![TEOREMA DE ROLLE
Sea f una función continua en [a; b], derivable en (a; b), con f ( a ) = f ( b ) . Entonces, existe al menos un
punto c ∈ ( a; b ) tal que f ′ ( c ) = 0 .
Demostración
• Si f ( x ) = k (k: constante), entonces f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ ( a; b ) . Luego, c es cualquier
x ∈ ( a; b ) .
y
f(a) = f(b)
x
a b
• Si f ( x ) ≠ k , por ser continua en [a; b], por el teorema de Weierstrass, admitirá mínimo absoluto y
máximo absoluto en [a; b].
Si c es un punto interior de dicho intervalo y allí hay un extremo absoluto, entonces habrá también un
extremo relativo. Siendo f derivable en (a; b), deberá ser f ′ ( c ) = 0 (por el teorema de Fermat). Con
esto queda demostrado el teorema.
y y y M abs
Mabs
f(a) = f(b)
f(a) = f(b)
f(a) = f(b) mabs
m abs
x x
x
a c b a c b c1
a c2 b
Puede haber más de un punto en (a; b) para el cual f ′ es cero. Observar que f ′ (c1) = f ′ (c2 ) = 0 .](https://image.slidesharecdn.com/teoremasderollelagrangeycauchydederiv-contyfinversas-091217170905-phpapp01/85/teoremas-2-320.jpg)
![TEOREMA DE LAGRANGE (Teorema del valor medio)
Sea f una función continua en [a; b] y derivable en (a; b). Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a; b)
tal que:
f (b) − f (a)
f ′( c ) =
b−a
Demostración: Definimos una función auxiliar h(x):
f (b) − f (a)
h( x ) = f ( x ) − ⋅ (x − a)
b−a
f (b) − f (a )
h(x) es continua en [a; b] y derivable en (a; b) por serlo f y ⋅ ( x − a ) . Además,
b−a
h( a ) = f ( a ) ⎫
⎪
⎪
⎪
f (b) − f (a) ⎬ ⇒ h( a ) = h( b )
h (b) = f(b) − ⋅ ( b − a ) = f ( a )⎪
⎪
b−a ⎪
⎪
⎭
Luego, h cumple con la hipótesis del teorema de Rolle. Entonces, existe c ∈ (a; b) tal que h’(c) = 0.
Derivando h:
f (b) − f (a)
h′ ( x ) = f ′ ( x ) −
b−a
f (b) − f (a)
Evaluando en c: h′ ( c ) = f ′ ( c ) −
b−a
f (b) − f (a )
Siendo h’(c) = 0, resulta: f ′( c ) − =0
b−a
f (b) − f (a)
f ′( c ) =
b−a
Interpretación geométrica del teorema de Lagrange
f (b) − f (a)
En la igualdad f ′ ( c ) = :
b−a
• f’(c) es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (c; f(c))
f (b) − f (a)
• es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)).
b−a
y
f(c)
f(b)
⎫
⎪
⎪ f (b) − f (a )
⎬
f(a) ⎪
⎪
⎭
b−a
x
a c b
Por lo tanto, el teorema de Lagrange dice que si f es continua en [a; b] y derivable en (a; b), existe un
número c ∈ (a; b) tal que la recta tangente al gráfico de f en el punto (c; f(c)) es paralela a la recta
que pasa por los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)).
Observación: El punto c dado por el teorema de Lagrange no es necesariamente único.](https://image.slidesharecdn.com/teoremasderollelagrangeycauchydederiv-contyfinversas-091217170905-phpapp01/85/teoremas-3-320.jpg)
![TEOREMA DE CAUCHY
Sean f y g dos funciones continuas en [a; b] y derivables en (a; b), con g’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a; b). Entonces,
existe c ∈ (a; b) tal que:
f ′( c ) f (b) − f (a )
= g(b) ≠ g(a)
g ′(c) g( b ) − g(a )
Demostración: Definimos una función auxiliar h(x):
f (b) − f (a)
h( x ) = f ( x ) − ⋅ ( g ( x ) − g ( a ))
g( b ) − g(a )
h(x) es continua en [a; b] y derivable en (a; b) por serlo f y g.
Además,
h( a ) = f ( a ) ⎫
⎪
⎪
⎪
(b) − f (a) ⎪ ⇒ h( a ) = h( b )
⎬
f
h( b ) = f ( b ) − ⋅ ( g ( b ) − g ( a ) ) = f ( a )⎪
⎪
g( b ) − g(a ) ⎪
⎪
⎭
Luego, h cumple con la hipótesis del teorema de Rolle. Entonces, existe c ∈ (a; b) tal que h’(c) = 0.
Derivando h:
f (b) − f (a)
h′ ( x ) = f ′ ( x ) − ⋅ g′( x )
g( b ) − g(a )
f (b) − f (a)
Evaluando en c: h′ ( c ) = f ′ ( c ) − ⋅ g′( c )
g( b ) − g(a )
f (b) − f (a)
Siendo h’(c) = 0, resulta: f ′( c ) − ⋅ g′( c ) = 0
g( b ) − g(a )
f (b) − f (a)
f ′( c ) = ⋅ g′( c )
g( b ) − g(a )
f ′( c ) f (b) − f (a )
=
g ′( c ) g( b ) − g(a )
Observación: El teorema de Lagrange es un caso particular del teorema de Cauchy, donde g(x) = x
(función identidad). Entonces,
g(b) = b
g(a) = a
g’(c) = 1
para todo x ∈ (a; b).](https://image.slidesharecdn.com/teoremasderollelagrangeycauchydederiv-contyfinversas-091217170905-phpapp01/85/teoremas-4-320.jpg)
teoremas
- 1. Teoremas sobre funciones derivables Relación entre derivabilidad y continuidad Si una función f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. Demostración Sabemos que: f (x ) − f (x0 ) f derivable en x0 ⇔ ∃ lim y es finito x →x0 x − x0 f continua en x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x 0 ) ⇔ lim ⎢⎡ f ( x ) − f ( x 0 )⎥⎤ = 0 x →x0 x →x0 ⎣ ⎦ Para vincular derivabilidad y continuidad en el punto x0, planteamos: ⎡ f (x ) − f (x ) ⎤ f (x ) − f (x0 ) lim ⎢⎡ f ( x ) − f ( x 0 )⎥⎤ = lim ⎢⎢ ⋅ ( x − x 0 )⎥⎥ = lim 0 ⋅ lim ( x − x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ⋅ 0 = 0 ⇒ f x →x0 ⎣ ⎦ x →x ⎢ (x − x ) ⎥⎦ x → x 0 ( x − x 0 ) x →x0 0 ⎣ 0 f ′( x 0 ) 0 continua en x0. Derivada de funciones inversas Sea f una función derivable, con derivada no nula en x, y sea g la inversa de f. Entonces, g es derivable en y = f ( x ) y resulta: 1 g ′ (y ) = f ′ (x ) Demostración f ( x + Δx ) − f ( x ) Δf Δy 1 1 1 1 f ′ ( x ) = lim = lim = lim = lim = lim = = Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δy →0 Δx lim Δx g ′ (y ) Δy Δy Δy →0 Δy y f ( x +Δ x ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Δf ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ f (x ) Δx x x x + Δx
- 2. TEOREMA DE ROLLE Sea f una función continua en [a; b], derivable en (a; b), con f ( a ) = f ( b ) . Entonces, existe al menos un punto c ∈ ( a; b ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Demostración • Si f ( x ) = k (k: constante), entonces f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ ( a; b ) . Luego, c es cualquier x ∈ ( a; b ) . y f(a) = f(b) x a b • Si f ( x ) ≠ k , por ser continua en [a; b], por el teorema de Weierstrass, admitirá mínimo absoluto y máximo absoluto en [a; b]. Si c es un punto interior de dicho intervalo y allí hay un extremo absoluto, entonces habrá también un extremo relativo. Siendo f derivable en (a; b), deberá ser f ′ ( c ) = 0 (por el teorema de Fermat). Con esto queda demostrado el teorema. y y y M abs Mabs f(a) = f(b) f(a) = f(b) f(a) = f(b) mabs m abs x x x a c b a c b c1 a c2 b Puede haber más de un punto en (a; b) para el cual f ′ es cero. Observar que f ′ (c1) = f ′ (c2 ) = 0 .
- 3. TEOREMA DE LAGRANGE (Teorema del valor medio) Sea f una función continua en [a; b] y derivable en (a; b). Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a; b) tal que: f (b) − f (a) f ′( c ) = b−a Demostración: Definimos una función auxiliar h(x): f (b) − f (a) h( x ) = f ( x ) − ⋅ (x − a) b−a f (b) − f (a ) h(x) es continua en [a; b] y derivable en (a; b) por serlo f y ⋅ ( x − a ) . Además, b−a h( a ) = f ( a ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ f (b) − f (a) ⎬ ⇒ h( a ) = h( b ) h (b) = f(b) − ⋅ ( b − a ) = f ( a )⎪ ⎪ b−a ⎪ ⎪ ⎭ Luego, h cumple con la hipótesis del teorema de Rolle. Entonces, existe c ∈ (a; b) tal que h’(c) = 0. Derivando h: f (b) − f (a) h′ ( x ) = f ′ ( x ) − b−a f (b) − f (a) Evaluando en c: h′ ( c ) = f ′ ( c ) − b−a f (b) − f (a ) Siendo h’(c) = 0, resulta: f ′( c ) − =0 b−a f (b) − f (a) f ′( c ) = b−a Interpretación geométrica del teorema de Lagrange f (b) − f (a) En la igualdad f ′ ( c ) = : b−a • f’(c) es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (c; f(c)) f (b) − f (a) • es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)). b−a y f(c) f(b) ⎫ ⎪ ⎪ f (b) − f (a ) ⎬ f(a) ⎪ ⎪ ⎭ b−a x a c b Por lo tanto, el teorema de Lagrange dice que si f es continua en [a; b] y derivable en (a; b), existe un número c ∈ (a; b) tal que la recta tangente al gráfico de f en el punto (c; f(c)) es paralela a la recta que pasa por los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)). Observación: El punto c dado por el teorema de Lagrange no es necesariamente único.
- 4. TEOREMA DE CAUCHY Sean f y g dos funciones continuas en [a; b] y derivables en (a; b), con g’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a; b). Entonces, existe c ∈ (a; b) tal que: f ′( c ) f (b) − f (a ) = g(b) ≠ g(a) g ′(c) g( b ) − g(a ) Demostración: Definimos una función auxiliar h(x): f (b) − f (a) h( x ) = f ( x ) − ⋅ ( g ( x ) − g ( a )) g( b ) − g(a ) h(x) es continua en [a; b] y derivable en (a; b) por serlo f y g. Además, h( a ) = f ( a ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ (b) − f (a) ⎪ ⇒ h( a ) = h( b ) ⎬ f h( b ) = f ( b ) − ⋅ ( g ( b ) − g ( a ) ) = f ( a )⎪ ⎪ g( b ) − g(a ) ⎪ ⎪ ⎭ Luego, h cumple con la hipótesis del teorema de Rolle. Entonces, existe c ∈ (a; b) tal que h’(c) = 0. Derivando h: f (b) − f (a) h′ ( x ) = f ′ ( x ) − ⋅ g′( x ) g( b ) − g(a ) f (b) − f (a) Evaluando en c: h′ ( c ) = f ′ ( c ) − ⋅ g′( c ) g( b ) − g(a ) f (b) − f (a) Siendo h’(c) = 0, resulta: f ′( c ) − ⋅ g′( c ) = 0 g( b ) − g(a ) f (b) − f (a) f ′( c ) = ⋅ g′( c ) g( b ) − g(a ) f ′( c ) f (b) − f (a ) = g ′( c ) g( b ) − g(a ) Observación: El teorema de Lagrange es un caso particular del teorema de Cauchy, donde g(x) = x (función identidad). Entonces, g(b) = b g(a) = a g’(c) = 1 para todo x ∈ (a; b).