![Solución : Se tiene que la función es continua para todo x real, por lo que será continua en un intervalo. Luego trabajamos conociendo que f(0) = 0. Nos tomamos entonces el inter- valo siguiente [–1,1] y realizando cuentas:f(-1) = 1 y f(1) = 1, entonces f(-1).f(1) > 0. Con lo que no se cumple las condiciones de Hipótesis de Bolzano, por lo que podemos concluir:](https://image.slidesharecdn.com/neves-111216054410-phpapp02/85/Neves-20-320.jpg)
Neves
- 1. Biografía Planificación de Clase Metodología TEOREMA DE BOLZANO
- 2. OBJETIVOS 1) Lograr la participación de los alumnos a través de las propuestas planteadas. 2) Demostrar el Teorema de BOLZANO. 4) Estimular la comunicación en general con un lenguaje matemático en particular. 3) Mostrar aplicaciones del Teorema.
- 3. Teorema de Bolzano INTRODUCCIÓN INTUITIVA
- 4. A) Representamos una función continua en el intervalo [a,b[, con f(a).f(b)<0 ¿Puede una función continua en un intervalo tal que f(a).f(b)<0, no cortar el eje Ox? f(b) f(a) a b
- 5. B) Representamos una función continua en el intervalo, con f(a)>0 yf(b)>0 , y que corte el eje Ox. ¿Existe una función continua en un intervalo, que corte el eje Ox tal que f(a).f(b)>0? f(b) f(a) a b
- 6. C) Representamos una función continua en el intervalo cerrado [a,b[ , con f(a)>0 yf(b)>0, y que no corte el eje de las abscisas C) f (b) f(a) a b
- 7. D) Representamos una función no continua en el intervalo, con f(a).f(b)<0 f(b) f(a) a b
- 8. PREGUNTA I) Pregunta: De los cuatro primeros gráficos, Qué conclusiones puede realizar?
- 9. f(b) f(a) a b f(b) f(a) a b f (b) f(a) a b f(b) f(a) a b
- 10. OBSERVACIONES A) Si los dos valores funcionales de los extremos tienen signos distintos, la función corta el eje Ox. B) Si la función corta el eje y los valores funcionales de los extremos tienen el mismo signo, la misma cortará el eje un número par de veces, o no lo cortará. C) Si la función tiene los valores funcionales de los extremos de distinto signo y no corta el eje Ox, entonces no es continua.
- 11. Teorema de Bolzano ENUNCIADO Y DEMOSTRACIÓN
- 12. Enunciado: f(b) f(a) a b
- 13. f(b) f(a) a b Dem:
- 14. En 2) y 3) se producen contradicciones debido al supuesto falso por lo tanto dada la propiedad de Tricotomía: Quedando demostrado el teorema de Bolzano “ Si f es continua en un intervalo [a,b[ de su dominio y f(a). f(b)<0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo”. Obs: Si suponemos f(a)>0 se demuestra análogamente.
- 15. Teorema de Bolzano EJERCICIOS DE APLICACIÓN
- 18. PREGUNTA II ¿Es el teorema de Bolzano una condición suficiente, (de la existencia de ceros en un intervalo)?, dadas sus condiciones ¿es necesaria?
- 19. Ejercicio :2) Presentamos como Corolario del Teorema de Bolzano, el siguiente ejemplo, que nos permite observar si dicho teorema es: condición suficiente pero (y o no) necesaria . ,
- 20. Solución : Se tiene que la función es continua para todo x real, por lo que será continua en un intervalo. Luego trabajamos conociendo que f(0) = 0. Nos tomamos entonces el inter- valo siguiente [–1,1] y realizando cuentas:f(-1) = 1 y f(1) = 1, entonces f(-1).f(1) > 0. Con lo que no se cumple las condiciones de Hipótesis de Bolzano, por lo que podemos concluir:
- 21. CONCLUSIONES II El teorema de Bolzano es una condición suficiente pero no necesaria, puesto que existiendo valores funcionales iguales a cero, siendo además continua la función, entonces los valores funcionales extremos no presentan distinto signo.