8448149726
- 1. ¿Recuerdas qué es…? Magnitud Es todo aquello que podemos medir. Toda magnitud tiene su propia unidad de medida. Son magnitudes el tiempo, la distancia, la temperatura… El conjunto de números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y sus opuestos. Se representan de la siguiente forma: Z = {…,–5,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,5,…} La representación en la recta de los números enteros: –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 A la izquierda, A la derecha, los los números en- números enteros teros negativos positivos
- 2. 13 GRÁFICAS. FUNCIONES Y ESTADÍSTICA Si lees un periódico, ya sea deportivo o de información general, verás que muchas noticias van acompañadas de gráficos. En ellos se representan datos relacionados con el tema que aparece en la noticia. Los gráficos permiten resumir una información de manera sencilla y facilitan la comprensión de la misma. Por ejemplo, recuerda las gráficas que nos informan sobre el recorrido de una etapa del Tour de Francia, las variaciones de la clasificación de los equipos a lo largo de la temporada de fútbol, los gráficos que representan el número de votos que tienen los diferentes partidos políticos en época de elecciones, los resultados obtenidos en una encuesta realizada sobre los programas de televisión más vistos, etc. Hay muchos casos semejantes de gráficos que vemos e interpretamos, pero no sabemos qué tratamiento han tenido previamente esos datos antes de quedar reflejados en ese tipo de representación. Los objetivos de esta Unidad son: • Aprender a realizar e interpretar gráficas a partir de una tabla de datos. • Conocer los conceptos básicos de estadística, sus parámetros principales y el tratamiento de datos.
- 3. 13 1 EJES DE COORDENADAS Y REPRESEN- TACIÓN CARTESIANA DE PUNTOS Seguro que en más de una ocasión has visto o incluso has llegado a jugar a hundir barcos del jugador contrario acertando su posición, que se indica con dos coordenadas. Hasta ahora hemos representado siempre puntos sobre una recta y queda- ban ordenados tanto los números enteros como los decimales. –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Y Para estudiar muchos fenómenos necesitamos representar puntos sobre un 4 3 plano, no sobre una recta. Y para ello se utilizan los ejes de coordenadas o 2 (2, 2) ejes cartesianos. 1 Se utilizan dos ejes colocados perpendicularmente: uno horizontal y otro (0, 0) –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 X vertical. –1 –2 • Al eje horizontal se le denomina «eje X» o eje de abscisas. (–2, –2) –3 • Al eje vertical se le denomina «eje Y» o eje de ordenadas. –4 Estos dos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro partes iguales que llamamos cuadrantes y en ellos se representan los puntos. Y Todos los puntos que se representan vie- Y 2.º cuadrante 1.er cuadrante valor x: negativo valor x: positivo nen dados mediante un valor de x y otro 4 valor y: positivo valor y: positivo de y. Fíjate bien en el siguiente ejemplo: 3 B(1, 2) Para definir la posición de cualquier 2 X A(–3, 1) punto en cualquier cuadrante, se ha de 1 3.er cuadrante 4.º cuadrante valor x: negativo valor x: positivo definir la «coordenada en x» o abscisa valor y: negativo valor y: negativo y la «coordenada en y» u ordenada. Se –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 X expresan entre paréntesis separadas por –1 una coma. Primero se escribe la abscisa –2 D(2, –2) y luego la ordenada. El punto que defi- –3 WEB nen se nombra con una letra mayúscu- C(–2, –4) –4 http://descartes.cnice.mecd. la. Por ejemplo, A(1, 2), B(–3, 1), C(–2, –4), es/3_eso/Coordenadas_ D(2, –2). cartesianas/Coordenadas_ cartesianas.htm En los ejes de coordenadas se representan puntos del plano. Los puntos Se explican las coordenadas se nombran con una letra mayúscula y vienen definidos por dos números cartesianas y en la página siguiente la representación de escritos entre paréntesis y separados por una coma. El primer número re- puntos en el plano. presenta la coordenada en x y el segundo la coordenada en y. Ejercicios 1 Representa los siguientes puntos en los ejes 2 Indica las coor- F Y de coordenadas: denadas cartesianas de los siguientes D A(–3, 2), B(6, 2), C(4, –3), D(–2, 1), E(7, 3) A puntos: X C B E 230
- 4. 2 TABLA DE VALORES Y GRÁFICAS Los puntos que se representan en los ejes de coordenadas pueden corres- ponder a datos de una determinada situación que se quiere estudiar. Estos datos se recogen primero en una tabla que llamamos tabla de valores. Ejemplo 1 Para celebrar una fiesta, decides comprar caramelos. En la tien- da más cercana los venden por kilos y lees el siguiente cartel: «2 € el kilo de caramelos». Automáticamente, piensas que la cantidad a pagar dependerá Advertencia de los kilos que compres: si compro 1 kilo pagaré 2 €, si compro Como coordenada en x 2 kilos pagaré 4 €, si compro 3 kilos pagaré 6 €. En este ejemplo se sitúan los kilos y como se relaciona la cantidad de kilos con la cantidad de euros que coordenada en y se sitúan los euros. tienes que pagar. Así se crea una tabla de valores: Cantidad de kilos 1 2 3 4 5 Euros a pagar 2 4 6 8 10 A(1, 2) Con la tabla se obtiene parejas de números que podemos utilizar como co- ordenadas de puntos del plano y con ellos se va a representar la situación B(2, 4) mediante una gráfica. Se trazan los ejes de coordenadas y se sitúan Y C(3, 6) C(3, 6) los puntos. B(2, 4) A(1, 2) WEB X http://descartes.cnice.mec. es/1y2_eso/Interpretacion_de_ graficas/Graficas.htm Así, la gráfica asociada a esta situación es una En esta página se estudian línea porque a cada cantidad de caramelos le las gráficas de las funciones, corresponde un precio. pero primero se calcula una tabla de valores que se puede Para realizar la gráfica se siguen los siguientes pasos: comprobar si está bien en la escena donde se representa la 1. Se ordenan en una tabla los datos a representar. gráfica. 2. Se trazan los ejes de coordenadas y se dibujan los puntos. Ejercicios 3 Indica si las siguientes magnitudes se podrán 4 Realiza la tabla de valores que relacionen la relacionar o no mediante una gráfica: altitud a la que se encuentra un alpinista en fun- a) Kilos de manzanas que compro y dinero que ción del tiempo, si asciende a una velocidad de voy a pagar. 300 metros por hora y ha partido desde una alti- tud de 1 400 metros. b) Asistentes a una fiesta y dinero que se recauda. c) A una velocidad constante, metros que se reco- 5 Un ciclista lleva una velocidad de 2 metros rrerán en un intervalo de tiempo. por segundo. Realiza una tabla y una gráfica don- d) Horas al día que invierto viendo la televisión y de se relacionen el tiempo transcurrido y los me- la cantidad de días lluviosos. tros recorridos. 231
- 5. 13 3 LECTURA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS Las gráficas son representaciones que relacionan entre sí dos magnitudes con el objetivo de aportar información sobre cómo varía una magnitud en función de otra. Por eso, cuando se examina o interpreta una gráfica, lo primero que debe hacerse es observar cuáles son las magnitudes que relaciona. Fíjate en la siguiente gráfica: distancia (m) G(7, 40) 40 H(8, 40) C(3, 30) D(4, 30) 30 F(6, 30) 20 B(2, 20) E(5, 20) 10 A(1, 10) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 tiempo (min) La gráfica relaciona el tiempo transcurrido de un cuerpo en movimiento y la distancia que les separa del punto de partida. Como ves, tiempo y distancia son las magnitudes representadas en los ejes de coordenadas. La primera viene dada en minutos y la segunda en metros. a) En los tres primeros minutos se aleja 30 m. b) En el siguiente minuto (entre el minuto 3 y 4) está parado, ya que el tiempo WEB avanza pero no hay incremento de distancia. http://descartes.cnice.mec. c) En el siguiente minuto retrocede los 10 m, volviendo a estar a la misma es/1y2_eso/Interpretacion_de_ distancia del punto de partida que en el minuto 2. graficas/Graficas.htm Se construyen gráficas a partir d) En los dos siguientes minutos (el sexto y el séptimo) avanza 20 m: de la de una tabla de valores y del posición 20 m a la posición 40 m. enunciado de un problema, pero también se interpretan e) Durante el octavo minuto ha permanecido parado. mediante preguntas otras gráficas ya elaboradas. Para interpretar gráficas, hemos de saber primero qué magnitud está repre- sentada en cada eje para comprender cómo varía una magnitud en función de otra. Ejercicios 6 Relaciona cada situación con una de las grá- 7 La siguiente gráfica representa el movimien- ficas: to de un cuerpo. Interprétala y responde a las si- a) Frenado de un coche. guientes preguntas: b) Coste de una llamada por segundos. a) ¿Cuánto tiempo ha estado andando? c) Un recorrido con tres paradas de avitualla- b) ¿Cuánto ha recorrido? miento. c) ¿Ha hecho alguna parada? d) Cambios de temperatura de un líquido a lo lar- d) ¿Qué más observas? go del tiempo hasta que se enfría del todo. 90 distancia (m) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 A B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 tiempo (min) 232
- 6. 4 CONCEPTO DE FUNCIÓN Como hemos visto, las gráficas relacionan dos magnitudes que dependen una de otra. Si una varía, la otra también varía en función de aquella. Para la fiesta del colegio te preguntas cuánto dinero has de llevar. La res- puesta es clara: «en función de lo que vayas a consumir». El anuncio de la fiesta decía lo siguiente: Entonces, se debe calcular y hacer una tabla: Cantidad consumiciones/bocadillos Cantidad euros FIESTA DEL COLEGIO 1 2 EL VIERNES A LAS 19:00 HORAS 2 4 ENTRADA LIBRE 3 6 BOCADILLOS : 2 € … … REFRESCOS: 2 € Fíjate que la cantidad de euros varía en función de los bocadillos y refrescos que compras. En este caso se relacionan consumiciones y euros. Se observa que si la primera aumenta, la segunda también, es decir, están relacionadas. Siempre que se relacionan dos magnitudes, una es independiente porque le vamos dando los valores que se quiera, y la otra es dependiente porque varía en función de los valores que se dan a la primera. Así, a la primera se le llamará variable independiente y se representa sobre el eje X y a la segunda se le llama variable dependiente y se representa sobre el eje Y. Función es una relación entre dos variables, de manera que a cada valor de la variable independiente le corresponde, como máximo, un valor de la variable dependiente. Para que una relación entre dos magnitudes sea una función se debe cum- plir que a cada valor de la variable independiente se le asocia, como mucho, uno de la variable dependiente. Cuando se relacionan dos magnitudes, una será la variable independien- te, que varía sin depender de nada, y la otra será la variable dependiente, que varía en función de la variable independiente. — Variable independiente: se representa en el eje X. — Variable dependiente: se representa en el eje Y. Ejercicios 8 En los siguientes casos, indica cuál será la 9 Quieres invitar a tus amigos al cine, pero no variable independiente y cuál la dependiente: sabes cuántos van a ir. Si sabes que cada entrada cuesta 4 €, realiza la tabla y la gráfica en función a) Tiempo que está un vehículo a velocidad cons- del número de amigos que vayan. tante y recorrido que realiza. b) Tiempo de calentamiento de un litro de agua y 10 Copia en tu cuaderno y completa: grados centígrados que alcanza. Dos magnitudes están relacionadas cuando una c) Consumo de energía eléctrica de un hogar y la _____________ la otra también varía en __________ cantidad a pagar. de la anterior. A la que varía sin depender de nada se le llama ___________________ y a la que varía de- d) Cantidad de kilos que compras y euros a pagar. pendiendo de la anterior se le llama ___________ 233
- 7. 13 5 ESTUDIOS Y ELEMENTOS ESTADÍSTICOS: POBLACIÓN, MUESTRA E INDIVIDUO El Instituto Nacional de Estadística ha realizado un estudio sobre el número de horas al día que se ve la televisión en los hogares españoles. Los resultados finales quedan reflejados en la gráfica del margen. Es una gráfica estadística y nos da información Población (%) No ven la TV sobre una población. Ven la TV menos de 1 hora al día 50% Los datos recogidos en la gráfica se dan en Ven la TV entre 1 y 3 horas al día porcentajes y hacen referencia a los miem- Ven la TV más de 3 horas al día 40% bros de una población, pero ¿realmente crees 35% que para conseguir la información necesaria 30% se han entrevistado o encuestado a todas y 30% cada una de las personas de una población? 25% Obviamente, no. 20% Los datos se recogen de una serie de encues- 10% tas que sólo se realizan a un grupo reducido y 10% representativo de la misma, ya que preguntar a todos sería demasiado caro y llevaría mucho 0% tiempo. A este grupo reducido y significativo de la población se le llama muestra. La población se compone de individuos. Si el estudio estadístico que se quiere realizar trata de obtener datos sobre el número de televisores que hay en cada hogar de España, la población serían los hogares españoles. Si se quiere estu- diar el índice de natalidad de los animales en cautividad, la población estaría formada por los animales que están en cautividad en los zoológicos. Posteriormente, la información que se deduce de los datos obtenidos de la muestra se extrapola a toda la población, es decir, se generaliza para el total de individuos de la población. Ten en cuenta Población: grupo de elementos sobre los que se realiza una investi- La muestra elegida para un gación. estudio estadístico debe ser significativa. Por ejemplo, si Muestra: parte seleccionada de una población de donde se recogen da- se estudia a qué dedican su tos significativos. tiempo de ocio los alumnos de Individuo: todos y cada uno de los componentes de una población. ESO, no se deben elegir sólo alumnos de 1.º de ESO, sino Para realizar un estudio estadístico sobre una población se elige una de todos los niveles y a partes muestra de la misma, compuesta por una selección de individuos repre- iguales, chicos y chicas. sentativos para el estudio. Ejercicios 11 En estos estudios estadísticos, indica cuál sería la población y qué muestra elegirías en cada caso para que sea representativa: a) Las aficiones de los jóvenes entre 15 y 20 años. b) Consumo en familias de un producto de limpieza nuevo. c) Paro social entre hombres y mujeres de 25 a 35 años. d) Nota media de todos los alumnos de 1.º de ESO de un instituto. 234
- 8. 6 TABLAS ESTADÍSTICAS Como has visto hasta ahora, en las gráficas estadísticas los datos se indican normalmente en porcentajes. Para ello se realiza primero una tabla estadística. Se quiere realizar un estudio sobre las notas obtenidas en un examen de Matemáticas y se dispone de una lista de alumnos y su calificación. Para crear la tabla estadística se observa que los valores que toma la variable son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Se elige una muestra (N) de 33 individuos. Se cuenta ahora cuántos alumnos han sacado cada calificación y a ese valor se le llama frecuencia absoluta, que se representa por fi. En la siguiente columna relacionamos la frecuencia absoluta con el número Vocabulario total de individuos de la muestra. El dato obtenido se llama frecuencia relativa f i y F i son notaciones para y se representa por Fi. las frecuencias absolutas y Fíjate en esta tabla y saca conclusiones: relativas, respectivamente. La «i» que aparece en cada Nota Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa Fi = fi / N % Fi · 100 expresión se llama subíndice e indica lo siguiente en nuestro 0 2 2 / 33 = 0,06 6% ejemplo: 1 1 1 / 33 = 0,03 3% f1 es la frecuencia de la 2 0 0 / 33 = 0 0% calificación 0. 3 3 3 / 33 = 0,09 9% f 2 es la frecuencia de la calificación 1. 4 5 5 / 33 = 0,15 15% … 5 7 7 / 33 = 0,21 21% f 9 es la frecuencia de la 6 4 4 / 33 = 0,12 12% calificación 8. 7 5 5 / 33 = 0,15 15% 8 3 3 / 33 = 0,09 9% 9 1 1 / 33 = 0,03 3% 10 2 2 / 33 = 0,06 6% N = 33 TOTAL = 1 TOTAL = 100% WEB http://descartes.cnice. Cualquier tabla estadística recogerá por columnas los siguientes datos: mec.es/m_Estadistica_y_ probabilidad/12_Hijos/hijos.htm • Columna de la variable a estudiar: Se colocan los diferentes valores que Se hace un recuento y luego se puede tener la variable. En este caso las notas del 0 al 10. dibuja el diagrama de barras. • Frecuencia absoluta (fi ): En esta columna se indica las veces que se repite ese dato de la variable o la frecuencia de aparición de cada uno de los valores de la variable. Si sumamos todas las frecuencias absolutas obtenemos el WEB tamaño muestral (N). En este ejemplo son 33 alumnos. http://descartes.cnice.mec.es/ • Frecuencia relativa (Fi ): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nú- m_Estadistica_y_probabilidad/ mero total de individuos de la muestra (N). La suma de todas las frecuencias color_preferido/index.htm relativas es 1. En este caso también se • Columna de %: Se calculan los porcentajes de aparición de cada valor de construye un diagrama de sectores. la variable multiplicando la frecuencia relativa por 100. Sumando todos los porcentajes se obtiene el 100%. Ejercicios 12 Define y explica con tus propias palabras 13 Se visitaron diferentes familias y se anotó el de qué columnas se componen las tablas esta- número de hijos en cada una de ellas. Realiza una dísticas. tabla estadística, sabiendo que el resultado del análisis fue el siguiente: 2, 1, 0, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 0, 3, 1, 5 235
- 9. 13 7 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN Una tabla estadística nos aporta información, pero hay que representarla mediante gráficos estadísticos para que se pueda interpretar. A continuación verás dos tipos de gráficas muy utilizadas en Esta- 10% 10% dística para representar la información: Bellas Artes Gráficos de sectores. Fíjate en el siguiente ejem- 15% Folisofía plo sobre las opciones de carreras de una clase de Derecho 2.º de Bachillerato. 30% Biología En un círculo se representa cada valor del porcen- Psicología taje en un sector proporcional del mismo sabiendo Economía que 360° se corresponde al 100%. 25% 10% Diagrama de barras. El mismo ejemplo se puede representar mediante un diagrama de barras. 35% 30% Bellas Artes 30% 25% Filosofía 25% Derecho 20% Biología 15% 15% Psicología 10% 10% 10% Economía 10% 5% 0% En este ejemplo, en el eje «Y» se colocan los valores numéricos y en el eje «X» WEB las distintas opciones de la variable. http://www.juntadeandalucia. es/averroes/recursos_ Toda la información recogida en una tabla estadística se representa me- informaticos/proyectos2003/ matematicas_red/index.html diante un gráfico estadístico. Situando en el lugar que — Gráfico de sectores: se asigna a cada frecuencia absoluta un sector cir- se indica los valores y las cular proporcional a ese valor. El 100% total se corresponde con 360°. frecuencias, dibuja el diagrama — Diagrama de barras: se representa mediante barras el porcentaje o la de barras. frecuencia absoluta de cada una. Ejercicios 14 En una clase, las notas obtenidas en un exa- 15 Los litros de agua recogidos por metro cuadra- men de Matemáticas son las siguientes: do en Vigo a causa de las lluvias en el año 2005 se reparten entre los 12 meses de la siguiente manera: 10, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 9, 3, 4, 6, 5, 5, 9 Enero: 15% Febrero: 12% Marzo: 20% Con estos datos, realiza la tabla estadística y su Abril: 22% Mayo: 3% Junio: 1% representación gráfica. Julio: 1% Agosto: 1% Septiembre: 2% Octubre: 5% Noviembre: 7% Diciembre: 11% Representa los datos mediante un diagrama de barras. 236
- 10. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. 8 MEDIA ARITMÉTICA Y MODA Ejemplo 2 A lo largo del curso, tus notas de los exámenes de Lengua han sido las siguientes: 5 7,5 8,5 7 7 7 Si la nota final es la media de tus calificaciones de todo el curso, ¿qué nota te van a poner en Lengua? Para calcular la nota media del curso, siempre y cuando todos los exámenes tengan el mismo valor sobre la nota final, se suman todas las notas obtenidas y se divide entre el número total de exámenes que has tenido. 5 + 7,5 + 8,5 + 7 + 7 + 7 = 7 Nota media. 6 Ejemplo 3 Cada día, al ir al colegio, empleas un tiempo, pero no todos los días tardas lo mismo. Quieres saber cuál es la media de los tiempos empleados en los últimos cuatro días. Para ello te cro- nometras durante 4 días y los datos obtenidos los apuntas para que no se te olviden: 1.º día: 4 minutos 2.º día: 3 minutos Para calcular el tiempo que empleas por término medio, se suman todos los minutos y el resultado se divide entre 4 3.º día: 4 minutos (número de días que cronometras): 4.º día: 5 minutos 4+3+4+5 16 = = 4 Tiempo medio. 4 4 En ambos casos hemos calculado la media de una serie de valores. La media es un parámetro estadístico. CD Otro parámetro estadístico es la moda. La moda es el valor de la variable que En la pestaña Documentación/ más se repite, es decir, el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Unidad 13/Test de autoevaluación, encontrarás Volviendo a los ejemplos anteriores: varios test interactivos, para repasar la unidad. • Ejemplo A: La moda, es decir, la nota que más se repite es el 7. • Ejemplo B: La moda, es decir el tiempo que más se repite es 4 minutos. CD Los parámetros estadísticos más importantes son: En la pestaña Actividades/ — Media: es el parámetro estadístico que indica el valor medio de varios Ejercicios modo examen/ valores. Unidad 13, encontrarás varios — Moda: es el parámetro estadístico que indica qué valor tiene mayor ejercicios para repasar la unidad. frecuencia absoluta. Ejercicios 16 Un nadador que quiere superar su récord, 17 Se ha entrevistado a 15 familias sobre el nú- realiza los siguientes tiempos en los 100 metros mero de televisores que hay en el hogar y se han (los datos están expresados en minutos): obtenido estos datos: 1,5 2 1,5 1,85 1,15 1,35 • 1 televisor: 3 familias • 2 televisores: 10 familias ¿Cuál es la media y cuál es la moda? • 3 televisores: 2 familias Basándote en estos datos, ¿cuál es la moda? 237
- 11. 13 EJERCICIOS RESUELTOS NOMBRE SECCIÓN 1 Análisis gráfico del movimiento de un coche. Vamos a realizar un análisis sobre la velocidad de un coche. Para ello rea- lizaremos una tabla que relacione dos magnitudes: el tiempo y el espacio recorrido. Variable independiente (x): tiempo A velocidad constante, cuanto más tiempo estemos conduciendo, más espacio se reco- Variable dependiente (y): espacio rrerá. Pasos: a) Datos recogidos: 1.er minuto: 200 metros 2.º minuto: 400 metros 3.er minuto: 600 metros b) Los datos se llevan a una tabla: Tiempo (min) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Espacio (m) y 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 c) Se hallan los puntos: (1, 200) (2, 400) (3, 600) (4, 800) (5, 1 000) CD (6, 1 200) (7, 1 400) (8, 1 600) (9, 1 800) (10, 2 000) En la pestaña Documentación/ Unidad 13/Animaciones, d) Se representan los puntos en los ejes de coordenadas. encontrarás una animación para ayudarte a entender las Los puntos se unen entre sí, porque se podía haber calculado el espacio gráficas. recorrido en 1,5 minutos, en 2,3 minutos…, y se obtienen otros puntos de la función. y = espacio (metros) 2000 2000 1800 1800 1600 1600 1400 1 400 1200 1 200 1000 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 238 x = tiempo (minutos)
- 12. 2 Se ha hecho un estudio sobre la cantidad de horas que ven la te- levisión al día los jóvenes de 15 años, y después de entrevistar a una pequeña muestra, los datos obtenidos fueron los siguientes: 2, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 4, 3, 2 Representa los datos en un diagrama de barras y calcula la tabla esta- dística, la moda y la media. Pasos: 45% 41,6% a) Con los datos obtenidos, realizamos la TABLA ESTADÍSTICA: 40% 35% Horas que se ve la TV al día fi Fi = fi / N % (Fi · 100) 0 1 0,08 8% 30% 1 1 0,08 8% 25% 2 5 0,416 41,6% 20% 3 2 0,16 16% 16% 16% 15% 4 2 0,16 16% 10% 8% 8% 8% 5 1 0,08 8% 5% N = 12 Número total de individuos de la muestra 0% Moda: 2 horas de TV (41,6% de la población) 2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 30 Media = = = 2,5 horas/día 12 12 3 Diagrama de sectores: Vamos a representar mediante diagrama de sectores las opciones de carrera de 60 alumnos. Se han recogido los siguientes datos: 10 alumnos Bellas Artes, 5 Derecho, 7 Medicina, 20 Periodismo, 10 Farmacia, 8 Turismo. Primero tenemos que calcular sobre la muestra de 60 alumnos que porcentaje del total corresponde a cada opción. Configuramos la tabla estadística: Opciones fi Fi = fi / N % (Fi · 100) Bellas Artes 10 0,16 16% Bellas Artes Derecho 5 0,08 8% Derecho Medicina 7 0,11 11% Medicina Periodismo 20 0,33 33% Periodismo Farmacia 10 0,16 16% Farmacia Turismo 8 0,13 13% Turismo En el diagrama tenemos que asignar de 360°, que es el 100%, diferentes sec- tores proporcionales a cada uno de los porcentajes. En este caso nuestro total son 360°, por lo que los valores obtenidos al realizar fi /N los tenemos que multiplicar por 360, de forma que obtenemos el valor (en ángulo o en grados) que se corresponde con cada opción y que será el que represente la porción del sector correspondiente: Bellas Artes: 16% 0,16 × 360° = 57,6°; Derecho: 8% 0,08 × 360° = 28,8°; Medicina: 11% 0,11 × 360° = 39,6°; Periodismo: 33% 0,33 × 360° = 120°; Farmacia: 16% 0,16 × 360° = 57,6°; Turismo: 13% 0,13 × 360° = 46,8° 239
- 13. 13 EJERCICIOS PROPUESTOS NOMBRE SECCIÓN Ejes y representación 7 En un contenedor que tiene 100 litros de agua se ha quedado el grifo abierto y se pierden 10 litros de 1 Define ejes de coordenadas y punto cartesiano. agua por minuto. Realiza la tabla donde se refleje esa pérdida de agua por minuto y luego represéntalo gráfi- 2 Dibuja los siguientes puntos en unos ejes car- camente. ¿Qué observas? tesianos: 8 Quieres comprar barras de pan que cuestan A(1, 3) B(–2, 4) C(7, 2) D(–10, 1) E(2, –9) 0,75 €. Haz una tabla que indique cuánto tendrás que pagar en función de cuántas barras compres hasta un 3 Identifica los y máximo de 5 barras. puntos siguientes e indica las coordena- B 9 Vas a invitar a tus amigos al cine. Sabiendo que das de cada uno de sois un total de 15 amigos y que el cine cuesta 4,5 €, rea- I F ellos: liza la tabla y la gráfica en función de la cantidad posible A de amigos que vayan. x E Lectura de gráficas G C 10 ¿Qué significa interpretar una gráfica? H D 11 Interpreta el siguiente gráfico del calentamiento de agua desde estado sólido hasta estado gaseoso. 4 Representa en los ejes de coordenadas las si- 100 y = temperatura (°C) 95 guientes situaciones: 90 85 80 a) Un punto en el primer cuadrante. 75 70 65 b) Dos puntos que sean simétricos entre el segundo y el 60 55 tercer cuadrante. 50 45 40 c) Un punto en el tercer cuadrante donde la coordena- 35 30 25 da de «x» duplique en valor absoluto a la coordenada 20 15 de «y». 10 5 0 –5 –10 Tablas de valores y gráficas –15 –20 x = tiempo (minutos) 5 Copia en tu cuaderno y completa sabiendo que la velocidad es constante. Realiza la gráfica asociada. 12 Fíjate en el siguiente gráfico, que representa el movimiento de un coche. Interprétalo y responde a las Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 siguientes preguntas: y = velocidad (m/s) Espacio recorrido (km) 150 600 70 60 50 6 Copia en tu cuaderno y completa la tabla. Rea- 40 30 liza la gráfica asociada. 20 10 Kilogramos que compro 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Euros a pagar 0 1,5 3 x = tiempo (minutos) a) En qué intervalos la velocidad es constante. ¿Cuánto cuesta medio kilo? b) En qué intervalos hay aceleración. ¿Cuánto cuesta un kilo? c) En qué intervalos está frenando. 240 ¿Cuánto costarán 10 kilos? d) ¿Tiene en algún momento velocidad cero?
- 14. 13 Relaciona una gráfica con el enunciado más Haz una tabla de lo que puedes gastar, que estará en apropiado: función de las consumiciones que compres. Recuerda a) Número de asistentes a un concierto y dinero que se que consumas lo que consumas, siempre vas a pagar recauda. la entrada. b) Frenado de un coche hasta alcanzar velocidad cero. (Recuerda: Cero consumiciones: pagarás solo 3 €. Una con- c) Un caminante que va a velocidad constante. sumición: pagarás 5 €.) 18 Señala cuáles son las magnitudes que se relacio- nan y di cuál es la variable «x» y cuál es la variable «y». a) Tiempo que está encendida una bombilla y medida del contador. I II III b) Altura a la que vuela un avión y temperatura ex- terior. 14 ¿Cuál de estas dos tablas representa mayor ve- locidad, la correspondiente a la tabla «A» o a la tabla «B»? 19 De los siguientes supuestos, di en qué caso las Razona la respuesta. variables se relacionan y en cuáles no: Tabla A a) Temperatura exterior y cantidad de estrellas visibles. Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8 b) Utilización de un bolígrafo y tinta restante. Espacio (km) 75 150 225 300 375 450 525 600 c) Tiempo de ciclo de una lavadora y agua consumida. Tabla B d) Tiempo de ejercicio físico realizado y calorías consu- Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8 midas. Espacio (km) 25 50 75 100 125 150 175 200 e) Velocidad de un coche y temperatura interior del coche. Concepto de función 20 En un supermercado, compres lo que compres, siempre te cobran la bolsa 0,5 €. Realiza la tabla de lo que 15 Señala cuáles son las magnitudes que se rela- vas a pagar en función de los kilogramos de manzanas cionan y di cuál es la variable independiente y cuál es la que compres, sabiendo que hoy están de oferta a 1,5 €/kg. variable dependiente: a) Tiempo de consumo de agua de un bidón y volumen Población, muestra que queda. b) Tiempo que se calienta un metal y temperatura que 21 ¿Qué es un estudio estadístico? Pon un ejemplo alcanza. y define qué es una tabla estadística. 16 Define con tus propias palabras y pon un 22 ¿Qué diferencia hay entre población, muestra e ejemplo: individuo? a) Magnitud. b) Eje de ordenadas 23 Quieres estudiar la estatura media de jóvenes entre 14 y 16 años de tu ciudad. ¿Qué muestra te parece c) Variable dependiente. más adecuada? Razona la respuesta. d) Variable independiente. a) Una muestra de 15 chicas pertenecientes a un club de e) Función. baloncesto. 17 He ido a una fiesta donde había un cartel que b) Dos clases de 4.º de la ESO de tu instituto o colegio. ponía: c) Coger al azar a 50 personas de una sala de juegos. ENTRADA 3€ Y CONSUMICIONES 2€ d) Los 30 chicos de un equipo de natación de tu ciudad. 241
- 15. 13 24 EJERCICIOS PROPUESTOS NOMBRE SECCIÓN Indica cuál será la población, la muestra y los b) Realiza la representación gráfica. individuos para los siguientes estudios estadísticos: c) ¿Cuál es la moda y cuál es la media? a) Índice de mortalidad en España. 30 A la salida de un colegio, se ha consultado por b) Calorías medias consumidas por día en niños entre 8 el número de horas dedicadas a la tareas domésticas: y 10 años. 1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0, 1 c) Consumo medio de agua por familia, en familias nu- merosas de Madrid. a) Realiza la tabla estadística. b) Realiza la representación gráfica. Tablas estadísticas c) ¿Cuál es la moda y cuál es la media? 25 Para escoger al delegado de una clase, se ha votado entre los voluntarios a serlo, y el resultado es el Gráficos estadísticos siguiente: 31 Interpreta el siguiente gráfico estadístico y ex- Ana: 3 Laura: 8 plica cómo se obtiene: Juan: 4 Rocío: 0 Preferencias alimentarias de los jóvenes en España Pedro: 5 Isabel: 6 5% Luisa: 7 Álvaro: 4 30% 25% arroz Realiza la tabla estadística y el diagrama de barras. pasta 26 En una encuesta sobre el número de idiomas garbanzo que habla una persona, el resultado fue el siguiente: pizza 1, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1 espinacas 10% a) Realiza la tabla estadística. 30% b) Realiza la representación gráfica. c) ¿Cuál es la moda y cuál es la media? 32 ¿Por qué muestra optarías para el siguiente es- tudio? ¿Qué pasos llevarías a cabo en el estudio total? 27 En una clase, las notas de un examen de Ciencias «Los alumnos de 17 años, ¿escuchan o no música mien- Naturales son las siguientes: tras estudian? En caso afirmativo, preferencias musicales 7, 8, 9, 2, 9, 3, 5, 5, 3, 10, 10, 4, 9, 5, 2, 5, 5, 4, 9, 7 a la hora de estudiar». Realiza la tabla estadística, el diagrama de barras e indica 33 Interpreta la siguiente representación gráfica: cuál es la moda y cuál es la media. % de días lluviosos en Madrid 28 Se ha encuestado a un grupo de trabajadores 25% Ene Jul sobre las horas de trabajo a la semana y se han obtenido los siguientes resultados: 20% 20% Feb Ago 20% Mar Sep 30, 35, 40, 45, 40, 32, 35, 40, 35, 40 15% 15% Abr Oct 15% May Nov Realiza la tabla estadística, el diagrama de barras e indica cuál es la moda y cuál es la media. Jun Dic 10% 7% 7% 7% 29 En una encuesta sobre el número de cafés que 5% 5% toma una persona al día, el resultado fue el siguiente: 1% 1% 1% 1% 2, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3 0% 242 a) Realiza la tabla estadística. ¿Cómo crees que se ha realizado el estudio?
- 16. Parámetros a) ¿Cuál es la moda y cuál es la media? b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagra- 34 Define los parámetros estadísticos moda y me- ma de barras. dia y pon un ejemplo de cada uno de ellos. 41 Representa los datos de la encuesta del ejercicio 35 Asocia la moda correspondiente a cada uno de anterior mediante diagrama de sectores. los casos: 2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 2 20 42 Imagina un estudio estadístico y represéntalo mediante un diagrama de barras. 20, 25, 22, 22, 21, 20, 20 2 5, 7, 2, 5, 5, 7, 9, 5 43 A las encargadas de Lentejas 4 un comedor infantil se les ha Garbanzos 3 consultado la frecuencia al 36 En esta secuencia de datos, ¿cuál es la media y mes de los siguientes alimen- Macarrones 3 cuál es la moda? tos: Espagueti 2 15, 15, 20, 25, 10, 15, 20, 10, 15, 15 Vainas 3 Nota: El mes se considera de 22 días lectivos. Coliflor 2 37 En un grupo de 10 personas se ha medido la Sopas 5 altura de cada una de ellas, siendo el resultado el si- a) ¿Cuál es la moda? guiente: b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagra- 1,80; 1,74; 1,82; 1,60; 1,50; 1,72; 1,50; 1,75; 1,65; 1,50 ma de barras. Calcula la altura media en este grupo. 44 De cien encuestados en un concesionario, se les ha consultado sobre las preferencias que exigen de 38 ¿Cuál es la moda entre los deportes preferidos serie en un coche: de los padres? Deportes preferidos de los padres Aire acondicionado 28 Elevalunas eléctrico 15 5% 15% Radio MP3 17 20% Llantas de aleación 12 Pintura metalizada 3 Natación Airbags 18 Fútbol Tapicería de cuero 2 Baloncesto Teléfono 5 Tenis a) ¿Cuál es la moda? b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagra- ma de barras. 60% 45 Tras el mes de agos- Playa 37% 39 En la siguiente secuencia de datos, ¿cuál es la to, en una agencia de turismo media y cuál es la moda? Montaña 23% han confeccionado la siguien- te tabla sobre los destinos Balnearios 11% 2,5; 3; 3; 1; 2,5; 4; 3; 1; 4; 4,5; 4,5 más solicitados de los clien- Cultural 18% 40 En una tienda de electrodomésticos, se ha con- tes: Nieve 2% sultado a los clientes por el número de averías que han a) ¿Cuál es la moda? Variado 7% sufrido con sus electrodomésticos en un año, obtenién- dose los siguientes resultados: b) Realiza el diagrama de barras y el diagrama de sec- tores. 7, 4, 1, 0, 5, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3 243
- 17. 13 PARA REPASAR EN GRUPO Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos. CONCEPTO DEFINICIÓN Son dos ejes, uno horizontal (eje X o eje de abscisas) y otro vertical Ejes de (eje Y o de ordenadas) colocados perpendicularmente, llamando al coordenadas punto de corte origen de coordenadas. Puntos del plano Vienen dados por dos coordenadas expresadas entre paréntesis: (x, y). Tabla donde queda expresada la relación de los valores de la primera Tabla de valores magnitud llamada x y los de la segunda magnitud llamada y. Cuando se relacionan 2 magnitudes, una será la variable independiente, que varía sin depender de nada, y la otra será la variable dependiente, que varía en función de la variable independiente. Función – Variable independiente: se representa en el eje X. – Variable dependiente: se representa en el eje Y. Una función es una relación entre dos variables de manera que a cada valor de la variable independiente le corresponde, como máximo, un valor de la variable dependiente. Rama de las Matemáticas mediante la cual se obtienen datos sobre Estadística una población para analizarlos e interpretarlos. Población: Grupo de elementos sobre los que se realiza una investigación. Población, muestra e Muestra: Parte seleccionada de una población de donde se recogen individuo datos significativos. Individuo: todos y cada uno de los componentes de la población. Frecuencia absoluta (fi): Recoge las veces que aparece cada uno de los valores que puede tener la variable estudiada. La suma de todas las frecuencias absolutas se representa por N, que significa a la vez el Tablas número total de individuos de la muestra o tamaño muestral. estadísticas Frecuencia relativa (Fi): Es la división entre la frecuencia absoluta y N. Porcentaje (%): Se halla multiplicando la frecuencia relativa por 100. Es la suma de todos los valores de la variable contados tantas veces Media como se repiten, dividida entre el tamaño muestral. Moda Es el valor más repetido de la variable estudiada. Población (%) No ven la TV Diagrama de barras: 50% Ven la TV menos de 1 hora al día Ven la TV entre 1 y 3 horas al día Ven la TV más de 3 horas al día 40% 35% 30% 30% 25% 20% 10% 10% Representaciones 0% estadísticas 10% 10% gráficas Diagrama de sectores: Bellas Artes 15% Filosofía Derecho 30% Biología Psicología Economía 25% 10% 244
- 18. CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS HUNDIMIENDO DEL BARCO PIRATA Para llevar a cabo este juego se necesita un 1 2 3 4 5 6 7 mínimo de dos jugadores. Cada jugador reali- A za una plantilla como la del margen donde en cinco de los cuadros coloca un barco. B ¡Recuerda que tu contrincante no puede ver C dónde colocas la flota! D Una vez realizada la cuadrícula y colocados los E barcos, ¡empieza la batalla! Comienza cualquie- ra de los dos, mencionando una coordenada, F por ejemplo: (A, 3). G Si resulta que el contrario ha colocado un barco en esa posición: ¡hundido! Tendrás otra oportunidad, pero si no ha colocado ningún barco en esa po- sición: ¡agua! Entonces será el turno del otro jugador. El ganador será el que hunda primero los barcos del contrario. ¡Ánimo y a ganar! LAS MATEMÁTICAS SON… ¿Cuál es la palabra clave…? Pon en este eje de coordenadas los puntos de la tabla y asígnales la letra que les corresponde. Luego lee de izquierda a derecha. I (–4, 6); V (–3, 0); R (0, 0); S (10, –10); E (6, 3); U (–6, 3); L (3, –7); S (1, 3); N (–5, 3); E (–2, 2); A (2, 4) DESAFÍO MATEMÁTICO ¡Vamos a simular que somos periodistas! Haced en clase grupos de cuatro personas y organizad un pequeño estudio sobre las horas que dedican cada día a la lectura los jóvenes entre 15 y 18 años. Además os habéis propuesto analizar si estadísticamente hay relación entre la afición de los padres lectores y la afición de los jóvenes. Aquí proponemos unas pautas a seguir: • Tener claro cuál es la población. • Escoger una muestra de la población (recuerda que ha de ser una muestra representativa). • Tendrás que realizar una encuesta para informarte si cada individuo lee o no. En caso afirmativo, preguntar cuántas horas lee al día, e independien- temente de la respuesta inicial, preguntar por la afición de los padres y madres por la lectura. • Ordenar los datos obtenidos en una tabla estadística. • Hallar los parámetros estadísticos. • Para finalizar, haced un pequeño informe sobre las conclusiones obtenidas. ¡Ánimo, periodistas! 245