18 cross
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Este documento describe el método de Cross para determinar los momentos en nudos no traslacionales de una estructura. El método implica calcular primero los momentos de empotramiento perfecto y luego equilibrar los nudos repartiendo el momento resultante entre las barras conectadas proporcional a su rigidez. Se provee un ejemplo ilustrando los pasos del método.
![21.3 .- Momentos de empotramiento
perfecto (no admiten giro)Tipo de carga y Ligaduras MA MB
+ q·L2
/12 - q·L2
/12
0 - q·L2
/8
+ q/L2
·[L2
·1/2·((a+c)2
-a2
) - 2/3·L·((a+c)3
-a3
) + 1/4·(a+c)4
-a4
)] - q/L2
·[ 1/3·L·((a+c)3
-a3
) - 1/4·(a+c)4
-a4
)]
0 - q/8L2
·[a4
-(a+c)4
+ 2·L2
·c(2·a+c)]
+ q·L2
/30 - q·L2
/20
0 - q·L2
/15
0 - 7·q·L2
/120
+ 5/96 · q·L2
- 5/96 · q·L2
a
b
c
a
b
c
q
q
q
q](https://image.slidesharecdn.com/18cross-140521101011-phpapp01/85/18-cross-13-320.jpg)
18 cross
- 1. CAPITULO XII : • METODO DE CROSS.
- 2. Lección 21 : • 21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado de una barra. Coeficiente de transmisión. • 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución. • 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto. • 21.4 .- Método de Cross para nudos no traslacionales. Simplificaciones. • 21.5 .- Método de Cross para nudos traslacionales. Simplificaciones.
- 3. 21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado de una barra. MA Rigidez = KAB = MA / φA Flexibilidad = 1/KAB = φA / MA fA =0= MA ·L·L/2EIz - RA·L3 /3EIz δva = 0 δvb = 0 δhb = 0 φ Flb = 0 B φA =MA·L/EIz - RA·L2 /2EIz MA·3/2·L = RA KAB = MA / φA= 4·E·Iz / LφA =MA·L/EIz – 3/2·MA·L/2EIz
- 4. 21.1 .- Coeficiente de transmisión. MA KAB = MA / φA= 4·E·Iz/L B δva = 0 δvb = 0 δhb = 0 φ Flb = 0 MB MA B φA = MA·L/3EIz - MB·L/6EIz φB = 0 = - MBL/3EIz + MAL/6EIz MA = 2·MB => CtAB = MB/MA= 1/2
- 5. δva = 0 δvb = 0 δhb = 0 φA = MA·L/3EIz CtAB = MB/MA= 0 MA B KAB = MA / φA= 3·E·Iz/L = 0,75· 4·E·Iz/L 21.1 .- Coeficiente de transmisión.
- 6. 21.1 .- Coeficiente de transmisión. MA B CtAB = MB/MA= 0 KAB = MA / φA= 3·E·Iz/L MA B KAB = MA / φA= 4·E·Iz/L CtAB = MB/MA= 1/2 MA B CtAB = MB/MA= 0 KAB = MA / φA= 0
- 7. 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución. C B D E MA= MAB + MAC + MAD + MAE MAB MB MB MAC MAD MAE MA MAB MAC MAD MAE MA
- 8. 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución. MAC C CtAC = MC/MAC= 0 KAC = MAC/ φA= 3·E·Iz/L MAB B KAB = MAB / φA= 4·E·Iz/L CtAB = MB/MAB= 1/2 MAD D CtAD= MD/MAD= 0 KAD = MAD/ φA= 0 MAE E CtAE = ME/MAE= 0 KAE = MAE/ φA= 3·E·Iz/L
- 9. 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución. C B D E MA CtAC = MC/MAC= 0 KAC = MAC / φA= 3·E·Iz/L KAB = MAB / φA= 4·E·Iz/L CtAB = MB/MAB= 1/2 CtAD = MD/MAD= 0 KAD = MAD / φA= 0 CtAE = MC/MAE= 0 KAE = MAE / φA= 3·E·Iz/L KA = KAB + KAC + KAD + KAE MA= MAB + MAC + MAD + MAE KA = MA / φA = 4·E·Iz/L + 3·E·Iz/L + 0 + 3·E·Iz/L = 10·E·Iz/L = (4/10)·KA = (3/10)·KA = (0/10)·KA = (3/10)·KA MAB= (4/10)·MA MB = (2/10)·MA MAC= (3/10)·MA MAD= (0/10)·MA MAE= (3/10)·MA
- 10. 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro) BA L MA MB φB = 0 =q·L3 /24EIz - MBL/3EIz - MAL/6EIz | MB | = | MA | = M => q·L3 /24EIz = M·L/2EIz M = q·L2 /12 MA = + q·L2 /12 MB = - q·L2 /12
- 11. 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro) δva = 0 δvb = 0 δhb = 0 φ Flb = 0 MB BP fA = 0 = (P·L/2·L/2·1/2·(2/3·L/2+L/2)-RA·L·L·1/2·2/3·L)/EIz = (5/48·P·L3 - 1/3·RAL3 )/EIz 5/16·P = RA MB = -1/2·P·L + RAL = -3/16·P·L MA = 0 BPA
- 12. b·RB a·RA 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro) fB = 0 = (RA·a2 /2·(b+1/3·a) + RB·b3 /3 - MBL2 /6 - MAL2 /3)/EIz => ΣMA = 0 = MA + M - MB + RB·L BA La b C ΣMC = 0 = MA + M - MB + RB·b - RA·a fA = 0 = (RB·b2 /2·(a+1/3·b) + RA·a3 /3 - MAL2 /6 - MBL2 /3)/EIz φB = 0 = (RA·a2 /2 + RB·b2 /2 - MBL/2 - MAL/2)/EIz MA MB RA RB RA a·RA b·RB R’B R’A
- 13. 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)Tipo de carga y Ligaduras MA MB + q·L2 /12 - q·L2 /12 0 - q·L2 /8 + q/L2 ·[L2 ·1/2·((a+c)2 -a2 ) - 2/3·L·((a+c)3 -a3 ) + 1/4·(a+c)4 -a4 )] - q/L2 ·[ 1/3·L·((a+c)3 -a3 ) - 1/4·(a+c)4 -a4 )] 0 - q/8L2 ·[a4 -(a+c)4 + 2·L2 ·c(2·a+c)] + q·L2 /30 - q·L2 /20 0 - q·L2 /15 0 - 7·q·L2 /120 + 5/96 · q·L2 - 5/96 · q·L2 a b c a b c q q q q
- 14. 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro) Tipo de carga y Ligaduras MA MB 0 - 5/64 · q·L2 + P·a·b2 /L2 - P·b·a2 /L2 0 - P·a·b(2·a+b) / 2·L2 + P·a·(a+c)/L - P·a·(a+c)/L + P/L2 ·(a·b2 - a2 ·b) - P/L2 ·(a·b2 - a2 ·b) + M/L3 ·[a·b·(2a+b) - b3 ) + M/L3 ·[a·b·(a+2b) - a3 ) qq BA a b P BA a b P BA a c P b P BA ba BA a b P a P b M
- 15. 21.4 .- Método de Cross .Introducción. Objetivo: determinar los momentos que los nudos de una estructura ejercen sobre las barras. Conocidos estos, puede determinarse el Diagrama de MF de cada barra, supuesta apoyada en sus extremos. Conocidos estos, puede determinarse el Diagrama de MF de cada barra, supuesta apoyada en sus extremos. Tipos de nudos rígidos: •Inamovibles o absolutamente fijos (fv, fh y φ nulos) •No traslacionales (fv, fh nulos, pero pueden girar) •Traslacionales: permiten desplazarse y girar. Las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y Cortantes se suelen despreciar frente a las de Flexión. Las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y Cortantes se suelen despreciar frente a las de Flexión.
- 16. 21.4 .- Método de Cross .Etapas. Se usa en nudos no traslacionales 1.- Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto (como si los nudos fuesen absolutamente fijos) 2.- Equilibrado de los nudos, repartiendo el momento de equilibrado entre las barras concurrentes proporcionalmente a sus rigideces.
- 17. 21.4 .- Método de Cross .Ejemplo. CA L L B L P IAB = IAC = Iz KAC = 4·E· Iz/2L = 2·E· Iz/L KAB = 3·E· Iz/L KA = KAB + KAC = 5·E· Iz/L CrAB = KAB/ KA = 3/5 = 0,6 CrAC = KAC/ KA = 2/5 = 0,4 CA B P L L P CA AB L
- 18. 21.4 .- Método de Cross .Ejemplo. CrAB = 0,6 CrAC = 0,4 L L P CA AB L MC CtAC = 1/2 - PL/4 -PL/20 -3PL/10 MA = + Pab2 /L2 = + PL3 /(2L)2 = + PL/4 MC = - Pba2 /L2 = - PL3 /(2L)2 = - PL/4 MB CtAB = 0 0 0 0 MBA CrAB = 0,6 -3PL/20 -3PL/20 MAC CrAC = 0,4 + PL/4 -PL/10 3PL/20 CtAC = 1/2 MA MAB MAC MAD MAE C B P A
- 19. D A C B L L 21.4 .- Método de Cross : ESPECIFICACIÓN DE MOMENTOS. 3 I I I P hoja