Plano Coordenado
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El documento aborda conceptos fundamentales de precálculo, como la localización de puntos en el plano coordenado, la creación de gráficos y diagramas, y el cálculo de distancias y puntos medios. También se discuten gráficas de ecuaciones y círculos, así como su relación con sus interceptos y ecuaciones correspondientes. Finalmente, incluye ejercicios prácticos para consolidar el aprendizaje.
Plano Coordenado
- 1. Tema I El Plano Coordenado Precálculo
- 2. Objetivos • Localizar puntos en el plano coordenado. • Crear un diagrama de puntos y una gráfica de línea de un conjunto de datos. • Determinar la distancia entre dos puntos en el plano. • Encontrar el punto medio de un segmento. • Entender la relación entre ecuaciones y sus gráficas. • Encontrar los interceptos de una gráfica. • Encontrar la ecuación de un círculo. • Identificar ecuaciones cuyas gráficas son círculos.
- 3. Plano Cartesiano y 4 3 CUADRANTE II CUADRANTE I 2 origen 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 CUADRANTE III CUADRANTE IV -3 -4
- 4. Plano Cartesiano Da las coordenadas de los puntos marcados en el siguiente plano cartesiano. y 4 A 3 E 2 1 C x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 D -2 B -3 -4
- 5. Plano Cartesiano • La siguiente tabla, del Departamento de Educación de EEUU muestra el máximo otorgado en Beca Pell para estudiantes universitarios en diferentes años. Año 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Cantidad 2300 2400 2300 2470 3000 3300 4000 4050 Utilizando esta información dibuja un diagrama de puntos y una gráfica de línea. y y 40 40 30 30 20 20 10 10 x x 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14
- 6. La Fórmula de Distancia La distancia entre los puntos x1 , y1 y x2 , y2 es d x1 x2 y1 y2 2 2 y Encuentra la distancia entre los 1 dos puntos marcados x en el siguiente eje -2 -1 1 2 cartesiano. -1 -2 -3 -4
- 7. Formula de Distancia • En un juego de los Cubs en Wrigley Field, un guardabosque captura la pelota cerca de la esquina del jardín derecho y la lanza a segunda base. La esquina del jardín derecho está a 353 pies del home, a lo largo de la línea del foul. Si el guardabosque está a 5 píes de la pared del outfield y a 5 pies de la linéa del foul, ¿cuán lejos lanzo la pelota?
- 8. Formula de Distancia • Encuentra la distancia desde (a, b) y (2a, -b), donde a y b son números reales fijos.
- 9. Fórmula de Punto Medio El punto medio del segmento que une los puntos x1 , y1 y x2 , y2 esta dado por: x1 x2 y1 y2 , 2 2 y Encuentra el punto medio de los puntos dados. 4 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3
- 10. Fórmula de Punto Medio • Las ganancias anuales de la compañía Dell fueron 31.2 billones en el 2002 y 55.9 billones en el 2006. Asumiendo que la ganancia fue aumentando linealmente, estima la ganancia en el 2004.
- 11. Gráficas • Una gráfica es un conjunto de puntos en el plano. • Una solución de una ecuación en variables x & y es un par de números tal que la sustitución del primer número por x y del segundo número por y produce un enunciado cierto. – Ejemplo • 5x + 7y = 1, (3, -2), (-2, 3) • La gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son solución de la ecuación.
- 12. Gráficas Se muestra la gráfica de y x2 2 x 1. y 4 3 2 (-1,2) 1 x -1 1 2 3 -1 (0,-1) -2 (1.5,-1.75)
- 13. Gráficas • El intercepto en x es la coordenada x del punto donde la gráfica interseca el eje de x. • El intercepto en y es la coordenada y del punto donde la gráfica interseca el eje de y. y y y 4 6 6 2 4 4 x 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 2 -2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x -2 -4 -2 2 4 -4
- 14. Gráficas Encuentra los interceptos en x & y de la gráfica de y x 2 x 1. 2 El proceso de encontrar interceptos en x & y se puede resumir de la siguiente forma. Para encontrar el intercepto en x: 1) Cambia y por 0. 2) Resuelve por x. Para encontrar el intercepto en y: 1) Cambia x por 0. 2) Resuelve por y.
- 15. Gráficas • Cesar tiene una hipoteca de 30 años en la cual su pago mensual es $850. En el siguiente eje coordenado se muestra la porción de cada pago va para intereses y la porción de cada pago que va para el principal. y 800 700 600 A 500 400 300 200 B 100 x 60 120 180 240 300 360
- 16. Gráficas • ¿Cuál gráfica es la porción del interés y cuál es la porción del principal? • Al cabo de 10 años (120 meses), ¿cuánto del pago va para intereses y cuanto para el principal? y 800 700 600 A 500 400 300 200 B 100 x 60 120 180 240 300 360
- 17. Círculos • Si (c, d) es un punto en el plano y r es un número positivo, entonces el círculo con centro (c, d) y radio r consiste de todos los puntos (x, y) que descansan r unidades de (c, d) (x, y) r (c, d)
- 18. Círculos El círculo con centro c, d y radio r es la gráfica de x c y d r2 2 2 (x, y) r (c, d)
- 19. Círculos • Identifica la gráfica de la ecuación (x – 4)2 + (y – 2)2 = 9. • Encuentra la ecuación del círculo con centro (-3, 2) y radio 2 y grafícalo. • Encuentra la ecuación del círculo con centro (3, -1) que pasa por (2, 4). • Muestra que la gráfica de 3x2 + 3y2 – 12x – 30y + 45 = 0
- 20. Círculos El círculo con centro 0, 0 y radio r es la gráfica de x2 y 2 r 2 Si hacemos que r = 1, tenemos entonces que x2 + y2 = 1 es el círculo de radio 1 con centro en el origen. Este círculo es llamado el círculo unitario. y x -1 1
- 21. Ejercicios Recomendados • Libro “Contemporary Precalculus: A Graphing Approach”, páginas 48 – 53, ejercicios 1 – 6, 11, 15, 18, 19, 24, 30, 33, 37 – 46, 49, 55 – 77 (impares)