10egb mat-f2

Educación General Básica - Subnivel Superior
MATEMÁTICA
10.º EGB
TEXTO DEL ESTUDIANTE
Prohibida
su
com
ercialización

EGB
10
Matemática
Texto del alumno

ADVERTENCIA
Un objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo
y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a
través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para
alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no
reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica
preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras,
tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en
lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no
existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia
tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica
comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su
Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español
es posible <referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical
masculino>, y (b) es preferible aplicar <la ley lingüística de la economía
expresiva> para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente
ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los,
os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.
La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y
por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y
cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada.
DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA
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Subsecretario de Administración Escolar
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Directora Nacional de Currículo
Graciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja
Director Nacional de Recursos Educativos
Ángel Gonzalo Núñez López
Directora Nacional de Operaciones
y Logística
Carmen Guagua Gaspar
Primera impresión
Marzo 2020
Impreso por:
MAYA EDICIONES CÍA. LTDA.
Dirección general
Patricio Bustos Peñaherrera
Edición general
Juan Páez Salcedo
Autoría
Lucía Castro Gordón
Coordinación editorial
Soledad Martínez Rojas
Dirección de arte
Paulina Segovia Larrea
Diseño y diagramación
Equipo de diseño Maya Ediciones
Investigación gráfica
Flavio Muñoz Mejía
Investigación TIC
Fernando Bustos Cabrera
Terminación y acabados
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Ilustraciones
Andrés Fernández Analuisa, Shutterstock y sitios web
debidamente referidos
Fotografías
Shutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos
Nº de derecho de autor QUI-057159
de 10 de septiembre de 2019
ISBN: 978-9978-52-328-5
Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante
ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2018-00039-A, con fecha 16 de
agosto de 2018.
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Índice
Eje temático 1
Álgebra y funciones
ET1
Eje temático 2
Geometría y medida
ET2
Eje temático 3
Estadística y probabilidad
ET3
Unidad 3 Funciones y triángulos rectángulos 92
Producto cartesiano 94
Funciones, modelos matemáticos como funciones 98
Función real 102
Función lineal 106
Función potencia 110
Teorema de Pitágoras 114
Estrategias para resolver problemas.
Aplicar el teorema de Pitágoras 118
Proyecto. Pequeños científicos 120
Desarrollo del pensamiento. Razonamiento numérico 121
Cálculo mental 121
Recuerda y practica 122
Aplico en la vida cotidiana 124
Olimpiadas matemáticas 126
Evaluaciones estandarizadas 127
Evaluación sumativa 130
ET2ET1
Unidad 4 Sistemas de ecuaciones lineales y congruencia de triángulos 132
Ecuación lineal con dos incógnitas 134
Sistemas de ecuaciones lineales 138
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Método de igualación 142
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Método de Cramer 146
Problemas con sistemas de ecuaciones 150
Congruencia de triángulos 154
Dividir el problema en partes 158
Proyecto. Feria de historias inéditas 160
Desarrollo del pensamiento.
Razonamiento numérico 161
Cálculo mental 161
ET2ET1
Unidad 5 Ecuaciones, deporte y matemática 172
Función cuadrática 174
Solución de una ecuación de segundo grado 178
Resolución de la ecuación cuadrática por el
método de factorización 182
Ecuaciones cuadráticas. Fórmula general 186
Teorema de Thales 190
Postulados de semejanza de triángulos 194
Realizar un gráfico 198
Proyecto. Matemática en el deporte 200
Pensamiento geométrico 201
Cálculo mental 201
ET2ET1
Unidad 6 Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado y evento 212
Propiedades de las raíces de la ecuación
de segundo grado 214
Problemas con ecuaciones de segundo grado 218
Relaciones trigonométricas 222
Aplicaciones de las relaciones trigonométricas 226
Eventos. Operaciones 230
Leyes del álgebra de conjuntos. Problemas 234
Dividir el problema en partes 238
Proyecto. Rampas de acceso para
personas con discapacidad 240
Razonamiento espacial 241
Cálculo mental 241
TIC. Uso de Geogebra para graficar funciones 252
Bibliografía / Webgrafía 256
ET2ET3ET1

Conoce tu librounidad
3
92
Funciones y triángulos rectángulos
Las funciones
Con las funciones se pueden modelar matemáticamente relaciones entre variaciones de magnitudes. Por esta
razón, a través de fórmulas podemos cuantificar variaciones y predecir comportamientos de los fenómenos.
Por ejemplo en física, los movimientos están modelados con fórmulas como la de la velocidad final = +V V atf o
o aquella para el desplazamiento en función del tiempo, = +S t V t at( )
1
2
o
2
, entre otras. De igual manera en
química, las leyes que regulan fenómenos como la relación entre la presión y densidad, presión y volumen
o solubilidad de sustancias químicas son funciones.
Entonces podemos concluir que las funciones ayudan a entender el mundo en el que vivimos, pues la matemática
se encuentra aplicada en todas partes y gracias a esta se han dado grandes avances en la ciencia. ¿Te has puesto
a pensar cómo investigarían los científicos sin usar la matemática? ¿Cómo expresarían sus datos?
Preguntas generadoras
93
Objetivos:
O.M.4.1.Reconocerlasrelacionesexistentesentrelosconjuntosdenúmeros
enteros, racionales, irracionales y reales; ordenar estos números y operar
con ellos para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos y
de las funciones (discretas y continuas); y fomentar el pensamiento lógico
y creativo.
O.M.4.5. Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las
relaciones trigonométricas (utilizando las TIC) y las fórmulas usadas en
el cálculo de perímetros, áreas, volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras
geométricas, con el propósito de resolver problemas. Argumentar con
lógica los procesos empleados para alcanzar un mejor entendimiento del
entorno cultural, social y natural; y fomentar y fortalecer la apropiación y
cuidado de los bienes patrimoniales del país.
Álgebra
y funciones
Geometría
y medida
• Producto cartesiano, relaciones
reflexivas, simétricas y transitivas
• Funciones, modelos
matemáticos como funciones
• Función real. Monotonía
• Función lineal. Pendiente
• Función potencia. Monotonía.
Modelos matemáticos
• Teorema de Pitágoras.
Aplicaciones
• ¿Qué otro fenómeno se puede modelar con una función?
• ¿Cuál sería una función aplicada a la vida cotidiana?
• ¿Cómo se aplicarían las funciones a la economía?
Shutterstock,(2020).404537242
Estrategias para resolver problemas favorecen
la aplicación de conceptos y procedimientos para
solucionar problemas y situaciones matemáticas;
en esta sección pondrás en juego tu inteligencia y creati-
vidad.
En la apertura de unidad hallarás una fotografía,
un texto introductorio con lo que podrás “leer las imáge-
nes”e interpretar matemáticamente la realidad.
También encontrarás preguntas generadoras que
invitan a familiarizarse con los objetivos por alcanzar en
cada unidad.
Los contenidos inician con la sección de Sabe-
res previos o Desequilibrio cognitivo, que permi-
ten relacionar tus experiencias y tu vida con el nuevo
conocimiento. El material se apoya en fotografías, tablas,
esquemas gráficas e ilustraciones que harán más divertido
el aprendizaje.
También encontrarás, de manera aleatoria, secciones inter-
disciplinarias como DFA (diversidad funcional en el aula),
Sabías que, Recuerda que, Conexiones, las cuales te
permitirán vincular la matemática con otras ciencias, y TIC
que te apoyará con enlaces de Internet para que refuerces
tus aprendizajes mediante juegos, información y retos.
Talleres han sido diseñados para evaluar las destrezas, me-
diante actividades interesantes y dinámicas.
Además se realiza trabajo colaborativo a fin de refor-
zar el trabajo en equipo y actividades indagatorias que
invitan a investigar y aplicar el contenido estudiado.
En los talleres o evaluación formativa, se detallan las des-
trezas con criterio de desempeño, las mismas que se las
denomina con su código por materia, subnivel, bloque
y número de destreza.

Proyecto es una sección encaminada a la aplicación de
la matemática en tu vida económica, social, cultural y am-
biental, a través de un proyecto aplicado a diferentes con-
textos.
Desarrollo del pensamiento te ayudará a desarrollar tu
aptitud verbal, razonamiento numérico y razonamiento
abstracto.
Cálculo mental, por su parte, menciona estrategias para
realizar cálculos rápidos.
Recuerda y practica es una sección en la que se
reforzarán, mediante ejercicios, los temas tratados en la
unidad o unidades del texto.
Aplico en la vida cotidiana es un segmento del texto, que
está enfocado a la aplicación de la vida cotidiana, utilizan-
do los contenidos de matemática.
Olimpiadas matemáticas es una sección que invita a de-
sarrollar habilidades matemáticas a través de preguntas
tipo reto o concurso.
Evaluaciones estandarizadas es un instrumento que sir-
ve para identificar debilidades y fortalezas de los estudian-
tes a través de preguntas de opción múltiple.
Evaluación sumativa corresponde a la evaluación
de la unidad, con opciones de respuestas y desarro-
llo; son dos páginas con actividades variadas para eva-
luar tus destrezas. La sección incluye coevaluación
y autoevaluación.

unidad
3
92
Funciones y triángulos rectángulos
Las funciones
Con las funciones se pueden modelar matemáticamente relaciones entre variaciones de magnitudes. Por esta
razón, a través de fórmulas podemos cuantificar variaciones y predecir comportamientos de los fenómenos.
Por ejemplo en física, los movimientos están modelados con fórmulas como la de la velocidad final = +V V atf o
o aquella para el desplazamiento en función del tiempo, = +S t V t at( )
1
2
o
2
, entre otras. De igual manera en
química, las leyes que regulan fenómenos como la relación entre la presión y densidad, presión y volumen
o solubilidad de sustancias químicas son funciones.
Entonces podemos concluir que las funciones ayudan a entender el mundo en el que vivimos, pues la matemática
se encuentra aplicada en todas partes y gracias a esta se han dado grandes avances en la ciencia. ¿Te has puesto
a pensar cómo investigarían los científicos sin usar la matemática? ¿Cómo expresarían sus datos?

93
Objetivos:
O.M.4.1. Reconocer las relaciones existentes entre los conjuntos de números
enteros, racionales, irracionales y reales; ordenar estos números y operar
con ellos para lograr una mejor comprensión de procesos algebraicos y
de las funciones (discretas y continuas); y fomentar el pensamiento lógico
y creativo.
Álgebra
y funciones
Geometría
y medida
• Producto cartesiano, relaciones
reflexivas, simétricas y transitivas
• Funciones, modelos
matemáticos como funciones
• Función real. Monotonía
• Función lineal. Pendiente
• Función potencia. Monotonía.
• Teorema de Pitágoras.
Aplicaciones
• ¿Qué otro fenómeno se puede modelar con una función?
• ¿Cuál sería una función aplicada a la vida cotidiana?
• ¿Cómo se aplicarían las funciones a la economía?

94
Producto cartesianoTema 1
Martina y Camilo tienen como favoritos los siguientes colores: rojo, lila y rosado.
¿Cómo relacionamos a Martina y Camilo con sus colores favoritos?
Para resolver relacionamos de la siguiente manera:
El conjunto A es el de Martina y Camilo: A = {Martina, Camilo}
El conjunto B son los colores: B = {rojo, lila, rosado}
Entonces realizamos el producto cartesiano A × B:
A × B = {(Martina, rojo); (Martina, lila); (Martina, rosado);
(Camilo, rojo); (Camilo, lila); (Camilo, rosado)}
Representación en un diagrama sagital
Hay que recordar que una relación está representada gráficamente por:
Diagrama cartesiano Diagrama sagital
Recuerda. Un par ordenado se constituye de dos elementos a y b, dados en un
determinado orden. Se escribe de la forma (a, b), donde se relacionan dichos
elementos del conjunto de salida (a) y del conjunto de llegada (b).
Saberes previos
La relación binaria es
una correspondencia
de los elementos
de un conjunto A
con los elementos
de un conjunto
B, que relacionan
dichos elementos
respectivamente con
un criterio dado.
R es una relación de A
en B si R ∈ A × B.
¿Sabías qué?
M
A B
a
b
d
c
Martina
Camilo
Rojo
Lila
Rosado
El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, se define el producto cartesiano de A por B y se indi-
ca A × B al conjunto de pares ordenados (a, b), donde a pertenece al conjunto
A y b pertenece al conjunto B.
El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, se define el producto cartesiano de A por B y se indi-
ca A × B al conjunto de pares ordenados (a, b), donde a pertenece al conjunto
A y b pertenece al conjunto B.
Expansión de colores.
Matemática
con empresas
Se puede utilizar el
producto cartesiano
cuando en una
empresa de transporte
se le asigna un código
a los camiones de
acuerdo al nombre del
chofer y la ruta.
Conexiones

95
Relaciones reflexivas, simétricas y transitivas
Ejemplo1
Dado el conjunto M = {1, 2, 4, 8} y considerando que se establece la relación R de M
en M definida por “x divide a y”, ¿qué pares ordenados definen esta relación y qué
propiedad se aplica?
Solución
Relacionamos lo que dice el problema
a) 1 divide a 1, 2, 4, y 8 c) 4 divide a 4 y 8
b) 2 divide a 2, 4, y 8 d) 8 divide a 8
Los pares ordenados que definen la relación son:
R = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (1, 8); (2, 2); (2, 4); (2, 8); (4, 4); (4, 8); (8, 8)}
Como podemos observar, se cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo 2
Dado el conjunto Q = {Teresa, Martha, Ana} y considerando que se establece la
relación R de Q en Q definida por “x es hermana de y”, ¿cómo relacionamos el
problema?
Solución
a) T es hermana de M d) A es hermana de T
b) M es hermana de T e) M es hermana de A
c) T es hermana de A f) A es hermana de M
Los pares ordenados que definen esta relación son:
R = { (T, M); (M, T); (T, A); (A, T); (M, A); (A, M) }
Se cumple la propiedad simétrica: ∀ x, y ∈ A, x R y y R x
Ejemplo 3
Dado el conjunto S = {5, 6, 7, 8}, se establece la relación R de S en S definida por
“x es mayor que y”. ¿Cómo relacionamos lo que representa el diagrama sagital?
Solución
a) 6 es mayor que 5
b) 7 es mayor que 5, 6
c) 8 es mayor que 5, 6, 7
Los pares ordenados que definen esta relación son:
R = { (6, 5); (7, 5); (7, 6); (8, 5); (8, 6); (8, 7) }
La relación cumple la propiedad transitiva.
R es transitiva si un elemento está relacionado con un segundo y este con un
tercero, y si el primero está relacionado con el tercero.
Las relaciones
binarias pueden
cumplir las siguientes
propiedades, pero no
necesariamente todas.
Propiedad reflexiva
Los elementos del
conjunto están
relacionados unos con
otros entre sí: para
todo elemento de A x,
entonces x R x.
∀ × ∈ A, x R x.
Propiedad simétrica
Si dos elementos de un
conjunto cumplen que
si el primer elemento
está relacionado con
el segundo, entonces
se cumple también
que el segundo está
relacionado con el
primero:
si x R y y R x.
∀ x, y ∈ A, x R y y R x.
Propiedad transitiva
Dados tres elementos
del conjunto, si el
primer elemento está
relacionado con el
segundo, y el segundo
está relacionado con
el tercero, entonces
el primero está
relacionado con el
tercero:
si x R y e y R z x R z
∀ x, y, z ∈ A, (x R y)
(y R z) x R x.
¿Sabías qué?

Taller
Evaluación formativa
Evaluación formativaTaller
96
1. Escribe verdadero (V) o falso (F), según el análisis
de cada proposición.
a) Se puede representar el producto cartesiano
en un diagrama sagital. ( )
b) El producto cartesiano está formado por pares
ordenados. ( )
c) Un par ordenado está formado por un solo
elemento. ( )
d) En el diagrama cartesiano se puede represen-
tar una relación binaria. ( )
e) Las relaciones binarias tienen que cumplir
necesariamente todas las propiedades. ( )
2. Determina el producto cartesiano de los siguien-
tes conjuntos:
A = {1, 3, 5} B = { a, e, o}
C = { i, u} D ={ 2, 4, 6, 8}
a) A × B d) C × D

b) A × C e) B × D

c) B × C f) A × D

3. Dados los conjuntos A = {1, 3}, B = {2, 4, 6}, de-
termina y representa en el diagrama cartesiano
y en el diagrama sagital la relación: A × B.
4. Determina las siguientes relaciones:
Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4},
N = {1; 3}
a) M × N
b) R1= {(x, y) ∈ M × N / x > y}
c) R2 = {(x, y) ∈ M × N / y = x + 1}
A1 3
B
4
2
6
A
1
3
B
4
2
6
A × B

97
5. Representa gráficamente en un diagrama sagital
la relación M × N del ejercicio 4.
6. Representa gráficamente en un diagrama carte-
siano la relación R1 del ejercicio 4.
7. Responde las preguntas y completa la actividad.
Consideramos el conjunto T = {2, 3, 4, 5}, en el
que se establece una correspondencia de T en T
denominada R y está definida por x es menor que y.
a) ¿Qué pares ordenados definen esta relación?

b) Representa gráficamente la relación R en un
diagrama sagital y un diagrama cartesiano.
Diagrama sagital
M.4.1.42. Calcular el producto cartesiano entre dos conjuntos para definir relaciones binarias (subconjuntos), representándolas
con pares ordenados.
M.4.1.43. Identificar relaciones reflexivas, simétricas, transitivas y de equivalencia sobre un subconjunto del producto cartesiano.
Diagrama cartesiano
c) ¿Qué propiedades cumple esta relación?
Justifica tu respuesta.
Trabajo colaborativo
Actividad indagatoria
Trabajen en equipo y resuelvan.
8. Grafiquen el producto cartesiano de los
siguientes conjuntos. Utilicen el diagrama
sagital y el cartesiano
A = {1, 2, 3} B = { a, b, c, d} C = {1, 3, 5}
a) A × B b) B × C c) A × C
9. Resuelvan. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4},
se establece la relación R de A en A definida por
x menor que y.
a) Definan los pares ordenados de R.
b) Representen gráficamente en un diagrama
sagital y cartesiano la relación R.
c) Identifiquen qué propiedades cumple
esta relación.
10. Resuelve. Dado el conjunto A = {Carla, Ana,
María}, se establece la relación R de Q en Q
definida por x es amiga de y.
a) Define los pares ordenados de R.
b) Representa gráficamente en un diagrama
sagital y cartesiano la relación R.
c) Identifica qué propiedades cumple esta
relación.
M
T
N
T
2
2
1
2
3
3
4
4 5
3
4
5
3
N
1
3
M
2
1
3
4
M × N
R
_____________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________

98
Funciones, modelos matemáticos
como funciones
Tema 2
Un trabajador gana en una construcción $ 10 por cada hora de trabajo.
A continuación plantearemos la función:
Primero: verificamos si la relación anterior es una función.
Es una función debido a que asigna a cada hora de trabajo una cantidad de dinero.
Segundo: identificamos la variable dependiente y la variable independiente.
Variable independiente: horas trabajadas.
Variable dependiente: cantidad de dinero que gana.
Tercero: escribimos la función que modela el problema:
f(x) = 10x.
Realizamos la representación gráfica de la función planteada, utilizando una tabla
de valores, en la cual asignamos cantidades a la variable dependiente.
Ejemplo 1
Un comerciante de ropa vende cada camisa en $ 25.
Las variables son:
• Variable independiente: número de camisetas.
• Variable dependiente: valor.
La función que modela el problema es: f(x) = 25x.
Definición. Una función es una relación o correspondencia que asigna a
cada elemento de un conjunto A, uno y solo un elemento de un conjunto B.
f: A B
Se lee“la función f del conjunto A en el conjunto B”y su ecuación es y = f(x).
Definición. Una función es una relación o correspondencia que asigna a
cada elemento de un conjunto A, uno y solo un elemento de un conjunto B.
f: A B
Se lee“la función f del conjunto A en el conjunto B”y su ecuación es y = f(x).
Recuerda. Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto
del producto cartesiano entre A × B, que cumple una ley, regla o característica
particular, la cual hace corresponder los elementos de A con los elementos de B.
Saberes previos
Horas de
trabajo
1 2 3 4 5
Cantidad de
dinero
10 20 30 40 50
10
0 2 31
20
4 5 6
30
40
50
Cantidad de dinero
Horas de trabajo
(2, 20)
(3, 10)
(4, 10) (5, 50)
(1, 10)
Soldador en una construcción.
Toda función es una
relación, pero no toda
relación es una función.
¿Sabías qué?
Se lee la función f
del conjunto A en
el conjunto B y su
ecuación es y = f(x).
Variable
independiente. Está
representada con la
letra x, y se le asigna
cualquier valor.
Variable dependiente.
Se la representa con la
letra y, porque depende
de los valores que se le
asigne a x.
Evaluación de
funciones. Evaluar una
función es encontrar la
imagen de un valor x,
reemplazando el valor
de x en la función.
Por ejemplo:
f(x) = 3x − 1.
La imagen de
x = 5 sería:
f(5) = 3(5) − 1 = 14.
Recuerda que...
ArchivoEditorial,(2020).

99
Diagrama sagital
Aplicación de funciones
Adriana observa, en una revista, un grá-
fico que muestra la producción (en to-
neladas)dearroz,enlosmesesdeenero,
febrero y marzo.
Obtenemos la tabla de valores obser-
vando el gráfico
Meses Enero Febrero Marzo
Producción
(toneladas)
20 25 15
N.º de
camisetas Valor
1 25
2 50
3 75
4 100
5 125
Analizamos la gráfica:
Se puede observar claramente que en el
mes de febrero hubo mayor producción
de arroz, alcanzando 25 toneladas, pero
que este valor decreció a 15 toneladas en
el mes de marzo.
A continuación, graficamos un diagrama
circular.
Graficamos un diagrama de barras.
Como podemos observar, se cumple la
propiedad reflexiva.
Para obtener el número
de grados en un
diagrama circular, se
multiplica la frecuencia
relativa por 360°.
Diagrama circular
El diagrama circular
(también llamado
diagrama de pastel)
sirve para representar
variables cualitativas
o discretas. Se utiliza
para representar
la proporción de
elementos de cada
uno de los valores de la
variable.
¿Sabías qué?
X
1
2
3
4
25
50
75
100
Y
Enero
Enero
Febrero
Febrero
Marzo
Marzo
30
25
20
15
10
5
0
30
25
20
15
10
5
0
Producción (toneladas)
15
20
25
Enero Febrero Marzo
Es importante que haya
tiempo suficiente para
que realicen su trabajo
y sus desplazamientos
aquellas personas
que puedan tener
dificultades en su
motricidad.
DFA
ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).

Taller
100
a) Toda relación es una función. ( )
b) Para obtener la tabla de valores se asignan
cantidades a x. ( )
c) Se puede utilizar un diagrama sagital para
representar una función. ( )
d) A la variable dependiente se la representa con
la letra x, y se le asigna cualquier valor. ( )
e) Para obtener el número de grados en un
diagrama circular, se multiplica la frecuencia
relativa por 360°. ( )
2. Determina la tabla de valores de la función:
y = x – 3.
x y
3. Grafica la función anterior en un diagrama car-
tesiano.
4. Responde. ¿El siguiente diagrama sagital repre-
senta a una función? Justifica tu respuesta.
________________________________________
________________________________________
________________________________________
5. Evalúa las siguientes funciones, con x = 3.
a) f(x) = x ² + 1
b) f(x) = –x ³ + 3
c) f(x) = x ² + x + 1
d) f(x) = 2x ²
6. Evalúa la función f(x) = 2x2 − 3 para cada valor de x:
f(−3) = __________________________________
f(0) = ___________________________________
f(−1) = __________________________________
f(2) = ___________________________________
7. Determina la tabla de valores de la función
f(x) = x ² + 6.
N
1
3
M
2
1
3
4
M × N
x f(x)
1
2
3
4
5

101
M.4.1.45. Representar funciones de forma gráfica, con barras, bastones y diagramas circulares, y analizar sus características.
M.4.1.46. Elaborar modelos matemáticos sencillos como funciones en la solución de problemas.
8. Identifica la variable independiente y la variable
dependiente.
a) El costo de un producto
_____________________________________
_____________________________________
b) Horas de trabajo y salario
_____________________________________
_____________________________________
c) Aprobar una materia y horas de estudio
_____________________________________
_____________________________________
d) Edad de una persona y su estatura
_____________________________________
_____________________________________
9. Resuelve. El precio en dólares del quintal de
azúcar, en el periodo desde el 2014 hasta el 2017,
está dado por la siguiente tabla de valores:
a) Identifica la variable independiente y la
variable dependiente.
b) Grafica en un diagrama de barras.
c) Responde las siguientes preguntas:
¿Cuál es el año en el que costó más el quintal
de azúcar?
_____________________________________
¿Cuál fue año en que el quintal de azúcar
costó menos?
_____________________________________
d) Grafica un diagrama circular utilizando los datos.
10. Resuelve. Paulina se inscribe en un club de Karate
que cobra $ 50 por matrícula y $ 15 por cada sema-
na de clase. ¿Qué función modela la situación?
11. Representen las siguientes funciones en
diagramas cartesianos.
a) =y
x2
3
c) y = –x + 6
b) y = –x + 6 d) y = x − 3
12. Resuelvan. El valor de un paquete de manza-
nas es $ 3. Expresen el costo del paquete de
acuerdo con la cantidad comprada.
a) Plantear la función
b) Realizar la tabla de valores
c) Graficar la función
13. Una bomba de agua extrae de un tanque los
200ldeaguacontenida,arazónde40lporminuto.
a) ¿En cuánto tiempo el tanque quedará vacío?
b) ¿Cuál es la gráfica de la función f(x)?
Año 2014 2015 2016 2017
Costo 45 60 40 50

102
Función realTema 3
Reflexiona. ¿Cuál es el conjunto de los números reales?
Saberes previos
• Si el dominio y
recorrido son el
conjunto de números
reales, entonces es
una función real.
x: es la variable
independiente que
pertenece al dominio
de la función.
y = f(x): es la variable
dependiente, imagen
de x. Es un número
real que se obtiene al
aplicar la función sobre
el elemento x.
Dominio: Es el conjunto
de valores que puede
tomar la variable
independiente (x).
Recorrido: Llamado
también imagen,
codominio o rango es
el conjunto de valores
que toma la variable
dependiente (y).
¿Sabías qué?
Trabajadores de una empresa
telefónica.
Una empresa de telefonía cobra a sus clientes solo por el tiempo que tarda en
comunicarse. La relación entre el tiempo que se demora una llamada y el costo por
llamada está dada por la función f(x): y – 2x = 0. ¿Cuántos minutos puede hablar un
cliente si dispone de $ 20?
El dominio es el subconjunto en el que se define la función.
Tenemos el número y, asociado por f al valor de x. Entonces: y = f(x). Por lo tanto, el
recorrido es el conjunto de valores reales que toma la variable y o f(x).
Para resolver la situación anterior, realizamos una tabla de valores y graficamos la
función.
Como se observa en la tabla de valores, a cada valor de x le corresponde un valor
real de y.
Obteniendo el dominio y recorrido de la función anterior tenemos:
Dom f(x) = ℝ Rec f(x) = ℝ
Entonces, el dominio y recorrido de la función es el conjunto de los números reales.
Por lo tanto, es una función real.
Solución
El cliente puede hablar hasta 10 minutos.
Las funciones reales suelen darse mediante una fórmula o expresión algebraica.
Por ejemplo: f(x) = x 2 + 2x – 1, g(x) = = ± −y x8 2
Otra forma de escribir es:
y = x2 + 2x – 1, = ± −y x8 2
Definición de función real. Es una función matemática que hace corresponder
a cada número real otro número real. : ℝ ℝ
Definición de función real. Es una función matemática que hace corresponder
a cada número real otro número real. : ℝ ℝ
x y = 2x y
2 y = 2(2) 4
4 y = 2(4) 8
6 y = 2(6) 12
8 y = 2(8) 16
10 y = 2(10) 20
12 y = 2(12) 24
0
0
8
10
12
14
–4 2
2
–2
–2
4
4 6 8
6
Tiempo
Costo y = 2x
_________________________________________________________________

103
Monotonía
El precio en dólares de la libra de azúcar en el periodo entre 2010 y 2016 está dado
por la siguiente tabla.
¿En qué años aumentó el precio de la libra de azúcar?
En este ejemplo tenemos que el año es la variable independiente (x) y que el costo
es la variable dependiente (y) de la función f(x).
Graficando la función tenemos que:
Analizando la gráfica y la tabla de valores, podemos determinar que el precio del
azúcar decreció entre el año 2011 y 2012, y entre 2015 y 2016. En el resto de años
el precio ha ido aumentando.
Año 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Costo 0,25 0,30 0,28 0,35 0,40 0,45 0,40
Una función es creciente en un
intervalo si:
x1
< x2
; entonces (x1
) < (x2
)
Una función es decreciente en un
intervalo si:
x1
< x2
; entonces (x1
) > (x2
)
Una función es constante en un
intervalo, para todo valor:
x1
≠ x2
; entonces (x1
) = (x2
)
(x)
x0
(x1
)
(x2
)
x1 x2
(x)
x0
(x2)
(x1)
x1 x2
(x)
x0
(x1) = (x2)
x1 x2
Definición de funciones creciente, decreciente y constante
• Si los valores de f(x)
van en aumento, la
función es creciente
en ese intervalo.
• Si los valores de f(x)
van disminuyendo,
la función es
decreciente en ese
intervalo.
Una función puede ser
totalmente creciente o
decreciente.
¿Sabías qué?
Costo
Año
A
B
C
D
E
F
G
2010 2012 2013 2014 2015 20162011
0,25
0,35
0,50
0,45
0,40
0,30
Archivo Editorial, (2020).
Ingresa al siguiente
enlace para conocer
más ejemplos.
bit.ly/2yH6oUw
Enlace web

Taller
104
1. Determina el dominio y recorrido de las siguientes
funciones. Escribe si son funciones reales.
a)

Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
_____________________________________
b)
Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
_____________________________________
c)
Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
d)
Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
2. Determina si es una función real, dada la tabla de
valores. Escribe el dominio y recorrido. Grafica la
función.
a) f(x) = −8x

x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x)

Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
b) g(x) = 4x 2 + 3x – 1

x –3 –2 –1 0 1 2 3
g(x)

Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
c) h(x) = 3

x –3 –2 –1 0 1 2 3
h(x)

Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
d)

=
−
y
x3 1
2

x –3 –2 –1 0 1 2 3
y

Domf(x):______________________________
Rec f(x): ______________________________
0
2
2
4
4–6
–8
6–4
–6
8 10–2
–4
–2
0
0
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2
2
3 4 5–1
–1–2–3
–1
–1
0
1
1
2
2 3–2 4–1
–2
–1
ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).

105
M.4.1.48. Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representación gráfica o tabla de valores.
M.4.1.49. Definir y reconocer una función real identificando sus características: dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes.
3. Escribe los intervalos donde las funciones son
crecientes o decrecientes.
a)
Creciente en los intervalos:
_____________________________________
Decreciente en los intervalos:
_____________________________________
b)
_____________________________________
_____________________________________
c)
_____________________________________
_____________________________________
4. Trabajen en equipo y resuelvan.
Determinen el dominio y recorrido de cada
función, y los intervalos donde es creciente o
decreciente.
a)
___________________________________
___________________________________
b)
___________________________________
___________________________________
5. Analicen y resuelvan. Las ventas mensuales
de una compañía están representadas por la
siguiente gráfica:
a) Determinen el dominio y recorrido de la
función que determina las ventas.
___________________________________
b) Escriban los intervalos en los cuales las
ventas se han incrementado.
___________________________________
c) Escriban los intervalos en los cuales las
ventas han disminuido.
___________________________________
6. Indaga cuándo una función no es real.
Escribe dos ejemplos.
10
0
1
-1
2
3
4
5
2 3 4 5 6 7 8 9
A
a
b
c
d
e
f
B
C
D
E
F
G
10
4
5
1
2
3
2 3-3-4-5 -2 -1 4 5
1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1
1
0
0
2
-2
-1
3
4
6
5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
12
14
16
10
Tiempo (semanas)
Precio (€)
1
5
10
-10
-5
2 3-3-4 -2 -1 4
X
Y

106
Función linealTema 4
El parque automotriz en el Ecuador crece año a año, según datos proporcionados
por la Asociación de Empresas Automotrices del Ecuador. Las siguientes son las
ventas registradas desde el año 2007 hasta el año 2011.
¿Cuál es la interpretación global de esta función?
Función lineal. El año anterior aprendiste sobre las rectas y sus ecuaciones.
Por ejemplo: la ecuación y = 2x + 2 relaciona la variable independiente x y la varia-
ble dependiente y. Su representación gráfica es una línea recta y está asociada con
la función y = ax + b.
Para graficar una recta, basta conocer dos puntos por donde pasa la recta. Así:
Observa la tabla inferior y deduce: ¿cuál es la tendencia en la venta de autos del
año 2007 al año 2011?
Saberes previos
Modelo Corte con el eje x Corte con el eje y Gráfica
y = 2x + 2
La ecuación de una
recta no vertical es:
(x) = ax + b
Si y = 0 0 = 2x + 2;
x = –1
El primer punto es:
A(–1, 0)
(x) = 0; A(x, 0)
Si x = 0 y = 2(0) + 2
y = 2
El segundo punto es:
B(0, 2)
x = 0; B(0, f(0))
y = 3
Si en la función
(x) = ax + b, a = 0,
la recta es horizon-
tal y de ecuación
(x) = b
Si y = 0
No hay corte con el eje x.
Si x = 0, y = 3;
Punto A(0, 3)
Si x = 2, y = 3
Punto B(2, 3)
x = 2
La ecuación de
la recta vertical es:
x = c
Si y = 0, x = 2
Punto A(2, 0)
Si y = –1, x = 2
Punto B(2, –1)
Si x = 0
No hay corte con el eje y.
Ventas anuales de
vehículos en Ecuador
Años Unidades
vendidas
2007 91 778
2008 112 684
2009 92 764
2010 132 172
2011 139 893
Fuente: http://www.aeade.net
0
130
140
110
100
90
2007 2008 2009 2010 2011
120
Años
Unidadesdevehículosenmiles
91 778
112 684
132 172
139 893
92 764
f(x)
1
2
A(2, 0)
B(2, –1)–1
–2
0 1 2 3 4–1–2–3–4
x
x = 2
f(x)
1
2
B(2, 3)A(0, 3)
3
–1
0 1 2 3 4–1–2–3–4
x
y = 3
f(x)
1
2 B(0, 2)
A(–1, 0)
3
–1
0 1 2 3 4–1–2–3–4
x
y = 2x + 2
enlace web:
bit.ly/2M1gFnf
Imprime la página 182
y resuelve funciones
lineales.
Me refuerzo

107
Interpretación de la pendiente de la recta
Pendiente de la recta
La pendiente es la razón de cambio entre el desplazamiento vertical
y horizontal.
Por ejemplo: si una persona sube por superficie inclinada de pendiente
¾, significa que asciende 3 m y se desplaza 4 m hacia la derecha. Según
el teorema de Pitágoras se desplazó 5 m sobre la trayectoria inclinada.
Ahora supongamos que una persona baja por una superficie inclinada
de pendiente –5/12. Esto significa que desciende 5 m y se mueve 12 m
hacia la derecha, es decir, recorrió 13 m sobre la trayectoria inclinada.
La pendiente m es la inclinación de la recta con respecto al eje de las
abscisas. La pendiente m de la recta es la tangente del ángulo que hace
la recta con el eje de las abscisas en sentido positivo.
Cálculo de la pendiente
Ejemplo
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(5, 4).
La pendiente de la recta es 1 y
corresponde a un ángulo de
inclinación con el eje x de 45°.
Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula Pendiente no definida
y = ax + b
Si la recta es creciente,
la pendiente es positiva y se
inclina a la derecha.
m = a, m > 0
y = –a x + b
Si la recta es decreciente,
la pendiente es negativa y
se inclina a la izquierda.
m = –a, m < 0
y = b
Si la recta es constante,
la pendiente es nula y es
paralela al eje x.
m = 0
Si la recta es perpendicular
al eje x, la pendiente no está
definida o es infinita. Forma
un ángulo de 90º con el
eje x.
m no está definida.
y y y
y
x x x
x
y
x0
y1
y2
x1
x2
P2
(x2
, y2
)
∆y = y2
– y1
∆x = x2
– x1
P1
(x1
, y1
)
m = tg( )
m = tg( ) =
m =
∆y
∆x
y2 – y1
x2 – x1
m =
m = arctan (1) = 45°
= = = 1y2 – y1
x2 – x1
4 – 2
5 – 3
2
2
y
x
0
6
4
2
–2
2–1–2 4 6 8
(5, 4)
(3, 2)
A
B
D
desplazamiento vertical
desplazamiento horizontal
Pendiente m =
Horizontal
Horizontal
Avance
Avance
4 m
5 m
13 m
12 m
5 m
3 m
Descenso
Ascenso
La pendiente de una
recta, es la tangente
del ángulo que forma
la recta con la dirección
positiva del eje de
abscisas.
m = tan α
La tangente de un
ángulo es igual al
cateto opuesto sobre el
cateto adyacente.
(tan α)
La función inversa de la
tangente es la función
arcotangente. (arctan α)
¿Sabías qué?

Taller
108
1. Verifica si cada punto pertenece a la recta.
Observa el ejemplo:
a) y = 3x – 5 P(4, 7)
7 = 3(4) – 5; 7 = 7 Sí pertenece a la recta.
b) y = –2x + 4 A(1
2
; 3)
c) 1
2
y = 3
2
x B(– 7
2
; – 1
4
)
d) 3x + 5y = 2 C(–1,5; 1,3)
e) 5x – 9y = 0 D(9
5
; 1)
f) y = 3
27x E( 2; 3)
2. Determina los cortes vertical y horizontal de las
rectas.
a) y = 9x + 3
b) 3x + y = 6
c) y =
1
2 x + 5
d) x = 23
e) y = 25
3. Obtén dos puntos y representa las siguientes
rectas:
a) y = 4x – 8
b) 5x + 2y = 20
c) y = 5
2
x
d) x = – 7
2
e) x = 1
2
y + 6
f) 4x – y = 8
g) 2x = y + 2
4. Determina la pendiente de las rectas mediante
desplazamientos verticales y horizontales.
a)
b)
c)
5. Trabaja en tu cuaderno.
a) Dibuja un plano cartesiano y localiza los
puntos A(–3, –2) y B(1, 5).
b) Dibuja la recta que une los dos puntos.
c) Determina la pendiente de la recta.
6. Encuentra la pendiente de las siguientes rectas.
Recuerda que en la ecuación y= ax + b ó y = mx + b,
el coeficiente de x es la pendiente de la recta.
a) y = – 1
—
2
x + 3
b) y = 0,7x – 0,25
c) 3x + y = 5
d) y = 2/5
7. Halla la pendiente de la recta que pasa por dos
puntos.
a) (3, –7); (–4, 6)
b) (–2, 6); (9, 6)
c) (4, 5); (–1, –5)
d) (a, 0); (0, –b)
e) (4, 2); (0, –5)
f) (m, 0); (0, n)
f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4 4
f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4 4
f(x)
x
1
2
1–1
–1
–2 2

109
M.4.1.50. Definir y reconocer una función lineal de manera algebraica y gráfica (con o sin el empleo de la tecnología), e identificar
su monotonía a partir de la gráfica o su pendiente.
8. Observa e interpreta la siguiente tabla para la
selección de una rampa de acceso.
En la construcción de rampas siempre se debe
seleccionar la rampa más larga posible: cuánto más
larga sea la rampa, menor será la pendiente por
superar.
Para usuarios independientes en sillas de rueda, se
recomienda una pendiente máxima de 1:7. Para
sillasderuedasmanualesempujadasporayudantes,
y para sillas eléctricas, una máxima de 1:5.
a) Para salvar una altura de 40 cm con ayudante,
¿qué longitud debe tener la rampa?
_____________________________________
b) Para salvar una altura de 40 cm sin ayudante,
¿qué longitud debe tener la rampa?
_____________________________________
c) Para salvar una altura de 20 cm con ayudante,
¿qué ángulo de inclinación debe tener
la rampa?
_____________________________________
d) Para salvar una altura de 10 cm sin ayudante,
¿qué ángulo de inclinación debe tener
la rampa?
_____________________________________
9. Analiza y escribe verdadero (V) o falso (F).
a) Toda recta con pendiente positiva se inclina
para la izquierda. ( )
b) La recta con m = 0 es paralela al eje x. ( )
c) La pendiente de una recta determina el
ángulo de inclinación de la recta con el eje de
las ordenadas. ( )
10. Utiliza el concepto de pendiente para determinar
si los puntos dados son colineales, es decir, si
pertenecen a la misma recta (la pendiente debe
ser igual).
a) (1, –1); (2,5; 0,5); (4, 2)
_____________________________________
b) (–2, 7); (–3, 9); (1, –2)
_____________________________________
Determinen el ángulo de inclinación de las
rampas de acceso con la siguiente información:
Al construir edificaciones se deben tener en
cuenta los siguientes porcentajes de pendien-
tes para construir rampas.
a) En edificios públicos, máximo 6 %. Ángulo
de inclinación _______________________
b) Para personas con discapacidad sin per-
sonal de asistencia, hasta 10 %. Ángulo de
inclinación _________________________
c) Usuariosdesillasconpersonaldeasistencia,
hasta 20 %. Ángulo de inclinación _______
12. Traza las siguientes rectas:
a) y = –4x + 12 c) y = 6x
b) 4x – 8y = 2 d) 4x = 6
13. Identifica las rectas que tienen:
• Pendiente positiva • Pendiente nula
• Pendiente negativa • Pendiente no
definida
a) c)
b) d)
y
x
y
x
y
x
y
x
_______________
_______________
_______________
_______________
Altura por salvar (cm)
Longitud de la rampa (en cm)
0
60
80
40
20
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
Ejemplo: para salvar 30 cm con ayudante:
30 x 5 = 150. Rampa de 150 cm
Para salvar 30 cm sin ayudante:
30 x 7 = 210. Rampa de 210 cm
Sillas de ruedas empujadas por un ayudante
Usuarios independientes
Fuente: http://www.mundorampas.com/calcular-rampas.html

110
Función potenciaTema 5
En temas anteriores vimos cómo se representa una función, específicamente
cómo se gráfica. Ahora vamos a ver cómo es la gráfica de una función potencia.
Gráfica de una función potencia
Cuando el exponente es un número entero, tenemos los siguientes casos:
Infiere. ¿Cómo se localiza un par ordenado en el plano cartesiano?
Saberes previos
• Las funciones
potencia son aquellas
que tienen la forma
f(x) = ax n
,
donde:
a y n son números
reales distintos de 0
y n es distinto de 1.
Esta función está
definida para los
números reales y su
gráfica depende del
exponente.
¿Sabías qué?
Matemática en la
óptica
La ilusión óptica que
produce al observar un
objeto sumergido en el
agua se aprecia como
si estuviera quebrado.
Esto se debe a que los
rayos de luz que van
del objeto al ojo sufren
un cambio de dirección
cuando atraviesan la
frontera agua - aire.
La representación del
objeto se asemeja a la
gráfica de una función
por partes, porque se
pueden apreciar dos
partes.
Matemática
y profesiones
Exponente par positivo
Su gráfica es una curva simétrica
respecto al eje y.
-4
-3
-2
-1
-2 -1
1
0
0 1 2 3 4
2
Si a < 0, la curva estará abierta hacia
abajo.
Si a > 0, la curva estará abierta hacia
arriba.
Exponente impar positivo
La gráfica es una curva simétrica
con respecto al origen.
-4
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1
1
0
0 1 2 3 4
2
Si a < 0, la gráfica se encuentra en
el segundo y cuarto cuadrante, y la
función es decreciente.
Si a > 0, la gráfica se encuentra
en el primer cuadrante y tercer
cuadrante, y la función es creciente.
Exponente par negativo
La función tiene dos asíntotas, que
son los ejes x e y.
-4
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1
1
0
0 1 2 3 4
2
Si a < 0, las curvas irán hacia abajo,
y estarán en el tercer y cuarto
cuadrante.
Si a > 0, las curvas irán hacia arriba,
y la gráfica estará en el primer y
segundo cuadrante.
Exponente impar negativo
La función tiene dos asíntotas que
son los ejes x e y.
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1
1
0
0 1 2 3 4
2
3
4
Si a < 0, la gráfica estará en el
segundo y cuarto cuadrante. La
función es creciente.
Si a > 0, la gráfica estará en el primer
y tercer cuadrante. La función es
decreciente.
_________________________________________________________________

111
Monotonía
Funciones crecientes y decrecientes El hecho de que haya
una discapacidad
auditiva no significa
que el tono de voz con
el que se habla debe ser
exagerado o excesivo.
Basta con que haya
claridad al momento de
comunicarse.
DFA
f(t)
t(s)0
2,5
3
3,5
4
1,5
1
0,5
0,20,1 0,40,3 0,60,5 0,80,7 10,9
2
creciente
decreciente
f(x)
x0
f(x1
)
f(x2
)
x1
x2
f(x)
x0
f(x2
)
f(x1
)
x1
x2
En páginas anteriores vimos que una función es
creciente en un intervalo si:
x1 < x2. Entonces f(x1) < f(x2).
Y la función es decreciente en un intervalo si:
x1 < x2. Entonces f(x1) > f(x2).
Cuando un jugador de baloncesto salta para encestar, la altura del jugador f(t) en
pies desde el piso después de t segundos está dada por la fórmula:
1
2
f(t) = – gt 2
+ 16t,
donde g es la constante gravitacional y equivale a 32 pies/s2
. ¿En qué intervalo de
tiempo el jugador se eleva para encestar?, ¿en qué intervalo de tiempo el jugador
baja luego de encestar?
Realicemos la gráfica de la función f(t) = – 1
2
gt 2
+ 16t.
Como g = 32 pies/s2
: f(t) = –16t 2
+ 16t
El jugador se eleva para encestar entre [0 ; 0,5] segundos y desciende en un
intervalo de tiempo comprendido entre [0,5 ; 1] segundos.
t f(t)
0 0
0,2 2,56
0,4 3,84
0,5 4
0,6 3,84
0,8 2,56
1 0
Juego de baloncesto.
El comportamiento
de una función está
determinado por
el crecimiento o
decrecimiento.
Ingresa a:
bit.ly/2MEmDtV
e indaga: ¿cuándo
una función es
estrictamente creciente
o estrictamente
decreciente?
Enlace web

Taller
112
b) Según los expertos, una hectárea de trigo
en condiciones óptimas produce aproxima-
damente 60 quintales de la gramínea. Si en
diferentes sectores de una hacienda se siem-
bran 15 ha, 30 ha, 45 ha y 60 ha de trigo, ¿cuál
puede ser la producción en cada sector?

3. Escribe los intervalos donde las funciones son
crecientes y decrecientes.
a)
Creciente: ____________________________
Decreciente: ___________________________
b)
Creciente: ____________________________
Decreciente:___________________________
c)
Creciente: ____________________________
Decreciente:___________________________
1. Dadas las funciones, determina el dominio,
completa en tu cuaderno la tabla de valores,
grafica y determina el recorrido.
a) f(x) = –5x

x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x)
b) f(x) = x 2
– 2

x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x)
c) f(x) = 6

x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) 6 6
d) h(x) = x 3
– 5x + 1

x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x)
e) g(x) = x–2
+ 4

x –2 –1 1 2
g(x)
f) h(x) =3x –3
+ 4x – 5

x –2 –1 1 2
g(x)
2. Halla el dominio y recorrido de las siguientes fun-
ciones. Luego, grafica y escribe si son funciones
potencia.
a) El costo anual, en miles de dólares, del
mantenimiento de una planta procesadora
de alimentos en función de los años está
dada por la expresión: f(x) = x 2
– 4x + 4. ¿Cuál
es la representación gráfica de esta función?
________________________________
_________________________________
f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4

113
M.4.1.51. Definir y reconocer funciones potencia con n = 1, 2, 3, representarlas de manera gráfica e identificar su monotonía.
M.4.1.52. Representar e interpretar modelos matemáticos con funciones lineales, y resolver problemas.
4. Resuelve.
La administradora de un hotel presenta la siguien-
te gráfica en el informe anual sobre el número de
visitantes del hotel.
a) ¿Cuáles son las variables relacionadas en la
gráfica?
_____________________________________
b) ¿En qué meses del año la cantidad de
huéspedes creció?
_____________________________________
c) ¿En qué meses del año la cantidad de
huéspedes decreció?
_____________________________________
5. Observa la gráfica. Luego, escribe verdadero (V)
o falso (F), según corresponda.
a) La variable independiente es el número de
galones de combustible. ( )
b) La variable dependiente es la distancia
recorrida en kilómetros. ( )
c) La gráfica representa la relación entre la
velocidad del auto y el número de galones de
combustible. ( )
d) La gráfica es estrictamente decreciente. ( )
Tracen la gráfica correspondiente a la tabla de
valores. Escriban si f(x) son funciones potencia.
a)

x 0,2 0,4 0,8 1 1,6 2 4 5 8
f(x) 10 5 2,5 2 1,25 1 0,5 0,4 0,25
b)

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
f(x) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
c)

x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) 9 4 1 0 1 4 9
___________________________________
7. Determinen los intervalos en los que la
función es creciente o decreciente.
a)

f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
b) f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
8. Cuando subimos a un ascensor, observamos
intervalosenquesube,otrosenquepermanece
sin movimiento y otros en que baja. Esta es la
representación gráfica de un ascensor:
a) Realicen una descripción del movimiento
del ascensor.
b) Determinen el dominio y el recorrido del
movimiento del ascensor.
___________________________________
c) Escriban los intervalos en los cuales el
ascensor sube.
9. Indaga y resuelve.
¿Una función de la forma ax también es una
función potencia?
¿Por qué?
_____________________________________
ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic
100
200
300
400
500
600
Número de personas hospedadas en un hotel
Meses del año
Númerodepersonas
Tiempo (min)
Núm.depisos
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13–1–2–3
–1
–2
–3
Rendimiento de un auto
Gasolina (galones)
Distancia(km)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–2
–2
–4

114
Teorema de PitágorasTema 6
En un colegio, la cancha de fútbol mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus
diagonales es de 150 metros, ¿cuál es el ancho de la cancha?
Podemos observar que la diagonal de la cancha forma un triángulo rectángulo,
donde el largo sería uno de los catetos, y la diagonal sería la hipotenusa. Para hallar
el ancho, tendremos que encontrar la medida del otro cateto mediante el teorema
de Pitágoras.
Demostrando el teorema tenemos que:
Donde:
a y b son catetos,
c es la hipotenusa.
Siempre se cumple que c > a y c > b.
A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras, despejamos para obtener las fórmulas.
Para resolver el problema planteado al inicio, es necesario identificar lo que
deseamos hallar, en este caso, un cateto. Por lo tanto, la fórmula que se aplica es:
= −a c b( )2 2
a= (c2
–b2
) a= 6 875 a = 82,91 m
Solución:
El ancho de la cancha de fútbol es 82,91 metros.
Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada cateto.
c 2 = a 2 + b 2
Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada cateto.
c 2 = a 2 + b 2
Recuerda. ¿Qué es un triángulo rectángulo?
Saberes previos
Para encontrar la hipotenusa Para encontrar los catetos
= +c a b2 2
La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada
de la suma de los catetos elevados al
cuadrado.
= −
= −
a c b
b c a
2 2
2 2
= −
= −
a c b
b c a
2 2
2 2
Un cateto es igual a la raíz cuadrada del
cuadrado de la hipotenusa menos el
cuadrado del otro cateto.
Un triángulo rectángulo
es aquel que tiene un
ángulo recto y dos
agudos. Los lados que
forman el ángulo recto
se llaman catetos y
la hipotenusa es el
lado más grande del
triángulo.
¿Sabías qué?
Hipotenusa
Cateto
90º
Cateto
+=c2 a2 b2
c2 = a2 + b2
5 5
c
a
b
4
4
3
3
39
16
25
125 m
150 m
Matemática
con Medicina
Si queremos determinar
la distancia de un pico
que mide la frecuencia
cardíaca un uso
sencillo del Teorema de
Pitágoras nos puede ser
de mucha utilidad.
Conexiones

115
Ejemplo 1
Un edificio mide 95 metros de altura. Si un automóvil se encuentra a 300 metros
de la base del edificio, ¿cuál es la distancia del automóvil desde lo alto del edificio?
95 m
300 m
Datos Operación Respuesta
Hipotenusa: ?
Cateto a: 95 m
Cateto b: 300 m
= +
= +
c a b
c 95 300
2 2
2 2
c = 314,68 m
La distancia desde lo alto
del edificio al automóvil es
314,68 m.
Datos Gráfico Operación Respuesta
Hipotenusa: 6 cm
Cateto a: ?
Cateto b: 3 cm
6 cm
3 cm
h
= −
= −
a c b
a 6 3
2 2
2 2
a = 5,19 cm
La altura de la figura
es 5,19 cm.
Ejemplo 2
Una escalera de 5 m de longitud es apoyada sobre una pared. Si la distancia entre
la base de la pared a la escalera es 1,4 m, ¿cuál es la altura de la pared?
Ejemplo 3
Encontrar el valor del dato desconocido.
Ejemplo 4
Encuentra el área de la región no sombreada.
Observamos que la parte que no está coloreada está
conformada por triángulos rectángulos congruentes.
Hallemos el cateto faltante.
= − = − =b c a b b; 15 12 ; 92 2 2 2
El área del triángulo sería:
A = (b × h)/2; A = (12 × 9)/2; A = 108/2 = 54 cm2
Datos Gráfico Operación Respuesta
Hipotenusa: 5 m
Cateto a: ?
Cateto b: 1,4 m
= −
= −
a c b
a 5 1,4
2 2
2 2
a = 4,8 m
La altura de la pared
es 4,8 metros.
Multiplicando por 2, tenemos: A = 54 × 2 = 108 cm2
Solución
El área de la región no sombreada es 108 cm2
5 m
1,4 m
?
18 cm
12 cm
15 cm
h
Matemática
con historia
El teorema de
Pitágoras tiene ese
nombre porque su
demostración fue un
esfuerzo de la escuela
pitagórica. Sin embargo,
anteriormente en
Mesopotamia y en
el antiguo Egipto,
se conoció que la
pirámide de Kefrén se
construyó basándose
en el llamado triángulo
sagrado egipcio, de
proporciones 3-4-5,
utilizando el teorema
de Pitágoras.
Conexiones
recurso web:
bit.ly/2Zz0CQT
Imprime los ejercicios
y practica teorema de
pitágoras.
Me refuerzo

Taller
116
3. Calcula el valor de x.
a)
b)
c)
4. Encuentra el área de la región sombreada.
a)
a) Todo triángulo tiene un ángulo recto. ( )
b) El teorema de Pitágoras es aplicable solo en
triángulos rectángulos. ( )
c) Un triángulo de lados a = 3, b = 5, c = 1 es un
triángulo rectángulo. ( )
d) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
diferencia de los cuadrados de los catetos. ( )
e) La hipotenusa es el lado más grande del
triángulo rectángulo. ( )
2. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a)
b)
c)
c
a = 15 cm
b = 18 cm
A
BC
c = 16 cm
b =C
a=5cm
B
A
c = 25 cm
b = 12 cm
a =
C
B
A
9 cm
4 cm
x
4 cm
5 cm5 cm
x
8 cm
16 cm
8 cm8 cm
8 cm
c = 6 cm
a = 5 cm
x
ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).

117
M.4.2.14. Demostrar el teorema de Pitágoras utilizando áreas de regiones rectangulares.
M.4.2.15. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos.
5. Resuelve los siguientes problemas.
a) Un grupo de ingenieros desean conocer la
altura de una montaña. Para esto utilizan una
cinta de 200 metros que colocan desde la
cima de la montaña y la extienden totalmente
hasta que toca el suelo a 60 metros del punto
A, ubicado justamente debajo de la cima.
¿Cuál es la altura de la montaña?
b) El tamaño de las pantallas de televisión
viene dado por la longitud en pulgadas de la
diagonal de la pantalla. Si un televisor mide
40 pulgadas y tiene 95 cm de base, ¿cuál será
su altura?
Recuerda que una pulgada tiene 2,54 cm.
c) Desde la punta de un poste de 2 metros de
altura se ha extendido un cable hasta cierto
punto en el suelo que está a 3 metros de su
base, como se indica en la figura. ¿Cuánto
mide el cable extendido hasta el suelo?
d) La altura de la Virgen del Panecillo es de
41 metros. Si la distancia desde la punta de
la Virgen a una persona es de 100 metros, ¿a
qué distancia está la persona de la base de la
estatua?
a) Un niño observa un pájaro a lo lejos a una
distancia de 7 metros. Si el niño se encuen-
tra a 5 metros de la sombra proyectada
perpendicularmente del pájaro, ¿a qué altu-
ra se encuentra el pájaro del suelo?
b) La altura de la torre Morisca ubicada en
Guayaquil es de 23 metros. Si la distancia
desde lo alto de la torre a una persona que
está tomando una foto es 40 metros, ¿a qué
distanciaestalapersonadelabasedelatorre?
c) Un niño eleva una cometa. La longitud de
la piola que ha soltado mide 35 metros y la
distancia horizontal de los pies del niño al
punto que está debajo de la cometa es 10
metros.¿Aquéalturaseencuentralacometa?
Dos aviones salen del Aeropuerto Internacional
José Joaquín de Olmedo. Uno se dirige hacia
el norte y otro, hacia el este. Cuando se
encuentran a 3 000 km uno del otro, uno de
ellos ha recorrido 850 km. ¿Qué distancia ha
recorrido el avión hacia el norte?
h = ____ km
a = ____ km
n = ?
p = m
g = m
d = ?

Estrategias para resolver problemas
118
Problema resuelto
El monumento a la Mitad del Mundo tiene una
altura de 30 metros. Si la distancia desde la punta
del monumento a una persona es 50 metros, y la
distancia entre esa persona y otra ubicada más
atrás es 5 metros, ¿cuál es la distancia desde la
punta del monumento a la segunda persona?
Problema propuesto
En el parque Metropolitano de Quito la altura
promedio de los árboles es 7 metros. Si la distancia
de la punta de un árbol
a una estaca 1 es 20
metros, y la distancia de
la estaca 1 a la estaca 2
es 6 metros, ¿cuál es la
distancia desde la punta
del árbol a la estaca 2?
1. Comprender el problema
¿Cuál es la pregunta del problema?
¿Cuálesladistanciadesdelapuntadelmonumento
a la segunda persona?
2. Plantear la estrategia
¿Cuál es la estrategia de solución?
Aplicar el teorema de Pitágoras.
3. Aplicar la estrategia
¿Cómo se aplica la estrategia?
Paso 1
Graficar el problema.
Paso 2
Encontramos la distancia del monumento con la
primera persona.
= −x 50 302 2
; x = 40 m. La distancia es de 40 m.
Paso 3
Encontrar la distancia de la segunda persona a la
base del monumento.
40 + 5 = 45 m.
Paso 4
Hallar la distancia de la segunda persona hasta lo
alto del monumento.
= +d 45 302 2 ; d = 54 m.
4. Responder
¿Llegaste a la solución del problema?
La distancia desde lo alto del monumento a la
segunda persona es 54 m.
_________________________________________
_________________________________________
Paso1
Paso2
_________________________________________
4. Responder
_________________________________________
50 m
5 mx
30 m
d = ?
20 m
p = ? h=7m
x
t
E2 E16 m
Shutterstock,(2020).568744459/637283017
Aplicar el teorema de Pitágoras

119
1. En un terreno rectangular se ha construido un ca-
mino que lo cruza en diagonal. Si las dimensiones
del terreno son 3 hm y 1,5 hm, ¿qué longitud tie-
ne el camino?
a) Comprender el problema
_____________________________________
_____________________________________
b) Plantear la estrategia
_____________________________________
c) Aplicar la estrategia
d) Responder ____________________________
3. Un tapete tiene forma de triángulo isósceles. El
lado desigual mide 30 cm y la altura correspon-
diente, 24 cm. Se quiere poner en el contorno una
cinta que se vende a razón de 0,05 USD el centíme-
tro. ¿Cuánto costará el contorno del tapete?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
_____________________________________
2. Obtén la fórmula que exprese el valor de la altura
h de un triángulo equilátero, en función del valor
de su lado a.
Calcula la altura de un triángulo equilátero de
6 cm de lado.
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
4. ¿Cuál es la altura de una torre que proyecta una
sombra de 16 m, si la distancia desde el punto
más alto de la torre al extremo de la sombra es de
20 m?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________

Proyecto
120
Justificación / problemática
En América Latina, contrario a lo que se cree, se
da muy poco apoyo a la investigación científica y
tecnológica. Mientras países como Estados Unidos
de América y Canadá aportan con un 40 % de su
presupuesto a la investigación, el aporte de los países
de América Latina llega solo al 1,6 %. Según datos
del Dr. Luis Romo, secretario nacional de Ciencia y
Tecnología, el aporte del Gobierno del Ecuador para
las investigaciones hasta el año pasado fue del 0,03 %
del Producto Interno Bruto (PIB), lo que, según el Dr.
Romo, coloca al Ecuador en una enorme desventaja
competitivafrentealrestodepaísesdeLatinoamérica.
Al no destinarse recursos a la investigación, los
productos se vuelven más caros y de menor calidad,
y esto trae consigo productos menos competitivos
y con ello, un aumento del desempleo y cierre de
empresas y fábricas.
El resultado de esta falta de interés en las inversiones
tecnológicas tiene como consecuencia que el Ecuador
y la mayoría de los países de América Latina sean
dependientes, y aunque la capacidad productiva del
Objetivo
Fomentar el hábito de la investigación en los adolescentes para afianzar técnicas que les permitan en un futuro
ser científicos que desarrollen proyectos creativos, que contribuyan al crecimiento del país.
Recursos
• Tema por investigar
• Carteles
• Marcadores
Actividades
• Formen grupo de cuatro personas.
• Elijan un tema relacionado con física o química y busquen la rela-
ción entre dos variables que pueda ser modelada con una función.
• Elaboren material como carteles u organizadores para exponer lo
que investigaron.
• Expongan su investigación a la clase.
Evaluación
1. ¿Qué es lo más importante que aprendiste con el desarrollo de este proyecto?
2. ¿De acuerdo con los cálculos anteriores, ¿qué clase de función obtuvieron?
3. ¿Qué conclusión puedes obtener de este proyecto?
país sea grande, las exportaciones son totalmente
limitadas, lo que no permite un desarrollo equilibrado
de la competitividad.
Texto adaptado de: https://lahora.com.ec/noticia/1000241037/
investigacic3b3n−cientc3adfica−tampoco−es−una−prioridad
Shutterstock,(2020).88062910Shutterstock,(2020).106223549
Pequeños científicos

Desarrollo del pensamiento
121
1. Observa las siguientes secuencias y selecciona la respuesta que continúa cada secuencia.
Calcular porcentajes terminados en 0
Para encontrar cualquier porcentaje, se halla el 10 %
de la cantidad recorriendo una coma a la izquierda.
Después se multiplca por el porcentaje que se
deseaba sacar.
a) 40 % de 340 = 34 × 4 = 136
b) 60 % de 2 342 = 234,2 × 6 = 1 404,2
c) 30 % de 782 = 78,2 × 3 = 234,6
d) 70 % de 1 500 = 150 × 7 = 1 050
e) 10 % de 123 = 12,3 × 1 = 12,3
Ahora hazlo tú
a) 20 % de 50 =
_______________________________________
b) 30 % de 4 225 =
_______________________________________
c) 40 % de 67 =
_______________________________________
d) 60 % de 236 =
_______________________________________
e) 70 % de 525 =
_______________________________________
Cálculo mental
Razonamiento numérico
a) 2A, 5C, 9D, 14F, 20G, _________
A) 27H B) 25I C) 27I D) 25H
b) 3, 9, 4, 16, 5, 25, 6, ________
A) 30 B) 36 C) 40 D) 32
2. ¿Qué figura continúa la secuencia?
a)
b)
c)
d)
A B C D E
?
A B C D E
?
A B C D E
?
A B C D E
?

Recuerda y practica
122
1. Dados los conjuntos: A = {−1, 0, 1, 3} y B = { −3, −1,
1, 5, 6}, realiza lo siguiente:
a) Obtén el producto cartesiano A × B.
b) Representa mediante diagrama sagital la
relación A en B: 2x – 1.
_____________________________________
c) ¿Es una relación simétrica? ¿Por qué?
_____________________________________
d) Escribe un ejemplo de una relación transitiva
y reflexiva.
_____________________________________
2. Completa la tabla de valores de cada función,
grafica y escribe su dominio y recorrido.
a) h(x) = 4x – 5
Dom h(x):
Rec h(x):
b) f(x) = −3x 3 + 2x 2 – 1
Dom f(x):
Rec f(x):
3. Escribe (V) si la afirmación es verdadera o (F) si la
afirmación es falsa. Justifica tu respuesta.
a) Una función lineal tiene 2 como exponente
de la variable. ( )
_____________________________________
b) Si la pendiente de una función es negativa,
entonces la función es decreciente. ( )
_____________________________________
c) Una relación también es función. ( )
_____________________________________
d) La función potencia es de la forma ax
, si x es
diferente de 0. ( )
_____________________________________
e) La pendiente es nula cuando da como
resultado 0. ( )
_____________________________________
4. Determina los intervalos de crecimiento de cada
función.
a)
b)
5. Encuentra la pendiente de cada función.
a) y = 3x – 5
b) 2x − 5y = 3
c) y = −5x + 2
x –2 –1 0 1 2 3
h(x)
x –2 –1 0 1 2
f(x)
0 1
1
2
3
4
–4 2–3
–3
3–2
–2
4–1
–1
0 1
1
2
3
4
–4 2–3
–3
3–2
–2
4–1
–1
0 1
1
2
3
4
–4 2–3
–3
3–2
–2
4–1
–1
0 1
1
2
3
4
–4 2–3
–3
3–2
–2
4–1
–1

123
6. Determina el producto cartesiano B × A de los
siguientes conjuntos:
A = {1, 2, 3} y B = {a, b}
7. Determina la siguiente relación y representa en
diagrama sagital: si M = {2, 4, 6, 8} y N = {6, 9, 18} y
R1
= {(x, y) ∊ M × N / y = 3x}
8. Determina cuál de estas gráficas son función y
razona tu respuesta:
9. Determina el dominio y rango de la siguiente
función:
________________________________________
10. Escribe los intervalos constantes y los de
crecimiento de la siguiente gráfica:
11. Halla la pendiente de la recta que pasa por los
puntos A (-3,2) y B (5,9):
12. ¿Cuál es la altura de una pared, si la distancia de
la base de la escalera a la pared es 1,25 m y la
escalera mide 6 m?
13. Encuentra el valor de x, si la d = 3 cm y D = 5,4 cm:
d
D
x
25
d(m)
t(min)
20
15
10
b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2
2
–2
–4
–6
–8
–10
4
6
8
10
–2–4–6–8–10 4 6 8 10 12
1•
2•
3•
2•
4•
6•
1
4
9
16
5
10
12
4
2
6
8
1•
2•
3•
4•
1
1
1
1
1
1
–1
–1
–1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
2
2
2
3
3
3
–1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
2
2
2
3
3
3 4
Tomado de: https://es.slideshare.net/johanajsanabria/
actividad-1-identificacin-de-funciones.

Aplico en la vida cotidiana
124
Tema: Midiendo distancias
y alturas
Teorema de Pitágoras
Situación cotidiana
Para medir alturas de edificios, árboles, canastas de
básquet, arcos, etc., y para calcular también distan-
cias, es muy práctico utilizar el teorema de Pitágoras.
Juan va a realizar un viaje del pueblo Q al pueblo T. En
el mapa de la figura, se ven diferentes trayectos que
puede seguir. El camino TR está cerrado. Por lo tanto, le quedan dos opciones: 1° ir QPT y la 2° ir QRST. Antes de
iniciar el viaje, calcula sus dos opciones y escoge la de menor distancia. Indica el trayecto escogido y cuánto
mide la distancia.
Reflexiona
• ¿Qué conocimiento debes tener para resolver este problema?
________________________________________________________________________________________
El trayecto más corto es QPT con 7 km.
• Comprueba la respuesta. • En el caso de estar errada la respuesta, ¿cuál es la solución?
• Si en el mapa se presentan las siguientes distan-
cias, ¿sigue siendo más corto el trayecto QPT?
Resuelve la situación
• En la figura puedes observar una torre y un poste
cuyas sombras, en un momento dado, se super-
ponen. A partir de los datos de la figura, determi-
na la altura de la torre.
P
Q R S
T
2 km 4 km
5 km
4,5km
P
Q S
R
T
4 km
6 km
2 km
2,82 km
5 m
1,8 km2,2 km
Poste
Torre

125
Tema: Ingresos
Funciones y gráficos
Utilizamos las funciones y los gráficos para dife-
rentes análisis de información como, por ejemplo,
para ingresos, temperaturas, calificaciones, etc.
En una empresa presentan este gráfico de ingresos y
egresos:
• ¿Cuándo es el punto máximo de ingresos?
• ¿Cuándo es el punto máximo de egresos?
• ¿En qué punto las ventas y los egresos se igualan?
Punto máximo de ingresos es en abril.
Punto máximo de egresos es en enero.
Se igualan las ventas y egresos en septiembre.
Reflexiona
• ¿En qué otro tema de la vida cotidiana se utilizan cuadros estadísticos como el de la figura?
________________________________________________________________________________________
• ¿Cuál es la diferencia aproximada entre las ventas y los egresos de julio y en diciembre?
• Un estudio muestra la gráfica en que se represen-
ta la temperatura de una ciudad A, durante las 24
horas de un mismo día.
a) ¿En qué intervalos de tiempo aumentó la
temperatura?
b) ¿En qué intervalos de tiempo disminuyó la
temperatura?
c) ¿En qué momento la temperatura fue de 2 °C?
d) ¿En qué momento se alcanzó la temperatura
máxima? ¿Cuál fue su valor?
https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/
123456789/2014/1/3927.pdf
5
1
–1
–2
–3
–4
–5
2
3
4
5
10 15 20 25
x
Tiempo (h)
Temperatura (°C)y
Serie del total de ventas y egresos por mes
$ 30 000,00
$ 25 000,00
$ 20 000,00
$ 15 000,00
$ 10 000,00
$ 5 000,00
$ 0,00
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic
Ventas (Y) Ventas (Y)

Olimpiadas matemáticas
126
1. La siguiente figura es un trapecio con los lados
AD y BC paralelos. ¿Cuál es la medida en grados
del ángulo ADC?
Argumenta la solución:
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. Un test consta de 30 preguntas (las posibles respuestas son verdadera o falsa). Rosa tiene 50 % más de res-
puestas correctas que incorrectas. ¿Cuántas respuestas correctas tiene, si contestó a todas las preguntas?
3. La tabla 3 × 3, de la figura, está formada por 9
cuadrados de lado 1 y en dos de ellos (los que se
ven en la figura) se han dibujado sendas circunfe-
rencias. ¿Cuál es la mínima distancia entre las dos
circunferencias?
Recuperado de: https://www.canguromat.org.es
AD
3x
5x
C B

Evaluaciones estandarizadas
127
1. Lee y analiza.
Calcula el producto cartesiano B × A:
sea A = {1, 5, 9} y B = {6, 7}
Argumenta la respuesta:
Escoge la respuesta correcta.
a) = {(1,6), (1,7), (5,6), (5,7), (9,6), (9,7)}
b) = {(6,1), (7,1), (6,5), (7,5), (6,9), (7,9)}
c) = {(6,1), (7,1), (6,5), (7,5), (9,7), (9,6)}
d) = {(1,6), (1,7), (5,6), (5,7), (6,9), (7,9)}
2. Lee y analiza.
La función f(t) = 1,8 t + 32, donde t es la tempera-
tura en grados Celsius (°C) que permite determi-
nar la temperatura en grados Fahrenheit (°F). Si un
día la temperatura máxima en una ciudad fue de
18 °C, ¿cuál fue la temperatura medida en °F?
a) 0,4 °F c) 64,4 °F
b) 32,4 °F d) 96,4 °F
3. Lee y analiza.
La expresión d(t) = 80 t relaciona la distancia reco-
rrida en kilómetros por un vehículo, en función del
tiempo transcurrido en horas. A partir de lo ante-
rior, ¿en cuántas horas un vehículo recorre 320 km?
a) 3 horas c) 4 horas
b) 2 horas d) 5 horas
4. Lee y analiza.
Observa los datos de la tabla que muestran la
distancia recorrida y el tiempo que se demora un
automóvil. ¿Qué función representa esta relación?

a) x = 1,5y c) x = 2,5y
b) y = 1,5x d) y = 3,5x
5. Lee y analiza.
¿A qué función corresponde 6x – 3y – 18 = 0 al
despejar y?
a) y = 2x – 6 c) y = 2x + 6
b) y = 2x – 1 d) y = 3x – 6
6. Lee y analiza.
La ecuación 6x – 3y – 18 = 0 interseca con el eje x
en:
a) (–2,0) c) (2,0)
b) (–3,0) d) (3,0)
Distancia (km) 30 42 54 72
Tiempo (min) 20 28 36 48

128
7. Lee y analiza.
La recta que tiene por pendiente
3
2
y pasa por el
punto A (–3,2) es:
a) 3x + 2y – 5 = 0 c) x – 2y + 7 = 0
b) 3x – 2y + 13 = 0 d) 3x + 2y – 2 = 0
8. Lee y analiza.
La recta de la ecuación 9x – 3y + 2 = 0 tiene una
pendiente igual a:
a)
1
3
c) 3
b) –
1
3
d) –3
9. Lee y analiza.
La recta que pasa por los puntos A (1, 2) y B (7, 4)
tiene la pendiente igual a:
a) –3 c)
1
3
b) 3 d) –
1
3
10. Lee y analiza.
Si la pendiente de una recta es
3
4
y el corte en y
es
2
3
, la ecuación general es:
a) 3x – 4y + 8 = 0 c) 9x – 12y + 8 = 0
b) 4x – 3y + 8 = 0 d) 12x – 9y + 8 = 0
11. Lee y analiza.
Silarelaciónentreelpuntajeobtenidoporunalum-
no y la nota que le corresponde es lineal, y además
se sabe que con 0 de puntaje se obtiene una nota
de 1 y con 45 puntos la nota es 7, encuentra la
ecuación si la nota es“y”y el puntaje es“x”.
a) 2x – 15y + 15 = 0 c) 15x – 2y + 2 = 0
b) 2x – 15y – 15 = 0 d) 7x – y + 45 = 0
12. Lee y analiza.
Determina la fórmula lógica de la proposición
compuesta si las simples son:
r: Sergio es hijo de Andrea
s: Laura es hermana de María
No es cierto que Sergio es hijo de Andrea y Laura
es hermana de María.
a) ⌐ r ˄ s c) ⌐ r ˄ ⌐ s
b) ⌐ (r ˄ s) d) ⌐ (r ˄ ⌐ s)

129
Nombre del estudiante: __________________
________________________________________
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Instrucciones
Correcto Incorrecto
1. Pinta totalmente los círculos.
2. No hagas marcas fuera del círculo.
3. En caso de concluir antes de tiempo, revisa
los ejercicios en los que hayas tenido dudas.
1) A B C D
2) A B C D
3) A B C D
4) A B C D
5) A B C D
6) A B C D
7) A B C D
8) A B C D
9) A B C D
10) A B C D
11) A B C D
12) A B C D
13) A B C D
13. Lee y analiza.
Un parque con forma rectangular de dimensiones
35 × 98 metros es iluminado por cuatro lámparas. La
lámpara A ilumina el área 1; la lámpara B, el área 2; la
lámpara C, el área 3; y la lámpara D, el área 4. ¿Cuál es
el área del parque que no es iluminada por ninguna
lámpara, si las zonas no iluminadas son AEC y BDF?
• Calcula área de la región 1:
• Calcula el área total del parque y resta las áreas
de las 4 regiones:
a) 640,7 m2
c) 64,07 m2
b) 631,4 m2
d) 63,14 m2
Lámpara A Lámpara B
Lámpara BE F
64
5570
50
1
2
3
4

Evaluación sumativa
Compruebo mis aprendizajes
130
I.M.4.3.1. Representa como pares ordenados el producto cartesiano de
dos conjuntos, e identifica las relaciones reflexivas, simétricas, transitivas
y de equivalencia de un subconjunto de dicho producto. (I.4.)
I.M.4.3.2. Resuelve problemas mediante la elaboración de modelos
matemáticos sencillos, como funciones; emplea gráficas de barras,
bastones y diagramas circulares para representar funciones y analizar e
interpretar la solución en el contexto del problema. (I.2.)
I.M.4.3.3. Determina el comportamiento (función creciente o decre-
ciente) de las funciones lineales en Z, basándose en su formulación
algebraica, tabla de valores o en gráficas; valora el empleo de la tecno-
logía; y calcula funciones compuestas gráficamente. (I.4.)
3. Grafica las funciones y escribe su dominio,
recorrido y monotonía.
a) f(x) = 2x – 6
Dom f(x):
Rec f(x):
Monotonía:
b) g(x) = − 2x² – 4x – 3
Dom f(x):
Rec f(x):
Monotonía:
4. Encuentra la pendiente de las siguientes
funciones lineales.
a) y = −x – 1
b) y – x = − 3
c) y = 7
d)

=x y4 –
5
3
e) 4x – 12 y = 0
1. Resuelve. Dados los conjuntos:
A = { −2, −4, 5, 6, 0},
B = {4, 16, 25, 36, 0}
a) Realiza el producto cartesiano AxB.
b) Determina la relación A en B: x 2.
c) Representalarelaciónmedianteundiagrama
sagital y plano cartesiano.
d) ¿Qué propiedad cumple la relación?
2. Observa la gráfica y responde a las preguntas.
Un avión vuela a una velocidad de 500 km/h. Si
construimos una tabla de valores y graficamos,
obtenemos:
a) ¿Cuáles son las variables?
b) Determinaeldominioyrecorridodelafunción.
c) Escribe la monotonía de la función.
d) ¿Cuál es la pendiente de la recta?
Tiempo 1 2 3 4
Espacio 500 1 000 1 500 2 000
x –1 0 2
f(x)
x –2 –1 0 1
f(x)
0 1
1
2
3
4
–4 2–3
–3
3–2
–2
4–1
–1
0 1
1
2
3
4
–4 2–3
–3
3–2
–2
4–1
–1
0 1
500
1000
1500
2000
2 3 x
y

I.ECA.X.X.X. Xxxx I.ECA.X.X.X. XxxxI.M.4.6.1. Demuestra el teorema de Pitágoras valiéndose de diferentes
estrategias, y lo aplica en la resolución de ejercicios o situaciones reales
relacionadas a triángulos rectángulos; demuestra creatividad en los
procesos empleados y valora el trabajo individual o grupal. (I.1., S.4.)
131
Coevaluación
6. Una persona se encuentra en lo alto de un faro que
tiene 15 metros de altura. Desde ahí observa un
barcoqueestáa40metrosdelabasedelfaro.¿Cuál
es la distancia de la persona al barco que divisa?
7. Observen la gráfica y determinen lo siguiente:
a) Escriban el dominio y recorrido de la función.

b) Escriban los intervalos en los cuales la fun-
ción es creciente.
c) Escriban los intervalos en los cuales la fun-
ción es decreciente.
• ¿Qué es lo más relevante que aprendiste en esta unidad?
• ¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en esta unidad en situación de la vida cotidiana?
Metacognición
Autoevaluación
Contenidos
Realizo productos cartesianos e identifico las relaciones reflexivas, simétricas,
transitivas y de equivalencia de un subconjunto de dicho producto.
Resuelvo problemas mediante la elaboración de modelos
matemáticos sencillos, como funciones.
Determino el dominio, recorrido de las funciones en la resolución de
problemas.
Identifico funciones lineales y encuentro la pendiente de una recta.
Aplico el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios
o situaciones reales relacionadas con triángulos rectángulos.
8. Pinta según la clave.
Puedo ayudar a otros Resuelvo por mí mismo Necesito ayuda Estoy en proceso
1
1
-1
-1
-2
-3
-2 2
2
3
3
4 5 6 7 8 9 10
X
Y
A
A
C
C
B
B
5. Aplica el teorema de Pitágoras y encuentra el
lado que falta.
a) c = ?; a = 32 cm; b = 15 cm
A) 35,34 B) 28,26 C) 13,89
b) c = 234 cm; a = ?; b = 35 cm
A) 231,37 B) 236,60 C) 141, 19

unidad
4
132
Sistemas de ecuaciones lineales
y congruencia de triángulos
La biodiversidad
Ecuador es uno de los países con mayor biodiversidad en el mundo. Solo en nuestras islas Galápagos existe
alrededor del 17 % de diversidad aviar mundial. Por esta razón, nuestro país fue nombrado como uno de los
15 países “megadiversos” a nivel mundial. Gracias a un inventario de especies realizado por investigadores,
se determinó que la Antártida es el lugar más diverso en cuanto a especies de todo tipo, y su reserva marina
supera a las islas Galápagos.
La matemática se puede aplicar en el crecimiento y decrecimiento de especies mediante la modelación de un
sistema de ecuaciones.

133
Objetivos:
O.M.4.3. Representar y resolver de manera gráfica (utilizando las TIC) y
analítica ecuaciones e inecuaciones con una variable; ecuaciones de
segundo grado con una variable; y sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas, para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.
Álgebra
y funciones
Geometría
y medida
• Ecuación lineal con dos
incógnitas
• Sistemas de ecuaciones lineales:
método gráfico, método de
igualación, eliminación gaussiana
y Cramer
• Congruencia de triángulos
• ¿Cómo se puede obtener la biodiversidad de cada región?
• ¿De qué otra manera se aplica la matemática a la biodiversidad?
• ¿Qué problema modelarías con un sistema de ecuaciones lineales?

134
Ecuación lineal con dos incógnitasTema 1
Para la nota de su parcial, Fabián rindió dos exámenes de matemática. Si su
profesora le dice que la suma de sus calificaciones es 14, ¿qué calificación obtuvo
Fabián en cada examen?
Los datos que desconocemos son las variables, siendo x el primer examen y y el
segundo examen.
La ecuación planteada es: x + y = 14
Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + by = c,
donde a, b y c son números reales y el grado de la incógnita x y y es 1.
Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + by = c,
donde a, b y c son números reales y el grado de la incógnita x y y es 1.
A continuación resolveremos la ecuación planteada anteriormente.
Primero: despejamos la variable y.
y = 14 – x
Segundo: asignamos valores arbitrarios a x, efectuando las operaciones y obte-
niendo los valores de y. Organizamos los datos en una tabla de valores.
Como puede observarse, estas son algunas soluciones para el problema planteado.
x y = 14 – x y
Si x = 4 y = 14 – 4 y = 10
Si x = 5 y = 14 – 5 y = 9
Si x = 7 y = 14 – 7 y = 7
a) Si en el primer examen obtuvo 4, en el segundo sacó 10.
b) Si en el primer examen obtuvo 5, en el segundo sacó 9.
c) Si en el primer examen obtuvo 7, en el segundo sacó 7.
Podemos concluir que para todo valor de x, existe uno para y. Por lo tanto, no hay
solución única para el problema.
Si consideramos que cada pareja de valores corresponde a las coordenadas de
algunos puntos, graficando tenemos:
x y Puntos
4 10 A (4, 10)
5 9 B (5, 9)
7 7 C (7, 7)
Como puede observarse, la solución es una línea recta, donde cada par ordenado
(x, y) de la recta satisface la ecuación.
Con el objetivo de
construir una tabla
de valores, se asignan
valores arbitrarios
a la variable x para
reemplazar en la
ecuación y obtener el
valor de y, cuando x
vale dicho número.
Recuerda que...
Recuerda. ¿Cómo puedes graficar la ecuación de una recta?
Saberes previos
Las ecuaciones lineales
con dos incógnitas
también son conocidas
como ecuaciones
indeterminadas, ya que
tienen una infinidad
de soluciones que son
pares de números que
verifican la ecuación.
¿Sabías qué?
20
0
4 6 8 10 12 14 16-2
2
4
6
8
10
12
14
A
B
C
Realiza permanentemente
cálculos matemáticos de tus
notas y promedios.

135
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Ejemplo 1
Julián va a comprar una maleta que cuesta $ 150. Para pagar solo tiene billetes de
$ 10 y $ 5. ¿Cuántos billetes de cada tipo necesita para comprar la maleta?
Solución:
Identificamos las variables, siendo:
x: billetes de $ 10, y: billetes de $ 5.
La ecuación formada es: 10x + 5y = 150. Obteniendo una ecuación equivalente
tenemos: 2x + y = 30
Para encontrar los puntos de la recta solución, despejamos y.
y = 30 – 2x
Asignamos diferentes valores a x.
x y = 30 – 2x y
3 y = 30 – 2(3) 24
5 y = 30 – 2(5) 20
7 y = 30 – 2(7) 16
10 y = 30 – 2(10) 10
De las soluciones obtenidas se consideran solo las que satisfacen lo requerido en
la ecuación del problema.
Tabulando los datos que sí satisfacen la ecuación, tenemos la siguiente tabla de
valores:
Empacando maleta.
Su representación gráfica es:
x y Puntos
3 24 A (3, 24)
5 20 B (5, 20)
7 16 C (7, 16)
10 10 D (10, 10)
5 10 15-5 0
0
5
10
15
20
25 A
B
C
D
Existen calculadoras
como la fx 9860 GSD
que te permiten
resolver ecuaciones
lineales con dos
incógnitas, calculando
su tabla de valores y
mostrando la gráfica de
la ecuación.
Uso de la
calculadora
Mediante la gráfica trazada se pueden dar diversas respuestas al problema. Por
ejemplo para pagar $ 150.
• Se necesitan 3 billetes de $ 10 y 24 de $ 5.
• Se necesitan 5 billetes de $ 10 y 20 billetes de $ 5.
• Se necesitan 7 billetes de $ 10 y $ 16 billetes de $ 5.
• Se necesitan 10 billetes de $ 10 y $ 10 billetes de $ 5.

Taller
136
1. Despeja la variable y en cada ecuación.
a) 4(x – y) = 2 x + 3

b) 3x – 2y + 5 = 4x – 7y – 3

c) 3x + 5y = –4

d) 5(x – 3y) + 7 = 3x – 8y + 1

e) 4x – 5y + 2x – 4 = 3x – y

a) Una ecuación con dos incógnitas tiene una
única solución. ( )
b) Los pares ordenados que pertenecen a la rec-
ta que representa la ecuación son soluciones.
( )
c) Las ecuaciones lineales con dos incógnitas
también se conocen como indeterminadas.
( )
3. Encierra el par ordenado que satisface cada
ecuación.
a) 3x + 5y = 4
A) (1, 1) B) (–2, 2) C) (2, –2) D) (–1, 1)
b) – x – y = 1
A) (0, 0) B) (–2, 1) C) (1, –2) D) (–1, 1)
c) x + 2y = 5
A) (3, 1) B) (0, 2) C) (1, –2) D) (1, –3)
d) – x – 4y = –18
A) (1, 3) B) (2, 4) C) (–2, –5) D) (1, 4)
e) x + 5y = 14
A) (1, 3) B) (4, 0) C) (–1, 3) D) (4, –2)
4. Resuelve las siguientes ecuaciones y grafica la
recta que representa cada ecuación.
a) x + y =
3
2

x –1 0
2
—
3
2 4
y

b) 3x + 4 = 5y –2

x –1 0 1 3 4
y

137
M4.1.53. Reconocer la recta como la solución gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas en ℝ.
c) 4x – 5y = 25

x –1 0 1 2 4
y

d)
1
2
x – 6y = –12

x –2 –1 0 1
y

e) – y – x = – 4

x – 4 0 2 4 6
y

f) x + 2y = 8

x –1 0 2 3 4
y

g) 0,2x + y = 5

x –1 0 1 3 4
y

5. Resuelvan las siguientes ecuaciones lineales
con dos variables.
a) x – 3y = 6
b) 3x + 4y = x – y + 4
c) 3x – 7y = 9
d) y = 8x – 1
6. Resuelvan los siguientes problemas:
a) Alegría va a la tienda a comprar arroz y
azúcar, pero solo tiene $ 20. Si cada libra
de arroz cuesta $ 0,60 y de azúcar cuesta
$ 0,80, ¿cuántas libras de cada una le
alcanza para comprar?
___________________________________
___________________________________
b) La edad de Pablo y Agustín sumadas dan
28 años. ¿Qué edad tendrá cada uno?
___________________________________
___________________________________
7. Indaga y escribe.
Una situación de la vida cotidiana que pueda
modelarse con una ecuación lineal con dos
incógnitas.
______________________________________
e) y = 1/2x – 3
f) x – y = –2
g) 4x – 3y = 18
h) 5x + 10y = 50

138
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
• Analizamos el sistema de ecuaciones planteado para el problema inicial. Este
sistema consta de dos ecuaciones con dos incógnitas.
x + y = 10
2x + 4y = 32
• Verificamos si el par ordenado (2, 6) es solución del sistema. Para ello, sustituimos
estos valores en cada ecuación del sistema:
2 + 6 ≠ 10 y 2 . 2 + 4 . 6 ≠ 28; (2, 6) no es solución del sistema.
• Buscamos otro par ordenado (4, 6) y verificamos.
4 + 6 = 10 y 2 . 4 + 4 . 6 = 32; (4, 6) sí es solución del sistema porque satisface
a todas las ecuaciones.
Ejemplo
• La suma de dos números es 5, el doble del primero más el segundo es igual a 9.
¿Cuáles son los números?
Planteamos el sistema de ecuaciones. x + y = 5
2x + y = 9
Probamos con varias parejas de números:
(3, 2) → 3 + 2 = 5 y 2 . 3 + 2 ≠ 9; no satisface el sistema.
(4, 1) → 4 + 1 = 5 y 2 . 4 + 1 = 9; sí satisface el sistema.
Sistemas de ecuaciones linealesTema 2
En el estacionamiento de un colegio, en total, hay 10 vehículos entre bicicletas
y automóviles. El total de ruedas que se contabilizaron es de 32. ¿Cómo escribes
esta información con ecuaciones?
Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático:
x: representa el número de bicicletas y: representa el número de automóviles
Hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en encon-
trar una solución común a todas las ecuaciones del sistema.
Hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en encon-
trar una solución común a todas las ecuaciones del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal es un conjunto de ecua-
ciones de primer grado que deben verificarse simultáneamente.
Un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal es un conjunto de ecua-
ciones de primer grado que deben verificarse simultáneamente.
Total de vehículos 10
Total de ruedas 32
Describe. ¿Cómo puedes graficar la ecuación de una recta?
Desequilibrio cognitivo
Estacionamiento de bicicletas.
Sistema de
ecuaciones lineales
x + y = 10
2x + 4y = 32
Matemática
con química
Una de las aplicaciones
de los sistemas de
ecuaciones lineales
es en el balanceo de
reacciones químicas,
que consiste en
determinar el número
entero de moléculas
que intervienen en
una reacción química,
cuidando siempre que
el número de átomos
de cada sustancia se
preserve.
Conexiones

139
Método gráfico
En una panadería, Esteban pagó $ 7 por la compra de 5 panes y un queso; mien-
tras que Elena pagó $ 8 por la compra de 2 panes y 3 quesos de la misma calidad.
¿Cuánto cuesta cada pan y cada queso?
Formamos el sistema de ecuaciones, consideramos como x el precio del pan,
mientras que y es el precio del queso.
5x + y = 7
2x + 3y = 8
• Graficamos las dos ecuaciones del sistema en el plano cartesiano. Para ello
obtenemos dos puntos de cada recta.
5x + y = 7
Si x = 0; 5(0) + y = 7; y = 7
Si y = 0; 5x + 0 = 7; x = 7/5
Los dos puntos por donde pasa la primera recta son: (0, 7) y (7/5, 0)
2x + 3y = 8
Si x = 0; 2(0) + 3y = 8; y = 8/3
Si y = 0; 2x + 3(0) = 8; x = 4
Los puntos por donde pasa la segunda recta son: (0, 8/3) y (4, 0)
Solución:
Los puntos donde se cortan las gráficas son la solución del sistema.
La solución en este caso es: x = 1, y = 2
Por lo tanto, cada pan cuesta $ 1 y cada queso $ 2.
Los sistemas se clasifican en: compatibles determinados, compatibles indetermi-
nados e incompatibles.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico está
determinada por el punto de intersección de las dos rectas.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico está
determinada por el punto de intersección de las dos rectas.
Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado Sistema incompatible
Las dos rectas son secantes y tienen
un solo punto en común.
El sistema tiene única solución.
Las dos rectas son coincidentes,
tienen todos los puntos comunes.
Todas las soluciones de una de las
ecuaciones son también de la otra.
El sistema tiene infinitas soluciones.
Las dos rectas no son intersecantes,
no tienen ningún punto en común.
El sistema no tiene solución.
f(x)
0 x
f(x)
0
f(x)
0 1
1
–1
–2
2
3
4
5
–1–2–3–4 2 3 4
x
5x+y = 7
2x+3y = 8
A(1, 2)
f(x)
0 x
A
Un buen consumidor utiliza
las matemáticas en cualquier
transacción.
Un sistema de dos
ecuaciones de primer
grado con dos
incógnitas también se
puede llamar sistema
de ecuaciones lineales
2 × 2.
¿Sabías qué?
x

Taller
140
a)
1. Comprueba si los siguientes puntos son solución
de los sistemas de ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
2. Escribe verdadero (V) o falso (F).
a) Un sistema de ecuaciones tiene única solu-
ción cuando las rectas se cortan en un solo
punto. ( )
b) Si dos rectas son perpendiculares, entonces
sus pendientes son iguales. ( )
c) Si dos rectas son paralelas, el sistema de ecua-
ciones no tiene solución. ( )
d) Dos rectas son coincidentes cuando los co-
eficientes de una de ellas es múltiplo de los
coeficientes de la otra ecuación. ( )
e) Un sistema lineal cuyas ecuaciones son coin-
cidentes no tiene solución. ( )
3. Encuentra un sistema de ecuaciones lineales
correspondiente al gráfico y halla su solución.
b)
c)
d)
4. Encuentra dos sistemas de ecuaciones lineales
que tengan como solución el punto dado.
(Recuerda: para que un punto pertenezca a la
recta, reemplazas las coordenadas en la ecuación.)
a) (–2, 1) ________________________________
b) (3, –2) ________________________________
c) (0,5; –1) ______________________________
d) (0, 4) _________________________________
Punto Sistema
(1, 2)
2x + 3y = 8
x – y = –1
(–3, 4)
x – 2y = 4
6x – y = 1
(5, 13)
x + y = 18
x – y = –8
(4, 0)
x + y = 4
3x + 5y = 12
y
x
0
3
2
1
–1
–2
1–1–2 2 3 4 5 6 7 8
4
5
(0, 3)
(4, 3)
(1, 2)
(1, 0)
y
x
0
3
2
1
–1
–2
1–1–2 2 3 4 5 6 7 8
4
5
y
x
0
3
2
1
–1
–2
1–1–2 2 3 4 5 6 7 8
4
5
y
x
0
3
2
1
–1
–2
1–1–2 2 3 4 5 6 7 8
4
5

141
M.4.1.54. Reconocer la intersección de dos rectas como la solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
5. Resuelvegráficamentelossistemasdeecuaciones.
a)

5x + 2y = –3
3x + 2y = –1

b)

x = 2
y – 3x = 0

c)

2x + y = –2
2x + y = 4

d)

–3x + 2y = 5
–6x + 4y = 10

e)

x + y = 4
2x + y = –2

f)

3x + y = 6
x – 3y = –1

6. Expresa los siguientes enunciados mediante
un sistema de ecuaciones. Luego, resuélvelas
gráficamente.
a) El triple de un número más el doble de otro es
igual a uno, y el cuádruplo del segundo más
cinco es igual al primero. ¿Cuáles son los nú-
meros?
_____________________________________
b) Angélica le dice a Daniel: “yo tengo el triple
de dinero de lo que tu tienes menos cuatro”.
Daniel le responde: “si juntamos los dos
tenemos $12”. ¿Cuánto dinero tiene cada
uno?
_____________________________________
c) Por la compra de dos equipos electrónicos se
ha pagado $ 1 000. Si en la primera compra
hicieron un descuento del 15 % y en la segun-
da, un descuento del 10 %, se hubiera pagado
$ 870. ¿Cuánto costó cada artículo?
_____________________________________
7. Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales por el método gráfico.
8. Indaga y escribe en tu cuaderno.
¿Cuándo un sistema de ecuaciones tiene infini-
tas soluciones?
b)
x + y = 1
3x + 3y = 5
c)
x – y = 2
2x – 2y = 4
d)
x – 2y + 3 = 0
3x + 9 = 6y
a)
7x + 2y = 5
y = x + 1
3
e)
x + 3y = 4
2x + 5y = 7
f)
–x – 5y = –5
2x – 3y = –3

142
Sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas. Método de igualación
Tema 3
Antonio y Joaquín realizan sus compras navideñas en diferentes almacenes.
Compraron igual número de zapatos y ropa en cada almacén. En el almacén
Frut, Antonio pagó por cada par de zapatos $ 30 y por cada prenda de ropa, $ 15.
En total canceló $ 255. En el almacén Pat, Joaquín compró cada par de zapatos
en $ 45 y cada prenda de ropa en $ 25. En total canceló $ 400. ¿Cuántos pares de
zapatos y prendas compró cada uno?
Identificamos las variables del problema:
x: zapatos y: prendas de ropa
Organizando los datos en una tabla, tenemos:
Personas Zapatos (x) Prendasderopa(y) Costo
Antonio 30x 15y $ 255
Joaquín 45x 25y $ 400
El sistema de ecuaciones formado es:
30x +15y =255
45x +25y = 400
el sistema equivalente es
6x +3y =51
9x +5y =80
El sistema equivalente es:
30x +15y =255
45x +25y = 400
el sistema equivalente es
6x +3y =51
9x +5y =80
Para resolver el sistema de ecuaciones por igualación, se procede así:
Primero, se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
En este caso, hemos despejado la variable x.
Segundo, se igualan las dos ecuaciones y se realiza el producto cruzado.
y y
y y
51 3
6
80 5
9
9(51 3 ) 6(80 5 )
−
=
−
− = −
Tercero, se multiplica y se despeja y.
459 – 27y = 480 – 30y; 3y = 21; y = 7
Cuarto, se reemplaza el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema
y se obtiene la otra variable.
6x + 3(7) = 51; 6x = 30; x = 5
Solución
Antonio y Joaquín compraron 5 pares de zapatos y 7 prendas de vestir.
Reflexiona. ¿Qué es para ti un sistema?
Saberes previos
El método de
igualación sirve para
resolver cualquier tipo
de sistemas.
¿Sabías qué?
Sin importar las
diferencias o similitudes
que podamos tener
unos con otros, es
fundamental facilitar la
inclusión social y evitar
el aislamiento.
DFA
Almacén de ropa.
x
y80 5
9
=
−
x
y51 3
6
=
−

143
Método de eliminación gaussiana
La región Sierra de nuestro país, por su clima y suelos, es apropiada para el cultivo
del palmito, brócoli, tomate, cereales, legumbres y frutas que son muy cotizadas en
los países a los cuales se exporta.
Una empresa agrícola dispone de 100 hectáreas en las que se produce palmito
y brócoli. Cada hectárea de palmito requiere 700 horas de mano de obra, y cada
hectárea de brócoli, 300 horas. Si se dispone de 44 000 horas y se utilizan todos los
recursos humanos y de tierras, ¿cuántas hectáreas de cada grupo deben sembrarse?
Organizando los datos en una tabla, tenemos que:
ha. Palmito ha. Brócoli Total Ecuación
x y 100 x + y = 100
Núm. horas palmito Núm. horas brócoli Total Ecuación
700x 300y 44 000 700x + 300y = 44 000
El sistema de ecuaciones formado es:
x + y =100
700x +300y = 44 000
; El sistema equivalente es
x + y =100
7x +3y = 440
0
0y = 44 000
; El sistema equivalente es
x + y =100
7x +3y = 440
Para resolver el sistema de ecuaciones por eliminación gaussiana, se procede así:
Fila 1
FIla 2
1 1 100
!
7 3 440
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Primero, obtenemos la matriz aumentada ubicando los coeficientes de las
variables y términos independientes.
Tenemos que transformar a su forma escalonada, es decir, hacer ceros hacia abajo.
F 2 F 2 7F1
1 1 100
0 4 260
Segundo,verificamosquelafila1empiececonelnúmero1,comoeselcaso.Entonces
a la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 7 que es el coeficiente de x de la fila 2.
Ahora debemos formar la diagonal de la matriz, convirtiendo 41 en 1.
F 2
1
–
4
F 2
1 1 100
0 1 65
Tercero, multiplicamos la fila 2 por –1/4. Esta última matriz ya tiene la forma
escalonada. Entonces y = 65.
Cuarto, reemplazamos el valor de y en cualquier ecuación del sistema.
x + 65 = 100, x = 35.
Solución
La empresa debe plantar 35 ha de palmito y 65 ha de brócoli.
Brócoli.
El método de
eliminación gaussiana
consiste en transformar
un sistema de
ecuaciones en otro
equivalente, de
forma que este sea
escalonado.
Una matriz es un
conjunto de elementos
ordenados en filas y
columnas.
¿Sabías qué?
A =
a11 a12.....a1n
a21 a22.....a2n
am1 am2.....amn
=(aij )
Una matriz derivada
de un sistema de
ecuaciones lineales es la
matriz aumentada del
sistema. Por ejemplo
Dado el sistema:
x y
x y
2 3 6
4 6 4{ + =
− =−
Su matriz aumentada
es:
2 3
4 6
6
4− −
¿Sabías qué?

Taller
144
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales utilizando el método de igualación.
a)

2x + 5y = 16
x + 3y = 6

b)

x =
6 – 4y
3
10x + y = 3
2

c)

x = 4 + 5y
2
y = 8 – 4x

d)

3x + 9y = 4
2x – y = 2

e)

–4x + 3 = –y
x – 8y = 38

utilizando el método de eliminación gaussiana.
a)

3x + 5y = 23
3x + 5y = 11

b)

6x + y = –4
x – y = –14

c)

2x + 4y = 1
8y = 2 – 4x

d)

–x + 6y = 2
7x + y = –29

e)

x – 3y = 10
–2x – 3y = 2

145
M.4.1.55. Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera algebraica, utilizando los métodos de
igualación y de eliminación gaussiana.
f)

2x – 5y = –22
6x + 1/2y = –4
g)

7x + y = –1
x + 2y = 4
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando
sistemas de ecuaciones lineales.
a) Aníbal compró 87 pelotas de ping-pong en
total. Si el número de pelotas verdes es el doble
de las pelotas rojas, ¿cuántas pelotas de cada
color compró?

b) Martha compró 50 botellas de refrescos entre
yogurt y gaseosas. Por cada botella de yogurt
pagó $ 1,50, y por cada botella de gaseosa
pagó $ 1,25. En total pagó $ 69,25. ¿Cuán-
tas botellas de gaseosa y de yogurt compró
Martha?

c) En dos paralelos de primero de bachillerato
hay en total 80 estudiantes. Si del paralelo
“A” se pasan 16 estudiantes al paralelo “B”,
entonces en los dos cursos queda la misma
cantidad de estudiantes. ¿Cuántos estudian-
tes tiene cada paralelo?

4. Resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales
por el método que prefieran.
a)

4x + 3(y – 1) = 5
3(y – 1) = 2x – 7
b)

2(x – 1) – 6(y + 2) = 4
4x – 3(5y – 1) = 0
c)

= x – 12x – y
5
2x – y
5
3x – = 5
d)

x
2
2
3
+ y =
5
4
3
4
2
3
x + y =
1
2
e)

11x + 2y = 33
x + y = 31
11
f)

5x + 0,5y = 2,8
2,5x + 0,25y = –4
g)

3(x + y) = 5x + 2y – 4
7x – 4(x – y) = 3y
5. Resuelvan los siguientes problemas.
a) En la quinta de Emilio hay chanchos y gallinas.
En total se contabilizaron 1 610 cabezas y
5 152 patas. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay
en la quinta de Emilio?
___________________________________
b) Luisa tiene 37 años más que su hija, pero
en 14 años tendrá el doble de la edad de
su hija. ¿Qué edad tienen ahora ambas?
___________________________________
c) Ricardo tiene ahora 39 años más que Julia,
pero en 13 años tendrá el doble que Julia.
¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
___________________________________
6. Indaga acerca de qué características tiene un
sistema de ecuaciones con infinitas soluciones.
Escribe 2 ejemplos y resuelve esos sistemas.

146
Sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas. Método de Cramer
Tema 4
El conjunto formado por
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =
es un sistema de ecuaciones lineales
compatibles determinados que tiene solución, por lo tanto, es aplicable la regla
de Cramer.
Vamos a encontrar la solución del sistema:
+ = −
− =−
x y
x y
5 2
3 12 39
Para ello procederemos de la siguiente manera:
• Hallamos el determinante del sistema.
Observamos que los números dentro de las barras son los coefi-
cientes correspondientes a x y a y.
D
5 1
3 12
=
−
=–60 D
5 1
3 12
=
−
=3. Entonces: D
5 1
3 12
=
−
=–60–3=–63
Diagonal principal Diagonal secundaria
Determinante. Un determinante de segundo orden es igual al producto de
los términos de la diagonal principal menos el producto de los términos de la
diagonal secundaria.
Determinante. Un determinante de segundo orden es igual al producto de
los términos de la diagonal principal menos el producto de los términos de la
diagonal secundaria.
Reflexiona. ¿Qué sistemas de ecuaciones son incompatibles?
Saberes previos
D
5 1
3 12
=
−
• Hallamos el determinante de x (Δx).
Este determinante equivale a colocar
en la columna de los coeficientes de
x los términos independientes de las
ecuaciones.
x
2 1
39 12
24 ( 39) 63=
−
− −
= − − =
• Hallamos el valor de x, dividiendo el
valor de ∆x para el valor del determi-
nante D.

Es decir, x
x
D
x;
63
63
1= =
−
=−
• Hallamos el determinante de y (Δy).
Este determinante equivale a colocar
en la columna de los coeficientes de
y los términos independientes de las
ecuaciones:
y
5 2
3 39
195 ( 6) 189=
−
−
= − − − = −
• Hallamos el valor de y, dividiendo el
valor de Δy para el valor del determi-
nante D.

Es decir, = =
−
−
=y
y
D
x;
189
63
3
Solución
La solución del sistema es x = –1 y y = 3, ya que satisfacen las ecuaciones del sistema.
Hallamos los
valores de las
variables x y y.
Para aplicar la regla de
Cramer a un sistema
de ecuaciones, este
debe ser compatible
determinado, es decir,
debe cumplir dos
condiciones:
1. El número de
ecuaciones es
igual al número de
incógnitas.
2. El determinante
de la matriz de
los coeficientes es
distinto de cero.
Determinante
Un determinante es
una magnitud escalar,
es decir, un número
asignado a una matriz, y
tiene la siguiente forma:
A
a a
a a
11 12
21 22
=
¿Sabías qué?
_________________________________________________________________
Ingresa el siguiente
enlace web:
bit.ly/2KheYjt
Imprime las páginas
1 a la 5, practica
sistemas de ecuaciones
y refuerza todos los
métodos.
Me refuerzo

147
Un sistema de
ecuaciones
incompatible no se
puede resolver por el
método de Cramer.
Recuerda que...
En una fábrica se confeccionan carteras y billeteras. Cada prenda debe pasar por el
proceso de cortado y cosido. La cantidad de minutos necesarios para cada proce-
so y prenda se detalla en el siguiente cuadro:
Proceso Cartera Billetera
Cortado 45 15
Cocido 30 18
Los obreros que trabajan en la fábrica pueden dedicar hasta 630 minutos al mes
al proceso de cortado y 468 minutos al proceso de cocido. ¿Cuál es la producción
mensual de esa fábrica?
Identifiquemos las variables, siendo x: las carteras y y: las billeteras.
El sistema de ecuaciones es:
x y
x y
45 15 630
30 18 468
+ =
+ =
; el sistema equivalente es:
x y
x y
3 42
5 3 78
+ =
+ =
Para resolver este sistema de ecuaciones, utilizaremos el método de Cramer.
• Hallamos el valor del determinante del sistema.

D =
3 1
5 3
=9 5= 4
Carteras.
Matemática con historia
Gabriel Cramer fue
un matemático
suizo, profesor de
matemáticas de la
Universidad de Ginebra
durante el periodo
1724-27. En uno de sus
tratados publicó la regla
de Cramer que es un
teorema que se aplica
en álgebra lineal. Es
de utilidad cuando se
busca resolver sistemas
de ecuaciones lineales.
Conexiones
Gabriel Cramer.
WikimediaCommons,(2020).www.wikipedia.org
• Hallamos el valor del determinante
de x (∆x).

x =
42 1
78 3
=126 78 = 48
• Hallamos el valor del determinante
de y (∆y).

y =
3 42
5 78
=234 210 =24
• Hallamos los valores de x y y.

x =
x
D
x =
48
4
x =12
y =
y
D
y =
24
4
y = 6
• Verificando la solución, tenemos:

3x + y = 42
3(12) + 6 = 42
42 = 42
Sí se satisface la ecuación.
5x + 3y = 78
5(12) + 3(6) = 78
78 = 78
Sí se satisface la ecuación.
Solución
Se fabrican 12 carteras y 6 billeteras cada mes.

Taller
148
1. Encuentra el valor de los siguientes determinantes:
a) D
3 6
5 8
=
−
b) A
7 0
5 1
=
−
−
c) B
2 1
4 3
=
−
−
d) C
12 8
7 5
=
−
−
e) F
1 26
15 48
=
− −
2. Establece si los siguientes sistemas son compati-
bles determinados.
a)
4x 4y =12
7x y = 45
b)
2x +7y =14
2x +7y =10
c)
3x + y = 4
4y = 8
d)
x +10y =78
8x 3y = 43
e)
3x +6y = 1
4x 5y =0
2x y = 4
3. Escribe (V) si los siguientes enunciados son
verdaderos o (F) si son falsos. Justifica tu respuesta.
a) Un sistema de ecuaciones con tres incógni-
tas y dos ecuaciones se puede resolver por el
método de Cramer. ( )
_____________________________________
b) Un determinante tiene una estructura ordenada.
( )
_____________________________________
c) Un determinante no puede ser negativo
( )
_____________________________________
d) Un sistema con infinitas soluciones puede ser
resuelto con la regla de Cramer. ( )
_____________________________________
4. Subraya la respuesta correcta que satisface cada
sistema de ecuaciones.
a)
7x 4y =13
9x +5y =37
A) x = 3; y = 2 C) x = 0, y = 1
B) x = 2; y = –1 D) x = 2; y = 3
b)

9x +2y = 42
8x 5y =17
A) x = 3, y = – 4 C) x = 4; y = 3
B) x = –4, y = –3 D) x = 4; y = –3
c)

10x +6y =84
2x +5y =32
A) x = 4; y = 6 C) x = 6; y v –4
B) x = 6; y = 4 D) x = 4, y = 1
d)

3x + y =37
3x +4y = 67
A) x = 10, y = 9 C) x = 3; y = 5
B) x = – 9; y = 10 D) x = 9; y = 10

149
M.4.1.55. Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera algebraica, utilizando los métodos de
determinante (Cramer).
lineales utilizando la regla de Cramer:
a)
3x + y =7
7x 7y =7

b)
4x +6y = 64
x +6y =34

c)
2x +2y =12
3x + y =16

d)
x +10y =13
3x +10y =19

e)
2x +4y =30
4x +5y =39

6. Resuelvan los siguientes sistemas de ecuacio-
nes utilizando la regla de Cramer:
a)
8x +2y = 64
3x + y =25
b)
7x 9y =34
2x +3y =32
c)
8x y = 47
x +8y =14
d)
10x 7y =26
8x + y =34
e)
2x 2y = 6
3x +3y = 45
a) ¿Cuáles son los números cuya suma es 60
y su diferencia es 12?
___________________________________
b) Un rectángulo tiene un perímetro de
32 cm, y la longitud de la base es el triple
de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del
rectángulo? ¿Cuál es el área del rectángulo?
___________________________________
c) La edad de Pepe y la de Sandra suma
64 años. Dentro de 8 años, el mayor tendrá
el triple de la edad del menor. ¿Qué edad
tienen en la actualidad?
___________________________________
d) Juan le dice a Andrés: “Tu edad es los dos
tercios de mi edad aumentada en seis
años”. Si la suma de sus edades es 61 años,
¿cuál es la edad de cada uno?
___________________________________
8. Indaga y resuelve. Alejandro tiene el doble
de dinero que Beatriz. Si Alejandro da $ 25 a
Beatriz, tiene entonces el doble que Beatriz.
¿Cuánto dinero tiene cada uno al principio?

150
Problemas con sistemas de ecuacionesTema 5
Nuestropaísexportaaotrospaísesunagranvariedaddefrutas,comomaracuyáymelón.
Una empresa necesita 10 horas para lavar el maracuyá y 30 horas para el empacado.
Para lavar el melón se requieren 5 horas, y para empacarlo, 10 horas. Si la empresa
en horas por mes dispone de 330 para lavado y 900 para empacado, ¿cuántas
toneladas de fruta se pueden exportar mensualmente?
Proceso Maracuyá (x) Melón(y) Tiempo
Lavado 10x 5y 330
Empacado 30x 10y 900
10x +5y =330
30x +10y =900
2x + y = 66
3x + y =90
10x +5y =330
30x +10y =900
2x + y = 66
3x + y =90
Para resolver el sistema de ecuaciones, podemos utilizar cualquier método. En este
caso, utilizaremos el de igualación.
Primero, despejamos la variable y en cada ecuación.
y = 66 – 2x ⏐ y = 90 – 3x
Segundo, igualamos las ecuaciones despejadas.
66 – 2x = 90 – 3x; x = 24
Tercero, reemplazamos el valor de x en cualquier ecuación.
2(24) + y = 66; y = 66 –48; y = 18
Solución
La empresa puede exportar mensualmente 24 toneladas de maracuyá y 18
toneladas de melón.
Ejemplo 1
Un hotel dispone de 116 habitaciones, unas con dos camas y otras con una cama. En
totalhay200camasdisponibles.¿Cuántashabitacionesdoblesysimplestieneelhotel?
Definimos las variables y ordenamos los datos en una tabla.
x + y =116
2x + y =200
Resolviendo por eliminación gaussiana, tenemos:
f1
f2
1 1
2 1
116
200
;f2 f2 2f1
1 1
0 1
116
32 1
Reflexiona. Cuando las rectas que conforman el sistema de ecuaciones son
paralelas, ¿existe solución?
__________________________________________________________________
Saberes previos
El Ecuador exporta frutas, lo
que representa centenas de
millones de dólares.
Pasos para resolver
problemas con sistemas
de ecuaciones
• Interpreta el
enunciado, identifica
los datos y las
incógnitas, asigna
una variable.
• Plantea las ecuaciones
correspondientes.
• Resuelve el sistema e
interpreta el resultado.
• Comprueba la
solución.
Recuerda que...
Ingresa el siguiente
enlace web:
bit.ly/2YCkKo3
Imprime a partir de
la página 6 y practica
problemas con sistemas
de ecuaciones.
Me refuerzo

151
Multiplicando la fila 2 por –1, obtendremos:
y = 32. Reemplazando ese valor en la primera ecuación, hallaremos el valor de x.
x + 32 = 116; x = 84
Solución
Existen 84 habitaciones dobles y 32 habitaciones simples.
Ejemplo 2
En la finca de Mateo hay vacas y gallinas. En total se contabilizaron 20 cabezas y 64
patas. ¿Cuántas vacas y gallinas hay en la finca de Mateo?
Identificamos las variables: x = vacas, y = gallinas.
Organizamos los datos en una tabla.
Vacas (x) Gallinas(y) Total
Núm. cabezas x y 20
Núm. patas 4x 2y 64
x y
x y
x y
x y
20
4 2 64
20
2 32
+ =
+ =
+ =
+ =
Para resolver el sistema, utilizaremos el método de Cramer:
• Hallamos el determinante del sistema D.

= = − =D
1 1
2 1
1 2 –1
• Hallamos los determinantes Δx y Δy.

Determinante Δx
Δx =
20 1
32 1
= 20−32 = –12
Determinante Δy
Δy =
1 20
2 32
= 32− 40 = –8
• Hallamos los valores de x y y.

Valor de x
x =
Δx
D
x =
–12
–1
x =12
Valor de y
y =
Δy
D
y =
−8
−1
y = 8
Solución
Existen 12 vacas y 8 gallinas en la finca.
Matemática
con emprendimiento
Los sistemas de
ecuaciones lineales se
usan en el comercio
para relacionar
ganancias y porcentajes:
en la industria, para
indicar situaciones de
mezcla de materiales
y su solución (que
corresponde a
condiciones óptimas);
en geometría, para
indicar las regiones
limitadas por líneas
rectas.
Conexiones

Taller
152
1. Resuelve los siguientes problemas utilizando el
método de igualación.
a) La suma de las edades de Luisa y Arturo es 45.
La edad de Luisa es 1/3 de la suma de la edad
de Luisa y Arturo. ¿Qué edad tienen Luisa y
Arturo?

b) Una fábrica de muebles produce mesas y
sillas. Cada mueble requiere de corte de
armado y acabado. La cantidad de horas
mensuales necesarias para cada operación y
mueble se encuentra en la siguiente tabla:

Proceso Mesas Sillas
Armado 8 6
Acabado 6 3
Los obreros de la fábrica pueden dedicar
370 horas al armado y 225 al acabado.
¿Cuántos muebles de cada tipo produce
mensualmente esta fábrica?

c) Roberto y Mónica tienen, entre los dos, $ 350.
La media de lo que tiene Roberto más lo de
Mónica es $ 225. ¿Qué cantidad de dinero
tiene cada uno?

d) Cristian y Daniela planifican salir cada fin de
semana. El primer fin de semana quieren ir
a jugar bolos y reúnen entre los dos $ 76. El
segundo fin de semana, deciden realizar una
parrillada. Para ello, Daniela aporta el triple
de lo que aportó antes, y Cristian el doble,
reuniendo $ 194. ¿Qué cantidad de dinero
tiene cada uno?

2. Resuelve los siguientes problemas utilizando la
eliminación gaussiana.
a) Calcula un número sabiendo que la suma
de sus dos cifras es 38, si el doble del primero
más cinco veces el segundo número da como
resultado 145. ¿Cuáles son esos números?

b) La distancia entre Quito y Guayaquil es de
268 km. Un coche sale desde Quito hacia
Guayaquil a una velocidad de 100 km/h. Al
mismo tiempo, sale otro coche de Guayaquil
hacia Quito a una velocidad de 80 km/h.
Suponiendo su velocidad constante, ¿cuál
es el tiempo que tardan en encontrarse y la
distancia que han recorrido al momento del
encuentro?

153
M.4.1.56. Resolver y plantear problemas de texto con enunciados que involucren funciones lineales y sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas; e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
c) En un triángulo rectángulo, uno de sus
ángulos agudos es 26° mayor que el otro.
¿Cuánto miden sus dos ángulos agudos?

d) La base mayor de un trapecio mide el triple
que su base menor. La altura del trapecio es
6 cm y su área mide 30 cm2. ¿Cuál es la
longitud de sus bases?

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el
método de Cramer.
a) Matías va al mercado y compra 5 manzanas
y 4 mandarinas por $ 5. Si después va Carlos
y compra 5 manzanas y 6 mandarinas por
$ 6, ¿cuánto cuesta cada manzana y cada
mandarina?

b) En un almacén se venden televisores y lava-
doras. Para las fiestas navideñas, se han rea-
lizado promociones: dos televisores más una
lavadora cuestan $ 1 000 o un televisor más
una lavadora, $ 700. ¿Cuánto cuestan cada te-
levisor y cada lavadora?

4. Resuelvan los siguientes problemas utilizando
el método que consideren más apropiado.
a) En una cafetería, por un helado y cuatro
batidos cobraron $ 13. Otro día, por cua-
tro helados y dos batidos cobraron $ 10.
¿Cuánto cuesta cada helado y cada batido?
___________________________________
b) En la empresa El baratón se fabrican dos
tipos de productos: cocinas y refrigera-
doras. Se sabe que para la producción se
sigue el proceso de corte y el proceso de
ensamblaje. Si para la cocina se necesitan
6 horas de corte y 5 de ensamblaje, y para
la refrigeradora 4 horas de corte y 6 de en-
samblaje, ¿cuántas cocinas y refrigeradoras
se producirán al mes, sabiendo que se dis-
pone de 96 horas para el corte y 104 para
el ensamblaje?
___________________________________
Un almacén de juguetes compra un día 14 ju-
guetes y cada trabajador empaca 2 juguetes,
por lo que un total de 40 juguetes permanecen
sin empacar. Además, el número de trabajado-
res ese día era 8 menos que 7 veces el número
de compras. ¿Cuántos juguetes quedaron sin
empacar?
c) En una universidad se toman exámenes con
20 preguntas. Marta ha obteniendo 8 puntos.
Si cada acierto vale 1 punto y cada error res-
ta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado
y fallado Marta?

154
Congruencia de triángulosTema 6
En una actividad, la profesora de Matemática les pide a sus estudiantes analizar el
siguiente gráfico de la izquierda y les hace la siguiente pregunta: ¿cómo se puede
saber si los triángulos 1 y 2 son congruentes?
Los postulados de la congruencia de triángulos son:
Lado – ángulo – lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes si sus dos lados y el ángulo determinado son
respectivamente congruentes.
Ángulo – lado – ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos
respectivamente congruentes.
Lado – lado – lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.
Dos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma
medida, y sus lados homólogos miden lo mismo.
Dos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma
medida, y sus lados homólogos miden lo mismo.
A continuación resolveremos la pregunta planteada anteriormente.
Utilizando los siguientes postulados de congruencia de triángulos, podemos
conocer si los triángulos 1 y 2 son congruentes.
Recuerda. Dos triángulos son congruentes si las partes del primero (ángulos
y lados) son congruentes con las partes del segundo.
Saberes previos
El símbolo de
congruencia es: ≅
Para denotar que
dos triángulos son
congruentes, se escribe:
ΔABC ≅ ΔDEF
¿Sabías qué?
Esta es la clasificación
de los triángulos según
sus lados:
Equilátero:
• Los tres lados son
congruentes.
• Sus tres ángulos son
iguales a 60 º.
Isósceles:
• Exactamente dos
de sus lados son
congruentes.
• Dos de sus ángulos
son congruentes.
Escaleno:
• Ninguno de sus lados
son iguales.
• Sus tres ángulos son
diferentes.
Recuerda que...
Los lados congruentes son:
AB DE
BC EF
AC DF
≅
≅
≅
Los ángulos congruentes son:
≅
≅
≅
D
B E
C F
A 
 
 
1 2
B
B
B E
E
E
A
A
A D
D
DC
C
C F
F
F
Por lo tanto el triángulo 1 y 2 son congruentes.

155
Ejemplo 1
En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles (AC = BC) y se ha dividido su base
AB en cuatro partes iguales.
C
A
B
F
D
E
a) ¿Son congruentes los triángulos ΔACE y ΔCFB? Demostrar.
Demostración
Enunciados Razones
1. AC CB≅
2.  A B≅
3. AE FB≅
4. ACE CFB
1. Dado
2. Propiedad del triángulo isósceles
3. Propiedad reflexiva
4. LAL
Conclusión: los triángulos ΔACE y ΔCFB son congruentes.
Ejemplo 2
Si se conoce que AC BD≅ y AD BC≅ , ¿cuál de los postulados permite afirmar
que ΔDCA y ΔCDB son congruentes?
Demostración
Enunciados Razones
1. ≅ ≅AC BD AD BCy
2. ≅DC DC
3.
1. Dado
2. Propiedad reflexiva
3. LLL
Conclusión: los triángulos son congruentes.
Estos son los postulados
de congruencia para
triángulos rectángulos:
• Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si
tienen los catetos
respectivamente
congruentes.
• Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si
tienen la hipotenusa
y un ángulo agudo
respectivamente
congruente.
• Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si
tienen un cateto y
un ángulo agudo
respectivamente
congruente.
• Dos triángulos
rectángulos son
congruentes si
tienen la hipotenusa
y un cateto
respectivamente
congruentes.
¿Sabías qué?
CD
A B
E ArchivoEditorial,(2020).

Taller
156
a) El triángulo isósceles tiene sus tres ángulos
de la misma medida. ( )
b) El triángulo equilátero está formado por tres
lados del mismo tamaño. ( )
c) Uno de los postulados de congruencia es LAL.
( )
d) La congruencia de dos triángulos se puede
demostrar con AAA. ( )
e) El triángulo escaleno tiene sus tres lados
iguales como sus tres ángulos de la misma
medida. ( )
2. Responde. ¿Qué postulado de congruencia de
triángulos puedes utilizar para demostrar que los
triángulos ABD y ADC son congruentes?
Considera que ABC es isósceles y AD divide
en dos partes iguales al ladoBC .
B
D
C
A

________________________________________
3. Resuelve: AB≅EF, DB≅LF, AC≅ EH,AC y EH son
medianas.
Demostrar: ΔLEF ≅ΔABD
D D
C C
B BA A

________________________________________
4. Demuestra la congruencia de los siguientes
triángulos:
RT biseca a los ángulos  QRS QTSy .
Demuestra que: RTQ RTS
Q
R
S
T

________________________________________
5. Observa y completa las congruencias de lados
y ángulos de acuerdo con las siguientes figuras:

E
F
131º
131º
38º
38º
12º
12º
15º
15º
G
U
T
J
R
B
T
P
S
F
a) RT ≅ f) <R ≅
b) GF ≅ g) <T ≅
c) US ≅ h) <P ≅
d) FT ≅ i) <S ≅
e) PU ≅ j) <U ≅

157
M.4.2.9. Definir e identificar la congruencia de dos triángulos de acuerdo con criterios que consideran las medidas de sus lados
y/o sus ángulos.
6. Responde: ¿qué valores toman las incógnitas x, y
si se conoce que DCA CEB ?
C
2x+7 3y–6
x+83 xB
E D
A

7. Demuestra la congruencia de los siguientes
triángulos:
En la figura AE y BD se bisecan,  1 2≅
Demuestra que: ABC EDC
A
1 2
B
D
E

8. Demuestra que el ABC ADE .
En los triángulos las partes congruentes están
marcadas:
A
B
C
A
D
A
B
C
D
E

9. Calculen los valores de x, y, sabiendo que los
triángulosABC ADC≅ .
y–6º
x+20º42º
26º
B
C
D
A
10. Hallen el valor de x.
20º 36º
5x
11. Indaga y encuentra el valor de α, si BP AC≅ .

B
A C
P
50º+α
50º–α
α

158
Problema resuelto
Un concesionario de autos tiene dos sucursales,
una en Quito y otra en Guayaquil. El número total
de autos vendidos en el último mes fue de 134. Si
en la última semana del mes la sucursal de Quito
vende el doble y la de Guayaquil, el triple, sumando
así 312 autos, ¿cuántos coches ha vendido en el
mes cada sucursal?
Problema propuesto
La suma de dos números es 125. El primer número
aumentado en 3 más el triple del segundo número
da 245. ¿Cuáles son los dos números?
¿Cuántos coches en el mes ha vendido cada sucursal?
La estrategia que se utiizará es dividir el problema
en partes.
Paso 1
Determina las variables del problema.
x: sucursal Quito y: sucursal Guayaquil
Paso 2
Determina el sistema de ecuaciones y resuélvelo
por el método que consideres mejor.
Resolviendo por el método de
Cramer tenemos:

D =
1 1
2 3
= 1
x =
134 1
312 3
= 90

y =
1 134
2 312
= 44

x y
90
1
90;
44
1
44=
−
−
= =
−
−
=
4. Responder
La sucursal de Quito vendió 90 autos y la sucursal
de Guayaquil vendió 44 autos.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Paso 1
_________________________________________
_________________________________________
Paso 2
_________________________________________
_________________________________________
4. Responder
_________________________________________
_________________________________________
x + y =134
2x +3y =312
Dividir el problema en partes

159
1. Hemos comprado 3 borradores blancos y 2 bo-
rradores de esfero por 3,25 USD. Sara compró 2
borradores blancos y 5 de los de esfero por 4 USD.
Determinar el precio de cada clase de borrador.
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
_____________________________________
_____________________________________
3. Carla tiene que distribuir los cuyes en las jaulas,
pero se desconoce la cantidad de jaulas y de cuyes.
La relación que se conoce es que ,si colocamos 5
cuyes por jaula, faltan 2 cuyes por colocar, mien-
tras que si colocamos 7 cuyes por jaula podríamos
comprar 4 cuyes más. ¿Cuántas jaulas y cuyes hay?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
2. Carlos, que tiene un bazar, vende unos clips de plás-
tico que cuestan 6 USD el kg, y otros clips de metal
que cuestan 4 USD el kg. Decide mezclarlas y ven-
derlasa5,4USDelkg.Sientotalquierepreparar5kg,
¿qué cantidad de cada tipo tendrá que mezclar?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
_____________________________________
4. Juan José realiza una prueba de 50 preguntas, en
la que las respuestas correctas sumaban 0,5 pun-
tos y las no contestadas o incorrectas restaban
0,15. Si la nota final fue de 15,25, ¿cuántas pregun-
tas se contestaron correctamente?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________

Proyecto
160
Feria de historias inéditas
Desde hace más de 20 años, la Unesco promueve el
23 de abril como el Día Internacional del Libro, con el
objetivo de fomentar la lectura, la industria editorial y
la protección de la propiedad intelectual. En el Ecua-
dor, cada ecuatoriano lee medio libro por año, según
datos del Centro Regional para el Fomento del Libro
en América Latina y el Caribe (CERLALC), publicado
en 2012, uno de los índices más bajos con relación
a los 5,4 libros leídos por año, por persona, en Chi-
le. Según un informe de indicadores de lectura de la
CERLALC, el Ecuador tiene un 43 % de población lec-
tora, frente al 92 % en España o al 77 % en Colombia.
De ese porcentaje de lectores, el 52,2 % dedica su
tiempo a la lectura de libros, mientras que un 37,7 %
lee periódicos y un 3,7 %, revistas. El mismo estudio
revela que en el país aún hay preferencia por la lec-
tura en su formato tradicional, es decir, libros, perió-
Objetivo
Crear un cuento y un cómic inédito para fomentar la creatividad y el hábito de la lectura en los estudiantes.
Determinar el costo de cada cuento y cómic mediante un sistema de ecuaciones lineales para venderlos en una
feria organizada por el grado en su colegio.
Evaluación
2. De acuerdo con los cálculos anteriores, ¿obtuviste el costo de cada artículo?
dicos y revistas en papel, y que al menos la mitad de
los lectores ecuatorianos lo hacen por el gusto y el
hábito de la lectura.
Texto adaptado de: http://www.elcomercio.com/tendencias/
lectura–ecuador–libro–habitos–cultura.html
Recursos
• Cuento y cómic inédito impreso
• Espacio para realizar la feria del historias inéditas
Actividades
• Formen grupos de trabajo. Luego piensen y escriban una historia
inédita de diez páginas y un cómic.
• Impriman las historias en un formato atrayente para ser vendido.
• Determinen dos promociones: por ejemplo, una historia más un
cómic por $ 1, y dos historias más un cómic por $ 1,25.
• Con base en esas promociones, mediante un sistema de ecuacio-
nes lineales, determinen el costo de cada historia y de cada cómic.
• Realicen una feria de historias con sus compañeras y compañeros.

161
1. Observa los valores de cada espacio y encuentra el valor de x.
Multiplicar un número por 25
Debo aumentar 2 ceros al número que deseo
multiplicar y después divido para 4.
a) 94 • 25 = 9 400 ÷ 4 = 2 350
b) 24 •25 = 2 400 ÷ 4 = 600
c) 49 • 25 = 4 900 ÷ 4 = 1 225
d) 36 • 25 = 3 600 ÷ 4 = 900
e) 110 • 25 = 11 000 ÷ 4 = 2 750
Ahora hazlo tú
a) 80 • 25 =
________________
b) 42 • 25 =
________________
c) 25 • 25 =
________________
d) 66 • 25 =
________________
e) 102 • 25 =
________________
Cálculo mental
Razonamiento numérico
+
–
+ –
+
+ –
–
A)
+
–
+
+
–
–
B)
+
–
–+
+
–
C)
+
–
–
–
+
+
D)
+
–
–
–
+
+
E)
2. ¿Cuál alternativa pertence al cubo dibujado en dos planos?
5 1 8 2
6 3 10 4
7 7 12 3
8 9 14 510 2 16 4
12 6 20 8
14 14 24 6
16 18 28 x
a) b) c) d) e)

Recuerda y practica
162
utilizando el método gráfico.
a)
x y
x y
3 10
10 5 25
− =
− =
b)

x y
x y
3 10
10 5 25
− =
− =
c)

x y
x y
3 4 37
3 3 9
+ =
− =
a) Un sistema de ecuaciones con infinitas
soluciones se puede resolver por eliminación
gaussiana. ( )
_____________________________________
b) Un sistema con dos incógnitas y tres ecuaciones
se puede resolver por el método gráfico. ( )
_____________________________________
c) Cuando el determinante del sistema de
ecuaciones da 0, entonces no se puede
resolver por el método de Cramer. ( )
_____________________________________
d) Un sistema de ecuaciones lineales puede no
tener solución. ( )
_____________________________________
por el método de reducción.
a)
x y
x y
6 7 17
8 7 25
− =
− =
b)
x y
x y
5 6 19
2 8 2
− =
− =
c)
x y
x y
6 44
2 7 0
+ =
− =
4. Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales
por eliminación gaussiana.
a)
x y
x y
7 9 97
8 4 68
+ =
− =
b)

x y
x y
2 19
7 7 98
+ =
+ =
c)

x y
x y
2 14
3 3 33
+ =
+ =
5. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de Cramer.
a)
x y
x y
10 10 50
3 8 48
− =
+ =
b)
x y
x y
3 5 22
2 7 11
− =
− =
c)
x y
x y
5 4 12
5 8 36
− =
+ =
6. Resuelve cada problema utilizando cualquier
método.
a) Óscar le dice a Miguel:“el dinero que yo tengo
eseldobledelquetútienes”. Miguellerespon-
de: “si me das $ 5, los dos tendremos la misma
cantidad”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno al
principio? _____________________________
b) Una empresa ha gastado $ 1 170 en comprar
localizadores a cada uno de sus 30 emplea-
dos. Si había dos modelos (el uno costaba $ 75
y el otro, $ 30), ¿cuántos localizadores de cada
modelo compró? _______________________
7. Encuentra la medida del ángulo x, si en el trián-
gulo ABC:
AD CD DB≅ ≅
A
D
40º
x
B
C

163
8. Determina la solución de la ecuación 2x – 3y = 6:
9. Determina cuántas soluciones tiene cada tipo de
rectas:
a) Rectas paralelas
b) Rectas coincidentes
c) Rectas secantes
10. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por
el método de igualación:.

5x +2y =1
−3x +3y = 5
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
el método de eliminación gaussiana:

2x + y = 6
4x +3y =14
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
el método de Cramer:

5x −2y = 2
x +2y = 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
13. Resuelve por el método gráfico el siguiente siste-
ma de ecuaciones:

2x +3y = 2
−6x +12y =1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
14. En un triángulo equilátero se hacen los trazos in-
dicados en la figura que divide a la base en tres
partes iguales. Demuestra si los triángulos ABC y
DBE son congruentes y ¿por qué?
B
A C D E

164
Tema: Las compras
Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas
Para encontrar valor de medida, se usan cantidades
numéricas, costos. Muchas ocasiones nos vamos de
compras y no sabemos cuánto pagamos por cada
artículo; podemos chequear la factura pero, si se nos
haconfundido,utilizamosunsistemadeecuaciones.
César pagó 50 USD por 3 cajas de tacos fisher y 5 cajas
de clavos. Valeria compró 5 cajas de tacos fisher y 7
cajas de clavos, y pagó USD 74. ¿Cuál es el precio de cada caja de tacos y cada caja de clavos?
Reflexiona
• ¿Qué precio aproximado tendría cada caja de tacos o clavos?
________________________________________________________________________________________
Él compró la caja de los clavos en 5 USD y la de los tacos fisher en 7 USD.
• Si el total de pago que realizan César y Valeria se duplica, ¿cambia el precio de cada caja? Comprueba tu
respuesta.
• Roberto compró 5 entradas para un concierto y 7 para el teatro y pagó 241 USD. Lorena compró en cam-
bio 9 entradas para el concierto y 3 para el teatro y le costaron 236 USD. ¿Cuánto cuesta la entrada a cada
espectáculo?

165
Tema: Construyendo
con triángulos
Congruencia de triángulos
Utilizamos los postulados de congruencias de
triángulos y otras reglas de la geometría para cons-
truir casas o monumentos.
Se desea terminar de construir el obelisco, para lo
cual se necesita calcular las medidas antes de com-
prar el material. El esquema de la punta es un triángulo ABC a escala, que es equilátero. Además, se tienen los
siguientes datos: CD = AE, EF = 6 y BD = 11, calcula CF.
CF mide 5.
Reflexiona
• ¿En qué momentos de la vida cotidiana crees que se utilizan los postulados de congruencia?
________________________________________________________________________________________
• Comprueba la respuesta.
En el caso de estar errada la respuesta, ¿cuál es la solución?
• ¿Cuáles son los triángulos congruentes que encontraste? Dibuja y marca los datos y el postulado que de-
terminó que son congruentes.
• Para reforzar un techo de varios triángulos en el
jardín, se usa un esquema para calcular las varillas
que le darán seguridad al techo. Calcula el seg-
mento EC, si sabes que AE = 4 y BE = 9.
A C
B
E
D
F
A E4 C
9
B
60°+αα

166
1. ¿Qué porcentaje del área del triángulo es la parte
sombreada de la figura?
2. Los números a, b ≠ –1 y verifican
+
+
+
=
a b
1
1
1
1
1. Entonces, el producto ab, ¿cuánto vale?
3. En el plano cartesiano, las áreas de los dos rectán-
gulos grises son iguales. Hallar la coordenada x.
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Recuperado de: www.canguromat.org.es
1 1
11
3 3
131
70
28
12
0 174x

167
1. Lee y analiza.
Indica cuál de las siguientes expresiones no es
equivalente a la ecuación x − 2y = 3:
a) x − 3 = 2y c) y − 2(y + 1) = 1
b) x + y = (y + 3) d) 2y = x − 3
2. Lee y analiza.
En la ecuación x − 2y = 3 existe una solución en la
que x vale 5 y“y”vale:
a) −2 c) 3
b) 1 d) 2
3. Lee y analiza.
El par (−1, −3) es solución de la ecuación 2x + y = a.
En ese caso, vale:
a) −1 c) 1
b) 0 d) –5
4. Lee y analiza.
Por 2 latas de refresco y 3 bolsas de patatas me han
cobrado cinco euros. ¿Cuál de las siguientes expre-
siones no puede representar la frase anterior?
a) 2x + 3y = 5 c) 3x + 2y = 5
b) 3x + 5y = 2 d) 3x – 5 = 2y
5. Lee y analiza.
¿Cuál se las siguientes ecuaciones formaría un sis-
tema compatible indeterminado con la ecuación
2x − 3y = 2?
a) −4x + 6y = − 4 c) 6x − 9y = 3
b) 3x − 2y = 2 d) 4x – 6y = 3
6. Lee y analiza.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

− x + y = 5
− 2x +2y = 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
a) Sol. (0,0) c) Infinitas soluciones
b) Sol. (3,8) d) No tiene solución

168
7. Lee y analiza.
Calcula un número si sabes que la suma de sus
dos cifras es 9, y que, si invertimos el orden de
dichas cifras, el número obtenido es 45 unidades
menor que el inicial:
a) 72 c) 13
b) 27 d) 31
8. Lee y analiza.
Un rectángulo tiene de perímetro 34 unidades. Su
largo mide 7 unidades más que el ancho. Deter-
mina las medidas del rectángulo:
a) largo 19, ancho 12 c) largo 26, ancho 12
b) largo 12, ancho 5 d) largo 19, ancho 5
9. Lee y analiza.
Determina BE si AC = EF, AB = 7 y CF = 12:
∠E = ∠A y ∠C = ∠F

a) 2 c) 5
b) 4 d) 7
10. Lee y analiza.
Si en un cuadrilátero de lados iguales se trazan
sus diagonales, las cuales también son iguales, se
forman:
a) Cuatro triángulos equiláteros congruentes
b) Cuatro triángulos rectángulos escalenos
c) Cuatro triángulos rectángulos isósceles con-
gruentes
d) Cuatro triángulos obtusángulos congruentes
11. Lee y analiza.
Si en un triángulo ABC, isósceles y rectángulo en
C, se traza CD perpendicular AB, entonces ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) BAC ≅ BCD c) AD ≅ DB
b) ∆ADC ≅ ∆BDC d) AD ≅ CA
12. Lee y analiza.
¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se
forman dos triángulos congruentes?
a) Rectángulo isósceles c) Equilátero
b) Rectángulo escaleno d) Ninguno
A
B
C
E
E
https://www.youtube.
com/watch?v=
2m9X3D_5Gbg

169
13. Lee y analiza.
En el triángulo SRT,
TH es la altura,
α = 120° y β =130°.
¿Cuál es la medida
del ángulo X y del
ángulo S?
a) X = 10° y S = 80° c) X = 30° y S = 60°
b) X = 20° y S = 70° d) X = 40° y S = 50°
14. Lee y analiza.
En un rectángulo ABCD que mide de largo 8 y de
ancho 4, se trazan las diagonales cuyo punto de
corte es E, ¿cuáles triángulos son congruentes?V
a) ∆ABE ≅ ∆DEC ≅ ∆BEC ≅ ∆AED
b) ∆ABE ≅ ∆DEC
c) ∆BEC ≅ ∆AED
d) ∆ABE ≅ ∆DEC y ∆BEC ≅ ∆AED
15. Lee y analiza.
Dos triángulos isósceles que tienen la misma me-
dida de su base son siempre congruentes si:
a) La altura de los 2 triángulos mide lo mismo
b) Sus ángulos de las bases son agudos
c) Los ángulos de las bases de ambos triángulos
miden lo mismo
d) En cada triángulo la base mide lo mismo
T
S RH
X
α
________________________________________
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Instrucciones
Correcto Incorrecto
1) A B C D
2) A B C D
3) A B C D
4) A B C D
5) A B C D
6) A B C D
7) A B C D
8) A B C D
9) A B C D
10) A B C D
11) A B C D
12) A B C D
13) A B C D
14) A B C D
15) A B C D

170
I.M.4.3.5. Plantea y resuelve problemas que involucren sistemas de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ecuaciones de segundo
grado y la aplicación de las propiedades de las raíces de la ecuación
de segundo grado; juzga la validez de las soluciones obtenidas en el
contexto del problema. (I.4., J.2.)
utilizando el método de igualación, eliminación
gaussiana y método de Cramer.
a)
x y
x y
2 15
5 10 45
+ =
+ =
b)
x y
x y
7 2 15
3 4 21
− =
+ =
c)
x y
x y
4 6 44
2 2 2
+ =
− =
d)
x y
x y
4 8 24
4 4 20
+ =
+ =
e)
x y
x y
2 8 34
3 10 43
+ =
+ =
f)
x y
x y
9 3 30
8 3 28
+ =
+ =
g)
x y
x y
8 13
8 13
+ =
+ =
h)
x y
x y
10 4 42
5 4 7
− =
− =
4. Resuelve los siguientes problemas con sistemas
de ecuaciones lineales. Utiliza el método que
prefieras.
a) Las edades de Lucía y de Lorena suman 52
años y dentro de 4 años la edad de Lucía será
el doble de la de Lorena. ¿Cuál es la edad de
cada una?
_____________________________________
b) La suma de los ahorros de Micaela y Fabricio
es $ 68 y la diferencia es $ 2. ¿Cuánto tiene
cada uno?
_____________________________________
c) Por la compra de dos equipos electrónicos se
ha pagado $ 1 500. Si en la primera compra
hubiese habido un descuento del 10 % y en
la segunda, un descuento de 15 %, se hubiera
pagado $ 1 300. ¿Cuánto costó cada artículo?
_____________________________________
1. Relaciona cada sistema de ecuaciones con su
respuesta.
a)
x y
x y
3 7 35
5 10 15
+ =
− =

x = 5, y = 3
b)
x y
x y
9 7 34
3 5 14
+ =
+ =

x = 7, y = 2
c)
x y
x y
2 2 18
8 10 0
+ =
− =

x = 3, y = 1
d)
x y
x y
6 5 15
5 6 7
− =
− =

x = 5, y = 4
2. Escribe la solución de los siguientes sistemas de
ecuaciones.
a)
0
2
-2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
b)
1
-1
2
3
4
0
0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
c)
1
-1
2
3
4
0
0
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
P ( )
P ( )
P ( )

I.ECA.X.X.X. Xxxx I.ECA.X.X.X. XxxxI.M.4.5.1. Construye figuras simétricas; resuelve problemas geométri-
cos que impliquen el cálculo de longitudes con la aplicación de con-
ceptos de semejanza y la aplicación del teorema de Tales; justifica pro-
cesos aplicando los conceptos de congruencia y semejanza. (I.1., I.4.)
171
Coevaluación
Autoevaluación
Metacognición
En Ecuador se produce uno de los mejores cacaos
del mundo al igual que el café. Cada producto
debe pasar por el proceso de secado y trituración.
La cantidad de minutos necesarios para cada
proceso y producto se detalla en el cuadro.

Proceso Cacao Café
Secado 45 75
Trituración 58 63
Si en la fábrica solo se pueden destinar 3 375
horas para el secado y 3 340 horas para la tritura-
ción, ¿cuántos kilos de cacao y café se producen
mensualmente? _________________________
8. Determinen si los siguientes triángulos son
congruentes:_____________________________
afirmación es falsa.
a) Dos triángulos pueden ser congruentes si
tienen todos sus lados iguales. ( )
b) Dos triángulos pueden ser congruentes si
tienen todos sus ángulos iguales. ( )
c) Es lo mismo congruencia y semejanza. ( )
d) Un postulado de congruencia es LAL. ( )
6. Demuestra si el triángulo ABC es congruente
con el triángulo DEF. El triángulo ABC es isósceles.
________________________________________
________________________________________
Contenidos
Resuelvo sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico,
igualación, eliminación gaussiana y método de Cramer.
Resuelvo problemas aplicando sistemas de ecuaciones.
Determino triángulos congruentes aplicando los postulados de congruencia.
B
R
E
T
A
P
D
U
C
S
F
V

unidad
5
172
Ecuaciones, deporte y matemática
Aplicación de la matemática en el deporte
La matemática está presente en nuestro entorno y nos permite estudiar relaciones sobre la base de números,
cantidades o medidas para sacar conclusiones fiables. Aplicamos la matemática, por ejemplo, en el deporte.
La importancia de esta ciencia en este ámbito es evidente, pues permite calcular el área del campo de juego,
el rendimiento de los jugadores, llevar registros, plantear jugadas y estrategias, o realizar pronósticos mediante
el uso de la probabilidad para determinar las trayectorias del balón. Es así que en deportes como el vóley,
básquetbol, fútbol, entre otros, las pelotas describen trayectorias parabólicas que se pueden modelar con
funciones cuadráticas. Incluso el final de un partido siempre se da con números para determinar el ganador.
Fuente: http://viref.udea.edu.co/contenido/publicaciones/libros_expo2011/planificacion_entrenamiento_deportivo.pdf

173
Objetivos:
O.M.4.3. Representar y resolver de manera gráfica (utilizando las TIC) y
analítica ecuaciones e inecuaciones con una variable; ecuaciones de
segundo grado con una variable; y sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas, para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.
Álgebra
y funciones
Geometría
y medida
• Función cuadrática: dominio,
recorrido, máximos, mínimos y
paridad
• Ecuaciones cuadráticas: método
gráfico, factoreo, completación
de cuadrados y fórmula general
• Teorema de Thales
• Semejanza de triángulos
• ¿Qué otros deportes describen trayectorias parabólicas?
• ¿De qué otra manera se aplica la matemática en el deporte?
• ¿Cómo ayuda el uso de matemática en el rendimiento de los jugadores?

174
Función cuadráticaTema 1
El lienzo cuadrado de una pintura aumenta los lados paralelos en 7 cm, con lo cual
se obtiene un rectángulo. ¿Cuál es el área del rectángulo en función del lado x?
El área del rectángulo es: A = (x + 7) x ; A = x ² + 7x
Con base en esta función, calculamos lo siguiente:
El área del rectángulo cuando x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
Elaboramos una tabla.
x (cm) 0 1 2 3 4
A (cm2) 0 8 18 30 44
Graficamos los puntos antes encontrados y respondemos.
¿Para qué valor de x el área es 30 cm2? Para x = 3 cm
¿Para qué valor de x el área es de 120 cm2? Para x = 8 cm
La ecuación que representa el área del rectángulo en función de x es una función
cuadrática.
Una función cuadrática definida » »= →f x( ) es una función de la forma
f(x) = ax2 + bx + c, con a, b y c números reales y a ≠ 0. Su gráfica es una parábola.
Una función cuadrática definida » »= →f x( ) es una función de la forma
f(x) = ax2 + bx + c, con a, b y c números reales y a ≠ 0. Su gráfica es una parábola.
Representación gráfica de la función cuadrática y características
Infiere. ¿Cómo determinas el área de una piscina cuadrangular?
__________________________________________________________________
Saberes previos
Piscina rectangular.
x
x
7 cm
Gráfica Características
Concavidad: esta orientación depende del signo del término cuadrático ax 2.
• Si a > 0 (positivo), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo
que es el vértice.
• Si a < 0 (negativo), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo
que es el vértice.
Cortes de la parábola con los ejes coordenados: son los puntos donde la
función es cero. Para hallar el corte con el eje x, se tiene
f(x) = 0 y se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c.
El corte con el eje y es (0, c), cuando x = 0.
Eje de simetría: es la recta que divide simétricamente a la parábola; está
dado por la ecuación = −x
b
a2
.
Vértice (V): es el punto de corte del eje de simetría con la parábola; tiene
como coordenadas: V
b
2a
,f
b
2a
.
La función f(x) = ax 2 tiene: Dominio: ℝ
Recorrido:  { } { }∪ > ∪+ −
si a ó0 , 0 0 , si a < 0
A (cm2
)
x (cm)0
60
80
100
120
40
20
2–2 4 6 8 10
f(x)
0 x
x < 0
Curva
decreciente
x < 0
Curva
creciente
a > 0
Cóncava
hacia arriba
a < 0
Cóncava
hacia abajo
f(x) = ax2
f(x) = –ax2
x > 0
Curva
creciente
x > 0
Curva
decreciente
Ejedesimetría
vértice
–1 1 2 3 4–2–3–4
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
2
3
4
5
6
7

175
Desplazamiento vertical de la función cuadrática
de la forma f(x) = ax 2 + c
Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:
f(x) = x 2 + 3y g(x) = x 2 – 2.
Desplazamiento horizontal de la función cuadrática
de la forma f(x) a(x + h) 2
Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:
f(x) = (x + 4) 2, g(x) = (x – 2) 2.
Ejemplo
Graficamos la función y = x 2 – 2x – 3. Luego determinamos la concavidad, eje de
simetría, vértice, dominio y recorrido de la función.
Graficamos la función y = x 2.
La gráfica de y = x 2 + 3 indica que la gráfica inicial y = x 2 se desplazó hacia arriba
3 unidades.
El dominio son los ℝ y el recorrido [3, + ∞).
La gráfica de la función y = x 2 – 2 indica que la gráfica y = x 2 se desplazó hacia
abajo 2 unidades.
El dominio son los ℝ y el recorrido [–2, + ∞).
En forma general, en la función f(x) = ax 2 + c, se puede decir: si c > 0, la función
se desplaza c unidades hacia arriba.
Si c < 0, la función se desplaza c unidades hacia abajo. El dominio son todos los
reales, los ℝ y el recorrido [3, + ∞).
El recorrido: si a > 0, y ≥ c, si a < o, y ≥ – c.
Eje de simetría y.
Vértice (0, c).
Reconocemos en la función y = x 2 – 2x – 3, los coeficientes: a = 1, b = –2 y c = –3.
Determinamos el vértice de la parábola: = − = =x
b
a2
2
2
1
f
b
2a
= f(1)=1 2(1) 3= 4;V(1, 4)
Determinamos la ecuación del eje de simetría. = − = =x
b
a2
2
2
1
Tomamos valores de x a los dos lados del eje de simetría. Elaboramos una tabla
de valores y graficamos.
Graficamos la función y = x 2
.
La gráfica de y = (x + 4) 2
indica que la gráfica inicial y = x 2
se desplazó
hacia la izquierda 4 unidades y la gráfica de y = (x – 2) 2
indica que se
desplazó hacia la derecha 2 unidades.
En forma general, en la función f(x) = (x + h) 2
. Si h > 0, se desplaza
la gráfica y = x 2
hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, se desplaza la
función inicial a la derecha h unidades.
f(x)
0 x
Dos unidades
hacia abajo.
Vértice (0, –c): (0, –2)
Tres unidades
hacia arriba.
Vértice (0, c): (0, 3)
y = x2
– 2
y = x2
+ 3
y = x2
1
–1
–2
2
3
4
5
6
7
–1 1 2 3 4–2–3–4
f(x)
0 x
Dos unidades
a la derecha
Cuatro
unidades
a la izquierda
y = (x – 2)2
y = (x + 4)2
y = x2
1
–1
2
3
4
5
6
–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5–6
f(x)
0 x
ejedesimetríax=1
decreciente
(–∞, 1]
creciente
[1, +∞)
1 > 0
cóncava hacia arriba
Dom: 
Rec: [4, + ∞)
V(1, –4)
V
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
5
–2 –1 1 2 3 4 5–3–4

Taller
176
1. Reconoce en la función cuadrática los elementos
a, b y c.
a)
b)
c)
d)
= − +
= − + −
= − +
= + −
f x x x
y x x
g x x x
h x x x
( ) 3 5 2
4 2 7
( ) 2
( )
1
2
3
2
5
2
2
2
2
2
2. Utiliza la expresión V =
b
2a
,f
b
2a
.
Determina el vértice y el eje de simetría de las
siguientes parábolas.
a)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e) ( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
g)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2i)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
j)
( )
= − +
= −
= − +
=− +
= − −
=−
= − +
= − +
= − +
= − +
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
p x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) 4 2
( ) 4
( ) 5 6
( ) 2 7 3
( ) 2 1
( ) 4 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3. Con los datos del ejercicio 2, grafica en tu
cuaderno cada una de las parábolas. Determina
el dominio, el recorrido, los intervalos donde la
función es creciente o decreciente, y el punto
máximo o mínimo.
a)
b)
c)
d)
e)
= − +
= −
= − +
= − +
= − −
f x x x
f x x
g x x x
m x x x
f x x
( ) 2 3
( ) 5
( ) 8 12
( ) 4
( ) ( 4) 2
2
2
2
2
2
4. Reconoce las funciones cuadráticas sin realizar la
gráfica. Determina el tipo de concavidad.
a) = + −g x x x( ) 3 102
b) = −f x x( ) 2 52
c) ( )= + −k x x( ) 1 2
2
d) = − + −f x x x( ) 4 122
e) = − − +r x x x( ) 7 3 42
f) = − − −t x x x( ) 4 ( 3) 42
5. Resuelve el siguiente problema. Para ello realiza
un gráfico.
Una función cuadrática tiene su punto mínimo en
el punto (1, –3). Además, se conoce que f(0) = –1,
f(3) = 5. ¿Qué valores toma f(2) y f(–1)?

177
M.4.1.57. Definir y reconocer una función cuadrática de manera algebraica y gráfica, determinando sus características: dominio,
recorrido, monotonía, máximos, mínimos y paridad.
6. Determina si los siguientes puntos pertenecen a
la función cuadrática dada. Para ello, reemplaza
las coordenadas del punto en la función.
a) ( )= − − −f x x x P( ) 2 3 2, 32

_____________________________________
b) = − − − −f x x x P( ) 2 3 ( 3, 9)2

_____________________________________
c) = − + −f x x x P( ) 5 3 (4, 1)2

_____________________________________
7. Grafiquen en sus cuadernos cada una de las
funciones cuadráticas; determinen el dominio,
el recorrido, los intervalos donde la función es
creciente o decreciente, el punto máximo o
mínimo, el vértice de la parábola, y el eje de
simetría.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
= +
= − +
= − −
= − − −
= − +
= − + + −
= −
= − − −
= −
f x x
f x x x
f x x x
t x x x
r x x
f x x x
m x x
n x x x
f x x
( ) 3
( ) 2 2 3
( ) 4 12
( ) ( 2 3)( 6)
( ) 9 4
( ) (3 1) 5 2
( ) 2
( ) 3 6 5
( ) ( 6)
2
2
2
2
2 2
2
2
2
10. Encuentra una función cuadrática para la
siguiente situación. Luego grafica.
Amelia tiene una piscina rectangular de
10 m de largo por 6 m de ancho, y quiere hacer
un camino alrededor de la piscina de anchura
constante. ¿Cuál es la expresión cuadrática que
determina el área del ancho del camino?
8. Determinen la concavidad, su punto máximo
y mínimo, sin realizar la gráfica de la función
cuadrática.
a) =y x5 2
___________________________________
b) = − +y x4 12
___________________________________
c) = − +y x x4 12
___________________________________
d) = − + +y x x6 32
___________________________________
e) = − +y x x2 82
___________________________________
9. Determinen el vértice y el eje de simetría de la
parábola:
a) = − +y x( 2) 32
___________________________________
b) = − +y x x5 22
___________________________________
c) = + −y x( 3) 32
___________________________________
d) = + −y x x5 142
___________________________________
e) = −y x 42
___________________________________

178
Solución de una ecuación
de segundo grado
Tema 2
En un conjunto residencial se construye un jardín cuadrado de césped, rodeado de
un cerco de cipreses. El precio del metro cuadrado de césped es $ 4, y $ 4 el metro
lineal de cipreses. Si el costo del jardín es $ 48, ¿cuál es el área del terreno?
Primero debemos determinar la ecuación que modela la situación. Como el jardín
es un cuadrado, su área es: x 2.
Entonces: el costo de la colocación del césped es 4x 2.
El perímetro del jardín es 4x y el costo de la colocación de los cipreses es 16x.
La ecuación resultante: 4x 2 + 16x = 48.
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede escribirse
de la forma ax 2 + bx + c, donde:
a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de
cero.
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede escribirse
de la forma ax 2 + bx + c, donde:
a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de
cero.
Método gráfico
Resolver una ecuación cuadrática significa hallar los valores de la incógnita que
hacen verdadera la igualdad. Gráficamente las soluciones reales de la ecuación
corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje x.
Resolviendo la ecuación 4x2 + 16x = 48 que modela el problema planteado al
inicio, tenemos que:
Primero: determinar el vértice (h, k) de la parábola.
= − = − = −h
b
a
h h
2
;
16
8
; 2 ( ) ( )= − = − + − − = −k f( 2) 4 2 16 2 48 64
2
− −C( 2, 64)
Segundo: graficar la parábola.
Los puntos A (2, 0) y B (– 6, 0) cortan al eje
x. Es decir, las soluciones de la ecuación
cuadrática son: x = 2 y x = – 6.
Descartamos el valor negativo porque no
satisface el problema, siendo que el área
no puede ser un valor negativo.
Solución
El terreno para el jardín tiene un área de
2 m2.
¿Qué grado tiene una ecuación cuadrática?
__________________________________________________________________
Conjunto de cipreses.
En una ecuación
cuadrática:
ax 2 es el término
cuadrático.
bx es el término lineal.
c es el término
independiente.
¿Sabías qué?
Dependiendo de
los valores de las
constantes b y c,
las ecuaciones
cuadráticas se clasifican
en incompletas y
completas.
¿Sabías qué?
10
20
0
0
1 2 3
-20
-10
-40
-30
-60
-50
-3 -2 -1-6 -5 -4
B = (–6, 0) A= (2, 0)
x y
6 0
–2 –64
0 –48
1 –28
2 0

179
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 3x 2 – 5x + 12 = 0.
= − = −
−
=h
b
a
h h
2
;
5
6
;
5
6
k =f (
5
6
)=3
5
6
2
5
5
6
+12=
119
12
Encontrar el vértice de la parábola (h, k).
Graficar la parábola para determinar los cortes con el eje x.
x y
–2 34
–1 20
0 12
1 10
2 14
La parábola no corta al eje x. Entonces, no tiene solución la ecuación en los
números reales.
Ejemplo 2
Determinar las raíces de la ecuación x 2 – 6x + 9 = 0.
x y
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
La solución de la ecuación es x = 3.
Dependiendo de los puntos de la parábola que cortan el eje x, se presentan tres
casos de soluciones.
Para resolver una
ecuación cuadrática,
es necesario que esté
igualada a cero.
¿Sabías qué?
Ecuaciones completas:
son aquellas en las
que el valor de b y c es
diferente de 0.
Ecuaciones
incompletas: son
aquellas en las que el
valor de b o c es igual a 0.
¿Sabías qué?
Corta al eje x en un solo punto Corta al eje x en dos puntos No corta al eje x
El vértice de la parábola está sobre el
eje x.
La ecuación tiene dos raíces reales
iguales.
diferentes.
La ecuación no tiene solución en los
números reales.
30
40
0
0
1 2 3
20
10
-1-2
3
4
0
0
1 2 3
2
1
4 5 6-1
-1
3
0
0
1
2
1
-1
-1
-2-3
A
3
0
0
1 2
2
1
-1
-1
-2
-2-3
DC
3
0
0
1
4
2
1
-1
-1
-2
ingresa al siguiente
enlace web:
bit.ly/2KfsPH2
Practica y refuerza
ecuaciones cuadráticas
Me refuerzo

Taller
180
2. Escribe verdadero (V) o falso (F). Justifica tu
respuesta.
a) 2x2 – 3x es una ecuación cuadrática incompleta.
( )
_____________________________________
b) Una ecuación cuadrática siempre tiene como
solución dos raíces. ( )
_____________________________________
c) Si la parábola es cóncava hacia abajo, no tiene
solución. ( )
_____________________________________
d) Una ecuación cuadrática siempre se representa
con una parábola. ( )
_____________________________________
3. Encuentra la solución de cada ecuación sin reali-
zar la gráfica. Primero encuentra el vértice.
a) x 2 – 4x + 4

b) 2x 2 + 8x

c) 3x 2 – 12x + 12

d) 5x 2 – 10x + 5

e) 4x 2 – 16x + 16

4. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando el
método gráfico.
a) 3x 2 – 9x

1. Determina el tipo de solución de cada función
de acuerdo con su gráfica.
a)

_____________________________________
b)

_____________________________________
c)

_____________________________________
15
0
0
5 10 15
20
25
10
5
-5-10
2
0
0
1 2
3
1
-1
-1-2
2
0
0
1 2 3
1
-1
-1-2

181
M.4.1.58. Reconocer los ceros de la función cuadrática como la solución de la ecuación de segundo grado con una incógnita.
b) –3x 2 + 8x – 4

c) 8x 2 – 3

d) x 2 – 6x + 9

e) 5x 2 – 10x

5. Escribe las raíces de las siguientes gráficas.
a)
b)

6. Resuelvan las siguientes ecuaciones por el
método gráfico.
a) = −f x x x( ) 3 62
b) = − +f x x x( ) 5 62
c) = − +g x x x( ) 2 11 152
d) = −m x x x( ) 62
e) = −f x x x( ) 3 62
f) =p x x( ) 121 2
g) = − +f x x x( ) 12 62
h) = − +f x x x( )
2
3
7 32
7. Planteen una ecuación cuadrática y resuelvan
gráficamente.
a) Si al cuádruple de un número se le suma
su cuadrado, se obtiene 117. ¿Cuál es ese
número?
___________________________________
b) ¿Cuál es la edad de Eduarda si el cuadrado
de su edad es igual a su edad aumentada
en 6?
___________________________________
c) Si al lado de un cuadrado se le aumenta 2 m
y al contiguo, 8 m, se obtiene un rectángulo
con un área de 18 m2 más que el doble del
cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de
la figura?
___________________________________
8. Indaga y resuelve en tu cuaderno.
Matías quiere hacer el marco de un retrato
con un listón que mide 1 m, sin que le sobre
ni le falte nada. Si se conoce que el retrato es
rectangular y tiene 125 cm2 de superficie, ¿qué
longitud deben tener los listones para el marco?
-5 -4 -3 -2-6-7-8
A
5
10
0
0
1 2 3
-10
-5
-20
-15
-30
-25
4 5 6 7 8-3 -2 -1-6 -5 -4

182
Resolución de la ecuación cuadrática
por el método de factorización
Tema 3
Existen muchos problemas sobre movimiento de objetos que se solucionan por
medio de una ecuación cuadrática.
Por ejemplo: se lanza desde una ventana de un dormitorio, ubicado a 4 m de altura,
una pelota con una velocidad inicial de 3 m/s. La altura y, en metros, en función del
tiempo t, en segundos, está dada por y = – t 2 – 3t + 4. ¿Cuál es el tiempo de caída
de la pelota?
La ecuación que tenemos que resolver es: y = – t 2 – 3t + 4; como la pelota golpea
el suelo, entonces y = 0.
Para encontrar la solución del problema de la pelota, se procede así:
Igualamos a cero la ecuación cuadrática: 0 = – t 2 – 3t + 4
Multiplicamos por (–1) toda la ecuación: t 2 + 3t – 4 = 0
Factorizamos el primer miembro de la ecuación (t + 4)(t – 1) = 0 como un trinomio
de la forma: x 2 + bx + c
Igualamos cada factor a cero: t + 4 = 0 y t – 1 = 0
Despejamos el valor de t en cada ecuación: t = –4 y t = 1
Por sustitución, en la ecuación general podemos ver que t = –4 y t = 1 satisfacen
la ecuación, pero en este problema la solución es 1 s, ya que no existen tiempos
negativos.
Solución
El tiempo de caída de la pelota es de 1 s.
La ecuación cuadrática tiene dos raíces.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas
Indaga. ¿Cómo determinas el tiempo de caída de un objeto?
__________________________________________________________________
Saberes previos
Al obtener la solución
de una ecuación,
siempre debes verificar.
No todas las soluciones
de una ecuación suelen
llenar las condiciones
del problema, como
sucede en el caso de la
pelota.
¿Sabías qué?
Si ax ² + bx + c = 0 Si ax ² + bx = 0 Si ax ² + c = 0; b = 0
x(x + 5) = 24
x ² + 5x – 24 = 0
(x + 8)(x – 3)= 0
(x + 8) = 0 y
(x – 3) = 0
x = –8 y x = 3
c = 0
5x ² + 2x = 0
x (5x + 2) = 0
x = 0
5x + 2 = 0;
5x = –2
= −x
2
5
4x ² = 25
4x ² – 25 = 0
(2x + 5)(2x – 5) = 0
2x + 5 = 0
2x – 5 = 0
= − =x y x
5
2
5
2
Las soluciones de la
ecuación son: x = – 8 y
x = 3
ecuación son: x = 0 y = −x
2
5
ecuación son:
= − =x y x
5
2
5
2
o puede
escribirse como: = ±x
5
2
Ubicación del lanzamiento.

183
Método de completar el cuadrado
Existen expresiones algebraicas que no pueden ser factorizadas fácilmente. En
estos casos podemos encontrar las raíces completando el cuadrado. Esto consiste
en transformar ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0 en un trinomio
cuadrado perfecto. Para ello se verifica que el coeficiente de x 2 sea uno (a = 1).
Luego, se suma a los dos miembros de la ecuación la expresión:
b
2
2
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 2x 2 – 8x + 3 = 0 por el método de completar el cuadrado.
Dividimos toda la ecuación para 2: − = −x x4
3
2
2
Tomamos el coeficiente de x, dividimos para 2 y elevamos al cuadrado.
4 ÷ 2 = 2; 2 2 = 4
Sumamos el valor de 4 a los dos miembros de la ecuación:
− + = − +x x4 4
3
2
42
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del primer miembro y reducimos
términos: ( )− =x 2
5
2
2
Sacamos la raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación: x 2
5
2
− = ±
Finalmente, obtenemos las soluciones: = + = −x x2
5
2
y 2
5
2
Ejemplo 2
Hallar las raíces de la ecuación: x 2 – 6x + 8 = 0.
Primero: se resta 8 en ambos lados de la igualdad.
x 2 – 6x + 8 – 8 = 0 – 8 x 2 – 6x = – 8
En este caso, no se divide para a, porque a = 1.
Segundo: se suma
b
2a
2
en ambos lados; y se realiza la potencia.
x2
6x +
6
2
2
= 8+
6
2
2
x 2 – 6x + 9 = – 8 + 9 x 2 – 6x + 9 = 1
Tercero: se factoriza: (x – 3) 2 = 1
Cuarto: se obtiene la solución. x 3= ± 1 Entonces: x₁ = 4 o x 2 = 2
Quinto: verifico las soluciones:
x 2 – 6x + 8 = 0
(4) 2 – 6(4) + 8 = 0
0 = 0
x 2 – 6x + 8 = 0
(2) 2 – 6(2) + 8 = 0
0 = 0
Las dos soluciones satisfacen
a la ecuación cuadrática.
Matemática
con historia
François Viète
(1540-1603, Francia)
Fue un matemático
francés que consideró
las ecuaciones
cuadráticas de la
manera general,
ax 2 + bx + c = 0, donde
a, b y c son cantidades
conocidas. Gracias
a esto es posible
escribir la fórmula
cuadrática para resolver
ecuaciones de este tipo.
Conexiones
Dr.Manuel,(2020)WikimediaCommons

Taller
1. Resuelvelassiguientesecuacionesporfactorización.
a) 2x 2 – 4x – 6 = 0

b) x² –
3
—
4
x =
9
—
8

c) x 2 – 36

d) 16x – 36 = 0

e) (x + 4)2 = 6

f) x 2 – x = 20

g) 4x 2 – 6x + 2 = 0

h) x 2 – 5x + 6 = 0

i) 2x 2 – 7x + 3 = 0

j) –x 2 + 7x – 10 = 0

2. Encuentra la solución de las ecuaciones comple-
tando el cuadrado.
a) x 2 – 8x = 0

b) x 2 – 4x + 2 = 0

c) 9x 2 + 5x = –
9
—
4

d) 25x 2 – 6x = 0

e) x 2 – 10x = 0

f) x 2 + 2x – 15 = 0

g) 2x 2 + 2x + 1 = 313

h) x 2 – 3x – 4 = 0

3. Despeja la variable indicada en las siguientes
ecuaciones.
a) Fórmula de la energía cinética: =E
mv
v
2
. Despeja
2
.
Despeja v.

184

185
M.4.1.59. Resolver la ecuación de segundo grado con una incógnita de manera analítica (por factoreo, completación de
cuadrados, en la solución de problemas).
b) Ley de Newton de la gravitación universal:
=F
gmM
d
d. Despeja2
. Despeja d.

c) Ecuación de distancia en el movimiento
rectilíneo uniformemente variado:
= +d Vt at t
1
2
. Despeja2 Despejat,silavelocidadiniciales0.

d) Área de la circunferencia: π=A r r. Despeja2
Despeja r.

a) ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo
rectángulo de la figura?

b) ¿Cuál es el número cuyo triplo aumentado en
cuatro es igual a su cuadrado?

c) ¿Qué número multiplicado por dos es tres
veces menor que su cuadrado?

d) ¿Cuáleselnúmerocuyoquíntuploaumentado
en 14 es igual a su cuadrado?

5. Resuelvan en sus cuadernos las siguientes
ecuaciones cuadráticas por factorización.
a) = +y y18 182
_______________________
b) − =x 49 02
_________________________
c) + =x x15 12 272 ______________________
d) − =x4 81 02
________________________
e) − = − −y y12 12 72
____________________
f) − = −x x422 ________________________
g) − − =x x5 37 24 02
____________________
6. Encuentren la solución de las ecuaciones
completando el cuadrado.
a) + =x x12 02
________________________
b) − + =x x64 3
7
4
02
____________________
c) + =x x16 02
________________________
d) + = −x x24 22
_______________________
e) − + =x x36 22 40 02
___________________
7. Resuelvan los problemas.
a) ¿Qué número multiplicado por cuatro es
dos veces menor que su cuadrado?
b) El producto de dos números consecutivos
es 6. ¿Cuáles son esos números?
El área de un círculo es de 24 cm 2. ¿Cuál es la
medida del radio?
x – 4
x + 2
2x – 1

186
Ecuaciones cuadráticas. Fórmula generalTema 4
Patricio quiere cercar un terreno y necesita conocer cuál es la medida de cada lado
de un terreno cuadrangular, si al multiplicarlo por 12 le sobran 70 unidades para
ser igual a su área. Planteemos la ecuación que modela el problema:
12x + 70 = x 2
x 2 – 12x – 70 = 0
La ecuación no es factorable, por lo tanto, resolveremos utilizando la fórmula general.
=
− ± −
x
b b ac
a
4
2
2
Entonces:
a = 1, b = –12 y c = –70, reemplazando en la fórmula general
x
x
x x x x
( 12) ( 12) 4(1)( 70)
2(1)
12 20,59
2
12 20,59
2
16,29 ;
12 20,59
2
4,3
2
1 1 2 2
=
− − ± − − −
=
±
=
+
= = =
−
= = −
Descartamos la solución negativa, ya que no satisface el problema.
Cada lado del terreno mide 16,29 metros.
Obtención de la fórmula general para resolver ecuaciones
cuadráticas
Podemos utilizar la técnica de completar el cuadrado para obtener la fórmula
general que determine las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0.
• Dividimos cada lado de la ecuación para a: + = −x
b
a
x
c
a
2
• Completamos el cuadrado: x2
+
b
a
x +
b
2a
2
=
c
a
+
b
2a
2
• Resolvemos: x +
b
2a
2
=
4ac +b2
4a2
+ =
− +
= ±
−
x
b
a
ac b
a
b ac
a2
4
4
4
2
2
2
2
Las raíces de la ecuación cuadrática son: x =
− ± −b b ac
a
4
2
2 2
Las raíces de la ecuación cuadrática son: x =
− ± −b b ac
a
4
2
2 2
Terreno cuadrangular.
La fórmula general sirve
para resolver todas las
ecuaciones cuadráticas,
y las soluciones pueden
no ser números reales.
=
− ± −
x
b b ac
a
4
2
2
Donde:
a: es coeficiente del
término cuadrático.
b: es el coeficiente del
término lineal.
c: es el coeficiente del
término independiente.
¿Sabías qué?
Indaga. ¿Cómo resolverías una ecuación cuadrática no factorable?
__________________________________________________________________

187
Ejemplo 1
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 420. ¿Cuáles son esos
números?
La ecuación cuadrática es: x 2 + (x + 1)² = 420.
Realizamos las operaciones necesarias: x 2 + x 2 + 2x + 1 = 420
2x 2 + 2x – 419 = 0
Encontramos las soluciones utilizando la fórmula general.
a = 2, b = 2, c = 419
=
− ± −
=
− ± − −
=
− ±
=
− +
=
− −
= = −
x
b b ac
a
x
x
x x
x x
4
2
;
2 (2) 4(2)( 419)
2(2)
;
2 57,9
4
2 57,9
4
;
2 57,9
4
13,97; 14,97
2 2
1 2
1 2
Solución
Los números son 13,97 y –14,97.
Ejemplo 2
El área de un terreno rectangular de 430 m2. Si la longitud es 3 m más que 4 veces
el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
El área de un rectángulo es igual a b × h, por lo tanto:
Base: 4x + 3 altura: x
La ecuación es:
Operando: 4x 2 + 3x = 430; 4x 2 + 3x – 430 = 0
Resolviendo la ecuación por la fórmula general: a = 4, b = 3, c = –430
=
− ± −
=
− ± − −
=
− ±
=
− +
=
− −
= = −
x
b b ac
a
x
x
x x
x x
4
2
;
3 (3) 4(4)( 430)
2(4)
3 83
8
3 83
8
;
3 83
8
10; 10,75
2 2
1 2
1 2
Solución
Descartamos la solución negativa; el ancho del terreno es 10 metros, y el largo es
4x + 3, es decir, 43 metros.
Cuando las raíces
dentro de la fórmula
son negativas, no existe
solución dentro de
los números reales. La
solución está en los
números complejos,
es decir, la raíz es
imaginaria.
¿Sabías qué?
x
4x + 3
Para conocer más
ejercicios ingresa a:
bit.ly/2T5x7Ua
Enlace web

Taller
188
1. Utiliza la fórmula general para resolver ecuacio-
nes de segundo grado y resuelve.
a) − + =x x5 6 1 02

b) − = −x x2 8 22

c) + =x x5 10 02

d) − − =x x2 8 10 02

e) − = −x x7 2 52

f) − − =x x12 13 4 02

g) − − =x x6 4 13 02

h) + = −x x3 12

i) + + =x x10 1 02

2. Usa la fórmula para resolver ecuaciones de se-
gundo grado y resuelve las siguientes ecuacio-
nes con estas condiciones: a) x en términos de y,
b) y en términos de x.
a) − − + + =x y x y4 24 4 36 02 2

b) − + + − =y x y x2 6 8 3 02 2

c) + + + + =x y x y3 4 18 8 19 02 2

3. Escribe (V) si los siguientes enunciados son ver-
daderos o (F) si son falsos. Justifica tu respuesta.
a) Toda ecuación cuadrática se puede resolver
con la fórmula general. ( )
_____________________________________
b) Las ecuaciones cuadráticas tienen siempre
solución en los números reales. ( )
_____________________________________

189
M.4.1.59. Resolver la ecuación de segundo grado con una incógnita de manera analítica, (fórmula binomial) en la solución de
problemas.
a) Dentro de 9 años, la edad de Miguel será la
mitad del cuadrado de la edad que tenía hace
11 años. ¿Cuál es la edad de Miguel?

b) ¿Qué número multiplicado por 4 es 2 veces
menor que su cuadrado?

c) El producto de 2 números consecutivos es
500. ¿Cuáles son esos números?

d) Dentro de 10 años, la edad de Miriam será la
21 años. ¿Cuál es la edad de Miriam?

e) El área de un terreno rectangular es 250 m². Si
la longitud es 2 m más que 3 veces el ancho,
¿cuáles son las dimensiones del terreno?

f) La suma de dos números es 15 y la suma de sus
cuadrados es 113. ¿Cuáles son esos números?

5. Utilicen la fórmula general para resolver las
ecuaciones de segundo grado.
a) = −x x5 42
b) − − =x x6 3 9 02
c) − + =x x4 3 02
d) − =x x3 52
e) − − =x x18 16 2 02
f) − + =x x5 6 02
g) + = −x x7 15 22
6. Resuelvan los siguientes problemas.
a) Dentro de 11 años, la edad de Juan será la
mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años. ¿Cuál es la edad de Juan?
___________________________________
b) La base de un triángulo es 3 cm más larga
que la altura. Si el área del triángulo es de
119 cm², ¿cuánto miden la base y la altura
del triángulo?
___________________________________
7. Hallen la solución de las ecuaciones de segundo
grado y despejen x en términos de y.
a) − + + =x y x9 8 7 02 2
b) − − − + =x y x y4 40 8 88 02 2
c) − − − + =y x y x4 12 16 16 02 2
Un jardín rectangular de 100 m de largo por
68 m de ancho está rodeado por un camino
de adoquín de anchura uniforme. ¿Cuál es la
anchura del camino si se conoce que su área
es de 1 200 m 2?

190
Teorema de ThalesTema 5
En un plano de la ciudad de Sangolquí se ve que la calle A es paralela a la calle B. Se
aprecia que las calles se unen en rendondeles y forman un triángulo. Si en el plano
se borró la distancia entre la gasolinera y el redondel El Colibrí, ¿cómo puedes
calcular dicha distancia?
Teorema particular de Thales o fundamental de semejanza
Se refiere a los segmentos proporcionales que son determinados por dos paralelas.
Existen tres enunciados.
Primer enunciado
Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos de
los lados del ángulo determinados por las paralelas son proporcionales.
Primer enunciado
Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos de
los lados del ángulo determinados por las paralelas son proporcionales.
Para responder la pregunta, realicemos un esquema del mapa llamando x a la
distancia desconocida.
Aplicando el teorema:
La calle A es paralela a la calle B, entonces:
= = =
⋅
=
MP
PR
MT
TZ x
x x;
400
1300
500
;
500 1300
400
1 625
Solución
La distancia entre la gasolinera y el redondel es 1 625 m.
Segundo enunciado
Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos
que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son
proporcionales entre sí.
Segundo enunciado
Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos
que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son
proporcionales entre sí.
Ejemplo 1
Si  = = =BC DE AD AE ABy 18, 20 y 4 , ¿cuál es el valor de la recta AC?
 = = =
⋅
=BC DE
AD
AB
AE
AC x
x,entonces ;
18
4
20
;
20 4
18
4,44
La recta AC mide 4,44 unidades.
Tercer enunciado
Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, estas son entre sí
como los segmentos medios desde el vértice a las paralelas.
Tercer enunciado
Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, estas son entre sí
como los segmentos medios desde el vértice a las paralelas.
Reflexiona. ¿Cuál es la diferencia entre congruencia y semejanza?
__________________________________________________________________
Saberes previos
Intersección de avenidas.
Teorema de Thales.
Proporción. Dos
segmentos son
proporcionales cuando
su razón es la misma.
Razón. También
conocida como relación
de dos segmentos, es
el resultado de dividir
la longitud de esos dos
segmentos.
¿Sabías qué?
Redondel
Selva Alegre
Redondel
El Colibrí
Redondel del Choclo
500 m400 m
Gasolinera
Calle A
Calle B
1 300 m
Restaurante
FlavioMuñozM,(2020).ColecciónSangolquí
2
1
400 m
1300 m
500 m
3
4
Z
T
M
P
R
B
A
C
D E
∙ = Paralela
= = =AB BD BC BC DESi 10, 14 y 4= Segmento AB
AB
CD
= Segmento AB
proporcional al
segmento CD.
Simbologíamatemática

191
Teorema general de Thales
Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, las rectas
paralelas dividen a las transversales en segmentos proporcionales.
Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, las rectas
paralelas dividen a las transversales en segmentos proporcionales.
Del teorema de Thales se pueden obtener las siguientes proporciones.
= = =
AC
BD
CE
DF
AC
AE
BD
BF
AE
CE
BF
DF
; ;
Ejemplo 3
Hallar el valor de x y y, si las rectas L1, L2 y L3 son paralelas.
L3
L4
L5
L1
5 cm
4 cm
8 cm
2 cm
x
y
L2
=
⋅
x
cm
5
2
4
; x =
4 2
5
; x = 1,6
Cuando hay dificultades
visuales o una
discapacidad visual, la
mejor forma de ayudar
es proporcionando
explicaciones de tipo
descriptivo, concreto,
preciso y claro.
DFA
+
=
+ =
=
x
x
x x
x
1,10 3
1,75
1,75 1,93 3
1,25 1,93
x =1,5
Solución
x = 1,6 cm, y = 20 cm
La recta
AD = 4 + 8 = 12 cm
=
=
x
x
6
12
4
6
3
x =18
B
A
C
D E
AB BD
DFCE
AB CD EF// //
A
C
B
D
E F
=
=
=
⋅
x
y
y
cm
4
8
4
1,6 8
y =
4 8
1,6
; y = 20
Ejemplo 4
Calcular el valor de x aplicando el teorema de Thales.
BE // DC
A
E D
C
B
4 cm
6 cm
8 cm
x
Solución
La recta AC mide 18 cm.
Ejemplo 5
Encontrar el valor de x.
1, 75 m
1, 10 m
3 m
x
Solución
El valor de x es 1,5 m.
Ejemplo 2
= = =AB BD BC BC DESi 10, 14 y 4 , ¿cuál es el valor de la recta DE?
= + =
= =
= = =
⋅
=
AD
DE
BC
AD
AB
AE
AC
DE
BC
AD
AB
x
x
10 14 24.
;
;
4
24
10
;
24 4
10
9,6
Solución
La recta DE mide 9,6 unidades.

Taller
192
1. Completa las proporciones de acuerdo con la
figura, si AE BD .
a) =
AB
DE
BC c) =
AB
BC
b) =
AC
BC
d) =
BD
AE
a) El teorema de Thales, para cumplirse, necesita
tener dos o más rectas paralelas que se corten
por dos rectas cualesquiera. ( )
_____________________________________
b) Dos segmentos son proporcionales cuando
tienen la misma longitud. ( )
_____________________________________
c) La razón es la medida de cada segmento. ( )
_____________________________________
d) El teorema deThales divide a un segmento en
varias partes iguales. ( )
_____________________________________
3. Encuentra el valor de x para cada caso, aplicando
el teorema de Thales. Los segmentos BE y DC son
paralelos.
a)

b) Los segmentos BE y DC son paralelos.

c) Las rectas L1 y L2 son paralelas.

d) Las rectas L3 y L4 son paralelas.

e) Los segmentos DE y AB son paralelos.

A
B
C
D
E
7,5
4,5
6
3
x
y
A
C
a
5 cm
9 cm
b
D
B
E
7 cm
9 cm
6 cm
4 cm x
2 cm
12 cm
4 cm
x
30 cm
10 cm
5 cm x
A
E D
D
C
E
B
A
L1
L1
L3
L4
L2
L2 L3
L4
C
B

193
M.4.2.5. Definir e identificar figuras geométricas semejantes, de acuerdo a las medidas de los ángulos y a la relación entre las
medidas de los lados, determinando el factor de escala entre las figuras (teorema de Thales).
4. Resuelve los siguientes problemas aplicando el
teorema de Thales.
a) Las baldas de una repisa son paralelas, tal
como se muestra en la figura. Calcula el valor
de x y y.

b) ¿Cuál es la altura del edificio si se conocen los
datos que se muestran en la figura?

c) Si =AB cm34 , =BC cm18 y,hallalalongituddel
segmento EF. ¿Qué enunciado has aplicado?
Las rectas L1, L2 y L3 son paralelas.
5. Resuelvan los siguientes problemas aplicando
el teorema de Thales.
Las calles 7, 8 y 9 de la figura son paralelas.
Calculen la distancia que separa la intersección
de la:
a) Calle A con calle 9
b) Calle A con calle 12
c) Encuentra el valor de x. El piso es paralelo al
lado x.
Divide al segmento AB de 10 cm en siete
partes iguales.
d) ¿Cuál es la altura del monumento?

Calle D
Calle A
Calle 9
Calle 8
Calle 7
400 m
675 m
550 m
75 cm
175 cm
250 cm
x
Rayos del sol
9 m
5 m
21 m
2,5 m
4,6 m0,6 m
1,67 m
12 dm
4 dm
8 dm
24 dm
x
y
A
B
C
D
E
F
L1 L2 L3
L4
L5
A B
r

194
Postulados de semejanza de triángulosTema 6
Un triángulo tiene dos lados de longitud 6 cm y 4 cm, y el ángulo comprendido
entre ellos es de 60°. Otro triangulo tiene lados de 3 cm y 2 cm, y el ángulo entre
ellos dos es de 60°. ¿Son triángulos semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?
Criterios de semejanza de triángulos
Teorema: ángulo – ángulo (AA)
Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes congruentes, entonces
el tercero también será congruente. Por lo tanto, los triángulos son semejantes.
A = D y C = F
B
C
E
D FA
Teorema: lado – ángulo – lado (LAL)
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspondiente congruente,
comprendido entre dos lados proporcionales.
A = D y
AB
DE
=
AC
DF
E
D F
B
CA
Teorema: lado – lado – lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente
proporcionales.
= =
AB
DE
AC
DF
BC
EF
A
B
C D
E
F
Definición: Dos triángulos son semejantes si se cumple dos condiciones:
a) Todos los pares de ángulos correspondientes son congruentes.
b) Todos los pares de lados correspondientes son proporcionales
Definición: Dos triángulos son semejantes si se cumple dos condiciones:
a) Todos los pares de ángulos correspondientes son congruentes.
b) Todos los pares de lados correspondientes son proporcionales
Recuerda. Cuando dos figuras geométricas tienen exactamente la misma forma,
son semejantes.
Triángulos semejantes.
El símbolo de
semejanza es ∼:
Para denotar que
dos triángulos son
semejantes se escribe:
ABC DEF
¿Sabías qué?
Esta es la clasificación
de los triángulos según
sus ángulos:
Triángulo agudo:
todos sus ángulos son
agudos.
A
B C
Triángulo obtuso:
tiene un ángulo obtuso.
A
B
C
Triángulo rectángulo:
está formado por un
ángulo recto.
A
B C
Triángulo equiángulo:
todos sus ángulos son
congruentes.
A
B C
60º
60º 60º
Recuerda que...

195
A continuación resolveremos la pregunta planteada anteriormente.
Utilizando los siguientes postulados de semejanza de triángulos de la página
anterior, podemos conocer si los triángulos 1 y 2 son semejantes.
Aplicando el teorema LAL tenemos: =
AB
DE
AC
DF
y A = D
Reemplazamos los valores para encontrar la razón de semejanza:
= → = =
AB
DE
AC
DF
k
6
3
4
2
; 2
Conclusión: la razón de semejanza es 2, es decir, los lados correspondientes de los
dos triángulos son proporcionales y los ángulos A y D, ambos miden 60°. Por lo
tanto, se cumple el teorema LAL. Los dos triángulos son semejantes.
Ejemplo 1
En la figura, dado AB DE,
demuestra: ABC EDC.
Conclusión: los triángulos ABC EDC
son semejantes.
Demostración
Enunciados Razones
1. AB DE
2. A E
3. 1 2
4. ABC EDC
1. Dado.
2. Si dos rectas paralelas se cortan por una
transversal, los ángulos alternos internos
son congruentes.
3. Los ángulos verticales son congruentes.
4. AA.
Ejemplo 2
Un triángulo tiene como medidas de sus lados 18 m, 12 m y 9 m, y otro triángulo
tiene medidas 6 m, 4 m y 3 m. ¿Cuál es la razón de semejanza? ¿Son semejantes
estos triángulos?
Aplicamos el teorema LLL: = =
AB
DE
AC
DF
BC
EF
Reemplazamos los valores con cada lado
correspondiente:
= = =
18
6
12
4
9
3
3
Conclusión: la razón de semejanza es 3.
Por lo tanto, los dos triángulos son semejantes.
Razón
Es el cociente entre
dos números o
dos cantidades
comparables entre
sí, y se expresa como
fracción.
a → antecedente
b → consecuente
Los términos de una
razón se llaman:
antecedente y
consecuente.
El antecedente es
el dividendo y el
consecuente es el
divisor.
Proporción
Proporción es una
igualdad entre dos
razones.
=
a
b
c
d
Constante de
proporcionalidad o
razón de semejanza
Es el cociente entre
el antecedente y
el consecuente de
cualquier razón de una
proporción.
= = =
a
b
c
d
e
f
k
¿Sabías qué?
A B
C
D E
2
1
A
E
18 m
12 m
9 m
3 m6 m
4 m
D
F
B
C
enlace web:
bit.ly/2YEebkR
Refuerza el tema de
semejanza de triángulos.
Me refuerzo

Taller
196
a) Dos triángulos son semejantes si tienen sus
tres lados correspondientes proporcionales.
( )
b) Dos triángulos son semejantes si sus tres
ángulos correspondientes son proporcionales.
( )
c) Uno de los teoremas de criterio de semejanza
de congruencia es ALA. ( )
d) La semejanza de dos triángulos se puede
demostrar con LLL. ( )
e) El triángulo rectángulo está formado por un
ángulo de 90º. ( )
f) Dostriángulossonsemejantessitodoslospares
de lados correspondientes son proporcionales.
( )
g) Si PQR MNO , entonces Q N
( )
h) Si OPQ RST , entonces STR POQ
( )
i) Si ABC PQR , entonces A Q ( )
2. Analiza y responde. ¿Qué criterio de semejanza
de triángulos puedes utilizar para demostrar que
los triángulos DEF y ABC son semejantes?

AB
C
DE
F
30º
60º 30º 60º
________________________________________
3. Dado A F y B E en la siguiente figura,
halla las medidas respectivas de d y e.
A
E
3
2
5
d
e
4
D
FB
C

4. Si los triángulos de la figura son equiláteros, halla
la medida del B y D .

A
B C
D
E F

5. Dado GHI , construye un triángulo semejante,
sabiendo que la razón de semejanza o constante
de proporcionalidad es 1
—
2
.

G H
I
32 37
19

197
M.4.2.9. Definir e identificar la congruencia de dos triángulos de acuerdo a criterios que consideran las medidas de sus lados y/o
sus ángulos.
6. Resuelve.
Un triángulo tiene como medidas de sus lados 6,4 m,
6 m y 5 m, mientras que otro triángulo tiene como
medidas 3,2 m, 3 m y 2,5 m. ¿Cuál es la razón de
semejanza? ¿Son semejantes estos triángulos?

7. Resuelve. Si ABC DEF, la longitud del lado
EF es el triple del lado BC, ¿qué longitudes tienen
los lados respectivos de DEF ?

A
B
C
D
E
F
5
8
7

8. Dadalasiguientefigura,demuestra: ABC EDC

9. Resuelve. Un triángulo tiene dos lados de
longitud 10 cm y 6 cm y el ángulo comprendido
entre ellos de 100º. Otro triángulo tiene lados de
5 cm y 3 cm y el ángulo entre ellos dos es de 100º.
¿Cuál es la razón de semejanza, si existe?

10. Dibujen dos triángulos semejantes QRO y
DEO , opuestos por el vértice O, con D-O-Q
y E-O-R puntos colineales.
DE = 6 m, OQ = 20 m, DO = 10 m, QR = 12 m,
OR = 14 m, EO = 7 m.
Establezcan las respectivas correspondencias
entre los lados y los ángulos homólogos y
hallen la razón de semejanza entre los dos
triángulos.
11. Los lados del ABC miden respectivamente:
a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm; los lados del DEF
miden respectivamente: d = 8 cm, e = 12 cm,
f = 16 cm. Resuelvan:
a) ¿Losdostriángulossonsemejantes?¿Porqué?
b) Hallen los perímetros de ambos triángulos.
c) Hallen la razón de los perímetros.
d) Encuentren las áreas de los triángulos y
encuentren su razón.
a) Un terreno mide 144 metros cuadrados de
área. Otro terreno semejante es 10 veces
más grande en cuanto a su área. ¿Cuánto
mide el área grande?
b) Una torre proyecta una sombra de 79,42
metros, y un poste que mide 3,05 metros
proyecta una sombra de 5,62 metros.
¿Cuánto mide la torre?
13. Indaga y escribe en tu cuaderno.
¿Esposiblequedostriángulosseansemejantes,
si el primero contiene ángulos que miden
50º y 79º, el segundo, 79º, y el tercero, 51º?
¿Por qué?
A
B C
X
Y Z
A
B C
X
Y Z

198
Problema resuelto
Manuel traza la ruta de su paseo y, observa que
las ciudades de Quito, Ambato y Santo Domingo
formanuntriángulorectángulo.Siladistanciaentre
Santo Domingo y Ambato es 234 km, y el recorrido
total de la ruta es 425 km, ¿cuál es la distancia entre
Quito-Ambato?
Problema propuesto
Al atardecer, un poste proyecta una sombra de
2,5 m de longitud. Cuál es la altura del poste, si la
suma de las distancias que forman el triángulo es
de 9,62 m.
¿Cuál es la distancia entre Quito-Ambato?
Realizar un gráfico.
Realizar un dibujo.

x
y
234 km
Quito
Santo
Domingo
Ambato
Determinar una ecuación y resolverla para y.
1) x + y + 234 = 425 y = 191 – x
Encontrar la medida de un cateto. Aplicar teorema
de Pitágoras
2) x 2 + y 2 = 2342
Sustituir la primera ecuación en la segunda.
x 2 + y 2 = 234 2
x 2 + (191 – x) 2 = 234 2
x 2 + 36 481 – 382x + x 2 = 54 756
2x 2 – 382x – 18 275 = 0
Utilizarlafórmulageneralpararesolverlaecuación.

=
− ± − −
x
(382) ( 382) 4(2)(18 275)
2(2)
2
x1
= 230 km y x2
= – 39 km
Descartamos la respuesta negativa.
4. Responder
La distancia Quito-Ambato es 230 km.
_________________________________________
___ ______________________________________
_________________________________________

4. Responder
_________________________________________
Realizar un gráfico

199
1. Se va a realizar el cerramiento de un parque
municipal de forma rectangular, que tiene de
largo 36 m más que de ancho y cuya diagonal
mide 216 m, ¿cuántos metros de cerramiento se
necesitan?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
3. Se necesita conocer el lado de un cuadrado, del
que la suma de su área más su perímetro es numé-
ricamente igual a 320:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
2. Una quinta mide 50 metros de frente y 80 metros
de fondo. Tiene una huerta rodeada de una acera
para protegerla y ocupan toda la superficie de la
quinta. Además, si el área de la huerta es la misma
que el área de la acera, ¿cuál es el ancho de la acera?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
4. Un poste de alumbrado público proyecta una
sombra a cierta hora del día. Mientras que una
persona de 1,8 m de altura, ubicada a 5,4 m de
dicho faro, proyecta una sombra de 3,6 m a la mis-
ma hora del día. Halla la altura del poste:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________

Proyecto
200
En nuestro país, en los últimos años se ha incrementado el
sedentarismo,sobretodoenpersonasjóvenes.Estosedebe,en
parte, al avance de la tecnología, ya que las personas prefieren
pasar su tiempo frente a videojuegos, celulares o Internet,
antes que realizar una actividad física. Por este motivo, en 2017
Ecuador realizó una importante inversión, que bordea los 100
millones de dólares por año. El Ejecutivo alienta a la población
a dejar el sedentarismo a través de varios ejes que contemplan
la construcción de infraestructura deportiva como los cinco
Centros de Entrenamiento para el Alto Rendimiento (CEAR)
que existen en el país; el apoyo a los deportistas de élite con
el Plan de Alto Rendimiento, y programas como Ecuador
Ejercítate que activan a la ciudadanía. Con esto se busca hacer
que la práctica deportiva sea vital para la formación integral
del ser humano y se pueda generar así una cultura deportiva.
Texto adaptado de: https://lahora.com.ec/noticia/1101291198/cultura-deportiva
Objetivo
Fomentar la cultura deportiva en los jóvenes y despertar su interés, relacionando la matemática con el deporte
en la medición de canchas o rendimiento, entre otras aplicaciones.
Recursos
• Grupo de trabajo
• Espacio para realizar un campeonato deportivo
Actividades
Evaluación
2. De acuerdo con los cálculos anteriores, ¿cuál fue el cálculo más importante qué hiciste?
• Organicen un campeonato deportivo en su escuela.
• Seleccionen los deportes en los que participarán.
• Investiguen acerca de las medidas oficiales de las can-
chas para esos deportes, tipos de marcadores, tiempo
de cada partido, entre otras cosas que se relacionen
con la matemática.
• Realicen el evento.
• Escriban un informe que detalle en qué actividades
usaron la matemática, y la importancia que esta tuvo
para el campeonato deportivo.
Matemática en el deporte

201
1. ¿Cuántos cuadrados hay en cada figura?
2. ¿Cuántos triángulos pueden construirse si los vértices son tomados de los siguientes puntos?
3. ¿Cuál alternativa pertence al cubo dibujado en dos planos?
Descomponer números para sumar y restar
Se elige el número más allto, y se descompone en
un número múltiplo de 10. Por ejemplo:
a) 54 + 26 = 50 + 20 y 4 + 6 = 70 + 10 = 80
b) 73 + 63 = 70 + 60 y 3 + 3 = 136
c) 49 + 25 = 40 + 20 y 9 + 5 = 74
d) 36 + 45 = 30 + 40 y 6 + 5 = 81
e) 110 + 34 = 110 + 30 + 4 =144
Ahora hazlo tú
a) 87 + 55 =
______________________________________
b) 54 + 32 =
______________________________________
c) 125 + 85 =
______________________________________
d) 66 + 67 =
_____________________________________
Cálculo mental
a) b)
?
a) b) c) d)
Pensamiento geométrico

Recuerda y practica
202
1. Determina las características de la función
cuadrática: f(x) = x 2 – 6x + 9.
a) Gráfica ________________________________
b) Cortes con el eje y ______________________
c) Eje de simetría _________________________
d) Vértice _______________________________
e) Dominio y recorrido ____________________
f) Monotonía ____________________________
g) Raíces _______________________________
2. Relacionalascaracterísticasdelafuncióncuadrática
x2 + 6x – 4 con sus valores.
Características Valores
a) Concavidad –4
b) Vértice hacia arriba
c) Eje de simetría (–3, –15)
d) Punto de corte en y –3
3. Escribe las raíces de las ecuaciones utilizando el
método gráfico.
a) − +x x5 62
b) − −x x16 8 362
c) −x 252
d) −x x5 2
4. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas
por factoreo o completando el cuadrado.
a) − +x x10 19 62
b) − −x x24 3 112
c) − −x x7 22
d) + +x x15 22
5. Halla la solución de las ecuaciones cuadráticas
utilizando la fórmula general.
a) − +x x10 20 42
b) − −x x4 5 112
c) − +x x4 22
d) + −x x6 3 12
6. Resuelvelosproblemasconecuacionescuadráticas
por el método que consideres más adecuado.
a) La base de un triángulo es 6 cm más larga
que la altura. Si el área del triángulo es de
300 cm², ¿cuánto miden la base y la altura del
triángulo?
b) La suma de dos números es 17 y la suma
de sus cuadrados es 145. ¿Cuáles son esos
números?
c) Dentro de 7 años, la edad de Martín será la
5 años. ¿Cuál es la edad de Martín?
7. Aplica el teorema de Thales y encuentra el valor
de x. Si las rectas L1, L2 y L3 son paralelas.
8. Determina si los siguientes triángulos son
semejantes. Justifica tu respuesta.
A
x + 3
x - 5
x
3
B
C
B’
C’
A’
17,5cm
7cm
65º 8 cm20 cm
65º
L1
L2
L3

203
9. Realiza las gráficas de 3(x – 2)2
y (x – 2)2
en el mismo
planocartesianoyseñalalasdiferenciasysimilitudes:
10. Analiza la siguiente gráfica y responde:
a) Indica la concavidad:
_____________________________________
b) Las coordenadas del vértice son:
_____________________________________
c) El punto de corte con el eje y:
_____________________________________
d) Las raíces o soluciones de la ecuación son:
_____________________________________
e) Escribe el dominio y rango:
_____________________________________
11. Resuelve las siguientes ecuaciones por
factorización:
a) –3x2
+ 6x = 0
b) 2x2
– 8 = 0
c) 3x2
+27 = 0
d) x2
– 8x + 16 =0
e) x2
– 7x – 18 = 0
12. Resuelve usando la fórmula general.
a) x2
– 7x + 8 = 0
b) (2x – 5)(2x + 5) + 2x = –(x + 5)2
+ 16x
13. Encuentra x con el teorema de Thales
1
1
2
3
–1
–1–2–3–4–5 0
5 cm
3,4 cm 3,9 cm
x

204
Tema: Los semáforos
Ecuaciones de segundo grado
Diariamente vemos semáforos en nuestros trayec-
tos. Los semáforos ayudan a organizar el tráfico ve-
hicular y la circulación de los peatones en el lugar
que vivimos. Se puede relacionar la función de los
semáforos con las ecuaciones de segundo grado,
como lo verás en el siguiente problema.
Se realizó una simulación del tiempo de frenado de
un vehículo y se obtuvo la siguiente ecuación: x = 6t2
– 17t, donde x es la distancia que recorre el vehículo y t
es el tiempo de frenado.
Una persona que viene en su vehículo ve que el semáforo se pone en rojo 14 m antes de llegar a él e inmedia-
tamente pisa el freno. ¿Durante qué tiempo debe mantener frenado al carro para no pasarse el semáforo?
Reflexiona
• ¿Por qué crees que los tiempos de espera en cada semáforo son diferentes?
________________________________________________________________________________________
Se debe mantener por 3,5 segundos.
• Si, en lugar de reaccionar inmediatamente, la persona que conduce demora su reacción medio segundo
y mantiene frenado durante el mismo tiempo, ¿cuál es la distancia que recorre? ¿Avanza a parar antes del
semáforo?
• Una persona va a cruzar una avenida de 30 m de ancho. Sabe que el semáforo peatonal le da 12 segundos
y que por estudios realizados se utiliza la siguiente ecuación x = t2
– 7t, donde x es la distancia que cruza el
peatón y t es el tiempo empleado en cruzar. ¿Alcanza a cruzar la avenida en 12 seg? ¿Qué tiempo empleó?

205
Tema: Altura de los árboles
Triángulos semejantes
Uno de los métodos para medir la altura de los árbo-
les, que evita subirse a ellos, es medir la proyección
de la sombra en una determinada hora del día. Se
utiliza una varilla previamente medida y, a la misma
hora, se mide la proyección de su sombra. Con la
ayuda de las propiedades de los triángulos seme-
jantes, se elabora un gráfico y se realizan los cálculos.
Una varilla mide 1,5 m y proyecta una sombra de 2,15 m a las 16h00. A la misma hora se mide la sombra de un
árbol y se obtiene un valor de 24 m. Se realiza el esquema y los cálculos necesarios para calcular la altura del
árbol. ¿Cuál es el valor de esta altura?
Reflexiona
• ¿En qué otras situaciones cotidianas se utilizan la semejanza de triángulos?
________________________________________________________________________________________
La altura del árbol es de 14 m.
• ¿Crees que si se disminuye el tamaño de la varilla, disminuye la altura del árbol? Comprueba con estos da-
tos: la varilla mide 1 m y su sombra mide 1,43 m. La medición se realiza a la misma hora.
• A cierta hora del día, dos árboles separados entre
sí 5 m proyectan una sombra común que, me-
dida respecto del árbol más alejado, es de 15 m.
Con una varilla de 1,2 m de longitud, a esa misma
hora, produce una sombra de 75 cm. Calcular la
altura de los árboles.
d
h
H
15 m
5 m75 cm
B A

206
1. El área del rectángulo ABCD es 10 cm2
. Los puntos
M y N son los puntos medios de los lados AD y BC.
¿Cuál es el área del cuadrilátero MBND?
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
2. El área de cada círculo de la figura es 1 cm2
. El área
común a dos círculos superpuestos es (1/8) cm2
.
¿Cuál es el área de la región cubierta por los cinco
círculos?
3. La figura muestra el triángulo ABC con la altura
BH y la bisectriz AD. El ángulo obtuso entre BH
y AD es 4 veces el ángulo DAB. ¿Cuánto mide el
ángulo CAB?
D C
M N
A B
A
C B
D
H
α α
4α

207
1. Lee y analiza.
Observa la gráfica
de la ecuación y
determina las raíces
de la ecuación:
a) x = 6 c) x = 0
b) x = 2 y x = 3 d) No tiene solución
2. Lee y analiza.
Escribe el intervalo del rango de la gráfica anterior:
a) [–0,5; ∞) c) [–0,25; ∞)
b) (–0,5; ∞) d) (–0,25; ∞)
3. Lee y analiza.
De la ecuación x2
– 5x + 6 = 0, indica las coordena-
das del vértice:
a) (–2,5; 0,25) c) (2,5; –0,25)
b) (2,5; –0,5) d) (–2,5; 0,5)
4. Lee y analiza.
Encuentra por factorización las raíces de la
ecuación: x2
– 8x + 12 = 0
a) x1
= 6; x2
= 2 c) x1
= –6; x2
= –2
b) x1
= 4; x2
= 3 d) x1
= –4; x2
= –3
5. Lee y analiza.
El área de un rombo es 24 cm2
, encuentra el ta-
maño de su lado. La mitad de la diagonal mayor
es x, y la mitad de la diagonal menor es x – 1:
a) 3,31 cm c) 5 cm
b) 10 cm d) 2,64 cm
6. Lee y analiza.
Al resolver el problema anterior, se calculó las
raíces de una ecuación cuadrática y fueron dos.
¿Qué raíz no se tomó en cuenta y por qué?
a) x = 4 porque no se verifica la ecuación
c) x = –3 porque no se verifica la ecuación
b) x = 4 porque no es un valor real
d) x = –3 porque no es un valor real
2
2
4
6
8
4 6

208
7. Lee y analiza.
Calcula la longitud de la base x de un triángulo
si sabes que su área es de 16 cm2
, y que la altura
mide 4 cm menos que la base:
a) La base mide 8 cm
b) La base mide 4 cm
c) La base mide 16 cm
d) La base mide 2 cm
8. Lee y analiza.
Determina el valor de x con la utilización del teo-
rema de Thales:
a) x1
= –5 x2
= –4
b) x1
= 4 x2
= –3
c) x1
= 2 x2
= –5
d) x1
= 5 x2
= 4
9. Lee y analiza.
Encuentra el valor de x:
a) 3 c) 9
b) 6 d) 12
10. Lee y analiza.
Estos dos triángulos son semejantes, encuentra el
valor de AB, si PQ = 25, QR = 15 y BC = 5:
a) 5 c) 3
b) 4 d) 6
x
10
x + 1
x – 2
x
3
8 16
B
A C P
α αθθ
R
Q

209
________________________________________
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Instrucciones
Correcto Incorrecto
1) A B C D
2) A B C D
3) A B C D
4) A B C D
5) A B C D
6) A B C D
7) A B C D
8) A B C D
9) A B C D
10) A B C D
11) A B C D
12) A B C D
13) A B C D
11. Halla x con la aplicación del teorema de Thales:
a) 54 c) 30
b) 40 d) 45
12. Lee y analiza.
Calcula x:
a) x = 6 c) x = 4
b) x = 8 d) x = 10
13. Lee y analiza.
Calcula la base mayor x de un trapecio de 130 m2
de área, si conoces que la otra base y la altura mi-
den, respectivamente, 2 cm y 4 cm menos que ella.
a) La base mayor mide 14
b) La base mayor mide –9
c) La base mayor mide 9
d) No tiene solución
40
24
50
X
4
α
α
16
X
X

210
I.M.4.3.4. Utiliza las TIC para graficar funciones lineales, cuadráticas
y potencia (n = 1, 2, 3), y para analizar las características geométricas
de la función lineal (pendiente e intersecciones), la función potencia
(monotonía) y la función cuadrática (dominio, recorrido, monotonía,
máximos, mínimo, paridad); reconoce cuándo un problema puede
ser modelado utilizando una función lineal o cuadrática, lo resuelve y
plantea otros similares. (J.1., I.4.)
I.M.4.5.1.Construyefigurassimétricas;resuelveproblemasgeométricos
que impliquen el cálculo de longitudes con la aplicación de conceptos
de semejanza y la aplicación del teorema de Thales; justifica procesos
aplicando los conceptos de congruencia y semejanza. (I.1., I.4.)
1. Relaciona cada característica de la función
f(x) = –5x 2 – x – 2 con su respectiva respuesta.
a) Recorrido x = –0,1
b) Vértice (– ∞, +∞)
c) Eje de simetría [–1,95; – ∞)
d) Dominio (–0,1; –1,95)
Escribe su monotonía:
________________________________________
2. Completalatablaconlostérminosdelaecuación.

Función a b c
f(x) = –3x 2 + 5x – 19
y = 3x 2 + 4
g(x) = –x 2 + 32x –12
= − −m x x x( )
1
3
4
5
22
3. Resuelve las ecuaciones cuadráticas utilizando el
método gráfico.
a) x 2 – 6x
b) –x 2 – 8x
c) –x 2 – 5x
4. Soluciona las ecuaciones cuadráticas utilizando
cualquier método.
a) 625x 2 – 25x = 0
b) 3x 2 – x –2 = 0
c) –7x 2 + 17x + 12 = 0
d) 2x 2 + 9x – 4 = 0
5. Resuelvelossiguientesproblemasconecuaciones
cuadráticas.
a) El área de un terreno rectangular mide
400 m2. Si la longitud es 3 m más que el ancho,
¿cuáles son las dimensiones del terreno?

b) La suma de los cuadrados de dos números
consecutivos es 85. ¿Cuáles son esos
números?
c) Dentro de 15 años, la edad de Angélica será la
5 años. ¿Cuál es la edad actual de Angélica?
6. Aplica el teorema de Thales y encuentra el valor
de x. Si las rectas L1, L2 y L3 son paralelas.
a)
b)
C F
7 cm
8 cm
30 cm
?
E
D
B
A
C
x + 3
8
8
2x – 1
B
A
C’
B’
A’
______________________________________
______________________________________
______________________________________
L1
L1
L2
L2
L3
L3

I.ECA.X.X.X. Xxxx I.ECA.X.X.X. Xxxx
211
Coevaluación
Metacognición
Dada la función f(x) = –x 2 – 6x + 9, determinen.
a) Grafica
b) Cortes con el eje y
c) Eje de simetría
d) Vértice
e) Dominio y recorrido
f) Monotonía
g) Raíces
11. Resuelvanlasecuacionescuadráticasempleando
el método más adecuado.
a) 3x 2 – 5x + 6 c) 2x 2 – 6x – 3
b) 4x 2 + 8x – 25 d) 4x 2 – 6x + 24
12. Determinenelvalordexyy,aplicandoelteorema
de Thales. Si las rectas L1 y L2 son paralelas.
Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta
correcta.
7. Seleccionalarespuestacorrectasobreeldominio
y recorrido de la función f(x) = –2x 2 + 4x – 1.
a) Dom: (–∞, +∞) Rec : [1, +∞)
b) Dom: (–∞, +∞) Rec: [–1, +∞)
c) Dom: (–∞, +∞) Rec: [1, –∞)
d) Dom: (–∞, +∞) Rec: [–1, –∞)
a) Una función cuadrática es estrictamente
creciente o decreciente. ( )
b) Cuandoelcoeficienteaesnegativo,lafunción
es cóncava hacia abajo. ( )
c) Los cortes con el eje x de una parábola son las
soluciones de una ecuación cuadrática. ( )
d) Una función que no corta el eje de las x tiene
una única solución. ( )
9. Selecciona las raíces de la ecuación cuadrática.
x 2 − 2x – 8 = 0
a) x1
= 4, x2
= –2 c) x1
= – 4, x2
= –2
b) x1
= 4, x2
= 2 d) x1
= – 4, x2
= 2
Autoevaluación
Contenidos
Determino las características: dominio, recorrido, monotonía, cortes de
eje x y y, concavidad de una función cuadrática.
Encuentro las raíces mediante factoreo, completación de cuadrados
o por la fórmula general.
Determino segmentos y triángulos semejantes aplicando el teorema
de Thales en situaciones cotidianas.
8
3
4 cm
13
x
y
L1 L2

unidad
6
212
Aplicaciones de las ecuaciones
de segundo grado y eventos
Arquitectura y ecuaciones de segundo grado
A lo largo de la historia, ha surgido la necesidad del ser humano de construir un lugar donde refugiarse.
Por esta razón, a través del tiempo, han existido diferentes tendencias arquitectónicas, y las ecuaciones de
segundo grado siempre han estado ligadas a la arquitectura.
Es así que mediante el cálculo se puede determinar la estructura y forma de una obra arquitectónica. Por
ejemplo: se pueden construir diferentes tipos de puentes colgantes, ya que el diseño en forma de parábola
permite distribuir uniformemente el peso al que son sometidos los cables. Otra aplicación que han tenido las
ecuaciones de segundo grado es en el desarrollo de la creatividad e inventiva en lo que respecta a diseños
vanguardistas que se observan en la imagen.
(Fuente: http://eprints.ucm.es/29760/1/160.pdf)

213
Objetivos:
O.M.4.3. Representar y resolver de manera gráfica (utilizando las TIC) y ana-
lítica ecuaciones e inecuaciones con una variable; ecuaciones de segundo
grado con una variable; y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos in-
cógnitas, para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.
O.M.4.5. Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las relacio-
nes trigonométricas (utilizando las TIC) y las fórmulas usadas en el cálculo
de perímetros, áreas, volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras geométri-
cas, con el propósito de resolver problemas. Argumentar con lógica los
procesos empleados para alcanzar un mejor entendimiento del entorno
cultural, social y natural; y fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de
los bienes patrimoniales del país.
O.M.4.7. Representar, analizar e interpretar datos estadísticos y situaciones
probabilísticas con el uso de las TIC, para conocer y comprender mejor el
entorno social y económico, con pensamiento crítico y reflexivo.
Álgebra
y funciones
Geometría
y medida
Estadística
y probabilidad
• Propiedades de las raíces de la
ecuación de segundo grado
• Problemas con ecuaciones de
segundo grado
• Relaciones trigonométricas
• Aplicaciones de las relaciones
trigonométricas
• Operaciones entre eventos
• Leyes de De Morgan en el
cálculo de probabilidades
• ¿Qué otras aplicaciones de la parábola en la arquitectura hay?
• ¿En qué construcciones de tu ciudad has identificado parábolas?
• ¿Cómo ayuda el uso de la matemática en el sector de la construcción?

Indaga. La aceleración centrípeta, ¿de qué manera se relaciona con la velocidad?
__________________________________________________________________
214
Propiedades de las raíces de la
ecuación de segundo grado
Tema 1
La suma de las raíces o soluciones de la
ecuación cuadrática x¹
+ x²
es:
+ =
− + −
+
− − −
+ =
− + − − − −
+ =
−
+ = −
x x
b b ac
a
b b ac
a
x x
b b ac b b ac
a
x x
b
a
x x
b
a
4
2
4
2
4 4
2
2
2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
Comparamos con la ecuación ax² + bx + c = 0.
Dividimos para a:
+ + =x
b
a
x
c
a
02
La suma S + = −x x
b
a
1 2 corresponde al
coeficiente de x con signo contrario.
El producto de las raíces o soluciones de la
ecuación cuadrática x¹
∙ x²
es:
x1 x2 =
b+ b2
4ac
2a
b b2
4ac
2a
x1 x2 =
b( )2
b2
4ac( )
2
4a2
x1 x2 =
b2
b2
+ 4ac
4a2
x1 x2 =
4ac
4a2
=
c
a
Comparamos con la ecuación ax² + bx +c = 0.
Dividimos para a:
+ + =x
b
a
x
c
a
02
El producto P ⋅ =x x
c
a
1 2 corresponde al
término independiente.
Antonio quiere determinar, sin resolver, cuál es el valor de la suma y el producto de
las raíces de esta ecuación de segundo grado:
− − =x x3 7 6 02
Sabemos que toda ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 tiene como soluciones o raíces:
=
− + −
=
− − −
x
b b ac
a
b b ac
a
4
2
y x
4
2
1
2
2
2
Los científicos suelen enunciar
leyes mediante ecuaciones.
Existen otras
propiedades.
• Suma de los cuadra-
dos de las raíces.
+ =
−
x x
b ac
a
4
1
2
2
2
2
2
¿Sabías qué?
Cuando se conocen la suma y el producto de las raíces de la ecuación de segundo
grado, la ecuación puede escribirse como: x ² – Sx + P = 0.
Ejemplo1
Encontrar la suma y el producto de las raíces de la ecuación 3x ² – 7x – 6 = 0 sin
resolverla.
Solución
Determinamos los coeficientes de la ecuación 3x ² – 7x – 6 = 0.
a = 3, b = –7 y c = –6
Obtenemos la suma: = − = −
−
=S
b
a
7
3
7
3
Obtenemos el producto: = = − = −P
c
a
6
3
2
enlace para conocer
más de este tema.
bit.ly/2yIHKTq
Enlace web

215
Análisis del discriminante
La ecuación de segundo grado ax ² + bx + c = 0 tiene dos soluciones:
=
− + −
=
− − −
x
b b ac
a
b b ac
a
4
2
y x
4
2
1
2
2
2
La cantidad subradical b ² – 4ac se denomina discriminante, porque sirve para
discriminar (discernir) entre los tipos de soluciones.
Existen tres posibles casos:
La identidad de
Legendre se aplica a las
raíces:
¿Sabías qué?
( ) ( )+ − − = ⋅x x x x x x41 2
2
1 2
2
1 2
( ) ( )+ − − = ⋅x x x x x x41 2
2
1 2
2
1 2
Discriminante: b 2 – 4ac > 0
Discriminante positivo
Dos raíces reales diferentes
Discriminante: b 2 – 4ac = 0
Discriminante nulo
Raíces reales iguales
Discriminante: b 2 – 4ac < 0
Discriminante negativo
No hay raíces reales
Ejemplo: x 2
+ x – 6 = 0
Analizamos el discriminante.
a = 1, b = 1, c = –6
b 2
– 4ac > 0
12
– 4(1)(–6) > 0
1 + 24 > 0
25 > 0
diferentes.
Graficamos la función cuadrática:
y = x 2
+ x – 6
Los puntos (–3, 0) y (2, 0) son los cor-
tes de la parábola con el eje x, y son
las soluciones de la ecuación:
x1
= –3 y x2
= 2
Ejemplo: x 2
– 6x + 9 = 0
a = 1, b = –6, c = 9
b 2
– 4ac = 0
(–6)2
– 4(1)(9) = 0
36 – 36 = 0
0 = 0
La ecuación tiene única solución,
las dos raíces son reales e iguales.
y = x 2
– 6x + 9
El punto de corte de la parábola con
el eje x es (3, 0), que es el vértice de la
parábola. La ecuación tiene dos raíces
reales iguales:
x1
= x2
= 3
Ejemplo: x 2
– 3x + 5 = 0
a = 1, b = –3, c = 5
b 2
– 4ac < 0
(–3)2
– 4(1)(5) < 0
9 – 20 < 0
–11 < 0
La ecuación no tiene solución real.
y = x 2
– 3x + 5
La parábola no corta el eje de las x,
por lo tanto, la ecuación no tiene
soluciones reales.
0
0 0
x
y
y y
x
y = x2
+ x – 6
y = x2
– 6x + 9 y = x2
– 3x + 5
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4
–1
–1–2–3–4
–2
–3
–4
–5
–6
1 1
1 12 23 34 45 5
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
–1 –1
–1 –1–2 –2
–2 –2

Taller
216
1. Averigua, sin resolver las ecuaciones, si los pares de
números en cada caso son raíces de la ecuación.
a) x x x x12 0; 3, 42
1 2+ − = = =−

b) − + = = =x x x x6 5 0; 1, 52
1 2

c) + − = = = −x x x x2 4 1 0; 2, 32
1 2

d) − − = = − =x x x x5 6 8 0;
4
5
, 22
1 2

e) − + = = − = −x x x x6 9 0; 7, 12
1 2

2. Construye las ecuaciones de segundo grado
dadas sus raíces en cada literal.
a) 2 y 4

b) 3 y – 4

c)
1
5
y
2
5
−

d) 0 y – 5

3. Halla los números cuya suma S y producto P se
dan a continuación. Observa el ejemplo.
Ejemplo: S = 4, P = –60.
Formamos la ecuación de segundo grado:
x² – 4x – 60 = 0
Buscamos la solución:
(x – 10)(x + 6) = 0
x1
= 10; x2
= –6
La suma es 4 y el producto –60.
a) = =s P
15
2
,
7
2

b) S = 18, P = 72

c) S = –12, P = –45

d) S = 20, P = –18

4. Resuelve las siguientes situaciones.
a) La ecuación 3x² – 2x + k = 0 tiene como
primera raíz –4. Halla la otra raíz y determina
el valor de k.

b) Determina el valor de k en la ecuación
9x² + kx + 1 = 0, para que las raíces sean igua-
les y opuestas.

217
M.4.1.60. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado con una incógnita para resolver problemas.
5. Indica, sin dibujarlas, en cuántos puntos cortan al
eje de abscisas las siguientes parábolas:
a) y = x ² – 7x + 3

b) y = 3x ² – 5x + 4

c) y = 2x ² – 8x – 8

d) y = –2x ² – x + 3

6. Analiza cada gráfica y determina el tipo de raíces
que tiene la función cuadrática en cada caso.
a)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
f(x)
_____________________________________
b)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
f(x)
_____________________________________
c) f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
_____________________________________
7. Construyan las ecuaciones de segundo grado
dadas sus raíces en cada literal.
a) 8 y 4
b) 10 y – 2
c) 6 y – 2
d) –4 y 12
8. Observen las gráficas y determinen el tipo de
raíces que tiene la función.
a)
___________________________________
b)
___________________________________
a) Una raíz de la ecuación 2x ² – kx + 48 = 0 es
6. ¿Cuál es la otra raíz y cuál es el valor de k?
b) Determinar k en la ecuación x ² – 16x + k = 0,
sabiendo que sus raíces se diferencian en 4
unidades.
10. Resuelve la siguiente situación.
Mateo y Angélica solucionan un problema
que se reduce a una ecuación de segundo
grado. Mateo comete un error en el término
independiente al escribir la ecuación de
segundo grado, y dice que las soluciones son
8 y 2. Angélica, en cambio, comete un error
en el coeficiente del término independiente y
dice que las soluciones son –9 y –1. ¿Cuál es la
ecuación correcta?
f(x)
x
2
4
2–2
–2
–4
–4 4
f(x)
x

218
Problemas con ecuaciones
de segundo grado
Tema 2
Un equipo de estudiantes averigua que un puente colgante está sostenido por un
cable en forma de arco invertido, formado por numerosos cables de acero de los
que se suspende el tablero del puente, mediante tirantes verticales.
El equipo de estudiantes decide realizar una investigación de campo y acude a
uno de los puentes colgantes, situado en la provincia de Manabí. Encuentran que
la longitud del puente es de 60 m, los cables tensores se encuentran separados
entre sí con una distancia constante. Registran las observaciones que han hecho
en la siguiente tabla. ¿Qué modelo matemático representan los datos?
Modelo matemático
Graficamos los datos obtenidos para
determinar la forma geométrica que toma.
La forma geométrica que mejor aproxima los
datos es la de una parábola. Para determinar la
ecuación de dicha curva, haremos el siguiente
análisis.
La forma general de la función cuadrática es:
y = ax² + bx + c. Tomamos tres puntos de la tabla: (30, 2); (38; 2,30) y (22; 2,30). Cada
punto es reemplazado en la función cuadrática para obtener un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas. Así:
(30, 2) 2 = 30²a + 30b + c;
2 = 900a + 30b + c; primera ecuación.
(38; 2,30) 2,3 = 38²a + 38b + c
2,3 = 1 444a + 38b + c; segunda ecuación.
(22; 2,3) 2,3 = 22²a + 22b + c
2,3 = 484a + 22b + c; tercera ecuación.
Resolvemos el sistema de tres ecuaciones lineales y obtenemos los siguientes
valores:
a = 0,004 6; b = –0,281; c = 6,26
Conclusiones matemáticas
Nuestro modelo está representado analíticamente por la función cuadrática:
y = 0,004 6x ² – 0,281x + 6,26
La solución gráfica es la que se muestra a continuación.
Indaga. ¿Qué es un puente colgante?
__________________________________________________________________
Saberes previos
Puente colgante.
El puente colgante más
largo del mundo es el
puente Akashi Kaikyō,
conocido como el
"Puente de la Perla". Está
en Japón y tiene una
longitud de 3 911 m de
largo.
¿Sabías qué?
0
1,5
2
2,5
1
0,5
10 20 30 40
Longitud del puente (m)Alturadelcabletensor(m)
50 60
Longitud
del
puente
(m)
Altura
del cable
tensor
(m)
30 2
34 2,15
38 2,30
42 2,45
26 2,15
22 2,30
18 2,45

219
Solución gráfica del modelo cuadrático
Representamos gráficamente la función: y = 0,004 6 x ² – 0,281x + 6,26.
Nuestro modelo está representado gráficamente por una función cuadrática.
y
x
0
6
8
10
4
2
5–2 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Alturadelcabletensor(m)
Longitud del puente (m)
Predicciones en el mundo real. El arco que sostiene a un puente colgante tiene
la forma de una parábola.
Un modelo es una descripción mediante una ecuación o una función de un
fenómeno real.
Un modelo es cuadrático cuando lo podemos representar mediante una función
cuadrática, cuya gráfica aproxime mejor a los datos.
Analicemos otro problema.
Problema del mundo real
Un terreno de 400 m de longitud tiene lados paralelos y cabeceras semicirculares,
como indica la figura adjunta. ¿Cuál es el modelo matemático que expresa la
relación entre el área encerrada por el terreno en función del diamétro de los
semicírculos?
Modelo matemático
Determinamos el modelo matemático. Para ello, calculamos el área total del terreno:
El proceso de un
modelo matemático es:
¿Sabías qué?
A= b d +
d
2
2
A= b d +
d2
4
Ahora analizamos el perímetro del
terreno.
P = 2b+ d;400 = 2b+ d
Despejamos b en función de d.
π
=
−
b
d400
2
Reemplazamos la expresión anterior
en la ecuación del área obtenida
anteriormente.
A= b d +
d2
4
A=
400 d
2
d +
d2
4
A=
800d 2 d2
+ d2
4
A= 200d +
1
4
d2
d
d
b
2
El modelo matemático que relaciona el área del terreno con el diámetro de los
semicírculos es el de una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola.
formular
resolver
interpretar
Problema
del mundo real
Modelo
matemático
Conclusiones
matemáticas
Predicciones en
el mundo real

Taller
220
1. Resuelve la siguiente situación:
El número de teléfonos celulares (en miles),
vendidos por una empresa entre los años 2007
y 2011, se representa en la siguiente tabla:

Núm.
(en miles)
20 35 50 70 65
años 2007 2008 2009 2010 2011
a) Realiza una gráfica del problema con la
información de la tabla.

b) Escribeelmodelomatemáticoquedetermina
el problema.

c) Establece conclusiones.
_____________________________________
2. Resuelve los siguientes problemas:
a) El lado de un rectángulo mide el doble que
el otro lado. Si al mayor se le aumenta en 2
unidades y al menor se le disminuye en 2 uni-
dades, el rectángulo obtenido tiene 4 m² de
área más que la mitad del primer rectángulo.
¿Cuáles son las dimensiones?

b) Paula quiere el marco de un espejo con un lis-
tón de madera de 2 m, sin que le sobre ni le
falte nada. Sabiendo que el espejo es rectan-
gular y que tiene una superficie de 24 dm²,
¿de qué medida son los trozos que debe
cortar?

c) Juan tiene un alambre de 17 m. ¿Cómo debe
doblarlo para que forme un ángulo recto de
modo que sus extremos queden a 9 m?

d) Una piedra cae, en caída libre, desde una altura
de 50 m, partiendo del reposo. ¿Qué tiempo
tarda en llegar al suelo?

e) Una región rectangular tiene un perímetro
de 300 cm. Expresa el área de la región en
función de la longitud de uno de sus lados.

3. Resuelve el problema con guía.
Los estudiantes de décimo de EGB quieren ela-
borar una cartelera rectangular de corcho para el
aula. En ella van a colocar fotografías, recordato-
rios, mensajes, entre otros materiales. Disponen
de algunas piezas de corcho de forma cuadrada.
Cada lado mide 10 cm. También disponen de una
tira de madera de 180 cm para el marco.
¿Cuántas piezas de corcho necesitan para que
la cartelera sea la más grande que pueda ser
enmarcada con la tira de madera?

221
M.4.1.61. Resolver (con apoyo de las TIC) y plantear problemas con enunciados que involucren modelos con funciones
cuadráticas, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
a) ¿Qué posibles dimensiones puede tener la
cartelera? Para averiguarlo, completa la tabla
en tu cuaderno.

ancho
(m)
largo
(m)
perímetro
(cm)
área
(cm 2)
10 80 180 800
b) Grafica los pares ordenados determinados
en la tabla anterior (ancho y área).

c) Al unir los puntos anteriores, ¿qué forma tiene
la gráfica?
_____________________________________
d) ¿Cuál es la solución del problema?
_____________________________________
e) Grafica los pares ordenados formados por el
ancho y el largo que se encuentra en la tabla.

f) ¿Qué gráfica obtienes?
_____________________________________
g) ¿Cuál es la ecuación que modela la gráfica del
ancho y el área?
_____________________________________
Trabajo colaborativo Actividad indagatoria
dimensiones del terreno, de tal manera
que el área por cercar sea máxima?
b) Este problema ha sido tomado del libro de
matemática chino conocido como Chui-
chang suan-shu. “Un vástago de bambú de
10 pies de largo se rompe de forma tal que
su punta toca la tierra a 3 pies de la base”.
¿A qué altura se rompió el bambú?
c) Una ventana tiene la forma de un rectángulo
coronado por un semicírculo. Si el perímetro
de la ventana es de 9 m, ¿cuál es el modelo
matemático que expresa el área en función
del ancho de la ventana?
5. Resuelvan la siguiente situación.
La altura de un cohete modelo particu-
lar está descrita por la función cuadrática
h t t t( ) 0,5 9,89 4,9 2,52
( )= − + + , donde t repre-
senta el número de segundos después del
despegue. ¿Qué puedes aprender acerca de la
altura del cohete de esta ecuación y otras for-
mas de esta ecuación?
a) Qué representan los coeficientes 9,8; 4,9
y 2,5?
b) ¿Cuáles son las unidades usadas para
describir la altura del cohete?
c) ¿Cuál es la forma de vértice de la ecuación?
d) ¿Qué puedes aprender de la forma del
vértice?
e) ¿A qué tiempos la altura es cero?
f) ¿Cuándo el cohete alcanza el nivel del
suelo?
a) El grupo de estudiantes de primero de
BGU, para poder ahorrar alambre, decide
utilizar una de las paredes del edificio como
lado del terreno. De esta forma, solamente
necesitan cerrar con 100 m de alambre tres
lados del terreno. ¿Cuáles serán las nuevas
Plantea un problema en el cual, para su reso-
lución, debas tomar medidas y luego aplicar las
ecuaciones de segundo grado.

222
Indaga. ¿Qué es una razón trigonométrica?
__________________________________________________________________
Relaciones trigonométricasTema 3
Nombre Razón trigonométrica Definición En la figura
Seno αSen
αacateto opuesto
hipotenusa
a
c
Coseno αCos
αacateto adyacente
hipotenusa
b
c
Tangente αTan
α
α
a
a
cateto opuesto
cateto adyacente
a
b
Cosecante αCsc
αa
hipotenusa
cateto opuesto
c
a
Secante αSec αa
hipotenusa
cateto adyacente
c
b
Cotangente αCot
α
α
a
a
cateto adyacente
cateto opuesto
b
a
Observemos los siguientes triángulos rectángulos, que a su vez tienen un ángulo
agudo congruente.
Los triángulos anteriores son semejantes por el criterio de semejanza ángulo-
ángulo. Si se conoce uno de los ángulos agudos del triángulo, la razón entre dos
lados del triángulo es constante.
Hace más de 5 000 años, los matemáticos egipcios conocían la relación entre
el valor de las razones de las longitudes de los lados y la medida de los ángulos
agudos en un triángulo rectángulo. Esos valores eran útiles en la determinación de
distancias imposibles de medir directamente, y por ello se establecieron razones
trigonométricas.
Razones trigonométricas
El valor de cada razón trigonométrica es independiente de la medida de los
lados del triángulo rectángulo, porque solo depende del valor del ángulo agudo
empleado.
En todo triángulo
rectángulo los catetos
son los lados que
forman el ángulo recto,
y la hipotenusa es el
lado más grande del
triángulo.
α
(α)
(α)
B
a
b
c
A C
Hipotenusa
Cateto
adyacente
Cateto
opuesto
90º
El cateto adyacente es
aquel que forma un
lado del ángulo agudo
que se está empleando.
Recuerda que...
Triángulo rectángulo.

223
Resolución de triángulos rectángulos
Ejemplo 1
Escribir las razones trigonométricas del triángulo rectángulo ABC.
Solución

Sen =
7
15
; Cos =
8
15
; Tan =
7
8
Csc =
15
7
; Sec =
15
8
; Cot =
8
7
Ejemplo 2
Resolver el siguiente triángulo rectángulo y escribir todas las razones trigonomé-
tricas.
Solución
Resolver el triángulo rectángulo consiste en hallar
las medidas de todos los lados y ángulos.
a y b son los catetos, y c es la hipotenusa.
Primero: hallamos la medida de la hipotenusa.
° =Sen
c
30
5
,
, despejando la incógnita c, tenemos:
c
Sen
cm
5
30
10=
°
=
Segundo: encontramos la medida del lado b, para lo cual aplicaremos el teorema
de Pitágoras.
= −b c a2 2
Reemplazando los datos:
b cm10 5 8,662 2
= − =
Tercero: determinamos la medida del ángulo B. Como aprendimos en temas
anteriores, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, por lo tanto, si
conocemos el valor de dos ángulos, podremos, por sumatoria, obtener el valor del
tercer ángulo.
    + + = ° +A B C B180 ; 30° + 90°=180° B=60°
Cuarto: escribimos las razones trigonométricas con relación al ángulo A.
Sen =
5
10
; Cos =
8,66
10
; Tan =
5
8,66
Csc =
10
5
; Sec =
10
8,66
; Cot =
8,66
5
B
A C
a = 7 cmc = 15 cm
b = 8 cm
α
B
AC
a = 5 cm
c
b
30º
Cuando en un grupo
haya personas con
discapacidad, es
importante coordinar
tiempos que resulten
cómodos y adecuados
para la realización
o exposición de los
trabajos.
DFA
Para encontrar el
valor de una razón
trigonométrica, se
utilizan las teclas: sen,
cos, tan. Por ejemplo:
Para hallar el seno de
30° se ingresa: Sen30.
Tecla shift,
segunda
función
Teclas de razones
trigonométricas
Uso de la
calculadora

Taller
224
1. Completa con las razones trigonométricas de
cada triángulo rectángulo dado. Encuentra el
lado faltante aplicando el teorema de Pitágoras.
a) B
A C
24
25
12
º

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
25 25
25 25
25 25
b)
48 m
52 m
38º

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
38 38
38 38
38 38
c)
α = 90
55
100 m
85 m
a
β
º
º

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
55 55
55 55
55 55
2. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si la
a) Las razones trigonométricas se realizan con
base en un ángulo obtuso. ( )
b) El coseno de un ángulo es igual a la hipote-
nusa sobre el cateto adyacente. ( )
3. Resuelve los triángulos rectángulos encontrando
todas las medidas del triángulo y escribe sus
razones trigonométricas. Ve el ejemplo 2.
a)
a = 32,5
67
A
b
C
c
B
º


225
M.4.2.16. Definir e identificar las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver
numéricamente triángulos rectángulos.

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
67 67
67 67
67 67
b)

a
C
B
A
c
b = 122 m
71º

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
71 71
71 71
71 71
c)
Z
Y
X
x = 26 m
15º

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
15 15
15 15
15 15
5. Encuentren las medidas de los lados que
faltan en cada triángulo rectángulo.
a)

b)
c)
6. Resuelvan los problemas.
a) Cuál es la altura de un triángulo rectángulo
que mide 12 cm de base y el ángulo que
forma la hipotenusa con su base es 40°.
b) Una niña vuela una cometa a 65 m de la
sombra proyectada perpendicularmente
de dicha cometa, y el ángulo formado por
la longitud del hilo y el suelo es 65°. ¿Cuál
es la longitud del hilo de la cometa?
7. Indaga y plantea.
Investiga dos aplicaciones en la vida cotidiana
de las razones trigonométricas y plantea pro-
blemas con esos datos.
4. Resuelve el siguiente problema.
Una persona se encuentra a 5 m de un árbol. Si
observa a la punta del árbol con un ángulo de 52°,
¿cuál es la altura del árbol? ¿Cuál es la distancia de
la punta del árbol a la persona?

c
A
B60
a = 54 cmC
º
90
27º
a
a = 232 cmc
º
b = 333 cm
35
A
B
C
º

226
Aplicaciones de las
relaciones trigonométricas
Tema 4
Una persona viaja a Ecuador a conocer el centro histórico de Quito, declarado
Patrimonio Cultural de la Humanidad por la UNESCO. Entre los muchos sitios que
visita, se encuentra la Basílica delVoto Nacional, que tiene una altura de 115m hasta
su cúpula más alta. Si desde ahí se encuentra otro turista observando al primer
viajero con un ángulo de 60°, ¿cuál es la distancia entre las dos personas? ¿Cuál es
la distancia entre el viajero que se encuentra en el suelo al pie de la Basílica? ¿Cuál
es el ángulo con el que el primer viajero observa al segundo?
Para resolver este problema, es necesario dibujar la situación, como se muestra en
la ilustración.
Primero: identifiquemos los datos e incógnitas del problema.
Podemos observar que se forma un triángulo rectángulo, y se conoce un ángulo
agudo y el cateto b, siendo las incógnitas la hipotenusa y el cateto a.
Segundo: utilizaremos la razón trigonométrica coseno para determinar la distancia
entre ambos turistas.
Cos
b
c
Cos
c
60 ; 60
115
°= °= . Despejando la incógnita c.
c
Cos
115
60
230=
°
=
La distancia entre los dos turistas es 230 m.
Tercero: aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar la distancia entre el
primer turista y la base de la Basílica.
= − − =a c b a; = 230 115 1992 2 2 2
El turista se encuentra a 199 m de la base de la iglesia.
Cuarto: encontremos el ángulo con el que el primer turista divisa al segundo.
La sumatoria de ángulos internos en un triángulo es 180°, entonces:
°+ °+ = °B90 60 180 , B=30° 
El primer turista observa al segundo con un ángulo de 30°.
Reflexiona. ¿Cómo encontrarías el ángulo con el que miras la altura de un
monumento?
__________________________________________________________________
Saberes previos
60
b=115m
c
a
º
Vista a la Basílica.
El ángulo de elevación
es el que forma
la horizontal del
observador y el lugar
observado cuando este
está situado arriba del
observador.
El ángulo de depresión
es el que se va a
medir por debajo
de la horizontal del
observador.
¿Sabías qué?
Shutterstock,(2020).117938887/
511563886/208526053
enlace web:
bit.ly/2GNPkkm
Practica relaciones
trigonométricas evalúa
tu aprendizaje mediante
ejercicios interactivos.
Me refuerzo

227
Ejemplo1
Para sembrar arroz, Eugenio tiene una parcela triangular cuyos lados miden 90 m
y 120 m, y entre ellos forman un ángulo de 70°. ¿Cuál es el área del terreno que se
puede sembrar?
Solución
Identificar las incógnitas del problema.
Para encontrar el área de un triángulo, necesitamos conocer su base y su altura.
En este caso no tenemos el valor de la altura, pero por definición sabemos que
la altura es perpendicular a la base y forma un triángulo rectángulo HBC como se
muestra en la figura.
Primero: aplicamos la razón trigonométrica sen 70° para encontrar el valor de h.
Sen
h
h Sen h m70
90
; 90 70 ; 84,57°= = ⋅ ° =
La altura del triángulo es 84,57 m.
Segundo: hallamos el área de la parcela.
=
×
=
×
=A
b h
A
2
;
120 84,57
2
5 074,2
El área del terreno es 5 074,2 m2.
Ejemplo 2
Tres barcos se encuentran en una posición
tal que entre ellos forman un triángulo
rectángulo, como se muestra en la figura.
El barco A se encuentra a 8 km de una boya
marina, y el barco C a dicha boya tiene una
distancia de 12 km. El ángulo entre estas dos
distancias es 120°. ¿Cuál es la distancia del
barco B al barco C?
Solución
Primero: tenemos dos triángulos rectángulos, pero trabajaremos con el triángulo
BCD. Para hallar la distancia entre las embarcaciones, debemos conocer un ángulo
agudo. Entonces tenemos que:
°+ = °D120 180 . Por ser ángulos suplementarios,  = °D 60 .
Segundo: encontremos el valor de a, aplicando la razón trigonométrica Sen 60°.
La distancia entre los barcos es 10,39 km.
Terreno en forma triangular.
70º
90 m
120 m
CHA
B
h
a
A D B
C
12 km
8 km
120º
Para hallar el ángulo de
un triángulo rectángulo,
se aplica la inversa de la
función trigonométrica
que se está utilizando.
Sen =
a
b
= Sen 1 a
b
Solo se puede hallar el
ángulo de un triángulo
usando las funciones
seno, coseno o
tangente.
Para obtener el valor
del ángulo en la
calculadora ingresa:
SHIFT LA FUNCIÓN EL
VALOR
Por ejemplo: Si
Sen A = 0,86
SHIFT SEN 0,86
A = 60°
Uso de la
calculadora
Se llaman ángulos
suplementarios
aquellos que al
sumarlos dan como
resultado 180 °.
¿Sabías qué?

Taller
228
1. Halla el valor de los datos faltantes en las siguien-
tes situaciones.
a) Un helicóptero se encuentra volando a
100 m del suelo. Si desde el helicóptero una
persona observa un punto P, con un ángulo
de 60°, ¿cuál es la distancia del helicóptero al
punto P? ¿Cuál es la distancia del punto P a la
sombra proyectada perpendicularmente del
helicóptero? ¿Cuál es el ángulo P?

100m
60
d
Pa
º

b) La estatura de una persona es 1,90 m, y el
ángulo de elevación del sol, 18°. ¿Cuál es la
longitud de la sombra proyectada por la
persona?
x
1,90 m
18º

c) Un faro tiene una altura de 70 m. Si a lo lejos
se divisa un barco, ¿cuál es la distancia desde
la base del faro al barco? ¿Cuál es la distancia
desde lo alto del faro al barco? Utiliza los datos
de la figura.

64
h=70m
º

d) La distancia horizontal desde un punto a otro
es 5 000 m, como se observa en la figura. ¿Cuál
es la distancia de la carretera por donde circula
el automóvil?

12
5 000 m
º

2. Encuentra los ángulos en cada problema, dibuja
si es necesario.
a) La altura de una pared es 3 m. Si un objeto se
encuentra a 5 m de la pared, y la distancia del
objeto a lo alto de la pared es 5,8 m, ¿cuál es el
ángulo α?

α
7 m3 m
5 m


229
M.4.2.17. Resolver y plantear problemas que involucren triángulos rectángulos en contextos reales, e interpretar y juzgar la validez
de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
b) Los lados de un rectángulo miden 12 cm y
9 cm respectivamente. ¿Cuánto mide cada
uno de los ángulos que forman la diagonal
con los lados del rectángulo? ¿Cuánto mide
la diagonal?

c) Una persona se encuentra a 200 m del pie
de un acantilado. Si en lo alto del acantilado
se encuentra un piedra, el acantilado tiene
300 m de altura. ¿Cuál es el ángulo con el que
la persona observa dicha piedra? ¿Cuánto
mide el otro ángulo?

d) Una cancha de fútbol rectangular en una
escuela mide 25 m de largo y 9 m de ancho.
Si para las actividades de educación física se
divide la cancha por su diagonal, ¿cuánto
mide la diagonal de la cancha? ¿Cuáles son
sus ángulos internos?

3. Resuelvan los siguientes ejercicios.
a) Calcula la altura de la torre.

42
24 m
º
b) Halla el largo de la resbaladera.

37
2m
º
a) Un gato se encuentra a 2 m de la base de
una mesa. Si la distancia del gato a lo alto
de la mesa es 4 m, el ángulo entre el gato y
el suelo es 55°. ¿Cuál es la altura de la mesa?
b) Un niño observa un juguete en lo alto de la
repisa con un ángulo de 27°. Si la distancia
horizontal del niño a la repisa en 5 m, ¿cuál
es la distancia del niño al juguete?
Una torre de control de un aeropuerto divisa
con un ángulo de 60° un avión. Sabiendo que
el avión está a 5 300 m de altura y que la torre
mide 35 m, calcula la distancia desde el pie de
la torre al avión.

60
5 300 m
35 m
x
x
º

230
A
AE B
U
B
Eventos. OperacionesTema 5
Reflexiona. ¿Qué es un evento o suceso imposible?
__________________________________________________________________
Lanzar al aire tres monedas.
Experimento aleatorio:
es el proceso que
produce resultados que
no se pueden anticipar.
Espacio muestral (S):
es el conjunto de todos
los posibles resultados;
se designa como (E).
¿Sabías qué?
A
AE B
U B
Samuel lanza al aire tres monedas. Determinemos los sucesos A: obtener al menos
2 sellos, y B: obtener al menos un sello.
Primero, determinemos el espacio muestral, que son todos los posibles resultados.
E = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}
Encontremos el suceso A y B.
A: {css, scs, ssc, sss} B: {ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}
Los sucesos son subconjuntos del espacio muestral. Con ellos, se pueden
realizar las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento.
Los sucesos son subconjuntos del espacio muestral. Con ellos, se pueden
realizar las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento.
Operaciones con sucesos
Suceso contenido en otro. Un suceso A se dice que está contenido o inducido en
otro B. Siempre que se verifica A se verifica B. Se representa A ⊂ B.
Ejemplo 1
Una persona lanza un dado. Determinar los eventos A: que aparezca un número
impar, y B: obtener el 3 o el 5.
Solución
A: {1, 3 , 5} B: {3, 5}
El suceso B ⊂ A, ya que el suceso B: {3, 5} pertenece a A.
Unión de sucesos. Se representa por A ∪ B a la unión de un suceso A con un
suceso B, al suceso que se realiza cuando se realiza alguno de ellos, es decir, a todos
los elementos que están en A o están en B (A o B).
Ejemplo 2
En un sorteo existen boletos del 1 al 10. Se tienen los sucesos:
A = sacar en el sorteo un número impar = {1, 3, 5, 7, 9}
B = sacar un número mayor que 5 = {7, 9}
Solución
El suceso unión será:
A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {7, 9} = {1, 3, 5, 7, 9}
Es decir, sacar en el sorteo un 1, un 3, un 5, un 7 o un 9.
Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B, su intersección A ∩ B se da
cuando el suceso se realiza si y solo si se realizan simultáneamente A y B.
Determinando la intersección de los dos sucesos anteriores, tenemos que:
el suceso intersección es A ∩ B = {7, 9}. Es decir, sacar en el sorteo un 7 y un 9.

231
Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B, la diferencia se representa A – B,
donde al primer suceso se le resta el segundo, es decir, se le resta la intersección
de ambos sucesos. Son los sucesos que pertencen a A, pero no a B.
Ejemplo 3
Al lanzar un dado, determinemos los siguientes sucesos:
A = obtener números pares = {2, 4, 6}
B = obtener un número mayor a 2 = {3, 4, 5, 6}
La diferencia entre estos sucesos es:
A – B = {2}
La diferencia tambien puede escribirse: A – B = (A ∩ B c
)
Sucesos complementarios. Dado un suceso A, el suceso complementario Ac
está
formado por todos los sucesos elementales del espacio muestral que no están
en A.
Ejemplo 4
Al lanzar una moneda al aire dos veces, se tiene el suceso:
Espacio muestral E = {cc, cs, sc, ss}
A = obtener una cara = {cs, sc}
El suceso complementario es igual a:
Ac
= {cc, ss}
Podemos observar que el suceso complementario son todos los subconjuntos
del espacio muestral que no pertenecen al evento A.
Sucesos compatibles. Dos sucesos son compatibles cuando tienen algún
suceso elemental común. Su intersección es distinta del vacío: A ∩ B ≠ ∅.
Ejemplo 5
Al lanzar un dado, determina los sucesos:
A = obtener un número mayor a 3. B = obtener un múltiplo de 2.
Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: {4, 5, 6} B: {2, 4, 6}
El suceso A y B son compatibles, ya que A ∩ B ≠ ∅.
Sucesosincompatibles. Dos sucesos son incompatibles o mutuamente excluyen-
tes cuando no tienen algún suceso elemental común, es decir, no pueden ocurrir
simultáneamente. Su intersección es el suceso imposible: A ∩ B ≠ ∅.
Ejemplo 6
Al lanzar un dado, determina los sucesos:
A = obtener un número par. B = obtener un número impar.
Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: {2, 4, 6} B: {1, 3, 5}
El suceso A y B son incompatibles ya que A ∩ B = ∅.
Dados.
A B
A - B
A
E
A
Para los sucesos
complementarios
existen algunas leyes.
= −
∩ =∅
∪ =
∪ = ∩
∩ = ∪
A E A
A A
A A E
A B A B
A B A B
( )
( )
c
c
c
c c c
c c c
¿Sabías qué?
A B
a
b
c d e
E
Shutterstock,(2020).504622015ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).ArchivoEditorial,(2020).

Taller
232
1. Completa la siguiente tabla y el espacio muestral
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, siendo el suceso:
A = {3, 4, 6, 7}. Determina.

Suceso B A ∪ B A ∩ B Bc
B – A
B = {2, 3, 4,
9, 10}
B = {1, 3, 5,
7, 9}
B = {1, 2, 5,
6, 8}
B = {3, 4,
7, 8}
a) Dos sucesos son incompatibles si su
intersección es diferente del vacío. ( )
_____________________________________
b) El complemento de un suceso puede ser el
vacío. ( )
_____________________________________
c) El espacio muestral de un experimento son
todos los posibles casos. ( )
_____________________________________
d) Da el mismo resultado realizar la diferencia
A – B, que B – A. ( )
_____________________________________
3. Determina el espacio muestral de cada expe-
rimento, y los sucesos en cada caso. Escribe si
son sucesos compatibles o incompatibles. Ver
ejemplo.
a) Lanzar al aire una moneda y un dado. Deter-
mina los sucesos: A = obtener sello y un nú-
mero par, B = obtener sello y un múltiplo de 3.
Para determinar el espacio muestral, nos ayu-
damos con un diagrama de árbol.

E = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, s1, s2, s3, s4, s5, s6}
A = {s2, s4, s6}, B = {s3, s6}
A ∩ B = {6}
b) Tenemos una caja con 6 bolas de color azul,
2 verdes, y 5 rojas. Determina los sucesos:
A = sacar una bola azul, B = sacar dos bolas:
una verde y una azul.

E = { }
A = { }, B = { }
Sonsucesos___________________________
c) Lanzar al aire una moneda y sacar una carta.
Determina los sucesos: A = obtener un
número primo y una carta roja, B = obtener el
número 6 y sacar una carta negra.

E = { }
A = { }, B = { }
Sonsucesos___________________________
1 c1
2 c2
3 c3
4 c4
5 c5
6 c6
1 s1
2 s2
3 s3
4 s4
5 s5
6 s6
c s

233
M.4.3.12. Operar con eventos (unión, intersección, diferencia y complemento) (destreza desagregada).
6. Resuelvan las siguientes operaciones entre
sucesos:
a) Dado el espacio muestral E = {2, 9, 12,
25, 36} y los sucesos A = números pares,
B = múltiplos de 3, y C = números impares,
determinen:
A ∪ B B ∪ C
A c
∪ B c
A c
∩ C c
A ∩ B A ∩ C
B ∩ C B – C
(A ∪ B) ∩ C A – B
b) Dado el espacio muestral E = {cs, ss, cc,
sc} y los sucesos A = obtener al menos
una cara, B = obtener al menos un sello y
C = obtener dos caras, determinen:
A ∪ B B ∪ C
A c
∪ B c
A c
∩ C c
A ∩ B A ∩ C
B ∩ C B – C
A – C (A ∪ C) ∩ B
(A ∪ B) ∩ C A – B
c) Dado el espacio muestral E = {2, 3, 5, 7, 11,
15} y los sucesos A = obtener un número
compuesto, B = obtener un múltiplo
de 5, y C = obtener un número primo,
determinen:
A ∪ B B ∪ C
A c
∪ B c
A c
∩ C c
A ∩ B A ∩ C
B ∩ C B – C
(A ∪ B) ∩ C A – B
En una bolsa se colocan bolas numeradas del
1 al 8. Si se sacan sucesivamente tres de ellas
con reposición y se forman números de tres
cifras respetando el orden de salida, ¿cuántos
elementos tiene el espacio muestral?
4. Realiza las operaciones con los siguientes sucesos.
En una rifa se tienen los boletos del 1 al 20. Dados
los eventos A = boletos pares, B = boletos impares,
C = múltiplos de 2, calcula:
a) A ∪ B =
b) A ∪ C =
c) B ∪ C =
d) A c
∪ B c
=
e) A ∩ B =
f) A ∩ C =
g) B ∩ C =
h) B – C =
i) (A ∪ B) ∩ C=
5. Resuelve las siguientes situaciones.
a) Se lanza una moneda tres veces y se
consideran los sucesos:
A = salen al menos dos sellos, B = sale algún
sello. Calcula los sucesos:
(A∪B) _______________________________
(A ∩ B) _______________________________
(A – B) ________________________________
(B – A) ________________________________
Ac
∪Bc
_______________________________
b) Tenemos tarjetas numeradas del 5 al 9. Se
sacan sucesivamente tres de ellas sin reposi-
ción. Determina los sucesos: A = obtener un
número primo, B = obtener un número impar.
Calcula los sucesos.
(A ∪ B) _______________________________
(A ∩ B) _______________________________
(A – B) ________________________________
(B – A) ________________________________
A c
∪ B c
_______________________________

234
Leyes del álgebra de conjuntos.
Problemas
Tema 6
En la caja existen tres bolas verdes, cuatro azules y dos negras. Si la ganadora del
sorteo es aquella persona que saque la bola negra, ¿cuál es la probabilidad de
ganar en el sorteo?
Determinemos el espacio muestral, contando el número total de bolas que están
dentro de la caja. E = 9.
Para obtener la probabilidad de un evento, analicemos cuáles son los casos
favorables, es decir, los que cumplen con la condición.
En este caso, dos son los casos favorables, ya que en la caja hay dos bolas negras.
Casos favorables = {2}
Ley de Laplace. La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente en-
tre el número de resultados favorables y el número total del espacio muestral.
=P A( )
Espacio muestral
de casos favorablesNúm.
Ley de Laplace. La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente en-
tre el número de resultados favorables y el número total del espacio muestral.
=P A( )
Espacio muestral
de casos favorablesNúm.
Resolviendo la situación inicial, tenemos: = =P A( )
2
9
0,22
La probabilidad de ganar el sorteo es 22 %.
Propiedades de la probabilidad
Unión de sucesos compatibles P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
Sucesos contrarios P B p B( ) 1 ( )c
= −
Suceso seguro P E 1( )=
Suceso imposible P( ) 0∅ =
Ley de De Morgan
P A B p A B
P A B p A B
( ) ( )
( ) ( )
c c C
c c C
∩ = ∪
∪ = ∩
Ejemplo 1
De una baraja de 52 cartas, se desea extraer una carta de corazón negro. ¿Cuál es
la probabilidad de sacar una al primer intento?
Solución
Determinemos el suceso A: obtener una carta de corazón negro. Definamos su
espacio muestral: E = 52
Números de casos favorables: 13
Reflexiona. ¿Existe la intersección con el vacío?
__________________________________________________________________
Saberes previos
Bolas de colores.
• Cuando la
probabilidad es el
100 %, se dice que es
igual a 1, y cuando
la probabilidad es
imposible o 0 %, se
dice que es igual a 0.
Propiedades de
operaciones con
sucesos
A ∪ ∅ = A
A ∩ ∅= ∅
A ∪ E = E
A ∩ E = A
¿Sabías qué?
Calculemos la probabilidad del suceso A.
= =P A( )
13
52
0,25
La probabilidad de sacar una carta de
corazón negro es del 25 %.

235
Ejemplo 2
Para un truco de magia, se lanzan dos dados al mismo tiempo. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener dos números primos o al menos un número primo?
Solución
Determinemos el espacio muestral. E = {(1,1); (1, 2); (1, 3); (1,4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2);
(2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2), (3, 3); (3, 4); (3, 5), (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4,
5); (4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)} = 36
Definamos los sucesos:
A = obtener dos números primos = 8
B = obtener al menos un número primo = 22
Hallemos la probabilidad de cada suceso:
= = = =P A P B( )
8
36
0,22 ( )
22
36
0,61
Resolviendo la situación inicial tenemos P(A o B) que es igual a P(A ∪ B).
∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )
∪ = + − = =P A B( )
8
36
22
36
8
36
22
36
0,22
La probabilidad de que salgan dos números primos o al menos un número primo
es 22 %.
Ejemplo 3
La probabilidad de un suceso A =
1
—
3
, la de B es
4
—
5
y de la intersección,
3
—
7
. Calcula:
a) La probabilidad de que ocurra el suceso A o bien ocurra el suceso B.
∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )

∪ = + − = =P A B( )
1
3
4
5
3
7
74
105
0,70
b) La probabilidad del contrario de A sería, entonces:

= − = − =P A p A P A( ) 1 ( ) ( ) 1
1
3
2
3
c c
c) La probabilidad de que no ocurra ni A ni B.
Debemos calcular P(Ac
∩ B c
). Utilizando las leyes de De Morgan tenemos:
P A B p A B P A B( ) ( ) 1 ( )c c C
∩ = ∪ = − ∪

∩ = − ∪ = − = =P A B P A B( ) 1 ( ) 1
74
105
31
105
0,30c c
d) LaprobabilidaddequenoocurraelsucesoAobiennoocurraelsucesoB.

∪ = ∩ = − ∩ = − = =P A B P A B P A B( ) ( ) 1 ( ) 1
3
7
4
7
0,57c c c
Dados.
* Dos sucesos se dicen
independientes si
la ocurrencia de uno
de ellos no afecta la
ocurrencia del otro, y
por lo tanto, n afecta su
probabilidad.
* Dos eventos se
dicen dependientes
si la ocurrencia de uno
afecta la ocurrencia y
probabilidad del otro.
¿Sabías qué?

Taller
236
1. Completa el siguiente crucigrama.
Horizontal
6. Cuando la intersección de dos sucesos es
igual al vacío, son sucesos…
Vertical
1. Cuando los elementos de un suceso están en
A o en B, se representan por la…
2. La intersección de un suceso con el vacío da
como resultado el…
3. Un suceso que pertenece a uno pero no al
otro…
4. La probabilidad que es igual a 1 es un
suceso…
5. La probabilidad que es igual a cero se da
cuando un suceso es…
2. Escribe verdadero V o falso F, según el análisis de
cada proposición. Justifica tu respuesta.
a) La probabilidad de un suceso siempre es
menor a 1. ( )
_____________________________________
b) La probabilidad de un suceso es el cociente
entre el número de casos favorables y el
número de casos no favorables. ( )
_____________________________________
c) SilossucesosAyBsoncompatibles,entonces:
∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ( )
_____________________________________
d) La probabilidad de un suceso puede ser igual
a la de otro suceso diferente. ( )
_____________________________________
e) Los casos favorables son subconjuntos del
espacio muestral que pertenecen al suceso del
que se desea obtener la probabilidad. ( )
_____________________________________
3. Encuentra la probabilidad del suceso: al lanzar
dos dados al aire.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una suma
igual a 6?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos
números pares?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
producto igual a 4?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma
mayor a 5?

1
5
6
2 3 4

237
M.4.3.12. Aplicar las leyes de De Morgan para calcular probabilidades en la resolución de problemas (destreza desagregada).
4. Encuentra la probabilidad de los siguientes
sucesos si se lanzan una moneda y un dado.
a) Que salga al menos una cara con un número
impar o salga al menos un número impar.

b) La probabilidad de que no salga una cara con
un número impar.

c) La probabilidad de no salga una cara con un
número impar, ni salga al menos un número
impar.

d) La probabilidad de que no salga una cara con
un número impar o bien no salga al menos
un número impar.

5. Resuelve el problema.
La probabilidad de que gane el equipo A es 0,5;
la probabilidad de que gane el equipo B es 0,4;
y la de que gane el equipo A y el equipo B es 0,6.
¿Cuál es la probabilidad de que gane el equipo
A o el equipo B?

6. Dadas las siguientes probabilidades, realicen
las operaciones que se indican.
a) =P A( )
5
8
, P(B) =
1
5
, P(C) =
4
6
Realicen:

∪
∪
∩ ∪
P A P A B
P B P A B
P A B P A B
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
c
c c c
c c c
b) = = =P A P B P C( )
1
4
, ( )
3
7
, ( )
3
8
Realicen:

∪
∪
∩ ∪
P A P A B
P B P A B
P A B P A B
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
c
c c c
c c c
a) De 200 niñas y niños examinados por un
nutricionista, se encontró que 90 pacientes
padecían desnutrición débil, 60 padecían
desnutrición crónica y 50 no presentaban
problemas. Si de los pacientes examinados
se selecciona uno al azar, ¿cuál es la proba-
bilidad de que padezca desnutrición débil
o desnutrición crónica?
b) De una encuesta realizada a 100 estudian-
tes sobre su materia preferida, 35 respon-
dieron Química, 40 respondieron Matemá-
tica y 10 respondieron ambas. ¿Cuál es la
probabilidaddeseleccionaraunestudiante
que le guste Química o Matemática?
De un grupo de 150 computadoras, 75 se
encuentran en buen estado, 50 se encuentran
dañadas y 15 se encuentran en buen estado
pero con pequeños defectos. ¿Cuál es la
probabilidad de elegir al azar una computadora
en buen estado o una computadora dañada?

238
Problema resuelto
Se llevó a cabo un estudio a 600 familias para
determinar si los alimentos subsidiados por el Estado
son consumidos por la gente de bajos recursos. Los
resultados fueron: 350 familias perciben ingresos
menoresalsalariomínimovital,90familiasconsumen
alimentos subsidiados y 50 familias perciben ingresos
menoresalsalariomínimovitalyconsumenalimentos
subsidiados por el Estado. Si se selecciona una familia
al azar, ¿cuál es la probabilidad de que perciba un
salario inferior al mínimo vital o consuma alimentos
subsidiados por el Estado?
Problema propuesto
En el censo realizado en una población de 88
personas para conocer cuántas pueden ejercer su
derecho al voto, se determinó que 54 son mayores
de edad que votan, 24 son menores de edad, y 10
son personas menores de edad que pueden votar.
¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a una
de las personas se obtenga una que pueda votar
o que sea menor de edad?
¿Cuál es la probabilidad de percibir un salario
inferior o consumir alimentos subsidiados?
Dividir el problema en partes.
Paso 1
Espacio muestral: 600
A: perciben salarios menores al mínimo vital = 350
B:consumenalimentossubsidiadosporelEstado=90
A ∪ B: perciben salarios menores al básico y con-
sumen alimentos subsididados = 50
Paso 2

= = =
∩ = =
P A
P A B
( )
350
600
7
12
; P(B) =
90
600
3
20
( )
50
600
1
12
Paso 3
∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )

∪ = + − =P A B( )
7
12
3
20
1
12
13
20
4. Responder
La probabilidad es de 65 %.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Paso1
_________________________________________
_________________________________________
Paso2

4. Responder
_________________________________________
Dividir el problema en partes

239
1. Los tres lados de un triángulo miden 18, 16 y 9 cm.
Determina qué misma cantidad se debe restar a
cada lado para que resulte un triángulo rectángulo:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
3. De una urna con 50 bolas numeradas se extrae una:
A = {sacar un número múltiplo de 2}
B = {sacar un número múltiplo de 3}
C = {sacar un número múltiplo de 5}
Determina los elementos de los siguientes con-
juntos: a) ∪A B b) ∩A C c) ∩A B
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
2. Encuentra la ecuación de segundo grado que
representa el área de un rectángulo, cuyas solu-
ciones suman 5 y su producto es –24:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder
_____________________________________
4. Lanzamos una moneda y un dado. Calcula el es-
pacio muestral mediante un diagrama de árbol:
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
d) Responder ____________________________
_____________________________________
_____________________________________

Proyecto
240
Evaluación
2. De acuerdo con los cálculos anteriores, ¿cuál fue el cálculo más importante qué hiciste?
En los últimos años, Ecuador ha avanzado signi-
ficativamente en la inclusión educativa de personas con
discapacidad, siendo ahora 15 158 estudiantes con
discapacidad que asisten a escuelas regulares, en
comparación a las 9 326 en 2007. A pesar de esto, aún
falta mucho por hacer para lograr una convivencia
inclusiva entre niños y niñas en las escuelas. Los
pequeños con algún tipo de diversidad funcional
deben afrontar algunos obstáculos en la movilidad,
el acceso a las instalaciones y a las baterías sanitarias.
Por tal motivo, muchos colegios han modificado
sus infraestructuras para hacerlas más inclusivas,
construyendo, por ejemplo, rampas de acceso.
Texto adaptado de:
http://www.elcomercio.com/tendencias/inclusion-educativa-es-
cuelas-regulares-avanza-discapacidad-discapacidades.html.
Objetivo
Reflexionar sobre la importancia de la inclusión
educativa de personas con discapacidad o diversidad
funcional, e investigar las normas que debe tener una
infraestructura para ayudar a que esto se dé.
Recursos
• Grupo de trabajo
• Libros, Internet
• Metro o flexómetro
• Cuaderno
Actividades
• Organicen equipos.
• Busquen en su colegio las rampas de acceso para personas con discapacidad. En caso de no haber,
búsquenlas en ciertos sitios de la ciudad.
• Tomen las medidas de los lados del triángulo rectángulo que forma una rampa. Anótenlas en su cuaderno.
• Utilizando las razones trigonométricas, encuentren el ángulo de elevación de la rampa.
• Investiguen si este ángulo es acorde con las normas de construcción de rampas para personas con
discapacidad.
Rampas de acceso para personas con discapacidad

241
1. ¿Cuántos triángulos hay en cada figura?
2. ¿Cuál es el valor de x?
3. ¿Cuál es la alternativa que continúa la secuencia?
Multiplicar un múltiplo de 5 por
un múltiplo de 2
a)
b)
c)
d)
e)
Ahora hazlo tú
a)
b)
c)
d)
e)
Cálculo mental
6
624
9
837 745
x
x = 8
?
a)
a) b) c) d)
b)
55 4 11 5 2 2 10 22 220
35 8 7 5 2 4 10 28 280
95 12 19 5 2 6 114 10 1140
45 16 9 5 2 8 72 10 720
65 18 13 5 9 2 10 117 1170
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
35 12
15 20
30 18
40 6
65 22
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
Razonamiento geométrico

Recuerda y practica
242
1. La ecuación x ² – 5x + k = 0 tiene como primera
raíz –3. Halla la otra raíz y determina el valor de k.
2. Relaciona las raíces de las ecuaciones con cada
ecuación cuadrática, sin resolverlas.
Raíces Ecuaciones
a) –3 y –5 x²– 7x – 8
b) –2 y 4 x² – 2x – 35
c) –5 y 7 x² + 8x + 15
d) 8 y –1 x² – 2x – 8
3. Halla los números cuya suma S y producto P se
dan a continuación:
a) S = 12, P 32
b) S = 18, P = 80
c) S = –8, P = –40
d) S = –1, P = –72
a) Una pelota cae, en caída libre, desde una
altura de 100 m, partiendo del reposo. ¿Qué
tiempo tarda en llegar al suelo?
_____________________________________
b) Una región rectangular tiene un perímetro
de 500 cm. Expresa el área de la región en
función de la longitud de uno de sus lados.
_____________________________________
c) El lado de un rectángulo mide el doble que
el otro lado. Si al mayor se le aumenta en 4
unidades y al menor se le disminuye en 2
unidades, el rectángulo obtenido tiene 6 m² de
área más que la mitad del primer rectángulo.
¿Cuáles son las dimensiones?
_____________________________________
d) Un cañón dispara una bala, cuya trayectoria
esta modelada por la ecuación y = –0,012 3x²
+ x + 4,5, donde x es la distancia recorrida (en
metros) y y es la altura (también en metros).
¿Qué tan largo es el tiro?
_____________________________________
5. Escribe las razones trigonométricas del siguiente
triángulo rectángulo.

c = 265 a = 125 cm
b = 234 cm
B
A C
17º

° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
17 17
17 17
17 17
a) Una persona se encuentra a 300 m del pie de
un monumento. Si en lo alto del monumento
se encuentra un mirador, y si el monumento
tiene 100 m de altura, ¿cuál es el ángulo con
el que la persona observa dicho monumento?
¿Cuánto mide el otro ángulo?
_____________________________________
b) La distancia de una persona a la punta de un
árbol es 50 m. Si la persona observa la copa
del árbol con un ángulo de 43°, ¿cuál es la
altura del árbol?, ¿cuál es la distancia de la
persona a la base del árbol?
_____________________________________
7. Resuelve la situación.
Se realizó un estudio a 70 personas sobre su
plato típico favorito: 30 personas respondieron
hornado, 20 dijeron chugchucaras y 10 personas
contestaronhornadoychugchucaras.Siseescoge
a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que le guste el hornado o las chugchucaras?
________________________________________

243
8. Analiza la siguiente gráfica y contesta:
a) ¿Cuál es la concavidad? __________________
b) Las coordenadas del vértice son: __________
c) Las raíces o soluciones de la ecuación son:
_____________________________________
d) Escribe el valor de c: ____________________
e) Escribe el dominio y rango:
_____________________________________
f) Escribe la ecuación que está representada en
la parábola:
_____________________________________
9. Encuentra la ecuación de la parábola:
10. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden
a = 8 cm y b = 15 cm, encuentra las 6 funciones
trigonométricas del ángulo A:
11. En un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden
a = 0,6 y b = 0,8, halla las funciones del ángulo B:
12. En un triángulo rectángulo el cos A = 0,44, y la
hipotenusa mide 30,5. Halla el cateto b:
13. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo. Su
hipotenusa mide 3,6 y uno de los ángulos agudos
33,4 °:
14. Determina si estos sucesos (de 2 en 2) son
compatibles o incompatibles y por qué. En una
funda hay papeles numerados del 1 al 20.
El suceso A = {múltiplos de 3}
El suceso B = {múltiplos de 2}
El suceso C = {múltiplos de 6}
2
1
1–1–2–3 2 3
0
–1
–2
(0,5, –2,25)
4
2
2–2–4 4
0
–2
–4
(1, 0)(–1,5, 0)
(–0,25, 3,125)

244
Tema: Túneles de agua
Ecuaciones de segundo grado
En algunas ciudades del Ecuador tienen como en-
tretenimiento los túneles de agua. Hay en Quito,
Machala y La Libertad, entre otras. Como se aprecia
en la imagen tienen forma de parábola y son varias
parábolas paralelas que producen el efecto de un
túnel. Los turistas cruzan este túnel y evitan mojar-
se ya que cada cierto tiempo la parábola disminu-
ye hasta desaparecer.
Si tomamos el suelo como el eje de las abscisas (x) y el de simetría como el eje de las ordenadas (y), se obtienen
los siguientes datos en metros: el vértice de la parábola se encuentra en (0,4) cuando el agua está al máximo; los
cortes de la parábola en ese momento en el eje x son: (–1,5; 0) y (1,5; 0). Encuentra la ecuación de la parábola.
https://www.eltelegrafo.com.ec/noticias/regional/1/cuatro-parques-de-machala-se-consolidan-como-turisticos
Reflexiona
• ¿Qué figura forma el agua que sale de la pileta? ¿Puedes escribir una ecuación para representarla?
________________________________________________________________________________________
Respuesta: 1,7x2
– 0x + 4 = 0
• ¿Cuál es la altura de la parábola? Argumenta tu respuesta.
• El túnel de agua, con las mismas condiciones del problema anterior, tiene una longitud de 5 m; cada 10 se-
gundos la parábola disminuye su altura a una velocidad de 2,5 m por s. Dos turistas con estatura de 1,8 m y
1,65 m deciden cruzar el túnel en el octavo y noveno segundos, respectivamente, a una velocidad de 3,5 m
por s. ¿Se mojan o no?

245
Tema: Los juegos de azar
Probabilidad
Uno de los juegos de azar más popular en el país
es el bingo. Consta de una tabla, generalmente, de
cartón con 25 números, organizados en cinco filas
y cinco columnas, de forma aleatoria, y de un boli-
llero con 75 bolas numeradas.
Jonathan y Rosa van a jugar al bingo. Anuncian que
habrá premio a los que consigan:
A) Llenar una fila, una columna o una diagonal
B) Llenar las cuatro esquinas
C) Llenar toda la tabla
¿Calcula la probabilidad que tienen Jonathan y Rosa de ganar en cada una de ellas?
Reflexiona
• ¿Qué significa juego de azar?
________________________________________________________________________________________
Probabilidad de A: 6,66 % B: 5,33 % C: 33,33%
• ¿Cuál es la probabilidad de ganar 2 de los 3 premios?
• Al jugar con barajas deciden calcular la probabilidad de extraer del mazo un as y, además, calcular la probabi-
lidad de sacar dos ases seguidos, sin reponer el primer as al mazo. Realiza estos cálculos y encuentra las dos
probabilidades.

246
1. El cuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y
en D. Los números mostrados indican las áreas de
dos de los triángulos. ¿Cuál es el área de ABCD?
2. La figura muestra un rectángulo de dimensiones
7 × 11 que contiene dos circunferencias, de modo
que cada una es tangente a tres de los lados del
rectángulo. ¿Cuál es la distancia entre los centros
de las circunferencias?
3. Se escribe un entero del 1 al 9 en cada celda de
una tabla 3 × 3. No hay números repetidos. Se cal-
cula la suma de los enteros de cada una de las
filas y de cada una de las columnas de la tabla.
Cinco de los resultados son 12, 13, 15, 16 y 17, en
algún orden. ¿Cuál es el sexto resultado?
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
Respuesta: ______________________________________________________________________________
A B
D C
5
10
S
T
7
11

247
1. Lee y analiza.
Encuentra la suma y el producto de las raíces de la
ecuación: 3x2
+ 11x – 20 = 0:
a) = − = −S P
11
3
20
3
c) = + = +S P
11
3
20
3
b) = − = +S P
11
3
20
3
d) = = −S P
11
3
20
3
2. Lee y analiza.
Observa las gráficas y escoge, en el orden esta-
blecido, cuál es el discriminante en cada una:

a) Δ I < 0 Δ II = 0 Δ III > 0
b) Δ I > 0 Δ II < 0 Δ III = 0
c) Δ I = 0 Δ II > 0 Δ III < 0
d) Δ I < 0 Δ II = 0 Δ III > 0
3. Lee y analiza.
Observa el triángu-
lo e indica cuál es el
cateto adyacente al
ángulo B:
a) AB c) AC
b) BC d) Ninguno de los anteriores
4. Lee y analiza.
Resuelve el triángulo rectángulo que tiene por
catetos a = 2,7 cm y b = 3 cm.
a) Hipotenusa = 5,7; A = 22,06°; B = 67,94
b) Hipotenusa = 1,3; A = 32,06°; B = 57,94
c) Hipotenusa = 4,03; A = 42,06°; B = 47,94
d) Hipotenusa = 3,5; A = 52,06°; B = 37,94
5. Lee y analiza.
Resuelve el triángulo rectángulo que tiene
∠A = 36° y su cateto opuesto a = 2,4 m:
a) c = 4,08; b = 3,30; B = 54°
b) c = 2,96; b = 1,73; B = 60°
c) c = 4,08; b =1,73°; B = 60°
d) c = 2,96; b = 3,30°; B = 54°
6. Lee y analiza.
¿Cuál es la altura de un triángulo rectángulo que
mide 10 cm de base, y el ángulo que forma la hi-
potenusa con su base es de 35°?
a) 10 c) 7
b) 8 d) 6
I. II. III.
AB
C
5 5 5
10 10 10
5 5 510 10 10–5 –5 –5
–5 –5 –5

248
7. Lee y analiza.
Encuentra la altura
del árbol de la figura
si sabes que
tg β =
1
4
, siendo β
el ángulo marcado y la distancia de este con el
árbol es de 24 m.
a) 6 m c) 8 m
b) 7 m d) 9 m
8. Lee y analiza.
Una persona de
1,8 m de altura se
para en la orilla de
un río y su sombra
alcanza justamente la
otra orilla. ¿Cuál es la
anchura del río si el ángulo de depresión es de 30°?
a) 3,11 m c) 4,5 m
b) 4,2 m d) 3,9 m
9. Lee y analiza.
¿Cuál de los siguientes valores no puede corres-
ponder a sen α?
a) 0,9 c)
3
2
b) 0,6 d) 2
10. Lee y analiza.
¿Cuánto mide el ca-
teto BC si la hipote-
nusa mide 14 cm y el
∠A es igual al ∠C?
a) 9,89 c) 7,89
b) 8,99 d) 9,32
11. Lee y analiza.
Si la secante de α es
1,55, ¿cuáles el valor
de α?
a) 32,82° c) 50°
b) 40° d) 40,17
12. Lee y analiza.
¿En cuál de los siguientes sucesos tienes mayor
probabilidad de ganar?
• Al sacar un número de 100
• Al lanzar un dado
• Al sacar una carta de la baraja
• Al lanzar una moneda
a) Al sacar un número de 100
b) Al lanzar un dado
c) Al sacar una carta de la baraja
d) Al lanzar una moneda
16
30°
1,8m
α
C
A
B

249
________________________________________
Grado: _________________________________
Fecha: _________________________________
Instrucciones
Correcto Incorrecto
1) A B C D
2) A B C D
3) A B C D
4) A B C D
5) A B C D
6) A B C D
7) A B C D
8) A B C D
9) A B C D
10) A B C D
11) A B C D
12) A B C D
13) A B C D
14) A B C D
15) A B C D
13. Lee y analiza.
¿Cuál es la probabilidad de ganar una rifa de 1 000
boletos si se compró 80 boletos?
a) 0,8 c) 0,4
b) 0,08 d) 12
14. Lee y analiza.
Estos dos triángulos son semejantes, encuentra
el valor de AB, si PQ = 25, QR = 15 y BC = 5.
a) 5 c) 3
b) 4 d) 6
15. Lee y analiza.
¿Cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rec-
tángulo, si � es el doble que �, y PQ mide 8 cm?

a) 8,3 c) 9,23
b) 10,5 d) 8,5
Q
RP
��

250
I.M.4.6.2. Reconoce y aplica las razones trigonométricas y sus
relaciones en la resolución de triángulos rectángulos y en situaciones
problema de la vida real. (I.3.)
I.M.4.8.2. Calcula probabilidades de eventos aleatorios empleando
combinaciones y permutaciones, el cálculo del factorial de un
número y el coeficiente binomial; operaciones con eventos (unión,
intersección, diferencia y complemento) y las leyes de De Morgan.
Valora las diferentes estrategias y explica con claridad el proceso lógico
seguido para la resolución de problemas. (I.2., I.4.)
4. Completa la siguiente tabla. El espacio muestral
E = {5, 7, 9, 10}, siendo el suceso: A = {5, 9, 10}.

Suceso B A ∪ B Bc
B – A
B = {5, 9}
B = {10}
B = {9, 10}
B = {9}
5. Resuelve el siguiente crucigrama.

Horizontales
3. Operación cuando los sucesos se realizan
simultáneamente.
5. Cuando los elementos de un suceso están en
A o en B se representa por la:
6. Cuando la intersección de dos sucesos es
diferente al vacío son sucesos:
Verticales
1. Son subconjuntos del espacio muestral.
2. Un suceso que pertenece a uno pero no al
otro.
4. La intersección de un suceso con su
complemento es el:
1. Determina las ecuaciones cuadráticas, dadas sus
raíces.
a) 6 y –3
b) 4 y –7
c) –6 y –8
d) 12 y 24
a) El área de un terreno rectangular mide
600 m². Si la longitud es 10 metros más que
el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del
terreno?
b) Un persona golpea una pelota de tenis, cuya
trayectoria está modelada por la ecuación,
y = –0,0113x 2 + x + 1,5, donde x es la distancia
recorrida (en metros) y y es la altura (también
en metros). ¿Qué tan largo es el tiro?
3. Resuelve el problema y escribe sus razones
trigonométricas.
Dados los siguientes datos, ¿cuál es la distancia
del barco a lo alto del faro?

55
d = 350 m
º

1
2
4
5
6
3
° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
55 55
55 55
55 55
° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
55 55
55 55
55 55
° = ° =
° = ° =
° = ° =
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
55 55
55 55
55 55

I.ECA.X.X.X. Xxxx I.ECA.X.X.X. Xxxx
251
Coevaluación
10. Resuelvan el problema.
La distancia de una persona a la punta de un
poste es 45 m. Si la persona observa la punta
del poste con un ángulo de 76°, ¿cuál es la altura
del poste? ¿Cuál es la distancia de la persona a la
base del poste?
11. Determinen las operaciones entre sucesos si se
lanza una moneda dos veces y se consideran los
sucesos:
A = sale al menos una cara, B = salen dos caras o
dos sellos. Calculen los sucesos:

∪
∩
−
−
∪
A B
A B
A B
B A
A B
( )
( )
( )
( )
C C
12. Calculen.
La probabilidad de que apruebe matemática es
0,65; la probabilidad de que apruebe física es
0,4 y la de que apruebe ambas es 0,55. ¿Cuál es
la probabilidad de que apruebe matemática o
apruebe física?
Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta
correcta.
6. Selecciona la ecuación cuadrática sin resolverla,
dadas sus raíces: x1 = –3 y x₂ = –5
a) x² + 8x + 15 b) x² – 8x – 15
c) x² + 8x – 15 d) x² – 8x + 15
7. Selecciona la respuesta correcta.
La tangente de un ángulo es igual a:

cat. opuesto
hipotenusa
cat. opuesto
cat. adyacente
cat. adyacente
cat. opuesto
hipotenusa
cat. adyacente
cat. opuesto
hipotenusa
cat. opuesto
cat. adyacente
cat. adyacente
cat. opuesto
hipotenusa
cat. adyacente
a) Las razones trigonométricas se obtienen en
cualquier triángulo. ( )
b) Las razones trigonométricas se realizan siem-
pre con el ángulo de 90°. ( )
9. Selecciona la respuesta correcta. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número impar de
una baraja de 52 cartas?

5
52
4
13
5
13
8
13
5
52
4
13
5
13
8
13
Autoevaluación
• ¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en esta unidad, en situación de la vida cotidiana?
Metacognición
Contenidos
Aplico las propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo
grado en la resolución de problemas en la vida cotidiana.
Aplico las razones trigonométricas en la resolución de problemas en la
vida cotidiana.
Realizo operaciones entre eventos y calculo probabilidad de eventos
aleatorios en la resolución de problemas.
a)
c)
a)
c)
b)
d)
b)
d)
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TIC
¿Qué es GeoGebra?
GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente
geometría, álgebra y cálculo. Lo puedes descargar del Internet, en la siguiente
dirección:
http://geogebra.softonic.com/descargar
Uso de GeoGebra para la función cuadrática
Puedes utilizar GeoGebra para graficar una función cuadrática y determinar sus
características. Por ejemplo, vamos a graficar la función cuadrática f(x) = x2
+ 2x – 1.
f(x) = x^2+2x –1
1. Ingresa es esta barra
la función cuadrática:
f(x) = x^2+2x –1
2. En vista algebraica te
aparecerá la ecuación
cuadrática.
4. En la barra de entrada
ingresa el eje de
simetría de la parábola.
3. Selecciona punto
y haz clic en el vértice
de la parábola.
Uso de Geogebra para graficar funciones
252

253
Uso de GeoGebra en la resolución de sistemas de ecuaciones
Vamos a obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Sistemas de inecuaciones lineales
Encontremos la solución del sistema de inecuaciones lineales:
x + y = –1
x – 2y = 3
x – y ≤ –1
4x – 3y > –2
1. En la barra de entrada
ingresa las ecuaciones
lineales una por una.
1. Ingresa las inecuaciones
una por una en la barra de
entrada.
3. Observa que la primera
inecuación tiene una línea
continua y la segunda línea
es punteada.
4. La región factible del
sistema de inecuaciones
es la parte sombreada
más oscura.
2. Haz clic en alfa para
encontrar el símbolo
mayor que o igual.
4. En vista algebraica observa
las ecuaciones del sistema de
coordenadas de la solución.
2. Selecciona en intersección
y haz clic en las rectas
para obtener la solución
del sistema.
3. El punto A es la solución
al sistema de ecuaciones.
5. Puedes cambiar el color
de las rectas, haciendo clic
derecho y seleccionando
propiedades.

254
1. Selecciona menú 5 Graph.
3. Con la tecla F6, recorre a la
derecha y selecciona y >.
4. Digita el segundo miembro
de la inecuación. Utiliza la
tecla para la incógnita x.
Una de las calculadoras graficadoras es la f(x) 9869 G SD. La puedes descargar gratis
desde Internet.
Esta calculadora consta de varios menús, con uno de los cuales vamos a trabajar
para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
Solución de una inecuación con dos variables
Vamos a encontrar la región solución de la inecuación y > 3x – 6.
2. Selecciona Type F#.
5. Presiona la tecla F6
Draw y aparecerá
el gráfico de la
inecuación con dos
incógnitas.
6. Observa que la recta
aparecerá con línea
punteada; esto se debe
a que la inecuación no
es estricta.
Uso de la calculadora graficadora f(x) 9869 G SD

255
Solución de un sistema de inecuaciones con dos variables
Resolver el sistema de inecuaciones lineales: y > 2x –3
y ≤ –x2
1. A partir del punto 4 del
ejercicio anterior, selecciona
Type con la tecla F6 y recorre
a la derecha.
2. Digita la inecuación
y presiona la tecla .
3. Aparece la región solución
sombreada. Verifica la
solución con un punto de
ese renglón.

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Bibliografía
Webgrafía
256
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http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ine2_Contenidos.html

Educación General Básica
Matemática
Décimo grado
Prohibida
su
com
ercialización

El grajo
Antón Chéjov
Llegaron volando los grajos, giraban a montones sobre los cam-
pos rusos. Elegí al más respetable de todos ellos y comencé a
hablar con él. La mala suerte es que me tocó un grajo razonador
y moralizante, así que la conversación resultó algo aburrida. Esto
fue lo que conversamos:
—Dicen que ustedes los grajos viven mucho tiempo. Tanto a uste-
des como a los lucios, los colocan los naturalistas como ejemplo
de una longevidad extraordinaria. ¿Cuántos años tiene usted?
—Trescientos setenta y seis años.
—¡Oh! ¿De verdad? ¡Sí que habrás vivido! ¡A saber cuántos artícu-
los hubiera escrito yo para La antigüedad rusa y El mensaje de
la historia de ser tan mayor como usted! ¡Si yo viviera trescien-
tos setenta y seis años no me imagino cuántos relatos, cuentos
y escenas hubiera escrito en ese tiempo! ¡Cuánto habría ganado!
¿Usted qué ha hecho en todo ese tiempo, grajo?
—¡Absolutamente nada, señor! Únicamente bebí, comí, dormí y me
multipliqué…
—¡Debería darle vergüenza! ¡Me avergüenzo yo y me compadezco,
pájaro estúpido! ¡Ha vivido trescientos setenta y seis años y es
tan tonto como hace trescientos! ¡No ha progresado nada!
—Pero no llega la inteligencia, señor, con la longevidad, sino con
la instrucción y educación. Mire usted el ejemplo de China… Más
que yo ha vivido, y sigue siendo la misma indulgente que era hace
mil años.
—¡Trescientos setenta y seis años! ¡Pero si eso es una eternidad!
En tanto tiempo, yo habría intentado entrar en todas las faculta-
des, me habría casado veinte veces, hubiera probado todas las ca-
rreras y empleos, a saber para qué cargo hubiese valido, y seguro
que me habría muerto como uno de los Rothschild. ¿Pero no ve
que un rublo en un banco, al cinco por ciento de intereses, se con-
vertiría en un millón al cabo de doscientos ochenta y tres años?
¡Haga las cuentas! Si hace doscientos ochenta y tres años hubiera
depositado usted un rublo en el banco, ¡ahora tendría un millón!
Prohibida
su
com
ercialización

¡Eres tonto, tonto! ¿No te da pena y vergüenza ser tan tonto?
—Ni lo más mínimo… Nosotros seremos tontos, pero sin embargo
nos consuela que en cuatrocientos años de vida, hacemos bastan-
tes menos tonterías que las que un hombre hace en cuarenta… ¡Sí,
señor! Vivo desde hace trescientos setenta y seis años, pero no he
visto ni una sola vez a los grajos peleándose entre ellos, matándo-
se los unos a los otros, y en cambio ustedes no pueden recordar
un solo año sin guerra… Entre nosotros no nos desplumamos, no
nos difamamos, no nos hacemos chantajes, no escribimos malas
novelas ni poemas, no publicamos periódicos sensacionalistas…
He vivido trescientos setenta y seis años y no he visto que nues-
tras hembras engañen y ofendan a sus maridos. ¿Y ustedes, se-
ñor? Entre nosotros no hay sirvientes, ni aduladores, ni traidores,
ni vendedores de Cristo…
Pero en ese momento a mi interlocutor lo llamaron sus compa-
ñeros, y, sin acabar su discurso, salió volando a través del campo.
Tomado de https://bit.ly/2uUzSMY (19/03/2018)
Antón Chéjov (1860-1904). Narrador y dramaturgo ruso. Considerado el representante
más destacado de la escuela realista en Rusia. Su obra es una de las más importantes
de la dramaturgia y la narrativa de la literatura universal. Entre sus cuentos destacan
La dama del perrito, Mala suerte, Un hombre extraordinario.
Libros quemados y sabios enterrados
Mary Dolciani, Simon Berman, Julus Freilich
Mucho se ha oído de la Gran Muralla China, pero ¿se ha oído
sobre el emperador que la utilizó como campo de concentración
para sabios? Su nombre fue Shih Huang Ti y subió al trono el año
221 a.C.
Prohibida
su
com
ercialización

Shih Huang Ti tenía delirio de grandeza y estaba empeñado en
ser recordado como el más grande de todos los emperadores. En-
tre otras cosas, deseaba la fama de haber sido el gobernante bajo
cuyo reinado la ciencia había crecido más allá de toda medida.
Escogió un extraño camino para lograr este último deseo. Ordenó
que todos los libros sobre ciertos tópicos —incluyendo Matemá-
ticas y otras ciencias relacionadas— sean quemados. Al parecer,
su razonamiento fue el siguiente: “Si en los años venideros no
existen en toda China libros de Matemáticas escritos antes de
mi reinado, y sí, en cambio, muchos escritos durante él, la gente
creerá que las Matemáticas empezaron conmigo”.
Shih Huang Tu sabía que los sabios no accederían a quemar sus
libros, de modo que impuso un castigo para quienes desobedecie-
ran su orden: ser marcado con hierro y pasar cuatro años de tra-
bajos forzados en la Gran Muralla. Aun así, 460 sabios se agrupa-
ron para desafiar al emperador. Shih Huang Ti fue más poderoso
que ellos: hizo que fueran enterrados vivos.
Así, los libros fueron quemados y el emperador pidió otros nue-
vos. Por supuesto, se escribieron nuevos libros. Los matemáticos
que no estaban trabajando en la Gran Muralla ni habían sido en-
terrados vivos trabajaron arduamente para archivar sus conoci-
mientos, para el uso de las futuras generaciones. Uno de los libros
que reescribieron fue el llamado Aritmética en nueve secciones.
Hay razones para suponer que este libro fue escrito originalmen-
te antes del año 1000 a.C.
Tomado de Dolciani, M., Berman, S. y Freilich, J. (1976). Álgebra moderna. Estructura y
método. México: Publicaciones Cultural S.A.
Mary Dolciani (1923-1985). Fue profesora de Matemáticas, además de directora y pro-
fesora de varios institutos para profesores. Su obra se dedicó a los problemas que sur-
gen en la enseñanza de las Matemáticas a nivel preparatorio.
Simon Berman. Profesor de Matemáticas en el Brooklyn Politechnic Institute. Fue miem-
bro de varios comités que han formulado programas de Matemáticas.
Julus Freilich. Director de la escuela Floyd Bennett, jefe del departamento de Matemá-
ticas del Brooklyn Technical High School e instructor en Brooklyn Polytechnic Institute.
Prohibida
su
com
ercialización

Euler, el águila matemática (fragmento)
Marcus du Sautoy
Los años centrales del siglo XVIII fueron un período de mecenaz-
go cortesano. Se trata de la Europa prerrevolucionaria, cuando
los países estaban regidos por déspotas ilustrados: Federico el
Grande en Berlín, Pedro el Grande y Catalina la Grande en San
Petersburgo, Luis XV y Luis XVI en París. Bajo su mecenazgo
se financiaron las academias que dieron impulso intelectual a la
Ilustración. Para aquellos soberanos, el rodearse de intelectuales
en sus cortes era un signo de distinción y eran conscientes de la
potencialidad de las ciencias y de las matemáticas para aumentar
las capacidades militares e industriales de los países que regían.
El padre de Euler era pastor, y esperaba que su hijo lo siguiese en
su carrera eclesiástica; sin embargo, los precoces talentos mate-
máticos de Euler habían reclamado la atención de los poderosos:
bien pronto las academias de toda Europa empezaron a hacerle
ofertas. Estuvo tentado de inscribirse en la Academia de París,
que en aquella época se había convertido en el centro mundial de
la actividad matemática, pero eligió aceptar la oferta que recibió
en 1726 de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, piedra
angular de la campaña que Pedro el Grande promovió para la
mejora de la instrucción en Rusia. Allí, Euler se reencontraría con
distintos amigos de Basilea que habían estimulado su interés por
las matemáticas cuando era niño (…) La producción posterior de
Euler fue tan vasta que, cincuenta años después de su muerte,
acaecida en 1783, la Academia de San Petersburgo estaba toda-
vía publicando los materiales que se guardaban en sus archivos.
El papel del matemático cortesano queda reflejado a la perfec-
ción en una anécdota que habría tenido lugar mientras Euler se
encontraba en San Petersburgo: Catalina la Grande tenía como
Prohibida
su
com
ercialización

huésped al famoso filósofo ateo francés Denis Diderot. Diderot
tuvo siempre una actitud más bien despreciativa hacia las mate-
máticas, manteniendo que estas no añadían nada a la experiencia
y que únicamente servían para interponer un velo entre los hom-
bres y la naturaleza. Catalina se cansó pronto de su huésped, pero
no por sus ideas hacia las matemáticas sino por sus irritantes
intentos de hacer tambalear la fe religiosa de los cortesanos. Ca-
talina la Grande estaba menos interesada en las demostraciones
matemáticas de la existencia de Dios que en la obra de Euler en el
campo de la hidráulica, de las construcciones navales y de la ba-
lística. Los intereses del matemático suizo se dirigían a todos los
rincones de las matemáticas de su tiempo: además de dedicarse
a las matemáticas militares, Euler escribió sobre teoría de la mú-
sica, aunque se da la paradoja de que su tratado fue considerado
demasiado matemático por los músicos y demasiado musical por
los matemáticos (…).
A pesar de su pasión por las demostraciones, en lo más profundo
Euler seguía siendo, por encima de todo, un matemático experi-
mental: muchas de sus argumentaciones contenían pasos que no
eran totalmente rigurosos; que andaban, a fin de cuentas, sobre el
filo de la navaja. Ello no le preocupaba, a condición de que condu-
jeran a nuevos descubrimientos interesantes. Como matemático,
poseía excepcionales capacidades de cálculo y era extraordina-
riamente hábil manipulando fórmulas hasta conseguir que apare-
cieran extrañas conexiones. Como hizo notar el académico fran-
cés François Arago: “Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como
los hombres respiran o las águilas se sostienen en el viento”.
Tomado de Du Sautoy, M. (2007). La música de los números primos. Barcelona: Acantilado.
Marcus Peter Francis du Sautoy (1965). Es un escritor inglés, presentador, columnista y
profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford.
Prohibida
su
com
ercialización

Un acto desesperado: el bolso veloz
Aline Guevara
Hora: 7:00 a.m. La estación del metro Chilpancingo se encuentra
atiborrada. En cuanto llega el tren, la gente se arremolina. No tra-
ta de alcanzar un asiento libre, sino, sencillamente, de entrar a los
vagones. Todo mundo sube a empellones. El convoy avanza. Una
señora se percata de que un muchacho deja libre un asiento. Por
un instante todos miran hacia el espacio vacío.
Un hombre hace el gesto de ocupar el asiento... pero ya no es posi-
ble. La señora ha lanzado un bolso que ha dado justo en el blanco.
El hombre refunfuña pero no se atreve a reclamar. Los testigos
de esta acción vuelven a posar la mirada en ninguna parte. Solo
uno de ellos se queda pensando en lo ocurrido: “El bolso voló un
metro y medio, aproximadamente... —piensa el testigo silencio-
so— y tardó un segundo en caer en el asiento. Pero ¿y si alguien
hubiera visto la acción desde el exterior? Si, por ejemplo, alguien
estuviera parado a un lado de las vías, ¿habría visto exactamente
lo mismo que yo?”
Nuestro testigo silencioso intuye que, vista desde el interior del
vagón, el bolso de la señora se desplazaría, en un segundo, el me-
tro y medio mencionado antes. Pero al observar el vuelo del bol-
so desde fuera —con el tren en movimiento—, este recorrería la
distancia que el tren cubrió durante un segundo —digamos unos
veintitrés metros— más el metro y medio que voló desde la mano
de la señora al asiento. Para el testigo del interior del vagón, el
bolso recorrió metro y medio. Visto desde fuera, en cambio, voló
veinticuatro metros y medio.
Prohibida
su
com
ercialización

Entonces, ¿qué distancia es la correcta? La velocidad a la que va
el bolso también depende del lugar desde donde se mida: al verla
desde dentro, vuela a un metro y medio por segundo, pero vista
desde fuera, lo hace a veinticuatro metros y medio por segundo.
Galileo, en un tiempo en que no había trenes, formuló una res-
puesta para esta pregunta. Para él, el movimiento es relativo a
quien lo observa. Esto significa que, en un caso como el del tren,
dependiendo del sitio desde donde los veamos, los objetos reco-
rren cierta distancia. Y eso quiere decir que ambas distancias son
correctas.
Tomado de Guevara Villegas, A. (2005). Un viaje especial. Mexico: Ediciones Castillo.
Aline Guevara Villegas (1974). Científica mexicana especialista en comunicación vi-
sual de la ciencia. Escribe textos y artículos, participa en programas de radio, y en el
desarrollo de acciones para llevar el saber científico y tecnológico a grandes sectores
de la población.
El trigo y los peces
Inés Kasner Tourné
Había una vez un país gobernado por un curioso rey llamado
Rodrigo, al que le gustaba mucho hablar con su pueblo. En ese
mismo lugar vivía un joven pescador llamado Mateo, aficionado
a las conjeturas matemáticas.
Un día, Rodrigo, paseando por el pueblo, vio a Mateo arreglando
su red y se acercó para ver cómo lo hacía. Mateo le preguntó:
—¿Necesitas algo, majestad?
El rey se quedó en silencio un rato y después le dijo:
—¿Quieres comer hoy conmigo? Me gustaría saber más de tu
oficio.
Mateo aceptó.
Prohibida
su
com
ercialización

Durante la comida Mateo contaba historias que le habían suce-
dido durante su vida de pescador. El rey se fue dando cuenta de
que Mateo era una persona inteligente y muy interesante. Pronto
el rey se sintió entusiasmado por la conversación del pescador,
ya que él, en su juventud, había sido muy aficionado a la pesca y
había conseguido muchos trofeos. Por ello le dijo:
—Podríamos hacer una competición para ver quién pesca más
durante todo el día de mañana. Si gano yo, tú serás el pescador
mayor del reino y, por tanto, deberás proporcionarme los mejores
peces para las fiestas de mi palacio durante los próximos dos
años. ¿Estás de acuerdo?
A Mateo le pareció bien. Entonces, Rodrigo le preguntó:
—Y, si ganas tú ¿cuál quieres que sea tu recompensa?
Mateo lo pensó detenidamente y respondió:
—Si gano yo, quiero que en el primer pez de los que yo haya cap-
turado pongas un grano de trigo; en el segundo, dos; en el tercero,
cuatro; en el quinto, ocho; aumentando cada vez el doble de la
cantidad anterior. El total de los granos de trigo que conlleve mi
pesca así calculados, será mi recompensa.
El rey se quedó un poco sorprendido por lo que había pedido
Mateo pero, sin pensarlo mucho, aceptó. Al día siguiente, muy de
madrugada, Mateo y Rodrigo se reunieron en la playa. Cogieron
una barca cada uno y empezaron la competición. Al caer la noche
terminaron y empezaron a contar los peces capturados por cada
uno de ellos para saber quién había ganado. Empezaron por el
rey: 1, 2, 3, 4, 5... El rey había conseguido ¡81peces! Llegó el turno
de Mateo y empezaron a contar: 1, 2, 3, 4, 5... 81, 82, 83 y ¡84! Mateo
había conseguido ¡84 peces! Había ganado.
Prohibida
su
com
ercialización

—Enhorabuena —le dijo el rey, y mandó traer una bolsa de trigo
para pagar enseguida su deuda. Empezó a colocar un grano de
trigo en el primer pez, dos en el segundo, cuatro en el tercero, y
así sucesivamente, conforme había acordado con Mateo. No había
llegado aún a la mitad, cuando ya la cantidad de trigo del saco
se había acabado y el rey empezó a intuir que la cantidad final
podría ser enorme. Alrededor del pez 50 el rey dijo:
—Mateo, veo que no voy a poder pagar mi deuda ni con toda mi
riqueza pero, como soy hombre de palabra, te entrego todo lo que
tengo, mi reino entero. Has sido un hombre astuto al elegir tu
premio.
Mateo le contestó:
—Majestad, no necesito tu reino, me gusta mi vida sencilla de
pescador. Te perdono tu deuda, puesto que, para mí, no hay mayor
riqueza que el conocimiento de las matemáticas y saber emplear-
las en todo.
El rey muy aliviado le dio las gracias y le nombró consejero real,
tratando con él, a partir de entonces, todos los temas delicados de
la corte. Al día siguiente, el rey se dio cuenta de que el día ante-
rior había aprendido algo muy importante: No hay mayor riqueza
que saber Matemáticas.
Tomado de https://bit.ly/2UOjH2t (05/02/2018)
Inés Kasner Tourné. Divulgadora de conocimientos matemáticos.
.
Prohibida
su
com
ercialización

La tangente
Felipe León
¿Y la tangente, señor Arcipreste?...
¿El radio de la esfera que se quiebra y se fuga?
¿La mula ciega de la noria, que un día, enloquecida, se liberta del
estribillo rutinario?...
¿La correa cerrada de la honda, que se suelta de pronto para que
salga la furia del guijarro?...
¿Esa línea de fuego tangencial que se escapa del círculo y luego
se convierte en un disparo?
Porque el cielo... Señor Arcipreste, ¿sabe usted?,
No hay arriba ni abajo...
y la estrella del hombre
es la que ese disparo va buscando,
ese cohete místico o suicida, rebelde, escapado...
De la noria del Tiempo
como el dardo,
como el rayo,
como el salmo.
Dios hizo la bola y el reloj: la noria dando vueltas y vueltas sin
cesar,
y el péndulo contándole las vueltas, monótono y exacto...
El juguete del niño, señor Arcipreste,
¡el maravilloso regalo!
Pero un día el niño se cansa del juguete y se le saca las tripas y
el secreto
como a un caballito mecánico,
como a un caballito de serrín y de trapo.
Es cuando el niño inventa la tangente, Señor Arcipreste,
la puerta mística de los caballeros del milagro,
de los grandes aventureros de la luz,
Prohibida
su
com
ercialización

de los divinos cruzados de la luz, de los poetas suicidas, de los
enloquecidos y los santos
que se escapan en el viento en busca de Dios para decirle
que ya estamos cansados todos, terriblemente cansados
de la noria y del reloj,
del hipo violáceo del tirano,
de las barbas y las arrugas eternas,
de los inmóviles pecados,
de este empalagoso juguete del mundo,
de este monstruoso, sombrío y estúpido regalo,
de esta mecánica fatal, donde lo que ha sido es lo que será
y lo que ayer hicimos, lo que mañana hagamos.
Tomado de https://bit.ly/2WOyTtE (06/03/2018)
Felipe León (1884-1968). Su nombre completo Felipe Camino Galicia de la Rosa, fue un
poeta español de la Generación del 27.
Declaración matemática
Manuel Ossorio y Bernard
Niña, me postro a tus pies
para pintar la pasión
que abrasa mi corazón
como dos y una son tres.
Escucha mi amor vehemente,
pues, desde que te he conocido,
continuamente ha crecido
en progresión ascendente.
Prohibida
su
com
ercialización

Que me quieras solicito
y esta no mires esquiva:
si es mi beldad negativa
mi cariño es infinito.
Multiplicamini, etcetra,
dijo Dios al padre Adán,
y yo quiero ese refrán
seguir al pie de la letra.
Mas no fundo mi porfía
en una incógnita unión
que es regla de aligación
o de falsa compañía.
No a fe, y en buen testimonio
del fin que mi amor barrunta,
quiero la regla conjunta
que se llama matrimonio.
Si no sumo grandes bienes
tengo un caudal de razones;
piensa que no hay proporciones
cual la que en tu mano tienes.
Y si bien no da la ciencia
para pavos ni perdices,
ni tengo bienes raíces
ni he de elevarme a potencia,
Prohibida
su
com
ercialización

sabré, aunque el mundo lo note,
prestar a interés compuesto,
y solamente con esto
multiplicaré tu dote.
Espero respuesta el martes.
Madrid, tantos... sin errata.
Tuyo,
Pascasio.
Postdata:
Si me desprecias me partes.
Tomado de https://bit.ly/2UprhB5 (19/03/2018)
Manuel Ossorio y Bernard (1839-1904). Escritor y periodista español. Abordó, desde
diferentes perspectivas, la literatura para niños y jóvenes.
Los viajes de Gulliver (fragmento)
Jonathan Swift
Solo podía mirar hacia arriba; el sol empezaba a calentar y su luz
me hería la vista. Oía un ruido confuso a mi alrededor, pero en la
postura en que yacía solo podía ver el cielo. Al poco tiempo sentí
que se movía sobre mi pierna izquierda algo vivo que, avanzan-
do lentamente sobre el pecho, me llegó casi hasta la barbilla; al
forzar la mirada hacia abajo cuanto pude, advertí que se trataba
de una criatura humana cuya altura no llegaba a quince centí-
metros, con arco y flecha en las manos y una aljaba a la espalda.
Prohibida
su
com
ercialización

Entretanto, sentí que por lo menos cuarenta más de la misma es-
pecie (según mis conjeturas) seguían al primero. Se apoderó de
mí un asombro enorme, y rugí tan fuerte que todos ellos salieron
corriendo aterrorizados; y algunos, según me contaron después,
resultaron heridos de las caídas que sufrieron al saltar de mis
costados al suelo. No obstante, regresaron pronto, y uno de ellos,
que se arriesgó hasta el punto de tener una completa visión de
mi cara, levantando los brazos y los ojos debido a la admiración,
exclamó con una voz chillona, aunque con toda claridad: hekinah
degul. Los demás repitieron las mismas palabras varias veces;
pero yo entonces no sabía lo que querían decir U(…)
Estas gentes son magníficos matemáticos, y han alcanzado una
gran perfección en la mecánica mediante la aprobación y el es-
tímulo del emperador, que es un célebre mecenas de la ciencia.
Este príncipe tiene varias máquinas montadas sobre ruedas para
el transporte de árboles y otros grandes pesos. Muchas veces
construye sus mayores buques de guerra, algunos de los cuales
tienen hasta casi tres metros de largo, en los bosques donde crece
la madera, y luego los hace llevar en estos ingenios trescientos o
cuatrocientos metros hasta el mar. Quinientos carpinteros e in-
genieros se pusieron inmediatamente a la obra para disponer el
mayor ingenio de cuantos tenían. Era un tablero levantado casi
ocho centímetros del suelo, de unos dos metros de largo y tres de
ancho, que se movía sobre veintidós ruedas. El vocerío que había
oído había sido provocado por la llegada de este artilugio, que, se-
gún parece, emprendió la marcha cuatro horas después de haber
pisado yo tierra.
Lo colocaron paralelo a mí, que permanecía acostado. Pero la
principal dificultad era alzarme y colocarme en dicho vehículo.
Ochenta postes, de treinta centímetros de alto cada uno, fueron
erigidos para este fin, y cuerdas muy fuertes, del grueso de bra-
mantes, se sujetaron con garfios a numerosas vendas con que
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los trabajadores me habían ceñido el cuello, las manos, el cuerpo
y las piernas. Novecientos hombres de los más robustos fueron
empleados en tirar de estas cuerdas por medio de muchas poleas
fijadas en los postes, y así, en menos de tres horas, fui levantado,
descolgado sobre la máquina y en ella atado fuertemente.
Todo esto me lo contaron, porque mientras se realizaba la ope-
ración yacía en profundo sueño, a consecuencia de aquel medi-
camento soporífero que me echaran en el vino. Mil quinientos
de los mayores caballos del emperador, de casi doce centímetros
de alto cada uno, fueron empleados para llevarme hacia la me-
trópolis, que, como ya he dicho, se hallaba a unos ochocientos
metros. Unas cuatro horas después de emprender nuestro viaje,
me despertó un accidente ridículo; pues dado que el carruaje se
había detenido un rato para reparar no sé qué avería, dos o tres
jóvenes nativos tuvieron la curiosidad de ver qué aspecto tenía
yo mientras dormía; se subieron a la máquina y avanzando muy
sigilosamente hasta mi cara, uno de ellos, oficial de la guardia,
me metió la punta de su chuzo por la ventana izquierda de la
nariz hasta buena altura, el cual me cosquilleó como una pajita
y me hizo estornudar violentamente. Entonces se zescabulleron
sin ser descubiertos, y hasta tres semanas después no conocí la
causa de haberme despertado tan de repente. Hicimos una larga
marcha en lo que quedaba de aquel día, y descansé por la noche
con quinientos guardias a cada lado, la mitad con antorchas y la
otra mitad con arcos y flechas, dispuestos a asaetearme si se me
ocurría moverme.
Tomado de https://bit.ly/2UpQcV9 (20/03/2019)
Jonathan Swift (1667-1716). Fue un escritor satírico irlandés. Su obra principal es Los
viajes de Gulliver.
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