5 resolucion te triangulos rectangulos
- 2. Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo Contenidos 1. Definición 3. Funciones trigonométricas para ángulos comunes 4. Definición • Funciones trigonométricas • Funciones inversas 2. Identidades trigonométricas • Ángulo de elevación • Ángulo de depresión
- 3. Funciones Trigonométricas En un triángulo rectángulo, con un ángulo interior agudo, se puede establecer 6 razones entre las medidas de sus lados. 1. Definición Según el dibujo, c: hipotenusa, a y b: catetos. Cateto Cateto
- 4. • Funciones Trigonométricas Seno (sen): Corresponde a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Según el dibujo: sen = cateto opuesto hipotenusa sen = a c
- 5. Coseno (cos): Corresponde a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Según el dibujo: cos = cateto adyacente hipotenusa cos = b c
- 6. Tangente (tg): Corresponde a la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Según el dibujo: tg = cateto opuesto cateto adyacente tg = a b
- 7. Cotangente (ctg): Corresponde a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Según el dibujo: ctg = b a =ctg cateto adyacente cateto opuesto • Funciones Inversas La cotangente es la inversa de la tangente, entonces: ctg = 1 tg
- 8. Secante (sec): Corresponde a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Según el dibujo: sec = c b =sec hipotenusa cateto adyacente La secante es la inversa del coseno, entonces: sec = 1 cos
- 9. Cosecante (cosec): Corresponde a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Según el dibujo: cosec = c a =cosec hipotenusa cateto opuesto La cosecante es la inversa del seno, entonces: cosec = 1 Sen
- 10. Ejemplo: tg = 12 9 ctg = 9 12 sec = 15 9 =cosec 15 12 cos = 9 15 sen = 12 15 tg = 9 12 ctg = 12 9 sec = 15 12 cosec 15 9 = cos = 12 15 sen = 9 15
- 11. Observación: En el ejemplo anterior, y son los ángulos agudos del triángulo rectángulo, y por lo tanto, son complementarios ( + = 90°). Además, se puede concluir que: sen = cos sen = cos(90°- ) ¿Qué más podríamos concluir? Aplicación: Si cos 20°= m, entonces: sen 70° + 2cos 20°= m + 2m = 3m
- 12. 2 Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene razones trigonométricas y que es verdadera, cualesquiera sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas. Para demostrar identidades trigonométricas se necesita conocer algunas relaciones trigonométricas fundamentales: Ejemplos: 1. sec = 1 cos cosec = 1 sen 2. ctg = 1 tg 3. tg = sen cos 4. 5. sen2 cos2 = 1
- 13. Ejemplo de demostración: Para realizar la demostración nos basaremos en el triángulo siguiente: Demostrar: sen2 cos2 = 1 Si sen = a c cos = b c Si sen2 = a2 c2 cos2 = b2 c2 Luego, sen2 cos2 = a2 c2 b2 c2 + = c2 a2 + b2 = c2 c2 = 1 Por lo tanto: sen2 cos2 = 1 / Por Pitágoras
- 14. 3. Valores de las funciones trigonométricas de ángulos comunes (30°, 60° y 45°) sen cos tg 30° 60°45° 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 Observa que: sen 30° = cos 60° sen 60° = cos 30° sen 45° = cos 45°
- 15. 4. Ángulos de elevación y de depresión Los ángulos de elevación y de depresión, son los que se forman por la línea visual y la línea horizontal. Se llama línea visual (o de visión) a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. A B En la imagen, A observa a B
- 16. Ejemplo: 1. Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del árbol? Solución: El árbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es: 20 m h 60°
- 17. Los datos corresponden a los catetos del triángulo rectángulo y la función trigonométrica que los relaciona es la tangente, entonces: tg cateto opuesto cateto adyacente = tg h 20 = Pero la tg 60°= 3 Por lo tanto, la altura del árbol es 20 m3 h 20 =3 3 = h20 20 m h 60°
- 18. 2. Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5 metros de altura, con un ángulo de depresión de 30º. ¿Cuál es la distancia entre el gato y la persona?
- 19. Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado. La función trigonométrica que los relaciona es el seno, entonces: sen = cateto opuesto hipotenusa Como sen 30° = 1 2 = 25 x 1 2 x = 50 sen 30° = 25 x 30° 30° 30 5 25 x
- 20. Estrategia para la resolución de ejercicios Una persona que se encuentra a 7 metros de un árbol observa el alto de éste con un ángulo de elevación de 60°. Determine la distancia entre el observador y la punta del árbol. 7 m x 60° El dibujo correspondiente es:
- 21. Los datos corresponden al cateto adyacente y a la hipotenusa del triángulo; la función trigonométrica que los relaciona es el coseno, sin embargo, no es necesario utilizarlo, ya que el triángulo corresponde a la mitad de un triángulo equilátero. Entonces x = 14 metros. 7 m x 60° 30° 7 m x 60° 30° 14