Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
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El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable impartidas en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional "Santiago Antunez de Mayolo". Incluye definiciones, ejemplos y problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales de variable separable y reductibles a variables separables.
![FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II
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Por tanto, para t=20 tendremos:
P(t=20) = 200. 푒푘.20
P(t=20) = 200. 푒0,04054.20
P(t=20) = 450
풑풓풐풃풍풆풎풂 풏°ퟑ. − (푦2 + 푥푦2 )푦′ + 푥2 − 푦푥2 = 0
Solución:
(푦2 + 푥푦2)푦′ + 푥2 − 푦푥2 = 0 , agrupando términos
푦2(1 + 푥) 푑푦
푑푥
+ 푥2(1 − 푦) = 0 , separando términos tenemos
푦2푑푦
1−푦
+
푥2푑푥
1+푥
= 0 , integrando ambos términos
∫
푦2 푑푦
1−푦
+ ∫
푥2 푑푥
1+푥
= 푐 , de donde se tiene:
∫
푦2푑푦
1 − 푦
= ∫
푦2 + 1 − 1
(1 − 푦)
= ∫
−(1 − 푦)(푦 + 1)
(1 − 푦)
푑푦 + ∫
1
(1 − 푦)
푑푦 =
− ∫(푦 + 1)푑푦 + ∫
1
(1 − 푦)
→ −
푦2
2
− 푦 − 퐼푛|1 − 푦|
∫
푥2푑푦
1 + 푥
= ∫
푥2 + 1 − 1
(1 + 푥)
= ∫
(푥 + 1)(푥 − 1)
(1 + 푥)
푑푦 + ∫
1
(1 + 푥)
푑푦
→ ∫(푥 + 1)푑푦 + ∫
1
(1 + 푥)
푑푦 →
푥2
2
+ 푥 − 퐼푛|1 + 푥|
Por lo tanto:
− 푦2
2
− 푦 − 퐼푛|1 − 푦| + 푥2
2
− 푥 + 퐼푛|1 + 푥| = 푐
Si multiplicamos por 2 a toda la expresión tenemos:
−푦2 − 2푦 − 2퐼푛|1 − 푦| + 푥2 − 2푥 + 2퐼푛|1 + 푥| = 푐 ó
1 + 푥
1 − 푥
(푥 + 푦)(푥 − 푦 − 2) + 2퐼푛 |
| = 푐
PROBLEMA N04.- −(푥푦2 − 푦2 + 푥 − 1)푑푥 + (푥2 푦) − 2푥푦 + 푥2 + 2푦 −
2푥 + 2)푑푦 = 0
Solución:
Agrupando términos tenemos:
[푦2(푥 − 1) + (푥 − 1)]푑푥 + [푦(푥2 − 2푥 + 2)]푑푦 = 0](https://image.slidesharecdn.com/trabajodematemticaii-grupal-141024230738-conversion-gate02/85/Ecuaciones-Diferenciales-y-problemas-con-valores-en-la-frontera-5-320.jpg)
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera
- 1. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y EL COMPROMISO CLIMÁTICO Universidad nacional “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL MATEMÁTICA II HUARAZ –PERÚ 2014
- 2. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II ÍNDICE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIEBLES SEPARABLES DEFINICIÓN 3 EJERCICIOS PROPUESTOS 4 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCTIBLES A VARIEBLES SEPARABLES DEFINICIÓN 9 EJERCICIOS PROPUESTOS 10 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLE 2
- 3. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II y e C C 3 DEFINICIÓN: Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer grado y primer orden 푑푦 푑푥 = 푔(푥, 푦), se reduce a la forma: 푀(푥)푑푥 + 푁(푦)푑푦 = 0 (1) Donde M es una función solo de x y N es una función sola de y , a esta ecuación se conoces con el nombre de “Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es decir: ∫ 푀(푥)푑푥 + ∫ 푁(푦)푑푦 = 퐶 (2) Problema n°1.- Resolver las siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden. (1+e )y y = e x x . Hallar la solución que pasa por (0; 1). RESOLUCIÓN. En primer lugar buscamos la solución general de la ecuación diferencial. Separando las variables e integrando, (1+e )y dy = e dx 2 1 1 ln(1 ) c. 2 x x x x x x x e e ydy dx ydy dx e e y e De donde obtenemos 2 y 2ln(1ex ) Cy 2ln(1ex ) C. Para obtener la solución particular que pasa por (0; 1) consideramos la solución positiva de la ecuación diferencial, esto es, 2ln(1 ) C. x y e Como ésta ha de pasar por (0;1), se debe tener y(0) = 1. Por tanto: 0 (0) 2ln(1 ) C 1 2ln 2 1 2ln 2 1 1 2ln 2. C Luego, la solución particular buscada viene dada por: 0 (0) 2ln(1 ) 1 2ln 2 2 ln(1 ) ln 2 1 x y e y e 1 x e 1 2ln . 2 y
- 4. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II Problema n° 2.- En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Si al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cuál será el número estimado al cabo de 20 minutos. Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es: 4 푑푃 푑푡 = 푘푃 Separando variables e integrando: 1 푃 푑푃 = 푘 푑푡 ∫ 1 푃 푑푃 = ∫ 푘 푑푡 Ln(P) = kt + C Despejando P, usando la fórmula: Ln(x) = N x=푒푁 P= 푒푘푡+퐶 P= 푒퐶 . 푒푘푡 P= 퐶. 푒푘푡 Puesto que para t = 0 el número inicial es de P = 200: 200 = C. 푒푘.0 200 = C. 푒0 200 = C.1 200 = C Y para t = 10, el número es de 300: 300= C. 푒푘.10 300= 200. 푒10푘 3 2 = 푒10푘 Usando la fórmula: 푒푁 = 푥 N= Ln(x) 10.k = Ln(3 2 ) k= 0.04054
- 5. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II 5 Por tanto, para t=20 tendremos: P(t=20) = 200. 푒푘.20 P(t=20) = 200. 푒0,04054.20 P(t=20) = 450 풑풓풐풃풍풆풎풂 풏°ퟑ. − (푦2 + 푥푦2 )푦′ + 푥2 − 푦푥2 = 0 Solución: (푦2 + 푥푦2)푦′ + 푥2 − 푦푥2 = 0 , agrupando términos 푦2(1 + 푥) 푑푦 푑푥 + 푥2(1 − 푦) = 0 , separando términos tenemos 푦2푑푦 1−푦 + 푥2푑푥 1+푥 = 0 , integrando ambos términos ∫ 푦2 푑푦 1−푦 + ∫ 푥2 푑푥 1+푥 = 푐 , de donde se tiene: ∫ 푦2푑푦 1 − 푦 = ∫ 푦2 + 1 − 1 (1 − 푦) = ∫ −(1 − 푦)(푦 + 1) (1 − 푦) 푑푦 + ∫ 1 (1 − 푦) 푑푦 = − ∫(푦 + 1)푑푦 + ∫ 1 (1 − 푦) → − 푦2 2 − 푦 − 퐼푛|1 − 푦| ∫ 푥2푑푦 1 + 푥 = ∫ 푥2 + 1 − 1 (1 + 푥) = ∫ (푥 + 1)(푥 − 1) (1 + 푥) 푑푦 + ∫ 1 (1 + 푥) 푑푦 → ∫(푥 + 1)푑푦 + ∫ 1 (1 + 푥) 푑푦 → 푥2 2 + 푥 − 퐼푛|1 + 푥| Por lo tanto: − 푦2 2 − 푦 − 퐼푛|1 − 푦| + 푥2 2 − 푥 + 퐼푛|1 + 푥| = 푐 Si multiplicamos por 2 a toda la expresión tenemos: −푦2 − 2푦 − 2퐼푛|1 − 푦| + 푥2 − 2푥 + 2퐼푛|1 + 푥| = 푐 ó 1 + 푥 1 − 푥 (푥 + 푦)(푥 − 푦 − 2) + 2퐼푛 | | = 푐 PROBLEMA N04.- −(푥푦2 − 푦2 + 푥 − 1)푑푥 + (푥2 푦) − 2푥푦 + 푥2 + 2푦 − 2푥 + 2)푑푦 = 0 Solución: Agrupando términos tenemos: [푦2(푥 − 1) + (푥 − 1)]푑푥 + [푦(푥2 − 2푥 + 2)]푑푦 = 0
- 6. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II Luego factorizando obtenemos: (푦2 + 1)(푥 − 1)푑푥 + (푦 + 1)(푥2 − 2푥) + 2푑푦 = 0 Separando variables: 6 (푥 +1)푑푥 푥2 −2푥+2 + 푦+1 푦2 +1 푑푦 = 0 ,luego integrando ∫ (푥+1)푑푥 푥2 −2푥+2 + ∫ 푦+1 푦2 +1 푑푦 = 푘 , de donde ∫ (푥 − 1)푑푥 푥2 − 2푥 + 2 푢 = 푥2 − 2푥 + 2 → 푑푢 = (2푥 − 2)푑푥 → 푑푥 = 푑푢 2(푥 − 1) 1 2 ∫ (푥 − 1)푑푢 푢(푥 − 1) → 1 2 ∫ 푑푢 푢 = 1 2 퐼푛|푢| → 1 2 퐼푛|푥2 − 2푥 + 2| ∫ 푦 푦2 +1 푑푦 , donde se puede saber 푢 = 푦2 + 1 , 푑푢 = 2푦푑푦 , 푑푦 = 푑푢 2푦 + ∫ 푑푦 푦2 + 1 → 푦 = 푎푡푎푛휃 → 푡푎푛휃 → 푑푦 = 푠푒푐휃2푑휃 1 2 ∫ 2푦 푦2 + 1 푑푦 + ∫ 푠푒푐휃2푑휃 푠푒푐휃2 = 1 2 ∫ 2푦 푢 푑푢 2푦 + ∫ 푑휃 → 1 2 퐼푛|푢| + 휃 ∴ 1 2 퐼푛|푦2 + 1| + 1 2 푎푟푐푡푎푛푦 Dado lo anterior tenemos: 1 2 퐼푛(푥2 − 2푥 + 2) + 1 2 퐼푛|푦2 + 1| + 푎푟푐푡푎푛푦 = 푘 퐼푛 |(푥2 − 2푥 + 2 )(푦2 + 1)| = −2푎푟푐푡푎푛푦 + 푘 → (푥2 − 2푥 + 2 )(푦2 + 1) = 푒(2푎푟푐푡푎푛푦+푘 )푐 PROBLEMA N05 −(1 − 푦)푒푦 푑푦 푑푥 + 푦2 푥퐼푛푥 = 0 Solución:
- 7. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II 7 Separando variables: (1 − 푦)푒푦 푑푦 + 푑푥 푥퐼푛푥 = 0 푖푛푡푒푔푟푎푛푑표 푡푒푛푒푚표푠 ∶ ∫ (1 − 푦) 푦2 푑푦 + ∫ 푑푥 푥퐼푛푥 = 푐 → − ∫ (푦 − 1)푒푥 푦2 푑푦 + 퐼푛(퐼푛푥) = 푐 − ∫ 푑 푑푦 푒푥 푦 ( ) + 퐼푛(퐼푛푥) = 푐 푑푒 푑표푛푑푒: − ex y + In(Inx) = c ∴ In(Inx) = ex y + c
- 8. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II PROBLEMA N°6.- 2 2 2 2 xy y x 1 dx x y 2 xy x 2 y 2 x 2 dy 0 Solución : xy y x dx x y xy x y x dy agrupando 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 , 2 2 y x x dx x y x y y dy 1 1 1 2 1 2 1 0 y x dx x x y dy separando las variables x integrando ambos miembros 1 1 ln 2 2 ln 1 tan 2 2 1 ln 2 2 1 tan 2 ln 2 2 1 2 tan 2 2 ln 2 2 1 2 tan , levantando 8 2 2 1 1 2 2 1 0 , 1 dx y 1 dy 0 , 2 2 x x y 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x dx y dy C 2 2 x x y x dx ydy dy x x y y 2 2 2 x dx ydy dy 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 1 1 C x x y y x dx ydy dy C x x y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 2 2 1 . arc y de donde tenemos x x y arc y C x x y arc y C x x y arc y C x x y C arc y el logaritmo x x y k e De dond : e se tiene 2 2 2 tan 2 2 1 arc y x x y e k PROBLEMA N07.- Hallar la ecuación diferencial en 푦 = −1 푐푢푎푛푑표 푥 = 0 en la siguiente expresión, dar la gráfica. (푥2 + 1)푑푦 + (푦2 + 1)푑푥 = 0 Solución: Dividimos entre (푥2 + 1)(푦2 + 1)
- 9. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II 9 (푥2 + 1)푑푦 (푥 2 + 1)(푦2 + 1) + (푦2 + 1)푑푥 (푥 2 + 1)(푦2 + 1) = 0 푑푦 (푦2 +1) + 푑푥 (푥2 +1) = 0 , integramos ∫ 푑푦 (푦2 + 1) + ∫ 푑푥 (푥 2 + 1) = 퐶 → arctan(푥) + arctan(푦) = 퐶 Luego reemplazamos los datos en la ecuación: arctan(0) + arctan(−1) = 퐶 → 0 + (− 휋 4 ) = 퐶 → 퐶 = − 휋 4 Por lo tanto a ecuación diferencial será de la siguiente manera: arctan(푥) + arctan(푦) = − 휋 4 Para determinar la gráfica: Se sabe que: tan(arctan(푥)) = 푥 , por lo tanto aplicamos 푡푎푛푔푒푛푡푒 a ambos miembros de la ecuación, lo cual obtendremos: 푥 + 푦 1 − 푥푦 = −1 → 푥 + 푦 = 푥푦 − 1 → 푥푦 − 푥 − 푦 − 1 Se puede notar que la gráfica de la ecuación pertenece a una hipérbola equilátera oblicua cuyas asíntotas en 푥 = 1 푒 푦 = 1. Veamos la gráfica: ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS REDUCTIBLES A VARIABLE SEPARABLE
- 10. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente 10 푑푦 푑푥 = 푓(푎푥 + 푏푦 + 푐) … (∗) Donde a, b y c con constantes, cabe mencionar que la ecuación no es de variable separable por lo cual para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, se transforma en una ecuación diferencial de variable separable, mediante la sustitución 푧 = 푎푥 + 푏푦 + 푐 , de donde 푑푦 푑푥 = 1 푏 (푑푧 푑푥 − 푎) , que al remplazar en la ecuación (*), se obtiene una nueva ecuación diferencial, que es de variable separable, es decir 1 푏 (푑푧 푑푥 − 푎), de donde 푑푧 푑푥 = 푎 + 푏푓(푥), separando la variable 푑푧 푎+푏푓(푧) = 푑푥 , que es la ecuación de variable separable. EJERCICIOS PROPUESTOS: Ejercicio n0 1: Hallar la solución general de la ecuación diferencial de: 푑푦 푑푥 = 푠푒푛(푥 − 푦 + 1) Como primer paso hacemos la sustitución: 푧 = 푥 − 푦 + 1 푑푧 푑푥 = 1 − 푑푦 푑푥 , 푑푦 푑푥 = 1 − 푑푧 푑푥 , luego de la sustitución 1 − 푑푧 푑푥 = 푠푒푛(푧) Separando variables 푑푥 = 푑푧 1−푠푒푛(푧) Integrando ∫ 푑푥 = ∫ 1 1−푠푒푛(푧) 1+푠푒푛 (푧 ) 1+푠푒푛 (푧 ) 푑푧 → ∫ 푑푥 = ∫ 1+푠푒푛 (푧) cos(푧) 2 푑푧 ∫ 푑푥 = ∫(sec )(푧)2 + sec(푧) tan (푧))푑푧 푥 = tan(푧) + sec(푧) + 퐶 , regresando a la variable “x” 푥 = tan(푥 − 푦 + 1) + sec(푥 + 푦 + 1) + 퐶 Ejercicio n02: Resolver la ecuación diferencial: 푑푦 푑푥 = 4 + √푦 − 4푥 + 8 Haciendo la sustitución 푧 = 푦 − 4푥 + 8 Derivando con respecto a “x” 푑푧 푑푥 = 푑푦 푑푥 − 4 , 푑푦 푑푥 = 4 + 푑푧 푑푥 Sustituyendo en la ecuación diferencial y separando variables
- 11. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II 11 4 + 푑푧 푑푥 = 4 + √푧 → 푑푧 √푧 = 푑푥 , integrando se tiene la solución general: 2√푧 = 푥 + 퐶 → 2√푦 − 4푥 + 8 = 푥 + 퐶 Ejercicio n03: 푑푦 푑푥 = 푒푥 +푦 − 푥 − 푦 푥 + 푦 ∗ Sea 푧 = 푥 + 푦 → 푑푧 푑푥 = 1 + 푑푦 푑푥 Reemplazando en (*) se obtiene: 푑푧 푑푥 − 1 = 푒푧−푧 푧 , separando variables 푧푒−푧 푑푧 = 푑푥 → ∫ 푧푒−푧 푑푧 = ∫ 푑푥 Mediante integración por partes: Sean: 푢 = 푧 → 푑푢 = 푑푧 푑푣 = 푒−푧 푑푧 → 푣 = −푒−푧 ∫ 푧푒−푧 푑푧 = 푧푒−푧 + ∫ 푒−푧 푑푧 = 푧푒−푧 − 푒−푧 + 퐶 Luego, −푧푒−푧 − 푒−푧 = 푥 + 퐶 Por lo tanto, la solución dada en forma implícita viene dada por: −(푥 + 푦)푒−(푥+푦) − 푒−(푥+푦) = 푥 + 퐶 (푥 + 푦)푒−(푥+푦) + 푒−(푥+푦) = −푥 + 퐶1 Ejercicio n04: ¿Pueden separarse las variables en la ecuación diferencial 푦′ = 푥 + 푦 e 푦′ = 푒2푥 −7푦 ? Respuesta: No, no pueden separarse, y ello parece que debería suceder siempre que las dos variables, la dependiente y la independiente, x e y en este caso, estén en los extremos de una suma o diferencia. Notar que la primera está en la forma normal, que es lineal no homogénea y es de primer orden. ¿Qué puede decirse de la segunda? ¿Tienen algo en común? Ver el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.
- 12. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL- MATEMÁTICA II 12 Sea la función: 푓(푥, 푦) = cos (2푥 + 5푦 + 3) (2푥 + 5푦 + 3)2 + 2 + exp (2푥 + 5푦 + 3) Si hacemos 푢 = 2푥 + 5푦 + 3), podemos escribir 푓(푥, 푦) = 푔(푢) 푔(푢) = cos(푢) 푢2 + 2 + 푒푢 Si nuestra ecuación es de la forma: 푦′ = 푔(푎푥 + 푏푦 + 푐) , (푏 ≠ 0) Entonces hacemos 푢 = 푎푥 + 푏푦 + 푐 , y por tanto, derivando respecto a x tenemos 푢′ = 푎 + 푏푦′.despejando 푦′ obtenemos 푦′ = 푢′ −푎 푏 Sustituimos en la ecuación diferencial inicial: 푢′ − 푎 푏 = 푔(푢) Y ahora solo resta separar variables (porque se puede realizar)e integrar. La solución general es: ∫ 푑푢 푏푔(푢) + 푎 = 푥 + 퐶 , 퐶 ∈ 푅 Una vez resuelta la integral de la izquierda, recuperamos las variables x e y (se deshace el cambio)