Ce Soi

UNIVERSIDAD DE
BUENOS AIRES
FACULTAD DE INGENIERIA

CALCULO ELECTRICO DE
LINEAS

ING. HECTOR LEOPOLDO SOIBELZON

Buenos Aires, octubre de 2004

Este apunte surge a partir de mis manuscritos, basados en los aprendizajes a lo
largo de mi vida profesional y académica, teniendo como referencia los libros de los
profesores Marcelic, Langrehr, Checa, Stagg El Abiad, Stevenson, Carpentier, Ras
Oliva, Dalla Verde, Gotter y Simonoff, actualizados con otros libros. Aún no me había
atrevido a pasarlos a texto en com putadora dada la enorme dificultad en escribir los
símbolos que corresponden a magnitudes vectoriales, fasoriales, complejas,
tensoriales y a la diferencia entre tensión simple y tensión compuesta.
Gracias a la muy buena voluntad de la Secretaría de Laboratorio Paula Lastra del
Departamento de Electrotecnia de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de
Buenos Aires, estos apuntes pueden ahora hacerse públicos.
Sin embargo, sería muy laborioso realizar los dibujos y yo no tengo posibilidades ni
tiempo para hacerlo, por lo que he optado por dibujarlos a mano sobre papel
cuadriculado y escanearlas. Las figuras están al final del texto.
Como no tenía otro símbolo elegible, a los valores simples, por ejemplo tensión los
∨
llamé Uf y a los tensores, por ejemplo permitividad, los llame ∈.

LA CAIDA DE TENSIÓN EN LINEAS CORTAS

En corriente continua, durante el régimen de permanente, L y C no causan ningún
di du
problema pues no existen ni , de modo que
dt dt
di 1 du
e=L = 0 ; u = ∫ i dt ⇒ i=C =0
dt C dt

Como, salvo en régimen variable (rápida conexión o desconexión de cargas), ellas
no existen, solo entra R en corriente continua.
En régimen transitorio de desconexión:

u = k1 ∈−t / T con T = LC
(
o de conexión u = k2 1− ∈−t / T )
En c.c., en vacío Us = Ur , en cambio, en carga:

Us = Rcond.I + R c arg a I
Us = U R + RI existe una caída que será mayor a medida que es mayor .Ι

Caída

Us Ur

Efectos de la tensión y corriente alterna en las líneas

Como u e i varían, acá ya entran L y C y por la imperfecta aislación de los aisladores
y del aire, entra G.

2

En la línea, estos parámetros están uniformemente distribuidos, de modo que el
circuito equivalente correcto será, expresando como unidad de longitud el km:

Para la long. total R = r .l ,ω L = X , etc.
Como es sabido,
d
L = k1 . l n
r
1
C = k2
d
ln
r
Hay ciertos casos en que se desprecia C, y salvo casos muy especiales, g casi
nunca se considera.
Pero, en general, la línea tendrá:

Ζ = R + j X (Ω )
X
tg Ψ = ( Ψ ángulo de Ζ de la línea)
R
Υ = ( g + jb )l
G
tg Ψy = ( Ψy ángulode Υ dela línea)
B

A los valores de r, x, b y g se los denomina constantes básicas de la línea.
Veremos ahora la expresión de la caída en c.a. considerando solo R y X pues es
mas evidente e intuitivo, la ampliación a línea larga es mas fácil.
En c.c. teníamos

U s = U R + ∆U

3

En c.c. Us y UR son escalares, no fasores.
s s s
En c.a., U R no esta en fase con ∆U ni con U S

s s
U S ≠U R y no están en fase, ∃ el ángulo δ (igual nombre al del generador
sincrónico).
Como en general se estudia lo que ocurre en el extremo del recibo, se toma
s
U R como fasor de referencia.
s
US =UR + I Z
Us. e j δ = Ur e jo + Ι . e − jϕ .Z e j ψ [1]
1 24
4 3
si ϕ es positivo o negativo, eso es otro asunto, la figura [5] y la ecuación [1] son
generales.
d d
Como ≈ 500 − 1000 , ⇒ ln ≅ cte ,ω L ≈ cte.
r r

Vale entre 0,35 y 0,42 Ω / km para todas las líneas de 1 solo conductor/fase, a 50 Hz
por ello, el valor típico usual es x ≅ 0,4 Ω / km
pero r varía mucho con la sección

Ω. mm 2  Ω . mm 2 
∫ ρ Cu = 0,017 m
.10 3 = 17  
 km 
 Ω . mm 2 
∫ ρ Al = 28 ,26  
 km 
S = 10 mm 2 → r = 1,7 Ω / km
S = 100 mm 2 → r = 0,17 Ω / km

4

∴ si r >> ω L para secciones chicas, como
X
ty ψ = sera ψ < 45 º
R
∴ para secciones grandes ψ ≈ 80 º

Dijimos

Us e jϕ = Ur + Ι . Z e j (−ϕ +ψ )

∴ para calcular la caída de tensión escalar:
s s
∆U = U s − U R

Se quiere encontrar lo que marcan los voltímetros; si δ es chico, del orden de los 6º
u 8º, casi podría hacer la proyección, diciendo sen δ = tg δ .

Y decir ∆U = U S − U R = ΙΖ cos (Ψ − ϕ )
∆U = Ι Z (cos ϕ cos ψ + senϕ senψ )
Z cos Ψ = R
pero
Z sen Ψ = X
Ι cos ϕ = Ι p
Ι senϕ = Ιq

∴ ∆U = Ι p . R + ΙqX [2]

Expresión importantísima en todos los cálculos de caída en líneas cortas.
Nos quedaría por justificar porqué no se introduce C y si δ es tan chico para las
líneas cortas.

Supongamos que cos ϕ = 1

5

ΙX Ι . X U R
senδ = = .
Us Us U R

PR .X
pero U R .Ι = PR ∴ senδ =
Us . U R
U ⋅U R
PR = S senδ [3]
X

que es otra de las fórmulas básicas de la transmisión.

De ella se vé que

1. Si δ = 0 º , sen δ = 0 , no existe transmisión de potencia activa.
∴δ es necesario. Pero δ debe siempre en la línea ser menor que 30º, pues
debo sumar los δ de las máquinas sincrónicas y trafos en ambos extremos,
cualquiera sea la longitud de la línea, aún cuando a >δ puede transmitir mas
potencias.

6

2. Además aún cuando cos ϕ recibo =1 (ϕ = 0 o ) la Us está desfasada de Ι : la línea
consume energía reactiva inductiva para operar.

3. El desfase entre tensiones extremas aumenta con la longitud de la línea, pues
Χ = xl

4. Verificaremos cuanto vale δ para el caso de líneas cortas.

10
Ρ ≈ 10 MW Ρf = , U ≈ 33 k V ∴ U f ≅ 19 ,1 k V La caída siempre es <10%
3
∴ U S ≈ U R , l = 10 km; x = 0,4 Ω / km
PR . X 10 ⋅ 10 6 W ⋅ 0,4 x 10 (Ω / km )x km
sen δ = = ≅
U2 3 19 ,1 2 ⋅10 6 V
40
≈ ≅ 0,03 ⇒ δ es el órden de los 6º.
400 ⋅3
Veamos que ocurre con el consumo de energía por parte de la línea:

U S = U R + Ι (R + jX )

multiplicando escalarmente por Ι
s s
U S ⋅ I = U R ⋅ I = jΙ 2 X
N S = PR + RΙ 2 + jXΙ 2
s s
U R ⋅ I = PR pues Ι y U están en fase.
RI 2 evidencia las pérdidas por efecto Joule.
2
jXI muestra que en la línea existen, además pérdidas de magnetización
necesarias para el funcionamiento.
“La línea es un consumidor de potencia reactiva aún cuando el consumidor lo sea
sólo de potencia activa”.
Entonces, siempre que circule corriente habrá pérdidas por efecto Joule y pérdidas
de magnetización, que no dependen de la U nominal, sino de Ι y X ; las mismas
pérdidas pueden aparecer en 13,2 que 400kV.

En cambio, debido a la capacitancia de la línea, aparecen pérdidas de forma:

 −6 S 
ωC ⋅U 2 ~ ω C ~ 2,5 x10 km aún en vacío
 

¿Qué pasa si la carga es capacitiva?.
Los consumidores naturales son resistivo-inductivos, pero supongamos que tengan
un capacitor en //, por ejemplo para compensación y quedó conectado de noche, por
ejemplo.

7

De la figura [8] se observa que podría llegar a ser U S < U R (cosa inconcebible en
corriente continua), es decir no caída sino sobre elevación de tensión en el receptor
causada por la línea.

Ahora es
∆ U = Ι p ⋅ R − Ιq X (pues ϕ es negativo). Podría ser ∆U negativa si Ιp ⋅ R ≤ Ιq X .

En general, cualquiera sea la tensión las corrientes en una línea de transporte son
del orden de entre los 100 y 1000 A, o sea como 1/10, mientras las tensiones están
entre 13,2 y 750 kV y quizá 1.200 kV dentro de poco, o sea 1/100, >> variación.
En el campo de las M.T. ∆Q capacit << ∆Q ind
Mientras que en MAT
∆ Q capacit >> ∆ Q ind por eso en MT no entra C.
∆Q ind = f (Ι )
Además
∆Q cap = f (U )

Transmisión de la energía en las líneas
Propagación de la tensión y la corriente alternas.

Si se quisiera trasmitir energía por microondas, con una longitud de onda de 30cm =
a 1.000 MHz. A esta frecuencia se combina una pequeña absorción por el aire (2,0
% por c/15 km de camino con razonables propiedades de enfoque).
Una antena de unos 30m de diámetro produce un haz recto, concentrado y poco
desvanecido.
En el extremo de recibo, a una distancia de 15 km, se requiere una antena de
~100m de diámetro para captar alrededor del 95% de la energía trasmitida.
Restándole del 2% de la absorción por el aire, solo el 93% de la energía emitida es
recibida.
Comparando con las líneas de transporte, que presentan una eficiencia del 99%,
una pérdida del 7% es inaceptable.
Otro dispositivo factible para transmisión inalámbrica es el laser, que produce un
canal perfectamente definido de intensa radiación dentro de la zona visible e
infrarroja del espectro.

8

Hoy día podemos decir que el laser está suficientemente desarrollado como para
transmitir considerables montos de energía.
El problema insoluble es que la radiación visible es infrarroja. Son altamente
absorbidas por el humo, la niebla y la lluvia.
Además se debe considerar el efecto de la transmisión de considerable potencias en
haces estrechos no blindados.
Se estima que a 1.000 MHz, con una densidad de potencia de 10 W/0,1 m 2 daña
físicamente a cualquiera que se atraviese en el haz, una densidad de 25kW/0,1m2.es
letal en cortas exposiciones).
Por estas consideraciones estimamos que las líneas de A.T. no serán obsoletas aún
por un tiempo.
El comportamiento de una línea de c.c. se puede asimilar al de la circulación de
fluidos dentro de cañerías.
Si aumenta la sección y la d.d.p. (altura), llega teóricamente a transmitir cualquier
potencia. En la práctica, sin embargo existen límites dados por la tecnología de los
aparatos y aspectos económicos.
El comportamiento de las líneas de c.a., en cambio no se puede asimilar al de las
cañerías a causa de L y C. En la práctica, las diferencias se hacen muy notables en
la transmisión de grandes potencias a largas distancias, aún cuando, lógicamente,
también las líneas cortas presentan L y C.
A causa de la C, existe una derivación de Ι por la línea, de forma que Ι S ≠ Ι R

Como ωCs = b ≈ 2,5 x 10 −6 S / km

Una línea de 33 kV y 50 km presentará:

B = 2 ,5 x10 −6 x 50 = 1,25 x10 −4 S
33
Uf = = 19 ,1 ≈ 20 k V
3
∴ Ι cap = U f B = 20 x 10 3 x 1,25 x10 −4 = 2,5 A
N = 3 ⋅U ⋅ Ι = 3 ⋅ 33 ⋅ 2 ,5 = 141 kVA

En cambio una línea de 400 kV y 1000 km tiene:

B = 2 ,5 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 3 = 2,5 x 10 −3 S
400
Ιcap = 2,5 x10 −3 x x10 3 ≅ 700 A
3
N = 3 UΙ = 3 ⋅ 400 ⋅ 700 x 10 3 ≅ 500 ⋅ 10 6 VA

Pero 500 MVA es la potencia de una central grande. Claro que eso no es todo, pero
desde ya vemos que mientras en MT se puede evitar el cálculo de la C, pues la Ι
capacitiva es despreciable frente a la I transportada, en líneas de AT y MAT hay que
tomarla en cuenta pues Ι cap ~ Ι transportada

9

U S = U R
Entonces mientras que en la línea corta  en vacío,
 I S = 0, I R = 0
U S ≠ U R
En la línea larga  en vacío
I S ≠ 0, I R = 0

Representación de las líneas

Las líneas operan generalmente con cargas trifásicas simétricas y equilibradas, y
las líneas son casi siempre simetrizadas.

El circuito se simplifica poniendo R y L como parámetros concentrados, lo que
siempre es válido, mientras no se considere la C ni la G derivación, y siempre y
cuando se considere la relación entre extremos de recibo y salida, pues
R = r . l; X = x. l .
Si el sistema es simétrico , no circula corriente por el neutro que une O con N, ∴
puede eliminarse el conductor neutro.

10

Además, las U e Ι en las fases 1,2 y 3 son de = amplitud, solo que están
desfasadas 120º y 240º respecto de V1 ó I1 , ∴puedo hacer todos los cálculos
para una sola fase.
Dijimos además que G para los cálculos técnicos generalmente se desprecia
cuando se desea calcular la U e Ι de una línea.
La línea es un filtro pasabajos integrador.

Clasificación de las líneas para su cálculo eléctrico.

La clasificación de las líneas para el cálculo es función de la tensión nominal, la
longitud y las aproximaciones admitidas al operar con los parámetros. En
realidad, como, por ejemplo, sabemos que la potencia se duplica cada 10 años si
el crecimiento es del 7% anual acumulativo, nunca se conoce eso exactamente
¿y para que año lo cálculo?, Capaz que dentro de 20 años mi error fue grande.
R, L y C están distribuidas uniformemente y en el cálculo exacto de las largas
líneas así se considera.
Las líneas de 33 kV o menos y longitud < 60 km, se llaman líneas cortas y en
ellas se desprecia la capacitancia.
Líneas con tensiones del órden de los 66-132 kV y longitudes entre 60 y 200 km
se llaman líneas medias. Para las < U y long se supone toda la capacitancia
concentrada en la mitad de las líneas, se llama esquema T; para las > U y long
1
se pone la de la capacitancia en cada extremo de la línea. Se llama
2
esquemaπ .
Líneas de > 132 kV y 200 km deberían calcularse con parámetros distribuidos
aún cuando hasta 300 km puede usarse el esquema π .

[ ]
Ζ Ω / km (impedancia serie )
Ζ = z ⋅l ; Υ = y ⋅ l
Υ [S / km] (admi tan cia derivación)

Líneas cortas

El circuito equivalente de una línea corta es

11

Ι S , Ι R : Ι en salida y recibo; U S ,U R : U en salida y recibo.
Cuando los signos están como en la figura 12, se dice que son positivos.
Este circuito se resuelve como un circuito sencillo de c.a. Como no hay ramales
en //, la Ι es = en ambos extremos.
s s
ΙS = ΙR [4]

La U S en f (U R ) será:
s w s
Us =U R + I R ⋅ Z [5]

El efecto de la variación del cos ϕ R sobre la U S entiende mejor en las líneas
cortas. Además, introduciendo el concepto de impedancia de transferencia, la
generalización a las líneas largas se hace inmediata.
El concepto de caída porcentual de tensión en el extremo de recibo, también
aparece acá. Algunos lo llaman regulación. Es:
s s
U Ro − U RN
% caída = s
U RN

En la que:
s s
U RO = U R en vacío; U RN = U R en carga nominal.
Del circuito equiv. Fig [12], vemos claramente que, en el funcionamiento en
vacío:
s s
U Ro = U SO (pues no hay Ι carga)
Dijimos que mantendremos la I RN y la U RN , pero veremos cual es la caída
porcentual de tensión al variar cosϕR .

12

De estos casos se observa que, si bien las caídas en la línea Ι R ⋅ R y Ι R ⋅ X son
s
= en los 3 casos, la US es < con carga R que con carga R − X L y aún < con carga
R − X c . Además vemos que el ángulo δ aumenta al hacerse la carga mas
capacitiva o sea que aumenta el desfase entre U extremas. Además, con cargas
capacitiva U S puede ser < que U R cosa inconcebible en corriente continua. (En
vez de ser caída es elevación deU ).
La relación entre cos ϕ R y U S es similar en las líneas largas, pero no se visualiza
tan fácilmente.

13

En cuanto a la cuantificación en sí de la caída de tensión, ya vimos que la
ecuación da:
∆U f = I p ⋅ R − I q ⋅ X

Líneas medias

Para este tipo de líneas se debe introducir la admitancia (generalmente C pura).
Si se la introduce en la mitad de la línea tendremos el circuito T.

Z = R + jX de una fase respecto al neutro. Idem Y . Generalmente el dato es lo
que se necesita en el recibo o sea U R e I R y las incognitas U S e I s
En este circuito:
s s Z s  s s Z  Z
U S = U R + I R ⋅ +  I R + U R + I R ⋅  Y  ⋅

2   2  2

s
(
s s
quiero obtener U S = f U R , I R )
s  Z ⋅Y  s  Z 2 ⋅Y  s
U S = 1 +
  U R + Z + ⋅ I R [6]
 2  

 4 

s s s s Z
I S = I R + U R + I R ⋅  Y

 2

s s  ZY  s
I S = Y ⋅ U R + 1 +
 IR [7]
 2 


El circuito π se utiliza mas a menudo que el T, pues se acerca un poco más a la
C distribuida. En el :

14

s s s s Y 
U S = U R + Z  IR + U R ⋅  .

 2  
s  Z ⋅Y s s s
U S = 1 +  UR + Z ⋅ IR [8]
 2 
s s
s s s Y s Y
IS = I R + U R ⋅ + U S ⋅
2 2
s ss
s s s Y  Z Y  s s s Y
I S = I a + U R ⋅ + 1 +

U R + Z ⋅ I R 

2  2  2

s s2 s s
s s  s Z ⋅Y   Z ⋅Y  s
I S = U R Y +

 + 1 +  IR [9]
 4    2  

Comparamos 4 y 5 con 6, 7, 8 y 9 vemos que:

1) Si Y es despreciable, las ecuaciones son iguales.
2) Usar T ó π se confirma que no es indiferente.

En caso de dudas puede dividirse la línea en 2 T ó π en serie, lo que aproxima más
los resultados.

Líneas largas.

Para llegar a las ecuaciones recién desarrolladas hemos supuesto tácitamente que
la I que se deriva es = y constante en cada punto. Lo que en realidad es igual y
constante es la C y la G. Por eso es que las I no se derivan en todos los tramos con
igual intensidad, ya que la corriente en derivación provoca un cambio en las caídas
s
I Z en cada tramo elemental de línea y ∴ las U aplicadas a cada admitancia son
distintas y las I que se derivan también lo serán.

15

Sea l la distancia considerada desde el extremo de recibo y d l la longitud del
elemento.
La amplitud y fase de U variará a lo largo de la línea, lo mismo que I
s s
dU = I ⋅ z ⋅ d l
s
dU s
= I ⋅z [10]
s dls
dI = U ⋅ y ⋅ d l
s
dI s
=U ⋅ y [11]
dl

derivando respecto de l ambas ecs tenemos
s s
d 2U dI
=z⋅ [12]
dl 2 dl
s s
d 2I dU
=y⋅ [13]
dl 2 dl

reemplazamos 10 y 11 en 12 y 13.
s
d 2U s
2
= y ⋅ z ⋅U [14]
dls
d 2I s
2
= y⋅z⋅I [15]
dl

asi en la 14 las únicas variables son U y l y en la 15 I y l .
d2
Tenemos 2 ecuaciones en la que la es = a la función original (multiplicada por
dl 2
y ⋅ z ). Por lo tanto, la solución es seguro una función exponencial.
Si supongo que la solución es

16

U = A1 ⋅ ∈ + A2 ⋅ ∈−
z ⋅ y ⋅l z ⋅ y ⋅l
[16]
dU z ⋅ y ⋅l zy ⋅l
= zy ⋅ A1 ⋅ ∈ − zy ⋅ A2 ∈− [17]
dl
d 2U
= z ⋅ y  A1 ⋅ ∈ 
z⋅ y ⋅ l z ⋅ y⋅l
+ A2 ⋅ ∈−
dl 2 
 


que es z ⋅ y veces la ecuación original
Sustituyendo 14 en 7:

z⋅ y z ⋅ y ⋅l zy z ⋅ y ⋅l
I= ⋅ A1 ⋅ ∈ − ⋅ A2 ⋅ ∈
z z
1 z ⋅ y⋅l 1 z ⋅ y⋅l
I= A1 ⋅ ∈ − ⋅ A2 ⋅ ∈ [18]
z/ y z/y

z z ⋅l Z
= =
y y⋅l Y

es constante cualquiera sea le longitud que se considere, y tiene dimensiones de
impedancia. Se llama impedancia característica o impedancia de onda de la línea,
indica con Z o ⋅ z ⋅ y es adimensional. Se indica con la letra Θ , y se llama constante
de propagación.
s s s s
Para sacar los valores de A1 y A2 , hago l = 0 ,∴U = U R I = IR
s
de 16 U R = A1 + A2

s 1 s
de 18 I R = ( A1 − A2 )∴ I R Z O = A1 − A2
z/y

s s
U R + I R ⋅ Z O = 2 A1
si sumo s s
U R + IR ⋅ ZO
A1 =
2

s s
U R − I R ⋅ ZO
restando sale A2 =
2
s s s s
s U R + I R ⋅ Z O Θ⋅l U R − I R Z 0 − Θl
U = ⋅∈ + ∈
2 2
sustituyendo s s s s [19] y [20]
s U R / Z O + I R Θ l U R / Z O − I R −Θ l
I = ⋅∈ − ∈
2 2

Con las ecuaciones 19 y 20 se puede calcular U e I en cualquier punto de una
línea.

Las pérdidas de potencia no son ∆U ⋅ I , como, a veces, se confunde.
17

∆Ρ ≠ ∆U ⋅ I
[
∆Ρ = R I 2 = R (I cos ϕ ) + (I senϕ )
2 2
]
∆U ⋅ I = (I cos ϕ ⋅ R + I senϕ ⋅ X ) (I cos ϕ + I senϕ )
∴ ∆Ρ ≠ ∆ U ⋅ I

EL RÉGIMEN DE TRANSMISIÓN PARA LÍNEAS CORTAS Y LARGAS.

En las líneas largas, en las que generalmente se transmite con cos ϕ = 1 (carga
resistiva) y x > r , si tomáramos como punto de partida la expresión de la caída en la
línea corta:
P
∆U = Ip ⋅ R + Iq ⋅ X = R (r + x ⋅ tg ϕ r )l
3U

y recordamos además que la línea absorbe potencia reactiva – inductiva para
funcionar, aún cuando el consumidor lo sea solo de potencia activa.

Acá N R = U R ⋅ I ⋅ ∈JO = PR + j 0
s s s
Mientras que U S = UR + I (R + jX ) [21]
Multiplicando por I
s s s s
U S ⋅ I = U R ⋅ I + I 2 R + jI 2 X
s s
pero U R ⋅ I = PR
pues ϕ = 0 o
I 2R son pérdidas Joule
I 2X es la potencia reactiva inductiva absorbida

Esta potencia reactiva inductiva absorbida, trifásica, vale:

QS = 3 I 2 ⋅ X = 3I 2 x ⋅ l = 1,2 ⋅ I 2 ⋅ l (x = 0,4 Ω / km ) [22]

18

potencia que se desprecia en el cálculo de pérdidas de líneas cortas, por ejemplo en
33 kV, transmito 4.000 kW a cos ϕ =1 y l = 30 km me dá: QS =178 kVA, despreciable
frente a la potencia trasmitida (recordar que en cálculo económico solo se toman en
cuenta las perdidas Joule).

En cambio la línea que transmita 1000 A a 1000 km
QS = 1,2 x10 6 x10 3 = 1.200 MVAr
mientras que, si fuera de 500 kV, podría transmitirse, a lo sumo, 1000 MW.
Entonces vemos que, para que sea posible el transporte de grandes potencias a
largas distancias, debería existir algún otro factor que no tienen en cuenta la
ecuación [21] pues sino las caídas de tensión y flujos de potencias reactivas serían
inadmisibles.
Las líneas largas funcionan porque, justamente, además de aparecer energía
reactiva inductiva a acusa de la inductancia, aparece una energía reactiva capacitiva
a causa de la capacitancia.

El receptor está compensado, de modo que N R es puramente activa

En la figura [20] se ilustra un ejemplo.

Y esta es una línea “media”. En vacío, la línea “genera energía reactiva” Por lo tanto
un estado intermedio con kVAR ← y → que valen cero.
∴ también en salida la potencia es puramente activa.
De ahí vienen los famosos y discutidos signos menos antepuestos a Q.
Lo cierto es que durante el transporte de grandes potencias a largas distancias
puede ocurrir que este totalmente compensada la Q ind. con la Q cap. Desde el
punto de vista del generador solo se consume Wactiva. Desde el punto de vista de la
carga solo se absorbe Wactiva. Entonces a lo largo de la línea lo que hay es una
exacta compensación.
Qcap = 3U f ⋅ ω ⋅ C ⋅ l ≈ 2,6 x10 −6 xU 2 ⋅ l
2
[23]

Q cap= cte según 23, mientras que, según 22 Q ind depende la I transportada.

19

En la línea larga se compensa siempre la carga, de modo que los ϕ R = 1 siempre.
s
Además, con capacitores o con compensador sincrónico se puede regular U R
según la necesidad, de modo que las permisas de cálculos de las líneas largas son
muy ≠ de las líneas cortas. Mientras en las líneas cortas lo que se trata de fijar la
caída de tensión y luego calcular la regulación, eventualmente disponer de
capacidad serie regulada automáticamente de U a la salida, en las líneas largas de
interconexión al cálculo se efectúa escogiendo de antemano una relación U s / U R y
determinando luego las compensaciones necesarias para cumplir estos
requerimientos a cargas variables.
La selección de un dado valor de la relación U s / U R depende no solo de condiciones
técnicas sino económicas:
A > diferencia U s − U R , > caída, > pérdidas
A < diferencia U s − U R , > compensación, > gastos iniciales.
No obstante, el funcionamiento de una línea larga aún sin compensación, es >>
complicado que el de la línea corta, por lo que no pueden emplearse las sencillas
ecs anteriores, hay que plantear las ecuaciones exactas.

Las ecuaciones exactas de la línea larga y sin interpretación.

Las expresiones de la U y la I en cualquier punto de una línea larga son:
s s s s
s U R + I R ⋅ Z 0 Θ l U R − I R Z o −Θ l
U= ∈ + ∈ [24]
2 2
s s s s
s U R / Z o + I R Θ l U R / Z o − I R −Θ l
I = ∈ − ∈ [25]
2 2

donde Z o es la impedancia característica de la línea, que se mide en Ω , y Θ ⋅ l = Θ
1
es un valor en   complejo, que se llama la constante de propagación.
m
Siendo Θ un numero complejo Θ = Θ′ + jΘ ′′ , donde la parte real se llama la
constante de atenuación y la parte imaginaria se llama constante de distorsión.
Como en las expresiones entra ∈Θ , se escribe ∈Θl =∈ Θ′l ⋅ ∈ j Θ′′l

NOTA: En el programa con el que se escribió este apunte, no existe la letra theta
minúscula. Por ello en este apunte se escribe Θ ⋅ l = Θ , la primera debería ser
minúscula.

a) el término ∈Θ′l es real, y aumenta al aumentar l a partir del receptor. Viene a
significar un aumento en módulo, es decir una expansión del vector.
b) El termino ∈j Θ′′l sabemos que equivale a un giro en Θ′′l grados o sea expresa
la rotación del vector, ∴∈Θl indica que los fasores U e I a lo largo de la línea,
a demás de rotar, se expanden o contraen.

El primer sumando de [24], aumenta en módulo y adelanta el desfase a medida
que me alejo del extremo receptor; al contrario al alejarse del extremo transmisor
se achica en módulo y atrasa en desfase. Se llama tensión incidente.

20

Lo contrario ocurre con el segundo sumando. Se llama tensión reflejada.
Lo mismo ocurre con la corriente.

Si una línea tiene en su extremo de recibo una carga igual a la Zc de la línea, la
s s
U R = I R ⋅ Z o , por lo tanto no existe tensión reflejada, se llama línea plana o infinita
pues es una línea en la que no hay reflexión.
La longitud de una onda es la distancia entre 2 puntos que difieren 360º ó 2π
rad.
Se define la línea ideal como aquella exenta de R y G. En esta la constante de
propagación vale

Θid = z ⋅ y = ωL ⋅ωC = 2πf L ⋅ C
vimos que L = 4 ,606 ⋅10 −4 log d / r

En realidad g=0 desde el punto de vista eléctrico, y en las líneas largas x>>r por lo
que la línea ideal es bastante real.

1
C = 0 ,02413 ⋅ 10 6
log d / r
LC = 3,34
a 50 Hz, Θ id = 3,14 x3,34 = 0,00105 rad / km = 0,06 º / km
∴ la longitud de onda de una línea de 360º medirá:
360 º
= 6 .000 km
0 ,06 º / km
Pero como están las maquinas sincrónicas, no se pueden admitir desfases entre
U extremas mayores que ¼ de onda, o sea que las más largas líneas aéreas si
compensación nunca sobrepasaron los 1500 km mientras que en c.a.s. su
longitud es ≈ 100 kmy no mas pues C es muy grande, y la relación LC es ≠ .
Eso para la línea ideal. En la línea real, hay una pequeña diferencia en menos
pues aparece la R. Si aumenta la frecuencia, aumenta la longitud eléctrica de la
línea para = long física.

Si la línea está en vacío, I R = 0 .
En ese caso, de la expresión [24], tomando U entre extremos.
s s
s U R Θ U R −Θ
US = ⋅∈ + ∈
2 2
s
U S ∈Θ + ∈− Θ
s = = cosh Θ
UR 2

s s
pero siendo Θ un complejo cosh Θ es siempre ≤ 1, luego U S < U R : existe una
sobreelevación de U y eso se llama efecto Ferranti. Es una sobretensión a la
frecuencia de servicio.
Si la línea está cortocircuito en el receptor, U R = 0 la relación

21

IS s s
= cosh Θ I S < I R hay un aumento de I hacia el receptor.
IR

Vacío

En vacío en el extremo de recibo se suman U incidente y U reflejada y se restan
I incidente e I reflejada.

Cortocircuito

En cortocircuito ocurre lo contrario a vacío

En un caso, vemos que puede aumentar la U , en otro la I ; lo único que no
puede aumentar a lo largo de la línea es la potencia activa. Cualquier estado
intermedio es una combinación de vacío y cortocircuito.
Recién dijimos que la longitud de la onda de 50 Hz en la línea es de 6.000 km.
¿Cuánto vale la velocidad de estas ondas?: υ = λ ⋅ f = 6 .000 x 50 = 300 .000 km / seg .
Es la velocidad de la luz.
∨ ∨
Teniendo presente que, en aire: µ = µ0 y ∈ =∈ 0 resulta:

seg 2
L ⋅ C = µ o ⋅ ∈o = 11,12 ⋅10 12
km2

La potencia natural
s s
La I R se puede escribir como U R / Z c arga
s
s jϕR U R U R ⋅ ∈ jo U R − jϕ
IR = IR ∈ = = = ∈ c

Z C Z C ⋅ ∈ Jϕ Z C
∴ϕ R = −ϕ c

22

s s
Reemplazando en las ecuaciones [24] y [25] para U = U s (Θ l = Θ )
s 1 s s Z  ( 1 s s Z 
+ U R − U R o  ∈− (Θ + jΘ )
)
Θ′ + j Θ′
′ ′ ′′
U S = U R + U R ⋅ o  ∈
   
2 Zc  2 Zc 
1 s  Z  ′ ′′ 1 s  Z 
= U R 1 + o  ∈(Θ + jΘ ) + U R 1 − o  ∈−(Θ + j Θ )
′ ′′

2   
Zc   Z 
2  c 

s 1 s s Z C  (Θ′+ j Θ′′ ) 1  s Z c s  − (Θ′ + jΘ′′ )
IS =  I R + I R ⋅ ∈ − IR ⋅ − IR ∈
2  Zo   2
 Zo 

s
s 1 s  Z c  (Θ′+ j Θ′′ ) 1 s  Z c  −( Θ′ + jΘ′′ )
I S = I R 1 +
 Z ∈  − I R  Z − 1 ∈

2  o  2  o 
Z 
De esta expresiones vemos que el comportamiento la línea es función de  o  , Z 
 c
relación que puede tomar infinidad de valores, pues Z c depende de la carga. Es
s s Z
muy especial el comportamiento de la línea larga si Z o = Z c , o sea si o = 1
Zc

s s
En ese caso: U S = U R ∈(Θ′ + jΘ′′ ) [26]
s s
I = I R ∈(Θ′+ j Θ′′ )
S
[27]

23

Para simplificar el razonamiento, consideremos en primer término la línea ideal
s
(r = g = o ∴Θ′ = 0) . Además, siempre respecto a U R ,U S = U s ⋅ ∈jδ
″ U
U S ⋅ ∈ jδ = U R ⋅ ∈ j Θ ⇒ S ∈ j δ = 1⋅ ∈ jΘ"
UR

como tanto en la salida cómo en el recibo, I S e I R están en fase con U S y U R
I
respectivamente I S ⋅ ∈ jδ = I R ⋅ ∈ jΘ ⇒ s ∈ jδ = 1 . ∈ jΘ"
IR

De la que surge una importantísima relación:

U s = U R = U ; IS = I R = I
δ = Θ" id = Θ" id ⋅ l

Desde el punto de vista de los voltímetros no existe caída de tensión.

Es decir que las U y las I en los dos extremos de la línea son iguales en módulo
y están desfasadas desde el extremo de salida al de recibo el ángulo δ , y U R e
I R están en fase lo mismo que U s e I s . En este caso se visualiza la relación de
δ con Θ . El diagrama fasorial de la línea ideal en ese caso es el de la figura [24]:

δ I⋅X U⋅B
sen = =
2 2U 2I
I X U 2B
2
o sea =
2 2

Siendo X = ωL ⋅ l
B = ωC ⋅ l

I 2 ⋅ ω Ll U 2 ⋅ω C ⋅ l
=
2 2

24

1 1
∴ L ⋅ I 2 = CU 2
2 2

En el caso del transporte de energía, cuando Z C = Z o aparece una igualdad entre
las energías del campo eléctrico y magnético de la línea. La línea funciona sin
absorber ni ceder potencia reactiva a la fuente.
Se dice que transmite la potencia natural.
La compensación de las potencias reactivo inductiva y reactivo capacitiva se
produce también en las líneas reales, pero en estas se manifiesta una caída de
tensión a causa de la r y una derivación de I a causa de la g
En efecto, de las ecuaciones [26] y [27]

US ′ IS ′
=∈Θ > 1 =∈Θ > 1
UR IR

s
s UR
como I R = , tomando como referencia U R
Zo
s UR
tenemos I R = − jΨ
= I R ∈ jΨ
o

Zo ⋅ ∈ o

∴ las U y las I no están en fase, como se observa en la figura [25]

Solo en el caso de trasmitirse la potencia natural, los desfases arriba indicados
aparecen en cualquier elemento de la línea.

25

Para que los desfases sean iguales, los triángulos de la figura [27] deben ser
semejantes.

dI dU
∴ =
I U
Como dU = I ⋅ z ⋅ dl ; dI = U ⋅ y ⋅ dl

dI U dU I ⋅ z ⋅ d l
∴ = y dl ; =
I I U U
2
s
U z U z
∴ 2 = ;ó s = = Zo
I y I y
s s
vemos que la relación U / I es la Z o o sea la impedancia característica.
Por otra parte para que esto ocurra, debe ser
s s
ZC = Z o
pero dijimos que L y C son valores fijos, que varían muy poco. Así entonces Z O
varía muy poco en las diferentes líneas. Como:

z z ⋅l Z
ZO = = =
y y⋅l Y

26

La impedancia característica es independiente de la longitud de las líneas.
Para líneas aéreas con un solo conductor / fase,

Z O = 400 Ω y su ángulo está entre − 4 º = − 10 º (ΨO = 4º ,−10 º)
Para cables subterráneos

Z O = 50 Ω con un ángulo de − 45 º

Siendo Z O independiente de la longitud, también lo será la potencia natural. La
potencia natural es solo función de la U nominal. Como U R y I R están en fase.

2
U Rf U R
Pnat = 3U R f ⋅ I R = 3 U R f ⋅ =
ZO ZO
U 2 U 2 (V )
Pnat = = ≅ 2,5 ⋅ U 2 (k V ) si [U ] = k V para líneas de un solo cable por fase a
Z O 400 Ω
50 Hz.

En algunos países la potencia demandada se duplica cada 10 años. Eso significa
una tasa anual acumulativa del 7%.
U2
Como P = , la potencia se cuadruplica al duplicar la tensión.
Z0
Eso justifica porque cada 20 años se superponen redes con duplicación de
tensión.

Para líneas con conductores múltiples por fase, Z O es menor y resulta que
Pnat ~ 3 − 4 U 2
Para líneas de mas de 500 km siempre se elige la tensión de operación en
función de la potencia natural. Para líneas mas cortas, la carga óptima es mayor.
Líneas de 300 km operan con 1,5 Pnat , líneas de 150 km pueden operar con 3 Pnat .
En líneas largas se puede aumentar la potencia económica con el empleo de
capacitores serie y se puede trasmitir en vacío con inductores derivación.

Potencia natural (MW)

Un Conductores Conductores c.a.s.
(kV) simples múltiples
13,2 0,436 ---- 3,8
33 2,72 ---- 22
66 10,86 ---- 87
132 43,56 80 345
220 120 175 970
300 225 320 ----
400 625 750 ----
500 ---- 900 ----
750 ---- 200 ----

27

Hasta aquí llegó en U n la normalización internacional. Probablemente el próximo
escalón esté en los 1000 kV, ya hay estudios, y en el futuro 1200 kV y aún de
2000 kV. No es el equipamiento lo que frena el desarrollo, sino los problemas de
la líneas misma.
También se está estudiando el problema del uso del c.a.s. en el campo de la
M.A.T. en el campo de la superconductividad, estado criogénico y de tramos
blindados en gas SF6.
Vemos que el comportamiento de las líneas difiere. Con el concepto de la
potencia natural pueden diferenciarse en dos estados bastante distintos.

a) Trasmitiendo potencias menores que la natural, donde la línea se acerca mas
al estado de vacío, es decir que la línea absorbe > potencia reactiva capacitiva
que la inductiva; la tensión en el receptor es > que la de salida y se efectúa
para compensar este efecto, la conexión de inductores en // con la línea.
b) Durante la operación con potencias mayores que la natural, se absorbe >
energía inductiva que la reactiva capacitiva producida por la línea.
En este caso las líneas se acercan a la operación como líneas cortas. Para
compensar esto se ponen capacitores en serie con la línea.
Las líneas de MAT tienen 2 ó 3 “estaciones compensadores” ubicadas en su
trayecto, donde existen inductores shunt y capacitores serie.

28

Ce Soi

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (20)

Similar a Ce Soi (20)

Más de F Blanco (20)

Último (20)

Ce Soi