16 autenticafirma

Seguridad Informática y Criptografía
Material Docente de
Libre Distribución
Ultima actualización del archivo: 01/03/06
Este archivo tiene: 63 diapositivas
Dr. Jorge Ramió Aguirre
Universidad Politécnica de Madrid
Curso de Seguridad Informática y Criptografía © JRA
v 4.1
Capítulo 16
Autenticación y Firma Digital
Este archivo forma parte de un curso completo sobre Seguridad Informática y Criptografía. Se autoriza el
uso, reproducción en computador y su impresión en papel, sólo con fines docentes y/o personales,
respetando los créditos del autor. Queda prohibida su comercialización, excepto la edición en venta en el
Departamento de Publicaciones de la Escuela Universitaria de Informática de la Universidad Politécnica de
Madrid, España.

© Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006
Capítulo 16: Autenticación y Firma Digital Página 2
¿Interesa confidencialidad o integridad?
Si bien en ciertos escenarios es muy importante
mantener el secreto de la información, siempre que
ésta lo requiera, en muchos casos tiene quizás más
trascendencia el poder certificar la autenticidad
entre cliente y servidor como ocurre en Internet.
• Confidencialidad
• Para lograrla se cifra el mensaje M, número N o
clave K obteniendo un criptograma.
• Integridad
• Para lograrla se firma un hash del mensaje h(M),
añadiendo una marca al mensaje o criptograma.

Algunos problemas de integridad
a) Autenticidad del emisor
¿Cómo comprueba Benito (B) que el mensaje recibido del emisor
que dice ser Adela (A) es efectivamente de esa persona?
b) Integridad del mensaje
Adela (A) es el auténtico y no un mensaje falso?
c) Actualidad del mensaje
Adela (A) es actual, no un mensaje de fecha anterior reenviado?

Más problemas de integridad
d) No repudio del emisor
¿Cómo comprueba Benito (B) que el mensaje enviado por el emisor
Adela (A) -y que niega haberlo enviado- efectivamente ha llegado?
e) No repudio del receptor
¿Cómo comprueba Benito (B) que el mensaje enviado al receptor
Adela (A) -y que niega haberlo recibido- efectivamente se envió?
d) Usurpación de identidad del emisor/receptor
¿Cómo comprueba Benito (B) que Adela (A), Carmen (C) u otros
usuarios están enviando mensajes firmados como Benito (B)?

Primer escenario de integridad
Escenario de desconfianza
1ª Solución. Uso de una
tercera parte de confianza
activa. Un juez tendrá una
clave KA con la que se
comunica con A y una
clave KB con la que se
comunica con B.
Si A envía un mensaje M a B:
A cifra M con la clave KA ⇒
EKA(M) y lo envía al juez. Este
comprueba la integridad de A,
lo descifra y envía a B, cifrado
con KB, el mensaje M, la
identidad de A y la firma
EKA(M): EKB{M, A, EKA(M)}.
Ambos confían en el juez y
ante cualquier duda éste puede
comprobar la identidad de A
ante B descifrando EKA(M).Se usará criptografía simétrica

Segundo escenario de integridad
Escenario de desconfianza
2ª Solución. Uso de una
tercera parte de confianza
no siempre activa. Esta
parte sólo actúa cuando se
produce un conflicto entre
los interlocutores, quienes
se autentican a través de
ella que les certifica.
En este caso la
figura del juez se
conoce como una
Autoridad de
Certificación
Habrá una aceptación del
sistema de autenticación, tanto
por convencimiento propio de
los usuarios como por su
confianza en los algoritmos.Se usará criptografía asimétrica

Funciones y esquemas de autenticación
• Autenticación mediante el cifrado de mensajes con
criptografía simétrica
− La cifra de datos podría servir como autenticación.
• Autenticación con MAC Message Authentication Code o
checksum
− Una función pública y una clave secreta producen un valor
de longitud fija que es válida como autenticador.
• Autenticación mediante funciones hash
− Una función pública reduce el mensaje a una longitud de
valor hash que sirve como autenticador de integridad.
• Autenticación mediante firma digital del mensaje con
criptografía asimétrica
− Una función pública y un par de claves, pública y privada
inversas en un cuerpo, permiten la autenticación completa.

Autenticación con sistemas simétricos
Si la clave de un sistema simétrico es segura, es decir no
está en entredicho, podemos afirmar que, además de la
confidencialidad que nos entrega dicha cifra, se
comprueban también simultáneamente la integridad del
mensaje y autenticidad del emisor, en tanto que sólo el
usuario emisor (en quien se confía por el modelo, tipo de
cifra y en su clave pública) puede generar ese mensaje.
Con los sistemas de cifra simétricos no podremos
realizar una autenticación fácil y completa: emisor y
mensaje. Veremos un procedimiento algo complejo de
autenticación con cifra simétrica como es el caso de
Kerberos y un esquema de firma digital.

Los problemas de la autenticación simétrica
El intercambio de claves de forma segura ya hemos visto que
se logra eficientemente sólo a través de sistemas asimétricos.
Las herramientas más usuales para autenticación serán los
códigos de autenticación de mensajes MACs y el sistema
Kerberos con cifras simétricas. Kerberos también permite el
intercambio seguro de una clave de sesión aunque es más
complejo y pesado que el algoritmo de Diffie y Hellman.
No obstante, subyacen los problemas característicos de
un criptosistema: ¿cómo asegurar que la clave simétrica
entre emisor y receptor es segura? o lo que es lo mismo,
¿cómo intercambiar claves de forma segura?

Autenticación con MAC o checksum
• Los dos extremos de la comunicación A y B comparten
una única clave secreta que no está en entredicho.
• El MAC o checksum será una función que se aplica al
mensaje M junto a una clave secreta K de la forma CK(M).
• A envía el mensaje en claro y el Message Authentication
Code (MAC) o Checksum CK(M) a B.
• Integridad: el receptor B puede estar seguro de que nadie
ha modificado el mensaje durante la transmisión pues el
valor CK(M) en destino coincide con el enviado por A.
• Autenticación: como solamente el emisor A y el receptor B
comparten la clave secreta K, se asegura la autenticación
de ambos usuarios. Por lo tanto, la condición a cumplir es
que la clave K debe ser única y segura.

 Se inserta un código al final del mensaje M transmitido en
claro, consistente en la cifra con la clave secreta de los últimos
bytes del texto, por ejemplo 64 bits de DES o bien usando
Triple DES.
 En destino, con el mismo algoritmo y la clave secreta, se realiza
la cifra y se comparan estos últimos bloques.
 Como la cifra es CBC, encadenamiento de bloques cifrados,
esos bytes cifrados dependen de todo el mensaje por lo que
cualquier modificación será detectada al no coincidir los
resultados del cifrado de M en emisión y recepción.
Message Authentication Code con DES
http://www.faqs.org/rfcs/rfc3537.html

M1 M2 Mn... E (K,M)
M1 M2 Mn... Am
K
E (K,M) = Am ∈ MR MR: espacio de marcas de autenticación
Cifrado del último bloque en modo CBCMensaje M
¿Cuáles son las
debilidades de
este modelo?
• La Marca Am son 16, 32 ó 64 bits.
• Es un tamaño muy pequeño y podría
dar lugar a colisiones: mensajes
distintos con iguales MACs.
Esquema de autenticación MAC con DES
emisor
receptor

• Las funciones hash vistas (MD5, SHA-1, etc.) no han sido
diseñadas para la autenticación al carecer de clave secreta.
• No obstante, son interesantes puesto que su velocidad es mayor
que muchos cifradores de bloque, su código fuente es abierto y
sus propiedades y funcionamiento son muy conocidos.
• La RFC 2104 propone el uso de una autenticación en entornos
seguros como SSL mediante una operación MAC en la que
intervenga una función hash: su nombre es HMAC.
• HMAC usa entonces una función hash (MD5, SHA-1, etc.)
como una caja negra, una clave K en lo posible mayor que el
tamaño del hash en bits, una función xor y operaciones de
relleno de bits, tal como se muestra en el siguiente esquema.
Autenticación con funciones hash HMAC

Esquema de HMAC
⊕
ipadK+
b bits
hash
n bits
IV Relleno hasta b bits
S0
n bits
IV
hash HMACK(M)
S1 Y0 Y1 YL-1• • •
⊕
opadK+
b bits
Parámetros del esquema
en la siguiente diapositiva...
b bits
Yi bloques del mensaje
H(Si||M)
n bits
n bits
http://csrc.nist.gov/publications/fips/fips198/fips-198a.pdf

M = mensaje de entrada incluyendo el relleno.
H = alguna función hash como MD5 (128 bits) o SHA-1 (160 bits).
Yi = bloque iésimo de M.
L = número de bloques en M.
b = número de bits en cada bloque (512).
n = longitud del resumen del hash ocupado en el sistema (128 / 160 bits).
K = clave secreta (160 bits) aunque se recomienda sea mayor que n. Si la
clave K es mayor que n, esta clave se hace pasar antes por la función hash
para reducirla a una clave de n bits.
K+
= clave K con ceros añadidos a la izquierda para alcanzar b bits.
ipad = 00110110 octeto repetido b/8 (64) veces.
opad = 01011010 octeto repetido b/8 (64) veces.
Salida HMAC: HMACK = h{(K+
⊕ opad) || h[(K+
⊕ ipad) || M ]}
Parámetros, valores típicos y salida HMAC

• Añadir ceros a la izquierda de K hasta obtener K+
, una cadena de b bits.
• Sumar or exclusivo K+
con la cadena ipad para obtener S1 de b bits.
• Añadir a S1 el mensaje M como bloques Yi de b bits cada uno.
• Aplicar la función hash elegida a la cadena de bits antes formada, con el
vector inicial IV de n bits para generar un hash de n bits.
• Sumar or exclusivo K+
con la cadena opad para obtener S0 de b bits.
• Añadir a S0 el hash anterior, rellenando este último hasta b bits.
• Aplicar la función hash elegida a los dos bloques de b bits generados en
el paso anterior, con vector IV de n bits para generar un hash de n bits.
• El resultado de este último hash es el HMAC del mensaje M con la
clave K, es decir HMACK(M).
Operaciones y seguridad de HMAC
Aunque la seguridad de HMAC está directamente relacionada con el hash
utilizado, el modelo presentado no es seguro. Hay otras configuraciones
más desarrolladas que mejoran esta característica.

• Utilización de un KDC (Key Distribution Centre) o Distribuidor de
Claves de Confianza, que comparte una clave maestra con los clientes.
• Cada parte, usuario o entidad de la red comparte una clave secreta y
única o clave maestra con el KDC.
• El KDC se ocupa de distribuir una clave de sesión que va a ser
utilizada en la conexión entre dos partes.
• La clave de sesión se protege con la clave maestra de los participantes
de una comunicación.
• Entre los esquemas propuestos están el de Needham-Schroeder y el de
Denning-Sacco. Uno de los más conocidos y populares será Kerberos.
Autenticación con cifra simétrica y un KDC
http://www.isi.edu/gost/publications/kerberos-neuman-tso.html
http://www.lsv.ens-cachan.fr/spore/nssk.html

Propuesta de Needham y Schroeder (1978)
¿Qué sucede si no se
realizan los pasos 4 y 5?
Un intruso C podría capturar
el mensaje en el paso 3 y
repetirlo, interfiriendo así las
operaciones de B.
1. A → KDC: IDA||IDB||N1
2. KDC → A: EKA[KS||IDB||N1||EKB[KS||IDA]]
3. A → B: EKB[KS||IDA]
4. B → A: EKS[N2]
5. A → B: EKS[f (N2)]
IDA = Nombre de A o identificador de A
IDB = Nombre de B o identificador de B
NX = Valor nonce
KS = Clave de sesión
EKX = Cifrado con clave secreta de X
KX = Clave secreta de X (A o B)
f (N2) es una función
conocida por A y B.

• Algo más improbable es que un intruso C tenga una clave
de sesión antigua y repita el mensaje del paso 3 enviado a
B, quien no tiene porqué recordar todas las claves de
sesión usadas previamente con A.
• Si C captura el mensaje del paso 4, podrá suplantar la
respuesta de A del paso 5, enviando a B mensajes que
parecen venir de A con clave de sesión autenticada.
• Denning propone la inclusión de un valor timestamp en los
pasos 2 y 3. La utilización de timestamps requiere la
sincronización de relojes, pero la utilización de valores
nonce es también vulnerable. Se propone como solución
óptima dar una duración a la clave de sesión (tickets).
Más debilidades de la propuesta N-S

Solución propuesta por Denning y tickets
1. A → KDC: IDA||IDB
2. KDC → A: EKA[KS||IDB||T||EKB[KS||IDA||T]]
3. A → B: EKB[KS||IDA||T]
4. B → A: EKS[N1]
5. A → B: EKS[f (N1)]
T = Timestamp
| Clock – t | < ∆t1 + ∆t2
1. A → B: IDA||NA
2. B → KDC: IDB||NB||EKB[IDA||NA||TB]
3. KDC → A: EKA[IDB||NA||KS||TB]||EKB[IDA||KS||TB]||NB
4. A → B: EKB[IDA||KS||TB]||EKS[NB]
Tickets
Denning
Tickets
Solución al problema del timestamp

• El correo electrónico es un ejemplo de aplicación que
requiere este tipo de autenticación:
– No es necesario que el emisor y el receptor estén conectados
al mismo tiempo.
– El receptor necesita confirmar de alguna forma que el emisor
del mensaje es quien dice ser.
Autenticación en un sentido
Se garantiza así que sólo el receptor puede leer el mensaje
y autentica además al emisor. Es vulnerable a repeticiones.
1. A → KDC: IDA||IDB||N1
2. KDC → A: EKA[KS||IDB||N1||EKB[KS||IDA]]
3. A → B: EKB[KS||IDA]||EKS[M]

♣ Perro de tres cabezas y cola de serpiente según
mitología griega, guardián de la entrada del Templo de
Hades.
♣ Tres componentes guardarán esa puerta: Autenticación,
Contabilidad y Auditoría. Las dos últimas cabezas del
proyecto nunca han sido implementadas.
Autenticación con Kerberos
Kerberos fue un proyecto
desarrollado en 1988 por el
Massachusetts Institute of
Technology MIT, siendo su
objetivo la implementación de
un servicio de autenticación.
http://web.mit.edu/kerberos/www/

• Está basado en el protocolo de distribución de
claves de Needham & Schroeder.
• Usa un intercambio de claves con una tercera
parte de confianza.
• Fases de autenticación:
– Obtención de credenciales
• Tickets
• Autenticadores
– Petición de autenticación frente un servicio.
– Presentación de las credenciales al servidor final.
Características y fases de Kerberos

• Usuario, cliente y servidor: persona o máquina que necesita
autenticarse en la red.
• Principal: entidad o cliente que usa Kerberos y que ha sido
previamente autenticado por un servidor de autenticación.
• Servicio y servidor: servicio es una entidad abstracta (por
ejemplo correo) y servidor el proceso que lo ejecuta.
• Clave y password: función aplicada a la clave de usuario.
• Credenciales: lo que se utiliza para autenticarse.
• Maestros y esclavos: la máquina que hospeda la base de
datos es el master y esclavos son las máquinas que poseen
copias de ésta.
• Dominio: nombre de entidad administrativa que mantiene
los datos de autenticación.
Elementos del diálogo de autenticación

• Existen dos tipos de credenciales utilizadas en el modelo de
Kerberos: tickets y autenticadores.
• Es necesario un ticket para pasar de una forma segura la
identidad del cliente entre el servidor de autenticación y el
servidor final.
El ticket en la credencial de Kerberos
[s, c, addr, timestamp, life, KS,C]KS
s = nombre del servidor
c = nombre del cliente
addr = dirección Internet del cliente
timestamp = fecha de iniciación del ticket
life = duración
KS = clave de sesión aleatoria

El autenticador en la credencial de Kerberos
• El autenticador contiene información adicional que,
comparada con el ticket, prueba que el cliente que presenta
el ticket es el mismo a quien se le entregó,
Los objetivos de las credenciales son minimizar el número de veces
que un usuario tiene que introducir la password así como eliminar el
problema de enviar la password en texto plano por la red.
[c, addr, timestamp]KS,C
c = nombre del cliente
addr = dirección Internet de la estación de trabajo
timestamp = fecha de iniciación del ticket
KS,C = clave de sesión que es parte del ticket

Ejemplo de autenticación con Kerberos (1)
Se autenticará el usuario A ante el usuario B teniendo
como tercera parte de confianza al centro KDC.
Usarán el algoritmo DES.
A B
KDC
kA kB
Paso 1. A pide una credencial a KDC:
A → KDC ⇒ ID(A), ID(B), NA
Envía el número aleatorio NA para que
nadie pueda suplantar su identidad.
Paso 2. KDC genera una clave de sesión KS con período de validez L
y una credencial c para el usuario B:
m = EkA[KS, L, NA, ID(B)]; c = EkB[KS, L, ID(A)]
KDC → A ⇒ (m, c)

Paso 3. A descifra con su clave kA el valor m:
DkA [EkA[KS, L, NA, ID(B)] ] = KS, L, NA, ID(B)
Y luego con la clave de sesión entregada por KDC generará un
autenticador a para el usuario B junto con un sello temporal TA.
a = EKS[ID(A), TA]
A → B ⇒ (c, a)
Paso 4. B descifra con su clave kB c:
DkB[EkB[KS, L, ID(A)]] = KS, L, ID(A)
Ahora que tiene KS descifra el valor a:
DKS[EKS[ID(A), TA]] = ID(A), TA
Comprueba que coinciden los identificadores ID(A) del usuario A
y que TA está dentro del rango de validez L dado por KDC.

Paso 5. B calcula una función acordada con A por ejemplo (TA + 1)
y con la clave de sesión KS se lo envía cifrado:
B → A ⇒ h = EKS[TA + 1]
Paso 6. A descifra h con la clave de sesión KS:
DKS[EKS[TA + 1]] = TA + 1
Comprueba que coincide con lo acordado lo que le demuestra que
B ha recibido correctamente la clave de sesión KS.
La importancia del valor de TA es que permitirá más autenticaciones
dentro del período de validez L sin que sea necesario la intervención
de la tercera parte de confianza KDC.

Resumen del ejemplo de autenticación
• Los valores de c y m aseguran la confidencialidad en
la transmisión de la clave de sesión KS.
• Los valores de a y h aseguran la confirmación de la
recepción correcta de la clave de sesión KS por B.
• En este protocolo sólo se autentica A ante B.
• Existen extensiones del algoritmo que permiten una
autenticación doble entre A y B.
• Otra opción es que los usuarios A y B compartan una
clave KS sin que su valor sea conocido por KDC.
http://www.mug.org.ar/Infraestructura/ArticInfraestructura/300.aspx

El hash en la autenticación asimétrica
• h(M) es el resultado de un algoritmo que con una entrada
M de cualquier tamaño, produce salida de tamaño fijo.
• El emisor A envía el mensaje M y la función hash h(M) a
B, quien aplica la misma función al mensaje M’ recibido.
Si los mensajes son iguales entonces se asegura que los
hash también son iguales. No obstante, el hecho de que los
hash coincidan no significa que los mensajes M y M’ sean
iguales, como ya hemos visto en un capítulo anterior.
• Integridad: el receptor B puede confiar en que nadie ha
modificado el mensaje durante la transmisión pues el valor
h(M) en destino coincide con el enviado por A.
• Autenticación: es imposible la autenticación de usuario,
salvo que se use un modelo con clave tipo HMAC ya visto.

Son condiciones mucho más fuertes
que las de una firma manuscrita...
Son condiciones mucho más fuertes
que las de una firma manuscrita...
Características de una firma digital
Requisitos de la firma digital:
a) Debe ser fácil de generar.
b) Será irrevocable, no rechazable por su propietario.
c) Será única, sólo posible de generar por su propietario.
d) Será fácil de autenticar o reconocer por su propietario y
los usuarios receptores.
e) Debe depender del mensaje y del autor.
Esta última
propiedad es
muy importante
pues protege ante
la falsificación
de los mensajes

Firmas digitales simétricas
 Su usará una única clave secreta. Luego, persiste el
problema de comunicar la clave entre los comunicantes.
 Normalmente usarán la función XOR para realizar la
transformación.
 Podremos firmar mediante cifra en flujo y en bloque.
 Son muy rápidas por el tipo de cifra o bien por el uso de
bloques más pequeños que en otros tipos de firma.
 Algoritmos de firma: Rabin, Lamport-Diffie, Desmedt,
Matyas-Meyer basada en el DES ...
http://www.deas.harvard.edu/ourfaculty/profile/Michael_Rabin
http://research.microsoft.com/users/lamport/

Firma digital de Desmedt
• Propuesta por Yvo G. Desmedt en 1985.
• Se basa en el cifrado de Vernam.
• Elementos: parámetro q en bits, un mensaje M de longitud n
bits y una clave H de n∗q bits:
• H = {[h1
(1)
, ..., h1
(q)
], ..., [hn
(1)
, ..., hn
(q)
]}
∀ ∀i se cumplirá que [hi
(1)
, ..., hi
(q)
] ≠ (0, ..., 0)
i = n
• Algoritmo: rj = ⊕ mi∗hi
(j)
= m1∗h1
(j)
⊕ ... ⊕ mn∗hn
(j)
i = 1 (con j = 1, ..., q)
• Verificación de la firma: con el mensaje recibido se realiza el
mismo proceso del firmado hecho en emisión y se comprueba
que se obtiene una firma idéntica.
http://www.cs.fsu.edu/~desmedt/

Ejemplo de Firma digital de Desmedt
• Sea: mensaje M = 11011 de n = 5 bits, el parámetro q de
3 bits y la clave aleatoria H = (111, 100, 110, 001, 111).
• r1 = 1∗1 ⊕ 1∗1 ⊕ 0∗1 ⊕ 1∗0 ⊕ 1∗1 = 1
• r2 = 1∗1 ⊕ 1∗0 ⊕ 0∗1 ⊕ 1∗0 ⊕ 1∗1 = 0
• r3 = 1∗1 ⊕ 1∗0 ⊕ 0∗0 ⊕ 1∗1 ⊕ 1∗1 = 1
• Firma Desmedt: 101
• Como el receptor tiene esa clave H, que realiza la misma
operación en destino y compara ambas firmas.
 Como son sistemas sin uso actual, sólo se muestra aquí este sencillo
esquema. El lector interesado encontrará una amplia información en
el libro de Criptografía Digital de José Pastor y Miguel Angel
Sarasa que se menciona en el capítulo 21 de este libro electrónico.

Autenticación con sistemas asimétricos
Problema:
Los sistemas de cifra asimétricos son muy lentos y el mensaje
podría tener miles o millones de bytes ...
Solución:
Se genera un resumen del mensaje, representativo del mismo, con
una función hash imposible de invertir. La función hash comprime
un mensaje de longitud variable a uno de longitud fija y pequeña.
Al existir una clave pública y otra privada que
son inversas, se autentica el mensaje y al emisor.
Permite la firma digital, única para cada mensaje

Clave Pública (nA, eA) Clave Privada (dA)
Rúbrica: rAh(M) = h(M)dA
mod nAAlgoritmo:
A envía el mensaje M en claro (o cifrado) al destinatario B
junto a la rúbrica: {M, rAh(M)}
El destinatario B tiene la clave pública eA,nA de A
y descifra rAh(M) ⇒ {(h(M)dA
)eA
mod nA}
obteniendo así h(M). Como recibe el mensaje M’,
calcula la función hash h(M’) y compara:
Si h(M’) = h(M) se acepta la firma.
Adela
Benito
Firma digital RSA de A hacia B
http://www.enstimac.fr/Perl/perl5.6.1/site_perl/5.6.1/Crypt/RSA.html

• En los siguientes ejemplos, por limitación del tamaño de
los primos elegidos, se firmarán sólo bloques de una
cantidad determinada de bits en función del cuerpo de
trabajo.
• No obstante, en los sistemas reales esto no es así puesto que
las funciones hash ya vistas entregarán -por lo general-
resúmenes comprendidos entre 128 y 160 bits y, por otra
parte, el cuerpo de trabajo de la cifra asimétrica para la
firma digital será como mínimo de 1.024 bits.
• Por lo tanto el resumen que se firma es menor que el cuerpo
de cifra o, lo que es lo mismo, el número que se cifra será
parte del conjunto de restos de ese grupo.
Valores y tamaños típicos de firmas

AdelaBenito
Hola. Te envío el documento. Saludos, Beni.
Sea h(M) = F3A9 (16 bits)
Claves Benito
nB = 65.669
eB = 35, dB = 53.771
Claves Adela
nA = 66.331
eA = 25, dA = 18.377
h(M) = F3A916 = 62.37710
rh(M) = h(M)dB
mod nB
rh(M) = 62.37753.771
mod 65.669 = 24.622
Benito envía el par (M, r) = (M, 24.622)
Firma
Nota: los primos
que usa Benito
son (97, 677) y
Adela (113, 587)
216
< 65.669 < 217
Forzaremos firmar
bloques de 16 bits
Ejemplo de firma digital RSA (B → A)

Claves Benito
nB = 65.669
eB = 35, dB = 53.771
Claves Adela
nA = 66.331
eA = 25, dA = 18.377
Adela recibe un mensaje M’ junto con una rúbrica r = 24.622:
• Calcula reB
mod nB = 24.62235
mod 65.669 = 62.377.
• Calcula el resumen de M’ es decir h(M’) y lo compara con h(M).
• Si los mensajes M y M’ son iguales, entonces h(M) = h(M’) y se
acepta la firma como válida.
• Recuerde: El hecho de que h(M) = h(M’) no implica que M = M’.
Teníamos que: h (M) = F3A916 = 62.37710
rh(M) = h(M)dB
mod nB rh(M) = 62.37753.771
mod 65.669 = 24.622
Benito había enviado a Adela el par (M, r) = (M, 24.622)
AdelaBenito
Comprobación la firma RSA por A

Al trabajar en un grupo multiplicativo, se da el siguiente escenario:
Si se conoce la firma de dos mensajes M1 y M2, se puede firmar un tercer
mensaje M3 producto de los dos anteriores sin necesidad de conocer la
clave privada del firmante.
Sean las claves del firmante e, d y n = p∗q. Luego:
rM1 = M1
d
mod n y rM2 = M2
d
mod n Si ahora M3 = M1M2:
rM3 = (M1M2)d
mod n = M1
d
M2
d
mod n = rM1 rM2 mod n
Posible vulnerabilidad de la firma RSA
Comentario: si la firma se realiza sobre un texto es prácticamente imposible
que el producto de dos textos dé un nuevo texto con sentido. No obstante,
sabemos que este tipo de firmas asimétricas se realizan sobre un número
resultado de un hash por lo que podría darse una situación así, aunque por
el tamaño del hash sería bastante poco probable este tipo de colisión.

Sean las claves n = 15.833 = 71∗223, e = 17, d = 7.313.
Sea M1 = 8.643 y M2 = 10.014 (ambos elementos de n)
Firma de M1: rM1 = 8.6437.313
mod 15.833 = 840
Firma de M2: rM2 = 10.0147.313
mod 15.833 = 5.049
Sea M3 = M1M2 = 8.643∗10.014 mod 15.833 = 7.824
Firma de M3: rM3 = 7.8247.313
mod 15.833 = 13.749
... y rM1 rM2 = 840∗5.049 mod 15.833 = 13.749
Ejemplo de firma RSA con colisión
Y. Desmedt, W. de Jonge y D. Chaum presentan en el año 1986 una
variante de la firma RSA que evita este problema de la multiplicatividad.

ElGamal: El usuario A generaba un número
aleatorio a (clave privada) del cuerpo p. La
clave pública es αa
mod p, con α generador.
Algoritmo de firma:
1º El usuario A genera un número aleatorio h, que será primo
relativo con φ(p): h / mcd {h, φ(p)} = 1
2º Calcula h-1
= inv {h, φ(p)}
3º Calcula r = αh
mod p
4º Resuelve la siguiente congruencia:
M = a∗r + h∗s mod φ(p) ∴
s = (M - a∗r)∗inv[h,φ(p)] mod φ(p)
M = a∗r + h∗s mod φ(p) ∴
s = (M - a∗r)∗inv[h,φ(p)] mod φ(p)
Firma: (r, s)Firma: (r, s)
Adela
Firma digital ElGamal de A hacia B
http://www.math.clemson.edu/faculty/Gao/crypto_mod/node5.html

Algoritmo comprobación de firma
1º El usuario B recibe el par (r, s) y calcula:
rs
mod p y (αa
)r
mod p
2º Calcula k = [(αa
)r
∗ rs
] mod p
Como r era igual a αh
mod p entonces:
k = [(αar
∗αhs
] mod p = α(ar + hs)
mod p = αβ
mod p
3º Como M = (a∗r + h∗s) mod φ(p) y α es una raíz
primitiva de p (esto debe cumplirse) entonces:
αβ
= αγ
ssi β = γ mod (p-1)
4º Comprueba que k = αM
mod p
Benito
Si k = [(αa
)r
∗ rs
] mod p
es igual a αM
mod p ...
Si k = [(αa
)r
∗ rs
] mod p
es igual a αM
mod p ...
Se acepta la firmaSe acepta la firma
Conoce: p y (αa
) mod p
Comprobación de firma ElGamal por B

AdelaBenito
¡Hola otra vez! Soy Benito de nuevo. Saludos.
Sea h(M) = A69B (16 bits)
Claves Benito
pB = 79.903 α = 10
αb
mod p = 3.631
b = 20, h = 31
216
< 79.903 < 217
Forzaremos firmar
bloques de 16 bits
Firma
1) h-1
= inv[h, φ(p)] = inv (31, 79.902) = 5.155
2) r = αh
mod p = 1031
mod 79.903 = 11.755
3) s = [h(M) - b∗r]∗[inv(h,φ(p)] mod φ(p) h(M) = A69B16 = 42.65110
4) s = [42.651-20∗11.755]∗5.155 mod 79.902
5) s = 68.539 (r, s) = (11.755, 68.539)(r, s) = (11.755, 68.539)Luego, la firma será
Ejemplo de firma ElGamal (B → A)

AdelaBenito
Claves Benito
pB = 79.903 α = 10
αb
mod p = 3.631
b = 20, h = 31
Comprobación de la firma:
1) rs
mod p = 11.75568.539
mod 79.903 = 66.404
2) (αb
)r
mod p = 3.63111.755
mod 79.903 = 12.023
3) (αb
)r
∗ rs
mod p = (12.023 ∗ 66.404) mod 79.903 = 64.419 = k
4) αh(M)
mod p = 1042.651
mod 79.903 = 64.419
Como hay igualdad
se acepta la firma
Adela recibe de Benito el par (r, s) = (11.755, 68.539)
h(M) = A69B = 42.651
Comprobación de firma ElGamal por A

Claves Benito
pB = 79.903 α = 10
αb
mod p = 3.631
b = 20, h = 31
α = 10 es un generador
del cuerpo p = 79.903
puesto que:
p-1 = 79.902 = 2∗32
∗23∗193
q1 = 2; q2 = 3; q3 = 23; q4 = 193
y se cumple 10(p-1)/qi
mod p ≠ 1
1039.951
mod 79.903 = 79.902
1026.634
mod 79.903 = 71.324
103.474
mod 79.903 = 2.631
10414
mod 79.903 = 41.829
Si se elige α = 11, para el exponente 39.951 se obtiene un 1 por lo
que no es raíz.
Compruebe que en este caso no nos servirá α para la firma digital
porque será imposible comprobarla mediante k = αM
mod p.
Benito
Importancia de α en la firma de ElGamal

1991: National Institute of Standards and Technology (NIST)
propone el DSA, Digital Signature Algorithm, una variante
de los algoritmos de ElGamal y Schnoor.
1994: Se establece como estándar el DSA y se conoce como DSS,
Digital Signature Standard.
1996: La administración de los Estados Unidos permite la
exportación de Clipper 3.11 en donde viene inmerso el DSS,
que usa una función hash de tipo SHS, Secure Hash Standard.
El peor inconveniente de la firma propuesta por ElGamal es que
duplica el tamaño del mensaje M al enviar un par (r, s) en Zp y φ(p).
No obstante, se solucionará con el algoritmo denominado DSS.
Estándares de firma digital
http://www.itl.nist.gov/fipspubs/fip186.htm

Parámetros públicos de la firma:
• Un número primo p (512 bits < p < 1024 bits)
• Un número primo q (160 bits) divisor de p-1
• Un generador α “de orden q” del grupo p
Generador de orden q es aquella raíz α en el cuerpo Zp de
forma que q es un entero que verifica:
αq
mod p = 1 Así, para todo t: αt
= αt (mod q)
mod p
¿y eso qué es?
Digital Signature Standard DSS
Elección de parámetros: primero se busca el primo p, luego un
primo q que sea divisor de (p-1) y luego un valor g en p, de
forma que si α = g(p-1)/q
mod q ≠ 1, éste será el generador...

• Elegir un número primo 2159
bits < q ≤ 2160
bits.
• Elegir 0 ≤ t ≤ 8 y encontrar un número primo p que esté en
2511+64t
≤ p ≤ 2512+64t
y que además q divida a (p-1).
• Elegir un generador α de orden q de la siguiente forma:
• Elegir g, un elemento de p, de forma que se cumpla
la condición α = g(p-1)/q
mod p ≠ 1. Recuerde que esta
raíz α no será la misma que la conocida hasta ahora.
• Elegir como clave privada un valor aleatorio x dentro del
cuerpo del primo q.
• Calcular la clave pública y = αx
mod p.
• Hacer público los parámetros q, p, α, y.
La elección de los parámetros en DSS

• Valores públicos de A: primos p, q y el generador α
• Clave secreta de la firma: x (1 ≤ x ≤ q) aleatorio
• Clave pública de la firma: y = αx
mod p
• Para encontrar α y firmar un mensaje 1 ≤ M ≤ p, A ya ha
elegido un valor aleatorio 1 ≤ k ≤ q
Luego el firmante A calcula:
• r = (αk
mod p) mod q
• s = [(M + x∗r) ∗ inv (k,q)] mod q
• La firma digital de A sobre M será el par (r, s)
Generación de firma DSS (A → B)

• B recibe el par (r, s)
• Luego calcula:
• w = inv (s, q)
• u = M ∗ w mod q
• v = r ∗ w mod q
• Comprueba que se cumple:
• r = (αu
yv
mod p) mod q
• Si se cumple, B acepta la firma como válida.
La firma DSS tendrá un
tamaño menor que q al
reducirse (r, s) a dicho
módulo, siendo q << p.
Comprobación de firma DSS por B
Observe que la comprobación
de la firma se hace sobre r, un
valor en el que no interviene el
valor del mensaje M y que,
además, la firma se hace ahora
sobre valores de q y no de p.

AdelaBenito
Hola Adela, soy Benito y firmo con DSS.
Sea h(M) = 30 (un elemento de qB)
Claves Benito
pB = 223; qB = 37; α = 17
y = αx
mod p = 30
x = 25; k = 12
Como se firmará
sobre valores de qB,
los mensajes a firmar
serán 0 ≤ h(M) ≤ 36.Firma
1) inv (k, q) = inv (12, 37) = 34
2) r = (αk
mod p) mod q = (1712
mod 223) mod 37 = 171 mod 37 = 23
3) s = [h(M)+x∗r]∗[inv (k,q)] mod q = [30+25∗23]∗34 mod 37 = 35
4) La firma digital de h(M) = 30 será: (r, s) = (23, 35)
5) Benito transmite a Adela el bloque: (M, r, s) = (M, 23, 35)
Ejemplo de firma DSS (B → A)
Compruebe que son
correctos p, q. Y que
g = 19 genera α = 17.

AdelaBenito
Comprobación de la firma
1) w = inv (s, q) = inv (35, 37) = 18
2) u = h(M)∗w mod q = 30∗18 mod 37 = 22
3) v = r∗w mod q = 23∗18 mod 37 = 7
4) ¿(αu
yv
mod p) mod q = r ?
5) [(1722
307
) mod 223] mod 37 = 23
En caso afirmativo,
se acepta la firma
Y el tamaño será
menor que qB = 37 es
decir << pB = 223 que
era precisamente el
punto débil del
sistema de ElGamal.
Claves Benito
pB = 223; qB = 37; α = 17
y = αx
mod p = 30
x = 25; k = 12
Adela recibe el bloque:
(M, r, s) = (M, 23, 35)
¿Igualdad
?
Comprobación de la firma DSS por A

• Podríamos pensar que al bajar el número de bits de 1.024 en la firma
de ElGamal a sólo 160 (el valor de q) en la firma DSS la seguridad de
dicha firma está comprometida.
• No obstante, la firma DSS tiene la misma fortaleza que la de ElGamal
ya que q es un subgrupo de p. Eso quiere decir que para resolver el
problema del logaritmo discreto en q, habrá que hacerlo
obligatoriamente en p.
• Para evitar diversos ataques tanto en la firma ElGamal como en DSS,
deberá firmarse siempre una función hash.
• DSS requiere el uso del hash h(M) sobre M con SHA-1.
• Importante: recuerde que se firma un hash SHA-1 de 160 bits en un
cuerpo q también de 160 bits, aunque p sea de 1.024 bits.
Seguridad de los 160 bits de q
http://lists.gnupg.org/pipermail/gnupg-users/2000-August/006286.html

• No todos los valores h(M) podrán firmarse con DSS.
• Para comprobar la firma en recepción se calcula el valor
w = inv (s, q), donde s = [h(M)+b∗r]∗[inv (k,q)] mod q.
Luego, debe existir dicho inverso.
• Si s = 0 no existe el inverso. Luego esta condición deberá
comprobarse en emisión antes de proceder a la firma.
• No obstante, la probabilidad de que se dé esta situación
en el cuerpo q de 160 bits será de uno en 2160
.
• Así mismo, en emisión deberá verificarse que r ≠ 0. En
ambos casos se elegirá un nuevo valor de h.
Mensajes que no tienen firma DSS

AdelaBenito
Hola Adela, vamos a ver qué pasa ahora.
Sea ahora h(M) = 17 (un elemento de qB)
Claves Benito
pB = 223; qB = 37; α = 17
y = αx
mod p = 30
x = 25; k = 12Firma
1) inv (k, q) = inv (12, 37) = 34
2) r = (αx
mod p) mod q = (1712
mod 223) mod 37 = 171 mod 37 = 23
3) s = [h(M)+b∗r]∗[inv (k,q)] mod q = [17+25∗23]∗34 mod 37 = 0
4) La firma digital de h(M) = 17 sería: (r, s) = (23, 0) ... 
Ejemplo de mensaje sin firma por s = 0
Como es obvio si h(M) = 17 + K∗qB, es decir 17, 54, 91, 128, 165, 202 ...
caemos en un cuerpo de equivalencia en mod qB y se repite esta situación.
Fin del capítulo

SIMÉTRICAS
• Claves: una clave secreta para
ambos comunicantes.
• Cifrado: en bloque y en flujo.
• Tasas de cifra: MB/seg.
• Fiabilidad: baja; necesario un
intercambio previo de clave.
• Vida de la clave: efímera, one-
time pad, segundos, minutos.
• Algoritmos: Rabin, Desmedt,
Matyas-Meyer, Lamport-Diffie.
Firmas simétricas versus asimétricas
ASIMÉTRICAS
• Claves: comunicantes con
claves secreta y pública.
• Cifrado: sólo bloque.
• Tasas de cifra: KB/seg.
• Fiabilidad: alta; no necesita
intercambio previo de clave.
• Vida de la clave: duradera, se
repite, meses, un año.
• Algoritmos: RSA, ElGamal,
DSS, Rabin, curvas elípticas.
Los sistemas de firma digital actuales son con clave pública.

Cuestiones y ejercicios (1 de 2)
1. ¿Por qué cree que un escenario de integridad en la que hay siempre
una tercera parte de confianza activa no sería adecuado en Internet?
2. Si una Autoridad de Certificación es la tercera parte de confianza,
¿actúa de forma activa o pasiva en la comunicación? Explíquelo.
3. ¿Qué importancia tiene la redundancia del lenguaje en un sistema
de autenticación? ¿Qué sucedería si no hubiese esa redundancia?
4. Hacemos una autenticación de mensaje mediante un MAC en el que
el algoritmo es DES. ¿Sería acertado usar modo ECB? ¿Por qué?
5. En un sistema de autenticación mediante Kerberos, ¿cómo sabe el
que comienza el protocolo (A) que no hay un impostor que intenta
suplantarle? ¿Cómo sabe el que comienza el protocolo (A) que el
segundo usuario (B) o elemento del sistema ha recibido bien la
clave de sesión entregada por el centro de distribución de claves
KDC?

Cuestiones y ejercicios (2 de 2)
6. ¿Cómo podríamos usar una función hash para comprobar que un
archivo no se ha modificado o que está libre de virus?
7. Nos afirman que podemos autenticar un mensaje usando para ello
sólo una función hash. ¿Es esto verdadero? ¿Por qué?
8. ¿Por qué se dice que una firma digital tiene condiciones más
fuertes que una firma manuscrita?
9. ¿Por qué es importante que la firma digital dependa del mensaje?
10. Firme digitalmente con RSA el mensaje M = 121 si los datos del
firmante son p = 19; q = 31, d = 149. Compruebe la firma.
11. Con p = 331 y clave privada 15, vamos a firmar digitalmente con
ElGamal el mensaje M = 250 . Para ello, elija los valores más
pequeños posibles de los parámetros α y h. Compruebe la firma.
12. Repita el ejercicio 10 con DSS y valores propuestos por Ud.

Prácticas del tema 16 (1/3)
Software
ExpoCrip:
http://www.criptored.upm.es/software/sw_m001l.htm
1. FIRMA RSA. Con la clave p = 3, q = 11, e = 3, compruebe que la firma de
mensajes numéricos dentro del cuerpo {0, 1, ..., 32} son todos valores
distintos y que no puede haber firmas iguales para mensajes distintos.
2. Observe lo que pasa al firmar los mensajes 0, 1, 10, 11, 12, 21, 22, 23, 32.
3. ¿Qué sucede con estos mensajes si ahora se elige la clave e = 13?
4. Con esta última clave firme el mensaje numérico N = 13.
5. Compruebe que la firma es correcta. ¿Cómo comprueba esto el programa?
6. Cambie el mensaje numérico a N = 35, vuelva a firmar y a comprobar la
firma. ¿Por qué sucede esto ahora? ¿Qué pasa ahora si N = 2?
7. Con esta última clave firme el mensaje hexadecimal N = 1F.
8. Con esta clave firme el mensaje M = Hola; compruebe la firma . Con la
ayuda del programa, vea cómo se generan los bloques para la firma.

9. Para la clave p = 37, q = 53; e = 25, firme el mensaje M = Por este trabajo
le pagaremos 1.000,00 Euros. Compruebe la firma.
10. Modifique el texto en claro y cambie 1.000,00 por 9.000,00. Vuelva ahora
a comprobar la firma y comente qué ha sucedido y porqué.
11. FIRMA ELGAMAL. Con la clave p = 19, α = 10, x = 7, k = 5, compruebe
que las firmas de todos los valores de cuerpo {0, 1, ..., 18} son valores
distintos y no puede haber firmas iguales para mensajes distintos.
12. ¿Qué sucede si supone un generador α = 4? ¿Qué hace el programa?
13. ¿Se observa el mismo problema de mensajes no firmables que en RSA?
¿Existe algo que le llame la atención? Si no, vea la siguiente pregunta.
14. Genere claves de firma para p = 11, p = 13, p = 17, p = 23, p = 29, p = 37;
y compruebe que la firma del mensaje 0 y p-1 siempre es el mismo valor y
que precisamente no aparece entre los restos de firma el valor p-1.
15. Con una de esas claves firme M = Esta es otra firma. Compruebe la firma.

16. Para p = 472287102421, α = 33, x = 31023, k = 40981, firme y compruebe
estos mensajes: N10 = 2001, N16 = FD9C5, MASCII = Hola, ¿qué tal?
17. FIRMA DSS. Para la clave DSS p = 19, q = 3, g = 13, x = 2, k = 2, firme
todos los valores de cuerpo q {0, 1, 2} y compruebe que los valores de las
firmas están siempre en el cuerpo de q. ¿Son todas distintas?
18. ¿Qué tipo de generador usa el programa? ¿Es un generador de p o de q?
19. Repita el ejercicio anterior para p = 23, q = 11, g = 17, x = 5, k = 9.
20. Para la clave DSS p = 53, q = 13, g = 31, x = 8, k = 6, firme los primeros 7
mensajes numéricos N = {0, 1, ..., 6}. Para cada una de ellos observe el
seguimiento de la comprobación y compruebe manualmente al menos una.
21. Con esta clave firme el mensaje M = A. ¿Puede comprobar la firma?
Repita para M = AB, M = ABC. Repita para esos valores en hexadecimal.
22. Si p = 124540019, q = 17389, g = 110217528, (α = 10083255), k = 9557,
y x = 12496, compruebe que la firma de M = 5246: (r, s) = (34, 13049).
Valores A. Menezes: http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac/about/chap11.pdf.

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