Modulacion pwm pmdc_v4

Modulación PWM 1
CAPÍTULO 4.- ELECTRÓNICA DE EXCITACIÓN EMPLEADA EN LA
ACTUACIÓN DE MOTORES DE CORRIENTE CONTINUA DE BAJA
POTENCIA.
4.1.- INTRODUCCIÓN
Desde el punto de vista de la electrónica necesaria para accionar un motor de cc de imán
permanente, existen multitud de soluciones [Tal-76], [Taft-79], [Jahns-90], [Slemon-92],
[Mohan-95], [Rashid-95], [Shepherd-95], [Bodson-96] de las que las más eficientes son
aquellas que se basan en la utilización de convertidores en los que sus interruptores
electrónicos de potencia (transistores bipolares, IGBTs, y fundamentalmente, debido a sus
importantes ventajas [Hill-85], MOSFETs) funcionan en modo conmutación, de forma que
las pérdidas propias debidas al convertidor son muy pequeñas en relación con los
convertidores lineales en los que sus interruptores electrónicos trabajan en la zona activa,
caso de los transistores bipolares, o en la zona óhmica, caso de los transistores MOSFETs.
Esta situación se pone especialmente de relieve en aquellas aplicaciones en las que se
requiere de una operación continuada a bajas velocidades y actuando con un par alto sobre
la carga, ya que en estas condiciones, la fcem del motor es muy baja (baja velocidad de
giro) y la corriente de armadura es muy alta (alto par), con lo que la potencia puesta en
juego es muy alta.
Como se indicó en el párrafo anterior, en este tipo de convertidores se utilizan interruptores
electrónicos de potencia que trabajan exclusivamente en modo conmutación, es decir que
funcionan en modo corte y en modo saturación. El estado on se caracteriza porque la caída
de tensión en el interruptor de potencia es muy baja aunque la corriente a su través sea alta.
El estado on, puede darse aún en el caso de que la corriente que circula por el transistor sea
nula. Si estando en el estado on circula corriente por el transistor, se habla además de un
estado de conducción, estando el interruptor en saturación. El estado off se caracteriza
porque, aunque la tensión en sus bornes sea alta, la corriente que circula a su través es muy
baja (de microamperios o inferior), estando el interruptor en corte. De esta forma, en ambos
casos la potencia disipada en dichos interruptores es muy baja (la debida al estado de
conducción y la debida a la conmutación), lo que los hace especialmente interesantes en
este tipo de aplicaciones donde se ponen en juego grandes potencias.
En la Fig. 4. 1 se presenta la actuación de un motor de cc de imán permanente mediante un
convertidor lineal, simbolizado por una resistencia controlada, con la que se quiere poner
de manifiesto la pérdida de la potencia que se disipa en dicha resistencia.

Modulación PWM 2
Fig. 4. 1.- Convertidor Lineal
Existen diferentes estrategias de conmutación de los interruptores electrónicos de los
convertidores (en adelante se considera que dichos interruptores son transistores
MOSFETs, sin que esto suponga pérdida alguna de generalidad). Una de las estrategias más
sencillas es conmutar los transistores del convertidor a una frecuencia fija y modificar la
duración de las fases en on y en off, es decir, su ciclo de trabajo, que en adelante se
denominará δ . Este tipo de convertidores se denominan convertidores modulados por
anchura de pulso (en adelante PWM). En la Fig. 4. 2 se presenta el diagrama de bloques
general de este tipo de accionamiento.
Fig. 4. 2.- Convertidor con modulación PWM
Existe también un tipo de convertidor en el que la estrategia de conmutación es más
general, ya que no sólo se varía la duración de las fases en on y en off, sino que también se
varía la frecuencia de la señal modulada. Este tipo de convertidores tienen las ventajas de
que posibilitan un control más rico (se dispone de una variable adicional) y de que permiten
mantener un determinado nivel de variación de la corriente en el motor. Sin embargo,

Modulación PWM 3
tienen el inconveniente de que al variar la frecuencia de modulación sobre un amplio rango
se producen, en algunos casos, oscilaciones y ruidos audibles muy molestos en el motor,
debido a fenómenos de resonancias mecánicas que hacen que sean de utilización poco
frecuente. Un caso particular del anterior consiste en mantener fijo el tiempo en on y variar
sólo la frecuencia. Este método presenta los mismos inconvenientes que el anteriormente
mencionado.
En este trabajo sólo se analizarán los convertidores pwm con frecuencia de conmutación
fija, ya que son los que se han implementado en la práctica, si bien existe la posibilidad de
modificar la frecuencia de la señal modulada en cualquier momento [Contreras-03].
La señal pwm de control de los convertidores continua-continua utilizados para la
excitación de los motores de cc se puede obtener mediante diferentes métodos: [Taft-79],
[Mohan-95], [Rashid-95]. Sin embargo, en este trabajo, sólo se van a comentar los métodos
digitales, puesto que son los que se utilizan en la implementación práctica.
Procedimientos digitales de generación de la señal de control PWM [López-01]
[Contreras-03]
Como se indica en la Fig. 4. 3, obtenida de [López-01], estos métodos se basan
fundamentalmente en la comparación del contenido de un registro contador que
cuenta los ciclos del reloj del sistema:
1
CLKt
(en este caso en concreto de valor
1
33
CLK
MHz
t
= ) con valores de tres registros de consigna. Un registro, (en este caso
de 12 bits), que contiene el valor nn con la consigna de la frecuencia de la señal de
modulación. En esta aplicación en concreto, como la frecuencia de modulación es
de 20KHz, el valor de dicho registro deberá de ser de:
mod
1 1
50
20 33
1650 0 672
n CLK n
n
T seg n t n
KHz MHz
n x
µ= = = ⋅ = ⋅
= =
ec. 4. 1
Otro registro, (también en este caso de 12 bits), que contiene el valor nc con la
consigna del intervalo de tiempo a nivel alto de la señal de control, debiéndose
permitir un rango de variación entre el 0 y el 100%, de forma que nc tomará valores
en el intervalo [0, 1650] o bien en hexadecimal, entre [0,0x672]. Finalmente, otro
registro que contiene la consigna del tiempo muerto a introducir entre la activación
y la desactivación de los transistores de la misma rama del puente, habitualmente
entre 1 y 2 microsegundos, de aquí que el generador digital de las señales de control
pwm tenga realmente dos salidas: PWMH (para el control del transistor de la parte

Modulación PWM 4
de arriba de la rama) y PWML (para el control del transistor de la parte de debajo de
la rama).
En la Fig. 4. 4 se presenta la señal digital de control que se obtiene a la salida del
modulador pwm digital, indicándose sus principales parámetros.
Para un mayor detalle de su implementación consúltense las referencias
anteriormente indicadas.
Fig. 4. 3

Modulación PWM 5
Tmod = nc·tCLK
t
···
t
···
PWMH
PWML
nn
Pulsos
nc - nn Pulsos
tCLK
Tmod
c CLKn tPWMτ = ⋅
PWMτ
Fig. 4. 4
Este método de generación de señales digitales, o alguna de sus variantes más
simplificadas, se implementa con total profusión en los microcontroladores actuales,
desde los más sencillos de 8 bits hasta los más sofisticados de 32 (véanse las
páginas de internet de fabricantes como Hitachi, Motorota, Infineon, Acmel,
Microchip, etc.)
Las principales ventajas que tiene este procedimiento son:
− Máxima variación del ciclo de trabajo: del 0 al 100%, frente al rango 15-
85% típico de los moduladores pwm analógicos.
− Muy fácil interfaz con microprocesadores (como anteriormente se
comentó lo suelen incluir la mayoría de los microcontroladores).
− Muy flexibles: permiten ajustar fácilmente el tiempo muerto, la
frecuencia de modulación, señal de control de la tensión de alimentación
del puente, etc. (véase la implementación de un generador pwm
generalizado realizada en [López-01]).
− El valor medio de la tensión de salida del puente, es decir, la tensión que
se aplica al devanado de armadura del motor, mantiene una relación
lineal con el ciclo de trabajo del pwm, y por tanto con la tensión de
salida del controlador (para que esta hipótesis sea correcta, se debe de
considerar que la caída de tensión en los transistores que forman el
puente en H de la etapa de potencia es nula, así como que el tiempo en
blanco, que más adelante se analizará, sea también nulo).
El principal inconveniente que tiene:

Modulación PWM 6
− Fuertes limitaciones en el binomio frecuencia de modulación-número de
bits de resolución: a medida que aumenta el número de bits de
resolución, la frecuencia del reloj del sistema debe de ser más alta.
_
mod _ _
2
reloj sistema
número bits resolución
f
f = ec. 4. 2
Hay que tener en cuenta, que en la actualidad, las frecuencias de trabajo
de las FPGAs sobre los que se implementan estos moduladores están
alrededor de los 500MHz, si bien es cierto que dicha frecuencia de
trabajo se va aumentado cada año. Por ejemplo la familia Virtex-II de
Xilinx soporta, a día de hoy, principios de 2003, un reloj interno de
420MHz de frecuencia máxima (toggle). Con una frecuencia máxima de
trabajo de 500MHz, la resolución máxima para 20KHz de frecuencia de
modulación es de 14 bits, más que suficiente para la gran mayoría de las
aplicaciones, más aún si al modulador se le añade la posibilidad de
controlar también la tensión de alimentación del puente con lo que
realmente se estaría aumentando la resolución del conjunto generador
pwm-etapa de potencia [López-01]. En el modulador utilizado en los
experimentos es el que se implementa en [Contreras-03], en el que la
frecuencia del reloj del sistema es, como ya se indicó, de 33MHz.
Otro elemento a tener en cuenta en lo referente a la actuación de motores
de corriente continua es que es conveniente aumentar lo más posible la
frecuencia de modulación para reducir el rizado de la corriente de
armadura y con ello las vibraciones del par (entre otras mejoras). Este
aspecto es especialmente relevante en el caso de motores de cc de imán
permanente y rotor hueco debido a sus bajas constantes de tiempo
eléctrica y mecánica. Así, se debería de aumentar la frecuencia de
modulación hasta el límite que impongan las pérdidas en los transistores
MOSFETs del puente en H. Sin embargo, ha de tenerse en cuenta que,
en la misma situación de antes (20KHz y frecuencia del reloj base
33MHz), si se aumenta la frecuencia de modulación a 80KHz, la
resolución se reduce a 9 bits, siendo el rango de variación del registro
que controla el tiempo a nivel alto de la señal pwm de [0, 0x19C], por
tanto habría que llegar a una solución de compromiso entre estos tres
elementos: frecuencia del reloj del sistema, frecuencia de modulación y
número de bits de resolución.
Finalmente, y a título orientativo, téngase en cuenta que para una
resolución de 16 bits, a una frecuencia de modulación de 20KHz, la
frecuencia del reloj del sistema debe de ser de 20000*216
=1.31072GHz,

Modulación PWM 7
frecuencia que está muy por encima de las prestaciones de las FPGAs
actuales.
Si se utiliza un lazo de realimentación interno al modulador pwm, se puede conseguir que
éste se comporte como un amplificador de tensión o de corriente. Si se utiliza un lazo de
realimentación de corriente interno al modulador pwm, se pueden obtener en este caso, las
siguientes ventajas [Taft-79]:
a.- se puede conectar en serie con el motor una inductancia, sin que varíe su
comportamiento en régimen permanente (no así en régimen transitorio). Además
esta inductancia en serie contribuirá a reducir el rizado de corriente provocado por
la señal pwm, a costa de otras desventajas como el aumento del coste, del espacio,
de las pérdidas, del calentamiento y de la constante de tiempo eléctrica de la
armadura (respuesta más lenta del sistema) [Robinson-68]. En [Naik-84] se propone
la utilización de un filtro LC de salida para mejorar el comportamiento del motor en
funcionamiento en modo de corriente discontinua.
b.- el lazo de corriente puede proporcionar además una protección frente a
cortocircuitos. Además puede conseguir que la corriente del motor se determine por
la señal de referencia de control de corriente y no por la carga del motor (que es lo
que ocurre cuando se realiza un control por tensión). El lector interesado puede
revisar las notas de aplicación que publican los fabricantes de transistores
MOSFETs y de los circuitos de control de éstos: SGS Thomson, Infineon (antes
Siemens), Internacional Rectifier, Fairchild (que ha absorbido a Harris
Semiconductors) y Texas Instruments (que además incluye en la actualidad los
productos de la antigua Unitrode) entre otras. Otros trabajos sobre esquemas de
control de corriente en convertidores cc-cc utilizados en la actuación de motores de
cc se pueden estudiar en [Mukhopadhyay-73], [Doradla-75], [Dubey-81], en donde
se presenta el control de la corriente que circula por el motor entre un valor máximo
y un valor mínimo, de forma que el rizado se mantenga lo más cerca posible del
valor medio deseado, con lo que se reduce el factor de cresta, y por tanto su efecto
sobre el empobrecimiento de la conmutación, el aumento de la resistencia de
armadura y sobre las pérdidas en el núcleo magnético del motor. En trabajos más
recientes se pone de manifiesto que entre las características propias del control de
corriente se encuentran las del rechazo al rizado de la tensión continua de
alimentación del convertidor de continua [Kazerani-90] y la minimización de las no
linealidades tanto del motor como del convertidor utilizado para controlarla [Jouve-
90].

Modulación PWM 8
4.2.- CONVERTIDORES CC/CC DE CUATRO CUADRANTES EN PUENTE
COMPLETO (PUENTE EN H) CON MODULACIÓN PWM.
En la Fig. 4. 5 se presenta la estructura básica de un convertidor de cc/cc en puente
completo (puente en H) de cuatro cuadrantes con control PWM digital, donde las señales
PWMH y PWML son las que realizan el control de cada una de las ramas del puente en H
que constituye la etapa de potencia o de salida del convertidor, que se muestra en la Fig. 4.
6.
GENERADOR
SEÑALES
PWM
AMPLIFICADOR
SEÑALES
TTL
ETAPA
DE
SALIDA
PWMH
PWML MOTOR
VAB
µProcesador
(consigna)
Convertidor cc/cc con control PWM Digital
Fig. 4. 5
+Vpuente
M
T1
T2
T3
T4
D1
D3
D4
D2
IAB
VAB
A B
Fig. 4. 6

Modulación PWM 9
Como se observa en la Fig. 4. 6, existen unos diodos, D1 a D4, denominados diodos de
libre circulación, de respuesta muy rápida, colocados en antiparalelo con cada uno de los
transistores. La función de estos diodos es la de habilitar un camino a la corriente del motor
en los momentos en el que los transistores entran en estado de corte, para evitar de esta
forma las sobretensiones transitorias que se producirían en esos instantes y que acabarían
destruyendo los transistores.
Ha de tenerse en cuenta, que cuando se construye un transistor MOSFETs, siempre se
genera un diodo en antiparalelo con él. En el caso de los MOSFETs de potencia, su diseño
se cuida de forma especial para que este diodo que aparece de forma intrínseca pueda
cumplir con las funciones de los diodos de libre circulación anteriormente mencionados,
con lo que no es habitual ni necesario incluir externamente dichos diodos.
La modulación PWM supone entregar una señal de período constante con un cierto ciclo de
trabajo dividido en dos fases. En cada una de estas dos fases, la señal de salida del
convertidor toma el valor opuesto de la otra, por ejemplo, en una fase toma un valor
máximo (+Vpuente) y en la otra toma un valor mínimo (-Vpuente). Generalmente, ambos
valores tienen el mismo valor absoluto, aunque no tiene porqué ser así, es decir que
Vpuente Vpuente+ ≠ − . En la etapa de potencia del convertidor en puente completo
mostrada en la Fig. 4. 6, la tensión de alimentación +Vpuente es de una magnitud fija. Esta
tensión puede variarse en cada período de modulación, de forma que +Vpuente = VH, para el
intervalo de tiempo en el que PWMH esté activa y +Vpuente =VL, para el intervalo en que lo
esté PWML. Esta situación se refleja en la Fig. 4. 7, tomada de la implementación realizada
en [López-01]. De esta forma, se proporciona una variable adicional para el control del
motor.
µProcesador
GENERADOR
SEÑALES PWM
DIGITAL
REGISTRO
VH
REGISTRO
VL
MULTIPLEXOR
DAC
PWMH
PWML
Hacia +Vpuente
ETAPA
DE
SALIDA
Fig. 4. 7

Modulación PWM 10
La señal de salida del convertidor tiene una forma similar a la de la señal mostrada en la
Fig. 4. 8, en la que se muestra una señal periódica, de período de modulación Tmod, y con
un ciclo de trabajoδ variable en el tiempo (
mod
PWM n
n
T
τ
δ = , donde PWM nτ es el intervalo de
tiempo que la señal está a nivel alto y que coincide en su duración temporal con el
parámetro PWMτ mostrado en la Fig. 4. 4).
+Vpuente
-Vpuente
o
Señal Modulada
Valor Medio de la Señal Modulada
Fig. 4. 8
La tensión de salida del convertidor VAB= Vmotor es una tensión cuyo valor medio que puede
ser controlado en magnitud y en polaridad (lo cual permite el control de la posición o de la
velocidad del motor). De forma similar se puede controlar la magnitud y sentido de la
corriente de salida IAB= Imotor (lo cual permite el control del par del motor). Por tanto, un
convertidor en puente completo como el mostrado en la Fig. 4. 6, puede funcionar en los
cuatro cuadrantes del plano iAB-vAB y la potencia puede fluir a través de él en cualquier
sentido, lo que lo hace especialmente adecuado para la excitación de motores de cc que
vayan instalados en robots donde justamente se exigen estas condiciones de accionamiento
en los cuatro cuadrantes [Mohan-95, pág. 188-196], [Rashid-95, págs. 498-500]:
− Como motor en el primer cuadrante (giro en el mismo sentido que las agujas
del reloj). En este caso, tanto la tensión de alimentación del motor, como la
corriente de armadura y la fuerza contralectromotriz son todos positivos.
También son positivos el par motor y la velocidad.
− Como motor en el tercer cuadrante (giro en sentido contrario a las agujas del
reloj). Tanto la de alimentación del motor, como la corriente de armadura y
la fuerza contralectromotriz son todos negativos. En este caso también son
negativos el par motor y la velocidad. Debe de cumplirse la condición:

Modulación PWM 11
motor contraelectromotrizV V> ec. 4. 3
− En el funcionamiento del motor en el segundo cuadrante, pueden darse dos
situaciones: (en [Franklin.2-71] se hace un estudio de este modo de
funcionamiento. Se pueden consultar además las siguientes referencias en
relación con el comportamiento del motor en este modo de funcionamiento
[Bhadra-81], [Joss-89] y [Kazerani-90])
− Frenado regenerativo. Tiene lugar cuando el motor actúa como
generador y desarrolla una fem inducida mayor que el voltaje de
alimentación Vpuente. En este modo de funcionamiento, la
corriente de armadura es negativa (es decir, saliente) y la energía
cinética del motor es devuelta a la alimentación.
− Frenado dinámico. Esta situación se da en las mismas
condiciones que el frenado regenerativo, con la diferencia de que
en este caso, la alimentación del motor se sustituye por una
resistencia eléctrica de frenado. En este caso la energía cinética
del motor se disipa en dicha resistencia de frenado.
− Frenado invirtiendo el sentido de giro (cuarto cuadrante). Tiene lugar
cuando se invierte la polaridad de la tensión de alimentación de la armadura.
En este instante, el voltaje de alimentación y la fuerza contraelectromotriz
del motor tienen el mismo signo y por tanto la corriente por el motor es muy
alta (el doble de la corriente de arranque)
_ _ _ 2 2
puente
frenado inversión de giro arranque
a
V
i i
R
= ⋅ = ⋅ ec. 4. 4
La corriente de armadura se invierte y genera por tanto un par motor de
frenado.
En este modo de funcionamiento, la fuerza contraelectromotriz inducida
debe de satisfacer la condición:
motor contraelectromotrizV V< ec. 4. 5
En la Fig. 4. 9, se presenta el modo de funcionamiento en los cuatro cuadrantes. Ha de
tenerse en cuenta que en el eje de velocidad (wm en la figura) se puede poner la tensión en
el motor (supuesto que la caída de tensión en la resistencia de armadura es muy pequeña) y
que en el eje del par (Celect en la figura) se puede poner corriente de armadura, puesto que
ambos son proporcionales.

Modulación PWM 12
Fig. 4. 9
Si los transistores de cada rama son conmutados de forma que nunca estén ambos en off,
(excepto los necesarios tiempos muertos) entonces la corriente de salida iAB circula de
forma continuada, es decir que nunca hay instantes de tiempo en los que la corriente por el
motor sea nula (hay multitud de trabajos [Franklin.1-71], [Mukhopadhyay-73], [Doradla-
75], [Rashid-81], [Dubey-81], [Naik-84] entre otros, en los que se estudia el caso en que la
corriente por el motor se hace nula durante algún intervalo de tiempo, modo de
funcionamiento que se conoce como funcionamiento con corriente discontinua, y en los que
se pone de manifiesto los fuertes problemas que platea el excesivamente alto rizado de la
corriente de armadura en este modo de funcionamiento, así como la mala respuesta
transitoria del sistema y la pobre regulación de velocidad). Teniendo esto en cuenta, la
tensión de salida del puente está determinada únicamente por el estado de los transistores
[Mohan-95, pág. 189], de forma que ésta puede regularse mediante el control del ciclo de
trabajo
mod
PWM
T
τ
δ = y es independiente de la magnitud y sentido de la corriente iAB.
También puede controlarse la tensión de salida de una rama del convertidor conmutando a
off ambos transistores simultáneamente durante un intervalo de tiempo. Sin embargo, esta
técnica haría que la tensión de salida dependiera del sentido de la corriente. En general, esta
situación no es deseable, puesto que produciría una no linealidad en la relación entre la
tensión de control y la tensión de salida del convertidor.
Supóngase que la frecuencia de modulación es modf y que la fase de conducción (estado on
de los transistores) tiene lugar durante la primera parte del período de modulación

Modulación PWM 13
(
mod
mod
1
f
T = ), es decir, desde 0=t hasta 1 PWMt t τ= = , de forma que la fase de conducción
se define durante el intervalo de tiempo 0 PWMt τ≤ < .
La fase de corte de los transistores (estado off) tiene lugar desde el final del estado on hasta
el período modulación Tmod, es decir en el intervalo modPWM t Tτ ≤ < .
Este tipo de convertidores puede funcionar de tres modos diferentes [Tal-76]:
- Modo bipolar: también denominado en la literatura en lengua inglesa como
“Locked Antiphase PWM”, donde (T1,T4) y (T2,T3) son tratados como dos
pares de conmutación, de forma que los transistores de cada par son conmutados
simultáneamente.
- Modo unipolar: también denominado control en signo-magnitud, en este caso
los transistores de cada rama son controlados de forma independiente a los de la
otra rama.
- Modo unipolar limitado: una extensión del caso anterior que elimina la
necesidad de introducir un tiempo en blanco o tiempo muerto en la conmutación
de los transistores para evitar un cortocircuito en la fuente que alimenta al
puente en H.
Finalmente [Mohan-95], y antes de proceder al estudio de los modos de funcionamiento
anteriormente referidos, hay que hacer notar que la corriente de entrada al convertidor
cambia su sentido de forma instantánea, por lo que es muy importante que la entrada del
convertidor en puente completo se ataque con una fuente de cc con baja impedancia
interna. En la práctica, esta baja impedancia de entrada la proporciona el condensador de
filtro debido a su alto valor capacitivo (ha de cuidarse que la resistencia serie equivalente
del condensador sea lo más baja posible).
4.2.1.- Funcionamiento en modo bipolar o “Locked Antiphase PWM”
En este modo de funcionamiento los pares de transistores (T1,T4) y (T2,T3) son
tratados como dos pares de conmutación, de forma que los transistores de cada par
son conmutados simultáneamente. Los transistores T1 y T4 entran en conducción
durante el estado on mientras que los transitores T2 y T4 se mantendrán en estado
de corte. Durante el estado off, los transistores T2 y T3 entrarán en conducción
mientras que los transistores T1 y T4 entrarán en corte. Uno de los dos pares está
siempre en on (salvo el ya mencionado tiempo en blanco o tiempo muerto, durante
el cual ninguno de los transistores está en on). A continuación se adjunta una tabla
explicativa con la estrategia de conmutación anteriormente descrita.

Modulación PWM 14
Convertidor en puente completo. Modo PWM Bipolar
0 PWMt τ≤ < modPWM t Tτ ≤ <
T1, T4 ON
T2, T3 OFF
VAB=Vmotor = Vpuente
T2, T3 ON
T1, T4 OFF
VAB=Vmotor = -Vpuente
Teniendo en cuenta la tabla anterior, se obtiene fácilmente la expresión que define el
valor de la tensión en el motor,
mod
0puente PWM
motor AB
puente PWM
V t
V V
V t T
τ
τ
≤ <
= = 
− ≤ <
ec. 4. 6
En la Fig. 4. 10 se muestra la forma de onda de la tensión de salida del convertidor,
donde se comprueba que la tensión oscila entre +Vpuente y –Vpuente, razón por la cual,
a esta estrategia de conmutación se la denomina como conmutación pwm con
tensión bipolar.
Fig. 4. 10
Así, si se utiliza la lógica de control adecuada, se puede utilizar una única señal de
control para gobernar la tensión de alimentación del motor. Este objetivo se
consigue mediante la variación de la anchura de los impulsos de dicha señal de
control (modulación PWM), desde un ciclo de trabajo del 0% al 100% para
cualquier polaridad, de forma que un ciclo de trabajo del 50% generaría una tensión
media en el motor de cero voltios, en cuyo caso el motor se pararía.

Modulación PWM 15
Este tipo de control es particularmente útil para control a bajas velocidades.
Sin embargo, también presenta ciertas desventajas o inconvenientes, en términos de
pérdidas por conmutación, debido a que ambas ramas del puente están siendo
conmutadas continuamente.
La generación de la señal de control del puente en H se puede realizar por
procedimientos analógicos [Mohan-95], [Rashid-95], comparando una señal
triangular con la señal de salida del controlador dinámico borroso aditivo, o, en
general, del controlador que se implemente en cada caso, que es en realidad, la
tensión media a aplicar al motor y que denominaré controlv . Dicha señal puede variar
en el intervalo [-Vpuente, +Vpuente], aunque normalmente se normaliza al intervalo
[-1,1].
Sin embargo, en el caso en concreto que nos ocupa, como la generación de la señal
de control que gobierna la estrategia de conmutación de los transistores del puente
en H se realiza por procedimientos digitales implementados sobre una FPGA
([López-01], [Contreras-03]), se deberá de calcular el ancho del pulso que hace que
la tensión media en bornes del motor es la deseada, en función de la señal de salida
del controlador implementado en cada caso, es decir, se deberá calcular el valor de
PWMτ en función de la señal controlv . Así, a continuación se establecerán las
diferentes relaciones entre los distintos parámetros que intervienen en las señales de
control del puente.
A la vista de la Fig. 4. 10, la tensión media de salida del convertidor en puente
completo con estrategia de conmutación bipolar es:
mod
mod
mod
mod
_
2)(
T
TVV
T
TVV
V puentePWMpuentePWMpuentePWMpuente
PWMMEDIA
⋅−⋅⋅
=
−⋅−⋅
=
τττ
ec. 4. 7
mod
mod
_
2
T
T
VV PWM
puentePWMMEDIA
−⋅
⋅=
τ
ec. 4. 8
Donde PWMτ es el tiempo en que la señal pwm está a nivel alto, de forma que el
ciclo de trabajo para el par (T1,T4) se define según:
1 4
mod
PWM
T
τ
δ − = ec. 4. 9

Modulación PWM 16
Mientras que el ciclo de trabajo para el par (T2,T3) se define como
2 3 1 41δ δ− −= − ec. 4. 10
Y si se impone que
_control MEDIA PWMv V= ec. 4. 11
Se obtiene la relación:
1 4 mod mod
_ 1 4
mod
2
(2 1)control MEDIA PWM puente puente
T T
v V V V
T
δ
δ−
−
⋅ ⋅ −
= = ⋅ = ⋅ ⋅ −
ec. 4. 12
De donde
1 4
1
(1 )
2
control
puente
v
V
δ − = ⋅ + ec. 4. 13
Si normalizamos las variables controlv y puenteV en el intervalo [-1,1] se obtiene que
1 4
1
(1 )
2
controlvδ − = ⋅ + ec. 4. 14
De forma que la relación buscada es:
mod
1 4 mod (1 )
2
PWM control
T
T vτ δ −= ⋅ = ⋅ + ec. 4. 15
Que es la entrada al generador pwm digital.
Finalmente, la expresión del ciclo de trabajo, para el par de transistores (T2,T3),
considerando normalizadas las variables controlv y puenteV en el intervalo [-1,1], es:
2 3 1 4
1
1 (1 )
2
controlvδ δ− −= − = ⋅ − ec. 4. 16

Modulación PWM 17
Anteriormente se ha impuesto que _control MEDIA PWMv V= , ambas sujetas a
normalización en el intervalo [-1,1], con lo que la relación entre ellas es lineal
(siempre que lo sean los correspondientes factores de normalización, que por otra
parte es lo habitual), dicho en otras palabras, que la tensión media de salida del
convertidor varía linealmente con la señal de control de entrada, de forma análoga a
la de un convertidor lineal. Como ya se comentó, en la práctica, debe de introducirse
un pequeño tiempo muerto entre la apertura de un par de conmutación y el cierre del
otro. Este tiempo muerto introduce una ligera no linealidad en la relación entre la
tensión de consigna o control del convertidor y su tensión media de salida.
Finalmente, debe notarse que en la ecuación 4.15, que se reproduce a continuación:
mod
1 4 mod (1 )
2
PWM consigna
T
T vτ δ −= ⋅ = ⋅ +
La tensión de control puede variar entre –1 y 1, con lo que el ancho del pwm puede
variar desde 0 al Tmod, lo que supone que la tensión de salida del puente puede ser
variada continuamente (debe de entenderse en escalones, cuya magnitud depende
del número de bits de resolución del generador digital de la señal de control pwm)
en el intervalo [-Vpuente, +Vpuente]. En este tipo de convertidor, la tensión de salida es
independiente de la corriente de salida puesto que se ha despreciado el intervalo de
tiempo muerto.
A continuación se presenta la Fig. 4. 11 en la que se indican las formas de onda de
las tensiones en los puntos A (en la figura referenciado como VOUT1) y B (en la
figura referenciado como VOUT2), así como de la corriente por el motor (en la figura
referenciada como IOUT).

Modulación PWM 18
Fig. 4. 11
Un análisis más detallado de este modo de funcionamiento se puede revisar en [Tal-
76], donde se considera un sistema ideal, tanto para el motor de cc como para los
elementos del convertidor. En [Taft-79] se hace también un estudio detallado, con
hipótesis menos restrictivas. En [Hill-85], se estudia un convertidor cc-cc en dos
cuadrantes implementado con transistores MOSFETs, en donde se tienen en cuenta
la resistencia en conducción tanto de los transistores como del diodo intrínseco en
antiparalelo. En este último trabajo, se evalúan además las pérdidas debido a la
conmutación. Finalmente, comentar que en [Doradla-75], [Damle-76], [Dubey-81],

Modulación PWM 19
[Rashid-81] [Sri-Jayantha-84] se realizan estudios más detallados, en los que se
tiene en cuenta el efecto no lineal de la curva de magnetización de la máquina, con
hipótesis menos restrictivas sobre motores de cc con excitación serie. De especial
interés es el trabajo, también sobre motores serie de [Basher-89], donde se tienen en
cuenta en el análisis los efectos de la saturación, de la reacción de inducido y de las
corrientes de Foucault.
4.2.2.- Funcionamiento en modo unipolar o signo y magnitud
Si se observa la Fig. 4. 12
+Vpuente
M
T1
T2
T3
T4
D1
D3
D4D2
IAB
VAB
A B
Fig. 4. 12
Se puede apreciar que, independientemente del sentido de la corriente iAB, la tensión
de salida del convertidor vAB= 0 si los transistores superiores del puente T1 y T3
están en on. De forma similar, vAB= 0 si los transistores inferiores del puente T2 y
T4 están en on. Esta propiedad puede explotarse para mejorar la forma de onda de la
tensión de salida del convertidor.
En este caso, son necesarias dos señales de control, cada una de las cuales gobierna
una de las ramas del puente. La de la rama de la derecha se obtiene, en el caso de
utilizar procedimientos analógicos [Mohan-95], [Rashid-95], comparando la señal
de control, tensión de salida del controlador y que indica la tensión a aplicar al
motor, con una señal triangular y la de la rama de la izquierda comparando la misma
señal de control, cambiada de signo, con la misma señal triangular de la siguiente
forma:

Modulación PWM 20
T1 on si control triangularv v>
T3 on si control triangularv v− >
Así, la estrategia de conmutación es la siguiente:
Caso 1: 0controlv >
− T1 en on continuamente durante todo el período de modulación
mod0 t T≤ <
− T4 en on durante el intervalo 0 PWMt τ≤ <
− T3 en on durante el intervalo modPWM t Tτ ≤ <
Este mismo caso también puede implementarse de la siguiente forma
mod0 t T≤ <
Caso 2: 0controlv <
mod0 t T≤ <
Este mismo caso también puede implementarse de la siguiente forma
mod0 t T≤ <
Sin embargo, y por razones prácticas, en aquellos sistemas que utilizan
resistencias de sensado de corriente en el lazo de realimentación, se prefiere,
en ambos casos, los primeros tipos de implementación porque así mejora la
potencia de pérdidas en dichas resistencias.

Modulación PWM 21
A continuación se adjunta una tabla explicativa con la estrategia de conmutación
anteriormente descrita.
Convertidor en puente completo. Modo PWM Unipolar
0 PWMt τ≤ < modPWM t Tτ ≤ <
VControl > 0
T1, T4 ON
T2, T3 OFF
VAB=Vmotor = Vpuente
VControl > 0
T1, T3 ON
T2, T4 OFF
VAB=Vmotor =0
VControl < 0
T2, T3 ON
T1, T4 OFF
VAB=Vmotor =- Vpuente
VControl < 0
T1, T3 ON
T2, T4 OFF
VAB=Vmotor =0
Teniendo en cuenta la tabla anterior, se obtiene fácilmente la expresión que define el
valor de la tensión en el motor,
mod
mod
0
0
0
0
0
0
puente PWM
Control
PWM
AB motor
puente PWM
Control
PWM
V t
V
t T
V V
V t
V
t T
τ
τ
τ
τ
≤ <
> ≤ <
= = 
 − ≤ <
 <
≤ <
ec. 4. 17
En la Fig. 4. 13 se muestra la forma de onda de la tensión de salida del convertidor,
donde se comprueba que la tensión oscila entre [0,+Vpuente] y [–Vpuente,0] razón por
la cual, a esta estrategia de conmutación se la denomina como conmutación pwm
con tensión unipolar. Como se puede comprobar en dicha figura,

Modulación PWM 22
Fig. 4. 13
En el control en modo unipolar o signo-magnitud, la corriente por el motor se ajusta
mediante el control de una de las diagonales, que es la que realmente proporciona el
sentido de la corriente por el motor y por tanto el signo o sentido del giro del motor.
Los transistores de la parte alta del puente pueden estar permanentemente en estado
de conducción, es decir, en estado de on mientras que los transistores de la parte
baja del puente son los que soportan la conmutación bajo el control de la señal pwm
que es la que controla el módulo o magnitud de la corriente o bien, son los
transistores de la parte baja del puente los que están siempre en estado de on y los
de la parte de arriba los que soportan la conmutación al ritmo marcado por la señal
pwm como anteriormente se comentó.
Debido al hecho de que tanto la amplitud (módulo) como la dirección de la corriente
de armadura pueden ajustarse fácilmente con este método, este modo de operación
se denomina habitualmente “signo-magnitud”. En general los drives de puentes en
H, suelen tener dos señales de control, una de ellas denominada signo o fase y la
otra denominada PWM que representa la magnitud.
En el caso en concreto que nos ocupa, la generación de las señales de control de la
etapa de potencia del convertidor se obtienen también por procedimientos digitales
sobre una FPGA, y se aprovechan las facilidades que implementan los diferentes

Modulación PWM 23
drivers de excitación de transistores MOSFETs (véase LMD18200 en
http://www.national.com) para conseguir este modo de funcionamiento.
Al igual que se estudió en el caso bipolar, como la generación de la señal de control
que gobierna la estrategia de conmutación de los transistores del puente en H se
realiza por procedimientos digitales ([López-01], [Contreras-03]), se deberá de
calcular el ancho del pulso que hace que la tensión media en bornes del motor es la
deseada, en función de la señal de salida del controlador implementado en cada
caso, es decir, se deberá calcular el valor de PWMτ en función de la señal controlv .
Así, a continuación se establecerán las diferentes relaciones entre los distintos
parámetros que intervienen en las señales de control del puente.
A la vista de la Fig. 4. 13, la tensión media de salida del convertidor en puente
completo con estrategia de conmutación unipolar es:
- Caso 0controlv > :
_
mod
puente PWM
MEDIA PWM
V
V
T
τ⋅
= ec. 4. 18
Donde PWMτ es el tiempo en que la señal pwm está a nivel alto, de forma
que el ciclo de trabajo para el transistor T4 (o bien para el transistor T1, si se
implementase la segunda opción comentada anteriormente) se define según:
4
mod
PWM
T
τ
δ = ec. 4. 19
El ciclo de trabajo para el transistor que posibilita que la tensión en el motor
sea de cero voltios, en este caso T3 (o bien T2 si se implementa la segunda
opción comentada anteriormente) se define según:
mod
3 4
mod mod
1 1PWM PWMT
T T
τ τ
δ δ
−
= = − = − ec. 4. 20
- Caso 0controlv < :
_
mod
puente PWM
MEDIA PWM
V
V
T
τ− ⋅
= ec. 4. 21

Modulación PWM 24
Donde PWMτ es el tiempo en que la señal pwm está a nivel alto, de forma
que el ciclo de trabajo para el transistor T2 (o bien para el transistor T3, si se
implementase la segunda opción comentada anteriormente) se define según:
2
mod
PWM
T
τ
δ = ec. 4. 22
El ciclo de trabajo para el transistor que posibilita que la tensión en el motor
sea de cero voltios, en este caso T1 (o bien T4 si se implementa la segunda
opción comentada anteriormente) se define según:
mod
1 2
mod mod
1 1PWM PWMT
T T
τ τ
δ δ
−
= = − = − ec. 4. 23
Y si se impone que
_control MEDIA PWMv V=
Se obtienen las relaciones:
- Caso 0controlv > :
_ 4
mod
PWM
control MEDIA PWM puente puentev V V V
T
τ
δ= = ⋅ = ⋅ ec. 4. 24
Donde
4
control
puente
v
V
δ = ec. 4. 25

Modulación PWM 25
4 mod mod
control
PWM
puente
v
T T
V
τ δ= ⋅ = ⋅ ec. 4. 26
Que es la entrada al generador pwm digital, junto con el signo de la señal
controlv , que indica la diagonal del puente que se activa.
Si normalizamos las variables controlv y puenteV en el intervalo [-1,1] se
obtiene que:
4 controlvδ = ec. 4. 27
Y que:
4 mod modPWM controlT v Tτ δ= ⋅ = ⋅ ec. 4. 28
Finalmente, la expresión del ciclo de trabajo, para el transistor T3, (o T2,
depende de la implementación realizada) considerando normalizadas las
variables controlv y puenteV en el intervalo [-1,1], es:
3 41 1 controlvδ δ= − = − ec. 4. 29
- Caso 0controlv < :
_ 2
mod
PWM
control MEDIA PWM puente puentev V V V
T
τ
δ= = − ⋅ = − ⋅ ec. 4. 30
Donde
2
control
puente
v
V
δ = ec. 4. 31

Modulación PWM 26
2 mod mod
control
PWM
puente
v
T T
V
τ δ= ⋅ = ⋅ ec. 4. 32
Que es la entrada al generador pwm digital, junto con el signo de la señal
controlv , que indica la diagonal del puente que se activa.
Si normalizamos las variables controlv y puenteV en el intervalo [-1,1] se
obtiene que:
2 controlvδ = ec. 4. 33
Y que:
2 mod modPWM controlT v Tτ δ= ⋅ = ⋅ ec. 4. 34
Finalmente, la expresión del ciclo de trabajo, para el transistor T1, (o T4,
depende de la implementación realizada) considerando normalizadas las
variables controlv y puenteV en el intervalo [-1,1], es:
1 21 1 controlvδ δ= − = − ec. 4. 35
Anteriormente se ha impuesto que _control MEDIA PWMv V= , ambas sujetas a
normalización en el intervalo [-1,1], con lo que la relación entre ellas es lineal
(siempre que lo sean los correspondientes factores de normalización, que por otra
parte es lo habitual), dicho en otras palabras, que la tensión media de salida del
convertidor varía linealmente con la señal de control de entrada, de forma análoga a
la de un convertidor lineal. Como ya se comentó, en la práctica, debe de introducirse
un pequeño tiempo muerto entre la apertura de un par de conmutación y el cierre del
otro. Este tiempo muerto introduce una ligera no linealidad en la relación entre la
tensión de consigna o control del convertidor y su tensión media de salida.
Finalmente, debe notarse que en la ecuación 4.26 (caso 0controlv > ), que se
reproduce a continuación:

Modulación PWM 27
4 mod mod
control
PWM
puente
v
T T
V
τ δ= ⋅ = ⋅
La tensión de control puede variar en el intervalo [0,1], con lo que el ancho del pwm
puede variar en el intervalo [0,Tmod], de forma que la tensión de salida del puente
puede ser variada continuamente (debe de entenderse en escalones, cuya magnitud
depende del número de bits de resolución del generador digital de la señal de
control pwm) en el intervalo [0,+Vpuente] (se ha supuesto que el tiempo muerto es
despreciable).
Del mismo modo, debe notarse que en la ecuación 4.32 (caso 0controlv < ), que se
reproduce a continuación:
2 mod mod
control
PWM
puente
v
T T
V
τ δ= ⋅ = ⋅
La tensión de control puede variar en el intervalo [-1,0], con lo que el ancho del
pwm puede variar en el intervalo [0,Tmod], de forma que la tensión de salida del
puente puede ser variada continuamente (debe de entenderse en escalones, cuya
magnitud depende del número de bits de resolución del generador digital de la señal
de control pwm) en el intervalo [-Vpuente,0] (se ha supuesto que el tiempo muerto es
despreciable).
Por tanto, se obtiene el mismo rango de variación de la tensión media en el motor
que en el caso bipolar estudiado anteriormente.
A partir del estudio anterior, se puede encontrar la relación que existe entre los
anchos de los pulsos de la señal pwm (parámetro PWMτ ) en cada una de las
estrategias de modulación anteriores: bipolar y unipolar, teniendo en cuenta que la
tensión media ( _MEDIA PWMV ) en bornes del motor debe ser la misma en ambos casos
para una determinada tensión de control ( controlv ).
- Caso 0controlv >
La expresión de la tensión media de salida en modo bipolar es:
_ mod
_ _
mod
2 PWM BIPOLAR
control MEDIA PWM BIPOLAR puente
T
v V V
T
τ⋅ −
= = ⋅ ec. 4. 36
Para el caso unipolar:

Modulación PWM 28
_
_ _
mod
PWM UNIPOLAR
control MEDIA PWM UNIPOLAR puentev V V
T
τ
= = ⋅ ec. 4. 37
Igualando ambas expresiones:
_ _
mod mod
(2 )PWM UNIPOLAR PWM BIPOLAR mod
puente puente
T
V V
T T
τ τ⋅ −
⋅ = ⋅ ec. 4. 38
_ _2PWM UNIPOLAR PWM BIPOLAR modTτ τ= ⋅ − ec. 4. 39
_ _
1
( )
2
PWM BIPOLAR PWM UNIPOLAR modTτ τ= ⋅ + ec. 4. 40
Se obtienen las mismas relaciones para el caso en que 0controlv < .
En el caso en que las señales de control pwm se generen por procedimientos
analógicos [Mohan-95], [Rashid-95], y si las frecuencias de conmutación de los
transistores son las mismas en las dos estrategias de conmutación, la tensión
unipolar genera una mejor forma de onda de la tensión de salida Vmotor y además una
mejor respuesta en frecuencia, puesto que la frecuencia efectiva de conmutación de
la tensión de salida se ha duplicado y el rizado se ha reducido (se ha dividido por 2,
como se demuestra en el trabajo de [Taft-79]).
En la Fig. 4. 14, obtenida para la misma frecuencia de conmutación, se compara el
valor eficaz de la tensión de rizado de salida del convertidor en puente completo
( _ _motor rizado rmsV ) en relación con el valor medio ( _motor medioV ) y normalizado en
relación con el valor de la tensión con que se alimenta al convertidor ( puenteV ) para
los casos de modo de funcionamiento bipolar (curva (a)) y unipolar (curva (b)).
Dicha figura se ha obtenido de [Mohan-95, pág. 194], y en el supuesto de que la
generación de las señales de control se efectúan por procedimientos analógicos, lo
cual supone que la frecuencia efectiva de la estrategia unipolar es el doble de la
bipolar.

Modulación PWM 29
Fig. 4. 14
Como se concluye de dicha figura, para la misma frecuencia de conmutación, con la
estrategia de conmutación unipolar se obtiene una componente de rizado eficaz más
baja que con la estrategia bipolar, lo cual es muy importante en relación con las
pérdidas que se generan en el motor, con el incremento de la resistencia del
devanado de armadura y con los efectos sobre el empobrecimiento de la
conmutación en el colector de la armadura, tal y como se analizará más adelante en
el apartado dedicado a los efectos que se generan en un motor de cc cuando éste se
excita a través de un convertidor continua-continua y no a través de una fuente de
corriente continua pura, como pueda serlo una batería o una dinamo.
A continuación se presenta un ejemplo del funcionamiento en modo unipolar o
signo-magnitud para el control del par (control interno) de un motor, que es similar
al control que se hace en el accionamiento con chopeado de corriente que se realiza
en la excitación de los motores paso a paso:

Modulación PWM 30
Si los transistores de la diagonal ML1-MH2 se saturan en el tiempo 1, la corriente a
través del motor se incrementa según la expresión:
_ 1 _ 2( )s b M DSON ML DSON MHM
a
V E i R Rdi
dt L
− − ⋅ +
=
Donde Eb es la fuerza contraelectromotriz del motor, RDSON_ML1 y RDSON_MH2 son las
resistencias de saturación de los transistores DMOS ML1 y MH2 respectivamente.
Cuando se alcanza el valor de la tensión de referencia VREF, preestablecido por el
sistema de control, el transistor ML1 se conmuta al estado de corte en el tiempo 2,
el voltaje en el punto OUT1 se incrementa a la máxima velocidad (slew rate) hasta
que el diodo en antiparalelo con el transistor MH1 entra en conducción, de forma
que la corriente en el motor comienza a decrementarse por el camino marcado por
dicho diodo y el transistor MH2, hasta que ML1 entra de nuevo en conducción en el
tiempo 3, de forma que la corriente se incrementa hasta alcanzar el valor de
referencia, repitiéndose un nuevo ciclo de control. Por tanto, el sistema de control
puede fijar la corriente en el motor, a través de la tensión de referencia.
Si el tiempo de descarga (intervalo entre tiempo 2 y tiempo 3) se mantiene
constante, la frecuencia del chopeado no cambia. Si el sistema mantiene constante el
período de muestreo de control, el tiempo de descarga cambia, y por tanto el rizado
de la corriente.
El funcionamiento con frecuencia constante tiene ciertas ventajas en comparación
con el funcionamiento a tiempo de descarga constante, ya que facilita la supresión
de interferencias.

Modulación PWM 31
Como puede comprobarse en el modo de funcionamiento con conmutación en modo
unipolar o signo-magnitud, el diodo de libre circulación asociado con el transistor
MH1 (debe de considerarse que estos transistores son del tipo DMOS, y por tanto,
permiten la conducción de corriente en ambos sentidos) se mantiene en conducción
un tiempo relativamente largo. Esto provoca que las pérdidas no sean todo lo bajas
que sería deseable. Dichas pérdidas pueden reducirse sensiblemente si se conecta en
paralelo con dicho diodo la resistencia del transistor MH1, _ 1DSON MHR , es decir, si se
hace conducir a dicho transistor MH1, durante el intervalo de tiempo que dura la
situación de bloqueo o corte del transistor ML1 (intervalo entre el tiempo 2 y el
tiempo 3), de forma que la corriente inversa fluya a través de él.
Como se ha comentado anteriormente, la potencia disipada en el diodo asociado al
transistor es:
2
_ 1 _ 1 _ 1D MH M D MH D MH MP I R V I= ⋅ + ⋅
Donde _ 1D MHR es la resistencia interna del diodo y _ 1D MHV es la tensión del diodo,
ambas en estado de conducción.
Si se compara con la potencia disipada por el transistor MH1 en conducción durante
el intervalo de tiempo que dura la recirculación de la corriente:
2
1 _ 1MH M DSON MHP I R= ⋅
Se cumple que:
1 _ 1MH D MHP P<
Con lo que las pérdidas que se producen en la conmutación durante el intervalo de
recirculación de la corriente, es decir durante el intervalo de tiempo en el que tiene
lugar el bloqueo del transistor ML1, que en el caso de que se controle con el
transistor DMOS MH1 (esta técnica se denomina en lengua inglesa “synchronous
free running”), son considerablemente menores que en el caso en el que durante
dicho intervalo sólo actúa un diodo de libre circulación.
Este modo de funcionamiento se denomina en la literatura escrita en lengua inglesa
como synchronous sing-magnitude method, ya que la mitad del puente se comporta
como un rectificador síncrono de un convertidor continua-continua del tipo step-
down.
El tiempo en on y en off de los interruptores electrónicos conectados en serie con la
fuente de alimentación puede exigir ciertos requisitos muy estrictos. Por una parte,
los interruptores electrónicos, no pueden nunca conducir simultáneamente
(inserción del tiempo muerto), para evitar así cortocircuitar la fuente de
alimentación y la más que posible destrucción de los transistores del convertidor.

Modulación PWM 32
Por otra parte, dicho tiempo muerto, debe de ser lo más pequeño posible de forma
que éste no sea apreciable. En la práctica, dicho tiempo muerto suele variar entre 0
y 50 .segη en los drivers que se presentan como circuitos integrados de potencia
(como el caso de los de la firma Siemens, ahora Infineon o del LMD18200 de
National Semiconductors). En el caso de que se utilicen componentes discretos para
realizar la etapa de potencia del convertidor, estos tiempos muertos son
sensiblemente mayores.
Durante el tiempo muerto, el diodo en antiparalelo con el transistor se encuentra en
estado de conducción de corriente. Esto provoca un incremento en la potencia
disipada y provoca un aumento importante de las pérdidas cuando el diodo se corta.
Además, el pico de corriente que se genera cuando el diodo se corta, incrementa el
contenido en armónicos y provoca a su vez una fuerte emisión de interferencias.
En la Fig. 4. 15 se ilustra este método:
Fig. 4. 15

Modulación PWM 33
4.2.3.- Funcionamiento en modo unipolar limitado [Tal-76]
Como se comentó al inicio de este apartado, esta estrategia de conmutación es una
extensión del caso anterior que elimina la necesidad de introducir un tiempo muerto
en la conmutación de los transistores para evitar un cortocircuito en la fuente que
alimenta al puente en H que se da en las dos estrategias de conmutación anteriores.
En este modo, la conmutación de los transistores depende de la polaridad de la
tensión de control del puente ( ControlV ). Cuando la tensión de control es positiva, el
transistor T4 se pone en conducción de manera continua, mientras que es el
transistor de su diagonal, el T1 el que se conmuta a on en función de la señal pwm.
Durante la primera parte de la señal pwm (0 PWMt τ≤ < ), ambos transistores, el T1 y
el T4 están en on, y T2-T3 están en off con lo que la tensión en el motor es:
AB motor puenteV V V= = + para 0 PWMt τ≤ <
Durante el tiempo PWM modt Tτ ≤ < , el análisis de la tensión en bornes del motor
(salida del convertidor) es más complejo, y depende de la corriente por el motor.
Cuando esta corriente es positiva (condición normal cuando 0AB motorV V= > ) la
corriente circula por D2 y T4, con lo que la tensión 0AB motorV V= = (en el supuesto
de que los interruptores electrónicos D2 y T4 se consideren ideales, de no ser así,
_ 2 _ 4AB motor diodo transistorV V V V= = + ). En el caso de que la corriente sea negativa, la
corriente circula por D1 y D4, con lo que AB motor puenteV V V= = + (en el supuesto de
que los interruptores electrónicos D1 y D4 se consideren ideales, de no ser así,
_1 _ 4AB motor puente diodo diodoV V V V V= = + + + ). Esta última condición suele ocurrir cuando
hay un cambio en la polaridad de la tensión de control. Finalmente, cuando la
corriente sea nula, los diodos D1 y D4 no conducirán y la tensión en el motor será
cualquier valor entre cero y puenteV+ , es decir 0 motor puenteV V< < + . A continuación se
muestran estas relaciones en forma de tabla:
mod
mod mod
0
, 0
0 0
0 0
PWM PWM
AB motor puente motor AB puente
AB AB AB
PWM PWM
AB motor motor puente
AB AB
t t T
V V V V V V
I V I
t T t T
V V V V
I I
τ τ
τ τ
≤ < ≤ < 
= = + = = + 
∀ < 
≤ < ≤ < 
= = < < + 
> = 

Modulación PWM 34
Convertidor en puente completo. Modo PWM Unipolar Limitado
0 PWMt τ< ≤ modPWM t Tτ < ≤
VControl > 0
T1, T4 ON
T2, T3 OFF
VAB =Vmotor =+Vpuente
VControl > 0
T4 ON
T1, T2, T3 OFF
VAB=Vmotor = 0, si IAB > 0
VAB=Vmotor =+ Vpuente, si IAB < 0
0 < VAB < +Vpuente, si IAB = 0
VControl < 0
T2, T3 ON
T1, T4 OFF
VAB=Vmotor = -Vpuente
VControl < 0
T2, T4 ON
T1, T3 OFF
VAB=Vmotor = 0, si IAB < 0
VAB=Vmotor = -Vpuente, si IAB > 0
-Vpuente < Vmotor < 0, si IAB = 0
En esta estrategia de conmutación existe una tercera variable en juego además de los
estados de los transistores y el valor de la tensión de control ( ControlV ). Esta variable es la
corriente en el motor IAB=Imotor cuyo valor marca el comportamiento de la tensión en el
motor durante el intervalo modPWM t Tτ ≤ < . Existe un estado especial de la tensión en el
motor cuando IAB = 0. En ese caso su valor permanece en un rango, tal y como se muestra
en el diagrama de la Fig. 4. 16 que se adjunta a continuación:

Modulación PWM 35
T1
T2
T3
T4
ON
ON
ON
OFF
OFF
OFF
t
VAB
=Vmotor
+Vpuente
0
VControl
> 0
VControl
> 0
VControl > 0
VControl > 0
VControl
> 0
VControl
< 0
VControl
< 0
VControl < 0
VControl < 0
t
VAB
=Vmotor
-Vpuente
0
VControl
< 0
OFF
ON
OFF
ON OFF
IAB
> 0
IAB < 0
IAB = 0
TmodPWMτ
Fig. 4. 16
De los tres modos de operación posibles con los Amplificadores PWM, vamos a
profundizar exclusivamente en el caso de estrategia de conmutación bipolar, que es el que
se ha implementado en el sistema real sobre el que se han realizado los experimentos, si
bien la etapa de potencia, permite tanto el modo unipolar como el bipolar (véase
LMD18200 en http://www.national.com).

Modulación PWM 36
4.3.- SEÑAL DE SALIDA GENERADA POR UN CONVERTIDOR EN PUENTE
COMPLETO FUNCIONANDO EN MODO PWM BIPOLAR
En la estrategia de conmutación bipolar, se necesita conmutar cada transistor en un instante
determinado. Además, para evitar el cortocircuito en la fuente de alimentación es necesario
asegurar que los transistores que pasan a on lo hacen una vez que los transistores que pasan
a off efectivamente ya lo han hecho. Esto se consigue retardando la señal de activación de
los transistores respecto a la señal que realiza la desactivación.
Teniendo en cuenta lo anterior, la configuración en puente completo para la etapa de salida
necesita dos señales de control de entrada, una para cada diagonal, que se pueden
denominar como PWMH y PWML. La señal de control PWMH gobierna el estado de los
transistores T1 y T4, y la señal PWML gobierna los transistores T2 y T3. Recuérdese que
cuando el primer par de transistores está en on, la tensión entregada es +Vpuente, y cuando es
el segundo par, la tensión es -Vpuente.
GENERADOR
SEÑALES
CONTROL
ETAPA DE
SALIDA
VIN
MOTOR
PWMH
PWML
VM
Fig. 4. 17
Si se observa la tabla de conmutación de la estrategia bipolar del apartado 4.2.2, se puede
comprobar que cuando el primer par de transistores está en on el segundo está en off y
viceversa. Esto supone que las señales PWMH y PWML son prácticamente opuestas.
Ambas señales tendrán, además, un instante durante el cuál ambas son nulas para que pasen
al corte los transistores que están en on. Sólo después de esta transición, los transistores en
off deberán ser activados. En la Fig. 4. 18 se muestran ambas señales de control, con el
retardo t∆ , tiempo muerto (en lengua inglesa blanking time), entre la desactivación de una
señal y la activación de la otra.

Modulación PWM 37
t
t
PWMH
PWML
PWMτ
mod PWMT τ−
PWM tτ ∆−
t∆
Fig. 4. 18
Este retardo tiene un efecto en la tensión de salida que finalmente es entregada al motor. En
la Fig. 4. 19 se puede ver cuál es la señal que realmente se entrega al motor en función de
las señales de control anteriores. Cuando ambas señales están desactivadas, los cuatro
transistores están en corte, por lo que la tensión entregada es cero. En realidad, los diodos
en antiparalelo están en conducción, habilitando un camino para que sigua circulando la
corriente por el motor, de forma que la tensión en el motor no es completamente nula. El
resto del tiempo la tensión toma el valor +Vpuente y –Vpuente, según cuál sea la señal de
control activa.

Modulación PWM 38
t
V
+Vpuente
-Vpuente
δδ
Fig. 4. 19
Si el tiempo t∆ es muy pequeño comparado con la duración de cada ciclo de conmutación
(si se cumple que t∆ <<Tmod), el efecto podrá no ser tenido en cuenta [Mohan-95] (tal y
como se hace en nuestro simulador software). Este valor t∆ marca un primer límite a la
frecuencia de conmutación de las señales de control. Por ejemplo, trabajando a una
frecuencia para la señal pwm de período de 50µs (frecuencia de modulación de 20KHz), y
con transistores MOSFET con un tiempo de conmutación de 0,6µs, podemos confirmar la
relación anterior entre ambos valores temporales (véase LMD18200 en
http://www.national.com, así como [López-01] y [Contreras-03]). Este tiempo muerto no se
tiene en cuenta en nuestro análisis. Sin embargo, se analiza a continuación el efecto de
este fenómeno [Mohan-95, pág. 236-239 y 389-391]. Puesto que los dos transistores de la
misma rama (T1 y T2 o T3 y T4) están en corte durante el tiempo muerto, la tensión que se
aplica al motor VAB= Vmotor, dependerá del sentido de la corriente iAB= imotor, en dicho
intervalo.
La diferencia entre las tensiones en el motor en el caso ideal (sin tiempo muerto) y en el
caso real (con tiempo muerto) es:
( ) ( )motor motor ideal motor realV V V= − ec. 4. 41
Si se promedia esta diferencia a lo largo de un período de modulación, se puede obtener el
cambio de la tensión de salida por efecto de t∆ , como:
mod
2
motor puente
t
V V
T
∆⋅
∆ = ⋅ para imotor>0 ec. 4. 42

Modulación PWM 39
mod
2
motor puente
t
V V
T
∆⋅
∆ = − ⋅ para imotor<0 ec. 4. 43
El par de ecuaciones anteriores, indica que motorV∆ no depende de la amplitud de la
corriente, pero su polaridad sí depende de su sentido. Como se puede comprobar, motorV∆ ,
es proporcional a la duración del tiempo muerto y a la frecuencia de conmutación, lo cual
sugiere emplear dispositivos de conmutación más rápida, por tanto, con frecuencia de
conmutación mayor, para de ésta forma reducir el tiempo muerto a aplicar.
Como en el caso de la excitación de motores de corriente continua de imán permanente, el
voltaje de salida del convertidor es proporcional a la velocidad de giro del motor (en el
supuesto que la caída de tensión en la resistencia de la armadura sea pequeña), y como la
corriente de salida (iAB) es proporcional al par, en la Fig. 4. 20 se presenta el efecto del
tiempo muerto:
Fig. 4. 20
Si a una velocidad arbitraria mω , el par, y por tanto la corriente por el motor, imotor, han de
invertirse, existe una zona muerta en la tensión de control del puente controlv , como se indica
en la Fig. 4. 20, durante la cual, tanto el par como la corriente permanecen pequeños. El
efecto de esta no linealidad debido al tiempo muerto sobre el funcionamiento del servo se
puede minimizar por medio de la introducción de un lazo de realimentación de corriente,
interno al propio convertidor cc-cc [Mohan-95, pág. 390].

Modulación PWM 40
4.4.-COMPORTAMIENTO EN EL TIEMPO DEL CONVERTIDOR EN PUENTE
COMPLETO FUNCIONANDO EN MODO PWM BIPOLAR [Tal-76], [Taft-79],
[Franklin.2-71]
En este apartado se obtendrán, por una parte, un modelo simplificado del convertidor en
puente completo con estrategia de conmutación bipolar, modelo del que se realizarán una serie
de críticas que lo pondrán en cuestión. Por otra parte, se obtendrán las ecuaciones que definen
la variación de la corriente por el motor bajo ciertas hipótesis simplificadoras, con el objetivo
de determinar su forma de variación y de poder obtener conclusiones sobre el valor máximo
del rizado de la corriente, y los parámetros de los que éste depende.
El comportamiento del convertidor depende, por un lado de la estrategia de conmutación y por
otro de la tensión de salida del controlador, controlv , que son las que gobiernan la generación de
la señal pwm digital de control del puente en H, y por tanto, la tensión de salida del
convertidor VAB=Vmotor. En el estudio que aquí se realiza, se supone que controlv no cambia
durante el período de modulación Tmod, que es lo que ocurre en la práctica, (aunque podría
admitirse que cambiase lentamente), por lo que se considera como una señal continua durante
un período completo de modulación.
La tensión de entrada al convertidor controlv define el denominado factor de carga ρ:
control
MAX
v
V
ρ = ec. 4. 44
Donde VMAX es el máximo valor que puede tomar | controlv |. Por tanto, el factor de carga podrá
tomar valores entre –1 ≤ ρ ≤ 1.
Anteriormente, se ha dividido cada período de conmutación en dos subintervalos (0 PWMt τ≤ <
y modPWM t Tτ ≤ < ). El instante temporal de cambio entre ambas fases viene definido por
PWMt τ= . Cuando se quiera conseguir un valor máximo para ρ = 1, se deberá cumplir que
modPWM Tτ = . Del mismo modo, cuando queremos que ρ = -1, 0PWMτ = . La relación que se
obtiene de ambas condiciones entre el factor de carga, PWMτ y Tmod es:
mod
1
2
PWM T
ρ
τ
+
= ⋅ ec. 4. 45

Modulación PWM 41
Se puede comprobar, además, que si ρ = 0, mod
1
2
PWM Tτ = ⋅ . El ciclo de trabajo es en este caso
del 50 %.
Si se ignora el tiempo durante el cuál los transistores permanecen en off para evitar el
cortocircuito en la fuente (tiempo muerto), la tensión en el motor tendrá un comportamiento
para este convertidor como el descrito en la Fig. 4. 21:
Fig. 4. 21
Si se expresa la tensión en el motor, a través de su desarrollo en serie de Fourier, se tiene que:
( )0 mod
1
cos 2AB motor n n
n
V V a a n f tπ φ
∞
=
= = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +∑ ec. 4. 46
Donde:
0
puente control
puente
MAX
V v
a V
V
ρ
⋅
= ⋅ = ec. 4. 47
( )4 1
sen
2
puente
n
V n
a
n
π ρ
π
⋅ ⋅ +
= ⋅
⋅
ec. 4. 48
Normalmente, sólo se considera la componente continua a0, ya que la frecuencia de
conmutación fmod se elige de tal forma que sea mucho mayor que el ancho de banda del motor
y de las frecuencias de resonancia. Así, todas las componentes de alta frecuencia son atenuadas

Modulación PWM 42
por el propio motor. Debe de recordarse, no obstante, según se estudió en el capítulo 2, que las
componentes de alta frecuencia son las responsables del aumento de las pérdidas en el motor:
aumento de las pérdidas por efecto Joule en el devanado de armadura (lo cual supone un
aumento del valor efectivo de la resistencia del devanado) y aumento en las pérdidas del
núcleo del rotor en el caso en el que motor tenga un núcleo de material magnético, así como de
un empobrecimiento de la conmutación en el colector del motor, tanto peor cuanto mayor sea
el rizado de la corriente.
Bajo esta suposición, sólo se considera en este estudio la compone continua, de forma que el
convertidor en puente completo, funcionando en modo pwm bipolar puede ser representado
por el diagrama de bloques de la Fig. 4. 22, es decir, como una ganancia de tensión cuyo valor
está definido por la expresión:
puente puente puentemotor Control
V
Control Control MAX Control MAX
V V VV V
G
V V V V V
ρ ⋅
= = = ⋅ = ec. 4. 49
1
VMAX
Vpuente
Vmotor
ρvcontrol
Fig. 4. 22
Llegados a este punto, hay que hacer notar, que este es el modelo del convertidor que se suele
utilizar en buena parte de los estudios del comportamiento de sistemas de control
realimentados que utilizan motores de cc: se sustituye el convertidor por una ganancia
constante. Sin embargo, como se pone de manifiesto en numerosos estudios, las suposiciones
que en él se hacen, fundamentalmente la de despreciar el efecto de las componentes de alta
frecuencia, tales como el aumento de las pérdidas, así como su efecto en la estabilidad del
sistema y el efecto del tiempo muerto, hacen que este modelo deba de ser manejado con ciertas
reservas. El lector interesado en estos temas puede consultar las siguientes referencias, de las
que aquí se hace un breve resumen:

Modulación PWM 43
- [Skoog-70]: dónde se hace un estudio sobre la estabilidad de los sistemas excitados
con moduladores pwm. En este trabajo, también se presenta una descripción de los
diferentes tipos de modulación de pulsos que se pueden implementar.
- [Dubey-81]: se hace un estudio de los motores de cc serie controlados por
convertidores cc-cc en los que se actúa sobre la relación entre el tiempo en on de
los interruptores de potencia y el tiempo en off, así como en los que se realiza el
control de la corriente de armadura entre un valor máximo y un valor mínimo,
obteniéndose para cada caso diferentes funciones de transferencia, cada una de las
cuales en relación a una serie de hipótesis, más o menos simplificativas de los
fenómenos físicos que tienen lugar en este tipo de sistemas.
- [Taylor-92]: estudia el comportamiento de los moduladores pwm en el control de
sistemas electromecánicos mediante el método denominado en lengua inglesa state-
space averaging, también denominado Filippov continuation. En su estudio, David
G. Taylor plantea dos lazos de realimentación, uno exterior o de control del sistema
mecánico, y otro interior, o del sistema eléctrico, en relación a dos escalas de
tiempo distintas, de una forma análoga a como más adelante se plateará en el
controlador dinámico borroso aditivo, objeto de este trabajo.
- [Gautier-93] y [Robet-95] (ambos autores en las dos referencias): se plantea un
modelo realista de los motores de cc de imán permanente actuados por
convertidores cc-cc pwm utilizados en aplicaciones robóticas, teniendo en cuenta
los efectos de las saturaciones y del muestreo en el comportamiento dinámico del
conjunto convertidor de cc-cc-motor. Considera además que el convertidor cc-cc
incluye un lazo interno de realimentación de corriente (en las figuras que se
adjuntan a continuación se presentan tres tipos de controladores del lazo de
corriente que se estudian en dichos trabajos). Se realiza un estudio en frecuencia del
comportamiento del sistema driver-motor, para poner de manifiesto las limitaciones
de los modelos basados en el análisis temporal del valor medio de la tensión de
salida del convertidor o de la corriente de armadura. Se obtiene la función de
transferencia del convertidor para el caso de considerar un modelo de primer orden.
Se estudian además los armónicos de la corriente de armadura, llegando a la
conclusión de que en la práctica, a dos décadas por encima de la frecuencia de
corte, los armónicos son muy pequeños (despreciables). También se estudia el
efecto de saturación que se produce debido al máximo valor de la consigna de
corriente que se introduce sobre el lazo de realimentación interno de corriente (que
es de segundo orden).

Modulación PWM 44
Fig. 4. 23
Fig. 4. 24
Fig. 4. 25

Modulación PWM 45
- [Gürbüz-98]: en este trabajo, se incluye además en el modelo, realizado sobre la
transformada Z, el rizado en la tensión de armadura. Se estudia en concreto un
convertidor cc-cc de clase C con el software de Matlab.
- [Özdemir-98]: se plantea el modelado del convertidor con modulación pwm en el
espacio de estados, utilizando el mismo método que en [Taylor-92] de space state
averaging method, para modelar el sistema completo: motor cc y driver y se aplica
al control del motor de tracción del metro.
Si se utiliza este modelo del convertidor junto con la ecuación eléctrica del circuito de
armadura del motor obtenida en el capítulo 3, donde se definía a Vmotor como va y a IAB=Imotor
como ia se tiene que:
a
motor a a a a V m
di
V v L R i K
dt
ω= = + ⋅ + ⋅ ec. 4. 50
A la hora de resolver la mencionada ecuación diferencial, se pueden plantear las siguientes
hipótesis de partida que simplifican el proceso de cálculo [Taft-79], [Franklin.2-71] (caso
motor serie):
1.- Durante cierto tiempo, en relación con la duración del pulso, la velocidad del motor
permanece constante. Debe de recordarse no obstante, que si se tiene en cuenta el
motor de la firma Minimotors que se utiliza en los experimentos, donde la aceleración
máxima, dada por el fabricante es de 36000rad/seg2
, la variación máxima de velocidad
que puede sufrir el motor en un período de modulación, considerado éste de 50 segµ es
de 1.8 rad/seg, o lo que es lo mismo, 17.19 r.p.m., que no es un valor despreciable, tal
y como se pone de manifiesto en las simulaciones realizadas sobre diversos
controladores.
2.- Los parámetros del motor se pueden representar por parámetros concentrados
(lumped).
3.- Los parámetros del motor se mantienen constantes durante un pequeño intervalo de
tiempo, es decir no se tienen en cuenta las variaciones de la resistencia de armadura
debido al efecto pelicular y al efecto de la temperatura.
4.- La inductancia del circuito de armadura permanece constante, si bien es cierto que
su valor disminuye a medida que aumenta la saturación del circuito magnético, como se
estudió en el capítulo 2, pero que sin embargo, para el caso de motores de imán
permanente de rotor hueco, se puede considerar como constante.

Modulación PWM 46
5.- El tiempo de conmutación de los interruptores electrónicos de potencia es
despreciable en relación con el período de modulación.
6.- Se supone que las pérdidas en el circuito magnético son despreciables.
7.- Se desprecia el efecto de la corriente de circulación en los devanados del colector.
8.- Se considera lineal la curva de magnetización de la máquina, es decir que no hay
saturación magnética.
9.- Las escobillas está situadas sobre la línea neutra magnética. Se desprecia el efecto
del flujo de reacción de inducido (deformación del flujo, conmutación no lineal, etc).
10.- El par calculado no incluye la corrección por pérdidas de fricción, ventilación y en
el hierro.
11.- Se desprecia la caída de tensión total en las escobillas (eb)
12.- Los interruptores electrónicos de potencia se consideran ideales, con lo que la
caída de tensión en el diodo (ed) intrínseco y en el transistor MOSFET del convertidor
se consideran constantes (como se sabe dichas características dependen de la
temperatura) y además despreciables, debido al bajo valor de la resistencia de
conducción en directa de los transistores utilizados (0.3Ω por transistor) y de las
corrientes implicadas (máxima corriente de arranque de 2.1 A) (véase la hoja de
características del LMD18200 de National Semiconductors en
http://www.national.com).
13.- La forma de onda de la salida del convertidor es una onda cuadrada, o puede
aproximarse por una onda cuadrada. [Dubey-81]
En cualquier caso, se asume que la frecuencia de modulación pwm es muy superior a la
capacidad de respuesta de las partes mecánicas del sistema (constante de tiempo mecánica del
motor: 17mseg.). En este caso, la aceleración del motor es insignificante durante un período de
la señal pwm, y por tanto, la fcem del motor es constante durante un ciclo de la señal pwm. Sin
embargo, como ya se comentó anteriormente, la aceleración máxima es de 36000rad/seg2
, con
lo que en 50useg, la variación máxima de la velocidad será de 1.8 rad/seg (17.19 rpm). Esto
supone que la fcem podrá cambiar, como máximo _
(22 3) 1.8 39.6V m MÁXIMA
K e mVω⋅∆ = − ⋅ = ,
que es un valor que podemos considerar como despreciable para el objetivo que se plantea.
Por tanto, y a la vista de las hipótesis anteriormente expuestas, se realizará el estudio de la
corriente que circula por el motor considerando que los interruptores de potencia son ideales, y
que las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento del sistema, son ecuaciones
diferenciales lineales y con coeficientes constantes.

Modulación PWM 47
Además, en el caso de controladores convencionales, en los que el período de muestreo de
control es un cierto número de veces el período de modulación (para períodos de muestreo
de control típicos de 1mseg, se tienen 20 períodos de modulación de 50useg.), la señal de
control del convertidor, controlv , se mantiene constante durante varios períodos de
modulación, de forma la corriente por el motor se puede considerar como una señal
periódica. Sin embargo, en el caso de controladores dinámicos borrosos aditivos, como los
que se estudian en este trabajo, en los que la señal de control se actualiza en cada período
de modulación, dicha hipótesis no es cierta, si bien dicha situación se puede aceptar, no sin
ciertas reservas, en la situación de régimen permanente, entendiendo éste como el instante
en que se consigue el objetivo marcado por la señal de consigna, momento en el que los
cambios de controlv serán mínimos o de variación lenta, aunque seguirá habiendo pequeños
cambios.
En cualquier caso, se podrá considerar que en régimen permanente la señal de la corriente
de armadura es periódica, por lo que en general se cumple la igualdad:
mod(0) ( )a ai i T= ec. 4. 51
Las ecuaciones diferenciales a resolver son
a
a a a V m puente
di
L R i K V
dt
ω⋅ + ⋅ + ⋅ = , (0)ai , 1 4 mod0 t Tδ −< < ⋅ ec. 4. 52
a
a a a V m puente
di
L R i K V
dt
ω⋅ + ⋅ + ⋅ = − , 1 4 mod( )ai Tδ − ⋅ , 1 4 mod modT t Tδ − ⋅ ≤ <
ec. 4. 53
Recuérdese que 1 4 modPWM Tτ δ −= ⋅
Las soluciones a estas ecuaciones son:
( ) (0)
a
a
R
t
puente V m puente V m L
a
a a
V K V K
i t i e
R R
ω ω − ⋅− ⋅ − ⋅ 
= + − ⋅ 
 
, 1 4 mod0 t Tδ −< < ⋅
ec. 4. 54

Modulación PWM 48
Y
'
'
1 4 mod( ) ( )
a
a
R
t
a
a a
V K V K
i t i T e
R R
ω ω
δ
− ⋅
−
+ ⋅ + ⋅ 
= − + ⋅ + ⋅ 
 
, '
1 4 mod0 (1 )t Tδ −≤ < − ⋅
ec. 4. 55
Donde, de nuevo,
'
1 4 mod 1 4 mod( 0) ( ) ( ) ( )a a a a PWMi t i t T i T iδ δ τ− −= = = ⋅ = ⋅ = ec. 4. 56
En las dos ecuaciones anteriores hay dos términos que no son conocidos: (0)ai e 1 4 mod( )ai Tδ − ⋅ .
Resolviendo para (0)ai en primer lugar, se tiene que:
mod 1 4 mod mod
mod
(1 )
1 2 1
(0)
1
a a a
a a a
a
a
R R R
T T T
puente L L LV m
a a
a R
T
L
V K
e e e
R R
i
e
δ ω−− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅
   ⋅
⋅ − − + ⋅ + ⋅ − +   
   
   =
−
ec. 4. 57
De forma similar,
mod 1 4 mod mod
mod
1 4 mod
1 2 1
( )
1
a a a
a a a
a
a
R R R
T T T
puente L L LV m
a a
a R
T
L
V K
e e e
R R
i T
e
δ ω
δ
−− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
−
− ⋅
   ⋅
⋅ + − ⋅ + ⋅ − +   
   
   ⋅ =
−
ec. 4. 58
La diferencia entre (0)ai e 1 4 mod( )ai Tδ − ⋅ representa el rizado de la corriente que circula por el
motor, que será analizado posteriormente en este trabajo de forma simplificada.
El valor medio de la corriente puede aproximarse por:
1 4 mod
_
(0) ( )
2
a a
a MEDIA
i i T
I
δ −+ ⋅
= ec. 4. 59
Utilizando esta aproximación, y suponiendo que la velocidad del motor no cambia en exceso
durante un período de modulación de la señal pwm, se pueden obtener las curvas par-velocidad
del motor según:

Modulación PWM 49
1 4 mod
_
(0) ( )
2
electromecánico C a MEDIA C
i i T
C K I K
δ −+ ⋅
= ⋅ = ⋅ ec. 4. 60
1 4 mod 1 4 mod mod
mod
(1 )
1
1
a a a
a a a
a
a
R R R
T T T
L L LV m
puenteC puente
electromecánico R
T
a L
K
e e e
VK V
C
R
e
δ δ ω− −− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅
   ⋅   
− + + ⋅ − +   
⋅       = ⋅
−
ec. 4. 61
A partir de esta ecuación, se puede representar la curva par-velocidad del motor, como líneas
rectas, de la misma forma que si el motor estuviese accionado por un amplificador
proporcional.
En [Tal-76], se aplican una serie de simplificaciones adicionales, que permiten obtener ciertas
conclusiones que son interesantes. Así, si se considera de nuevo la ecuación:
a
motor a a a a V m
di
V v L R i K
dt
ω= = + ⋅ + ⋅ ec. 4. 62
Y se asumen, además de las hipótesis anteriormente comentadas, la de que las variaciones
del producto a aR i⋅ son muy pequeñas, se puede simplificar la ecuación considerablemente,
sin que los resultados obtenidos pierdan precisión. A continuación se definen las variables
Ia e '
aV como:
( )
mod
mod 0
1
T
a aI i t dt
T
= ⋅ ∫ ec. 4. 63
'
a a a V mV R I K ω= ⋅ + ⋅ ec. 4. 64
Entonces, si se aproxima a aR i⋅ por su valor medio a aR I⋅ (esta suposición, en realidad lo
que viene a decir es que el rizado es muy pequeño, justo lo que no ocurre en nuestro caso,
que el rizado es grande, puesto que la constante de tiempo eléctrica del motor es muy
pequeña
580
109.434
5.3
a
e
a
L H
seg
R
µ
τ µ= = =
Ω
), y si se asume que '
aV es constante en el
período de conmutación, la ecuación del motor queda reducida a:

Modulación PWM 50
'a
a motor a
di
L V V
dt
⋅ = − ec. 4. 65
En el caso del convertidor en puente completo con estrategia pwm bipolar la ecuación
anterior tomará los siguientes valores para cada fase del período de conmutación:
'
'
mod
0a
a puente a PWM
a
a puente a PWM
dI
L V V t
dt
dI
L V V t T
dt
τ
τ

⋅ = − ≤ < 



⋅ = − − ≤ <

ec. 4. 66
La solución de las ecuaciones anteriores es una señal triangular definida por:
'
'
mod
( ) (0) 0
( ) ( ) ( )
puente a
a a PWM
a
puente a
a a PWM PWM PWM
V V
i t I t t
L
V V
i t I t t T
L
τ
τ τ τ
−
= + ≤ < 



+ = − − ≤ <

ec. 4. 67
Tal y como se muestra en la Fig. 4. 21.
De forma análoga a como se argumentó en el análisis anterior, se puede considerar que en
régimen permanente la señal de la corriente de armadura es periódica, por lo que en general
se cumple la igualdad:
mod( ) (0)a aI T I= ec. 4. 68
Esto impone que a su vez se cumpla que:
' '
mod( ) 0
puente a puente a
PWM PWM
a a
V V V V
T
L L
τ τ
− +
− − = ec. 4. 69
Combinando esta ecuación con la relación entre PWMτ y modT , resulta que:
'
a
puente
V
V
ρ= ec. 4. 70

Modulación PWM 51
Con lo que ρ es proporcional a la tensión '
aV .
La variación de corriente, es decir, el rizado, ∆Ia, viene dado a su vez por la combinación
de las ecuaciones anteriores:
mod 2
( ) (0) (1 )
2
puente
a a PWM a
a
V T
I I I
L
τ ρ
⋅
∆ = − = −
⋅
ec. 4. 71
La máxima variación de corriente se produce cuando el factor de carga es cero, y toma el
valor:
mod
2
puente
aMAX
a
V T
I
L
⋅
∆ =
⋅
ec. 4. 72
La ecuación anterior muestra la dependencia de la variación de corriente, en el motor y las
variables del amplificador Vpuente, Tmod y La.
Si se comparan los resultados que se obtendrían teóricamente sobre el rizado de la corriente
considerando las hipótesis de que no cambia la señal de control, y tampoco cambia la
velocidad en el período de modulación, en relación con los resultados obtenidos con el
simulador implementado, en el no se consideran estas hipótesis restrictivas, los resultados
que se obtienen para Vpuente= 12V y Tmod= 50useg son:
mod
_
0.51724137
2
puente
aMAX TEÓRICA
a
V T
I A
L
⋅
∆ = =
⋅
ec. 4. 73
_ 0.503847aMAX SIMULADDAI A∆ = ec. 4. 74
Hay una diferencia de 13.39437mA., que supone un 2.58% y que podemos considerar
como despreciable.
En un caso general, la tensión Vpuente viene definida por la alimentación de la etapa de salida
(puente de transistores) y en la mayoría de las aplicaciones es fija [López-01], la
inductancia La está determinada por las características eléctricas del motor, (recuérdese que
en general no es constante, puesto que depende fundamentalmente del grado de saturación
del circuito magnético, que en el caso de los motores de imán permanente y rotor hueco,
como se estudió en el capítulo 2, este grado de saturación es realmente bajo) y sólo Tmod es
controlada externamente. Como se puede comprobar en las ecuaciones anteriores, tanto la
tensión '
aV (que define la velocidad del motor), como la corriente aI (que define el par del
motor) dependen del factor de carga ρ , y por tanto del ciclo de trabajo que se aplica al

Modulación PWM 52
modulador ( PWMτ ), así, modificando dicho ciclo de trabajo, se puede controlar, tanto la
velocidad como el par que genera el motor, pudiéndose acelerar, frenar, cambiar el sentido
de giro e incluso detener totalmente el motor. Todo esto con las ventajas en cuanto a
consumo de potencia aportadas por los convertidores cc, en cuatro cuadrantes, basados en
puente completo y con estrategias de conmutación pwm; ventajas que se estudiarán con
posterioridad.

Modulación PWM 53
4.5.-COMPORTAMIENTO EN EL TIEMPO DEL CONVERTIDOR EN PUENTE
COMPLETO FUNCIONANDO EN MODO PWM UNIPOLAR [Tal-76], [Taft-79],
[Franklin.2-71]
En este apartado, al igual que en el anterior, se obtendrán, por una parte, un modelo
simplificado del convertidor en puente completo con estrategia de conmutación unipolar,
modelo del que se realizarán una serie de críticas que lo pondrán en cuestión. Por otra parte,
se obtendrán las ecuaciones que definen la variación de la corriente por el motor bajo
ciertas hipótesis simplificadoras, con el objetivo de determinar su forma de variación y de
poder obtener conclusiones sobre el valor máximo del rizado de la corriente, y los
parámetros de los que éste depende.
De forma análoga al caso anterior, controlv define el factor de carga ρ de la misma forma
que para el caso bipolar según:
control
MAX
v
V
ρ = ec. 4. 75
Como VMAX es el máximo valor que puede tomar | controlv |, el factor de carga tomará valores
entre –1 ≤ ρ ≤ 1.
Al igual que en el caso bipolar, se ha dividido cada período de conmutación en dos
subintervalos ( mod0 t Tρ≤ < ⋅ y mod modT t Tρ ⋅ ≤ < ), y el instante temporal de cambio entre
ambas fases ahora está definido por
modt Tρ= ⋅ ec. 4. 76
Los transistores a conmutar se seleccionan según el siguiente procedimiento:
Caso 1: 0 ( 0)controlV ρ> >
T4: en on continuamente
T1: en on durante 0 modt Tρ≤ < ⋅
T2: en on durante mod modT t Tρ ⋅ ≤ <
Caso 2: 0 ( 0)controlV ρ< <
T3: en on continuamente
T2: en on durante 0 modt Tρ≤ < ⋅
T1: en on durante mod modT t Tρ ⋅ ≤ <

Modulación PWM 54
Siendo por tanto las tensiones en el motor:
mod
mod mod
mod
mod mod
0
0
0
0
0
0
puente
Control
AB motor
puente
Control
V t T
V
T t T
V V
V t T
V
T t T
ρ
ρ
ρ
ρ
 ≤ < ⋅
>
⋅ ≤ <

= = 
 − ≤ < ⋅ <
 ⋅ ≤ <
ec. 4. 77
El resultado de la tensión y de la corriente en el motor en ambos casos se muestra en la Fig.
4. 26 para el caso 1 y en la Fig. 4. 27 para el caso 2.
t
tTmod
Vmotor
Imotor
I(0)
Vpuente
-Vpuente
modTρ ⋅
0
0
mod( )I Tρ ⋅
Fig. 4. 26

Modulación PWM 55
t
t
Tmod
Vmotor
Imotor
I(0)
Vpuente
-Vpuente
modTρ ⋅
mod( )I Tρ ⋅
0
0
Fig. 4. 27
Se puede expresar la tensión en el motor con su desarrollo en serie de Fourier según:
( )0 mod
1
cos 2AB motor n n
n
V V a a n f tπ φ
∞
=
= = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +∑ ec. 4. 78
Donde:
0
puente Control
puente
MAX
V V
a V
V
ρ
⋅
= ⋅ = ec. 4. 79
2
sen
2
puente
n
V
a n π ρ
π
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
ec. 4. 80
Al igual que en el caso bipolar, normalmente, sólo se considera la componente continua a0,
ya que la frecuencia de conmutación fmod se elige de tal forma que sea mucho mayor que el
ancho de banda del motor y de las frecuencias de resonancia. Así, todas las componentes de
alta frecuencia son atenuadas por el propio motor.
Bajo esta suposición, sólo se considera en este estudio la compone continua, de forma que
el convertidor en puente completo, funcionando en modo pwm unipolar puede ser

Modulación PWM 56
representado por el diagrama de bloques de la Fig. 4. 28, es decir, como una ganancia de
tensión cuyo valor está definido por la expresión:
puente puentemotor
V
Control MAX Control
V VV
G
V V V
= = = ec. 4. 81
1
VMAX
Vpuente
Vmotor
ρvcontrol
Fig. 4. 28
Al igual que se comentó para el caso bipolar, este modelo simplificado, presenta los
mismos problemas que se argumentaron para dicho caso.
Si se utiliza este modelo del convertidor junto con la ecuación eléctrica del circuito de
armadura del motor obtenida en el capítulo 3, se tiene que:
a
motor a a a a V m
di
V v L R i K
dt
ω= = + ⋅ + ⋅ ec. 4. 82
El análisis es similar al realizado en el caso bipolar, por tanto, si se consideran los dos casos
posibles, se tiene:
Transistor en on:
Ecuación diferencial a resolver:
a
a a a V m puente
di
L R i K V
dt
ω⋅ + ⋅ + ⋅ = , (0)ai , 4 mod0 t Tδ< < ⋅ ec. 4. 83
Transistor en off:

Modulación PWM 57
Ecuación diferencial a resolver:
0a
a a a V m
di
L R i K
dt
ω⋅ + ⋅ + ⋅ = , 4 mod( )ai Tδ ⋅ , 4 mod modT t Tδ ⋅ ≤ <
ec. 4. 84
Recuérdese que 4 modPWM Tτ δ= ⋅ .
La solución a la primera ecuación está dada por:
( ) (0)
a
a
R
t
a
a a
V K V K
i t i e
R R
ω ω − ⋅− ⋅ − ⋅ 
= + − ⋅ 
 
, 4 mod0 t Tδ< < ⋅
ec. 4. 85
Utilizando esta solución para 4 mod PWMt Tδ τ= ⋅ = , se obtiene que:
4 mod
4 mod( ) (0)
a
a
R
T
a
a a
V K V K
i T i e
R R
δω ω
δ
− ⋅ ⋅− ⋅ − ⋅ 
⋅ = + − ⋅ 
 
ec. 4. 86
La solución de la segunda ecuación diferencial, describe el comportamiento del motor en el
intervalo de tiempo 4 mod modT t Tδ ⋅ < < . El nuevo origen de tiempo es ahora '
4 modt t Tδ= − ⋅ ,
con lo que:
'
'
4 mod( ) ( )
a
a
R
t
LV m V m
a
a a
K K
i t i T e
R R
ω ω
δ
− ⋅ ⋅ ⋅
= − + ⋅ + ⋅ 
 
, '
4 mod0 (1 )t Tδ< < − ⋅
ec. 4. 87
Donde:
'
4 mod 4 mod( 0) ( ) ( ) ( )a a a a PWMi t i t T i T iδ δ τ= = = ⋅ = ⋅ = ec. 4. 88
Con lo que:

Modulación PWM 58
4 mod(1 )
4 mod 4 mod((1 ) ) ( ) (0)
a
a
R
T
LV m V m
a
a a
K K
i T i T e i
R R
δω ω
δ δ
− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ = − + ⋅ + ⋅ = 
 
ec. 4. 89
En las dos ecuaciones anteriores hay dos términos que no son conocidos: (0)ai e
4 mod( )ai Tδ ⋅ . Resolviendo para (0)ai en primer lugar:
4 mod mod
mod
(1 )
(0)
1
a a
a a
a
a
R R
T T
puente L L
a V m
a R
T
aL
V
e e
R K
i
R
e
δ
ω
− ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅
  
⋅ − 
⋅  = −
−
ec. 4. 90
De forma similar,
4 mod
mod
4 mod
1
( )
1
a
a
a
a
R
T
puente L
a V m
a R
T
aL
V
e
R K
i T
R
e
δ
ω
δ
− ⋅ ⋅
− ⋅
  
⋅ − 
⋅  ⋅ = −
−
ec. 4. 91
La diferencia entre (0)ai e 4 mod( )ai Tδ ⋅ representa el rizado de la corriente que circula por
el motor, que será analizado posteriormente en este trabajo.
El valor medio de la corriente puede aproximarse por:
4 mod
_
(0) ( )
2
a a
a MEDIA
i i T
I
δ+ ⋅
= ec. 4. 92
Utilizando esta aproximación, y suponiendo que la velocidad del motor no cambia en
exceso durante un período de modulación de la señal pwm, se pueden obtener las curvas
par-velocidad del motor según:
4 mod
_
(0) ( )
2
a a
electromecánico C a MEDIA C
i i T
C K I K
δ+ ⋅
= ⋅ = ⋅ ec. 4. 93

Modulación PWM 59
mod 4 mod 4 mod mod
mod
(1 )
1
1 1
2
1
a a a a
a a a a
a
a
R R R R
T T T T
L L L LV m
puenteC puente
electromecánico R
T
a L
K
e e e e
VK V
C
R
e
δ δ ω− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅
   ⋅   
⋅ − − + + ⋅ −   
⋅       = ⋅
−
ec. 4. 94
A partir de esta ecuación, se puede representar la curva par-velocidad del motor, como
líneas rectas, de la misma forma que si el motor estuviese accionado por un amplificador
proporcional.
Al igual que en el caso bipolar, en [Tal-76] se aplican una serie de simplificaciones
adicionales, que permiten obtener ciertas conclusiones que son interesantes. Si se considera de
nuevo la ecuación
a
motor a a a a V m
di
V v L R i K
dt
ω= = + ⋅ + ⋅ ec. 4. 95
Y se asumen, además de las hipótesis anteriormente comentadas, la de que las variaciones
del producto a aR i⋅ son muy pequeñas, se puede simplificar la ecuación considerablemente,
sin que los resultados obtenidos pierdan precisión. A continuación se definen las variables
Ia e '
aV como:
( )
mod
mod 0
1
T
a aI i t dt
T
= ⋅ ∫ ec. 4. 96
'
a a a V mV R I K ω= ⋅ + ⋅ ec. 4. 97
Entonces, si se aproxima a aR i⋅ por su valor medio a aR I⋅ , y si se asume que '
aV es
constante en el período de conmutación, la ecuación del motor queda reducida a:
'a
a motor a
di
L V V
dt
⋅ = − ec. 4. 98

Modulación PWM 60
La solución de las ecuaciones anteriores es una señal triangular definida por:
Caso 1: 0 ( 0)controlV ρ> >
'
mod
'
mod mod mod mod
( ) (0) 0 0
( ) ( ) ( ) 0
puente a
a a
a
a
a a
V V
i t I t para t T
L
V
i t I T t T para T t T
L
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
−
= + ⋅ > ≤ < ⋅ 




= ⋅ − ⋅ − ⋅ > ⋅ ≤ <

ec. 4. 99
Caso 2: 0 ( 0)controlV ρ< <
'
mod
'
mod mod mod mod
( ) (0) 0 0
( ) ( ) ( ) 0
puente a
a a
a
a
a a
V V
i t I t para t T
L
V
i t I T t T para T t T
L
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+
= − ⋅ < ≤ < ⋅ 




= ⋅ + ⋅ − ⋅ > ⋅ ≤ <

ec. 4. 100
Mostradas en las figuras Fig. 4. 26 (caso 1) y Fig. 4. 27 (caso 2).
En régimen permanente, la corriente es periódica, por lo que se cumple la igualdad
mod( ) (0)a aI T I= ec. 4. 101
De forma que se cumple:
'
a
puente
V
V
ρ= ec. 4. 102
Con lo que ρ es proporcional a la tensión '
aV , tal y como se comprobó en el caso bipolar.
La variación de corriente, ∆Ia, viene dada a su vez por la combinación de las ecuaciones
anteriores:
mod 2
mod( ) (0) ( )
2
puente
a a a
a
V T
I I T I
L
ρ ρ ρ
⋅
∆ = ⋅ − = −
⋅
ec. 4. 103

Modulación PWM 61
La máxima variación de corriente se produce cuando el factor de carga
1
2
ρ = y toma el
valor:
mod
4
puente
aMAX
a
V T
I
L
⋅
∆ =
⋅
ec. 4. 104
Que es la mitad que para el caso bipolar.
La ecuación anterior muestra la dependencia de la variación de corriente en el motor y las
variables del amplificador Vpuente, Tmod y La.
En un caso general, la tensión Vpuente viene definida por la alimentación de la etapa de salida
(puente de transistores) y en la mayoría de las aplicaciones es fija [López-01], la
inductancia La está determinada por las características eléctricas del motor, y sólo Tmod es
controlada externamente. Como se puede comprobar en las ecuaciones anteriores, tanto la
tensión '
aV (que define la velocidad del motor), como la corriente aI (que define el par del
motor) dependen del factor de carga ρ , y por tanto del ciclo de trabajo que se aplica al
modulador ( PWMτ ), así, modificando dicho ciclo de trabajo, se puede controlar, tanto la
velocidad como el par que genera el motor, pudiéndose acelerar, frenar, cambiar el sentido
de giro e incluso detener totalmente el motor. Todo con las ventajas en cuanto a consumo
de potencia aportadas por los convertidores cc, en cuatro cuadrantes, basados en puente
completo y con estrategias de conmutación pwm.

Modulación PWM 62
4.6.- EFECTO DE LA INDUCTANCIA SERIE [Taft-79]
Añadir una inductancia en serie con el motor puede ser beneficioso para reducir el rizado
de la corriente que circula por el motor. Este efecto de suavizado de la inductancia serie
puede analizarse fácilmente a partir de los resultados obtenidos en las dos secciones
anteriores.
Como anteriormente se definió, el rizado de la corriente de armadura, se define como la
diferencia entre (0)ai e mod( )ai Tδ ⋅ . Sin embargo, es más útil definir un término
adimensional como el producto del rizado de la corriente por la resistencia de armadura y
dividido por la tensión de alimentación, según:
mod( ) (0)a a aI i T iδ∆ = ⋅ − : rizado de la corriente de armadura.
Para el caso unipolar:
mod 4 mod 4 mod
mod
(1 )
1
1
a a a
a a a
a
a
R R R
T T T
L L L
a a
R
T
puente L
I R e e e
V
e
δ δ− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅
∆ ⋅ + − −
=
+
ec. 4. 105
Nótese que este resultado es independiente de la velocidad de giro del motor.
Para el caso bipolar
Para el caso bipolar, el rizado de la corriente es exactamente el doble que para el
caso unipolar (téngase en cuenta que en el modo bipolar, la tensión de alimentación
del motor varía entre valores que son el doble que en el caso unipolar), con lo que:
mod 1 4 mod 1 4 mod
mod
(1 )
1
2
1
a a a
a a a
a
a
R R R
T T T
L L L
a a
R
T
puente L
I R e e e
V
e
δ δ− −− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅
∆ ⋅ + − −
= ⋅
+
ec. 4. 106
Si consideramos el caso bipolar exclusivamente, y representamos el rizado
adimensional en función del ciclo de trabajo 1 4
δ −
considerando como parámetro la
relación entre el período de modulación de la señal pwm y la constante de tiempo
eléctrica del motor a
a
L
R
, es decir, si se considera como parámetro:
mod a
a
T R
L
σ
⋅
= ec. 4. 107
Los resultados se pueden analizar en la Fig. 4. 29 obtenida de [Talf-79]

Modulación PWM 63
Fig. 4. 29
Como se comprueba, el pico de rizado tiene lugar cuando el ciclo de trabajo es del
50%. Sin embargo, la magnitud de este pico, depende considerablemente de la razón
σ . Este hecho sugiere que el rizado de la corriente puede reducirse incrementando
el valor de la inductancia serie o reduciendo el período de modulación. El período
de modulación puede reducirse hasta el límite marcado por el tiempo de
conmutación de los transistores de potencia del convertidor continua-continua en
puente completo. Por otra parte, puede añadirse una inductancia en serie, no sin
sufrir algunos inconvenientes.
En primer lugar, hay que tener en cuenta, que el hecho de añadir esta inductancia en
serie no perjudica el comportamiento del motor en régimen permanente, tal y como
anteriormente se demostró, ya que éste sólo depende de la tensión de alimentación
del puente y del ciclo de trabajo de la señal pwm.
En general, suele ser necesario establecer algún lazo de realimentación interno en el
propio convertidor cc-cc. Se ha demostrado que cuando estos convertidores actúan
en lazo abierto, los comportamientos no ideales de los interruptores electrónicos y
del motor introducen no linealidades en la relación entrada/salida del convertidor. Si
se establece un lazo de realimentación interna al propio convertidor, su
comportamiento tenderá en general a ser más lineal. Si este lazo de control interno
al convertidor es un lazo de realimentación de corriente, se obtienen una serie de
ventajas.
Como anteriormente se indicó, la introducción de una inductancia serie adicional no
afecta al régimen permanente, mientras que por el contrario se reduce el rizado de la
corriente de armadura. Sin embargo, sí afecta al régimen transitorio. Para demostrar
este extremo, basta pensar que la respuesta del sistema está limitada, en un sistema
en el que el motor se excita mediante un convertidor cc-cc en puente completo, por
la constante de tiempo eléctrica del sistema. Por tanto, la inductancia a introducir en
serie con el motor de be de elegirse como un valor de compromiso entre el rizado en

Modulación PWM 64
régimen permanente de la corriente y la respuesta en régimen transitorio del lazo de
corriente.

Modulación PWM 65
4.7.- ESTUDIO DE LA POTENCIA DISIPADA POR UN CONVERTIDOR EN
PUENTE COMPLETO CON ESTRATEGIA PWM BIPOLAR [Mohan-95]
Además de la caída de tensión en el interruptor durante la fase de conducción del mismo,
existen otras pérdidas asociadas a los interruptores debidas a la conmutación. Puesto que
uno de los principales motivos en la elección de un convertidor PWM frente a los
convertidores de lineales es la reducción de la potencia disipada en el motor, a continuación
se realiza un pequeño estudio de este aspecto y conocer qué problemas pueden aparecer en
función de la frecuencia de conmutación fmod elegida.
La Fig. 4. 30 presenta la corriente y la tensión puestas en juego en los transistores que
forman parte del convertidor en puente completo en cada uno de los posibles estados por
los que pasa el transistor cuando se realizan las conmutaciones en el convertidor. La señal
de referencia para este estudio es la señal pwm que es la que indica los instantes de las
transiciones entre los diferentes estados de conducción del los transistores. En la figura se
indica el período en on, durante el cuál el transistor está en saturación, y período en off en el
que está en corte.
Fig. 4. 30
La energía perdida durante la conmutación es el área que queda debajo de la curva de
potencia. Puesto que la potencia media se calcula como la energía dividida por el período, a
mayor frecuencia de conmutación, mayores pérdidas. Una forma de reducir este tipo de
pérdidas consiste en modificar el circuito para conseguir que las conmutaciones sucedan en
los pasos por cero de la corriente y/o la tensión.

Modulación PWM 66
Cuando los transistores de potencia funcionan en modo conmutación, no es tan importante
la linealidad entre entrada y salida como el retardo en la respuesta de la salida. Este retardo
es causado por una señal de entrada (indicado en la figura por td).
La duración del período de transición entre un estado y otro se representa por tr. Los
valores ton y toff indican el tiempo total que tarda el transistor en pasar de un estado a otro.
Ambos valores definen el límite superior de la frecuencia de la señal de control del
transistor. Interesan pues dispositivos cuyos períodos de conmutación sean lo menores
posible, tanto para reducir la potencia consumida, como para permitir mayores frecuencias
de conmutación.
La potencia total de pérdidas en el transistor se puede dividir en tres componentes:
- La potencia generada durante el período off (estado de corte), determinada por la
tensión que soporta el transistor y por la corriente de fugas que circula en estas
condiciones.
- La potencia en el período on (estado de conducción), definida por la caída de
tensión en saturación y por la corriente que circula por el transistor en este
período.
- La potencia disipada durante los períodos de transición (ton y toff).
Todas las potencias definidas anteriormente dependen del transistor utilizado, del circuito
en el que está instalado y la frecuencia de conmutación.
La potencia disipada durante el estado de corte es siempre despreciable, y no será
considerada en este estudio. Si la frecuencia de conmutación es baja, la potencia disipada
en el estado de conducción es generalmente la de mayor valor, pero a medida que la
frecuencia aumenta, la potencia disipada en los períodos de transición aumenta
proporcionalmente. Según esta condición, los dispositivos más interesantes en cuanto al
consumo de potencia serán aquellos que tengan una corriente inversa menor, baja
resistencia en saturación, y un período de conmutación mínimo.

Modulación PWM 67
4.8.- EFECTO DEL CONVERTIDOR EN PUENTE COMPLETO SOBRE LA
POTENCIA DISIPADA EN EL MOTOR [Tal-76], [Electro-Craft-85]
Un aspecto importante que debe ser considerado es el efecto que tiene en la potencia de
pérdidas disipada en el motor cuando éste se excita mediante un convertidor en puente
completo con modulación pwm. Si una de las grandes ventajas de estos convertidores frente
a los lineales es la reducción considerable de la disipación producida en el convertidor, se
ha de asegurar que esto no afecta a la potencia disipada en el motor.
La potencia de pérdidas disipada en un motor con una resistencia en la armadura Ra, un par
de rozamiento o fricción interno Cf, un coeficiente de viscosidad bm y con un momento de
inercia Jm y que gira a la velocidad mω , está definida según se obtuvo en el capítulo 3, y
para un motor de imán permanente y de rotor hueco por la ecuación:
dt
d
JbCtiRtP m
mmmmfmaapérdidas
ω
ωωω ⋅⋅+⋅+⋅+⋅= )()()( 2
ec. 4. 108
En el supuesto de que las constantes de par CK y de velocidad VK estén dadas en el
sistema internacional de unidades.
También se considera que si el sistema incluye un convertidor lineal, éste entrega una
corriente I(t) y disipa una potencia PL. Si se trata de un convertidor en puente completo con
modulación PWM, la corriente es IP(t) y la potencia disipada PLP.
La única diferencia entre las corrientes I(t) y IP(t) es que la segunda es la suma de la
primera y una señal triangular S(t) como la mostrada en la en la Fig. 4. 31, que tiene una
variación pico a pico de ∆I:
)()()( tStItIP += ec. 4. 109

Modulación PWM 68
∆
2
∆
2
-
t
S(t)
Fig. 4. 31
La potencia de pérdidas disipada cuando el motor está siendo actuado por un convertidor
lineal PL es:
2
( ) ( ) ( ) m
L a m f m m m m
d
P t R I t C b J
dt
ω
ω ω ω= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ec. 4. 110
En el caso de actuar el motor con el convertidor en puente completo con modulación pwm,
la potencia de pérdidas disipada está definida por la expresión:
2
( ) [ ( ) ( )] ( ) m
LP a m f m m m m
d
P t R I t S t C b J
dt
ω
ω ω ω= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ec. 4. 111
Se puede comprobar que sólo el primer término varía con respecto a la potencia de pérdidas
disipada en el caso del convertidor lineal debido al diferente valor de la corriente. Los
demás elementos permanecen constantes en ambos casos.
2 2 2 2
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 ( ) ( )a p a a a aR I t R I t S t R I t R S t R I t S t⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
ec. 4. 112
A continuación se calcula el valor medio de la potencia de pérdidas disipada en el
convertidor en puente completo con modulación pwm. En la ecuación anterior, el segundo
término de la igualdad incluye el producto de S(t), cuyo valor medio es cero, con la

Modulación PWM 69
corriente I(t). Si ambas señales son no correladas, lo que ocurre en la mayoría de los casos,
el producto resultante tendrá también como valor medio cero. El valor medio del último
término de la igualdad, teniendo en cuenta la Fig. 4. 31, es:
2
( )
12
a
a
R I
R S t
⋅∆
⋅ = ec. 4. 113
Si se considera solamente la diferencia entre los valores medios de ambas potencias PL y
PLP, se obtiene el siguiente valor medio:
( )
2
2 2 2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
12
a
LP L a P a a a
R I
P P R I t R I t R I t S t R S t
⋅∆
− = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
ec. 4. 114
Si valores típicos para ∆I y R podrían ser 2A y 2Ω la diferencia de potencia disipada
resultante es de W32 , un valor poco importante, por lo que se comprueba que el efecto del
convertidor en puente completo con modulación pwm en la potencia de pérdidas disipada
por el motor es despreciable. Se han hecho algunas consideraciones para estos cálculos,
como linealizar la corriente IP, y aunque el resultado final puede variar ligeramente, las
conclusiones pueden ser las mismas. Si lo aplicamos al caso concreto del motor que se ha
utilizado en los experimentos [Minimotors-01], con 5.3aR = Ω y una variación de corriente
de 500MAXI mA∆ = (dato obtenido mediante simulaciones y corroborado con medidas
reales), se obtiene el siguiente resultado
( )
2
110.41
12
a
LP L
R I
P P mW
⋅∆
− = = ec. 4. 115
Que pone de manifiesto una vez más el buen comportamiento de los convertidores en
puente completo con modulación pwm frente a los convertidores lineales, haciendo que los
primeros sean la mejor elección para la actuación sobre los motores de corriente continua.

Modulación PWM 70
4.9.- ESTUDIO DE LOS ARMÓNICOS DE LA CORRIENTE DE ARMADURA
([Slemon-92, pág. 367-369], ver también [Gautier-93]
Sea el convertidor cc en cuatro cuadrantes de la figura:
+Vpuente
M
T1
T2
T3
T4
D1
D3
D4
D2
IAB
VAB
A B
Fig. 4. 32
El valor medio de la tensión en bornes de la armadura, para una estrategia de conmutación
unipolar es, tal y como se obtuvo en el apartado 4.5:
mod mod
on PWM
AB motor puente puente
t
V V V V
T T
τ
= = ⋅ = ⋅ ec. 4. 116
En el régimen permanente, el valor de la velocidad del motor viene dado por:
0 2
mod
puente PWM a elect
V C
V R C
K T K
τ
ω
⋅
= ⋅ − rad/seg. ec. 4. 117
Hay que tener en cuenta una serie de consideraciones a la hora de analizar los motores de
cc excitados con convertidores de cc como el que nos ocupa. En primer lugar hay que
considerar los armónicos de la corriente de armadura cuyo desarrollo en serie de Fourier
viene dado por un término constante, el valor medio obtenido anteriormente

Modulación PWM 71
mod mod
on PWM
AB motor puente puente
t
V V V V
T T
τ
= = ⋅ = ⋅ ec. 4. 118
Y por una serie de armónicos de orden h que tienen la forma:
mod
2
sin( )
puente PWM
h
V
v h
h T
τ
π
π
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅
para h= 1, 2, 3, …V ec. 4. 119
El armónico de mayor amplitud es el primero, para h=1, que tiene lugar a la frecuencia
mod
1
f
T
= , y cuya amplitud es la mitad del valor medio de la tensión de salida:
1
2 puenteV
v
π
⋅
= V ec. 4. 120
La corriente de armadura tiene un armónico a esta frecuencia. Si se desprecia la parte
resistiva del circuito de armadura, el valor eficaz de este armónico de corriente es:
mod1
1 2
1
1
2 2
puente
a a
V Tv
I
L Lω π
⋅
= ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
A ec. 4. 121
Esta corriente incrementará las pérdidas por efecto Joule en el circuito de armadura del
motor.
Para una máquina de cc que trabaja con corriente continuada máxima de valor bI , el
máximo valor de corriente media ai a la que debe de someterse dicho motor debe de
limitarse a:
1
2 2 2
1[ ]a bi I I= − A ec. 4. 122
Hay además otros armónicos en la corriente de armadura. Sin embargo, sus efectos sobre el
calentamiento de la armadura son pequeños ya que Ih (valor eficaz del armónico h de la
corriente de armadura) es proporcional a 1/h2
y por tanto, 2
hI es proporcional a 1/h4
, con lo
que la ecuación anterior da una idea razonable del régimen máximo de funcionamiento de
un motor de cc cuando éste se alimenta con un convertidor cc.
El rizado en la corriente de armadura, también puede provocar problemas en la
conmutación de la máquina. Es frecuente que los fabricantes especifiquen el rizado máximo
de la corriente de armadura admisible. La reducción del rizado de la corriente de armadura

Modulación PWM 72
puede conseguirse aumentando la frecuencia de conmutación, o bien añadiendo una
inductancia en serie con el motor (tiene muchos inconvenientes como ya se ha reseñado).

Modulación PWM 73
4.10.-ELECCIÓN DE LA FRECUENCIA DE CONMUTACIÓN [Tal-76]
Las principales consideraciones que se han de tener en cuenta a la hora de fijar la
frecuencia de conmutación de un convertidor en puente completo para accionar motores de
cc son:
1.- La frecuencia de conmutación debe de ser lo suficientemente grande como para
que la reactancia de armadura del motor a esta frecuencia sea mucho mayor que su
resistencia, es decir, que
aa RLf >>⋅⋅⋅ mod2 π ec. 4. 123
Que es lo mismo que establecer un límite para el rizado de la corriente de armadura.
Para el caso concreto del motor utilizado en los experimentos: 5.3aR = Ω ,
580aL Fµ= , se obtiene que mod2 72.88a af L Rπ⋅ ⋅ ⋅ = Ω >> , que es un orden de
magnitud mayor.
2.- La frecuencia de conmutación debe de ser lo suficientemente alta como para que
el motor no responda a ella. Es decir, que si el ancho de banda del motor es ABservof ,
la frecuencia de conmutación debe de cumplir:
ABservoff ⋅>10mod ec. 4. 124
3.- La frecuencia de conmutación debe de ser mayor que la frecuencia de resonancia
del sistema (véase también [Electro-Craft-85, págs.2.20-2.27 y 2.63-]).
sistemaresonanciaff _mod > ec. 4. 125
El fabricante del motor utilizado en los experimentos [Minimotors-01], indica que
se pueden producir vibraciones en el motor del orden de 5-10 g a frecuencias de
1000Hz, que sin embargo no limitan su funcionamiento.
4.- Las condiciones anteriores indican que es interesante incrementar tanto como se
pueda la frecuencia de conmutación, sin embargo, este incremento también tiene sus
inconvenientes, puesto que las pérdidas en los transistores también aumentan a
medida que aumenta la frecuencia de conmutación, con lo que es conveniente
mantener lo más baja posible la frecuencia de conmutación, siempre y cuando se
salven las anteriores condiciones.
5.- Es necesario establecer un tiempo muerto para evitar cortocircuitar la tensión de
alimentación del puente a través de los dos transistores de una rama del puente. Este
tiempo muerto, también limita la frecuencia de conmutación del convertidor. (El
lector interesado puede consultar las referencias [López-01] y [Contreras-03] donde
se implementa un sistema digital de introducción variable de este tiempo muerto).

Modulación PWM 74
4.11.- EFECTOS SOBRE LOS MOTORES DE CC DE LA EXCITACIÓN DE LOS
MISMMOS MEDIANTE RECTIFICADORES Y CONVERTIDORES CC/CC EN
LUGAR DE CON CORRIENTE CONTINUA PURA.
Los motores de corriente continua, se diseñaron originalmente para ser excitados con
señales de corriente continua pura, o bien con un rizado mínimo [Robinson-68]. Sin
embargo, debido a los inconvenientes que presenta el poder disponer de este tipo de fuentes
primarias de energía (baterías y dinamos), en la mayor parte de las aplicaciones, dichos
motores de cc se alimentan, bien a partir de fuentes de corriente alterna (en general, de la
red eléctrica convencional) mediante rectificadores (o mediante rectificadores no
controlador más convertidores cc/cc) o bien a partir de baterías, mediante convertidores de
cc/cc, ya que es necesario, en general, cambiar los niveles de tensión y/o corriente que
suministran las baterías. Por tanto, en ambos casos, tanto si se excitan a partir de
rectificadores, como si lo hacen a partir de convertidores de cc/cc, la tensión de salida tiene
cierto contenido en armónicos. Esto hace que la intensidad de armadura, en vez de tener un
valor constante ideal, presente también una serie de armónicos que producen unos efectos
perjudiciales en el funcionamiento del motor. Dichos efectos son los que se estudian en este
apartado. Para realizar este estudio, el autor se ha basado fundamentalmente en los trabajos
de [Ewing-68], [Robinson-68], [Mukhopadhyay-73], [Hamilton-80], [Jamil-89], [Alonso-
95] y [Mohan-95].
Fruto del interés suscitado por esta problemática, ya en el trabajo de [Robinson-68], se
tratan de revisar los conceptos de diseño y construcción de los motores de cc para así llegar
a nuevos diseños que minimicen los efectos adversos del uso de rectificadores y
convertidores de cc/cc, de forma que se puedan explotar mejor las principales ventajas que
tienen estos convertidores electrónicos para el control de motores de cc frente a los
convertidores lineales donde el rizado puede considerarse como despreciable.
Por otra parte, los armónicos del voltaje de salida del convertidor dependen del tipo de
convertidor de que se trate. Por tanto los armónicos de la corriente de armadura también
dependerán del tipo de convertidor y de la estrategia de conmutación de los interruptores
electrónicos que lo forman, tal y como se ha puesto de manifiesto en los apartados
precedentes.
Antes de abordar el efecto del rizado de la corriente de armadura, conviene recordar que
[Robinson-68] y [Alonso-95]:
- El valor medio de la corriente es el que produce el par electromecánico
desarrollado por el motor.
- El valor eficaz de la corriente es el que produce calor en el devanado de la
armadura por efecto Joule.
- El valor de pico de la corriente es el que estropea la conmutación en el colector.
Teniendo esto último en cuenta, la utilización tanto de rectificadores como de convertidores
de cc/cc, en la excitación de motores de cc ha generado los siguientes problemas como
consecuencia del rizado generado en la corriente de armadura:

Modulación PWM 75
- Aumento del Factor de Forma.
- Aumento de la constante de tiempo eléctrica del motor.
- Aumento de las pulsaciones o rizado del par electromecánico generado por el
motor.
A continuación, se estudiarán cada uno de estos problemas.
4.11.1.- Aumento del Factor de Forma
El factor de forma de la corriente de armadura se define como:
aMEDIA
aRMS
I
I
FF = ec. 4. 126
Donde aRMSI es el valor eficaz de la corriente de armadura e aMEDIAI es el valor
medio.
El FF sólo es 1, que es el caso ideal, si la corriente de armadura es continua pura
(cuando más rizado tenga, mayor será el FF).
Las principales repercusiones, todas ellas negativas, que tiene el hecho de que el FF
sea mayor que la unidad son:
− Aumento de las pérdidas adicionales en el cobre
La potencia de entrada al motor, y por tanto la potencia de salida, varían
proporcionalmente con el valor medio de la corriente de armadura,
mientras que las pérdidas en la resistencia de la armadura dependen del
valor eficaz de la corriente. Así, lo que se exige al motor es que
proporcione en cada instante un par motor adecuado. Como se sabe, éste
par viene dado por la expresión:
electromecánico C aMEDIAC K I= ⋅ ec. 4. 127
Las componentes alternas de la intensidad, no proporcionan par útil, pero
sí originan pérdidas suplementarias por calentamiento definidas por la
expresión:
2
aRMSa IRPérdidas ⋅= ec. 4. 128
Por tanto, si el FF aumenta, aumentan las pérdidas y baja el rendimiento
[Robinson-68], ya que

Modulación PWM 76
_ _
_ _
electromecánico
útil de salida motor
entrada pérdidas útil de salida
C
P
P P P
ω
η = =
+
ec. 4. 129
− Aumento de la resistencia aparente de armadura
Cuando la corriente de armadura tiene un elevado FF, el aumento de las
pérdidas por efecto Joule en el devanado de armadura, tal y como se
estudió en el apartado anterior, provoca un aumento de la temperatura de
dicho devanado. A su vez, este aumento de temperatura, provoca el
consiguiente aumento de la resistencia de armadura según se estudió en
el capítulo 2.
La resistencia aparente puede llegar a ser dos órdenes de magnitud
mayor que la resistencia medida en cc o incluso más, según se pone de
manifiesto en los trabajos de [Parimelalagan-71], [Damle-76] y
[Hamilton-80]. La diferencia entre la resistencia aparente y la medida en
cc es debida al efecto pelicular y de proximidad en los conductores y a
las pérdidas por histéresis y por corrientes de Foucault en el núcleo. En
[Ewing-68] se ha desarrollado un modelo de circuito equivalente,
recogido posteriormente también en [Electro-Craft-85], que incluye los
efectos eléctricos y magnéticos en el motor y que es útil para trabajar
con sistemas con rizado en la corriente de armadura. Estas pérdidas se
asocian generalmente a las pérdidas diversas en carga (stray load
losses). En aplicaciones típicas de control con convertidores cc/cc estas
pérdidas diversas en carga pueden llegar a ser de un orden de magnitud
mayores que lo convencionalmente asumido como del 1% (véase
también [Safiuddin-90]). Dichas pérdidas, pueden incluso llegar a ser
mayores que las pérdidas por efecto Joule.
En [Damle-76], se afirma que la resistencia de la armadura se incrementa
un 33% debido a que el factor de forma es mucho mayor que 1, debido al
aumento de las pérdidas por corrientes de Foucault y al efecto pelicular.
Para ello se basa a su vez en el trabajo de [Parimelalagan-71]. Los
resultados del estudio indican que:
- Para cargas bajas, las curvas de par y de corriente experimentales
y las obtenidas con la resistencia aumentada en un 33% son
bastante semejantes.
- Para cargas fuertes, las curvas de par y de corriente obtenidas
experimentalmente y las obtenidas teóricamente (es decir
calculadas con la resistencia medida en corriente continua) son
bastante semejantes, más que las obtenidas con la resistencia
incrementada.

Modulación PWM 77
La razón que explicaría estos resultados, es que cuando la carga es baja,
el efecto del rizado en la corriente de armadura es muy importante, y la
resistencia efectiva está muy cercana al valor supuesto de la resistencia
incrementada en un 33%, mientras que para el caso de cargas fuertes, el
efecto del rizado es mucho más pequeño debido a los altos valores de
corriente que se necesitan suministrar al motor para conseguir mover
este tipo de cargas.
Por tanto, el contenido en armónicos de la corriente es muy importante
para poder establecer el rendimiento de la máquina, factor de gran
importancia en sistemas cuya fuente primaria de energía son baterías.
− Aumento de las pérdidas adicionales en el hierro
Los armónicos de corriente, además de las pérdidas suplementarias de
calentamiento en el cobre, originan pérdidas adicionales en el hierro, ya
que como se sabe dichas pérdidas, pérdidas por histéresis y por
corrientes de Foucault, son dependientes de la frecuencia. Medidas
experimentales demuestran que el conjunto de ambas pérdidas
suplementarias (cobre+hierro) pueden expresarse satisfactoriamente por
la siguiente relación [Alonso-95]:
22
( ) (1 )Cu Fe adicionales a aMEDIAP R I FF+
 = ⋅ ⋅ +  ec. 4. 130
En [Jamil-89] y [Jamil-90] se estudian, mediante el método de los
elementos finitos, los motores de imán permanente con hierro en el
rotor y se comparan las pérdidas que se obtienen cuando se alimenta el
motor con cc pura y cuando se hace mediante un convertidor cc/cc. La
corriente de la armadura en este caso es muy rica en armónicos, factor
éste que reduce la eficiencia del motor.
Algunos de los factores que influyen en los armónicos de la corriente de
armadura están relacionados con los parámetros de la máquina, como la
constante de tiempo eléctrica de la armadura
a
a
e
R
L
=τ . Otros factores
dependen de las condiciones de funcionamiento del sistema motor-
convertidor cc/cc, como por ejemplo de la frecuencia de conmutación
del convertidor cc/cc modf , del ciclo de trabajo
mod
PWM
T
τ
, de la fcem
inducida ve del motor, que a su vez es función de la velocidad de giro
del mismo.

Modulación PWM 78
Se puede considerar que la potencia de entrada al motor está formada por
una componente continua más una componente alterna. La componente
alterna a su vez está formada por varios armónicos, y por tanto, los
instrumentos que se deben de utilizar para realizar las medidas de las
diferentes magnitudes eléctricas deben de ser del tipo de verdadero valor
eficaz (TRMS).
Los resultados de la investigación de [Jamil-89] y [Jamil-90], en la que
el convertidor cc/cc utilizado es de un cuadrante y los rangos de
frecuencia de conmutación de [145Hz a 1500Hz], son:
- Las pérdidas por histéresis del sistema motor-convertidor cc/cc se
incrementan en un 73% en relación con el caso de que se
alimente el motor con corriente continua pura en el caso de
funcionamiento con corriente en modo discontinuo, y un 38% en
el caso de funcionamiento con corriente en modo continuado.
- Las pérdidas por corrientes de Foucault se incrementan en un
47% en el caso de funcionamiento con corriente discontinua y un
10% en el caso de funcionamiento con corriente continuada.
- Las pérdidas totales en el hierro se incrementan en un 63% en el
caso de funcionamiento en modo discontinuo.
Sin embargo, el rendimiento general del sistema convertidor cc/cc-
motor, a pesar de este aumento en las pérdidas, es mejor que el del
sistema alimentado con corriente continua pura (por ejemplo con el
grupo Ward-Leonard).
Estos resultados no son inusuales para máquinas accionadas con
circuitos electrónicos debido al alto contenido en armónicos de la
corriente de armadura.
Como se comentó con anterioridad, la magnitud de los armónicos de la
corriente se reduce incrementando la frecuencia de conmutación del
convertidor cc/cc, y por tanto, también se reducen las pérdidas por
histéresis y por corrientes de Foucault.
Las pérdidas en los imanes permanentes del estator, si son de ferrita o de
tierras raras son insignificantes comparadas con las pérdidas de los
núcleos laminados. En el caso de que el imán sea de AlNiCo, estas
pérdidas son considerablemente más bajas que las pérdidas en el núcleo
de hierro del rotor.
Como se argumentó en el capítulo 3, estas pérdidas en el caso de
motores de rotor hueco son nulas.

Modulación PWM 79
- Problemas de conmutación
Un FF mucho más alto que la unidad, implica un valor muy alto de los
picos de la corriente de armadura comparado con su valor medio.
Además, dependiendo de la frecuencia del rizado y de la inductancia
propia del circuito de armadura, se puede provocar un fuerte chiporroteo
que deteriora rápidamente las escobillas y la superficie de deslizamiento
de las delgas del colector.
Al suponerse los armónicos a la componente fundamental, el valor
máximo de la intensidad a conmutar crece, de forma que puede llegar a
ser difícil de conmutar, lo que en determinadas circunstancias (en
especial en el caso de velocidades muy altas) o a partir de ciertos límites,
puede resultar inadmisible.
Para evitar provocar graves daños al colector debido a los altos picos de
corriente, se puede hacer trabajar al motor por debajo de sus máximos,
para así mantener la temperatura del motor por debajo ciertos límites y
proteger así el colector y las escobillas. Por tanto, es deseable mejorar el
factor de forma tanto como sea posible.
El problema de la conmutación de la corriente de armadura en el
colector, cuando se alimenta a la máquina de cc con rectificadores o con
convertidores cc/cc no es sólo un problema severo debido a que los picos
de la corriente de armadura son mucho mayores que su valor medio, sino
también porque se produce un aumento de las pérdidas por corrientes de
Foucault en el núcleo del rotor que provoca un desfase de la corriente de
armadura (recuérdese que ésta es la corriente que genera el flujo de
reacción de inducido), de forma que se produce un desplazamiento de la
línea neutra magnética, no realizándose la conmutación en las escobillas
a tensión nula [Robinson-68]. Este problema es especialmente delicado,
cuando por razones dinámicas se necesitan velocidades de crecimiento o
de inversión de la corriente muy altas, ya que en estos casos pueden
producirse sobretensiones de conmutación inadmisibles, que conducirían
también a un rápido deterioro del colector.
En la Fig. 4. 33, obtenida de [Robinson-68] se puede comparar la
conmutación de la corriente de armadura en las delgas del colector en
dos casos: con cc pura y con cc con rizado, en la que se puede observar
cómo se generan las chispas durante la conmutación.

Modulación PWM 80
Fig. 4. 33
Estos fenómenos se pueden mejorar cuidando el diseño de las escobillas
y de las delgas del colector en lo que se refiere a sus dimensiones y su
composición (el lector interesado puede analizar las soluciones que dan
los diferentes fabricantes para la mejora de la conmutación, véase por
ejemplo el sistema CLL de MAXON en [Maxon-01]).
Se pueden hacer mejoras en el diseño de los motores de cc que ayuden a
mejorar estos efectos negativos del rizado de la corriente de armadura.
Por ejemplo, para reducir las corrientes de Foucault, responsables del
desfase de la corriente de armadura que se generan en el núcleo de la
armadura, se pueden utilizar aceros laminados de alta resistencia, con lo
que se disminuyen dichas corrientes y por tanto sus pérdidas asociadas.
En el caso del motor utilizado en los experimentos, tal y como se ha
comentado en el capítulo 3 dedicado a los motores de imán permanente y
rotor hueco, como se sabe no hay pérdidas por corrientes de Foucault en
el núcleo, por tanto, no se produce apenas el desplazamiento de la línea
neutra magnética con respecto a la línea neutra geométrica. Además, otro
factor que mejora la conmutación, haciéndola muy próxima al caso ideal,
es que la inductancia de este tipo de motores es muy baja.

Modulación PWM 81
4.11.2.- El aumento de la constante de tiempo eléctrica del sistema motor-
convertidor cc/cc.
La constante de tiempo eléctrica del motor, definida por la expresión
a
a
e
R
L
=τ ,
aumenta, ya que aumenta el valor de la resistencia aparente de armadura Ra según se
ha argumentado anteriormente. Además, al aumento propio de la resistencia de
armadura, hay que sumarle la resistencia equivalente de los interruptores de
potencia (transistores MOSFETs que están en serie con el motor). Por tanto, la
constante de tiempo eléctrica del conjunto motor-convertidor cc/cc baja (en el
supuesto de que la inductancia La se mantenga constante o no baje debido a efectos
de saturación) lo cual ocasiona un aumento del rizado de la corriente de la armadura
con respecto al inicialmente previsto.
Por otra parte, dicho aumento de la constante de tiempo eléctrica del motor puede
ocasionar desajustes en el controlador del sistema, que deben de ser tenidos en
cuenta a la hora de su diseño.
4.11.3.- Pulsaciones del par
Como el par electromecánico instantáneo generado por el motor es proporcional a la
corriente de armadura
( ) ( )elec C aC t K i t= ⋅ ec. 4. 131
Un rizado en la corriente de armadura se traduce en un rizado en el par [Mohan-95]
y por tanto, en un rizado en la velocidad si la inercia no es muy grande. Esta es otra
razón para minimizar el rizado de la corriente de armadura.
Debe de tenerse en cuenta que una alta frecuencia de rizado en el par provocará
fluctuaciones de la velocidad muy pequeñas si las comparamos con un rizado de
baja frecuencia de la misma magnitud.
Por tanto, interesa, que el rizado sea lo más bajo posible y además de la más alta
frecuencia posible.
Así, y a la vista de los estudios anteriores, hay que buscar configuraciones de convertidores
electrónicos que reduzcan el rizado lo más posible [Tal76], [Taft-79], [Mohan-95], [Rashid-
95], [Shepherd-95].
Una de las formas de reducir el valor de pico de la corriente de armadura es insertar en serie
con el motor una inductancia, lo que provocará que la corriente se alise y el valor de pico
disminuya, con lo que se mejorará la conmutación. Pero este método tiene graves
inconvenientes como anteriormente se pusieron de manifiesto [Robinson-68]

Modulación PWM 82
Otra forma de mejorar el rizado es mediante un lazo de realimentación de corriente, como
por ejemplo el propuesto en [Mukhopadhyay-73]. En este trabajo se plantea un esquema de
control de corriente que permite que el motor trabaje con corriente continuada
independientemente de la carga, y sin añadir una bobina en serie. Además, este lazo de
realimentación de corriente permite además de controlar que se funciona siempre a
corriente continuada, controlar también el rizado de la corriente de armadura. Para ello, se
establece un umbral máximo del valor de la corriente, así como un umbral mínimo. Si la
corriente supera el umbral máximo, se desconecta el motor de la fuente y la corriente decae
a través del diodo de libre circulación. Si la corriente cae por debajo del umbral mínimo, el
motor se conecta a la fuente, con lo que el valor de la corriente de armadura se controla
cerca de su valor medio.

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