0. problemas de algebra

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS AREA DE ÁLGEBRA
PROBLEMAS DE ALGEBRA
1
EL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS, PREOCUPADO POR MEJORAR EL
NIVEL ACADEMICO DE SUS ESTUDIANTES, PONE A DISPOSICION DE LOS CURSOS
DE NIVELACION, UN CONJUNTO DE PROBLEMAS QUE TIENEN RELACION CON
LOS DIFERENTES TEMAS QUE SE ABORDAN EN LA ASIGNATURA DEL ALGEBRA.
ESTOS PROBLEMAS PUEDEN SER UTILIZADOS, A FIN DE ADQUIRIR MAYORES
HABILIDADES Y DESTREZAS EN LA RESOLUCION DE LOS MISMOS, ADEMÁS
SERVIRAN PARA RESOLVERLOS EN CLASES, COMO DEBERES, Y APLICABLES A
PRUEBAS DE EVALUACION.
A LOS DOCENTES QUE REQUIERAN AYUDA Y SUGERENCIAS PARA LA
RESOLUCION DE ESTOS PROBLEMAS, DIRIGIRSE A LA SIGUIENTE DIRECCION
ELECTRONICA woceron@espe.edu.ec
CONTENIDO:
1. LOGICA MATEMATICA
2. TEORIA DE CONJUNTOS
3. REPASO DE ARITMETICA
4. POLINOMIOS
5. EXPRESIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
6. INECUACIONES
7. SISTEMAS DE INECUACIONES
8. ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
9. ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICAS
10. ECUACIONES CON RAICES RACIONALES E IRRACIONALES
11. ECUACIONES IRRACIONALES DE SEGUNDO GRADO
12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
13. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
14. FRACCIONES PARCIALES
15. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
16. INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
17. NUMEROS COMPLEJOS
18. RELACIONES Y FUNCIONES
19. DOMINIO DE FUNCIONES
20. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
21. CODOMINIO DE FUNCIONES
22. COMPOSICION DE FUNCIONES
23. INVERSA DE UNA FUNCION
24. PARIDAD DE UNA FUNCION
25. MONOTONIA DE UNA FUNCION
26. GRAFICA DE UNA FUNCION
27. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS
28. EXPRESIONES DADAS PARAMETRICAMENTE
29. EXPRESIONES DADAS EN COORDENADAS POLARES

2
1. LÓGICA MATEMÁTICA
1. Clasifica los siguientes enunciados: Proposición, Enunciado abierto o enunciado cerrado
I) 35 – 17 = 18 (……) II) 2 + 5 > 3 (………)
III) ¿Estudias Matemática? (……) IV) 9 es número primo (………)
V) ¡Eres grande Perú! (……) VI) 27 - x = 40 (………)
2.- Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) Quito es la capital del Ecuador y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur.
b) Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5
c) 24 es un número par y 42 es un número impar
d) Si Bolivia limita con el Perú, entonces Perú limita con Chile.
3.- Formalice las siguientes proposiciones
a) Si ella no viene entonces nos vamos al cine
b) Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro
c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder
ejercer la docencia
d) Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no
has perdido el tiempo"
e) Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las
doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al
mediodía
f) Si te cuesta entender las cosas , pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes
g) Estudio Álgebra si y solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio Aritmética
h) Roxana estudia o trabaja, pero si no estudia entonces trabaja. En consecuencia , Roxana no
trabaja hoy no es lunes.
i) Es falso que, estudie y no voy al cine
4.- Dada las siguientes premisas:
p: Hoy es feriado
q: Mañana es día laborable
r: Voy a clase
Formaliza la proposición: “No es verdad que, Hoy sea feriado y que no asista a clase. Por lo tanto
voy a clase.
5.- Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
a) )()( pqqp  b) )()( qpqp  c) )()( qpqp 
d) )( pqp  e) )( pqp  f) qqp  )(
g) )()( qpqp  h) )()( pqqp  i) qpqp  )]([

3
j) )()( qpqp  k) pqp  )( l)   qqp 
6.- Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas
moleculares:
a) [(p Λ q) → q] v p d) ~ (p v q) Λ p
b) (p → q) v p e) [ (p → ~ q) Λ p] → ~ q
c) p → (p Λ q) f) ~ p v ~ (p v q)
7.- Decir si la siguiente proposición es tautología, contingencia o contradicción:
~ (p V q)  (~p Λ ~q)
8.- Si la proposición: p  (~p V q), es falsa indicar el valor de verdad de la proposición:
(p V q)  [ p Λ (p q) ]
9.- Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, halle el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
a) p V ( p → q ) c) p Λ ( p→ q )
b) ( p V q ) → p d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]
10.- Si p=V, q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:
a) (p Λ q) → (~ p V r) c) p Λ q → r e) (p ↔~ q) → r
b) ~r Λ [p →( r V q ) ] d) )[(p Λ q) → (q Λ r )] ↔ ~p f) (~ p V q) →(~ r Λ q)
11.- a) Si la proposición p → (~ p V q) es falso, determine el valor de verdad de: ~ (p V q)
b) Si la proposición ( p Λ q ) → ( q → r) , es falsa determine el valor de : p V r
12.- Determine su valor de verdad:
a) Si p es verdadera determinar el valor de verdad de ~p → q
b) Si p es falsa p v q
c) Si p es falsa, entonces ~p q es
d) Si la proposición (p ^ q) → r es falsa, determina el valor de las proposiciones:
13.- Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la siguiente
información:
[(p v q ) ^ ~q]→q es falsa y [(~p ^ ~q ) → q ] ^ (p v q ) es verdadera
rqpd
qrpd


)(2.
)(1.
)()(4.
)(3.
pqprd
rqpd



4
14.- Simplifica los siguientes esquemas moleculares aplicando las leyes del álgebra proposicional:
15. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o Indeterminaciones
(contingencias)?
a) Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no
estoy loco.
b) Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no
tengo razón.
c) A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar Equivocado. Por
tanto, estoy equivocado.
d) Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si tú eres un loco,
tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo tiempo.
e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada,
no le dan torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le
dan torta.
f) A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar equivocado.
Por tanto, estoy equivocado
16.- Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las leyes del álgebra proposicional y
construyendo tablas de verdad:
17.- Valida el siguiente argumento lógico:
La parada militar no se realizará en Ambato porque Salcedo bloquea la panamericana sur
Lo colegios emblemáticos amenazan con protestas en contra del gobierno
Salcedo no bloqueará la panamericana sur
Por lo tanto, La parada militar se realizará en Ambato
18.- Valida la siguiente inferencia lógica:
Si el gobierno suspende el estado de emergencia entonces Pedernales vuelve a la calma
Los dirigentes de Pedernales tienen intereses electoreros
Pedernales no vuelve a la calma
Por lo tanto, El gobierno no suspende el estado de emergencia
19.- Valida el siguiente argumento lógico:
Si no se realiza el estudio técnico entonces el aeropuerto de Loja va

5
No se realiza el estudio técnico porque los lojanos protestan
Los lojanos no protestan
____________________________________________________________
Por tanto, el aeropuerto de Loja no va
20.- Valida la siguiente inferencia lógica:
Los ministros no comunican al pueblo sobre las obras del gobierno dado que son mudos. No es
cierto que, los ministros sean mudos porque con frecuencia son entrevistados en los medios de
comunicación. Por tanto, los ministros no son mudos.
21.- Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones, función proposicional.
a) El pisco es peruano
b) 3 es un número racional
c) ¡Viva el Perú!
d) Un triángulo es un polígono de tres lados
e) x es hermano de y
f) 28 < 15
g) ¿Te gusta la Matemática?
h) El es arquitecto
i)
2
1
8
2
236








j) Tenga calma ,no se impaciente
k) 9x + 3 = 12 , x R
l) 18 es múltiplo de 3
m) 1
, 
 xxRx
n) x es Ingeniero y Juan es Matemático
o) 1.
3
1
/ 





 xQx
p) Los cuadriláteros tienen 3 lados
q) 3x – 8 > 15 , x  R
r) x + y 15 , x , y  R
s) 2x + 5 > 11, x  R
t) 3x + 7 = 11, x N
u) x es un animal
22.- Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
0,.)
4,)
07/)
21,)
2
2




xxSid
xQxc
xNxb
xNxa
09/)
2
2
4
/)
1
/)
1,)
2
2
1
0








xRxh
x
x
x
Rxg
x
xRxf
xRxe

6
23.- Para cada uno de los siguientes argumentos enuncie la regla de inferencia mediante la cual se
sigue la conclusión.
a. 1) (P ∧ Q) → R b. 1) ∼ (P ∧ ∼ Q) → (P → Q)
∴ (P ∧ Q) → (P ∧ Q) ∧ R 2) (Q ↔ P) → ∼ (P ∧ ∼ Q)
∴ (Q ↔ P) → (P → Q)
24.- Cada una de las siguientes es una prueba formal de validez del argumento indicado. Enuncie la
justificación de cada renglón que no sea una premisa de la prueba.
1 1) A ∧ B
2) (A ∨ C) → D
3) A
4) A ∨ C
5) D____
∴ A ∧ D
2 1) Q → R
2) ∼ S → (T → U)
3) S ∨ (Q ∨ T)
4) ∼ S
5) T → U
6) (Q → R) ∧ (T → U)
7) Q ∨ T
________
∴ R ∨ U
25.- Construir una prueba formal de la validez de cada uno de los siguientes argumentos:
1. 1. ∼ (P ∨ ∼ R) ↔ ∼ P ∧ R 2 1. ∼ T ∨ ∼ S
2. Q ∨ P 2. ∼ Q → T
3. R → S 3. Q → ∼ R
4. (Q ∧ S) → (T ∧ S) 4. R_____
∴ S ∧ T ∴ ∼ S
26.- Probar la validez ó invalidez del siguiente argumento utilizando el método de asignación de
valores de verdad.
1. 1). [(x ∧ y) ∧ z] → a
x
xRxñ
xxRxn
xxRxm
xxll
1
,)
,)
,)
44/)
1







0)
03/)
012,)
012/)
2
2




xxl
xIxk
xxZxj
xQxi

7
2). [z → a] → [b → c]
3). b
∴ x → c
2. 1) a → ∼ b
2) ∼ (c ∧ ∼ a) / ∴ c → ∼ b
3. 1) s → (t → u)
2) v → (w → x)
3) t → (v ∧ w)
4. ∼ (t ∧ x)
∴ s ↔ u
27.- En cada uno de los siguientes argumentos, utilizar un lenguaje simbólico y construir una
prueba formal de validez o invalidez por el método de asignar valores.
a. Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego, si el papel se vuelve
rojo, entonces o la solución es un óxido o hay algo que anda mal.
b. O el ladrón entro por la puerta, o el robo fue cometido desde dentro y uno de los sirvientes debe
estar involucrado en él. El ladrón sólo pudo entrar por la puerta si el cerrojo fue levantado desde
dentro; pero uno de los sirvientes seguramente se halla implicado en el robo, si el cerrojo fue
levantado desde dentro. Por ende, uno de los sirvientes está involucrado en el robo.
c. Si la víctima tenía dinero en sus bolsillos, entonces el robo no fue el motivo del crimen. Pero el
motivo del crimen fue, o bien el robo, o bien la venganza. Luego, el motivo del crimen debe haber
sido la venganza.
2. CONJUNTOS
1. Definir por comprensión los siguientes conjuntos:
a)







25
1
,
16
1
,1,
4
1
,
9
1
A ; b)  20,17,14,11,8,5B  ; c)







2
1
,
8
1
,
5
1
C ;
d)  2,2D  .
2. Definir por enumeración los siguientes conjuntos:
a)  ESPEpalabraladeletraes/A xx ; b)  13/),(B  yxyxyx .
3. Dado el conjunto M = {0, 4, 9}, indicar si son verdaderos o falsos los siguientes literales. Diga
el porqué:
a)   M; b)   M; c) {4}  {0, 9}; d) {4}  M; e) {1, 4}  M; g) 4  M.
4. Representar en diagramas de Venn, los siguientes conjuntos:

8
a) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 2, 7}, D = {8, 10}
b) U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a}, B = {a, b}, C = {a, b, c, d}, D = {c, f}
c) U = {x / x  Z; 0  x  9}, A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 5}, D = {0, 1},
E = {6, 8}
d) U = {0, 1, 2, …, 12, 13, 14}, A = {0, 1, 2, 4}, B = {0, 1, 3, 5, 7}, C = {0, 2, 3, 6}, D = {7, 9},
E = {12, 13}, F = {13, 14}
5. Determinar los conjuntos A, B y C, dadas las siguientes condiciones y apoyándose en diagramas
de Venn:
a) U = {1, 2, 3, …, 16, 17, 18}; b) (A B C) {2, 4, 5}   ;
c) A  (B  C) = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 12}; d) 15}14,13,12,11,10,9,{8,C)BA(  ;
e) B {7,9,10,11,12,14,17,18} ; f) A – (B  C) = {1, 3, 7, 9, 12};
g) A B C {8,13,15}   .
6. Dados los conjuntos:
A = {x / x  N; x múltiplo de 3; x < 18}, B = {x / x  N; x múltiplo de 4; x  20},
C = {x / x  N; x múltiplo de 6; x < 36}
Basándose en diagramas de Venn, determinar los siguientes conjuntos:
a) M = (A  B)  C; b) N = A  B  C; c) P = A  B  C; d) S = (A  C) – B;
e) C)(AB)(AT  ; f) TS)(PU  ; g) V = U + T; h) X = V – U.
7. En una encuesta a 1000 personas sobre la práctica de 3 deportes: Fútbol, Básquet y Voley, se
obtuvieron los siguientes resultados:
550 juegan Fútbol; 330 juegan Básquet; 360 juegan Voley; 100 juegan Fútbol y Básquet; 150
juegan Fútbol y Voley; 80 juegan Básquet y Voley; 40 no practican deporte alguno. Se pregunta:
a) Cuántas personas practican los 3 deportes.
b) Cuántas personas practican sólo Fútbol
c) Cuántas personas practican un sólo deporte
8. De una encuesta a 220 personas sobre 3 actividades que pueden realizar, se obtuvieron los
siguientes datos:
El número de personas que hacen sólo una actividad, menos el número de personas que no hacen
actividad alguna es cinco veces el número de personas que realizan las 3 actividades; el número de
personas que realizan sólo 2 actividades es 60; El número de personas que no realizan actividad
alguna es igual al número de personas que hacen 2 o 3 actividades. Se desea saber:
a) Cuántas personas realizan una sola actividad
b) Cuántas personas realizan las tres actividades
c) Cuántas personas no realizan actividad
9.- Simplificar aplicando las leyes de la teoría de conjuntos:
       CBACBBACCAC

       CBABABACA
CCC

      ACBCB

9
10.- Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C si se conoce que:
a) CAB 
b)       11,10,9,8,7,6,5,2
CCCC
BABA
c)     11,10,9
CC
BBA
d)     13,12
CC
BAC
a)         6,5,4,3
CCCC
CACBBA
b)    5
CCC
CBA
c)     9,8,7,6,5
CC
ACB
d)     9,7,5,3,2,1
CC
CBA
e)     9,8,6,5,4,3,2,1
CC
BCA
a)    14,12,11,10,8,7,6,2,1 C
BCA
b)    15,8,7,5,4,3 CAB
c)      15,13,9,8,7,6,5,4,3 CBBA
d)      15,8,7,6,5,4,3,2,1 CABA
e)    15,8,7,5
CCC
CB
f)  15,13,11,9,8,7,5,4,3,2,1 C
CB
g)  15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1U
a) CD 
b) CA
c) B y D no son inter secantes
d)    dcbCAB ,,
e)    mlgfBC
CC
,,,
f)  nkjihgfedcbaDU ,,,,,,,,,,,
g)    nkjedcbaBA
CC
,,,,,,,

10
h)    mlkjgfedcbaCB
CC
,,,,,,,,,,
i)  nmlihgfedcbaCB CC
,,,,,,,,,,,
j)  nmlkjihgfedcbaU ,,,,,,,,,,,,,
a) AB 
b)   ACB 
c)  16,15,14,13,12,11,10,9,8 AU
d)  11,10,7,6,5,4,3,2,1CA
e)    16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 C
ACB
f)  16,15,14,13,12,9,8,3,2,1CU
g)  16,15,14,13,12,9,8,5,4,3,2,1 C
CB
15.- Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C, D si se conoce que:
a) A y B, A y C, B y C son inter secantes
b) D y C, A y D, B y D no son inter secantes
c)    eaBA
CC
,
d)        fedcbCACBBA ,,,,
e)  lkjifedcbaDU ,,,,,,,,,
f)  ifedcbaBA ,,,,,,
g)  hgedcbaDA ,,,,,,
h)    lkDCBA
C
,
i)    lkjihgfecbaCBAU ,,,,,,,,,,
j)  lkjihgfedcbaU ,,,,,,,,,,,
a)    11,5,4,1 CBA
b)  11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1CB
c)  11,10,9,8,7,4CB
d)    15,14,13,12,11,10,9,8,7,4,3,2,1
C
CBU
e)    15,14
C
CBAU
f)  15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1U

11
17.- Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C, D si se conoce que:
a) DA  , DB  , DC 
b) A y B, B y C son inter secantes
c) A y C, son disjuntos
d)    23,22,21,20,19,18,17,16,14,13,12,6,5,4,3
C
CAB
e)  DU
f)    23,21,20,19,18,17,15,14,10,9
C
BAC
g)  22,17,16,14,13,12,11,8,7,6,5,4,3,2,1 BA
h)  23,21,20,19,18,15,12,11,10,9,8,7,4,3,2,1 C
BA
i)    23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
C
CBAD
a) A y B, son inter secantes
b) A y C, B y C, son disjuntos
c)    13,12,11,10,9,8,5,4,3,2
C
BA
d)  9,8,7,6,5,4,3,2C
C
e)  13,12,11,10,9,8,7,6 BAC
f)  13,12,11,10,7,6,5,4,3,2 C
BA

12
3. REPASO DE ARITMETICA
1. Sin usar calculadora, simplifique las siguientes expresiones:
a) 2
2
12
2
2)25,125,0(
)1(5,0
])5,0(1[
5,0)01,0(2,0













, Resp: -100.
b)
25,0
3
4
)2...333,0(
9
8
1
)3,0(02,0
...0033,0
...)999,2(
2
1






, Resp:
5
24
.
c)
9
4
13
11
1
...44,0...8080,0)6,1...666,2(
5...55,0
3
1














, Resp:
83
24
d)
3
2
2
3
2
2
2
1
2
1
1
)5,0(
3
5,02
2
1
2
2































, Resp: -1.1
e) ...777,1
11
4
5
2
...303030,0...066,0...333,1  , Resp:
7
9

f) 741,4
3
10
3,0
11
1
...)99,2...3535,1(
22














, Resp: 0
g) 5,02334
2,0
3
5
3
2
2
1
3
1
5
1
4
1
81
2
)27()27(












































, Resp: 15

13
h)
2
3
22
2
3
3
2
2
1
3
9
4
3
2
3
2
125
17
5
1
2
5
2
1
5
6
5
2
16
1
10
1
15
2
1
4
3
20
1
10









































, Resp:
1
21

i)
2
2
12
3
1
23
2
1
10
1
5
1
2
1
1
10
3
2
3
2
6
1
3
5
8
1
1
4
3


















































, Resp:
3
25
j)
2
2
5
5
3
1
5
1
4
5
2
2
3
9
8
3
2
2
3
6
5
3
2
3
1
1
4
3
)16(
)4(
8
1
)4(





































, Resp:
22
35

k)
2
2 1
1
2
1
2
3
2 1 3
1 1
1 3 5 240 2
1 22 1
1 2 34
2
4
3

 

 
 
           
           
     
 

, Resp:
1
2

l) 12
3 11
3
2
1
2
1
100
1
5
1
6
5
1
5
3
10
1
8
7
1
2
3
3
2



































































, Resp:
3
5
m)
4
3
3
2
3
2
5
6
3
8
2
2
1
1
34














 . Resp:
7
90

14
n)
 
       
1
223
2
2
13
3
6
3
2
1
11
3
4
232
2
1
4
3
22
5
8
1
4
3












































. Resp:
33
80

o)
  
31
12
1
1
12
5
1
125
17
139
2
2
1
1
1
10
9
3
1
100
1
2
3
3
2
1
4
1
1
3
1
3
1
2















































. Resp:
5
72
p)
 
1
222
23
6
4
1
12512
24
5
4
3
124
2
1
7
2
14
1
2
2
5
1









































. Resp:
11
4

q)  2
2
3,0
2
7,0
5,0
18,0
8,0
















. Resp:
1
4
r)
 
2
2
04,06,1
5,01
01.02,01











. Resp: 400
s)
   
 
 
01,0
5,01
75,35,05
625,05,075,0
08,733,02,18,0
22











. Resp:
1
100
t)
   
   04,032,1
8,0027,005,13,0
2
232


. Resp:
147
400

u)
   
1
21
3 3
2
5
3
1
1
264
10
10
1
82
2
1
5
3
2
3
































. Resp: 43

15
a)  
5
4
5,02,1
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
8,0
























. Resp:
7
3
b)
 
 
   


















 

2
12
2
2
5,0
5,01
01,02,0
04,06,1
5,01
01,02,01
. Resp: -4
c)
 
 
2 2
3
6
0,25 3
1 1
25 16 3
3 9
1 10 1 31
22
2
0,75 1
 

         
   
 
 
  
. Resp:
1
3

d) 0137,081,17
20
1
62
8
1
25
3
288,1
2
1
1
20
3
3,0
5
1
465,2
20
1
3
003,0
2
1
46
















































. Resp: 1301
e)
 
       
1
223
2
2
13
3
6
3
2
1
11
3
4
232
2
1
4
3
22
5
8
1
4
3












































. Resp:
33
80

f)
1 3 1
6 4 0,03 0,3 1
12 20 2
2
1 2 3 1 20
3 2,65 4 1,88 2
20 5 25 80
    
       
     
                
. Resp:
4910
41
g)
 
9
4
13
11
1
...444,0...8080,06,1...66,2
3
1














. Resp:
9
8
3. Aplicando las propiedades de los exponentes y radicales, simplifique las siguientes expresiones:
a) 32
3232
32
)545(5
225225





n
n
n
, Resp: 45
b) 22
4
1
2112
2
1642




n
n
nn
, Resp: 17

16
c) nnn
nn
nn
nnn
xyx
yx
yx
yyx
2
2
1
1 



 

, Resp: 1
d) xy
xyxy
yxyx
yx
xyxy
yxyx
mn
nm
mn
nm 










, Resp: 1
e)
2
34
2 1
1 11
1
33
1
1 1
5 2 50
5
5 8 5 (25)
5 5
n n n
n n
xn n
xxn
n

 

 
 
  
        
 
, Resp: 10
f) 3 4 5 3757352
yxyxyxyx  , Resp: 60 19112
yxxy
g) 3 53 3
25 121 2 3 81 8 16 64        , Resp: 3
h)     2562711002
23
5
15
 , Resp: 0
i) 33
81164)1(8822)3)(1(  , Resp: -4
j)    26
355 2
2)2)(49()147)(428()52)(3)(27()2(4  , Resp: -6
k) 423 )83()3135()532()27(625)25()507(  , Resp: 5
l)          6 53 26 5336
342324432  , Resp: 3
243
256
m) 3 43 4
3
2
3
2
ba
a
b
ab
b
a
b
a
ab
a
b
ab  , Resp: 0
n) abbabaabba 






3
4 3 5 4225222
)()()( , Resp: 203 3 8 13
a b a b
o)
 
 442
5
2 2
3
4
1
314
3
2
3












 
bbacab
abccbabccba
, Resp:
15 38
15
336
a c a
b
p) 6
6
1
6 5
63 2
)(3
x
yx
yxx
yxx
yx

















, Resp: 2( )x y
q)
94
32 32
3 2
6
5
03
1
2
3
2
)2()(

 































x
x x
aa
cbaaa
, Resp: a

17
r)
 
2
2
11
1 1
)3,0(
2
7,0
5,0
18,0
8,0
2
2
























 
x
x
x x
x
x
, Resp: 4x
s) 1135
24
2624222
2362




xxxx
xx
, Resp: 5
t) 1
111111
111
)5()3()2(
15610





x
xxx
xxx
, Resp: 30
u)




















 
1
31
2
12
7 6
7
4
4 3
y
yy
xxx
xx
, Resp:
1 4x
x

v)
2 2
2 1 2 1
1
2 1
( 1) 1
1
1
x x yx y
x y y xy yx
yx
 


 
  


, Resp:
2 2
2y
x y
w) xy
yx
yyxx



3 , Resp: x y
x) 225
2
2508
r
n
mrnm
cbacba  
, Resp: 202 2n m n
b a b
y)  
23
3
2
6
5
3
1
2
1
2
1
3
1
2
2
1
2
1
2
1






















ba
a
c
abba . Resp: 35 5 3 2
8a b c a b
a)
2
11
0,2 30,1 1 242x y x x y

  
 
 
 
 
. Resp:
19
7 3x y
b)
1
3 1 11 2
2

  





 
n
n nn
aa . Resp: a
c)
6
4 1
3 3
3
2 2
3 33
8
2
2 4
x x y
xy
x xy y
 
 
 
   
. Resp: 4
x
d)  
n
mmm
n
mn
m
baababab
2112









 . Resp: m
ab
e) 12
1
5
13
2
5
32 
  

 aaa . Resp: 39 25
a

18
f)  3 33
33
6
. Resp: 3
g)
ab
ab
x
xx
1
1
5
1
2
3
1















 
. Resp:
10 3 15
15
a b
abx
 
h)
4,0
1
545
2
3
2
23
2
1
045
3,0
2
3
12
bccba
cabcba





. Resp: 306 9 4 5 20 28
a b c a b c
i)
3
5
4
2
4


















n
m
n
m
. Resp:
7
2 10
9
m
m
n
j)
1
2
2 2
1 1
x y
x y

 
 
      
 
. Resp:
x y
xy

k)
1
3
31
1
5 2 10( )a

 
 
 
  
. Resp: 27
1
a
l)
10 15 6
5 2 3
n n n
n
n n n  
 
 
. Resp: 30
m)
n
nn
nnnn
1
3
11
552
5252







 
. Resp: 2
n)  ab
5
3
6
4
2


 









 . Resp: 2 2
a b ab
o)
2
3 2 2 2a a a a
x b c  
  . Resp:
2
3
2 2
a a
x
x bc
b c
p)
     
10 6 15
2 3 5
1 1 1
1 1 1 1 1 11
n n n
n n n
n
  
     
 
 
. Resp: 30
q)
2
524
4
32
3
23
22
22
353
2
42
2
3
1
2
1













































a
dc
c
ba
dc
ab
ba
dc
dc
ba
. Resp:
4 4 2
16
4
81
a b c
d

19
r)
a
a b
b a
b
a b
a b
a ab
ab
b ab
ab





 











 






 
 
2 2
2 2
1 1
1 1 . Resp: ab
s) 212
122
9
1
11












 baa
ba
abab
. Resp:
2
3
t) 3 6 52
mmm  . Resp: 36 35
m
5. Racionalizar las siguientes expresiones:
a)
44
1
yx 
, Resp:
yx
yxyx

 ))(( 44
b)
139
4
33

, Resp: 133

c) 8
8
95
95


, Resp:
11
2753535514 44

d)
532
4

, Resp:
6
302332 
e) 33
32
2

, Resp: 3 3 3
2 4 2 6 2 9     
f)  
1
5
1
3









 yxx , Resp:
5 4
( )
3 ( )
x x y
x x y


g)
3 233 2
33
42
2
yxyx
yx


, Resp:
3 2 23
4
8
x y
x y


h)
3 233 43 2
3 23
yxyx
yx


, Resp:
yx
yx

 23 23
)(
i)
2 33
1

 yx
, Resp:
  3 2 26 36 6 3xy x y x xy y
x y
  

j)
37
8
3


x
x
, Resp:   3 23 3
7 3 2 4x x x   
k)
3
1
2
1
2
1
1
ba 
, Resp:
2
4 3
a b b
a b



20
l)
2,05,0
1
3,05,0
1

, Resp:
5
10
1 3
2 10
1 3
2 10
 
  
 
 
  
 
m)
2,0
3
53 2
4
16



x
x
x
x
, Resp:
 5 34 23 3
4 4 2 2x x x
x
 

n)
3
1
9
1
5
2
6

, Resp:
  6 3 3
15 3 1 9 3 1
5
  
o)
323
323


, Resp:
9 6 12 3 15 2 20
2
  
p)
3
2
33
2
964
278
yxyx
yx


, Resp: 3 32 3x y
q)
4
1
2
1
4
1
8221
1

, Resp:  4
1 2 
r)
213391143
10

, Resp:
143 91 33 21
4
  
s)
11
1
11
1
2





xx
x
xx
x
, Resp:
  1 1 1 1
2
x x x
x
    
t)
31933
326


, Resp:
 21 12 3 33 19 3
3
 
u) 3 4 5 3
( 2 3 3 4 2 5) 3      . Resp: 15 6 3
2 30375 2 72 9 
a) 5 5
1
5 4
. Resp: 5 5 5 5 5
625 500 400 320 256   
b) 3 3
3
3 2
. Resp:
 33 3
3 9 6 4
5
 
c)
2 5 3 2
5 5 2 2


. Resp:
62 19 10
117

d)
2
3
3
3 2
. Resp: 66 6 6
9 3 6 3 4 243 3 1944 6 24 4 6    

21
e)
2 2
2 3 5

 
. Resp:
2 30 4 15 10 3 6 2 5 6 3 4 2 8
22
      
f) 1/ 2
b
c a
. Resp:
( )b c a
a b


g) 3 3
2
3 5
. Resp:
3 3 3
9 15 25
4
 
h) 1 1
8 82 2
1
a b a b
. Resp:
8 8
15 15
( )
a b a b
ab a b


i) 2
3 2 3 3
1
a ab b 
. Resp:
3 3
a b
a b


j) 363
263
1

. Resp: 6 33 6
9 24 54 4  
7. Multiplicar las siguientes expresiones:
a) x y y x x y x y
1
16
1
16
1
8
1
8
1
16
1
16
1
4
1
4






 





 





 





 . Resp: x y
b)
1 1
0,5 0,5 0,5 0,5
2 2 2 2a b b a
  
   
  
  
. Resp: 4
2(8 )b a
c)  a b a b a b
1
9 0 5
1
9 2
1
6 0 5
2
2 4 2








 






. .
. Resp: 6
64a b
d) x y x x y y
3
2
2
3 3
3
2
2
3
4
3






  





 . Resp: 4 2
x x y
8. Dividir las siguientes expresiones:
a)  2 4 8 84 8 8
   . Resp: 1
b)    a a a264 64 25 25 64 25
2 3 9 3    . Resp: 64 25
3a 
c)   363 515353  . Resp: 6 6
3 5
d) x y x x y x y xy y
5
3
5
3
4
3 33 2 23 33 43






     





 . Resp: 3 3x y
e)
x
x x
x
1
2
1
2
1 5
1
1
1
1

 

. . Resp: x - 1
9. Simplificar las siguientes expresiones:

22
a)
))((
)(2
cxbaxd
dbxdcabacx


, Resp: 1
b)
aba
bdadbcac


2
, Resp:
a
dc 
c) 22
22
1
2 yx
xy
xy
yx
yx
yx
yx
yx






















, Resp:
x y
x y


d)
))((
))(2(
322462
244248
xxaxaaxa
xaxxaa


, Resp: 24
xa 
e) nn
nn
a
b
a
b
b
a
b
a
2
2
2
2
2
2
11
11




























, Resp: 1
f) 













 22
2
22
211
)(
11
ba
x
abba
xba
ab
x
ba
, Resp: ab
g)
155
2
65
2
2
3
44
6
22
2











x
x
xx
x
x
x
xx
xx
, Resp:
2
2
5 6
5( 5 6)
x x
x x
 

 
h)
166
6113
15112
24132
6136
1092
2
2
2
2
2
2








xx
xx
xx
xx
xx
xx
, Resp: 1
i) 











 32
1
65
1
2
1
)65( 2222
xxxxxxxx
x
, Resp: x + 1
j)
x
x
x
x
xx
xx







1
1
1
1
)1(
1
22
2
, Resp: 1
k)
xxx
xx
xx
x
xxx
x
6
1
2
1
32
1
23
2
223
3








, Resp: 1
l)
2
2
2
2
54545
44
2
12
2123
5



















 xx
xx
x
x
x
x
x
, Resp:
2
2
( 2)
225( 2)
x
x


m)
2
22
2
22
2
6117
6613
)(3
32





























yxyx
xyx
aayax
yx
yx
x
yx
x
, Resp:
2
2
4( )x y
a

n)
abxbaxacxcax
bx
bcxcbx
ax







)(
1
)()( 222
, Resp:
2 2 2
2
( )( )( )
x x a b c
x a x b x c
   
  

23
o) 2
332
33
2
22222
4



















































































x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
, Resp: 4
p)
( )( ) ( )( ) ( )( )
x y z
x y x z y z y x z x z y
 
     
, Resp: 0
q)
))(())(())((
222
yzxz
xyz
xyzy
zxy
zxyx
yzx





, Resp: 0
r)
))((
)(
))((
)(
))((
)(
yzxz
uzxy
xyzy
uyzx
zxyx
uxyz








, Resp: u
s)










































xyxyyx
xyyx
yxyx
yx
yx
yx
11
)(
)(
11
2
2
2233
22
22
33
, Resp:
x y
xy

t)
25,0
)(
)(
222222
ba
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
ba










































 , Resp: 16(a – b)
u) 





















 

zyxzyxxy
zyx 1111
2
1
222
, Resp:
2
( )
2
x y z
xy
 

v)
yx
yx
y
y
yx
yx
x
x







22
2
22
2
, Resp:
2 2
( )( )x y x xy y
xy
  
w)
2 2
2 2
2 2
2 22 2 2 2
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
a b
b aa b a b a b a b
a ba b
a ba ba b a b
                             
                  
, Resp:
2 2
4 4
a b
a b
x)
))(())(())((
222
zyzx
xyz
yxzy
xzy
zxyx
yzx








, Resp: 0
a) )1(
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x


















. Resp:
2 2
3
( 1)
1
x
x x

 
b)
3 218 93 144 60
3 23 14 21 10
x x x
x x x
  
  
. Resp:
2
2
3(6 19 10)
3 8 5
x x
x x
 
 

24
c)
4 3 28 12 144 36 280
5 4 3 22 9 27 99 97 210
x x x x
x x x x x
   
    
. Resp:
4
3x 
d)
3 23 7 5
4 3 25 23 20
x x x
x x x x
  
   
. Resp:
1
4x 
e) 2 2 22 2 1 7 10
2 2 28 15 5 6 2
x x x x x x
x x x x x x
 
 
 
 
     
 
     
. Resp:
2
2
( 2)
( 5)
x
x


f)
2 2 2 2( ) 6 29 35 6 29 35
2(2 9)( ) (3 7)(4 38 30 27
abx b ac x bc x x x x
x ax b x xx x
   
   
   
   
      

    
. Resp:
3 7
bx c
x


g)
2 2
3 3
1 1 1 1
2 2
a b ab
ba a
a ba ba b a b
a b
b a a b a b
           
  
       
  

  
  
. Resp: 3
( )
ab
a b


h)
1 1
1 1
a b
a b
a b
a b b a
b a
   
   
   
     
      
   
         
. Resp:
2
2
( 1)
( 1)
a a
b b


i)
 
2
2 2 2 2
1 1
1 1 2
x
a b x
a b ab
x
aba b a b
 
     
 
 
   
 
. Resp: ab
j)
3 4 2 2 2
3 3 2 2 2 2
1
xy y y x xy y
x
x y x y x y
     
              
. Resp:
2
x
x y
k)
2 2
2 2
4 20 16 15 4 15
3 4 4
2 5
b a a a a a
b a b bb b
    
                   
. Resp: 1
l)
   2 22 22 2
2 2 2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
b a c c a ba b c
a c b a b c b c a
    
 
     
. Resp: 1
4. POLINOMIOS
1. Determine el cociente de la división:
ababbaababa )21()22)(2( 32222

Resp:
2. Determine el resto de la división:
7222222 356
 xxxx entre 23 x
Resp:

25
3. Hallar el valor de m, para que al dividir 22654
651294 mxxxxxx  entre 34 x deje un
residuo de 3. Resp:
4. Hallar m y n si la división es exacta: nmm
xaaxx 23
)3(256)(  entre ax 2 .
Resp: m = 8, n = 16
5. Calcular m para que la expresión m
xxx 32
 sea de cuarto grado. Resp:
1
3
m 
6. Suponiendo que xcba 2 , reducir 2222
)()()( xcxbxax  .
Resp: 2 2 2
a b c 
7. Multiplicar los siguientes polinomios:
a)     441616881616
yxyxxyyx  , Resp: yx 
b) )22)(22( 5,0
1
5,05,05,0
1
abba  , Resp: 4
2 16a b 
c)   3 43 2333 23
yyxxyx  , Resp: 29
yx 
d)
n nnnn nnn
abbabb
2 2222 222 11


, Resp: a
e) 2222
)())()()(( abcabccbacbacba  , Resp: 2 2
4a b
8. Expresar directamente los siguientes productos:
a) )32)(32( 22
baba  , b) 3
)32( yx  , c) )5)(2( yxyx  ,
d) )43)(12)(43)(12(  xxxx , e) ))(( 22
aaxxax  ,
f) )1)(1( 2345
 xxxxxx , g) )1)(1( 242
 xxx .
9. Cuánto debe valer a para que el coeficiente de x8
en la multiplicación de 2x8
+ 5x7
– 3x6
+ 7x5
–
9x4
+ 5x2
– 3x + 1 y x5
+ 3x4
– 7x3
+ ax2
– 2x + 1 sea -96. Si a se redujera a la mitad del valor
encontrado, ¿cuál sería el coeficiente de x8
? Resp: a = -8, a = -108
10. Factorar las siguientes expresiones:
a) 22
498436 yxyx  , Resp: 2
(6 7 )x y
b) 134
 xxx , Resp: 2 2
( 1) ( 1)x x x  
c) 22
16)3( zyx  , Resp: ( 3 4 )( 3 4 )x y z x y z   
d) 22
)3(4)2( yxyx  , Resp: 7 (4 5 )x y x
e) 122 222
 aaxyyx , Resp: ( 1)( 1)x y a x y a     
f) 2568
x , Resp: 2 4
( 2)( 2)( 4)( 16)x x x x   
g) 44
4 yx  , Resp: 2 2 2 2
(2 2 )(2 2 )x xy y x xy y   
h) abxbax nn
 )(2
, Resp: ( )( )n n
x a x b 

26
i) 1050395711 234
 xxxx , Resp: 2
( 6)( 7)( 5)x x x  
j) yxxyxx 8442 223
 , Resp: ( 2)( 2)( 2 1)x x x y   
k) 1524896 22
 yxyxyx , Resp: ( 3 5)( 3 3)x y x y   
l) bdbcdadbcab  2
222 , Resp: ( )(2 )a b c b d  
m) 144 48422
 xxyyx , Resp: 4 2 2 4 2 2
( 2 1)( 2 1)x x y x x y      
n) nmm
yxx 435
9 , Resp: 3 2 2
( 3 )( 3 )m m n m n
x x y x y 
o) 4914 36
 xx , Resp: 3 2
( 7)x 
p) 33
)()( yxyx  , Resp: 2 2
2 ( 3 )x x y
q) 22
9)(6)( ayxayx  , Resp: 2
( 3 )x y a 
r) )()()( 222
yxcxybyxa  , Resp: 2 2 2
( )( )a b c x y  
s) 66
64yx  , Resp: 2 2 2 2
( 2 )( 2 )( 2 4 )( 2 4 )x y x y x xy y x xy y     
t) 124742
 mm
, Resp: 2
(2 2)(2 2)(2 3)m m m
  
u) 66336633
22 ybybaxxa  , Resp: 3 3 3 3 3 3 3 3
( )( )x y a b x y a b      
v) 2510
32 yx  , Resp: 2 5 8 6 5 4 10 2 15 20
(2 )(16 8 4 2 )x y x x y x y x y y    
w) yxxyayxaxy  )1()(1 , Resp: (1 )( 1)( 1)a x y  
x) )()()()( 22222222
dbaccbaddabccabd  , Resp: ( )( )( )a b c d ab cd  
y) 432323547
40
27
20
27
10
9
5
1
abxxbaxbaxba  , Resp: 2 31
(3 2 )
40
abx x a b
z) 323552
22 yaabyabyya  , Resp: 3
( 1)( 1)(2 )ay y y a b  
11. Factorar P1(x) y P2(x) conociendo que no tienen factores de primer grado, pero que si tienen un
factor común:





55722)(P
1222)(P
234
2
2345
1
xxxxx
xxxxxx
.
Resp:
2 3
1
2 2
2
P ( ) ( 1)( 1)
P ( ) ( 1)(2 5)
x x x x x
x x x x
     

   
12. Factorar P1(x) y P2(x) conociendo que tienen un factor común:





2113136)(P
29151712)(P
234
2
234
1
xxxxx
xxxxx
.
Resp:
2 2
1
2 2
2
P ( ) (3 5 1)(4 2)
P ( ) (3 5 1)(2 2)
x x x x x
x x x x x
     

    
13. Hallar los valores de a y b para que el polinomio
2(x – 1)4
– 3(x + 1)3
+ (a + b)(x2
– 1) + (b – 3a + 2)(x + 1) + 3b(a – b – 1) + 19x,
sea divisible para (x – 1)2
– (x + 1) + b. Resp: a = 3, b = -4

27
14. Utilizando el método de Ruffini, dividir los siguientes polinomios:
a) 1323 234
 xxxx entre 2x , Resp: 3 2
Q( ) 3 8 17 37x x x x    , R( ) 75x 
b) 162 23
 xxx entre 2x , Resp: 2
Q( ) 2 2 5x x x   , R( ) 11x 
c) 12 24
 xx entre 1x , Resp: 3 2
Q( ) 3 3x x x x    , R( ) 4x 
d) xxx 23 24
 entre 12 x , Resp: 3 21 1 11 5
Q( )
2 4 8 16
x x x x    ,
5
R( )
16
x 
e) 232 45
 xxx entre 12
x , Resp: 3 2
Q( ) 2 2x x x x    , R( ) 2x x 
f) 1236 32
 xxx entre 32 x , Resp: 23 3 17
Q( )
2 4 8
x x x   ,
59
R( )
16
x 
15. Hallar un polinomio de mayor grado que divide exactamente a P1 y a P2, y un polinomio de
menor grado que sea divisible a los mismos polinomios si:





91272)(P
9122)(P
23
2
23
1
xxxx
xxxx
.
Resp:
1
5 4 3 2
2
S ( ) 2 3
S ( ) 2 3 8 36 54 27
x x
x x x x x x
 

     
16. Efectuar las siguientes divisiones por el método normal y por coeficientes separados:
a) 867 234
 xxxx entre 822
 xx , Resp: 2
Q( ) 1x x x   , R( ) 0x 
b) 2695 2345
 xxxxx entre 232
 xx , Resp: 3 2
Q( ) 2 1x x x x    , R( ) 0x 
c) 88
yx  entre 3223
yxyyxx  , Resp: 5 4 4 5
Q( , )x y x x y xy y    , R( , ) 0x y 
17. Si el polinomio xnmxnmx )5()32()(P 4
 es idénticamente nulo, encuentre los
valores de m y n. Resp:
7
3
m   ,
8
3
n 
18. Hallar m, n y p en la siguiente identidad:
)1)(3()3)(2()2)(1(167 2
 xxpxxnxxmxx .
Resp: 23m  , 17p   , 1n 
19. Hallar el valor de m para que la división sea exacta:
4224
axmax  entre 22
aaxx 
Resp: 1m  
20. ¿Cuál es el valor de m si el polinomio )1()1()(P 223
 amxaxamxx es divisible
entre 1 ax ? Resp: 1m  
21. Determine el valor de m si el polinomio mxxx  53 23
es divisible entre 2x .
Resp: 14m  

28
22. Dado el polinomio maxx  23
2 , determinar el valor de m para que, al dividirlo por
2
1
x
se obtenga de resto 1. Resp:
3
8
m a 
23. Determinar el valor numérico de m, del trinomio 93 2
 mxx , con la condición de que, al
dividir éste para 2x , dé el mismo resto que la división de 332 3
 xx por dicho binomio.
Resp: 20m 
24. Determine m y n si la división de 432234
3 naxmaxaaxx  entre 22
aaxx  deja
como resto 43
37 axa  . Resp: 7m  , 1n 
25. El primer coeficiente de un polinomio de segundo grado es 2; al dividirlo por x + 2, el residuo
es 0; al dividirlo por x + 3, el residuo es 9. Encuentre el polinomio. Resp: 2x2
+ x - 6
26. Hallar los valores de m que hacen que el residuo de dividir 2x4
+ x3
– 9x2
– 4x + 8 para x + m,
sea la mitad del residuo de dividir 2x3
– 3x2
+ x + 2 para x – 2. Resp:
2, 1,
1
2, .
2
m m
m m
 


   
27. Determine a, b, c, d en el polinomio: P(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d conociendo que el polinomio es
divisible por x – 2, Q(x) = (2x – 5)R(x) + 7, Q(0) = -8, P(1) = -22.
Resp: 16
3
320
3
252
3
52
)( 23
 xxxxP
28. Determine los valores numéricos de m y n, con la condición de que el polinomio
nmxxxx  234
11 sea divisible por 92
x .
Resp: 9m  , 18n 
29. Determine el valor numérico de m para que el polinomio 326 23
 xmx sea divisible para el
binomio 4x . Resp: 2m 
30. Qué coeficiente debe tener el término de primer grado del polinomio 3x3
– 4x2
– 5x – 12, para
que sea divisible para
2
1
x . Resp:
101
4

31. Hallar el cociente y el resto en:
a) 121716176 9182736
 xxxx entre 13 9
x .
Resp: 27 18 9
Q( ) 2 5 7 8x x x x    , R( ) 4x 
b) 22)22(2 223
 axaaxx entre 2 ax .
Resp: 2
Q( ) 2x x ax   , R( ) 0x 
32. Hallar el residuo de la división:

29
a) )()( 777
axax  entre ax 2 , Resp: 7
126a
b) 8)775()575( 324224
 xxxx entre 875 24
 xx , Resp: 16
33. Obtener el residuo de dividir 123)(P 24
 xxxx para D(x) por Ruffini y mediante el
teorema del residuo:
a) D(x) = x – 1; b) D(x) = x + 3; c) D(x) = x – 5; d) D(x) = 2x – 1; e) D(x) = 2x + 1;
f) D(x) = 3x – 2; g) D(x) = x.
Resp: a) -1, b) 47, c) 559, d)
11
16
 , e)
43
16
 , f)
65
81
 , g) -1
34. Dados los polinomios:








432)(
7532)(
3243)(
2345
24
235
xxxxxxr
xxxxq
xxxxp
Obtener los polinomios:
a) )(3)(2)( xrxqxp  ; b) )()()( xrxqxp  ; c) )()()( xrxqxp  ; d) )()( xqxp  ;
e) )()( xqxr  ; f) )(5)()( xrxqxp  ; g) )(2)()( xqxrxp  .
Resp:
35. Siendo









4212
2
3212
1
45
2
1
3
1
)(P
2
1
4523)(P
nnnnn
nnnnn
xxxxxx
xxxxxx
Encuentre )](P)(P3[)(P2)(P 1213 xxxx  .
Resp: 2 1 2 3 47 1
6 11 12
2 2
n n n n n n
x x x x x x   
    
36. Calcular E = Q[P(-2)] siendo:
8253)(P 23
 xxxx y )1()52()1()55()15()12()(Q 122
 
xxxxxxx nnnn
Resp: E 1 
37. Calcula E = P(x + 1) + P(x – 1) – 2P(x) si 423)(P 2
 xxx .
Resp: 2
E 9 6 6x x  
38. Efectuar los siguientes productos notables:
a) )32)(32( 22
baba  , Resp: 4 2
4 9a b
b) 2
)32( yx  , Resp: 2 2
4 12 9x xy y 
c) )5)(2( yxyx  , Resp: 2 2
3 10x xy y 
d) )43)(12)(43)(12(  xxxx , Resp: 4 3 2
36 132 169 88 16x x x x   
e) ))(( 22
aaxxax  , Resp: 3 3
x a

30
f) )1)(1( 2345
 xxxxxx , Resp: 6
1x 
g) )1)(1( 242
 xxx , Resp: 6
1x 
h) )42)(2)(42)(2( 22
 xxxxxx , Resp: 646
x
i) 2222
)()()( xcxbxax  , Resp: 2 2 2 2
4 2 ( )x x a b c a b c     
j) 22
)32()3)(3()2)(2(2)2(3 baababbababa  , Resp: 2
4b
k) ))()()(( 4422
yxyxyxyx  , Resp: 88
yx 
l) )8)(24)(2( 3322
yxyxyxyx  , Resp: 66
64 yx 
39. Desarrollar los siguientes binomios:
a) 632
)( yx  , b)
5
32
2
1






 yx , c)
7
2
3
3
2







yx
, d)  323
3,0 abyx  ,
e)  23
232,02 yx  .
40. Hallar:
a) El tercer término de 5
)( yx  , Resp: 3 2
10x y
b) El quinto término de 92
)2( ba  , Resp: 10 9
2016a b
c) El penúltimo término de 62
)2( ba  , Resp: 10
12ab
d) El término central de 822
)3( yx  , Resp: 8 8
5670x y
e) El coeficiente de x21
en 94
)2( xx  , Resp: -2016
f) El coeficiente de y-7
en
142
3
3
2
4
1









y
y
, Resp:
143
11664

g) El término central de
6
2
3
3
2







a
a , Resp: -20
h) El coeficiente de x-20
en
15
3
2
2
3 








x
x
, Resp:
1025024
81
41. Una pila de troncos tiene 30 troncos en la base, 29 en la siguiente y así sucesivamente hasta
llegar a la capa superior, que está formada por 5 troncos, cada capa excepto la última contiene un
tronco menos que la capa que está debajo. ¿Cuántos troncos hay en la totalidad de la pila?
Resp: 455
42. Un hombre obtiene un préstamo de $ 20.000, hipotecando su casa. Se ha comprometido pagar
al final de cada año durante 10 años, una cantidad de $ 2.000 que cubre el préstamo más intereses, a
una tasa del 15 % anual sobre el saldo insoluto. ¿Cuál es la cantidad total que habrá pagado en 10
años? Resp: 8091,12
43. Dados los polinomios, encuentre el MCD y el MCM:

31
a)





276
232
2
2
xx
xx
. Resp: MCD 2 1x  , MCM (2 1)( 2)(3 2)x x x   
b)





1074
64
23
23
xxx
xxx
. Resp: MCD ( 2)( 1)x x   , MCM ( 2)( 1)( 3)( 5)x x x x    
c)








6
34
2
2
2
2
xx
xx
xx
. Resp: MCD 1 , MCM ( 2)( 3)( 1)x x x   
d)








yxxyx
xyxyx
xxx
3322
32
2
2
23
. Resp: MCD 1 , MCM (2 3)( 1)( )( 1)x x x x y xy y     
e)
3 2
2
3 2
6 17 2
8 12
2 13 26 16
x x x
x x
x x x
   

 

  
.
Resp: MCD 2x  , 2 2 2
MCM ( 8 12)( 8 1)(2 17 8)x x x x x x      
f)








30173
252092
573
234
23
23
xxxx
xxx
xxx
.
Resp: 2
MCD 2 5x x   , 2 2
MCM ( 2 5)( 1)(2 5)( 6)x x x x x x      
g)





2754185
63213493
23
234
xxx
xxxx
.
Resp: 2
MCD 3 9x x   , 2 2
MCM ( 3 9)(3 7)(5 3)x x x x    
h)





91272
9122
23
23
xxx
xxx
. Resp: MCD 2 3x  , 2
MCM (2 3)( 3)( 1)( 2 3)x x x x x     
i)





122
122
235
245
xxxx
xxxx
.
Resp: 3 2
MCD 1x x   , 3 2 2 2
MCM ( 1)( 1)( 1)x x x x x x      
j)





810
10132
23
23
xxx
xxx
. Resp: 2
MCD 3 2x x   , 2
MCM ( 3 2)( 4)( 5)x x x x    
k)





3056
2054
23
23
xxx
xxx
. Resp: 2
MCD 5x  , 2
MCM ( 5)( 4)( 6)x x x   
l)





123
12
235
234
xxx
xxx
. Resp: MCD 1 , 4 3 2 5 3 2
MCM ( 2 1)( 3 2 1)x x x x x x      

32
m)
3 2
4 3 2
4 3 2
2 5 6 15
3 3 18
5 9 15 18
x x x
x x x x
x x x x
   

   

   
.
Resp: 2
MCD 3x  , 2 2 2
MCM ( 3)(2 5)( 6)( 5 6)x x x x x x      
n)
3 2
3 2
3 2
4 7 10
3 10 12 5
2 7 14 5
x x x
x x x
x x x
   

  

  
.
Resp: MCD 1x  , 2
MCM ( 1)( 5)( 5)( 2)(2 1)(3 7 5)x x x x x x x       
o)








22
22
22
253
594
102312
yxyx
yxyx
yxyx
. Resp: MCD 1 , MCM (3 2 )(4 5 )( )x y x y x y   
44. Encontrar el número que al dividir por 1140 dé los siguientes cocientes 1, 3, 4, 5, 4.
Resp: 1492
45. El primer residuo de la división de dos números es 92 y los cocientes sucesivos son 1, 2, 1, 3.
Determinar el MCD y los números. Resp: MCD = 23, 345 y 253
46. Los cocientes sucesivos de dividir dos números son 5, 2, 1, 3, 2, 1 y el segundo residuo es
igual a 170. Determine el MCD y los dos números. Resp: MCD = 17, 3281 y 612
47. La suma de dos números es 168 y su MCM es 315. ¿Cuáles son los números?
Resp: 63, 105
48. La diferencia de dos números es -187, su MCM es 2142. Determine los números.
Resp: 119, 306
49. La multiplicación de dos números es igual a 48165, su MCD es 13. Determine el MCM.
Resp: 361
50. La suma de dos números es 2154 y los cocientes obtenidos en la determinación de su MCD
son 2, 3, 4, 5, 3. Hallar dichos números. Resp: 1503, 651
51. El MCD entre P1 y P2 es (x + 2)(x – 1), y su MCM es (x - 1)2
(x2
– 4)(x – 3). Determinar P2 si se
conoce que P1 es x3
– 3x + 2. Resp: 4 3 2
4 16 12x x x x   
52. Hallar el MCD de tres polinomios P1, P2, P3, si se conoce que el MCD de P1 y P2 es x2
– x – 2 y
el MCD de P2 y P3 es x4
+ 5x2
+ 8x + 2. Resp: x + 1

33
53. El MCD y el MCM de dos polinomios P1 y P2 de igual grado son respectivamente x + 1 y x3
+
2x2
– x – 2. Si se conoce que el término independiente del polinomio P2 es positivo, determinar P =
2P1 – 3P2. Resp: 2
9 8x x  
54. Hallar dos polinomios de cuarto grado si:





4242MCM
2222MCD
45
23
xxx
xxx
.
Resp:
4
1
4 3 2
2
P ( ) 2 2
P ( ) 2 6 6 6 4
x x
x x x x x
  

    
55. Tres polinomios de igual grado tienen como MCD a 2x2
+ x – 6 y como MCM 2x5
– 3x4
– 10x3
+ 15x2
+ 8x – 12. Determine dichos polinomios. Resp:
3 2
1
3 2
2
3 2
3
P ( ) 2 3 5 6
P ( ) 2 7 6
P ( ) 2 3 8 12
x x x x
x x x x
x x x x
    

   

   
56. El MCD de P(x) y R(x) es x2
+ x + 1 y el MCM de los dos polinomios es x4
+ x3
– x – 1. Hallar
2P(x) – 3R(x), si se conoce que los polinomios P(x) y R(x) son de igual grado.
Resp: 3 2
6 6 5x x x   
57. Determine P2(x) si se conoce que:








)1572)(3512(2MCM
)3512)(33()(P
)5)(32(MCD
22
2
1
xxxx
xxxx
xx
.
Resp: )102)(5)(32()(P2  xxxx
58. Dada la fracción
10)12(2
6)12(2
23
23


xbbxx
xaaxx
Hallar a y b para que sea simplificable. Determinar el MCD del numerador y denominador si se
sabe que es de la forma x2
+ px + q. Resp: 2
MCD 2x x   , a = 2 y b = 1
59. Hallar a y b y el MCD para que la fracción simplificada sea
1
2
15)152()2(
15)152()2(
23
23





x
x
bxbxbx
axaxax
.
Resp: 2
MCD 2 15x x   , a = 2 y b = 1

34
5. EXPRESIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
1. Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplifique las siguientes expresiones:
a) 16log9log2log42log2 33813
39 
 . Resp: 384
b) 












3log
4log
3log
12log
3
1
log27log
108
3
36
3
5,08 . Resp: 2
c) 55log)327(log2log16log 5
3
3
4
8
3
2  . Resp:
8
3

d) ))64(log(loglog1))64(log(loglog1 842842
33 
 . Resp: 10
e) 23log4log1
2
3
3
133
23
23
27
64
log27log27log27log









. Resp:
24
51
f) 5
2
16
1
4
1
2
1
8log
4
1
log2
2
1
log6
4
1
log 












. Resp:
5
2
g)
25log
2
1
5log22log16log
72
5
4
5
4
8
3
2
2log218log3 72

 
. Resp: -348
h) 4log
22
49
5,2log1
3log
2
5
5
4loglog
81log2log
3
1
2 







. Resp:
1
2
i) )39(log
2
4
log
2
1624
log 3
3
13
2
1
53
2 







 
. Resp:
31
10

2. Determinar el valor de m2log si
2
5
log 22
m . Resp:
15
4
3. Determine el valor exacto de 









7
4
3
2433
819
log . Resp:
9
7
4. Hallar el logaritmo de 3
48 en base 5
2 . Resp:
55
3
5. Resolver los sistemas:
a)






2222
2
log
2
5
loglog ayx
axy
. Resp:
3
1 1
3
2 2
1
,
1
,
x y a
a
x a y
a

 

  


35
b)





045
0loglog
22
24
yx
yx
. Resp: 1 1
2 2
4, 16
1, 1
x y
x y
 

 
c)





2log3)log()log(
13log1)log( 22
yxyx
yx
. Resp: x = 9, y =7
d)
3log
5
12
log 3 7
5
y
y
x
x
  


. Resp: 1 1
2 2
3, 625
4, 123
x y
x y
 

 
6. INECUACIONES
1. Resolver las siguientes inecuaciones:
a)
7
)1(3
3
57
7
)1(2
3
2 





 xxxx
. Resp:
9
4
x
b) 23
5
1
2
3
7
2 2






 xxx
x
x . Resp:
13
30
x
c)
xxxx 





 8
1
6
1
6
1
8
1
. Resp:     );8(50;6]0;6(50;8 x
d) 0
)(
1
)(
1
22



 axax
, a < 0. Resp: x  (-; 0) – {a}
e) 0223
 xxx . Resp: x  (-2; 0)  (1; )
f) 063422 2345
 xxxxx . Resp: x  (-; -1)  (1; 2)
g) 0128128 2345
 xxxxx . Resp: x  (-6; -2)  (-1; )
h)
1
8
1
2
1 2




 xxx
x
. Resp: x  (-2; -1]  (1; 3)
i) 0
152
424
1 2




xx
x
. Resp: x  (-; -3)  (5; )
j)
1
1
1
22
3
2





x
x
x
x
. Resp: x  [-1; 1)
k)
)6)(1(
)1)(1(
1
1
2
2
2
2





xxx
xxx
xx
xx
. Resp: x  (-; 6)
l)
2
2
1
1
4
5
4
5





x
x
x
x
. Resp: x  (-; -1)
m) 0
)4()21()23(
)2)(3)(5()4(
38
27



xxx
xxxx
. Resp: );4(3;
2
1
)4;5( 





x
n)
4
1
44
12







x
x
x
x
x
x
. Resp: x  (-4; 1)
o)      54
13
4
224
3
2
 xxx . Resp: 2x

36
p)
15
92
124
5
3
3 

 xxx
. Resp: 3x
q)
18
7
26
7
9
1
3
4

xxx
. Resp:
6
5
x
r)  
4
3
62
2
36 

 x
x
x
. Resp: 7x
s)
   
7
13
3
75
7
12
3
2 





 xxxx
. Resp:
9
4
x
t) 23
5
1
2
3
7
2 2






 xxx
x
x . Resp:
13
30
x
u)       2153234216 2
 Xxxx . Resp:   ,7X
v)    22
271  xx . Resp:   ,5x
w)       542612  xxxx . Resp: 



 ,
2
1
x
x) 12
4
19


x
x
. Resp:  5,x
y)
532
x
x
xx
 . Resp: 0x
z)    xxx 82
4
1
2
1
462
3
1
 . Resp: x
Resolver las siguientes inecuaciones:
a) 2123  x . Resp: 




2
3
,2x
b) 5
2
13
1 


x
. Resp:  3,1x
c) 4
2
32
3 


x
. Resp: 




2
3
,
2
5
x
d)  x
xx


 2
5
9
3
135
2
3
12 . Resp:
2
11
x
e) x
x
x 


2
24
5 . Resp: 1x
f)    xxx  2
5
9
145
3
1
2
3
11 . Resp: 82  x
g)
5
14
2
5
11
4
3
5
6
2
 x
xx
. Resp: 44  x
h) 884532  xxx . Resp:   ,4x
i) 0673
 xx . Resp:     ,21,3x
j) 365 24
 xx . Resp:     ,22,x
k) 0842 23
 xxx . Resp:   ,2x
l) 24
9124 xxx  . Resp:  3,1x

37
m) 0223
 xxx . Resp:     ,10,2x
n) 063422 2345
 xxxxx . Resp:    2,11, x
o) 0128128 2345
 xxxxx . Resp:     ,12,6x
p) 024503510 234
 xxxx . Resp:    4,32,1 x
q) 0161210116 2345
 xxxxx . Resp:     ,41,1x
r)     02111 33
 xxxx . Resp:    



 ,1
2
2
,01,x
s)           05211233
9472
 xxxxx . Resp:    3,53,
2
1




x
t)
3
5
3
9
2




x
x
x
x . Resp:     ,43,1x
u)
  51
4
1
1


 xxx
. Resp: 511  xx
v)
   
 
0
1
1212
4
32



x
xx
. Resp: 1,
2
1




x
w)
    
0
21
1
23
1



 xxx
. Resp:   ,1x
x)
x
x


1
1
1 . Resp:    0,1 x
y)
  51
4
1
1


 xxx
. Resp:   15, x
z) 0
34
81
1 2




xx
x
. Resp:    21,3 x
a)
1
1
2
1
22





x
x
x
x
. Resp: x
b) 0
6
715
1 2




xx
x
. Resp:  323  xx
c) 2
1
833
2
2



xx
xx
. Resp:     ,32,x
d)
2
1
43
4
2
2



xx
xx
. Resp:  3,4x
e) 2
54
303
2
2



xx
xx
. Resp:  5,4x
f) 0
7218172
23353
234
234



xxxx
xxxx
. Resp:       ,43,23,x
g)
1
8
1
2
1 2




 xxx
x
. Resp:    3,11,2 x

38
h) 0
152
424
1 2




xx
x
. Resp:     ,53,x
i)
1
1
1
22
3
2





x
x
x
x
. Resp:  1,1x
j)
  
  61
11
1
1
2
2
2
2





xxx
xxx
xx
xx
. Resp:  6,x
k)
2
2
1
1
4
5
4
5





x
x
x
x
. Resp:  1,x
l)
     
     
0
42123
2354
36
25



xxx
xxxx
. Resp:    



 ,43,
2
1
4,5x
2. Si la temperatura en la escala Fahrenheit es F grados y utilizando la escala Celsius es C,
entonces
5
C = (F-32)
9
C. ¿Cuál es el conjunto de valores de F si C está entre 10 y 20?
Resp: {F / 50 < F < 68}
3. Cuando la temperatura del agua es mayor o igual a 100º Celsius, el agua hierve. Utilice la
fórmula del problema anterior para determinar la temperatura Fahrenheit a la cual hierve el agua.
4. Un inversionista tiene invertidos $ 8000 al 9 % y piensa invertir dinero adicional al 16 % con
objeto de lograr un rendimiento de al menos 12 % de la inversión total. ¿Qué cantidad de dinero
deberá ser invertida? Resp: por lo menos $ 6000.
5. Parte de $ 20000 son invertidos al 9 % y el resto se invierten al 12 %. ¿Cuál es la menor
cantidad de dinero que puede ser invertida al 12 % para tener un rédito anual de al menos $ 2250 de
las dos inversiones?
6. Un fabricante de lámparas vende únicamente a mayoristas en su sala de exposición. El gasto
semanal total, incluyendo salarios, costos de planta y renta de la sala de exhibición, es de $ 6000. Si
cada lámpara se vende por $ 168 y el material usado en su construcción cuesta $ 44, ¿cuántas
lámparas deberá hacer y vender cada semana para que el fabricante logre una ganancia?
Resp: por lo menos 49.
7. Si en un curso particular, un estudiante tiene un promedio de calificaciones, en cuatro
exámenes, de menos de 90 pero no debajo de 80, el estudiante recibirá una calificación de B en el
curso. Si las calificaciones del estudiante en los tres primeros exámenes son 87, 94 y 73, ¿qué
calificación en el cuarto examen dará como resultado la calificación B?
8. Un platero piensa obtener una aleación que contenga al menos 72 % y cuando más 75 % de
plata. Determine las cantidades máxima y mínima de una aleación a 80 % que debe ser combinada
con una aleación de plata de 65 % para obtener 30 gr de la aleación requerida.
Resp: a lo más 20 gr y a lo menos 14 gr.
9. ¿Qué cantidad de alcohol puro debe ser agregado a 24 litros de una solución de alcohol al 20 %
para obtener una mezcla que al menos tenga 30 % de alcohol?

39
10. Una empresa puede vender a $ 100 por unidad todos los artículos de primera necesidad que
produce. Si se fabrican x unidades por día, y el número de dólares en el costo total diario de
producción es x2
+ 20x + 700. ¿Cuántas unidades deberán producirse diariamente de tal manera que
la compañía garantice una ganancia? Resp: más que 10 y menos que 70.
11. Una compañía que fabrica escritorios puede vender todos los que produce a $ 400 cada uno. Si
x escritorios se venden cada semana, entonces el número de dólares en el costo total de producción
semanal es 2x2
+ 80x + 3000. ¿Cuántos escritorios deberán construirse semanalmente para que el
fabricante garantice una ganancia?
12. Un campo rectangular cercado está ubicado en la orilla de un río; el lado largo del río no
requiere de cerca. El costo del material para la cerca es de $ 8 por pie lineal para los dos lados
opuestos con cerca y $ 16 por pie lineal para el lado paralelo al río. Si el área del campo es de
12000 pie2
y el costo de la cerca no debe exceder de $ 3520, ¿cuáles son las restricciones en las
dimensiones del campo? Resp: Si x pies es la longitud de cualquier lado, 100  x  120.
13. Una parcela rectangular de terreno será encerrada por una cerca, luego, dividida a la mitad por
otro tipo de cerca. La cerca que divide a la mitad la parcela cuesta $ 3 por pie lineal y la otra cerca
tiene un costo de $ 6 por pie lineal. Si el área del terreno es 1800 pie2
y el costo total de la cerca no
debe ser mayor que $ 2310, ¿cuáles son las restricciones en las dimensiones del terreno?
7. SISTEMAS DE INECUACIONES
1. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)















4
13
5
72
10
1
2
5
3
3
2
12
xx
xx
x
x
. Resp: 






7
33
;
5
21
x
b)











0
2
4
1
2
12
x
x
x
. Resp: x  (-0.3; 2)
c)






639175
2,1
3
2
3
7
4,0
xx
xx
. Resp:
53
20
4
x 
d)








0)1)(17(
078
0)2)(5(
2
xx
xx
xx
. Resp: 

40
e)









012
052012
0
24
2
2
xx
xx
xx
. Resp: [ 1; 0]x 
f)











1
3
1
0
4
1
2
2
x
x
xx
. Resp: [4; )x 
a) 173 3
 xx . Resp: x  (-1; 2)
b) 0426  xx . Resp: x  [3; )
c) xx  86 . Resp: x  [6; 7)
d) xxx  522
. Resp: x  (-; -1]  [2; 3]
e) 313142
 xxx . Resp: x  (-; 1]
f) 4
51 xx  . Resp: x  [-1; 1]
g) 723 x . Resp: 




3
47
,
3
2
x
h) 23  x . Resp: 3x
i) 212  xx . Resp: 




 5,
2
1
x
j) xx  53 . Resp:  4,3x
k) x
x
x



2
4
. Resp:  4,2x
l) 464  xx . Resp:     ,208,4x
m) 4
51  xx . Resp:  1,1x
n) 31522
 xx . Resp:     ,53,x
o) xxx  43 2
. Resp:  3,0x
p) xx 3161  . Resp: 




6
1
,
3
4
x
q) xxx  2
224 . Resp:  4,3x
r) 0
1
5
2
93






x
x
x
x
. Resp:    5,31,2 x
s) 55  xx . Resp:  4,0x
t) 3273  xx . Resp:     ,63,2x
u) 3 23 2
113  xxx . Resp:

41
v)
3
3
2
12 xx
x



 . Resp:
3 3
; ( 241 7) ( 241 7);
32 32
x
   
            
w) 311  xxx . Resp:
4 3
1;
3
x
 
    
 
x) 4
51 xx  . Resp: [ 1;1]x 
y)
2
1
13  xx . Resp:
31 31
1;1 1 ; 3
8 8
x
   
       
   
z) 195  xx . Resp:
7 7
5; 7 7 ; 9
2 2
x
   
      
   
a) 1
224 2


x
xx
. Resp:
b) 0189 4
 xx . Resp:
c) xx  432 . Resp:
a) 6 xx . Resp: x  (-; 3]
b) 221  xx . Resp: 




 ;
2
5
x
c)
3
3
16
3




xx
x
. Resp: x  (-; 3)  (9.2; ) – {-16}
d)
2
1
1
2





x
x
x
x
. Resp: }2;1{]82.0;82.1[
2
5
; 




x
e) 252312  xxxx . Resp: 




3
11
;
3
1
]5;(x
f) 2
13
31



x
x
xx
. Resp:  8;2]55.1;4( x
g) 2 5 2 4x   . Resp:
h) 1
3 4
x
x
 

. Resp:
i)
2
9 0x   . Resp:
j)
1
2 3
1
x
x
x

  

. Resp:
k) 2 15 15 16x x     . Resp:

42
l)
8 4
4
5 2
x
x



. Resp:
m)
2
2
4
0
1
x x
x
 


. Resp:
n)
2
3 6
2 9
2 1
x
x
x

  

. Resp:
o) 2 5 6 15x x    . Resp:
p) 3 1 2x x    . Resp:
q)
2 25 8 3 2 10
2
x x x x
x x
   


. Resp:
r) 2 1
2 1 1
4
x x x    

. Resp:
s)
2 1 3
1 2 2
x x
x x

 

. Resp:
t)
2
2 3
3
1
x
x
x

 

. Resp:
u) 2 2
2 1 3 2x x x x      . Resp:
v)
2
2
4 3
1
5
x x
x x
 

 
. Resp:
w) 2
3 2 0x x x    . Resp:
x) 5 3x   . Resp: 82  xx
y) 2 3x   . Resp:  1;5x
z)
3 1
2
1
x
x



. Resp: 





 3;
5
1
x
a) 3
21
94



x
x
. Resp:











2
1
6;
2
3
x
b) 15  xx . Resp: 2x
c) 4325  xx . Resp: 



 3;
4
1
x
d) xx  623 . Resp: )2;2(x
e) 121  xx . Resp: 2x
f) 232 x . Resp: );7()3;1()3;( x

43
g) 012
x . Resp: x
h) 11 23
 xxx . Resp:  2;0x
i) 432 x . Resp:  9;5x
j)
24
2
22




x
x
x
x
. Resp: x
k) 321  xx . Resp: 21  xx
l) xxx 5252  . Resp: 



 2;
3
4
x
m) xxx  334 . Resp: x
n) 0372 2
 xx . Resp: );3[
2
1
;
2
1
]3;( 



x
o)
1
1
84
1
2




xxx
x
. Resp: 1
2
7
; 




x
p)
4
2
44
4
22





x
x
xx
x
. Resp:  2x
q) 123 2
 xx . Resp:
r) 15 1
 
x . Resp:
s)
4
16
1
22



 x
x
x
x
. Resp:
t) 32
2
1


x
x
. Resp:
u) 53123  xx . Resp:
v) 2
32
12



x
x
x
. Resp:
w) 82
4
9
332 2


 xxxx . Resp:
x) 92
12
63 2



x
x
x
. Resp:
y)
73
12
7
2
3
1








x
x
x
x
x
x
. Resp:
8. ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
1. Resolver la siguiente ecuación:

44
a) a
xaax
10
7
5
6
2




. Resp:
b)
     cabbac
xcb
cbacba
ax




 222
1 . Resp:
c)   0
4
1
5135
2
7
563
9
1












 x
x
x . Resp:
d) 2
11






bax
x
bax
x
. Resp:
e) 2
3
3
14


x
bb
ax
. Resp:
f)
3
2
6
5
7
6
2
1











x
x
x
x
x
x
x
x
. Resp:
g)
x
x
x
x n
n
n


 2
2
2
2
. Resp:
h) 216  xx . Resp:
i)
 
ab
baax
a
bx
b
ax
2
32 




. Resp:
j) 111 












x
b
a
b
x
a
b
a
. Resp:
k)
5
3
328
4
2



xx
x
. Resp:
l) 0
35
2
3
1
3
2
1
6









x
x
x
. Resp:
m)
c
cddx
c
d
dcx 

 42
. Resp:
n) 22
22
1
3
1
1
xa
xa
ax
ax





. Resp:
o)
672
6
32
3
2
2
2




 xxxx
. Resp:
p)
16
49
2
3
2
8
8
2
8
5
2 





x
x
x
x
x
. Resp:
q) mmxmmm 618243  . Resp:
r) 111 












x
b
a
b
x
a
b
a
. Resp:
s) 1)()(
1
)1()1)(()1()( 2
2



baba
ba
xxbaxba
. Resp:

45
t)
x
cbbc
cb
cb
cb
)(
)(
22
2 



 . Resp:
u)
1
)1(
11 2
21







x
xax
x
bx
x
xax mmmm
. Resp:
v)
ab
baax
a
bx
b
ax 2
)(32 




. Resp:
w)
)(2)(3
1
2
2
nm
p
p
nm
xp
nm 




. Resp:
x)
3
2
6
5
7
6
2
1











x
x
x
x
x
x
x
x
. Resp:
y) 1
2
1
3
1
3
122



















aaab
x
aab
x
b
x
. Resp:
z) x
aaaa
a
a
a
a
x
a
a
x
a
a






















)4(
56
)4(
4816
2
7
2
23
2
23
22
. Resp:
Resolver la siguiente ecuación:
a) 2
2
2
2
)(
)(
33
)(
)2(
ba
ab
abccx
a
bx
baa
abxb




. Resp:
b) 4)4(2)54(3  xx . Resp:
c) 2
3)1)(13( xxx  . Resp:
d)
1
4
1
3
1
2
2




 xxx
. Resp:
e)
65
3
3
32
2 2
2






 xx
x
x
x
x
x
. Resp:
f)
x
x
x
x 


 5
32
12
. Resp:
g) 1
94
2
2

x
x
. Resp:
h) xx  1175 . Resp:  3;1x
i) 1215  xx . Resp:







4
13
;
6
11
x
j)
4
16
1
22



 x
x
x
x
. Resp:
5
4
x
k) 512  xx . Resp:  2;6x
l) 03213210
2
 xx . Resp:







5
11
;
5
9
x
m) 113  xxx . Resp:  3,1;5 x

46
n) 1213  xx . Resp:






 2;
2
1
x
o) 0531433
2
 xx . Resp:  8;2x
p) 572  xx . Resp: 
q) 0531433
2
 xx . Resp: x  {-2; 8}
r) 1213  xx . Resp:






 2;
2
1
x
s) 512  xx . Resp: x  {-6; 2}
t)
n
x
n
x
n
xn
n
x











1
1
1
12
1
)1(2
1
1
44
2
. Resp:
3
4
x 
u) 0)2(17)2(9 24
 
xx . Resp: x1 = 1, x2 = -5
v) 












 1
54
1
2
x
x
x
x
. Resp:
w) 01
1
2
4
1
2
3 










x
x
x
x
. Resp:
x) 13183 2
 xxx . Resp:
y) 076332
 xxx . Resp:
z) cxcccxc  22
2254 . Resp:
a) pppxppx 23 22
 . Resp:
b) axaaxxaaxx 26107 2222
 . Resp:
c) 3/2
3/23/13/13/2
3/43/23/23/4
a
aaxx
aaxx



. Resp:
2. Resolver aplicando la fórmula general las siguientes ecuaciones de segundo grado
a) 01282
 xx . Resp:
b) 0862
 xx . Resp:
c) 02142
 xx . Resp:
d) 025102
e) 01892
f) 0962
g) 0572
h) 01872
i) 030162 2
j) 021243 2
k)   4242 xx . Resp:

47
l)    4001515  xx . Resp:
m)    632  xx . Resp:
n)   1414 2
 xx . Resp:
o)   0832
2
p) 5
3
1



x
x . Resp:
q)
1
132
2
2
1
1








x
x
x
x
x
x
. Resp:
r) 2
3
9

x
x
. Resp:
s)
7
47
5
21
7



x
x
. Resp:
t) xxx 34527  . Resp:
u) 0
9
1
2
3
2
6 











 xxx . Resp:
v) 3
1111








xbax
x
b
b
a
a
. Resp:
w)
    bxba
a
bab
x 1




. Resp:
x)   0222
 abxbaabx . Resp:
y) 02 222
 baaxx . Resp:
z) nmnxmx 2
. Resp:
3. Resolver: (ecuaciones de segundo grado)
18
1
1
1
1 2
2
2
2
2






x
xx
xx
xx
xx
.
Resp: x = 1, x = -1, x = 2
4. Para qué valores de k la ecuación   01462 2
 kkxxk
a) tiene una raíz
b) no tiene raíces
c) tiene raíces iguales y de signo contrario
5. Demostrar que la ecuación 222
4223 aaxaaxx  tiene raíces racionales
6. Para qué valor de m tendrá la ecuación 0)23(7)31(22
 mxmx raíces iguales.

48
7. Si  y  son las raíces de la ecuación: 02
 nmxx ; hallar la ecuación cuyas raíces sean


y


.
8. Ecuaciones con una incógnita:
a) 1
4
365
2
12
3
2





 xxx
. Resp: x = 8
b)    
1 2 1
8 1 6
6 3 2 3
x
x x x      . Resp: x = 5
c)   0
4
1
5135
2
7
563
9
1












 x
x
x . Resp:
2
11
x
d) 111 












x
b
a
b
x
a
b
a
. Resp: x = a + b
e)
20
37
4
4
3
10
2
5
a
x
a
x
a
x
a
x 





 . Resp:
4
a
x 
f)        2222222
1121  xbaabxxba . Resp:
)(4
1
baa
x


9. Suponga que el tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 16 galones, y se
pueden recorrer 20 millas con un galón de gasolina. Si se inicia un viaje con el tanque lleno,
¿cuántos galones quedarán en el tanque después de recorrer a) 100 millas, b) 300 millas? c) Si y
galones de gasolina quedan en el tanque después de haber manejado x millas, escriba una ecuación
que relacione y y x. Emplee la respuesta obtenida en el inciso anterior, para determinar d) ¿cuánta
gasolina queda en el tanque después de conducir 240 millas?, e) ¿qué tan lejos se puede manejar
cuando el indicador marca que queda un cuarto de tanque de gasolina? y f) ¿qué tan lejos puede
manejarse con un tanque lleno antes de quedarse sin gasolina?
Resp: a) 11; b) 1; c) 16
20
x
y   ; d) 4 galones; e) 240 millas; f) 320 millas.
10. El costo de una llamada de larga distancia de A a B en cualquier día de la semana es de 40
centavos de dólar el primer minuto y 31 centavos de dólar para cada minuto adicional. ¿Cuál es el
costo de una llamada que duró a) 4 minutos; b) 10 minutos? c) Si y dólares es el costo de una
llamada que tuvo una duración de x minutos, escriba una ecuación que relacione y y x. Utilice la
ecuación del inciso anterior para determinar d) el costo de una llamada de 16 minutos de duración, y
e) la duración de una llamada que costó 4,74 dólares. Resp:
11. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
a) 1
41



 x
x
x
x
. Resp: x1 = -2, x2 = 2
b)
x
xx
x
x



 6
6
62
1
6
. Resp: x1 = -3, x2 = 18

49
c) x
bxxa
bxxa



)()(
))((
. Resp: abx 
d) 0
111





 cxbxax
. Resp: ))((2,1 bcaccx 
12. Hallar dos números que tengan por:
Suma 18 y por producto 45. Resp: x1 = 15, x2 = 3
Suma -10 y por producto 16. Resp: x1 = -2, x2 = - 8
13. Determinar m y n de tal manera de que las dos ecuaciones:
2
2
(5 52) ( 4) 4 0
(2 1) 5 20 0
m x m x
n x nx
     

   
tengan las mismas raíces.
Resp: m = 11, n = 7
14. Si  y  son las raíces de: 02
 qpxx , fórmese la ecuación cuyas raíces sean: ( - )2
y
( + )2
. Expresar la nueva ecuación en función de p y q.
Resp:     0422 2222
 qppxqpx .
16. Use la fórmula general de la ecuación de segundo grado para resolver:
Resolver las siguientes ecuaciones en términos de x:
a) 06522
 yxxy . Resp:
b) 0342 22
 xxyy . Resp:
c) 010292 22
 xyxy . Resp:
d) 0381023 22
 yxyx . Resp:
Resolver las siguientes ecuaciones en términos de y:
e) 01037 22
 xyyx . Resp:
f) 081224 22
 yxyx . Resp:
g) 032855 22
 xyxy . Resp:
h) 05231612 22
 xxyy . Resp:
17. Formar las ecuaciones cuyas raíces son:
a)
n
m
,
m
n
 . Resp:
b)
qp
qp


,
qp
qp


 . Resp:
c) qp 22 , qp 22 . Resp:
d)
5
4
 ,
7
3
. Resp:

50
e) 532  , 532  . Resp:
f) iba )(  , iba )(  . Resp:
18. Para qué valores de m tendrá raíces iguales la ecuación x2
– 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0.
Resp:
19. Para qué valores de m las raíces de la ecuación
1
12





m
m
cax
bxx
, serán iguales en magnitud,
pero de signo contrario? Resp:
20. Demostrar que las raíces de las siguientes ecuaciones son racionales:
a) (a + c - b)x2
+ 2cx + (b + c - a) = 0. Resp: x = -1,
a b c
x
a b c
 

 
b) abc2
x2
+ 3a2
cx + b2
cx - 6a2
– ab + 2b2
= 0. Resp:
2a b
x
ac

 ,
3 2a b
x
bc

 
21. Hallar la condición para que una de las raíces de ax2
+ bx + c = 0 sea igual a n veces la otra.
Resp:
22. Formar la ecuación cuyas raíces sean los cuadrados de la suma y de la diferencia de las raíces
de 2x2
+ 2(m + n)x + m2
+ n2
= 0. Resp:
23. Las raíces x1 y x2 de la ecuación x2
- 3ax + a2
= 0 son tales que
100
1752
2
2
1  xx . Determine el
valor de a. Resp:
24. Dos números suman 85 y la diferencia de sus raíces cuadradas es 1. Hallar los números.
Resp: 49 y 36
25. Dadas las ecuaciones x2
– 5x + k = 0 y x2
– 7x + 2k = 0, determínese k de tal manera que una de
las dos raíces de la segunda sea doble de una de las raíces de la primera. Resp:
26. Si un polígono regular de 10 lados está inscrito en una circunferencia de radio r unidades y si s
unidades es la longitud de un lado, entonces
r s
s r s


. Resuelva esta fórmula para s en términos de
r. Resp:
5 1
2
s r

 ,
5 1
2
s r

 
27. Un objeto es lanzado, desde el suelo, verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de
128 pie/seg. a) A partir de la ecuación s = -16t2
+ v0t, escriba una ecuación de movimiento del
objeto. Encuentre algebraicamente: b) la distancia que el objeto ha recorrido desde el suelo al final
de 2 seg; c) ¿al final de cuántos segundos la distancia del objeto a la tierra es nuevamente la misma
del inciso b)?; d) ¿al final de cuántos segundos el objeto alcanza el suelo?
Resp: a) s = -16t2
+ 128t; b) 192 pie; c) 6; d) 8

51
28. Si un objeto es lanzado linealmente hacia arriba, partiendo de un punto s0 pies arriba del nivel
del suelo con una velocidad de v0 pies por segundo; entonces si s es la distancia del objeto al piso,
ésta será, después de t segundos de ser lanzado, s = -16t2
+ v0t + s0. Emplee esta ecuación para
escribir una ecuación de movimiento de una pelota lanzada desde la orilla de una azotea a 68 pie
arriba del suelo con una velocidad inicial de 76 pie/seg.
Resp: s = -16t2
+ 76t + 68.
29. La suma de dos números es 9 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son los números?
Resp:
15
2
y
3
2
.
30. Encuentre dos números cuya suma es 7 y uno de los cuales es tres veces mayor que el otro.
31. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y su perímetro es 40 cm.
¿Cuáles son las dimensiones? Resp: 12 cm y 8 cm.
32. El lado más largo de un rectángulo es el doble de la longitud del lado más corto y 2 cm mayor
que el tercer lado. El perímetro del triángulo es 33 cm. ¿Cuáles son las longitudes de cada lado?
33. Los boletos de admisión a una sala cinematográfica costaron $ 6 para adultos y $ 4,50 para
estudiantes. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue de $ 4279,50. ¿Cuántos boletos de
cada tipo se vendieron? Resp: 423 adultos y 387 estudiantes.
34. Un inversionista desea ganar 12 % sobre el total de dos inversiones. Si él invierte $ 10000 al
10 %, ¿qué cantidad adicional de dinero deberá invertir a 16 %?
35. Una persona invierte $ 25000 en dos negocios riesgosos, en el último año tuvo una utilidad de
15 % del primer negocio, pero perdió 5 % en el segundo. Su ingreso en el último año, proveniente
de los dos negocios, fue equivalente a un rendimiento de 8 % sobre la inversión total. ¿Cuánto tiene
invertido en cada negocio? Resp: $ 16250 en el primero y $ 8750 en el segundo.
36. Un comerciante al menudeo invirtió $ 6500 en tres tipos de cámaras. La ganancia de venta de
las cámaras A fue de 25 %, en la venta de las cámaras B, la ganancia fue de 12 %; y hubo pérdida
de 1 % en la venta de las cámaras C. El comerciante invirtió cantidades iguales en las cámaras A y
B y la ganancia global sobre la inversión total fue de 14 %. ¿Cuánto se invirtió en cada tipo de
cámara?
37. Un orfebre obtuvo 40 gr de una aleación que contiene 70 % de oro combinando una aleación
que posee 80 % de oro con otra aleación que tiene 55 % de oro. ¿Cuántos gramos de cada aleación
combinó el orfebre? Resp: 24 gr de aleación de oro a 80 % y 16 gr de aleación de oro a 55 %.
38. Determine cuánta agua se requiere para diluir 15 litros de una solución al 15 % de colorante,
hasta obtener una solución al 5 % de colorante.
39. ¿Qué cantidad de agua deberá ser evaporada de 15 litros de la solución de colorante al 12 %
del ejercicio anterior, para obtener una solución en la que el colorante se encuentre al 20 %?
Considere que la cantidad total de colorante no se vea afectada por el proceso de evaporación.

52
Resp: 6 litros.
40. Se prepara una mezcla de perfume para venderse a % 80 la onza, y se obtiene al mezclar dos
tipos de perfume, uno de $ 104 y el otro de $ 50 la onza, respectivamente. Si se desea obtener 270
onzas de la mezcla, ¿qué cantidad de cada tipo de perfume deberá ser utilizada?
41. Un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rectangulares y una altura de 3 m es construido
con un costo de $ 63 de material. Si el material para el fondo cuesta $ 5,40 por m2
y el material de
los lados tiene un costo de $ 2,40 por m2
. ¿Cuál deberá ser el volumen del depósito?
Resp:
25
3
m3
.
42. Una página de 144 cm2
de región impresa tiene un margen de 4,5 cm en las partes superior e
inferior de la hoja y un margen de 2 cm en los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la página, si su
ancho es cuatro novenos de su longitud?
43. Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por 100 m contiene un jardín
rectangular limitado por una terraza de ancho uniforme. Si el área del jardín es la mitad del área del
parque, ¿cuál es el ancho de la terraza? Resp: aproximadamente 10,85 m.
44. ¿Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100 m de largo por 60 m de ancho que
deberá ser arada para que esta parte corresponda a las dos terceras partes del área del terreno?
45. Cada estudiante de nuevo ingreso en una escuela particular requiere sustentar una prueba de
aptitud en el idioma inglés. Un estudiante que aprueba el examen se inscribe en el curso de
redacción y uno que no aprobó se inscribe en el curso de inglés básico. En una generación de 1240
estudiantes de nuevo ingreso hay más alumnos inscritos en inglés básico que en redacción. Sin
embargo, si 30 estudiantes más hubieran aprobado el examen, ambos cursos tendrían la misma
cantidad de alumnos. ¿Cuántos estudiantes tienen cada curso?
Resp: 650 en inglés básico y 590 en redacción
46. El día de campo anual de los alumnos de segundo año es planeado por un comité de 17
miembros. Un voto para determinar si el día de campo se lleva a cabo en la playa o en las montañas
dio la victoria para hacerlo en la playa. Sin embargo, si dos miembros del comité cambian su voto
de la playa para favorecer a la montaña, la montaña gana por un voto. ¿Cuántos votos recibió cada
lugar?
47. La suma de los recíprocos de dos números pares consecutivos es
9
40
. ¿Cuáles son los
números? Resp: 8 y 10
48. ¿Existen dos números pares consecutivos, cuya suma de recíprocos es
8
45
? Si la respuesta es
afirmativa, encuéntrelos. Si su respuesta es negativa explique cómo llego a esa conclusión.
9. ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICAS

53
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 4379 24
 xx . Resp: x = 2, x = -2,
1
3
x  ,
1
3
x  
b) 2410 42
 xx . Resp: x = 2, x = -2, 6x  , 6x  
c) 443 12
 
xx . Resp:
1
2
x  ,
3
2
x  
d)     0706176 222
 xx . Resp: x = 1, x = -1, x = 2, x = -2
e)    xxxx 522352 222
 . Resp: x = 3,
1
2
x   ,
5 17
4
x

 ,
5 17
4
x


f)   022244422
 baxbaxba . Resp:
b
x
a
 ,
b
x
a
  ,
a
x
b
 ,
a
x
b
 
g) 












 1
54
1
2
x
x
x
x
. Resp:
4
3
x 
h) 3
1
12
2
12
1
















x
x
x
x
. Resp: x = 1, x = 2
i) 0612512  xx . Resp: x = 4,
3
2
x 
j) 82 24
 xx . Resp: 2x  , 2x   , x = 2i, x = -2i
k) 36
35827 xx  . Resp: x = 1,
2
3
x  ,
1 3
2
i
x
 
 ,
1 3
3
i
x
 

l)     403143 222
 xxxx . Resp: x = 1, x = 2, x = -4, x = -5
m) 09263 24
 xx . Resp: x = 3, x = -3,
3
3
i
x  
n)   0222222244
 abxcbcaxc . Resp:
b
x
c
 ,
b
x
c
  ,
ai
x
c
 ,
ai
x
c
 
o) 06
1
2
5
1
2
2
















x
x
x
x
. Resp: x = 4,
5
2
x 
p) 03
2
3
3
2
2 















x
x
x
x
. Resp:
5
2
x  ,
7
3
x 
q) 01
1
2
4
1
2
3 










x
x
x
x
. Resp:
3
2
x  ,
19
10
x 
10. RESOLUCION DE ECUACIONES CON RAICES RACIONALES E IRRACIONALES
1. Encuentre las raíces reales de la ecuación, con aproximación de tres cifras decimales:
a) 7x4
+ 2x3
– 3x2
– 7x – 5 = 0. Resp: x = 1.19, x = -0.756
b) x3
+ 5x – 3 = 0. Resp: x = 0.564
c) 2x3
– 4x2
– 3x + 1 = 0. Resp: x = 0.256, x = 2.51, x = -0.773
d) x4
+ 2x3
– 5x2
+ 1 = 0. Resp: x = 0.520, x = -0.420, x = 1.33, x = -3.43

54
e) x4
- 5x3
+ 2x2
- 5 = 0. Resp: x = 4.61, x = -0.847
f) x5
+ x2
– 9x - 1 = 0. Resp: x = -1.788, x = -0.109, x = 1.677
g) x5
+ x3
+ 2x – 5 = 0. Resp: x = 1.088
h) x4
- 11x2
– 44x – 24 = 0. Resp: x = 4.64, x = -0.645
i) x3
– 36x – 84 = 0. Resp: x = 6.93
j) x4
– x – 2 = 0. Resp: x = -1, x = 1,353
k) x5
– 2x2
+ 4 = 0. Resp: x = -1.097
l) x3
– 3x + 1 = 0. Resp: x = 0.347, x = -1.87, x = 1.53
m) x3
+ 2x2
– 8x – 3 = 0. Resp: x = -0.349, x = -3.86, x = 2.21
n) x4
- x3
– 10x2
– x + 1 = 0. Resp: x = 3.73, x = 0.267, x = -0.381, x = -2.61
o) 4x3
– 4x + 1 = 0. Resp: x = 0.269, x = -1.10, x = 0.837
p) x3
- 6x + 2 = 0. Resp: x = 0.339, x = -2.60, x = 2.26
q) x3
+ 2x + 7,8 = 0. Resp: x = -1.65
r) 2x3
- x2
- x - 3 = 0. Resp: x = 1.5
s) x3
– 0,2x2
– 0,2x – 1,2 = 0. Resp: x = 1.2
t) 2x3
+ x + 3 = 0. Resp: x = -1
u) 2x5
- 100x2
+ 2x – 1 = 0. Resp: x = 3.678
v) x4
- 35x3
+ 380x2
- 1350x + 1000 = 0. Resp: x = 5, x = 11.4, x = 0.994, x = 17.5
w) 3x5
+ 7x4
- 8x3
+ 5x2
- 2x - 1 = 0. Resp: x = 0.765, x = -0.255, x = -3.307
x) x5
+ x4
+ x2
+ 10x - 5 = 0. Resp: x = 0.470
11. ECUACIONES IRRACIONALES DE SEGUNDO GRADO
1. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) xx  33 2
. Resp:
6
2
x 
b) 54113  xx . Resp: x = 1, x = 5
c) 23132  xxx . Resp: x = 2
d) 1213  xx . Resp: x = 1, x = 5
e) 5 1 2 2 3x x    . Resp: x = 2,
26
9
x 
f) 3615  xx . Resp: x = 10
g) 2 3 5 2x x    . Resp: 14 4 15x  
h) 43226  xxx . Resp: x = 7
i) 231354  xxx . Resp: x = 1
j) aaaxaax  22
332 . Resp: x = -a, x = 2a
k) cxcccxc  22
2254 . Resp: x = -c
l) 74 x . Resp: x = 45
m) xx  236 . Resp: x = 64
n) 6 1 7 4x x x     . Resp: x = 3
o) 18257  xxx . Resp: x = 9

55
p)
xa
a
xaxa


5
12
55 . Resp: x = 3a, x = 4a
q) bbbxbbx  22
32 . Resp: x = -b, x = 3b
r) baxbaxbax  3 . Resp:
b
x
a

s)
1
7
7
1
82




x
x
x
xx
. Resp: x = 1
2. Un balón esférico se infla de tal forma que su volumen se incrementa con una rapidez de
148
3

pie3
/min. Si el radio es ahora de 3 pie, ¿cuál será el radio en 1 minuto? Resp: 4 pie.
3. La superficie lateral de un cono circular recto de radio de la base r unidades y altura h unidades
es S unidades cuadradas, donde 2 2
S r r h   . Resuelva esta fórmula para h y para r.
4. Un sólido esférico que tiene un radio de r unidades y una gravedad específica k, se sumergirá en
agua a una altura de x unidades, donde x es una raíz positiva de la ecuación x3
– 3rx2
+ 4kr3
= 0.
Encuentre la profundidad a la cual se sumergirá una boya esférica de radio de 10 pulg y una
gravedad específica de 0,1. Resp: 3,92 pulg.
5. La longitud de la diagonal de un rectángulo es 50 pulg y el área es 1200 pulg2
. ¿Cuáles son las
dimensiones? Resp: 40 pulg y 30 pulg.
6. Un fabricante de cajas abiertas de estaño, de 85 pulg3
de volumen, hace uso de hojas de estaño
con dimensiones de 8 por 15 pulg cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando
hacia arriba los lados. Encuentre la longitud del lado del cuadrado a cortar.
Resp: 1,21 pulg o 2,16 pulg.
7. Un fabricante de cajas de cartón las hace abiertas y con un volumen de 120 cm3
a partir de hojas
cuadradas de cartón de 12 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando
los lados hacia arriba. Encuentre la longitud del lado del cuadrado a cortar.
8. Empleando madera, se fabrica una caja rectangular abierta de espesor uniforme en los lados y
fondo. Las dimensiones internas son 5 pie de longitud, 3 pie de ancho y 2 pie de altura. Si la madera
pesa 40 libras por pie cúbico. Determine cuál debería ser la densidad de la madera para que la caja
vacía pese 160 libras. Resp: 0,98 pulg.
12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)








0422
2
10232
zyx
zyx
zyx
. Resp: x = -6, y = 2, z = 2

56
b)








1
4325
4324
zyx
zyx
zyx
. Resp: x = 0, y = 1, z = 2
c)








53
1722
525
zy
zyx
zyx
. Resp: x = 3, y = -3, z = 4
d)








czyx
bzyx
azyx
2
2
2
. Resp: x = b + c, y = a – b, z = a - c
e)








0
8
6
czbyax
czbyax
czbyax
. Resp:
f)








383
12
232
zy
zx
yx
. Resp:
1
2
x  ,
1
3
y  ,
1
4
z 
2. Determinar los valores de k tales que los sistemas siguientes tengan: Una solución, Infinitas
soluciones, Ninguna solución
a)








132
243
2
zyx
kzyx
kzyx
. Resp:
b)








12
22
33
kzyx
zkyx
zx
. Resp:
c)








1
1
1
kzyx
zkyx
zykx
. Resp:
d)





382
12
zkyx
kzyx
. Resp:
e)
 
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2
2 3
5
x x x
x x x
x x k x k
   

  

   
. Resp:

57
f)








03
22
1
zkyx
zyx
zyx
. Resp:
3. Por eliminación Gaussiana, resolver:
a)








113
12
1034
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. Resp: x = 2, y = -1, z = 4
b)








12523
12
1034
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. Resp: x = t, y = 1 – t, z = t + 2
c)








15523
12
1034
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. Resp: No tiene solución
4. Resolver los sistemas:
a)





abyx
byx
23
222
. Resp: x = b – a, y = a
b)





bayaabx
abaybx
22
532
23
. Resp: x = a, y = b
c)





72
5
yx
yx
. Resp: x = 4, y = 1
d)





3
1735
yx
yx
. Resp: x = 4, y = 1
e)














8
3
126
23
43
)(2
150
193
63
24
5
32
xyxyyx
xyxyx
. Resp:
4
5
x  ,
1
2
y 
f)








1
1
323
zy
zx
yx
. Resp: x = -1, y = 3, z = -2
g)








1
7
5
yx
yx
zyx
. Resp: x = 4, y = 3, z = 2

58
h)








42
5
1335
zy
zyx
zyx
. Resp: x = t, y = t – 1, z = 2t - 6
i)








625
453
932
yx
yx
yx
. Resp:
j)








15128
1264
932
yx
yx
yx
. Resp:
k)








1325
453
922
yx
yx
yx
. Resp:
5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)








bzyx
azyx
azyx
5232
23
2
. Resp: x = a, y = -b, z = a - b
b)








112
5325
30436
zyx
zyx
zyx
. Resp: x = 3, y = -4, z = 6
c)








0
03
0
321
331
321
xxx
xxx
xxx
. Resp: x = t, y = 0, z = -t
d)








53
143
143
zy
zyx
zyx
. Resp: x = -9,
10
13
y   ,
25
13
z  
e)








31416
6452
9663
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. Resp: x = t, y = 4t – 12,
9
( 3)
2
z t 
f)








823
732
4
21
21
21
xx
xx
xx
. Resp:
g)








2223
5
42462
321
431
4321
xxx
xxx
xxxx
. Resp:
4
(5 )
13
x t  ,
3 28
13
t
y

 ,
9
( 5)
13
z t  , u = t

59
h)











03
14
8223
22
43
432
431
4321
xx
xxx
xxx
xxxx
. Resp:
3
5
x   ,
9
5
y  ,
31
30
z  ,
93
20
u 
i)








068
037
04
21
21
21
xx
xx
xx
. Resp: x = 0, y = 0
6. Tres libras de té y 8 libras de café cuestan $ 39,70, y 5 libras de té y 6 libras de café cuestan $
47.10. ¿Cuál es el costo por libra de té? ¿Cuál es el costo por libra de café?
Resp: $ 6,30 por libra de té; $ 2,60 por libra de café.
7. El costo de envío de un telegrama está basado en una tarifa para las primeras diez palabras y un
recargo fijo para cada palabra adicional. Si un telegrama de 15 palabras cuesta $ 11,65 y un
telegrama de 19 palabras cuesta $ 14,57. ¿Cuál es la tarifa y cuál es el cargo fijo por cada palabra
adicional?
8. Un grupo de mujeres decidieron contribuir con cantidades iguales para contratar un
conferenciante para la reseña de un libro. Si hay 10 mujeres más, cada una deberá pagar $ 2 menos.
Sin embargo, si hay 5 mujeres menos, cada una deberá pagar $ 2 más. ¿Cuántas mujeres estuvieron
en el grupo y cuánto se le pagó al conferenciante? Resp: 20; $ 120.
9. Una persona tiene cierta cantidad de dinero invertida. Si tuviera $ 6000 más invertidos a una
tasa 1 % menor, ella debería tener la misma ganancia anual de su inversión. Además, si ella hubiera
tenido $ 4500 menos invertidos a una tasa 1 % más, la ganancia anual de la inversión hubiera sido
la misma. ¿Cuánto tenía invertido ella, y cuál era la tasa de inversión?
10. Un químico tiene dos soluciones ácidas. Una contiene 15 % de ácido y la otra contiene 6 %.
¿Cuántos centímetros cúbicos de cada solución deberán utilizarse para obtener 400 cm3
de una
solución al 9 % de ácido?
Resp:
400
3
cm3
de la solución ácida al 15 %;
800
3
cm3
de la solución ácida al 6%.
11. Un tanque contiene una mezcla de insecticida y agua, en el tanque hay 5 galones de insecticida
y 25 galones de agua. Un segundo tanque contiene 5 galones de insecticida pero solamente 15
galones de agua. Si se desea tener 7,5 galones de una mezcla de la cual el 20 % sea insecticida,
¿cuántos galones deberán tomarse de cada tanque?
12. Si A trabaja durante 8 min y B 15 min, ellos pueden lavar en estos tiempos las ventanas del
frente de su casa. También si A trabaja 12 min y B 10 min, ellos pueden lavar las mismas ventanas.
¿Cuánto tiempo se tomará cada persona sola para lavar las ventanas?
Resp: A 20 minutos; B 25 minutos.

60
13. Un pintor y su hijo pueden pintar juntos un cuarto en 8 h. Si el padre trabaja sólo por 3 h y
entonces es ayudado por su hijo, los dos juntos pueden completar el trabajo en 6 h más. ¿Cuánto
tiempo empleará cada persona para pintar sola el cuarto?
14. Si se agrega 4 al denominador de una fracción o se resta 2 al numerador de la misma, la
fracción resultante es equivalente a
1
2
. ¿Cuál es la fracción?
Resp: cualquier fracción de la forma
2 4
t
t 
, donde t  2 y t  0.
15. Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se incrementan en 5, la fracción
resultante es equivalente a
2
3
. Sin embargo, si al numerador y al denominador se les resta 5, la
fracción resultante es equivalente a
3
7
. ¿Cuál es la fracción?
16. ¿Cómo se podría determinar algebraica y gráficamente si dos sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas son equivalentes?
13. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)





21
7
22
yx
yx
. Resp: (5, 2)
b)








12
13
65222
yz
zyx
zyx
. Resp: (5, 2, 6), (5, 6, 2)
c)










813
82
3
3
5
2
yx
yx
. Resp:
7 75
,
8 4
 
 
 
d)








3
2
1
3
1
5
5
1
2
1
22
22
yx
yx
. Resp:  6, 10 ,  6, 10 ,  6, 10 ,  6, 10 
e)






2827
843
22
22
yxyx
yxyx
. Resp: (3, -7), (-3, 7)
f)





31
48)(22
xyyx
yxyx
. Resp: (3, 7), (7, 3)

61
g)






3
63535 22
yx
yyxx
. Resp: (-1, 4), (4, -1)
h)








1
3
1
5
2
5
3
2
5
3
22
22
yx
yx
. Resp:  5, 3 ,  5, 3 ,  5, 3 ,  5, 3 
i)





0
4223
yxxy
yxxy
. Resp: (2, 2)
j)





12
254 22
yx
yx
. Resp: (3, 2),
3
4,
2
 
  
 
k)





33
15222
xxy
xxyx
. Resp: (3, 2),
24
7,
7
 
 
 
l)






4352
223
22
22
yxyx
yxyx
. Resp: (1, 1), (-1, -1),  2, 0 ,  2, 0
m)





551
122
yx
yx
. Resp:
1449 1249
,
400 400
 
 
 
n)









16
25
5
32
yx
yx
. Resp: (0, 0),
1 1
,
2 3
 
 
 
o)










1
3
2
922
yx
x
y
y
x
. Resp: (1, 2), (2, 1)
p)






9
4
22
yx
yxyx
. Resp:  11 4 3, 8 4 3   ,  11 4 3, 8 4 3  
q)





21
7
22
yx
yx
. Resp: (5, 2)
14. FRACCIONES PARCIALES
1. Descomponer en fracciones parciales, las siguientes fracciones:
a)
1
5
2


x
x
. Resp:
1
2
1
3


 xx
b)
65
167
2


xx
x
. Resp:
3
5
2
2


 xx

62
c)
xxx
x
82
88
23


. Resp:
2
2
4
11




xxx
d)
  122
1823
2
2


xxx
xx
. Resp:
12
5
2
4
1
2




 xxx
e)
  2
2
23
134


xx
xx
. Resp:
 2
2
2
2
1
3
3




 xxx
f)
  22
23
11
354


xxx
xxx
. Resp:
 222
1
1
1
1
1
1






 xx
x
xx
x
x
g)
 3
2
13
4318


x
xx
. Resp:
   32
13
5
13
3
13
2




 xxx
h)
  1332
92104
22
23


xxxx
xxx
. Resp:
13
2
32
32
22





xx
x
xx
x
i)
32
2093
2
2


xx
xx
. Resp:
3
5
1
2
3




xx
j)
  3
2
32
35
xx
xx


. Resp:
32
2111
32


xxxx
k)
 32
24
1
34


x
xxx
. Resp:
   32222
11
2
1
1




 x
x
xx
l)
 2
2
1
152


x
xx
. Resp:
 2
1
2
1
1
2




xx
m)
 22
5
4
1


x
x
. Resp:
 222
4
116
4
8





x
x
x
x
x
n)
 222
235
5
50251011


xx
xxxx
. Resp:
 2222
55
221




x
x
xxx
o)
 22
3
2
543


x
xx
. Resp:
 222
2
52
2
3



 x
x
x
x
p)
6
12
2
23


xx
xx
. Resp:
3
2
2
3
1




xx
x
q)
 22
24
242
xx
xxx


. Resp:
 22
1
1
1
123
2




xxxx
r)
 5
103169
3
23


xx
xxx
. Resp:
5
6213
32


xxxx
s)
  321
51834
3
23


xxx
xxx
. Resp:
3
12
1
2
1
4
2





 xx
x
xx
t) 234
234
3
6442
xxx
xxxx


. Resp:
3
121
2 22



xx
x
xx

63
u)
axx
axx


3
23
. Resp: 2
1
1
a
x x a
  

v) 23
2
1
xx
x


. Resp: 2
2 1 1
1x x x
 

w)
))(( 22
2
axbabx
axax


. Resp:
2
2
2 3
4 ( ) 2 ( ) 4 ( )
a a a
b x a b x a b x a

 
  
x)
xxxxx
xxxx


2345
234
464
1343
. Resp: 2
1 1
( 1)x x
 

y)
))((
))(1(
22
22
axaxb
axx


. Resp:
2
2
1 1 3 1
2 ( ) 2 ( ) ( )
a a a a
b b x a b x a b x a
  
  
  
Descomponer en fracciones parciales, las siguientes fracciones:
a)
)93)(23(
2130746
22
234


xxx
xxxx
. Resp: 2
53 15 9
2
21( 2) 7( 3)
x
x x

 
 
b) 22224
322223
2
xyyxx
yyyxyxyxx


. Resp: 2
1 1 1
1
x y
x x y x y
 
 
  
c)
22 34
4
 xxx
x
. Resp: 2
1 16
1
9( 1) 9( 2) 3( 1)
x
x x x x
  
   
d)
22
14
23
2


xxx
xx
eee
ee
. Resp:
1 1 1
1 1 2x x x
e e e
 
  
e) 6
2345
)2(
5315215672202


x
xxxxx
. Resp: 3 4 5 6
2 8 44 88 53
2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)x x x x x
   
    
f)
44
2
2
3


xx
x
. Resp: 2
12 10
4
2 ( 2)
x
x x
  
 
g)
412136
623194
234
23


xxxx
xxx
. Resp: 2 2
1 2 3 4
1 ( 1) 2 ( 2)x x x x
  
   
h)
xxx
xx
32
635
23
2


. Resp: 2
2 3 1
2 3
x
x x x


 
i) 4
24
52
x
xxx 
. Resp: 2 3 4
2 1 5
1
x x x
  
j)
xxx
xx
96
1812
23
2


. Resp: 2
2 1 3
3 ( 3)x x x
 
 
k) 4
)3(
24


x
x
. Resp: 3 4
4 10
( 3) ( 3)x x

 
l)
)3()1(
1033
2
234


xx
xxx
. Resp: 2
17 11 17
2
16( 1) 4( 1) 16( 3)
x
x x x
    
  

64
m)
xxx
xxxx
103
202593
23
234


. Resp:
2 278 121
3
7( 5) 7( 2)
x
x x x
  
 
Descomponer en fracciones parciales, las siguientes fracciones:
a)
482
29154
23
23


xxx
xxx
. Resp: 2
5 3 1
2
2 1 4
x
x x

 
 
b) 22
23
)1(
3735


x
xxx
. Resp: 2 2 2
5 3 2
1 ( 1)
x x
x x


 
c)
)65)(3(
1137
2


xxx
x
. Resp: 2
15 15 4
2 3 ( 3)x x x
 
  
d) 24
23
3422
xx
xxx


. Resp: 2 2
4 3 5 2
1
x
x x x

 

e)
1
15622
23
234


xxx
xxxx
. Resp: 2
1 3
2
1 1
x
x
x x
 
 
f) 23
2
xax
ax


. Resp:
3 1 2
2 ( ) 2 ( )a x a a x a ax
 
 
g) 23
23
5
20115
xx
aaxaxax


. Resp: 2
3 4 3
5
a a a
a
x x x
  

h)
31415
1204245
2
23


xx
xxx
. Resp:
2 7
3
3 1 5 3
x
x x
 
 
i)
576
271676
2
23


xx
xxx
. Resp:
5 2
2 1 3 5
x
x x
 
 
j) 3
2
)72(
26514420


x
xx
. Resp: 2 3
5 2 6
2 7 (2 7) (2 7)x x x
 
  
k)
 222
2345
13
1691342


xxx
xxxxx
. Resp: 2 2 2 2
1 1 2 3 2
3 1 ( 3 1)
x x
x x x x x
 
 
   
l)
 32
6
1
3


xx
x
. Resp: 2 2 2 2 3
3 2 2 4
1
1 ( 1) ( 1)
x x
x x x x x x

  
     
m)
xxx
xx
)1)(1(
132


. Resp:
5 1 1
2( 1) 2( 1)x x x
 
 
n)
23
12
2
2


xx
xx
. Resp:
2 7
2
1 2x x
 
 
o)
  31
2
2
2


xx
xx
. Resp: 2
1 1
1 3x x

 
p)
 2
2
13


xx
x
. Resp: 2
1 1 5
4 4( 2) 2( 2)x x x
 
 

65
q)
 3
2
12 x
x
. Resp: 2 3
1 1 1
4(2 1) 2(2 1) 4(2 1)x x x
 
  
15. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
a) 03262 2222
  xxx
. Resp: x = -2
b) 0823438 1
 xxx
. Resp: x = 2, x = 0
c) xxx
4931424  . Resp: 7
2
log 3x  
d)
64
27
8
9
3
2












xx
. Resp: x = 3
e) 9502510 21
  xxx
. Resp: x = 3
f) 024 121
  xx
. Resp: x = 3
h) 125,05,0
2334 
 xxxx
. Resp:
3
2
x 
j)
x
x











8
2
4)125,0( 32
. Resp: x = 6
k) 29
3
18
3 1

x
x
. Resp: 3log 2 1x   , x = 2
l)
3
3
27
1









x
x
y . Resp:
3
3log 3yx 
m) xx
416  . Resp: x = -2, x = 2
n) 491317 2
2


x
x
. Resp:
3
2
x   , x = 2
p) 0
1
)( 35
2 2
 x
x
e
e . Resp:
3
2
x   , x = -1
q) xx 314
24 
 . Resp:
7
5
x  
r) 0100 x
e . Resp: x = 2ln10
s) 082 x
. Resp: x = -3
t) 232
54 
 xx
. Resp: 5
16
2log 40x 
v) 03102100  xx
. Resp: x = 0
w) 0352 2
 xx
ee . Resp:
3
ln
2
x
 
  
 
, x = 0
x) 01)1( 272 2
  xx
xx . Resp:
7 41
2
x

 ,
7 41
2
x

 , x = 2, x = -1

66
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 01

xxx
. Resp: x = 1, x = 0
b) 016
2
)3(log
xx
x . Resp: 2 ln2
3x e  , 2 ln2
3x e
 
c) 010log
x
x . Resp: 2 ln10
x e , 2 ln10
x e

f) x
x
x
xx 3
323
3 log
1
log
log
3
)(

 . Resp:
6
23x  ,
6
23x

 ,
2
23x  ,
2
23x


g) 233 3loglog
 aa
xx
. Resp: 3log 2
x a

i) 9162 2
5
521
2

x
Sen
xCos
. Resp:
4
15
x

 ,
2
15
x

  ,
2
15
x

 ,
2
5
x

 , x = 0
j)





 


42
2
16
6
16
2
1
x
Cos
Senx
. Resp:
7
6
x

 ,
5
6
x

  ,
6
x

  , x = -, x = , x = 0
l) xCotSenx Senx 2
1)( 
. Resp:
3
2
x

  ,
2
x


a) 3
)(log
8
log
2
8
28







x
x
. Resp:
1
8
x  , x = 2
b) 2
2
log4log 4
4
2 
x
x . Resp: x = 2
c) 01log20log 32
 xx . Resp: x = e,
1
9
x e
d) 32log8log 22  x
x . Resp:
1
2
x  , x = 16
e) 09log42log 2
4  xx
. Resp:
1
42x

 ,
1
4
x 
f) 03log3log3log
813
 xxx . Resp: x = 0,
1
9
x  , x = 9
g) axax xax log1log)(log  . Resp:
2
2x a ,
2
2x a


h) aaa xx
3
3 logloglog  . Resp: a = 1
i) 0)324(log2)272154(log 33  xxx
. Resp: 2log 3x 
k) 6)33(log)13(log 1
33  xx
. Resp: 3log 28 3x   , 3log 20x 
n)
x
xx
4
4
log
2
)10(log2log21  . Resp: x = 8, x = 2
o)
1
log log
2
x x   . Resp: 2 2 3
x e 


67
q) 





 32812
2
1
log4log2)32(log xx
. Resp:
5
2
x 
r) 1)4(log)16(log
2
1
33  xx . Resp: x = -25
s) 1
)33(log
)4(log1
2
2



xx
x
. Resp: x = 5
t) 42log4log1 42  xx . Resp: x = 8
u) 7logloglog 2416  xxx . Resp: x = 16
v) 1log1log1loglog
5335 
 xxxx
. Resp: 2
x e
w) )52,0(log)51(log2)3(120log 4
5
3
55

 xx
x . Resp: x = 1
x)
2
1
)]}log31(log1[log2{log 2234  x . Resp: x = 2
y)
2
1
)12(logloglog 324 x . Resp: x = 41
z) 2)73(log)35(log 3573   xx xx . Resp: x = 2
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3
)5log(
)35log( 3



x
x
. Resp: x = 3, x = 2
b)
)2(log
)8(log
)2log()8log(
5
2
52
x
x
xx


 . Resp:
2 1e
x
e

 , x = 2 – e, x = -3, x = 3
d) 5,4log1)72log(
2
1
57log  xx . Resp:
2
3 126 169 59
28
e
x
 

e) 0273log3log
2
1
12log2 





 x
x
. Resp:
ln3
2(ln12 27)
x 

f) )2(log)3(log)2(log)3(log2
16
1
log 2
3
2
333
2
1  xxxx . Resp:
29
8
x  ,
21
8
x  
g) )13(log2)79(log 1
2
1
2   xx
. Resp: x = 2, x = 1
h)
x
xx
4
4
log
2
)10(log2log21  . Resp: x = 8, x = 2
j) )1ln(1ln  xx . Resp:
1
e
x
e


k) 











x
x
x 1
ln)103ln(
4
ln . Resp:
41
12
x 
l) )2log()2log(3)4log( 2
 xxx . Resp:
3
3
1
2
1
e
x
e



m) 01log27log1 3  xx . Resp:
1
9
x 

68
n) 1)7(log)1(log)1(log
2
1
2
1
2
1  xxx . Resp: x = 3
o) )3(log10log2)23(log10log 10
1
1
2
10
1
1 

xxx
xx
. Resp: x = 5
p) 19log)148(log 44
2
3 2   xx
xx . Resp: x = -4, x = -3
q)
3
4
)12(log)2(log2 2
88  xxx . Resp: x = 2
s) )1434(log)1(log 93  xxxx . Resp:
25
64
x  ,
25
4
x 
t) 2
2 1 2 4
2
2log log (13 ) log ( 10) 2log (8 )x x x x      . Resp:
40
3
x  
3. Resolver los sistemas de ecuaciones:
a)





 
5,0loglog
52
22
)(log)(log 55,0
yx
yxyx
. Resp:
b)







2
1
log2log
2log
2
2
a
y
ax
yy
aa
ax
. Resp:
c)







5loglog
3loglog
2
2
2
2
22
yx
y
x
xy
. Resp:
d)






1loglog
2
33
3
2
3
1
3
1
3
2
yx
yxyx . Resp:
e)





nyx
myx
aa
aa
32
2
loglog
loglog
. Resp:
f)








2logloglog
2logloglog
2logloglog
41616
939
442
zyx
zyx
zyx
. Resp:
g)




 
0log
12
2 xy
xx yy
. Resp:
h)





122
4
2
22
log61
xx
yy
yx
. Resp:
i)





222222
4242
yxyx
yxyx
. Resp:
j)







32)(
32
xy
yx
yx
yx
. Resp:

69
k)









3
2
3
8
4
4
xy
xx
yx
yx
. Resp:
l)






5
156152
xy
x yy
. Resp:
m)





122
4
2
22
log61
xx
yy
yx
. Resp:
n)






4log2log
964
2
32
xyy
yx
. Resp:
o)





 
yxyx
yx
2
1
92)12(
. Resp:
p)





0)(log)(log2
2)9(log)2(log
24
2
81
2
9
yxyx
yx
. Resp:
q)





2)7102(log
0)2(log)1(log
22
2
3
2
9
yyx
yx
. Resp:
r)









 yx
y
yx
xyx
y 1)2(log
2
1
2
2
2
1
. Resp:
s)











5)(log)(log
2
3
252
2
18
4
yxyx
yx
x
yxyx
. Resp:
16. INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
1. Resuelva las siguientes inecuaciones:
a)   4
33
18
2
42



x
x
. Resp: x  (-2; 4)
b) 89264 29 2

xx
. Resp:    22;55;22 x
c)
1 32 1
04.0008.0
  

x xx x
. Resp: x  (1; 2)  [3; 5]
d) 9
24
6
43
4
32
3
46
125.00625.05.025.0


xxxx
. Resp: 





 ;
14
1
x
e) 22 x
. Resp: 





 ;
2
1
x

70
f) 1
8
7






x
. Resp:   ;0x
g)   04.02.0 
x
. Resp:   ;2x
h) 8
2
1
x
. Resp:   ;3x
i) 813 x
. Resp:  4,x
j) 16
4
1
x
. Resp: 2x
k)
2
25.05.0 xx
 . Resp: 




2
1
,0x
l) 1255 1
x
. Resp: 2x
m)     5
23
2
34
0625.05.0


xx
. Resp:
4
1
x
n) 31
927 
 xx
. Resp: 9x
o)   4
33
18
2
42


xx
. Resp:  4;2x
p) 2243
93 
 xx
. Resp: 




 ;
7
8
x
q) 1 521 3
328   
 x xx x
. Resp: 11  xx
r) 1 25 4
24  
 x xx x
. Resp:     ,52,1x
s) 13
12


x
x
x . Resp:  3,1
2
1
,0 





x
t) 1log7 x . Resp:  7,0x
u) 1log
3
2 x . Resp: 





2
3
x
v) 3loglog 2.02.0 x . Resp: 3x
w) 36loglog 255 x . Resp: 6x
x) 4loglog 22 x . Resp:  4;0x
y)     221log23log 22  xx . Resp: 






2
1
,
11
2
x
z)     5log3log2log
5
6
5
6
5
6  xx . Resp:  3,2x
Resuelva las siguientes inecuaciones:
a)  3log5loglog
2
1
3
139  xxx . Resp:   ,0x
b)   075log 2
3.0  xx . Resp:  3,2x
c) 0
2
82
log 5.1 







x
x
. Resp:  6,4x

71
d)
2
log
5 1
x
x
x
 
 
   . Resp: 2x
e) 343log2  x : Resp: 











 ,
4
11
4
5
,x
f)     142log1log2 22  xx . Resp:    3,2 x
g) 3log9loglog 242 x . Resp:  9,0x
h) 1
1
3
log 







x
x
x . Resp:  3,1x
17. NUMEROS COMPLEJOS
a) 345
i . Resp: i
b) 111432
ii  . Resp: 1 + i
c) 3
i . Resp: i
d) 231211 
 iii . Resp: 1 + 2i
e) 1227423
91283 iiii  . Resp: -1 + 9i
f)   
i
i
ii



3
42
452 . Resp:
64 97
5
i
g)  i
i
ii
i
4
33
2
3
25
2
1






. Resp:
4 29
5 15
i

2. Dados 1 3 2z i  y 2 5 4z i  , calcule:
a) 1 2z z . Resp: 8- 2i
b) 1 2z z . Resp: -2 + 6i
c) 1 2z z . Resp: 23 – 2i
d) 1
2
z
z
. Resp:
7 22
41
i
e) 2 3
1 2z z . Resp: 2257 – 2560i
3. Dados los siguientes números complejos 1 2 3z i  , 2 2 5z i   , 3 12 8z i  , 4 (10, 45º)z  ,
5 (5, 120º)z   , 6 (1, )z i , 7 (0, )z i , 8 15
3 3
z Cos i Sen
  
  
 
, 9
5
30
3
z Cis

 ,
4
3
10 20 iz e


 :
Calcular:
a) 1 3 5 7 9z z z z z    . Resp:
63 25 3
4
2 2
i
 
   
 
b) 2 4 5 8 10z z z z z    . Resp: 5 2 22 (20 3 5 2 5)i    

72
c) 1 5 3 2 6 3( )( )z z z z z z    . Resp:
309 65 3
30 3 263
2 2
i
 
    
 
d) 1 3 1 3 5 9 4 2( )( )( )z z z z z z z z     . Resp: 7401.945 + 2565.825i
e) 2 7 1 5 9
5 10 1
2 3 2
z z z z z
z z z
z z z
   
    
  
. Resp:
f)     37 4
3 10 5 9 6 9
5 1
z z
z z z z z z
z z
 
    
 
. Resp:
g) 3
5 8 2 5 9z z z z z    . Resp:
h) 9 10 3 9
5
5 9 5 9
z z z z
z z z z
 

 
. Resp:
4. Escriba cada número en la forma rectangular:
a) 






1010
3

iSenCos . Resp:
9 5 45 3 5 3
8 4
i
 

b) 0,4( 200º 200º)Cos iSen . Resp:
5. Encuentre 1 2z z y 1
2
z
z
, deje sus respuestas en forma polar:
a) 1 2
8 8
z Cos iSen
  
  
 
, 2 2
10 10
z Cos iSen
  
  
 
. Resp:
b) 1 1z i  , 2 1 3z i  . Resp:
6. Escriba en la forma estándar a + bi:
a)
4
3 3
5
16 16
Cos iSen
    
  
  
. Resp:
25 2 25 2
2 2
i 
b)  
5
7272
2
1




 
iSenCos . Resp:
5 1 5 5
64 2048
i
 

c)  6
2 i . Resp: 23 10 2 i 
a) i
i
i
ii 221987
7845
2341007
 . Resp: -2 + i
b) 23 34 27 12
8 12 9i i i i   . Resp: -17 + 11i
c) 14
27
15
17
23
7
3
2
i
i
i
i
i







 


. Resp:
20
3
8. En cada uno de los siguientes ejercicios, evalúe la expresión para el valor de z dado:

73
a) 3 2z i  , 2
3 2z z  . Resp: -2 – 6i
b) 3 2z i  , 5 2u i  , 2 3
3 2z zu u  . Resp: 78 + 284i
c) 10 60ºz Cis ,
2
25,
3
u
 
  
 
, 4 2 3
3 2 5z zu u  . Resp:
d) 15,
3
z
 
  
 
, 3
4 9 7z z  . Resp:
9. En la siguiente expresión compleja
3 2
4 3
ki
i


. Calcular el valor de k para que sea real el cociente y
calcular el valor real de dicho cociente. Resp:
9
8
k  ,
3
4
a 
10. En los siguientes números complejos, extraer la raíz cuadrada:
a)
1
3
2
z i  . Resp:
1 1
37 1 37 1
2 2
i  
b)
25
12
7
z i   . Resp:
7681 25 7681 25
14 14
i
 

c)
89
3
2
z i  . Resp:
1 1
7957 89 7957 89
2 2
i  
11. Calcular y graficar las raíces n-ésimas de los siguientes números:
a) 3
1z i  . Resp:
b) 7
3z i   . Resp:
c) 5
2z i  . Resp:
d) 9 2
2
i
z    . Resp:
12. Simplifique la expresión 3 3 5 1
(1 6 ) ( 2 ) (3 2 ) (1 )i i i i 
       . Resp:
501 57
2 2
i
14. El producto de dos números complejos es 2 . El módulo del primero es el triple del módulo
del segundo. El módulo de la suma de los 2 números complejos es 2 . Hallar los números.
15. Determinar las 6 raíces de:
 3
23 33 3 4 2 9
i
i i

 
.
Resp:
16. Escriba los números complejos z en la forma algebraica y trigonométrica

74
a)
5 5
3 3
6 6
Cos iSen i
z
Cos iSen
  
  
 

. Resp:
b)
1 3
3 3 2 2
1
Cos iSen i
z
   
   
   . Resp:
17. Escriba en forma algebraica los siguientes números complejos:
a) 2 i
z e 
 . Resp:
b)
3
12
2
i
z e

  
 . Resp:
c)
3 7 3
2
i
i i
z e

   
 . Resp:
18. Simplifique la siguiente expresión; exprese el resultado en la forma polar y algebraica
     
   12355
33533
6
435


i
iii
.
Resp:
19. Realice el producto:
a) 












2
523
2
8
5
4
3
42
23
i
ii
i
i
i
. Resp:
171 67
8 2
i
b)   iiiii nnnn
  112
. Resp: 2
( 1) ( 1)
m
m
  
c)  1 2 105 6 134Cis Cis  . Resp:
d)    2 299 2 250i Cis i Cis   . Resp:
20. Realice el cociente:
a)
2
7
i
i


. Resp:
13 9
50 50
i
b)
iai  2
2
. Resp: 2 2
4 2(1 )
2 5 2 5
a
i
a a a a


   
c)     
8512531 CisaCisa  . Resp:
d)   
129
11
5
9923
4
2
Cos
i
iCis 





 . Resp.
21. Calcule las potencias:
a)  
8
5 1 2 i  
 
. Resp: 4608 2 6592 (768 10 768 5)i   

75
b)
7
3
5
5
1












i . Resp: 27.76 – 48.1i
22. Determine las raíces de:
a) i2375  . Resp:
b) 3
1 i . Resp:
c) i12
7
25
 . Resp:
d) 5
2 i . Resp:
23. Simplifique:
    123
2
22


cc
c
.
Resp:
6 2 3 2
2 2
i
c
 
 
24. Grafique las raíces quintas de:
3
30º 30º
1
3
Cos iSen
i
i

 
.
Resp:
26. Expresar en la forma polar:
a)
1 3
2 2
z i   . Resp:
b)
2 2
2 2
z i  . Resp:
c) 2 5z i  . Resp:
27. Expresar en la forma a + bi:
a) 3 0ºCis . Resp:
b) 180ºCis . Resp:
c) 4 300ºCis . Resp:
d) 2 ( 240º)Cis  . Resp:
e) 5 765ºCis . Resp:
28. Efectuar las operaciones indicadas y la respuesta expresar en la forma a + bi:
a) 3 60º 2 30ºCis Cis . Resp:
b) 5 135º ( 45º)Cis Cis  . Resp:
c)
3
120
3
2






Cis . Resp:

76
d)
4 15º
2 150º
3 30
Cis
Cis
Cis
 . Resp:
29. Escribir en la forma a + bi:
a) 6
(2 30º)Cis . Resp:
b)
200
22
1







i
. Resp: 1
c)
5
22
3









i
. Resp:
3 1
2 2
i
d) 8
(1 )i . Resp: 16
30. Determinar las raíces indicadas:
a) Raíces cuadradas de 4 4 3i . Resp:
b) Raíces cúbicas de –8. Resp:
c) Raíces cuartas de 1. Resp:
31. Hallar las raíces de la ecuación x2
+ x + 1 = 0. Resp:
1 3
2 2
x i  
33. Si 1 4 3z i  y 2 4 2 2z i   . Hallar:
a) 1 2z z en forma algebraica. Resp: (2 2 3)i
b) 1 2z z . Resp: 6 2 16 (12 8 2)i  
34. Si 1 1 2z i  y 2 3z i  . Hallar:
a) 1
2
z
z
. Resp:
1 1
2 2
i
b) 2 1z z . Resp: 2 + i
35. Si 1 5 2 3z i  y 2 5 5 3z i   . Hallar 1
2
z
z
. Resp:
11 3 3
20 20
i 
36. Si 1 2 10ºz Cis y 2 3 15ºz Cis . Hallar:
a) 1 2z z . Resp:
b) 1
2
z
z
. Resp:
37. Si 1 5 45ºz Cis y 2
5
20º
2
z Cis . Hallar:

77
a) 1
2
z
z
. Resp:
b) 2
1
z
z
. Resp:
39. Resolver la ecuación 6 3
3 2 0z z   .
Resp:
3 6
2 108
2 2
x i  ,
1 3
2 2
x i  , 3
2x   , x = -1
41. Resolver el siguiente sistema:
   
   




iyixi
iyixi
2112
2121
.
Resp:
27 24
29 29
x i  ,
9 8
29 29
y i  
42. Calcular:
a)
5
3
3
1






 i . Resp:
31996 5756
243 27
i
b) 3
1 i . Resp:
3 36 6
432 4 4 432
4 4 4 4
i
 
    
 
43. Calcular y simplificar:
a)  2
234
4
5
3
2
2
1
5
4
4
3
3
2
2
i
iiii












 . Resp:
4 22
3 15
i 
b)
 
 
 
 5
10
5
10
1
2
1
1
i
i
i
i





 . Resp:
2847 3385
8 8
i
44. Calcule las siguientes potencias:
a) 8
i . Resp: 1; b) 45
i . Resp: -i; c) 239
i
. Resp: i
45. Expresar en forma algebraica
3
12
2
i
z e

  
 . Resp:
46. Expresar en forma exponencial:
a) z i  . Resp:
b) 5
( 1 )z i   . Resp:
c)
7 7
z Cos iSen
 
   . Resp:
d)
3
8 8
i
z   . Resp:
e) 12 2z i   . Resp:

78
47. Escriba todos los valores de la raíz 4
3 i en forma exponencial. Resp:
48. Resolver la ecuación 0
2
1 22
 xiixix . Resp:
49. Simplifique 3i23
+ 8i34
– 12i27
– 9i12
. Resp:
29 2 1 29 2 1
16 4 16 4
i
  
     
 
 
50. Expresar en la forma polar:
a) 3z i . Resp:
b) 2 2z i  . Resp:
c) 2 5z i  . Resp:
d)
1 3
2 2
z i  . Resp:
e)
2 2
2 2
z i  . Resp:
51. Expresar en la forma rectangular:
a) 3 0Cis . Resp:
b) 3 ( 180º)Cis  . Resp:
c)
3
22
3









i
. Resp:
d)  2
22 i . Resp:
e)
2 15
4 120
3 30
Cis
Cis
Cis
 . Resp:
52. Calcular el módulo y el argumento y expresar en forma polar los siguientes números
complejos:
a) 3z i   . Resp:
b) 2 2 2 2z i  . Resp:
c) 2 2z i  . Resp:
d) 3z i . Resp:
53. Efectuar las operaciones indicadas:
a) 3 45 2 90Cis Cis . Resp:
b)
1
4 180 30
2
Cis Cis . Resp:

79
c)
3 130
2 70
Cis
Cis
. Resp: 0.75 + 1.299i
d)
5 135
180
Cis
Cis
. Resp:
5 2 5 2
2 2
i
e)
9
2
1
2
3








 i . Resp:
2439 6 2159
512 512
i
f)  8
3 i . Resp: 128 128 3i 
g)   4
5 20 20Cos i Sen 
 
. Resp: 4.34 + 24.62i
h)   8
2 30 30Cos i Sen  
 
. Resp: 128 128 3i 
54. Expresar en la forma bia  :
a)
3 3
5
2 2
Cos i Sen
      
    
    
. Resp: -5i
b)  4 180 180Cos i Sen . Resp: -4
c)  2 315 315Cos i Sen . Resp: 2 2 i
d)
2 2
3
3 3
Cos i Sen
      
      
    
. Resp:
3 3 3
2 2
i 
e)
   2 2
a ib a ib
a ib a ib
 

 
. Resp:
2 2
2 2
2 (3 )b a b
i
a b


55. Simplificar:
a)
  
36 100
3 50 4 20
Cis
Cis Cis
. Resp:
b)
  
45 80
3 25 5 55
Cis
Cis Cis
. Resp:
56. Hallar y graficar las raíces de:
a) 3
1z i  . Resp:
b) 4
3 3z i   . Resp:
c)  23 1z i  . Resp:
d) 3
4 3 4z i   . Resp:
e) 6
3z i  . Resp:
f) 4
16z i  . Resp:

80
18. RELACIONES Y FUNCIONES
1. Determine el dominio y la imagen de cada relación. Diga cuáles de estas expresiones son
funciones:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp
19. DOMINIO DE FUNCIONES
1. Encuentre el dominio de las siguientes funciones:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
2
{( , )/ 2 3}x y y x 
{( , )/ 5 }x y y x
3
( , )/
2 1
x y y
x
 
 
 
2
( , )/
3 1
x
x y y
x
 
 
 
( , )/
5 3
x
x y y
x
 
 
 
5
( , )/
3
x
x y y
x
 
 
 
xx
xx
xf



1
1
)(
xx
xx
xf



1
1
)(
2
121
23
)( 3
3



x
xx
xf
25
1211
)( 2



x
xx
xf
xx
xx
xf



3
142
)(
2
2
3
21
)(
2



x
xxx
xf
xx
xf


1
1
)(
2
1
11
)(
2
22



xxx
xx
xf
x
x
xf



92
14
)(
xx
xx
xf



4
16
)(
2
2

81
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
q) . Resp:
r) . Resp:
s) . Resp:
t) . Resp
u) . Resp:
v) . Resp:
w) . Resp:
x) . Resp:
a) . Resp:
b) . Resp:
xxx
xx
xf



1
1
)(
3
2
3
9
)(
2
432



x
xxx
xf
3
1
)( 2
2



xx
xx
xf
52
5
)( 2
2



xx
xx
xf
1
11
)(



x
xx
xf
11
1
)(
2



xx
x
xf
15
13
)(
2
2



xx
xx
xf
24
24
38
)(
xx
xx
xf



12
11
)(
2
2



xx
xx
xf
11
)(
2


xx
x
xf
11
1
)(
2



xx
x
xf
2
1
( )
1
x
f x
x x


 
33
2
11
3
)(
xx
xx
xf



3 2
2
23
23
)(



xx
xx
xf
2
1
( )
1x
x x
f x
e
 


( )
1
x
x
e
f x
e



82
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
q) . Resp:
r) . Resp:
s) . Resp:
2
1
( )
1
x
e
f x
x



1
1
1
( )
x
xf x e
x

 
2
2 1
( )
1
x x
x
e
f x
e
 


1
2
( )
1
x
x
e
f x
e



1 1
1 1
5 2
( )
5 2
x x
x x
f x
 
 



2
1
1
( )
1
x
x
e
f x
e



2
2
1
( )
3 1
x
x
x e
f x




2 2
1 1
4 9( ) 5 5x xf x   
2 2
1
( )
1x
x x
f x
e
 


1
( )
1
xe
f x
x x

 
2
( )
1
x
e
f x
x x


 
1
( )
2 1
x
x
e x
f x 



4 1
2
( )
3 1
x
e
f x
x x


 
3 1
3 1
(1 )
( )
(1 )
x
x
x e
f x
x e





2
2
4
4
( )
4
x x
x x
e
f x



2
( )
2
x
x x
e
f x
e e


 
2
( )
2 (1 )
x
x
e
f x
x


 

83
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
q) . Resp:
r) . Resp:
s) . Resp:
t) . Resp:
u) . Resp:
v) . Resp:









65
4
ln)( 2
xx
x
xf









x
x
xf
1
21
ln)(
x
xx
xf
)23(ln
)(
2


xxxf  1ln)1()( 2
 1ln)( 2
 xxxf









x
x
xf
23
32
ln)(
)2ln()( 2
xxxf 
4
5
2
ln)(
x
x
xf



1
)127ln(
)( 2
2



x
xx
xf
)32ln()( 2
xxxxf 
 2
2ln)( xxxf 
1
)12ln(
)(


 x
e
x
xf











1
3
ln)(
2
x
xx
xf
1ln)( 2
 xxf
2
( ) 1 lnf x x 
ln(1 )
( )
x
f x
x


1 1 1
( ) ln
1 1 1
x
f x
x x x
 
   
   
1
ln
)(
2


xx
x
xf
 2 2
( ) ln 1 1f x x x x x    
2
2 1 1
( ) 1 ln
x
f x x
x
  
   
 
 
1
( ) ( 1)ln 1
2
f x x x x   
2
2
1 1
( ) 1 ln 1f x x
x x
 
      
 

84
w) . Resp:
x) . Resp:
y) . Resp:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
q) . Resp:
 ( ) 1 ln 1 1f x x x    
x
xx
xf
ln1
)(


4
)1ln(
)(
2


 x
x
e
e
xf
2
( )
2
Senx
f x
Cosx



1
( )
2
f x
Cosx


2
2
( )
Senx
f x
x x


1
( )f x
Cosx Senx


2
( )
2 3
Cosx
f x
x


1 2
( )
1
Cos x
f x
Senx



1 2
( )
1 2
Sen x
f x
Sen x



1
( ) lnf x ArcCos
x
 
  
 
( ) ( 1)f x x ArcTan x x  
4 2 21
( ) 3 ( 2) 1f x x ArcSen x x
x
   
( ) 1 1x x
f x e ArcTan e   
 2
2
( ) ln 1
1
x
f x x x ArcTan
x
   

2
( ) ln 1f x x x x ArcTanx   
2
2
( 1)
( ) ln 2
1
x
f x ArcTanx
x
 
    
( ) ln( 2) ln( 1)f x Cosx Cosx   
2
2
2 1
( )
1( 1)
x x
f x ArcSen
xx

 

2
( ) ln ln 1
ArcTanx
f x x x
x
   

85
r) . Resp:
s) . Resp:
t) . Resp:
u) . Resp:
v) . Resp:
20. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
1. En cada caso determine las siguientes funciones: f + g, f – g, y dé el dominio de la función
resultante:
a) , . Resp:
b) , . Resp:
c) , . Resp:
d) , . Resp:
e) , . Resp:
f) , . Resp:
g) , . Resp:
h) , . Resp:
i) , . Resp:
j) , . Resp:
2
( ) ln
1 1
x ArcSenx
f x
xx
 
   
  
1
( ) ln
1
Tanx
f x x
Tanx

 

ArcTanx
x
xf
1
)(


2
1
2
)(
x
x
ArcSenxf


2
2
1
1
)(
x
x
ArcCosxf



g
f
2
2
2
21
)(
xx
x
xf



1
)(


x
x
xg
x
x
xf


1
)(
2
2
553
)( 2
2



xx
xx
xg
1
( )
1
x
f x
x


 42
5
)(



x
x
xg
1
12
)(



x
x
xf
1
1
)(
2


xx
xg
1
3
)(
2



x
xx
xf
2
2
1
)(
xx
xg


23
)1(
1
)(
x
xf


x
x
xg
1
)(


43
)( 2
2


x
x
xf 32
3)( xxxg 
xxxf  1)12()(
2 5
( )
7 9
x
g x
x



x
x
xxf



2
2
)(
x
x
xg



1
1
)(
)72(
7
)(



xx
x
xf 3
1)(  xxg

86
2. Una pelota se deja caer desde el tejado de un edificio. Si su altura respecto del suelo medida en
metros, después de t segundos viene dada por la función H(t) = -16t2
+ 256. Determine:
a.- ¿A qué altura estará la pelota después de 2 segundos?
b.- ¿Qué distancia recorrerá la pelota durante el tercer segundo?
c.- ¿Cuál es la altura del edificio?
d.- ¿Cuándo llegará al suelo la pelota?
3. Un estudio ambiental de una cierta ciudad sugiere que el nivel diario medio de monóxido de
carbono en el aire será de c(p) = 0.4p + 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se
estima que dentro de t años la población de la comunidad será de p(t) = 8 + 0.2t2
miles. Determine:
a.- El nivel futuro de monóxido de carbono en la comunidad, como función del tiempo.
b.- El nivel de monóxido de carbono dentro de 10 años.
4. Un tren parte de la estación a mediodía y viaja hacia el este a 30 kilómetros por hora. A las 2
p.m. del mismo día un segundo tren deja la estación y viaja hacia el sur a 25 kilómetros por hora.
Exprese la distancia y entre ambos trenes en función de t, tiempo que ha estado rodando el segundo
tren.
5. Un tren parte de la estación a mediodía y viaja hacia el este a 30 kilómetros por hora. A las
14:00 horas del mismo día un segundo tren deja la estación y viaja hacia el sur a 25 kilómetros por
hora. Expresar la distancia d entre ambos trenes en función de t, tiempo que ha estado rodando el
segundo tren.
6. En determinada fábrica, el costo de instalación es directamente proporcional al número de
máquinas utilizadas y el costo de operación es inversamente proporcional al número de máquinas
empleadas. Exprese el costo total como una función del número de máquinas utilizadas.
7. Dado que 0°C es lo mismo que 32°F y que un cambio de 1°C equivale a un cambio de 1.8°F,
exprese la temperatura Celsius C en función de la temperatura Fahrenheit F.
8. Una caja rectangular tiene 125 cm3
de volumen y una base cuadrada de longitud x cm. en su
arista. Exprese el área A del rectángulo como función de x.
9. Un rectángulo cuya base tiene longitud x está inscrito en un círculo de radio 2. Exprese el área A
del rectángulo en función de x.
10. Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de
petróleo. Por cada nuevo pozo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada uno
disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del campo petrolero en función del número x de
pozos nuevos que se perforan.
11. Un cilindro circular recto tiene un volumen de 1000 cm3
y el radio de su base x cm. Exprese la
superficie total A del cilindro como función de x.

87
12. Se tiende un cable desde una planta de energía, a un lado de un río de 900 metros de ancho,
hasta una fábrica en el otro lado, 3000 metros río abajo. El cable irá en línea recta desde la planta de
energía a algún punto P en la orilla opuesta, y luego a lo largo de la orilla hasta la fábrica. El costo
de tender el cable por el agua es $ 5 por metro, mientras que el costo sobre tierra es $ 4 por metro.
Si x es la distancia desde P al punto del otro lado del río enfrente de la planta de energía, exprese el
costo de instalación del cable como una función de x.
13. Un automóvil que viaja hacia el Este a 80 Km. por hora y un camión que viaja hacia el Sur a
60 Km. por hora parten de la misma intersección. Exprese la distancia entre ellos como una función
del tiempo.
14. Se va a construir una caja sin tapa con una hoja cuadrada de cartón cuyo lado tiene una
longitud de 50 cm. Primero, se recortan cuatro pequeños cuadrados, cada uno de los cuales tiene
lados de x cm. de longitud, de las cuatro esquinas de la hoja de cartón. Después, los cuatro faldones
resultantes se doblan hacia arriba para formar los cuatro lados de la caja, que tendrá una base
cuadrada y una profundidad de x cm. Exprese el volumen V como función de x.
15. Una escalera de 25 metros de largo se apoya contra una pared vertical, estando su pie a 7 metros
de la base de la pared. Si el pie de la escalera se aleja de la pared a razón de 2 metros por segundo,
expresar la distancia y del extremo superior de la escalera sobre el nivel del suelo como función del
tiempo t durante el movimiento.
16. Una lancha de motor que navega x km/h en aguas tranquilas, se encuentra en un rió cuya
corriente es de y < x km/h:
a.- ¿Cuál es la velocidad de la lancha subiendo el río?
b.- ¿Cuál es la velocidad de la lancha bajando el río?
c.- ¿Cuánto sube la ancha en 8 horas?
d.- ¿Qué tiempo tarda la lancha para bajar 20 km. si el motor se para a los 15 km. del punto de
partida?
21. CODOMINIO O RECORRIDO DE FUNCIONES
1. Determine el codominio de las siguientes funciones:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
2
2
2
21
)(
xx
x
xf



( )
1
x
f x
x


x
x
xf


1
)(
2
2
2
3 5 5
( )
2
x x
f x
x x
 

 
1
( )
1
x
f x
x




88
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:;
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
42
5
)(



x
x
xg
1
12
)(



x
x
xf
1
3
)(
2



x
xx
xf
2
1
( )
2
f x
x x


1
( )
x
f x
x


43
)( 2
2


x
x
xf
2 5
( )
7 9
x
f x
x



1
( )
1
x
f x
x



)72(
7
)(



xx
x
xf
3
( ) 1f x x 
( )
1
x
x
e
f x
e


1
2
( )
1
x
x
e
f x
e



2 2
1 1
4 9( ) 5 5x xf x   
1 1
1 1
5 2
( )
5 2
x x
x x
f x
 
 



2
1( ) 4
x
xf x


2
2 1
( )
2
x
x
f x
 
   
 
2
( )
2
x
x x
e
f x
e e


 
2
( ) 1 lnf x x 
1
( ) ln
1
x
f x
x
 
  
 
2
( ) ln 1 x
f x e 

89
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
2
( ) ln
1
x
f x
x
 
   
 
( ) ln
1
x
x
e
f x
e


2
3
( ) ln
2
x
f x
x
 
  
 
 ( ) ln 1 1f x x  
2
2
2 1
( ) ln
1
x x
f x
x x
  
     
( ) 1 2f x Tanx 
2
( ) 1f x Sen x 
2
( )
2 2
x x
f x Sen Cos
 
  
 
2
1
( )
1
f x
Sen x


2
1
( )
1
f x
Sen x


1 2
( )
2
Sen x
f x
Cos x


2
( )
2
Senx
f x
Cosx



1
( )
2
f x
Cosx


1 2
( )
1 2
Sen x
f x
Sen x



1
( ) ln
1
Cosx
f x
Cosx



1
( ) ln
1
Tanx
f x
Tanx



1
( )
1
x
f x ArcTan
x



( ) ( )f x ArcSen Senx Cosx 
1
( )
1
x
f x ArcSen
x



( )
1
x
f x ArcCos
x



90
p) . Resp:
q) . Resp:
r) . Resp:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) .
i) . Resp:
j) . Resp:
k)
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
22. COMPOSICION DE FUNCIONES
1. Previo al análisis correspondiente, determine lo siguiente , , , , y dé su
dominio:
a) , . Resp:
b) , . Resp:
c) , . Resp:
2 15
( )
4 2
Cos x
f x
Sen x



4 2 1
( )
4 2
Sen x
f x ArcSen
Sen x



4 4
( )f x Sen x Cos x 
2)21(loglog3 2
2
2  xCossenx
1log2
CosxSenx
1log CosxSenx
2)1(log 2
 CosxSenx
2log2log2loglog2log  CosxxCosSenxxSen
1loglog2log 222  CosxSenxxCos
)log(cos)log(
2
log SenxxSenxCosx
x
Sen 





1)1(log)1(logloglog 2222  TanxTanxCosxSenx
2
( ) ( )Cos x Senx
Tanx Cotx
0
38
5
3)2( 4



xSen
SenxxSen
xCotxCosxCos
06
3
3326 2
2
22








 xSenxSen
xCos
xCos
xCosxSenxSenxxSenCos
0322
1
1 2






 xCotxCosxSen
xCos
0 CosxSenx
CosxxCosxSenxSenSenxxSen  13
2
1
234
CosxTanxSenxTanxSenxTanx  2
gf  fg  ff  gg 
3 2
44)( xxxxf 
1
)( 2
2


x
x
xg
1
44
)(
2



x
xx
xf
x
x
xg


2
)(
65
54
)(
2



x
xx
xf
1
( )
6 5
g x
x



91
d) , . Resp:
e) , . Resp:
f) , . Resp:
g) , . Resp:
h) , . Resp:
i) , . Resp:
j) , . Resp:
2. Para cada una de las funciones f y g, determine: f + g, fg, :
a) , . Resp:
b) , . Resp:
c) , . Resp:
d) , . Resp:
e) , . Resp:
f) , . Resp:
g) , . Resp:
2
33
)(
2



x
xx
xf
x
xg
21
1
)(


x
x
xf



3
)2(
)(
2
1
( )
1
x
g x
x



84
2
)(
2



xx
x
xf
1
)(


x
x
xg
1
1
)(



x
x
xf 2
1
)(
x
x
xg


2
1)( xxxf 
2
1
1
)(
x
xg


2
( )
1
x
f x
x x

 
2
( ) 1g x x x 
2
( )
1
x
f x
x


2
3
( )
4 8
x
g x
x x


 
gf 
3
4 3, 1
( )
, 1
x x
f x
x x
 
 

( ) 2g x x 
3 2, 0
( )
5 4, 0
x x
f x
x x
 
 
 
2 1, 0
( )
2 , 0
x x
g x
x x
 
 
 
1, 0
( )
1, 0
x x
f x
x x
 
 
 
2
( ) 1g x x 
, 0
( )
2 , 0
x x
f x
x x

 

1, 1
( )
4 4, 1
x x
g x
x x
  
 
  
3 2, 1
( ) 5 , 1 1
4 3, 1
x x
f x x x
x x
  

   
  
( ) 5 2g x x 
2
2
, 0
( )
, 0
x x
f x
x x
 
 
 
2
2
1 , 0
( )
1, 0
x x
g x
x x
  
 
 
2
3
, 0
( ) , 0 1
, 1
x x
f x x x
x x


  


2
( ) 2g x x 

92
h) , . Resp:
i) , . Resp:
j) , . Resp:
k) , . Resp:
l) , . Resp:
m) , . Resp:
dominio:
a) , . Resp:
b) , . Resp:
c) , . Resp:
d) , . Resp:
e) , . Resp:
f) , . Resp:
g) , . Resp:
h) , . Resp:
i) , . Resp:
3
, 1
( ) , 1 1
2 1, 1
x x
f x x x
x x
 

   
  
2
2
1 , 0
( )
1, 0
x x
g x
x x
  
 
 
2
3
, 0
( ) , 0 1
, 1
x x
f x x x
x x


  


2
( ) 2g x x 
4
, 1
( ) , 1 1
, 1
x x
f x x x
x x
  

   
 
5
, 1
( ) , 1 1
2 1, 1
x x
g x x x
x x
 

   
  
2
, 0
( )
, 0
x x
f x
x x

 

4 2, 1
( )
5 1, 1
x x
g x
x x
 
 
 
2
3, 0
( )
2 3, 0
x x
f x
x x
 
 
 
( ) 1g x x 
2
5 4, 0
( )
3 , 0
x x
f x
x x x
 
 
 
2
1, 0
( )
1, 0
x x
g x
x x
 
 
 
2
1
( )
3
Cosx
f x
x


1
( )
3
g x
x


( )
2
Cosx Senx
f x
Cos x


2
1
( )
2
x
g x
x x



3
( )
Tanx Senx
f x
x


5 2
( )
2 1
x
g x
x



( )
x
f x
Cosx

1
( ) 9g x
x
 
1
( )f x ArcTan
x

2
1
( )
1
x
g x
x



2
( )
3
ArcSenx
f x
x

2
( )
9
x
g x
x


( )f x xArcTanx 2
( )g x x x x  
( )
1
x
f x
Cosx


1
3
2
1
( ) 8g x
x

 
  
 
( ) 2
2
x
f x x ArcTan 
2
( )
1
x
g x
x



93
j) , . Resp:
dominio:
a) , . Resp:
b) , . Resp:
c) , . Resp:
d) , . Resp:
e) , . Resp:
f) , . Resp:
g) , . Resp:
h) , . Resp:
i) , . Resp:
j) , . Resp:
dominio:
a) , . Resp:
b) , . Resp:
c) , . Resp:
d) , . Resp:
e) , . Resp:
f) , . Resp:
( )
2
Senx
f x x
x
 
1
( )
x
g x
x


2
1
( )
3
x
e
f x
x

 2
1
( )
1
g x
x


( )
x x
e e
f x
Senx



1
( ) 1g x
x
 
( )
1
x
e e
f x
x



4
1
( )
x
g x
x


2
2
( )
x
e Cosx
f x
x


2
2
( )
1
x
g x
x


( ) 1x
f x e 
2
( ) 2g x Cos
x
 
2 4
( )f x x x 
1
( ) x
g x e x 
2
( )
2
x
f x
x



1
3
( ) x
g x e 

2
( )
4
x
f x
x


( )
1
x
x
e
g x
e


2
( )
x
f x
x
 2
( )
1
x
g x
x


(1 )
( )
1
x
x
x e
f x
e





3 3
( ) 1g x x 
2
ln
( )
Cosx
f x
x

2
( )
1
x
g x
x


ln 1
( )
x
f x
x e


 2
1
( )
2
x
g x
x x



ln( ) ln
( )
a x a
f x
x
 

1
( ) Senx
g x e
( ) ln(1 2 )x
f x e  ( )g x x x 
3
3
( )
1
x
f x
x


( ) ln
2
x
e
g x
x
 
  
 
2
( )
1
x
f x
x


2
( ) ln(4 )g x x 

94
g) , . Resp:
h) , . Resp:
i) , . Resp:
j) , . Resp
23. INVERSA DE UNA FUNCION
1. Previo el análisis correspondiente, determine la inversa de las siguientes funciones:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
ln
( )
x
f x x
x
  2
( ) 3 1g x x x  
ln (1 4 )
( )
x
f x
x


2
1
( )
1
g x
x


2
5log ( 1)
( )
x
f x
x


2
( )
1 2x
g x 

2
ln
( )
( 1)
x
f x
x

 2
1
( )
1
x
f x
x



1
( )
2 5
x
f x
x



( )
2 1
x
f x
x


1
( )
2 1
x
f x
x



3 1
( )
x
f x
x


1
( )
1
x
f x
x



3
( ) 1f x x 
1
2
1
2
2 1
( )
2 1
x
x
f x





1
( )
1x
f x
e


2
1
2( )
x
f x e

 
1
2
( )
2 1
x
x
f x 


1 1
( ) 2 2x x
f x  
 
1
2
( ) log
1
x
f x
x


( ) 1 2ln( )f x x  

95
h) .
i) .
j) .
k) .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
24. PARIDAD DE UNA FUNCION
1. Dadas las siguientes funciones, determine su paridad:
a) . Resp: No par ni impar
1
1
2 1
( ) log
2 1
x
x
f x


 
    
1 2
( ) ln
1
x
f x
x
 
  
 
3
3
1
( ) log 3
3
f x x 
4
2
( ) ln
5
x
f x
x



1 (8 3 )
( )
2 2
Cos x
f x
Tan x Cot x
  


2
( )
1 2
Cos x
f x
Sen x


2
( )
1
Senx
f x
Cosx
 
  
 
1 2
( )
2
Sen x
f x
Cos x


2 2
( )
1 1
Sen x Cos x
f x
Cotx Tanx
 
 
2 2
2
2
( )
4
Cos x Sen x
f x
Cos x


2 2
( )
2 2
Senx Sen x
f x
Senx Sen x



2
2
2
( )
1
Sen x
f x
Sec x


( )
Senx Tanx
f x
Cosx Cotx



1
( )
1
Tanx
f x
Tanx



1 2
( )
1 2
Sen x
f x
Sen x



( )
2
Secx Cosx
f x
Senx


2
2
2
21
)(
xx
x
xf




96
b) . Resp: No par ni impar
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
x
x
xf


1
)(
2
2
2
3 5 5
( )
2
x x
f x
x x
 

 
1
( )
1
x
f x
x



2
1
( )
1
f x
x x

 
1
3
)(
2



x
xx
xf
2
1
( )
2
f x
x x


43
)( 2
2


x
x
xf
2 3
( ) 3f x x x 
xxxf  1)12()(
2 5
( )
7 9
x
f x
x



2 2
2
1 1
4 5
( )
10 10x x
x x
f x
 
 


2 2
5 6 3 4
1
( )
2 2x x x x
f x
   


2 2
2 3 5 6
( ) 5 3x x x x
f x    
 
 2
( ) ln 1f x x x  
5 3 2
( ) ln( 5 6)x
f x e x x
   
2
2
ln( 4 5)
( )
ln 2 3
x x
f x
x x
 

 
2
2
6
( ) log ( 3)
x x
f x x
 
 
2 2
( ) 2 15 ln( 1)f x x x x   
2
2
ln( 3 4)
( )
5 6
x x
f x
x x
 

 
2
( ) (1 ) ln 1f x x x  

97
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
q) . Resp:
4. Encuentre el período mínimo positivo de las funciones:
a) . Resp:
b) . Resp:
( )
Senx xCosx
f x
Cosx Senx



1 (8 3 )
( )
2 2
Cos x
f x
Tan x Cot x
  


2 2
2
2
( )
4
Cos x Sen x
f x
Cos x


2
4
( )
2 2
Cos x
f x
x x
Tan Cot


1 2
( )
Tan xTanx
f x
Cotx Tanx



2( )
2 2
x
Cos
f x
x x
Sen Cos


1 2
( )
1 2
Sen x
f x
Sen x



2 2
( )
1 1
Sen x Cos x
f x
Cotx Tanx
 
 
( )
( )
2
Csc x
f x
Cot x Cotx



( )
Senx Tanx
f x
Cosx Cotx



1
( )
1
Tanx
f x
Tanx



1 2
( )
1
Cos x
f x
Senx



3
2
( )
log
x
f x
Cosx


2
1
( ) log
6
f x
Sen Senx



4 4
2
( ) 4 12 5f x Sen x Senx  
 2
ln 1
( )
Tanx x x
f x
Senx xCos x
  


2
( ) 2 3f x Sen x Sen x 
( ) 4 5 6f x Sen x Cos x 

98
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
q) . Resp:
r) . Resp:
s) . Resp:
t) . Resp:
u) . Resp:
25. MONOTONIA DE UNA FUNCION
1. Utilizando el teorema de Joe garcía, determine los puntos de máximos, mínimos e intervalos de
monotonía:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
( ) 3 4 2 5f x Sen x Tan x 
3 3
9 3
( ) 8 2
8 2
x x
f x Sen Cos 
3 9
( )
4 8
x x
f x Sen Sen 
1
( )
1
Senx Cosx
f x
Senx Cosx
 

 
( ) (1 )f x Cosx Cotx 
( ) 5 3f x Sen x Cos x 
( ) 2f x CotxSen x
2 2
( )f x Tan x Cot x 
2
( ) 4 12 5f x Sen x Senx  
( ) (1 )f x Cos Senx 
2
( )f x Cos x Senx 
2
( ) 3f x Cos x Cosx  
( )
1
Cosx
f x
Senx


( ) 2
4
f x Cos xSec x
 
  
 
2
( )
1
Senx
f x
Tan x


( )
1
Cosx
f x
Cosx


( )
Senx Cosx
f x
Senx Cosx



2
2
1
( ) 1f x Cot x
Cos x
  
2
2
( )
1
x
f x
x


1
44
)(
2



x
xx
xf
65
54
)(
2



x
xx
xf

99
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
monotonía:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
monotonía:
84
2
)(
2



xx
x
xf
1
1
)(



x
x
xf
2
( )
1
x
f x
x


2
1
( )
1
f x
x


2
( )
1
x
f x
x x

 
2
( )
1
x
f x
x


84
3
)( 2



xx
x
xf
2
1
2( )
x
f x e

 
1
2
( )
2 1
x
x
f x 


1 1
( ) 2 2x x
f x  
 
1
( ) 2 3 9x x
f x  
  
2
2( ) log (8 )f x x x 
2
( ) ln( 1 )f x x x  
1
2
( ) log
1
x
f x
x


3
( ) log(1 )f x x 
2
3
( ) ln
1
x x
f x
x
 
    
( ) 1 2ln( )f x x  
3 2
5
3 2
( ) ln
1
x x x
f x
x
   
    
1
1
2 1
( ) log
2 1
x
x
f x


 
    

10
0
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
o) .
p) .
4. Se tiene una pieza de metal de 20 metros de largo y 6 metros de ancho, con la cual va a
construirse un abrevadero. ¿A qué ángulo deben juntarse los lados para que el volumen del
abrevadero sea el máximo posible?
5. Los dos lados y la base de un trapecio isósceles tienen 5 pulg de largo cada uno. ¿A qué ángulo
deben juntarse los lados con el techo horizontal para maximizar el área del trapecio?
6. Pruebe que, de todos los triángulos isósceles cuyos lados iguales tienen una longitud
especificada, el triángulo de mayor área es el triángulo rectángulo.
1 (8 3 )
( )
2 2
Cos x
f x
Tan x Cot x
  


2
( )
1 2
Cos x
f x
Sen x


2
( )
1
Senx
f x
Cosx
 
  
 
1 2
( )
2
Sen x
f x
Cos x


2 2
( )
1 1
Sen x Cos x
f x
Cotx Tanx
 
 
2 2
2
2
( )
4
Cos x Sen x
f x
Cos x


2 2
( )
2 2
Senx Sen x
f x
Senx Sen x



2
2
2
( )
1
Sen x
f x
Sec x


( )
Senx Tanx
f x
Cosx Cotx



1
( )
1
Tanx
f x
Tanx



1 2
( )
1 2
Sen x
f x
Sen x



( )
2
Secx Cosx
f x
Senx


2
( )f x Cos x Senx 
2
( ) 3f x Cos x Cosx  
2
( )
1
x
f x Sen
x


2
2
( )
1
x
f x Cos
x



10
1
7. Dos pozos petrolíferos están, respectivamente, a a y a b millas mar adentro. Un bote de motor
que viaja a una velocidad constante s transporta trabajadores desde el primer pozo a la orilla y luego
prosigue hacia el segundo pozo. Demuestre que el tiempo total de viaje es mínimo si el ángulo 
entre la trayectoria de partida del bote y la orilla es igual al ángulo  entre la orilla y la trayectoria
de salida del bote.
8. Halle el largo del tubo de mayor longitud que puede transportarse horizontalmente por una
esquina que une dos pasillos que tienen pies de ancho.
9. Hay que hacer una artesa con un fondo plano y lados igualmente inclinados doblando una pieza
de hoja metálica de ancho x:
a.- Si los dos lados y el fondo tienen, cada uno, un ancho de igual a x/3, ¿cuál es el ángulo de los
lados que da la sección transversal de mayor área?
b.- Si el ángulo entre el lado y el fondo es un ángulo dado θ, 0 ≤ θ ≤ π/2, ¿cuál es el ancho que
debe tener el fondo?
10. Una lámpara de altura ajustable cuelga directamente encima del centro de una mesa circular
que tiene 8 pies de diámetro. La iluminación en el borde de la mesa es directamente proporcional al
coseno del ángulo  e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d, donde  y d son
como se muestra en la figura. ¿Qué tan cerca de la mesa debe situarse la lámpara para maximizar la
iluminación en el borde de aquella?
26. GRAFICA DE UNA FUNCION
1. Analizar y graficar las siguientes funciones:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
2 2
2
1
( )
2 5
x
f x
x x


 
2
2
1
( )
2 1
x x
f x
x x
 

 
3
6 1
( ) 3f x x
x x
  
2
2
( 1)
( )
( 1)
x x
f x
x



5
2 2
( )
( 1)
x
f x
x


2
1
( )
2 6
x
f x
x x


 
2
1
( )
( 5) 3 1
f x
x x x

  
2
1
( )
1 2 2
f x
x x

  

10
2
i) .
j) .
k) .
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
2. Previo al análisis completo, realice el gráfico de la siguiente función:
a) .
b) .
c) .
2
2
3
( )
x x
f x
x


2
1
( )
2 1
f x
x x


1
( )
1 1
f x
x x

  
2
1
( )
3 6 5
x
f x
x x


 
2
1
( )
1
x
f x
x



2
( )
1
x
f x
x x

 
2
1
( )
1
x
f x
x x


 
2
2
5 7
( )
2
x
f x
x



2
2
1
( )
1
x
f x
x



( )f x x x 
2
4
( )
3 2
f x
x


2
1
( )
2
x
f x
x x


 
2
1
( )
1
x
f x
x



3
8
( )
3
x
f x
x


3 2
( )
1
x
f x
x


2
3, 2
( )
, 2
x x
f x
x x
 
 

2
2
4 3, 1
( )
3 2 , 1
x x
f x
x x x
   
 
  
2
2
2
1
, 0
1( )
2
, 0
3
x
x
xf x
x
x
x x
 
  
 
  

10
3
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
o) .
p) .
2
1, 0
( )
, 0
x x
f x
x x
 
 

2
1
, 0
( )
1, 0
x
f x x
x


 
 
2
2, 0
( )
1, 0
x x
f x
x x
  
 
 
2 , 2
( )
2, 2
x x
f x
x
  
 

2
2
, 2
( ) 2
0, 2
x x
x
f x x
x
 
 
  
 
2
, 3
2
( )
12 2
, 3
3
x
x
f x
x
x


 
 

3
4 3, 1
( )
, 1
x x
f x
x x
 
 

3 2, 0
( )
5 4, 0
x x
f x
x x
 
 
 
2 1, 0
( )
2 , 0
x x
f x
x x
 
 
 
3 2, 1
( ) 5 , 1 1
4 3, 1
x x
f x x x
x x
  

   
  
2
3
, 0
( ) , 0 1
, 1
x x
f x x x
x x


  


3
, 1
( ) , 1 1
2 1, 1
x x
f x x x
x x
 

   
  
4
, 1
( ) , 1 1
, 1
x x
f x x x
x x
  

   
 

10
4
q) .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
o) .
p) .
q) .
r) .
5
, 1
( ) , 1 1
2 1, 1
x x
f x x x
x x
 

   
  
1
1
( )
x
x
f x e



2
4
( ) x x
f x e 

3
3
( 1)
( )
1
x
x
e
f x
e



2
2
( )
2 1
x
x
f x 

2
1
( )
1 x
f x
e


( )
x x
x x
e e
f x
e e





2
( )
1
x
x
e
f x
e


2 3
( ) ln
3 2
x
f x
x
 
  
 
2
( ) ln( 7 12)f x x x  
2
4
( ) ln
5 6
x
f x
x x
 
  
  
 2
( ) ln 1f x x x  
1
( ) ln
1
x
f x
x
 
  
 
2
( ) ln 1 x
f x e 
2
( ) ln
1
x
f x
x
 
   
 
( ) ln
1
x
x
e
f x
e


2
3
( ) ln
2
x
f x
x
 
  
 
 ( ) ln 1 1f x x  
2
2
2 1
( ) ln
1
x x
f x
x x
  
     

10
5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
27. PROBLEMAS DE APLICACION DE MAXIMOS Y MINIMOS
Aplicando el teorema de Joe García, resolver los siguientes problemas:
1. Hallar en la parábola y = x2
el punto más próximo al punto (2, ½)
2. Una larga lámina rectangular de metal de 20 pulgadas de ancho, se va a convertir en un canalón
para lluvia doblando dos lados hacia arriba, de manera que queden perpendiculares al resto de la
lámina. ¿De cuántas pulgadas debe ser lo doblado para dar al canalón la máxima capacidad?
3. Hallar el área total máxima de un cilindro inscrito en una esfera de radio R.
1
( ) 2
2
f x Senx Sen x 
4 4
2
( )
Sen x
f x
Sen x Cos x


1
( )
3
f x
Cosx


2
1
( )
4
f x
Sen x


1
( )
1
f x
Senx Cosx

 
2
1
( )
1
f x
Sen x Cosx

 
( )
1
Senx
f x
Senx


2
( )
2 2
x x
f x Sen Cos
 
  
 
2
( )
1
Senx
f x
Cosx
 
  
 
2
2
1
( )
1
x
f x ArcCos
x
 
  
 
2
2
( )
1
x
f x ArcSen
x
 
  
 
2
2
( )
4 2
Cos x
f x
Cos x


2
1
( )
1
f x
Cos x



10
6
4. Tres puntos A, B y C se hallan situados de modo que <(ABC) = π/3. Un automóvil sale del
punto A, en el mismo momento del punto B parte un tren. El auto avanza hacia el punto B a 80
kilómetros por hora, el tren se dirige hacia el punto C a 50 kilómetros por hora. Teniendo en cuenta
que la distancia AB = 200 kilómetros, ¿en qué momento, al comenzar el movimiento, será mínima
la distancia entre el automóvil y el tren?
5. Hallar el cilindro con el volumen máximo entre todos los cilindros inscritos en un cubo con
arista a, de forma que el eje de cada cilindro coincida con la diagonal del cubo, en tanto que las
circunferencias de las bases hagan contacto con las caras del cubo.
6. Un ingeniero tiene 200 metros de material para cercar un campo con forma rectangular y quiere
usar un granero como parte de uno de los lados del terreno. Demuestre que el área cercada es
máxima cuando en vez de rectángulo se tiene un cuadrado. Suponga que el granjero desea cercar un
área rectangular de A metros cuadrados. Demuestre que la figura que requiere menos material para
la cerca es un cuadrado.
7. Un sector de ángulo central α está recortado de un círculo. Al enrollarse el sector, ha sido
engendrada una superficie cónica. ¿Cuál debe ser la abertura del ángulo α para que el volumen del
cono obtenido sea el mayor posible?
8. Un recipiente con pared vertical de altura h se encuentra sobre un plano horizontal. De un
orificio en la pared del recipiente fluye un chorro. Determine la posición del orificio con la que el
alcance del chorro será el máximo si la velocidad del líquido que fluye es igual a , donde x es
la profundidad del orificio (ley de Torricelli).
9. Una pila eléctrica que tiene un voltaje fijo V y una resistencia interna fija r se conecta a un
circuito que tiene resistencia variable R. Por la ley de Ohm, la corriente I en el circuito es
. La potencia de salida P está dada por P = I2
R. Demuestre que la potencia máxima se alcanza
cuando R = r.
10. ¿A qué altura sobre el centro de una mesa redonda de radio R hay que situar una bombilla
eléctrica para que la iluminación del borde de la mesa sea la máxima?
11. Dado un cierto punto A en una circunferencia, trazar una cuerda BC paralela a la tangente en el
punto A de modo que el área del triángulo ABC sea la mayor posible.
12. Se van a usar 300 metros de malla de metal para construir seis jaulas juntas para un zoológico.
Calcule las dimensiones para las que el área que abarcan las jaulas es máxima.
13. La potencia de salida P de una batería o acumulador de automóvil está dada por P = VI – I2
r,
donde V es el voltaje, I la corriente y r la resistencia interna de la batería. ¿Qué valor de la corriente
corresponde a la potencia máxima?
14. Un embudo cónico, de radio de base R y altura H está lleno de agua. Una esfera pesada está
sumergida en el embudo. ¿Cuál ha de ser el radio de la esfera para que el volumen de agua
expulsada del embudo por la parte sumergida de la esfera, sea el mayor posible?
2gx
V
I
R r



10
7
15. Un observador se encuentra frente a un cuadro colgado de una pared vertical. El borde inferior
del cuadro está situado a una distancia a sobre el nivel de los ojos del observador, el borde superior,
a una distancia b. ¿A qué distancia de la pared debe hallarse el observador para que el ángulo bajo
el que ve el cuadro sea el máximo?
16. Se va a construir un vaso de papel en forma de cono circular recto quitando un sector circular a
una hoja de papel con forma de círculo y radio r, y uniendo después las dos orillas rectas del papel
restante. Calcule el volumen del vaso más grande que se pueda construir.
17. La potencia P requerida por un pájaro para mantener el vuelo está dado por la fórmula
donde v es la velocidad relativa del pájaro, w es su peso, ρ es la densidad del
aire y S y A son constantes positivas asociadas con el tamaño y la forma del pájaro. ¿A qué
velocidad relativa v será mínima la potencia requerida por el pájaro?
18. Un punto luminoso está situado en la línea de los centros de dos esferas y se encuentra fuera de
ellas. ¿Con qué posición del punto luminoso será máxima la suma de las áreas de las partes
iluminadas de las superficies de las esferas?
19. Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas
en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble
del de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10π
pie cúbicos?
20. Calcule el volumen del cono circular recto más grande que se puede inscribir en una esfera de
radio r.
21. Se desea construir un oleoducto de un punto A a otro punto B que distan 10 kilómetros y se
encuentran en riberas opuestas de un río de cauce recto de 1 kilómetro de ancho. El oleoducto irá
bajo el agua de A a un punto C en la ribera opuesta y luego sobre el suelo de C a B. El costo por
kilómetro de tubería bajo el agua es cuatro veces más del costo sobre tierra. Calcule la posición de
C que minimizará el costo. Desprecie la pendiente del lecho del río.
22. Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo de radio r
de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro.
23. Encuentre las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en un triángulo
equilátero de lado a, de manera que dos de sus vértices estén en un mismo lado del triángulo.
24. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Hallar el tamaño del cuadrado de máxima área
que puede circunscribirse al cuadrado dado.
25. Encuentre el punto de la gráfica de y = x2
+ 1 más cercano al punto P(3, 1).
26. Dada una esfera de radio R. Hallar el radio r y la altura h del cilindro circular recto de mayor
superficie lateral 2πrh que puede inscribirse en la esfera.
2
31
2 2
w
P Av
Sv
  


10
8
27. La resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional al producto del ancho y el
cuadrado de la altura de su sección transversal. Halle las dimensiones de la viga más resistente que
se pueda obtener de un tronco circular de radio r.
28. La iluminación producida por una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad
luminosa de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la misma. Dos
fuentes de luz de intensidades S1 y S2 están separadas una distancia L. ¿En qué punto del segmento
que las une es mínima la iluminación?
29. ¿Cuáles son las dimensiones relativas de un cilindro circular recto, con la máxima superficie
curva, que se puede inscribir en una esfera dada?
30. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con
el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del exterior. ¿Cuál debe ser la razón
de sus alturas para que el cono inscrito tenga el máximo volumen?
31. Hallar el volumen máximo de un cono con la generatriz L dada.
32. ¿Cuál debe ser el radio de un círculo para que el sector cuyo perímetro es igual a un número
dado P tenga la mayor superficie posible?
33. El perímetro de un triángulo isósceles es 2P. ¿Cuánto deben medir sus lados para que el
volumen del cuerpo engendrado por la rotación del triángulo en torno a su base sea el mayor
posible.
34. Se desea construir un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa que tenga un volumen de 24π
centímetros cúbicos. El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea
para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, evaluar las
dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación.
35. Un alambre de 60 centímetros de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes va a
doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triángulo equilátero. ¿Cómo se debe
cortar el alambre para que la suma de las áreas del círculo y del triángulo que se forman sea
máxima, y cómo se debe cortar para que sea mínima?
36. El lado de un recipiente con forma de cilindro circular ha de elaborarse de cartón con un costo
de x centavos por centímetro cuadrado y las partes superior e inferior de aluminio con un costo de y
centavos por centímetro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones que dan un costo mínimo para los
materiales? Muéstrese que para este mínimo los costos laterales duplican los de la parte superior y
la base juntos.
37. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 decímetros
cúbicos. Encuentre las dimensiones que minimicen la cantidad de material necesario. Desprecie el
espesor del material y lo que se desperdicia en la construcción.

10
9
38. Un veterinario cuenta con 30 metros de malla de metal y quiere construir 6 jaulas para perros
levantando primero una cerca alrededor de una región rectangular, y dividiendo luego la región en
seis rectángulos iguales mediante cinco rejas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las
dimensiones de la zona rectangular para las que el área total es máxima?
39. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Halle las
dimensiones de la ventana que permiten admitir más luz suponiendo que el perímetro debe ser de 5
metros.
40. Una cerca de 8 pie de alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto. La cerca dista 1 pie
del edificio. Calcule la longitud de la escalera más corta que se puede apoyar entre el suelo y el
edificio por encima de la reja.
41. Se desea construir un vaso de papel en forma de cono circular recto que tenga un volumen de
36π centímetros cúbicos. Encuentre las dimensiones que requieren menor cantidad de papel.
Desprecie cualquier desperdicio en la construcción.
42. Un cilindro se ha obtenido haciendo girar un rectángulo alrededor del eje x, tal que su base está
en el eje X. Todo el rectángulo está contenido en la región comprendida entre la curva y
el eje X. Hallar el cilindro de volumen máximo.
43. Un alambre de 36 centímetros de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes se ha de
doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en forma de un rectángulo cuya longitud es el
doble de su anchura. ¿Cómo se debe partir el alambre para que la suma de las áreas del triángulo y
el rectángulo sea máxima.
44. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga la capacidad de 1 metro
cúbico. Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima,
suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción. La base circular del recipiente se corta
de una hoja cuadrada y el metal restante se desperdicia. Calcule las dimensiones del recipiente para
las cuales la cantidad de material necesario en la construcción sea mínima.
45. Un triángulo isósceles tiene base b y lados iguales de longitud a. Encuentre las dimensiones del
rectángulo de mayor área que se puede inscribir en el triángulo de manera que uno de sus lados
coinciden con la base del triángulo?
46. Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las
dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima, si el perímetro de la misma
debe ser de 12 pie.
47. Un área circular de 20 metros de radio está rodeado por un andador y una luz está colocada
encima de un poste en el centro. ¿A qué altura debe colocarse la luz para alumbrar con la intensidad
máxima el andador? La intensidad I de iluminación de una superficie está dada por ,
donde D es la distancia de la fuente de luz a la superficie,  es el ángulo de incidencia sobre la
superficie y k una constante positiva.
2
1
x
y
x


2
kSen
I
D



11
0
48. Un círculo de radio R está dividido en dos segmentos con la recta L alejada del centro del
círculo a una distancia H. Entre todos los rectángulos inscritos en el menor de dichos segmentos
hallar aquel que tiene el área máxima.
49. Hallar la longitud del lado del trapecio que tenga el perímetro mínimo entre todos los trapecios
isósceles con área prefijada S y ángulo  entre el lado y la base inferior.
50. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo que tiene el área máxima entre todos los
triángulos en los que la suma de las longitudes de uno de los catetos y la hipotenusa es constante.
28. EXPRESIONES DADAS PARAMETRICAMENTE
1. De las siguientes expresiones, eliminar el parámetro t:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
2
2
2
1
1
t
x
t
t
y
t

 

 
 
2
2
3
x t
y t t
 

 
2
2
3
x t
y t t
 

 
2
1
1
x t
y t
 

 
x Sect
y Tant



3
t
x e
y t
 


x ACost
y BSent



2
2
x Sen t
y Cos t
 


31 1
3 4
x t
y t
t



 
ln
1 ln
x t t
y t t
  

  

11
1
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
n) . Resp:
o) . Resp:
p) . Resp:
2. Aplicando el teorema de Joe García, graficar las siguientes expresiones:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
2
4
1 1
2
x t
y t
t
 


 

2
4 1
3 2
x t
y t
  

 
1
1
x
t
t
y
t



 
 
2
3
3
x t
t
y t
 


 

2
2
2
2
1
1
t
x
t
t
y
t

 

 
 
2
3
1x t
y t t
  

 





13)(
13)(
2
2
tttg
tttf





2
2
)(
1)(
tttg
ttf





tttg
ttf
3)(
)(
3
2





1)(
1)(
2
ttg
ttf










2
2
2
1
)(
1
2
)(
t
t
tg
t
t
tf





2
2
3)(
)(
tttg
ttf

11
2
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
o) .
p) .
q) .
r) .
s) .










t
t
tg
t
t
tf
1
)(
1
)(
2
2










2
2
1
)(
1
2
)(
t
t
tg
t
t
tf





tSentg
Senttf
2)(
)(





tCostg
Senttf
2)(
)(





tttg
tttf
2
2
)(
3)(





13)(
1)(
2
2
tttg
tttf





2)(
22)(
2
2
tttg
tttf





1)(
1)(
2
2
tttg
tttf









t
t
tg
t
t
tf
1
)(
1
)(







t
t
tg
ttf
1
4
)(
)(










1
)(
1
)(
2
2
t
t
tg
t
t
tf





ttg
ttf
)(
1)( 2










1
)(
1
)(
2
2
t
t
tg
t
t
tf

11
3
t) .
u) .
v) .
w) .
x) .
y) .
z) .
3. Si una pelota es lanzada horizontalmente a 120 pies por segundo desde un punto a 4 pies sobre
el terreno horizontal, ¿cuánto tiempo tardará la pelota para estar a sólo 1.44 pies sobre el terreno?
¿qué distancia recorrerá horizontalmente?
4. Si una pelota es lanzada horizontalmente a 120 pies por segundo desde un punto a 4.5 pies sobre
el terreno horizontal, ¿a qué distancia del terreno estará después de recorrer 60 pies?
5. Una pelota es lanzada a 120 pies por segundo a un ángulo de 45° con la horizontal. ¿Cuánto
tiempo tardará para estar a la misma altura sobre el terreno que al ser lanzada? ¿Qué distancia ha
recorrido horizontalmente en este tiempo?
6. Una pelota es lanzada a 96 pies por segundo a un ángulo de 30° sobre la horizontal. ¿Después
de cuántos segundos estará a su distancia original sobre el nivel del terreno?
7. Se dispara un cuerpo desde el origen con velocidad inicial v0 metros por segundo formando
ángulo  con el eje positivo X. Suponiendo que solo actúa la fuerza de gravedad sobre el cuerpo una
vez disparado, obtener las ecuaciones paramétricas de su trayectoria tomando como parámetro el
tiempo t, t mide los segundos transcurridos después del disparo.
8. Se alcanza un pájaro de un tiro cuando va volando horizontalmente a 40 metros por encima del
cazador. Si la velocidad que lleva es de 45 kilómetros por hora, hallar el tiempo que tarda en caer y
la distancia a que caerá del cazador.











1
2
)(
1
)(
2
23
2
3
t
tt
tg
t
t
tf











2
2
)1(
2
)(
1
)(
t
tt
tg
t
t
tf











1
)(
1
2
)(
2
2
t
t
tg
t
tt
tf





2
2
3)(
)(
tttg
ttf





13)(
13)(
3
3
tttg
tttf





tCostg
Costtf
2)(
)(





3
2
3)(
)(
tttg
ttf

11
4
9. Se lanza una bola hacia arriba desde el suelo con un ángulo de 60° con la horizontal y con
velocidad inicial de 20 metros por segundo. Hallar:
a.- El tiempo que estará en el aire.
b.- Su alcance, es decir, la distancia horizontal que cubre.
c.- La máxima altura que alcanza.
29. EXPRESIONES DADAS EN COORDENADAS POLARES
1. Transformar las siguientes expresiones a coordenadas cartesianas:
a) . Resp:
b) . Resp:
c) . Resp:
d) . Resp:
e) . Resp:
f) . Resp:
g) . Resp:
h) . Resp:
i) . Resp:
j) . Resp:
k) . Resp:
l) . Resp:
m) . Resp:
2. Graficar las siguientes expresiones:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Sen Cos
r
Cos
 


1
1
Sen
r
Cos
 

 
1 2 3r Sen  
4
4
4
r
Sen
 

2
2aSen
r
Cos



2aCos
r
Cos



2
2
Tan
r

 
3
2
2
2
Cos
r
Cos



2
4
2
Cos Sen
r
Cos
 


2 2 2
(4 9 ) 36r Sen Cos  
2
( ) 1r Sen rCos  
( 2 ) 6r Sen Cos  
1
1
Sen
r
Cos
 

 
 SenCosr
 2Senr
 Senr
 Cosr
 Cosr 21
 Senr 21
1
Sen
r
Cos


 

11
5
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
o) .
p) .
q) .
r) .
s) .
3. Demuestre que los puntos (r, ) y (r, -) son simétricos con respecto al eje X.
4. Demuestre que los puntos (r, ) y (-r, -) son simétricos con respecto al eje Y.
5. ¿Qué puede decir acerca de la simetría del par de puntos (r, ) y (-r, )?
6. Demuestre que la recta vertical x = A tiene a rCos = A como ecuación en coordenadas polares.
7. Demuestre que la recta horizontal y = B tiene a rSen = B como una ecuación en coordenadas
polares.
8. Obtenga una ecuación apropiada en coordenadas polares para la circunferencia x2
+ y2
= 2B.
9. Una ciudad B está localizada 60 kilómetros al este y 90 kilómetros al sur de A. Una estación
meteorológica en A detecta que una fuerte tormenta se ha desatado en B. ¿Qué distancia hay entre
la tormenta y la estación meteorológica?
10. En un experimento sobre orientación y navegación, se liberan algunas palomas mensajeras a
85 km de su jaula. ¿Cuál es la distancia oeste y norte desde el punto de liberación?
11. Una abeja exploradora descubre una fuente de miel a mediodía que es cuando estos animales
usan coordenadas polares para orientarse. La fuente se localiza 800 m al este y 1250 m al sur de la
colmena. ¿Cuáles serán las coordenadas polares que la abeja proporcione a sus compañeras al llegar
a la colmena?
1
Sen
r
Sen


 
 CosSenr
 CosSenr


Cos
r
1
1
)1(4  Senr


Sen
r
2
4
)1(6  Cosr
 Cosr 21
3
r aSen
 
  
 
2
1
r
Sen

 
Sen
r
Sen Cos


 
1
r
Sen Cos

 

11
6
12. Una circunferencia tiene su centro sobre el eje o línea polar y pasa por el origen. Encuentre una
ecuación apropiada para el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas que pasan por el
origen. Identifique la curva.
13. Un segmento rectilíneo de longitud fija 2a se desliza de manera que un extremo se encuentra
siempre sobre el eje X, y el otro se halla siempre sobre el eje Y. Obtenga una ecuación en
coordenadas polares para el lugar geométrico de los puntos P que son las intersecciones del
segmento móvil con una recta que pasa por el origen y es perpendicular al segmento. Trace la
curva.
14. Hallar la ecuación de cada conjunto de puntos descritos a continuación. Comprobar cada línea,
circunferencia y ecuación cónica aplicando la ecuación general apropiada:
a.- Una recta paralela al eje polar y 5 unidades arriba; 5 unidades abajo de él.
b.- Una recta cuya normal desde el polo tiene 4 unidades de longitud y forma un ángulo de 60° con el
eje polar.
c.- Una circunferencia con centro en (90°, 6) y radio 6.
d.- Una circunferencia con centro en (240°, 2) y radio 7.
e.- Una parábola con foco en el polo y directriz perpendicular al eje polar y 3 unidades a la derecha del
eje normal.
f.- Una parábola con foco en el polo y directriz paralela a y 4 unidades abajo del eje polar.
g.- La curva tal que la distancia de cada punto sobre ella desde el polo es igual al triple del seno del
doble del ángulo vectorial.
h.- La parábola con vértice en el polo y foco en (0°, a). Comprobar la ecuación transformando
y2
= 4ax a forma polar.
15. Demuestre que la gráfica de r(ACos + BSen) = C es siempre una recta en tanto que A y B
no sean cero.
16. Una cuerda focal de una cónica es una cuerda que pasa por uno de los focos de la curva.
Considere que el foco F divide a la cuerda en dos segmentos de longitudes d1 y d2. Demuestre que
para una elipse o una parábola fijas, 1/d1 + 1/d2 es una constante. ¿Qué es tal constante?
17. Pruebe que la gráfica de r = 2ASen + 2BCos puede ser una circunferencia que pasa por el
origen o un solo punto. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia.
18. Trace la curva r = aSenk para 0    /k. A partir de esta parte de la gráfica deduzca el
hecho de que si k es un entero la gráfica completa es una rosa. Si k es un entero par la rosa tiene 2k
pétalos, pero si k es un entero impar la rosa sólo tendrá k pétalos. Demuestre la misma aseveración
para la gráfica de r = aCosk, comprobando que es congruente con la gráfica de r = aSenk.
Sugerencia: Sustituya  por  + 32k en r = aCosk.
19. Obtenga una ecuación en forma polar para cada una de las gráficas descritas a continuación:
a.- Una línea que pasa por el punto O y tiene pendiente 1;
b.- Una línea que pasa por el punto (1, /2), con pendiente –1;
c.- Una línea paralela a la del literal a) y que pasa por el punto polar (-1, 0);
d.- Una línea perpendicular a la línea del literal b) y que pasa por el punto (2, /3);
e.- Un círculo con centro en O y radio 5;

11
7
f.- Un círculo con centro en (1, /4), con radio 4;
g.- Una parábola, cuya ecuación rectangular es y = x2
;
h.- Una parábola, cuya ecuación rectangular es x2
– 1 = 2y.
20. Demuestre que en el caso de una hipérbola la aseveración del problema anterior es falsa a
menos que sólo se considere una rama. Por ejemplo, considere la hipérbola haciendo
primero  = 0 y después  = /3.
21. Resolver el sistema de ecuaciones:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
15
1 4
r
Cos

 
2
2
4
4
r Sen
r Cos
  

 
3
3
r Cos
r Sen
 

 
2
2
r Sen
r Sen
 

 
2
2 3
rCos
rSen
 

  
2
2
2(1 )
r Cos
r Cos
  

  
r aCos
rCos a
 

 
2 2
2 2
r Sen
r Cos
 

 
(1 )
1
r a Cos
a
r
Cos
  


  
4
r a
r aCos


 
2
4 3
r aCos
rCos a
 

 
r aSen
rSen a
 

 
3
1
r Cos
r Cos
 

  
2
2
4
r Cos
r Cos
 

 

11
8
n) .
o) .
p) .
q) .
r) .
2
3 2
r Cos
r
Cos
 


  
1
3
2
r Cos
r Cos
  

 

5
2
r Sen
r Sen
 

  
2
4
rSen
r Sen
 

 
1
2 1
rCos
r Cos
 

 

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