Planos segmentos-angulos
- 2. LÍNEAS Una línea es una sucesión de puntos del plano Las líneas pueden ser: Rectas Curvas Abiertas Cerradas
- 3. LÍNEAS RECTAS Una línea recta es una sucesión de puntos del plano situados en la misma dirección y que no tiene principio ni final. Una semirrecta es parte de la recta limitada por un punto. Un segmento es una parte de la recta limitada por dos puntos.
- 4. RELACIONES ENTRE LÍNEAS RECTAS Dependiendo de su situación una línea recta con respecto a otra puede ser: Paralelas Secantes Perpendiculares
- 5. Cuando situamos varios segmentos uno a continuación de otro formamos una línea poligonal LÍNEAS POLIGONALES
- 6. UN PLANO Imagina una hoja como ésta, pero infinitamente grande, en donde no hubiera límites o bordes; es algo muy difícil de imaginar, porque algo así no existe en la realidad. Pero si existe en la “imaginación” de la Geometría, pues eso sería UN PLANO . ¿ Y por qué son tan importantes los planos ? Pues para entender e imaginar los demás elementos geométricos que se estudiarás en este curso y en cursos venideros , dado que casi todos ellos nos los tenemos que imaginar dentro de un plano: las rectas, los segmentos, los puntos, los ángulos, etc.
- 7. ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
- 8. Los ángulos Al trazar dos rectas secantes (rectas que se cortan) , el plano queda dividido en cuatro zonas. Cada una de ellas es un ángulo . 1 2 3 4
- 9. Elementos de un ángulo Lado Lado Vértice Abertura o Amplitud
- 10. ANGULO .-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO: LADO LADO VÉRTICE Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo O A B
- 11. Medición de ángulos ( I ) Los ángulos, igual que otras cosas también se pueden medir, pero lo hacemos utilizando como unidad, otro ángulo muy pequeño al que llamamos grado, igual que las rectas o las carreteras se miden en metros, en kilómetros, etc. También se mide tu peso en kilogramos o la cantidad de refresco que te tomas, en litros, centilitros, etc. ¿ Por qué se ha utilizado esta medida exacta ? Porque es la que resulta de dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Cada una , es un GRADO .
- 12. Medición de ángulos ( II ) Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común , determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama ángulo convexo , mientras que el ángulo B recibe el nombre de cóncavo .
- 13. Para medir la amplitud o medida de un ángulo, se utiliza un instrumento llamado transportador de ángulos o limbo graduado . Tiene forma de semicírculo y mide 180 grados. Tiene una marca horizontal y otra vertical cuya intersección debe coincidir con el vértice del ángulo que deseamos medir , la línea horizontal coincidirá con uno de los lados , mientras que el otro lado pasará por una cifra o marca que nos indicará su amplitud. Así si pasa por la marca 60 grados y cinco rayitas nuestro ángulo medirá 65 grados Medida de ángulos ( III )
- 16. 0º < < 180º 0º < < 90º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO a.1) ÁNGULO AGUDO
- 17. = 90º 90º < < 180º a.2) ÁNGULO RECTO a.3) ÁNGULO OBTUSO
- 18. = 90º + = 180º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
- 19. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes Puede formar más ángulos Un lado común
- 20. 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180° 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8
- 21. + + = x + y 01.- Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS x y
- 22. + + + + = 180° 02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
- 23. + = 180° 03 .- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
- 25. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:
- 26. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos: y + = 80° Dato: = 80° - ( 90° - ) = 2 Reemplazando (1) en (2): ( 90° - ) = 2 ( 80° - ) 90° - = 160° -2 = 10° - = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo ( 1 ) ( 2 ) = 70°
- 27. La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos: y ( 90° - ) ( 90° - ) = 130° + ( 180° - ) ( 180° - ) = 10° - Resolviendo: (1) y (2) + = 50° - = 10° 2 = 60° = 30° = 20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado: + = 50° ( 1 ) - = 10° ( 2 ) (+)
- 28. Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. De la figura: = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20° = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN A B O C M 60° 20° X
- 29. La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. ( + X) ( - X) = 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB - OBC = 30° - Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica A O B C X ( - X) M
- 30. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m AOC = m BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. De la figura: 2 + = 90° + 2 = 90° 2 + 2 + 2 = 180° + + = 90° X = + + X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado A C B D M N X ( + )
- 31. Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” Problema Nº 07 80° 30° X m n
- 32. 2 + 2 = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero cóncavo Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° RESOLUCIÓN + = 55° (1) 80° = + + X (2) 80° 30° X m n
- 33. Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” Problema Nº 08 5 4 65° X m n
- 34. Por la propiedad: 4 + 5 = 90° = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN 5 4 65° X m n
- 35. Problema Nº 01 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” 2 x m n 2
- 36. 3 + 3 = 180° + = 60° Ángulos entre líneas poligonales X = + X = 60° RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos 2 x m n 2
- 37. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS
- 38. PROBLEMA 01.- Si L 1 // L 2 . Calcule la m x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° x 4x 3x L 1 L 2
- 39. PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48° m n 30° X
- 40. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45° 3 3 3 m n
- 41. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 40° 95° 2x m n
- 42. PROBLEMA 05.- Calcule la m x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120° 3 6 x
- 43. PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60° 4 4 X m n
- 44. A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45° PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m x 88° 24° x m n
- 45. PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m x A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30° 20° 30° X m n
- 46. PROBLEMA 09.- Si m//n y - = 80°. Calcule la m x A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° x m n
- 47. PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° x x x m n
- 48. PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60° 180°-2 2 m n
- 49. PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50° x 80° m n
- 50. PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° 80° m n x
- 51. REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 20º 8. 50º 30º 9. 80º 45º 10. 30º 10º 11. 60º 120º 12. 40º 36º 13. 50º 7. 32º