![(10푥4)(3푎2푦6)(2) = 30푎2푥4푦6
Como no da el otro término se suma y se resta la cantidad que se
excedió o quedó faltando.
100푥8 − 64푎2푥4푦6 + 4푎2푥4푦6 − 9푎4푦12 − 4푎2푥4푦6
Se suma y se separan los tres primero términos que forman un
trinomio cuadrado perfecto.
(100푥8 − 60푎2푥4푦6 − 9푎4푦12) − 4푎2푥4푦6
(10푥4 − 3푎2푦6)2 − 4푎2푥4푦6
Luego se hace diferencia de cuadrados.
[10푥4 − 3푎2푦6 + 2푎푥2푦3][10푥4 − 3푎2푦6 − 2푎푥2푦3]](https://image.slidesharecdn.com/2-141025173737-conversion-gate01/85/2-factorizacion-13-320.jpg)
![Al cumplir con estas condiciones se está hablando de un cubo
perfecto, por lo tanto, se abre un paréntesis al cubo, con las raíces
del primer y cuarto término, separadas con el signo del segundo
término.
(4푚 − 푛)3
POTENCIAS PARES E IMPARES
Son binomios que tienen la forma 푥푛 ± 푎푛 y para factorizarlos se
deben tener en cuenta las siguientes condiciones.
Si “n” es impar.
푥푛 + 푎푛 = (푥 + 푎)[푥푛−1 − (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1]
푥푛 − 푎푛 = (푥 − 푎)[푥푛−1 + (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1]
Si “n” es par.
푥푛 − 푎푛 = (푥 + 푎)[푥푛−1 − (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . −푎푛−1]](https://image.slidesharecdn.com/2-141025173737-conversion-gate01/85/2-factorizacion-19-320.jpg)
![Ejemplo: Factorizar
푥7 + 푦7
Es impar y positivo se utiliza:
푥푛 + 푎푛 = (푥 + 푎)[푥푛−1 − (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1]
(푥 + 푦)[푥6 − (푥5)(푦) + (푥4)(푦2) − (푥3)(푦3) + (푥2)(푦4) − (푥1)(푦5) + 푦6]
푥7 + 푦7 = (푥 + 푦)[푥6 − 푥5푦 + 푥4푦2 − 푥3푦3 + 푥2푦4 − 푥1푦5 + 푦6]
Ejemplo: Factorizar 푎5 − 푏10
Es impar y negativo se utiliza:
푥푛 − 푎푛 = (푥 − 푎)[푥푛−1 + (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1]
푎5 − 푏10 = (푎 − 푏2)[푎4 + (푎3)(푏2) + (푎2)(푏4) + (푎)(푏6) + (푏8)]
푎5 − 푏10 = (푎 − 푏2)[푎4 + 푎3푏2 + 푎2푏4 + 푎푏6 + 푏8]](https://image.slidesharecdn.com/2-141025173737-conversion-gate01/85/2-factorizacion-20-320.jpg)
2. factorización
- 1. FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. DIFERENCIA DE CUADRADOS. (D.C) DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P.) T.C.P. POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE TÉRMINOS. TRINOMIO DE LA FORMA 푥2 + 푏푥 + 푐 TRINOMIO DE LA FORMA 푎푥2 + 푏푥 + 푐 CUBOS PERFECTOS. POTENCIAS PARES E IMPARES
- 2. FACTORIZACIÓN La factorización es el proceso de expresar una suma en forma de multiplicación. Ejemplo: Sin factorizar Factorizado Es útil para simplificar las expresiones algebraicas y así poder operarlas con mayor facilidad. Existen unas reglas para factorizar.
- 3. FACTOR COMÚN Para factorizar por factor común se halla el máximo común divisor (MCD) y se divide por cada uno de los términos del polinomio. Características: ● Tiene más de dos términos. ● El MCD de los términos es diferente de 1. Ejemplo: factorizar el siguiente polinomio. 3푤3푥4푚 + 12푤2푥푚2 − 36푤3푥2 Se halla el máximo común divisor del polinomio. El primer factor es el MCD y el segundo factor es el último polinomio de la descomposición. (3푥푤2)(푤푥3푚 + 4푚2 − 12푤푥)
- 4. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Es un caso especial de factor común donde se separan por grupos iguales. Características: ● Tiene más de 4 términos. ● Se puede dividir en paquetes iguales o sea en cantidades no primas. Ejemplo: factorizar el siguiente polinomio 3푚2 + 4푚 − 6푚푛 − 8푛
- 5. Se deben separar en paquetes iguales, utilizando paréntesis, ojo si al colocarlo antes de este hay un signo menos cambia los signos al interior del paréntesis. (3푚2 + 4푚) − (6푚푛 + 8푛) Se le saca factor común cada uno de los paréntesis. 푚(3푚 + 4) − 2푛(3푚 + 4) Se vuelve a sacar factor común. (푚 − 2푛)(3푚 + 4) Cambia el signo por el menos antes del paréntesis
- 6. DIFERENCIA DE CUADRADOS Este caso es un proceso inverso a los productos notables de la forma: (푎 + 푏)(푎 − 푏) = 푎2 − 푏2 Características: ● Tiene dos términos. ● Un término es positivo y el otro negativo. Ejemplo # 1: Factorizar el siguiente binomio: 9푥2 − 100푦4 Se halla la raíz cuadrada de cada uno de los términos. √9푥2 = 3푥 √100푦4 = 10푦2 Se organizan las raíces en dos paréntesis, uno sumando y el otro restando respetando el orden inicial. (3푥 + 10푦2)(3푥 − 10푦2) Ejemplo # 2: Factorizar el siguiente binomio: 푥4 100 − 81푥2푦10 4푧6 Se halla la raíz cuadrada de cada uno de los términos. √ 푥4 100 = 푥2 10 √ 81푥2푦10 4푧6 = 9푥푦5 2푧3
- 7. Se organizan las raíces en dos paréntesis, uno sumando y el otro restando respetando el orden inicial. 푥2 10 ( + 9푥푦5 2푧3 ) ( 푥2 10 − 9푥푦5 2푧3 ) DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS Este caso es una operación inversa a los productos notables de la forma: 푎3 − 푏3 = (푎 − 푏)(푎2 + 푎푏 + 푏2) 푎3 + 푏3 = (푎 + 푏)(푎2 − 푎푏 + 푏2)
- 8. Características: ● Tienen 2 términos. ● Ambos tienen raíz cúbica exacta. Ejemplo # 1: Factorizar 푥3 − 8 Se saca la raíz cúbica a ambos términos. √푥 3 3 = 푥 √8 3 = 2 Se organiza el primer paréntesis, colocando las raíces cúbicas con el signo que divide los términos del polinomio dado. (푥 − 2) Se abre otro paréntesis y se coloca el cuadrado del primer término del paréntesis anterior. (푥 − 2)((푥)2 ) Si el signo del primer paréntesis es “+” se intercala el signo del segundo paréntesis, si es “-” se colocan todos positivos. El segundo término es la multiplicación de los términos del primer paréntesis. (푥 − 2)((푥)2 − (푥 )(2 ) ) El tercer término del segundo paréntesis, es el cuadrado del segundo término del primer paréntesis. (푥 − 2)((푥)2 − (푥 )(2 ) + (2 )2) Y se resuelve: (푥 − 2)(푥2 − 2푥 + 4) Ejemplo # 2: Factorizar
- 9. 64푥3 + 729 Se saca la raíz cúbica a ambos términos. √64푥 3 3 = 4푥 √729 3 = 9 Se organiza el primer paréntesis, colocando las raíces cúbicas con el signo que divide los términos del polinomio dado. (4푥 + 9) Se abre otro paréntesis y colocamos el cuadrado del primer término del paréntesis anterior. (4푥 + 9)((4푥)2 ) Si el signo del primer paréntesis es “+” se intercala el signo del segundo paréntesis, si es “-” se colocan todos positivos. El segundo término es la multiplicación de los términos del primer paréntesis. (4푥 + 9)((4푥)2 − (4푥 )(9 ) ) El tercer término del segundo paréntesis, es el cuadrado del segundo término del primer paréntesis. (4푥 + 9)((4푥)2 − (4푥 )(9 ) + (9 )2) Y se resuelve: (4푥 + 9)(16푥2 − 36푥 + 81)
- 10. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Este proceso es un proceso inverso a los productos notables cuando tienen la forma: (푎 + 푏)(푎 + 푏) = (푎 + 푏)2 = 푎2 + 2푎푏 + 푏2 (푎 − 푏)(푎 − 푏) = (푎 − 푏)2 = 푎2 − 2푎푏 + 푏2 Características: ● Tiene tres términos. ● La multiplicación de las raíces de dos de ellos por dos da el otro término. Ejemplo: Factorizar. 100푥10 + 9푎6푦12 − 60푎3푥5푦6
- 11. Se halla la raíz cuadrada de los términos que tengan el mayor grado relativo o aquellos que no tengan parte literal. Se multiplican las raíces por “2”. (10푥5)(3푎3푦6)(2) = 60푥5푎3푦6 Si da el otro término, se dice que es un trinomio cuadrado perfecto y para resolverlo se abre un paréntesis al cuadrado, se colocan las raíces halladas y se separan con el signo del término al que no se le halló raíz. (10푥5 − 3푎3푦6)2
- 12. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE TÉRMINOS Es un caso especial donde involucra trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados. Características: ● Tiene tres términos. ● Dos de los términos tienen raíz cuadrada exacta. ● El grado de la parte literal del término que no tiene raíz cuadrada es la mitad del grado de los términos que tiene raíz cuadrada exacta. Ejemplo: Factorizar: 100푥8 − 64푎2푥4푦6 + 9푎4푦12 Se hallan las raíces de los términos con el grado relativo mayor. Se multiplican las raíces por “2”.
- 13. (10푥4)(3푎2푦6)(2) = 30푎2푥4푦6 Como no da el otro término se suma y se resta la cantidad que se excedió o quedó faltando. 100푥8 − 64푎2푥4푦6 + 4푎2푥4푦6 − 9푎4푦12 − 4푎2푥4푦6 Se suma y se separan los tres primero términos que forman un trinomio cuadrado perfecto. (100푥8 − 60푎2푥4푦6 − 9푎4푦12) − 4푎2푥4푦6 (10푥4 − 3푎2푦6)2 − 4푎2푥4푦6 Luego se hace diferencia de cuadrados. [10푥4 − 3푎2푦6 + 2푎푥2푦3][10푥4 − 3푎2푦6 − 2푎푥2푦3]
- 14. TRINOMIO DE LA FORMA 푥2 + 푏푥 + 푐 Este caso es un proceso inverso a los productos notables de la forma: (푥 + 푎)(푥 + 푏) = 푥2 + (푎 + 푏)푥 + 푎푏 Características: ● Tiene tres términos. ● Van en forma descendente los exponentes. ● El coeficiente del término de mayor grado es 1. Ejemplo: factorizar 푥2 − 15푥 + 54 Se organiza en forma descendente y se simplifica el término independiente. Se buscan dos números que cumplan con: ( )( ) = 푐 ( ) + ( ) = 푏 En este caso. (−9)(−6) = 54 (−9) + (−6) = −15
- 15. Se abren dos paréntesis y se coloca la raíz del primero con los números hallados. (푥 − 9)(푥 − 6) TRINOMIO DE LA FORMA 푎푥2 + 푏푥 + 푐 Este caso es semejante al anterior y se hace de la siguiente forma: Ejemplo: Factorizar: 4푥2 + 15푥 + 9 Se multiplica y se divide por “a” en este caso por “4”. 4(4푥2 + 15푥 + 9) 4
- 16. Se multiplica dejando el segundo término indicado. 16푥2 + 15(4푥) + 36 4 Luego se simplifica “36”. Se buscan dos números que cumplan con: ( )( ) = 36 ( ) + ( ) = 15 En este caso. (3)(12) = 36 (3) + (12) = 15 Se abren dos paréntesis y se coloca la raíz del primero con los números hallados. (4푥 + 3)(4푥 + 12) 4 Se saca factor común a cada paréntesis si tiene y se simplifica. = (4푥 + 3)4(푥 + 3) 4 = (4푥 + 3)(푥 + 3)
- 17. CUBOS PERFECTOS Un cubo perfecto es una operación inversa al producto notable de la forma: (푥 + 3)3 = 푥3 + 3푥2푦 + 3푥푦2 + 푦3 (푥 − 3)3 = 푥3 − 3푥2푦 + 3푥푦2 − 푦3 Características: Tiene 4 términos. El primero y el cuarto son cubos perfectos. El segundo término dividido por 3 y la raíz del cuarto término da como resultado la raíz del primer término al cuadrado. El tercer término dividido por 3 y la raíz del primer término da como resultado la raíz del cuarto término al cuadrado.
- 18. Los signos del primer y el tercer término siempre son positivos. Los signos del segundo y cuarto término siempre son iguales. Ejemplo: Factorizar 64푚3 + 48푚2푛 + 푛3 + 12푚푛2 Primero se ordena el polinomio con respecto a l cualquiera de las variables. 64푚3 + 48푚2푛 + 12푚푛2 + 푛3 Se saca la raíz cúbica del primer y cuarto término. √64푚 3 3 = 4푚 → √푛3 3 = 푛 El segundo término se divide por “3” por el cuadrado de la raíz del primer término y debe dar la raíz del cuarto. 48푚2푛 3(4푚)2 = 48푚2푛 3(16푚2) = 48푚2푛 48푚2 = 푛 El tercer término se divide por “3” por el cuadrado de la raíz del cuarto término y debe dar la raíz del primero. 12푚푛2 3(푛)2 = 12푚푛2 3(푛2) = 12푚푛2 3푛2 = 4푚
- 19. Al cumplir con estas condiciones se está hablando de un cubo perfecto, por lo tanto, se abre un paréntesis al cubo, con las raíces del primer y cuarto término, separadas con el signo del segundo término. (4푚 − 푛)3 POTENCIAS PARES E IMPARES Son binomios que tienen la forma 푥푛 ± 푎푛 y para factorizarlos se deben tener en cuenta las siguientes condiciones. Si “n” es impar. 푥푛 + 푎푛 = (푥 + 푎)[푥푛−1 − (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1] 푥푛 − 푎푛 = (푥 − 푎)[푥푛−1 + (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1] Si “n” es par. 푥푛 − 푎푛 = (푥 + 푎)[푥푛−1 − (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . −푎푛−1]
- 20. Ejemplo: Factorizar 푥7 + 푦7 Es impar y positivo se utiliza: 푥푛 + 푎푛 = (푥 + 푎)[푥푛−1 − (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1] (푥 + 푦)[푥6 − (푥5)(푦) + (푥4)(푦2) − (푥3)(푦3) + (푥2)(푦4) − (푥1)(푦5) + 푦6] 푥7 + 푦7 = (푥 + 푦)[푥6 − 푥5푦 + 푥4푦2 − 푥3푦3 + 푥2푦4 − 푥1푦5 + 푦6] Ejemplo: Factorizar 푎5 − 푏10 Es impar y negativo se utiliza: 푥푛 − 푎푛 = (푥 − 푎)[푥푛−1 + (푥푛−2)(푎) + (푥푛−3)(푎2) … . . +푎푛−1] 푎5 − 푏10 = (푎 − 푏2)[푎4 + (푎3)(푏2) + (푎2)(푏4) + (푎)(푏6) + (푏8)] 푎5 − 푏10 = (푎 − 푏2)[푎4 + 푎3푏2 + 푎2푏4 + 푎푏6 + 푏8]
- 21. BIBLIOGRAFÍA Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en: www.wikipedia.com Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en http://www.youtube.com Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 8. Ed Norma. 2008 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 8. Ed Educar. 2012. William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 9. Ed Educar. 2012. Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 9. Ed Norma. 2008 Aurelio Baldor. Álgebra de Baldor. Publicaciones cultural Mexico.1997 SOFTWARE Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en: www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en: www.atubecatcher.es
- 22. VIDEOS Ramiro Velásquez. Que es Factorización (Descomposición Factorial) en Matemáticas. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=1umZuSl_HKI Julio Alberto Ríos Gallego. Factor común. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=LWyZSXsMAr8 Julio Alberto Ríos Gallego. Factor común por agrupación de términos. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=uhN2eVLAEDw Julio Alberto Ríos Gallego. Factorización: Diferencia de cuadrados. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY Julio Alberto Ríos Gallego. Diferencia y suma de cubos. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=DjW6Az8huBI Julio Alberto Ríos Gallego. Factorización de un Trinomio cuadrado perfecto. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=1dvGz8vQCeU Ricardo Tabares. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=gzRQVcukxlw Julio Alberto Ríos Gallego. Trinomio de la forma 푥2 + 푏푥 + 푐. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=TZcUxb1gnDk Julio Alberto Ríos Gallego. Trinomio de la forma 푎푥2 + 푏푥 + 푐. 2009. Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=gxzigePy5r8
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