2.- TIPOS DE LOS ANGULOS SDFEFSAD_AB.ppt
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El documento describe la teoría de los ángulos, sus clasificaciones (convexos, adyacentes, complementarios, suplementarios) y propiedades fundamentales. Se presentan varios problemas con sus resoluciones que involucran la medición y relaciones entre ángulos, así como ejemplos prácticos. También se incluyen respuestas a problemas propuestos, proporcionando un recurso útil para el estudio de la geometría angular.
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- 2. O A B ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:
- 3. 0º < < 180º 0º < < 90º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO a.1) ÁNGULO AGUDO Ángulo que mide menos de 180 grados y que no comprende en sí la prolongación de los lados de dos semirrectas que parten de un mismo punto. Ángulo que tiene menos de 90 grados.
- 4. = 90º 90º < < 180º a.2) ÁNGULO RECTO a.3) ÁNGULO OBTUSO Ángulos que miden más de 90º y menos de 180º. Ángulo que mide noventa grados sexagesimales (90º). Este ángulo está formado por dos semirrectas que son perpendiculares entre sí y que se originan en el vértice que comparten.
- 5. = 90º + = 180º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto). Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90° Si los dos ángulos suman 90°, decimos que "se complementan". Son aquellos que en par suman 180 grados. A diferencia de los ángulos complementarios que forman 90 grados.
- 6. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes Puede formar más ángulos Un lado común
- 7. 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180° 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8
- 8. + + = x + y x y 01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
- 9. + + + + = 180° 02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
- 10. + = 180° 03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
- 12. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:
- 13. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos: y + = 80° Dato: = 80° - ( 1 ) ( 90° - ) = 2 ( 2 ) Reemplazando (1) en (2): ( 90° - ) = 2 ( 80° - ) 90° - = 160° -2 = 10° = 70° - = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo
- 14. La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos: y ( 90° - ) ( 90° - ) = 130° + + = 50° ( 1 ) ( 180° - ) ( 180° - ) = 10° - - = 10° ( 2 ) Resolviendo: (1) y (2) + = 50° - = 10° (+) 2 = 60° = 30° = 20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado:
- 15. Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. A B O C M 60° 20° X De la figura: = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20° = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN
- 16. La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. A O B C X (- X) ( + X) ( - X)= 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN M Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB - OBC = 30° - Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica
- 17. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. A C B D M N X De la figura: 2 + = 90° + 2 = 90° ( + ) 2 + 2 + 2 = 180° + + = 90° X = + + X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado
- 18. Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” 80° 30° X m n Problema Nº 07
- 19. 2 + 2 = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero cóncavo + = 55° (1) 80° = + + X (2) Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° 80° 30° X m n RESOLUCIÓN
- 20. Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” 5 4 65° X m n Problema Nº 08
- 21. 5 4 65° X m n Por la propiedad: 4 + 5 = 90° = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN
- 22. Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” 2 x m n 2 Problema Nº 01
- 23. 3 + 3 = 180° + = 60° Ángulos entre líneas poligonales X = + X = 60° RESOLUCIÓN 2 x m n 2 x Ángulos conjugados internos
- 25. PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° x 4x 3x L1 L2
- 26. m n 30° X PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
- 27. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45° 3 3 3 m n
- 28. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 40° 95° 2x m n
- 29. PROBLEMA 05.- Calcule la m x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120° 3 6 x
- 30. 4 4 X m n PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
- 31. A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45° PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m x 88° 24° x m n
- 32. PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m x 20° 30° X m n A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
- 33. PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° x m n
- 34. PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° x x x m n
- 35. PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60° 180°-2 2 m n
- 36. PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50° x 80° m n
- 37. PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° 80° m n x
- 38. REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1. 20º 8. 50º 2. 30º 9. 80º 3. 45º 10. 30º 4. 10º 11. 60º 5. 120º 12. 40º 6. 36º 13. 50º 7. 32º