Mapas De Karnaug Y Sistemas Combinatorios

1. INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS 1.2 MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH

1. MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH.
En el capítulo anterior se resolvieron problemas que dependiendo del número de términos que
tenía la función canónica, el número de compuertas lógicas utilizadas es igual al número de términos
obtenidos MAS UNO, por lo tanto, los circuitos obtenidos son de dos niveles con un tiempo mínimo de
retardo, pero que de ninguna manera es el más sencillo ni el más económico.

El objetivo de este capítulo es dar a conocer la mayoría de los métodos utilizados para
minimizar funciones canónicas y así poder construir un circuito con menor número de compuertas.

Los métodos utilizados para la minimización de funciones Booleanas son: El algebraico, para
lo cual se utilizan los postulados y teoremas del álgebra de Boole y el método gráfico de Karnaugh.

2.1 Minimización por mapas de Karnaugh.
Los mapas de Karnaugh es uno de los métodos más prácticos. Se puede decir que es el más
poderoso, cuando el número de variables de entrada es menor o igual a seis; más allá, ya no es tan
práctico. En general, el mapa de Karnaugh se considera como la forma gráfica de una tabla de verdad,
o como una extensión del diagrama de Venn.
Antes de explicar como se utiliza el mapa de
Karnaugh en la minimización de funciones, veremos
como se obtiene el mapa. Esto nace de la representa-
ción geométrica de los números binarios. Un número
binario de n bits, puede representarse por lo que se
denomina un punto en un espacio N. Para entender lo
que se quiere decir con esto, considérese el conjunto de
los números binarios de un bit, es decir, 0 y 1. Este
conjunto puede representarse por dos puntos en un espacio 1; esto es, por dos puntos unidos por una
línea. Tal representación se denomina un cubo 1.
De la Figura 2.1 se observa que el cubo 1 se obtuvo proyectando al cubo 0 y que el cubo 2 se
obtendrá proyectando al cubo 1.
De la Figura 2.2.(a), se observa que al reflejarse
el cubo 1 se obtiene un cuadrilátero cuyos vértices
representan un número binario. Estos números se
obtienen al agregar un 0 a la izquierda de los vértices
del cubo que se refleja y un 1 a la izquierda de los
vértices del cubo reflejado. Del cubo 2 se observa que
se obtienen cuatro vértices, los cuales corresponden a
la combinación de dos variables (22=4), pero si se sigue
la trayectoria indicada en la Figura 2.2.(b), se podrá
observar que al pasar de un vértice al otro, existe un
solo cambio, lo que da lugar a un código especial,
debido a que no sigue la formación del código binario.
Más adelante le daremos un nombre a este código.

A B

0 0
0 1
1 1
1 0

Ahora, si a cada vértice del cubo 2 se le asigna un casillero, se tendrá la siguiente Figura 2.3.

R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-28


De la Figura 2.3.(b), si proyectamos
el cubo 2, obtendremos el cubo 3, el cual
se muestra en la Figura 2.4.
De la Figura 2.4.(4b), si seguimos
la trayectoria marcada por las flechas,
obtendremos la tabla de la Figura 2.4.(c),
en donde de un carácter a otro existe un
solo cambio; otra característica de la
tabla, es el reflejo que existe entre los
caracteres 1-2 y 5-6 de la columna C y el
reflejo entre los caracteres 2-3-4 -5 en la
columna B. El reflejo que existe siempre
es con respecto al eje central de simetría.

Ahora que tenemos el cubo 3, podemos
obtener la representación en la forma de la Figura
2.3.(a), (b) y (c), lo cual se logra haciendo un corte
al cubo 3, como se muestra en la Figura 2.5.

El levanta
miento del cubo
3, a partir de la
Figura 2.5, se
muestra en la
Figura 2.6.

Ahora, si
asignamos una
área a cada pun-
to, como se muestra en la Figura 2.7, se obtendrá la representa-
ción que se denomina mapa del cubo N, que en este caso fue
desarrollado para un cubo 3.

Como se tienen ocho casilleros, éstos corresponden a la combinación de tres variables, las
cuales pueden ser A, B y C, siendo A la más significativa y C la menos significativa, por lo que la tabla
funcional para la primera tabla corresponde al código binario y la otra corresponde al código especial,
que en realidad de conoce como código de GRAY o código reflejado. Como veremos, ambos códigos
están implícitos en el mapa de Karnaugh.



CÓDIGO
DEC BINARIO GRAY (o reflejado)
A B C G1 G2 G3
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 0 1 1
3 0 1 1 0 1 0
4 1 0 0 1 1 0
5 1 0 1 1 1 1
6 1 1 0 1 0 1
7 1 1 1 1 0 0

Si observamos el mapa de la Figura 2.8.(d), cada casillero tiene asignado un número, el cual
corresponde a un número del código binario. De la misma figura pero del inciso (e), si seguimos la
trayectoria marcada por las flechas, cada número representa a un carácter del código Gray. En la tabla
anterior, se muestran las tablas de cada uno de los códigos mencionados.

2.2 Procedimiento para minimizar una función por mapas K
En forma definitiva, el mapa que se utilizará para la minimización de funciones booleanas con
tres variables, será el que se muestra en la Figura 2.9.(d). A continuación explicaremos la forma como
se utilizará este mapa. Los pasos a seguir serán los mismos para cualquier mapa, no importa cual sea
el número de variables.

1. De la definición del problema y de la tabla funcional se obtiene la función canónica.

2. Los minitérminos o maxitérminos de la función canónica se trasladan al mapa K. Se coloca
un 1 si es minitérmino y 0 si es maxitérmino.

3. Se realizan los enlaces abarcando el mayor número de términos bajo los siguientes criterios:
a). El número de términos que se enlazan (agrupan) deben seguir la regla de formación
binaria, es decir, de 1 en 1, de 2 en 2, de 4 en 4, de 8 en 8, etc.



b). Al agrupar los términos, se debe
cuidar la simetría con los ejes
centrales y secundarios (ver figura adjunta).
4. El hecho de que se haya tomado un
término para un enlace no quiere decir
que éste mismo no pueda utilizarse para
otros enlaces.

5. La función reducida tendrá tantos térmi-
nos como enlaces se hayan realizado.

6. Para obtener el término reducido se
realizan dos movimientos sobre el mapa,
uno vertical, que barre a las variables
más significativas y uno horizontal, que barre a las variables menos significativas.
7. Se aplican los siguientes postulados y teoremas:

EJEMPLO 1. Diseñar un circuito que detecte los números pares para una combinación de 3
variables de entrada.
SOLUCIÓN
a) Diagrama de bloques. El diagrama a blo-
ques se presenta en la figura adjunta.

b) Tabla funcional. Para propósitos del proble-
ma, se considera al 0 como un número par.

DEC A B C Z

0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0

c) Función canónica. De la tabla
funcional, se tiene:

d) Reducción por mapas K. La
figura adjunta muestra los mini-
términos de la función de con-
mutación y los enlaces corres-
pondientes.

e) Obtención de la función redu-



cida. Del mapa, se observa que existen dos enlaces; por tanto, la función reducida tendrá dos
términos, de acuerdo con el paso 5 del procedimiento de reducción.

Para cada enlace, se realiza el barrido para cada una de las variables. Por orden, es
conveniente iniciar con la variable de mayor peso binario, en este caso A.

Como se muestra en la figura adjunta,
al realizar el barrido, una parte del
enlace (1), el elemento 6, se encuentra
dentro del barrido y otra, el elemento
2, fuera de él. Esto indica que se tiene
A • A = 0 , por lo que esa variable no
participa, se elimina del término redu-
cido.

Para mayor claridad, tomemos la suma
de los minitérminos 2 y 6:

Como puede verse, la variable A se elimina del término reducido.
La figura adjunta presenta el barrido
de B. En este caso, el enlace (1) está
contenido dentro del barrido, lo cual
corresponde a B • B = B , lo que sig-
nifica que esta variable forma parte del
término reducido.
Finalmente, el barrido de la variable C,
de menor peso binario, es horizontal y
se muestra en la siguiente figura.
Claramente se observa que el enlace
(1) está fuera del barrido, es decir se
encuentra en , indicando que dicha
variable forma parte del término reducido.
El término reducido, correspondiente al
enlace (1) es:

Siguiendo el mismo procedimiento y
apoyándonos en las tres figuras previas,
se encuentra que para el enlace (2) el
término reducido es . La función
reducida en este primer ejemplo es:



f) El logigrama queda:

EJEMPLO 2. Colector automático de peaje. Se han introducido colectores automáticos de peaje
en diversas casetas de autopistas para acelerar el flujo del tráfico. Se nos pide
construir un circuito lógico que sea parte del colector automático. Este circuito es
para contar la cantidad de monedas que han sido colocadas en el colector. Si se
depositan 15 pesos (únicamente monedas de cinco y diez pesos), entonces se
enciende una luz de pasa (color verde) y se envía una señal al colector para
recolectar las monedas; de otra manera, la luz de alto (color rojo) permanecerá
encendida.
SOLUCIÓN
Examinando el planteamiento del problema, se observa que hay dos señales de entrada y una
señal de salida.
C = Número de monedas de cinco pesos depositadas.
D = Número de monedas de diez pesos depositadas.
Z = Comando para la señal luminosa y el control de recolección.
Estas variables tomarán los siguientes valores enteros y lógicos.

0#C#3 Número de monedas de cinco pesos.
0#D#1 Número de monedas de diez pesos.
Z=0 No contiene los 15 pesos (luz roja).
Z=1 Si contiene los 15 pesos (luz verde).

Ahora, se puede decodificar la información como sigue:
C = [c1,c2] ;[0,0] cero pesos
[0,1] cinco pesos
[1,0] diez pesos
[1,1] quince pesos
D = [d1] ;[0] cero pesos
[1] diez pesos



a) Tabla funcional:

DEC c1 c2 d1 Z
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1 Una moneda de 5 y una de 10
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1 Dos monedas de 5 y una de 10
6 1 1 0 1 Tres monedas de 5
7 1 1 1 1 Tres monedas de 5 y una de 10

De la tabla funcional, se observa que Z = 1 si el número de monedas de 5 y 10 pesos suman
15 o más pesos, en caso contrario será igual a cero. Cuando ocurren las combinaciones 5 y
7, quiere decir que el conductor ha depositado monedas de más, lo que le dará la señal de
siga, pero no le devolverán ningún cambio.
b) Función canónica: Considerando la tabla funcional, se puede expresar a Z como una función
de minitérminos, en la forma:

c) Reduciendo por mapas K:

d) Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior para cada uno de los enlaces del mapa
K, se obtiene la siguiente función reducida:

e) De la función reducida, obsérvese que
ésta se complementó 2 veces y después se
aplicó uno de los complementos, de tal manera
que cada uno de los términos puede generarse
por medio de una compuerta No Y. Por tanto,
el logigrama se presenta en la figura adjunta.



EJEMPLO 3. Un contador digital contiene un registro de 3 bits. El contador cuenta desde 0 = [0 0
0] hasta 7 = [1 1 1], se restablece y
empieza la cuenta nuevamente.
Este contador se usa, como se
muestra en el diagrama a bloquea
adjunto, para generar tres señales
de control C1, C2 y C3. Estas seña-
les toman un valor de 1, de acuerdo
con las siguientes condiciones:
C1 = 1 para una cuenta de 0, 1, 3, 5
y7
C2 = 1 para una cuenta de 0, 3, 5 y 6
C3 = 1 para una cuenta de 0, 3, 4 y 7
Diseñe un circuito lógico que genere C1, C2 y C3.

SOLUCIÓN
a) Tabla Funcional: Para este caso en particular, no es necesario realizar la tabla funcional, ya
que las condiciones del problema definen claramente para qué valores de entrada las
funciones de salida tienen un valor de 1; es decir, los minitérminos asociados a cada función
de salida. Sin embargo, por procedimiento, siempre es conveniente realizar la tabla funcional:

X3 X2 X1 mi C1 C2 C3
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 2 0 0 0
0 1 1 3 1 1 1
1 0 0 4 0 0 1
1 0 1 5 1 1 0
1 1 0 6 0 1 0
1 1 1 7 1 0 1

b) Funciones lógicas de conmutación de las variables de salida:

C 1 (X 3 , X 2 , X 1 ) = ∑ m (0,1,3,5,7)

C 2 (X 3 , X 2 , X 1 )= ∑ m (0,3,5,6)

C 3 (X 3 , X 2 , X 1 )= ∑ m (0,3,4,7)

c) La figura adjunta muestra los mapas de
Karnaugh para C1, C2 y C3.
d) De los mapas K, se obtienen las funciones
reducidas siguientes:

C1 = X 1 + X 3 X 2
(1) (2)

C 2 = X 3 X 2 X1 + X 3 X 2 X1 + X 3 X 2 X1 + X 3 X 2 X1
(1) (2) (3) (4)



C 3 = X 2 X1 + X 2 X1 = X 2 ⊕ X1
(1) (2)

De la expresión C2, se observa que no existen enlaces en el mapa. Por lo tanto, no se obtiene
una función reducida, pero empleando el método algebraico, vemos que existe minimización
por exclusividad.
El siguiente desarrollo muestra el procedimiento para la reducción de C2 a expresiones de
exclusividad:

C 2 = X 3 (X 2 X 1 + X 2 X 1 ) + X 3 (X 2 X 1 + X 2 X 1 ) = X 3 (X 2 ⊕ X 1 ) + X 3 (X 2 ⊕ X 1 ) =
= X 3 ⊕ (X 2 ⊕ X 1 ) = X 3 ⊕ X 2 ⊕ X 1

e) El logigrama correspondiente a las funciones reducidas C1, C2 y C3, se muestra en la siguiente
figura:

2.3 Mapas de Karnaugh para 4 variables.
Hasta ahora se ha utilizado el mapa
de Karnaugh para minimizar funciones de
tres variables. A continuación se usará el
mapa de Karnaugh para 4 variables.
El mapa K para 4 variables se obtiene
proyectando el mapa de tres variables. Cuan-
do el número de variables es par proyecta-
mos hacia abajo y cuando es impar proyec-
tamos hacia la derecha. La Figura 2.10.(a)
muestra la proyección del cubo 3, para gene-
rar el cubo 4.Obsérvese que al cubo que se
proyecta se le agrega un 0 a la izquierda y al
proyectado un 1 a su izquierda. Dentro de
cada celda se indica el valor binario asociado
a ella, el cual se obtiene sustituyendo los
valores binarios correspondientes a cada
variable.
Sustituyendo los valores binarios por su
decimal equivalente, se obtiene el mapa de
Karnaugh de 4 variables, el cual se usará
posteriormente para minimizar funciones de
conmutación de 4 variables. Este mapa se
muestra en la Figura 2.10.(b).

Para obtener el código de Gray para 4
variables, se traza la greca de Gray en el
mapa de la Figura 2.10.(c).

Obsérvese que se inicia en la celda 0,
hacia abajo hasta la celda 2, a la derecha a la
celda 6, arriba hasta la celda 4, a la derecha
a la celda 12, hacia abajo hasta la celda 14, a
la derecha a la celda 10 y hacia arriba hasta la
celda 8.



Siguiendo la greca de Gray, se obtiene el
código de Gray, como se muestra en la siguiente
tabla, donde también se presenta la relación entre
los códigos binario y Gray.

BINARIO GRAY
miD A B C D miG G3 G2 G1 G0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
2 0 0 1 0 2 0 0 1 1
3 0 0 1 1 3 0 0 1 0
4 0 1 0 0 4 0 1 1 0
5 0 1 0 1 5 0 1 1 1
6 0 1 1 0 6 0 1 0 1
7 0 1 1 1 7 0 1 0 0
8 1 0 0 0 8 1 1 0 0
9 1 0 0 1 9 1 1 0 1
10 1 0 1 0 10 1 1 1 1
11 1 0 1 1 11 1 1 1 0
12 1 1 0 0 12 1 0 1 0
13 1 1 0 1 13 1 0 1 1
14 1 1 1 0 14 1 0 0 1
15 1 1 1 1 15 1 0 0 0

Tabla del código binario y de Gray.

EJEMPLO 4. Utilizando el mapa de Karnaugh, determine las realizaciones mínimas de suma de
productos de las siguientes funciones:

a) F(A,B, C,D) = ∑ m (0,4,6,10,11,13)

b) F(A,B, C,D) = ∑ m (3,4,6,7,11,12,14,15)

c) F(A,B, C,D) = ∑ m (1,3,6,8,9,11,15) + ∑ x (2,13)

SOLUCIÓN
A continuación se presentan los mapas K para cada inciso, así como las funciones mínimas,
siguiendo el procedimiento establecido anteriormente.



F(a) = ABD + ABD + ABC + ABCD
(1) (2) (3) (4)
F(b) = ABC + ABC + CD
(1) (2) (3)
F(c) = ABC + BD + CD + AD
(1) (2) (3) (4)

PROBLEMA 5. Se desea diseñar un circuito lógico de dos salidas y cuatro entradas que efectúe
sumas en módulo 4. La tabla de suma, para la suma en módulo 4, se muestra en
la siguiente tabla. Por ejemplo, (3+3)MOD 4 = 2. En consecuencia, se anota un 2 en
la hilera 3, columna 3 de la tabla, y así sucesivamente. Los números de entrada se
deben codificar en binario, en donde un número de entrada está dado por X2X1 y el
otro por Y2Y1. La salida también se codifica como un número binario Z2Z1. Es decir,
Z2Z1 = 00 si la suma es cero; 01 si la suma es 1; 10 si la suma es 2 y 11 si la suma
es 3.

X 0 1 2 3
Y

0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

a). Determine una expresión Booleana mínima para Z1.
b). Determine una expresión Booleana mínima para Z2.
c). Dibuje el logigrama para Z1 y Z2.



SOLUCIÓN

En este caso nos ahorramos la tabla funcional, puesto que podemos sustituir los valores
directamente de acuerdo a la tabla de la suma de módulo 4.

SUMA Z2 Z1

0 0 0
1 0 1
2 1 0
3 1 1

Para poder trasladar los valores de la tabla anterior a un mapa K de 4 variables, se deben invertir
las columnas para X = 2 y X = 3, así como las filas Y =2 y Y = 3, como se muestra en la siguiente tabla:

X 0 1 2 3
Y
0 0 1 3 2

1 1 2 0 3

2 3 0 2 1

3 2 3 1 0

Ahora sí hay coincidencia entre la tabla anterior y el
mapa K. La figura adjunta, muestra los valores de Z, en el
mapa K, en función de X e Y.

Del mapa anterior se observa que están implícitas Z2
y Z1. Por lo tanto, para poder determinar las funciones de
Z2 y Z1, lo trataremos en forma individual. Realizando los
mapas para Z2 y Z1, se tiene:

D e
l o s
mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones mínimas, las cuales se reducen a relaciones
de EXCLUSIVIDAD. Asimismo, se presenta el logigrama para Z2 y Z1.



Z 2 = X 2 X 1 Y2 + X 2 X 1Y2 + X 2 Y2 Y 1 + X 2 Y 2 Y 1 + X 2 X 1 Y 2 Y1 + X 2 X 1Y2 Y1 =
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
= X 1 (X 2 Y2 + X 2 Y 2 ) + Y 1 (X 2 Y2 + X 2 Y 2 ) + X 1Y1 (X 2 Y 2 + X 2 Y2 ) =
= X 1 (X 2 ⊕ Y2 ) + Y 1 (X 2 ⊕ Y2 ) + X 1Y1 (X 2 ⊕ Y2 ) =
= (X 1 + Y 1 )(X 2 ⊕ Y2 ) + X 1Y1 (X 2 ⊕ Y2 ) = X 1 Y1 ⊕ (X 2 ⊕ Y2 )
Z 1 = X 1 Y 1 + X 1Y1 = X 1 ⊕ Y1
(1) (2)

2.4 Mapas de Karnaugh de 5 variables.
Recordemos que para construir el mapa
de 5 variables, debe proyectarse el mapa de 4
variables. El abatimiento es hacia la derecha
ya que el número de variables es impar. La
figura adjunta muestra la proyección del mapa
de 4 variables.

Obsérvese que al mapa que se proyecta
se le antepone un 0 y al proyectado un 1.
También, se ha asociado a cada celda el
número binario correspondiente, el cual se
obtuvo asignando el valor binario a cada
variable en dicha celda.

Sustituyendo el número binario de cada
celda por su equivalente decimal, se obtiene el
mapa de Karnaugh para 5 variables que se
empleará para minimizar funciones de conmutación de 5 variables independientes. La figura siguiente
presenta este mapa.



Para generar el código de Gray para 5
variables, se traza la greca de Gray sobre el mapa
K para 5 variables y se escribe el código binario
asociado a cada celda.
La siguiente figura muestra la greca de Gray
sobre el mapa K de 5 variables.

A continuación se presentan algunos ejemplos
que muestran la aplicación del mapa para la minimi-
zación de funciones de conmutación de 5 variables
binarias.

EJEMPLO 6. Minimice las siguientes funciones,
empleando el método de Karnaugh:

F1 = ∑ m (0,1,3,8,9,11,16,17,19,24,25,29 − 31

F2 =∑ m (0 − 4,6,9,10,15 − 20,22,23,25,26,31)

SOLUCIÓN
Las siguientes figuras muestran los mapas K para F1 y F2:

Las funciones reducidas son:

F1 (A,B, C,D,E) = CD + BCD + ABCD + ABDE + ABDE
(1) (2) (3) (4) (5)
F2 (A,B, C,D,E) = BC + BE + CDE + CDE + ABD + BCDE
(1) (2) (3) (4) (5) (6)



EJEMPLO 7. Hay 5 personas que actúan como jueces en una competencia dada. El voto de cada
uno de ellos se indica con un 1 (pasa) o 0 (fracasa) en una línea de señal. Las 5
líneas de señal son las entradas a un circuito lógico combinacional. Las reglas de
la competencia permiten sólo la discrepancia de un voto. Si la votación es 2-3 o 3-2,
la competencia debe continuar. El circuito lógico debe tener dos salidas, XY. Si el
voto es 4-1 o 5-0 para pasar, XY = 11. Si el voto es 4-1 o 5-0 para fracasar, XY = 00;
si el voto es 3-2 o 2-3 para continuar, XY = 10.

Diseñe un circuito mínimo de suma de productos.
SOLUCIÓN

La siguiente tabla reúne las condiciones del enunciado:

OPCIÓN
REGLA X Y
1 0
Para pasar 5 4 0 1 1 1
Para fracasar 0 1 5 4 0 0
Para continuar 3 2 2 3 1 0

En base a la tabla anterior se construye la siguiente tabla funcional:

Dec A B C D E X Y Dec A B C D E X Y
0 0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 17 1 0 0 0 1 1 0
2 0 0 0 1 0 0 0 18 1 0 0 1 0 1 0
3 0 0 0 1 1 1 0 19 1 0 0 1 1 1 0
4 0 0 1 0 0 0 0 20 1 0 1 0 0 1 0
5 0 0 1 0 1 1 0 21 1 0 1 0 1 1 0
6 0 0 1 1 0 1 0 22 1 0 1 1 0 1 0
7 0 0 1 1 1 1 0 23 1 0 1 1 1 1 1
8 0 1 0 0 0 0 0 24 1 1 0 0 0 1 0
9 0 1 0 0 1 1 0 25 1 1 0 0 1 1 0
10 0 1 0 1 0 1 0 26 1 1 0 1 0 1 0
11 0 1 0 1 1 1 0 27 1 1 0 1 1 1 1
12 0 1 1 0 0 1 0 28 1 1 1 0 0 1 0
13 0 1 1 0 1 1 0 29 1 1 1 0 1 1 1
14 0 1 1 1 0 1 0 30 1 1 1 1 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 1 31 1 1 1 1 1 1 1

De la tabla funcional, se obtienen las siguientes funciones de conmutación canónicas:

X(A,B, C,D,E) = ∑ m 3,5 − 7,9 − 15,17 − 31)

Y(A,B, C,D,E) = ∑ m (15,23,27,19 − 31)

Reduciendo por mapas de Karnaugh: Para mayor claridad, se presenta a X(A, B, C, D, E) en dos
mapas:



De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones reducidas:

X = DE + BC + AB + AC + AE + AD + CE + CD + BE + BD
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
Y = ABCE + ABCD + ACDE + BCDE + ABDE
(1) (2) (3) (4) (5)

El logigrama se presenta en la siguiente figura:



2.5 Mapas de Karnaugh para 6 variables
Siguiendo el mismo criterio para la obtención de los mapas anteriores, proyectamos el mapa
inmediatamente anterior, para obtener el mapa K para 6 variables, mostrado en la siguiente figura:

EJEMPLO 8. Minimizar las siguientes funciones por el método de Karnaugh:

a) Z=∑ m (7,14,28,56) + ∑ x (0 − 6,8 − 13,16 − 27,29,32 − 55,57 − 59,61)

b) Z=∏ M (15,30,31,60,62,63) ∏ x (0 − 6,8 − 13,16 − 27 − 29,32 − 55,57 − 59,61)

SOLUCIÓN
Obsérvese que las funciones, en ambos incisos, son las mismas, una expresada como
minitérminos y la otra como maxitérminos. Los mapas K para a) y b) son:



De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones mínimas:

Z(A,B, C,D,E,F) = C + D + AE + BF
(1) (2) (3) (4)

Z(A,B, C,D,E,F) = (C + F)(B + E)(A + B + D)
(1) (2) (3)

2.6 Ejercicios
1. Minimice las siguientes funciones booleanas, utilizando el método de Karnaugh:

a) f(a,b, c, d) = ∑ m (0,4,6,10,11,13)

b) f(w, x, y, z) = ∏ M (3,4,5,7,11,12,14,15)

c) f(a,b, c, d) = ∑ m (3,5,7,11,15)

d) F(A,B, C,D,E) = ∏ (0,1,2,8,9,11,15 − 19,24,25,29
M

e) F(A,B, C,D,E,F) = ∑ (0,2,4,5,7,8,16,18,24,32,36
m

2 .
U n
nú-
me-
r o
pri-
m o
e s
aqu
e l
que
sólo
e s
divi-
sible entre si mismo y la unidad. Diseñe un circuito



lógico mínimo que detecte todos los número primos entre 0 y 31. La salida F(A, B, C, D), donde A es
la variable de mayor peso binario, será igual a 1 si y sólo si los 5 bits de entrada representan un
número primo. Realice el logigrama utilizando inversores y compuertas NO Y.

3. En uno de los laboratorios de una compañía farmacéutica se elaboran 14 distintas soluciones
a partir de las componentes W, X, Y y Z. Estas sustancias pesan 800, 400, 200 y 100 mg,
respectivamente. Las soluciones se depositan en frascos que se transportan por medio de una
banda hasta la báscula. Si el peso depositado en la báscula es uno de los siguientes: 200, 500,
700, 800, 1100, 1400 o 1500 mg, entonces un dispositivo electromecánico F, después de agregar
al compuesto la sustancia Q, sellará el frasco sobre la báscula y lo apartará de la banda; de otro
modo, el frasco permanecerá abierto y la banda lo transportará hacia otro etapa del proceso.
Además, por las condiciones previas del proceso, no es posible que lleguen a la báscula ni
francos vacíos, ni frascos que contengan las siguientes sustancias: WY, YZ, WX o WZ; todas
las otras combinaciones sí pueden llegar a la báscula.

4. En la torre de control de un patio de ferrocarril, un controlador debe seleccionar la ruta de los
furgones de carga que entran a una sección del patio, mismos que provienen del punto A, como
puede verse en la figura adjunta. Dependiendo de las posiciones de los conmutadores, un furgón
puede llegar a uno cualesquiera de los 4 destinos. Otros furgones pueden llegar desde los
puntos B o C.

Diseñe un circuito, con inversores y compuertas No O, que reciba como entradas las señales S1
a S5, indicadores de las posiciones de los conmutadores correspondientes, y que encienda una
lámpara D0 a D3, indicando el destino al que llegará el furgón proveniente de A.
Para los casos en que los furgones puedan entrar de B o C (S2 o S3 en la posición 0), todas las
lámparas de salida deben encenderse, indicando que un furgón proveniente de A, no puede
llegar con seguridad a su destino.
NOTA: S1 es el bit de mayor peso binario.

5. Un circuito lógico tiene 5 entradas A, B, C, D y E (donde A es la de mayor peso binario). Cuatro
de sus entradas representan un código decimal en BCD (Decimal Codificado en Binario, por sus
siglas en inglés). La primera entrada, A, es de control.

Cuando el control está en 0 lógico, la salida Z es igual a 0 si el número decimal
es impar y 1 si es par.

Cuando el control está en 1 lógico, la salida Z es igual a 1 cuando la entrada es
múltiplo de 3, en caso contrario es 0.
NOTA: Considere al 0 como un número par.

6. Un técnico de un laboratorio químico tiene 4
productos A, B, C y D. Cada producto debe
encontrarse en uno cualesquiera de dos recipien-
tes de almacenamiento.
Periódicamente, se requiere cambiar uno o más
productos de un recipiente a otro. La naturaleza
de los recipientes es tal, que es peligroso guar-
dar A y B juntos a menos que D esté presente en
el mismo recipiente. También, es peligroso
almacenar B y C juntos a menos que D esté
presente.

Este proceso no permite que alguno de los
recipientes esté vacío.

Obtener el circuito mínimo de la expresión de una variable Z que deberá tener el valor de 0 para
cada situación peligrosa de almacenamiento, utilizando inversores y compuertas No O.



NOTA: A es la variable de mayor peso binario.

7. Un posicionador de eje, proporciona na señal de 4 bits que indica la posición de un eje en pasos
de 30°. Utilizando el código de Gray, el cual se muestra en la siguiente tabla, diseñe un circuito
(realización mínima de suma de productos) que produzca una salida que indique en dónde se
encuentra el eje.

Posición del Salida del Posición del Salida del
EJE DECODIFICADOR EJE DECODIFICADOR
0°#P#30° 0011 180°#P#210° 1100
30°#P#60° 0010 210°#P#240° 1101
60°#P#90° 0110 240°#P#270° 1111
0°#P#120° 0111 270°#P#300° 1110
120°#P#150° 0101 300°#P#330° 1010
150°#P#180° 0100 330°#P#260° 1011

Obtenga el logigrama utilizando inversores y compuertas No Y.

8. Obtener el diagrama lógico mínimo, con inversores y compuertas No O, de un circuito de 5
entradas: Dos de datos A y B y tres de control C2, C1 y C0. El diagrama a bloques se presenta
en la siguiente figura.
La función de salida depende de los ocho posibles estados de las señales de control, de
acuerdo a la siguiente tabla:



Control F
C1 C2 C0
0 1
1 A+B

2 A•B

3 A⊕ B

4 A⊕ B
5 A•B
6 A+B
7 1

Considere a C2 y A como las variables de mayor peso binario, respectivamente
9. El sistema nervioso humano, incluyendo al
cerebro, está hecho de células especializa-
das llamadas neuronas. Cada neurona tiene
sinapsis (puntos de interconexión, como se
muestra en la figura adjunta) de excitación y
sinapsis de inhibición. Una neurona produ-
ce una salida 1 si el número de sinapsis de
excitación con pulsos 1 excede el número de
sinapsis de inhibición con pulsos 1 por al
menos el valor del umbral de la neurona.
Determine la función booleana f(a, b, c, d, e)
de emisión de pulsos a través del canal de
salida (axón) en el modelo de la figura ante-
rior bajo las siguientes condiciones:
(C1) Valor del umbral = 1 [es decir, se produce una salida 1 si el número de sinapsis de
excitación con pulsos 1, excede por al menos uno el número de número de sinapsis
de inhibición con pulsos 1], y

(C2) Siempre que haya al menos un pulso 1 en alguna sinapsis del puerto de excitación,
habrá al menos un pulso 1 en alguna sinapsis del puerto de inhibición [es decir, no es
posible -en este modelo restringido- que existan pulsos 1 en el puerto de excitación
si no existe al menos un pulso 1 en el puerto de inhibición].

Minimizar f(a, b, c, d, e) haciendo uso de las condiciones irrelevantes (C2). Realizar el logigrama
utilizando inversores y compuertas No Y.

10. Textura es la organización de una superficie como un conjunto de elementos repetidos. En un
proceso automático para clasificar texturas artificiales, un sensor de 4 puntos de la siguiente
figura (izquierda), envía señales a un circuito combinatorio cuya terea es discriminar (emitiendo
pulsos 1) los elementos de la figura de la derecha.
En todos los casos que inspecciona el sensor se activan al menos dos puntos de la rejilla (es
decir, no se presentan casos en los cuales se activa un punto ni casos en los que no se activa
ningún elemento).



11. En una fábrica un dispositivo de 5 fotoceldas
(figura adjunta), registra los caracteres formados
abriendo pequeñas ranuras en una tarjeta de
control. Si en la tarjeta registrada hay uno de los
símbolos:

(Para el símbolo I son válidas las dos posiciones), entonces el dispositivo acciona un taladro.
En el proceso no hay tarjetas con alguno de los caracteres adjuntos
(todos los caracteres restantes sí son válidos).
¿Cuál es la función booleana a la salida del dispositivo que acciona el
taladro? Minimizar la función y realizar el logigrama utilizando sólo
inversores y compuertas No Y.

12. Se desea diseñar e instrumentar un circuito combinatorio de dos entradas con dos bits cada
una, sobre las cuales se codifican dos de los cuatro tipos de sangre existentes y a su salida se
obtenga una señal que informe sobre la posibilidad o imposibilidad de la transfusión de uno de
ellos sobre el otro, dadas las siguientes reglas de compatibilidad entre ellos:

Los tipos de sangre son 4: A, B, AB y O.
El tipo O puede donar a cualquier otro tipo, pero sólo puede recibir de él mismo.
El tipo AB puede recibir de cualquier otro tipo pero sólo puede donar a AB.
La clase A puede donar a A o a AB y recibir de A u O únicamente.
Por último, el tipo B puede donar al mismo B o al tipo AB y recibir de B u O.

La señal de salida deberá se 1 cuando la transfusión propuesta en las entradas sea permitida.
Realizar el logigrama utilizando inversores y compuertas No O.

13. En un sistema de detección luminosa que tiene el arreglo mostrado en la siguiente figura, se
genera una señal de salida con valor 1 únicamente cuando dos fotoceldas adyacentes están
activadas, siempre y cuando la fotocelda del centro esté también activada



Considerando a A como la variable más significativa, obtener el
logigrama mínimo, considerando las condiciones irrelevantes y
utilizando sólo inversores y compuertas No Y.
NOTA: No es posible en este sistema, que exista una señal de salida 0 o 1
si no hay al menos tres fotoceldas activadas.

14. Un robot de juguete -llamado U-2- está diseñado para ser capaz de
seguir una trayectoria (previamente programada por medio de controles
que el robot tiene en la espalda) avanzando cuadro por cuadro en un
área de 5x6 cuadros. El robot U-2 puede realizar una de las cuatro
acciones siguientes:

(D) Girar (sobre su eje vertical) 90° a la
derecha y luego avanzar al centro del
primer cuadro si su diminuto cerebro
percibe la señal binaria 10.
(I) Girar 90° a la izquierda y luego avan-
zar al siguiente cuadro si su diminuto
cerebro percibe la señal binaria 10.
(F) Avanzar al frente un cuadro si su cere-
bro recibe la señal 00.
(A) Hacer alto si su cerebro recibe la señal
11.
Programar el robot para que recorra el laberinto de la Figura (a). Determinar las funciones
booleanas del par de estímulos binarios que recibe el minicerebro del robot durante este
recorrido y minimizarla mediante mapas de Karnaugh (En este problema hay condiciones
irrelevantes -parte de la solución consiste en encontrarlas) La Figura (b) asocia un valor decimal
a cada cuadro del laberinto.
Los controles en la espalda del U-2 están
localizados en dos áreas: En el área I se
indicará el cuadro inicial mediante los con-
troles de dos posiciones a, b,, c, d y e [como
se muestra en la Figura (c)]; si el control a
se presiona del lado derecho, el peso de la
variable a se contabilizará para determinar el
número asignado al cuadro inicial (lo mismo
ocurrirá con el resto de las variables). En el
área II se programa la trayectoria por medio
de 30 controles de tres posiciones cada uno.


Mapas De Karnaug Y Sistemas Combinatorios

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (20)

Similar a Mapas De Karnaug Y Sistemas Combinatorios (20)

Más de F Blanco (20)

Último (20)

Mapas De Karnaug Y Sistemas Combinatorios