssen, sofern nicht Edison eine eigene Lampe erfinden und exploitieren würde. Als Gegenleistung für diese Zugeständnisse verpflichtete sich die Firma Siemens Halske, keine elektrischen Anlagen zu gewerblichen Zwecken (sogenannte Zentralstationen) zu betreiben. Die vertraglichen Abmachungen, die einer Te i l u n g der F a b r i k a t i o n s - u n d I n t e r e s s e n g e b i e t e auf dem Gebiete der elektrischen Beleuchtung zwischen beiden Unternehmungen gleichkamen, wurden dadurch bekräftigt, daß die Firma Siemens Halske der jüngeren Gesellschaft, die für die Propagierung des Edisonlichts eine weitverzweigte und leistungsfähige Absatzorganisation benötigte, ihre eigenen Vertreter in allen Teilen des Deutschen Reiches für diese Zwecke zur Verfügung stellte. — Der für die Entwickelung der Deutschen Edison Gesellschaft so wichtig gewordene Hauptvertrag mit Siemens Halske soll nachstehend gleichfalls in seinen wesentlichsten Bestimmungen wörtlich wiedergegeben werden. § 3. Die Firma Siemens Halske verpflichtet sich für die Dauer des gegenwärtigen Vertrages, die dem Herrn Edison bezw. der Light-Company für das Deutsche Reich erteilten, die elektrische Glühlicht-Beleuchtung betreffenden Patente weder
- 72. mit dem Antrag auf Nichtigkeits-Erklärung noch sonst anzufechten; sie ist im Gegenteil gehalten, tunlichst dahin mitzuwirken, daß diese Patente in ihren wesentlichen Teilen aufrechterhalten und hinsichtlich ihrer gesetzlichen Wirkung allseitig beachtet bleiben. Dagegen räumen Herr Edison, die Light-Company, die Continentale und das Konsortium hierdurch der Firma Siemens Halske für das Deutsche Reich auf die Dauer des gegenwärtigen Vertrages das Recht ein, den Gegenstand der durch die vorbezeichneten Glühlicht-Patente geschützten Erfindungen uneingeschränkt gewerbsmäßig herzustellen, herstellen zu lassen, in Verkehr zu bringen und feilzuhalten. Die Kontrahenten zu 2. bis 7. entsagen demgemäß für sich und ihre Rechtsnachfolger dem Recht, selbst oder durch ihre Agenten oder sonstigen Vertreter der vorbeschriebenen Ausnutzung der Glühlicht-Patente von Seiten der Herren Siemens Halske, sei es im Rechtswege, sei es in irgend einer anderen Weise ein Hindernis entgegenzusetzen, während die letzteren als Entgelt hierfür, sowie für die weiteren ihnen in diesem Vertrage von dem anderen Teile eingeräumten Vorteile die Verbindlichkeit übernehmen, nach näherer Maßgabe der §§ 4 und 6 eine Abgabe a) für die Verwendung der Glühlicht-Lampen und ihrer akzessorischen Teile zur Beleuchtung, b) für die Veräußerung solcher Lampen zu entrichten. § 4. ..... Diese Abgabe wird entrichtet für jede in den Glühlampen tatsächlich verbrauchte Pferdekraft (= 75 Kilogrammeter per 1 Sekunde). Die Feststellung dieser in den Lampen verbrauchten Pferdekraft hat nach dem elektrischen Maß-System zu erfolgen. Es wird vorbehalten, künftig eine
- 73. möglichst einfache und sichere Art der Erhebung dieser Abgabe zu vereinbaren. Für die ersten fünfzig hiernach bei einer Anlage überhaupt in Rechnung kommenden Pferdekräfte beläuft sich die Abgabe auf 25.— Mark pro Pferdekraft, für jede weitere Pferdekraft auf 32.— Mark. Für außerordentliche Anlagen, die vorübergehend eingerichtet werden, wird diese Abgabe nicht entrichtet. ..... Von Stromerzeugungsmaschinen, welche die Herren Siemens Halske veräußern, ohne selbst oder durch ihre Agenten oder Monteure die Installation auszuführen, haben sie eine Abgabe nicht zu entrichten. § 5. Die Herren Siemens Halske entsagen für die Dauer des gegenwärtigen Vertrages dem Recht, permanente Anlagen mit dem gewerblichen Zweck der Abgabe von Licht gegen Bezahlung des Licht-Verbrauchs zu betreiben. Dieser Verzicht umfaßt unbedingt jede Anlage, aus welcher jedermann Licht beziehen kann, betrifft indessen nicht den Betrieb solcher Anlagen, bei welchen das Eigentum der Anlagen innerhalb eines Zeitraumes von längstens 6 Jahren auf den resp. die Licht-Konsumenten übergeht, auch wenn solche bis zum Eigentumsübergang als Lichtlieferungsanstalten angesehen werden könnten, und ferner nicht den Betrieb solcher Anlagen, welche nur dem Zweck der in § 4 erwähnten vorübergehenden Beleuchtungen dienen. § 6. Auf jede Glühlampe, welche die Herren Siemens Halske im Deutschen Reich anwenden oder zum Zweck der Anwendung im Deutschen Reich veräußern, ausschließlich jedoch aller derjenigen Lampen, welche sie von Herrn Edison oder dessen Rechtsnachfolgern beziehen, und ausschließlich derjenigen, welche sie im Bereich ihrer eigenen Fabrikations- und Geschäftsräume verwenden, werden die Herren Siemens
- 74. Halske — in besonderer Anerkennung der Verdienste des Herrn Edison in der Erfindung und Durchführung der Glühlicht-Lampe — an diesen beziehungsweise an den von ihm jeweilig als empfangsberechtigt bezeichneten Rechtsnachfolger eine Abgabe entrichten. Die dieser Abgabe unterliegenden Lampen werden von den Herren Siemens Halske bei der Fabrikation durch ein besonderes Merkmal kenntlich gemacht werden. Ein ähnliches Merkmal wird auch seitens der künftigen Deutschen Edison Gesellschaft bei den von ihr in Deutschland in Verkehr gebrachten Lampen angewendet werden. Die Abgabe wird unabhängig von der Lichtstärke der Lampen festgesetzt auf 33⅓% (dreiunddreißig ein Drittel Prozent) des jeweiligen Selbstkostenpreises, zu welchem die Lampen in der Fabrik der Light-Company zu New York resp. in derjenigen Fabrik, der die künftige Deutsche Edison Gesellschaft die Mehrzahl ihrer Lampen entnimmt, hergestellt werden und welchen Herr Edison bezw. seine Rechtsnachfolger halbjährig nach Semestral-Abschluß der Bücher den Herren Siemens Halske mitteilen werden. Die Abgabe pro Lampe darf indessen in keinem Falle den Betrag von 50 Pf. (fünfzig Pfennig) übersteigen. Das Minimum des Preises, zu welchem Herr Edison und seine Rechtsnachfolger die Glühlampen in Deutschland verkaufen dürfen, soll der jeweilige Selbstkostenpreis der Fabrik der Light-Company zu New York oder derjenigen Fabrik, der die künftige Deutsche Edison-Gesellschaft die Mehrzahl ihrer Lampen entnimmt, unter Zurechnung eines Gewinnaufschlages von 33⅓% sein, auch wenn und wo ein Rabatt gewährt wird. Die so festgesetzte untere Preisgrenze ist für die Herren Siemens Halske gleichfalls verbindlich. § 7. Die Abgabe (§ 6) wird nicht gezahlt für alle Glühlampen, welche die Herren Siemens Halske von Herrn Edison
- 75. beziehungsweise der ins Leben zu rufenden Deutschen Aktien-Gesellschaft (§ 1) oder seinen sonstigen Rechtsnachfolgern erwerben. Im Geschäftsverkehr zwischen diesen und den Herren Siemens Halske werden den letzteren vielmehr, unbeschadet etwaiger künftiger Verständigung über weitergehende Vergünstigungen, mit Rücksicht auf die vertragsmäßigen Gegenleistungen der Herren Siemens Halske folgende Vorzugs-Verkaufspreise zugesichert: a) Auf Glühlampen bis zu 16 Kerzenstärken erhalten die Herren Siemens Halske einen Rabatt von 25% (fünfundzwanzig Prozent) des Preiskourant-Satzes, mindestens aber einen Rabatt, der den irgend einem anderen Abnehmer in Deutschland gewährten um wenigstens 10% des Preiskourant-Satzes übersteigt. b) Wird der Preiskourant-Satz der vorbezeichneten Lampen für Deutschland loko Berlin unter 4 Mark herabgesetzt, so erhalten die Herren Siemens Halske die Lampe zu einem Preise, der um mindestens 5% niedriger ist, als der irgend einem anderen Abnehmer in Deutschland bewilligte. Stellt sich der so normierte Preis höher als der nach Litt. a) von einem Preis von 4 Mark oder mehr berechnete, so sind die Herren Siemens Halske berechtigt, die Lieferung zu diesem letzteren Preise zu fordern. c) Auf Glühlampen von mehr als 16 Kerzenstärken erhalten die Herren Siemens Halske auf den Preiskourant-Satz einen Rabatt, welcher den irgend einem anderen deutschen Abnehmer gewährten um wenigstens 5% des Preiskourant-Satzes übersteigt. Die Herren Siemens Halske sind befugt, selbstverfertigte oder von Dritten bezogene Lampen — unter Einhaltung der in § 6 am Ende gezogenen unteren Preisgrenze — zu einem ihnen beliebigen Preise zu verkaufen, während sie die von Herrn Edison bezw. dessen Rechtsnachfolgern, das heißt ohne Leistung einer Abgabe bezogenen Lampen nicht unter dem Edisonschen Preiskourant-Satz und nicht mit einem höheren, als dem auf diesen Edisonschen Preiskourantsatz Dritten gewährten Rabatt weiter veräußern dürfen.
- 76. § 8. Herr Edison und die Kontrahenten zu 3. bis 7. entsagen mit Rücksicht auf die vertragsmäßigen Gegenleistungen der Herren Siemens Halske für sich und alle ihre Rechtsnachfolger in der Ausnutzung der Edison-Patente, zu Gunsten der Herren Siemens Halske, dem Rechte, Maschinen, Apparate und Materialien anzufertigen, welche bei ihren Anlagen in Deutschland für elektrische Beleuchtung zur Verwendung kommen. Ausgenommen von vorstehender Entsagung bleiben: a) Glühlampen, b) sockets (Lampenhalter), c) safety-catches (Sicherheitsausschalter), d) commutators (Umschalter), e) alle solche Gegenstände, welche die Herren Siemens Halske selbst, nachdem sie solche eingekauft, ohne Bearbeitung weiter verkaufen würden, als blanke Drähte, Porzellan-Isolatoren und dergl., f) Dampfmaschinen oder sonstige Motoren, Dampfkessel und Hilfsmittel für Betriebskraft, g) Kandelaber und Befestigungsteile für die Anbringung der Lampen. In der Anschaffung und Anfertigung ihres Bedarfs an Gegenständen der Kategorien zu a) bis g) sind Herr Edison und seine Rechtsnachfolger nicht beschränkt. Dagegen verpflichten sie sich, gleichfalls aus der oben gedachten Rücksicht, alle sonstigen nachstehend unter 1. bis 4. einschließlich aufgeführten Gegenstände unter folgenden Modalitäten ausschließlich von den Herren Siemens Halske fabrizieren zu lassen und zu beziehen, und zwar: 1. Stromerzeugungs-Maschinen nach Edisonschen Modellen, welche die Herren Siemens Halske zu fabrizieren und zu Preisen
- 77. zu liefern haben, die für innerhalb Berlin zur Installation gelangende Maschinen unverpackt franko Ausstellungsort in Berlin, für andere Maschinen einschließlich der Verpackung und franko Bahnhof Berlin die Ausgangspreise nicht übersteigen, zu denen die Société industrielle et commerciale Edison in Paris die gleichen Typen jeweilig franko Bahnhof Paris einschließlich der Verpackung abgibt. Für die innerhalb des ersten Fabrikationsjahres, von dem Zeitpunkte ab gerechnet, mit welchem die Verpflichtung der Herren Siemens Halske zur Fabrikation beginnt oder zu welchem tatsächlich Bestellungen erfolgt und akzeptiert sind, ausgeführten Lieferungen darf jedoch der Preis der Herren Siemens Halske den vorbeschriebenen Pariser Preis um 5% übersteigen; 2. Conductoren Edisonscher Spezialkonstruktion, boites de jonction und T-Stücke, sowie alle übrigen hier nicht besonders aufgeführten, zu dem Edisonschen Leitungssysteme gehörenden Gegenstände, welche die Herren Siemens Halske verpackt loko Berlin Bahnhof bezw. unverpackt loko Berlin franko Aufstellungsort zu Preisen zu liefern haben, die denjenigen Preis nicht übersteigen, zu welchem die Société industrielle et commerciale Edison in Paris diese Gegenstände inklusive Verpackung franko Pariser Bahnhof abgibt. 3. Kabel zur Glühlicht-Beleuchtung und Bogenlicht-Beleuchtung, die Spezial-Konstruktionen der Firma Siemens Halske sind, welche die Herren Siemens Halske zu liefern und loko Fabrik ausschließlich der Verpackung mit einem Rabatt zu berechnen haben, der den irgend einem anderen deutschen Abnehmer in derselben Rechnungsperiode gewährten Rabatt um 5% des Lieferungspreises übersteigt. 4. Leitungsdrähte für die Installation im Innern der Gebäude, welche Herr Edison und seine Rechtsnachfolger gleichfalls vorzugsweise von den Herren Siemens Halske beziehen sollen, sofern und solange diese Firma jene Gegenstände unter den gleichen Bedingungen, insbesondere in gleicher Qualität, zu dem nämlichen oder einem geringeren Preise und innerhalb der gleichen Lieferungszeiten liefert, als zu welchen dieselben loko Berlin von einem anderen Lieferanten bezogen werden können. ..... Die Verpflichtung der Herren Siemens Halske, Maschinen etc. unter obigen Bedingungen zu liefern, beginnt sechs Monate nach Vollziehung dieser Vertrages.
- 78. ..... Im Fall die Herren Siemens Halske eine Kündigung des Vertrages ausgesprochen haben, werden Herr Edison und seine Rechtsnachfolger — in besonderer Anerkennung der Verdienste des Herrn Dr. Werner Siemens und der von ihm geleiteten Firma in der Erfindung und Durchführung der Dynamo-Maschine — für die Dauer des gegenwärtigen Vertrages von jeder solchergestalt in ihren eigenen Werkstätten angefertigten Maschine an die Herren Siemens Halske eine Abgabe entrichten. Diese Abgabe wird festgesetzt auf 5% (fünf Prozent) desjenigen Preises, welcher den Herren Siemens Halske für eine stromerzeugende Maschine der betreffenden Type zuletzt tatsächlich gezahlt ist, bezw. — bei neuen Typen — nach dem Obigen (siehe Nr. 1 etc.) zu zahlen sein würde. § 11. Herr Edison und seine Rechtsnachfolger entsagen mit Rücksicht auf die vertragsmäßigen Gegenleistungen der Herren Siemens Halske für Deutschland dem Recht, bei Bogenlicht-Beleuchtungen irgend ein anderes System als dasjenige der Herren Siemens Halske oder ein von Herrn Edison selbst erfundenes zu exploitieren und den zu Bogenlicht-Beleuchtungen gebrauchten Zubehör aus einer anderen Bezugsquelle als von den Herren Siemens Halske zu entnehmen, unbeschadet der im § 8 bestimmten Ausnahmen. Nur Kohlenstäbe fallen nicht unter diese Vereinbarung (§ 9 in fin.). * * * Das Abkommen zwischen der Deutschen Edison Gesellschaft und Siemens Halske hatte für beide Teile seine Vorteile und Nachteile. Für die ältere Firma, deren weitverzweigter Geschäftskreis dadurch nur in einem, überdies ziemlich weit an der Peripherie gelegenen
- 79. Teile berührt wurde, hatte es zunächst mehr die Bedeutung eines Ausgleichs über ein neues, den alten Geschäftsstamm ergänzendes Zukunftsgebiet, keineswegs die Tragweite einer Teilung bisherigen Alleinbesitzes mit einem neu hinzukommenden Konkurrenten. So wurde es wenigstens damals von den Leitern der Firma S. H. aufgefaßt. Auf diesem neuen Gebiete, dem der Lichtelektrizität, sicherte man sich das Recht, die beste damals vorhandene Glühlampe zu produzieren. Die der Deutschen Edison Gesellschaft gegenüber höhere Lizenzgebühr nahm man in den Kauf, glaubte diesen Nachteil aber dadurch hinlänglich ausgeglichen zu haben, daß man das ausschließliche Recht, Maschinen und Materialien für Beleuchtungszwecke nach dem Edisonschen System herzustellen und dazu einen bedeutenden Pflichtabnehmer für diese Fabrikate sowie für die eigene Bogenlampenkonstruktion gewann. Der Verzicht auf die sogenannten „Konzessionen“, das heißt das Recht, Zentralstationen zur Erzeugung und gewerblichen Abgabe von Lichtstrom für eigene Rechnung zu errichten, fiel der Firma Siemens Halske damals nicht schwer. Sie hielt diesen Zentralenbau in eigener Regie für etwas Unsolides, mit dem Odium der Gründerei Behaftetes und hätte — wenigstens zu jener Zeit — wohl auch ohne diese Bindung nicht an die Errichtung solcher Stationen gedacht. Der ganze Vertrag war für die Firma insofern wertvoll, als er ihr die Möglichkeit bot, die neue Konkurrenz, deren Kapitals- und Industriekraft ihr gewiß nicht ebenbürtig war, deren Unternehmungslust aber sehr groß und lebhaft zu sein schien, auf ein Sondergebiet, das der Glühlampenbeleuchtung, zu beschränken. Für die Deutsche Edison Gesellschaft waren manche der einschränkenden Bedingungen — darüber war sich Emil Rathenau schon damals nicht im Unklaren — hemmend, wenngleich nicht so sehr für die nächste Zeit, die auf dem gewählten Sondergebiet vorerst mehr als genug Arbeit bot, als für die weitere Entwickelung. Dafür erwarb die junge Gesellschaft aber ein Rechtsmonopol für Glühlampen Edisonschen Systems in Deutschland, schaltete die stärkste Konkurrenz auf dem wichtigen Zentralenbaugebiet aus und hatte die Gewähr, diejenigen Hilfsanlagen, die sie selbst nicht herstellen durfte, von der leistungsfähigsten Fabrikationsfirma zu
- 80. günstigen Preisen geliefert zu erhalten. Schließlich war die enge Geschäftsverbindung mit dem großen Hause Siemens Halske für den geschäftlichen Ruf eines neu gegründeten Unternehmens an sich, ganz unabhängig von dem Inhalt der Verträge, wertvoll genug. Sie hob es über die Fährnisse und Unsicherheiten der Vertrauensfrage Abnehmern und Aktionären gegenüber mit einem Schlage soweit hinaus, wie dies sonst nur durch jahrelange gute Leistungen und Erträgnisse möglich gewesen wäre, und gab ihm von vornherein den Rahmen der Ernsthaftigkeit und industriellen Bedeutung. Eine Gesellschaft, die Siemens Halske eines Interessenteilungs-Vertrages für würdig hielten, mußte — so wird man sich damals gesagt haben — doch eine ernsthafte Grundlage besitzen, und der „Vertrag mit Siemens, der Rathenau an Händen und Füßen fesselte“ — so drückte sich ein bekannter Finanzmann aus — „war für das junge Unternehmen nichtsdestoweniger ein Glück, weil es eben ein Vertrag mit Siemens war.“ Nach Erledigung dieser rechtlichen und vertraglichen Grundkonstruktionen konnte sich die neue Verwaltung mit Intensität ihrer industriellen Arbeit widmen. Dabei war sie sich durchaus der Tatsache bewußt, daß das neue Beleuchtungssystem in seiner praktischen Anwendung und Handhabung noch nicht völlig über die Periode der Versuche und Kinderkrankheiten hinausgewachsen war. Rückschläge und Mißerfolge — namentlich in der Hand von ungeübten Unternehmern — waren leicht möglich, und hätten der Volkstümlichkeit der jungen Beleuchtung schweren Schaden bringen können. In der ersten eigenen Blockstation, Friedrichstraße 85, von der aus man die umliegenden Häuser und Etablissements mit elektrischem Licht speiste, mußten die Ingenieure der Gesellschaft, darunter Rathenau und Oscar v. Miller, noch immer persönlich scharfen Überwachungsdienst leisten, damit die Maschinen in richtigem Gang blieben, und wenn doch einmal, was gar nicht so selten vorkam, die elektrische Beleuchtung plötzlich erlosch, mußten die Gäste im Café Bauer, das zu den Abnehmern jener ersten Station gehörte, mit guter Laune über die unangenehme Situation
- 81. hinweggebracht werden, eine Aufgabe, die allerdings — wie Oscar v. Miller humorvoll zu erzählen pflegte — bei den Kollegen am wenigsten begehrt war. Hatte die Deutsche Edison Gesellschaft schon selbst trotz ihrer besonderen Erfahrungen auf dem Gebiete des Glühlampen-Lichts mit derartigen Schwierigkeiten zu kämpfen, so mußte sie sich die Lizenzanträge, die ihr in großer Zahl zugingen, doppelt und dreifach daraufhin ansehen, ob die Firmen, von denen sie ausgingen, die erforderliche technische Gewähr für zuverlässige Ausführung boten. In ihrem ersten Geschäftsbericht hebt die Edisongesellschaft ausdrücklich hervor, daß sie unter Verzicht auf den durch unbeschränkte Lizenzerteilung zu erzielenden Nutzen unter dem Schutz der deutschen Edison-Patente nur Firmen vereinigen dürfe, die durch ihre bisherigen Leistungen und durch ihre bevorzugte Stellung in der Industrie dem Publikum genügende Sicherheit für sorgfältige Installation und Garantien dafür boten, daß sie nicht auf Kosten der Qualität eine Preiskonkurrenz herbeiführen würden. Infolge dieser vorsichtigen Verkaufspolitik wurden im ersten Geschäftsjahre nur mit der Firma J. Schuckert in Nürnberg und der Firma Heilmann, Ducommun Steinlen in Mülhausen Lizenzverträge abgeschlossen, nach denen sie gegen Erstattung gewisser Abgaben und gegen die Verpflichtung, die Lampen ausschließlich von der Deutschen Edison Gesellschaft zu beziehen, zur Benutzung der Edisonschen Patente berechtigt waren. Trotz dieser selbstgewählten Beschränkung waren bei Ablauf des ersten im ganzen noch nicht 8 Monate umfassenden Geschäftsjahres der Gesellschaft in Deutschland bereits 138 Dynamomaschinen mit mehr als 12000 Lampen unter dem Schutze der Edisonschen Patente in Tätigkeit. Die ersten Maschinen, Apparate usw. mußten noch von ausländischen Edison-Gesellschaften bezogen werden, da die Firma Siemens Halske nicht sofort mit der Lieferung von Edison- Maschinen beginnen konnte, sondern erst umfassende Vorbereitungen für die Produktion treffen mußte. Hierbei trat denn die Mangelhaftigkeit der Edisonschen Original-Maschinen klar zutage. Eisenteile zerbrachen häufig, die Widerstände waren falsch berechnet. Kurz, die Deutsche Edison Gesellschaft hatte mit diesen Maschinen viel Ärger. Schon in kurzer Zeit gelang es der Firma
- 82. Siemens Halske aber dank ihrer ausgezeichneten und geschulten Kräfte und der reichen Mittel, die ihr zur Verfügung standen, sich der übernommenen Aufgabe in so vollendeter Weise zu entledigen, daß die Deutsche Edison Gesellschaft ihren Bedarf ausschließlich in ihren Werkstätten decken konnte. Für die Herstellung von Antriebsmotoren zum Betriebe der Dynamomaschinen, bei deren Bezug die Gesellschaft nicht an S. H. gebunden war, entwarf die Edison-Gesellschaft, nachdem es sich herausgestellt hatte, daß die zu verwendenden Motoren die bisherigen Ansprüche überstiegen, Spezialkonstruktionen, die nach ihren Anweisungen von einer Berliner Maschinenfabrik hergestellt wurden. Auch hier ging es nicht ohne Fehlschläge ab. Für die Herstellung von Glühlampen, die den wesentlichsten Teil der neuen Beleuchtung bildeten, richtete die Gesellschaft dagegen eigene Fabrikationsanlagen auf Grund der in Amerika und Frankreich gemachten Erfahrungen ein; die Erzeugungsfähigkeit der Fabrik wurde auf zunächst 150000 Lampen jährlich bemessen und im ersten Geschäftsjahre — in einer Verkaufszeit von 6 Monaten — wurden 25000 Stück abgesetzt. An größeren Installationsaufträgen waren u. a. auszuführen: Die endgültigen Beleuchtungsanlagen in den beiden Münchener Königlichen Theatern, dem Residenztheater und dem Opernhaus, und eine Anlage in dem neuen Königlichen Residenztheater zu Stuttgart. Im ganzen wurden 27 Anlagen mit 33 Maschinen hergestellt, unter deren Bestellern sich Maschinen-, Zucker- und Papierfabriken, Spinnereien, Webereien, Geschäftshäuser und Restaurants befanden. Dabei leisteten Felix Deutsch seine Beziehungen namentlich zur Zuckerindustrie gute Dienste. Auch hier waren die Ergebnisse aber zunächst keineswegs so befriedigend, wie man das erhofft hatte. Abgesehen von den Störungen, die durch die anfänglich gelieferten schlechten amerikanischen Maschinen hervorgerufen wurden, konnten sich die Kunden auch nur schwer an die sogenannten „Schnelläufer“ gewöhnen, die mit den 300 Touren, die sie in jener Zeit liefen, für damalige Begriffe ein Höllengeräusch machten. In eigenem Betrieb wurde die kleine von der Versuchsgesellschaft übernommene Zentralstation ausgebaut, die von dem Grundstück des Unionklubs in der Schadowstraße diesen
- 83. Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a vast collection of books, ranging from classic literary works to specialized publications, self-development books, and children's literature. Each book is a new journey of discovery, expanding knowledge and enriching the soul of the reade Our website is not just a platform for buying books, but a bridge connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system, we are committed to providing a quick and convenient shopping experience. Additionally, our special promotions and home delivery services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading. Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and personal growth! ebookultra.com