03 metodos numericos_para_calular_f
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Este documento presenta métodos numéricos para calcular el coeficiente de fricción en redes de tuberías, incluyendo el método de punto fijo y el método de Newton-Raphson. Explica la ecuación de Colebrook-White para calcular f de forma implícita y provee ejemplos numéricos para ambos métodos. Finalmente, pide practicar cálculos manuales y computarizados de f usando estos métodos.
03 metodos numericos_para_calular_f
- 1. utpl ucg centro de investigaciones en ingeniería hidráulica & saneamiento www.utpl.edu.ec Hidráulica de tuberías Redes ramificadas Métodos numéricos aplicados al cálculo del coeficiente de fricción Holger Benavides Muñoz 1. Diseño de redes ramificadas o abiertas 1.2 Modelos matemáticos para redes ramificadas. ‰ Conferencia 03: “Métodos numéricos aplicados al cálculo del coeficiente de fricción” ‰ Contenidos: „ Punto fijo. „ Newton - Raphson Raphson. „ Ejercicios de aplicación. „ Apoyo ofimático al cálculo (Excel – solver). 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 2
- 2. Bibliografía „ SALDARRIAGA, J. 2000. Hidráulica de tuberías. Bogotá, Col., McGraw – Hill. 592 p. „ SOTELO, G. 1987. Hidráulica General, vol. I, fundamentos. México, Limusa. 561 p. „ MATAIX, C. 1982. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2ª de. México, HARLA.660 P. „ PEREZ, R. 1993. Dimensionado óptimo de redes de distribución de agua ramificadas. Universidad Politécnica de Valencia. Tesis doctoral. ‰ Reconocimiento y agradecimiento: Dr. Ing. Rafael Pérez García. GMMF. 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 3 Modelos matemáticos Darcy - Weisbach „ La expresión para el cálculo de pérdidas en sistemas de tuberías a presión es: = 2 8 2 h f L f f = factor de fricción 2 f L 2 5 Q g D g V D = π L = longitud de tubería D = diámetro interno Q = caudal 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 4
- 3. Modelos matemáticos Cálculo del factor de fricción. „ Para tubos lisos o rugosos en la zona de transición o turbulenta (para Re > 4000), se utiliza la ecuación de Colebrook Colebrook-White para determinar el factor de fricción f de forma implícita de la ecuación de Darcy-Weisbach. „ Mediante un sencillo cálculo iterativo de punto fijo o por el método de Newton - Raphson, cuya convergencia está asegurada para los valores de Re y habitualmente empleados p en redes de distribución. 2.51 1 2log ε = − + f 10 3.7 D Re f 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 5 Velocidad en función de pérdidas v L ⋅ ⋅ 2.51 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = f f D g D h g D h L D V 2 3.7 log 2 2 10 ε 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 6
- 4. CÁLCULO DE f POR TANTEOS ε 1 2.51 = − + f 3.7 D Re f 1 2log 10 Re ε D (m) (m) 300000 0.0002 0.7 f x = = − + 2.51 D f g x Re 3.7 ( ) 2 log10 ε f i x g(x) f i+1 0 0.0010000 31.6227766 6.9324627 0.0208077 1 0.0208077 6.9324627 7.7379073 0.0167014 2 0.0167014 7.7379073 7.6956645 0.0168853 3 0.0168853 7.6956645 7.6978297 0.0168758 4 0.0168758 7.6978297 7.6977186 0.0168762 5 0.0168762 7.6977186 7.6977243 0.0168762 6 0.0168762 7.6977243 7.6977240 0.0168762 7 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762 8 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762 9 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762 10 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 7 Modelos matemáticos CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSON ( ) x x g x x i i 1 '( )−1 i i g x 2.51 x 1 = f = − + f 3.7 D Re f 1 2log 10 ε − = − + i '( ) 2 ( ) ε 2.51 Re + ⋅ = − 2.51 D f g x Re 3.7 ln 10 ( ) 2log10 ε = − + 2.51 D f g x Re 3.7 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 8
- 5. CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSON Re ε D (m) (m) 308405 0.000001522 0.1522 Modelos matemáticos f i x g(x) g'(x) Xi+1 f i+1 0 0.00100000 31.62277660 7.16982156 -0.02718175 7.81690675 0.01636553 1 0.01636553 7.81690675 8.35668789 -0.10658855 8.30469522 0.01449949 2 0.01449949 8.30469522 8.30619189 -0.10056864 8.30605513 0.01449474 3 0.01449474 8.30605513 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 4 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 5 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 6 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 7 0 01449474 8 30605514 8 30605514 0 10055280 8 30605514 0 01449474 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 8 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 9 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 10 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 9 Ejemplo de cálculo Modelos matemáticos „ Calcular el Q de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC de 293 mm de diámetro. Longitud: 730 m, y con una carga gravitacional de: 43.5 m. Se asume , g g que la rugosidad absoluta (ε) en m es: 0.0000015. Por coefc. global de pérdidas menores se espera un Kfm: 11.8. La densidad del agua: 998.2 kg/m³. Viscosidad dinámica (μ): 0.001005 Kg/(m.s). „ Viscosidad cinemática ( ν): ) 0 0.001005 001005 / 998 998.2 2 = Viscocidad cinemática: 1.00681E-06 m2/s 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 10
- 6. Modelos matemáticos v L ⋅ ⋅ 2.51 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = f f D g D h g D h L D V 2 3.7 log 2 2 10 ε V 2 h H K f i fm 2 = − + 1 g Q = 0.31250 m3/s 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 11 Deber „ Practicar cálculos (a mano y en computadora) para el cálculo de f (Colebrook – White) ‰ Al menos 2 ejc. por los métodos de punto fijo ‰ Al menos 2 ejc. por el método de N-R. 05/10/2007 hmbenavides@utpl.edu.ec 12