Spss

Capítulo 23
Análisis discriminante:
El procedimiento Discriminante
Introducción
Con independencia del área de conocimiento en la que se esté trabajando, es frecuente tener
que enfrentarse con la necesidad de identificar lascaracterísticasquepermitendiferenciara dos
o más grupos de sujetos. Y, casi siempre, para poder clasificar nuevos casos como pertenecien-
tes a uno u otro grupo: ¿se beneficiará este paciente del tratamiento, o no?¿devolverá este clien-
te el crédito, o no?, ¿se adaptará este candidato al puesto de trabajo, o no?, etc.
A falta de otra información, cualquier profesional se limita a utilizar su propia experiencia
o la de otros, o su intuición, para anticipar el comportamiento de un sujeto: el paciente se bene-
ficiará del tratamiento, el cliente devolverá el crédito o el candidato se adaptará a su puesto de
trabajo en la medida en que se parezcan a los pacientes, clientes o candidatos que se benefician
del tratamiento, que devuelven el crédito o que se adaptan a su puesto de trabajo. Pero a medi-
da que los problemas se hacen más complejos y las consecuencias de una mala decisión más
graves, las impresiones subjetivas basadas en la propia intuición o experiencia deben ser sus-
tituidasporargumentosmásconsistentes.Elanálisisdiscriminanteayudaaidentificarlascarac-
terísticas que diferencian (discriminan) a dos o más grupos y a crear una función capaz de dis-
tinguir con la mayor precisión posible a los miembros de uno u otro grupo.
Obviamente, para llegar a conocer en qué se diferencian los grupos necesitamos disponer
de la información (cuantificada en una serie de variables) en la que suponemos que se diferen-
cian. El análisis discriminante es una técnica estadística capaz de decirnos qué variables per-
miten diferenciar a los grupos y cuántas de estas variables son necesarias para alcanzar la mejor
clasificación posible. La pertenenciaalosgrupos,conocidadeantemano, se utiliza como varia-
ble dependiente (una variable categórica con tantos valores discretos como grupos). Las va-
riables en las que suponemos que se diferencian los grupos se utilizan como variables indepen-
dientes o variables de clasificación (también llamadas variables discriminantes). Según vere-

Capítulo 23. Análisis discriminante 2
mos, deben ser variables cuantitativas continuas o, al menos, admitir un tratamiento numérico
con significado.
El objetivo último del análisis discriminante es encontrar la combinación lineal de las va-
riables independientes que mejor permite diferenciar (discriminar) a los grupos. Una vez en-
contrada esa combinación (la función discriminante) podrá ser utilizada para clasificar nuevos
casos. Se trata de una técnica de análisis multivariante que es capaz de aprovechar las relacio-
nes existentes entre una gran cantidad de variables independientes paramaximizarlacapacidad
de discriminación.
El análisisdiscriminanteesaplicableamuydiversasáreasdeconocimiento.Se ha utilizado
para distinguir grupos de sujetos patológicos y normales a partir de los resultados obtenidos
en pruebas diagnósticas, como los parámetros hemodinámicos en el ámbito clínico médico o
las pruebas psicodiagnósticas en el ámbito clínico psicológico. En el campo de los recursos hu-
manos se aplica a la selección de personal para realizar un filtrado de los curricula previo a la
entrevista personal. En banca se ha utilizado para atribuir riesgos crediticios yen las compañías
aseguradoras para predecir la siniestralidad.
El análisis discriminante es conceptualmente muy similar al análisis de varianza multiva-
riante de un factor. Su propósito es el mismo que el del análisis de regresión logística, pero a
diferencia de él, sólo admite variables cuantitativas. Si alguna de las variables independientes
es categórica, es preferible utilizar la regresión logística.

El caso de dos grupos
Según hemos señalado ya, el análisis discriminante permite diferenciar entre cualquier número
de grupos. Sin embargo, por simplicidad, comenzaremos con el caso de dos grupos, para am-
pliar posteriormente el razonamiento al caso de k grupos.
En la figura 23.1 están representadas, en el espacio bivariante definido por las variables
X1 y X2, las nubes de puntos correspondientes a dos grupos hipotéticos. Los dos grupos repre-
sentados se diferencian entre sí en ambas variables, pero no por completo, pues, de hecho, se
solapan en una pequeña región situada entre ambos.
En la figura 23.1 también está representada la función D, que es una combinación lineal
de ambas variables. Sobre la función D se representa la proyección de las dos nubes de puntos
en forma de histograma, como si la función D cortara a las dos nubes de puntos en la dirección
de su eje. Las dos líneas punteadas de cada uno de los histogramas representan la ubicación
proyectada de los puntos medios de cada grupo (los centroides).
Figura 23.1. Diagramas de dispersión de dos grupos en dos variables de clasificación.

El propósito del análisis discriminante consiste en aprovechar la información contenida en las
variables independientes para crear una función D combinación lineal de X1 y X2 capaz de dife-
renciar lo más posible a ambos grupos. La función discriminante es de la forma:
Donde b1 y b2 son las ponderaciones de las variables independientes que consiguen hacer que
los sujetos de uno de los grupos obtengan puntuaciones máximas en D, y los sujetos del otro
grupo puntuaciones mínimas.
Una vez hallada la función discriminante D, carece de sentido intentar representar la situa-
ción de los grupos en el espacio definido por las variables X1 y X2. Conviene más bien centrar
el interés en la representación de la función discriminante, que es unidimensional. La represen-
tación en p dimensiones resulta complicada cuando p es mayor de 2 y añade poco o nada a la
interpretación de la función. En la figura 23.2 está representa sólo la función discriminante D
extraída del espacio de las variables X1 y X2. Los grupos aparecen representados por sus histo-
gramas y las proyecciones de los centroides aparecen marcadas por líneas de puntos.
Figura 23.2. Histogramas de cada grupo y centroides representados sobre la función discriminante.
Sustituyendo en la función discriminante el valor de las medias del grupo 1 en las variables X1
y X2, obtenemos el centroide del grupo 1:

De igual modo, sustituyendo las medias del grupo 2, obtenemos el centroide del grupo 2:
La función D debe ser tal que la distancia d entre los dos centroides sea máxima, consiguiendo
de esta forma que los grupos estén lo más distantes posible. Podemos expresar esta distancia
de la siguiente manera:
donde e son las medias del grupo 1 y del grupo 2 en la función D.
Como puede observarse en la figura 23.1, se desea reducir la dimensionalidad de lasp variables
independientes a una sola dimensión (la de la combinación lineal D) en la que los grupos se di-
ferencien lo más posible. Las puntuaciones de los sujetos en esa nueva dimensión (denomi-
nadas puntuaciones discriminantes) serán las que nos permitan llevar a cabo la clasificación de
los sujetos.
Es importante señalar que los grupos deben diferenciarse de antemano en las variables in-
dependientes. El análisis busca diferenciar los dos grupos al máximo combinando las variables
independientes pero si los grupos no difieren en las variables independientes, el análisis será
infructuoso: no podrá encontrar una dimensión en la que los grupos difieran. Dicho de otro
modo, si el solapamiento entre los casos de ambos grupos es excesivo, los centroides se encon-
trarán en la misma o parecida ubicación en el espacio p-dimensional y, en esas condiciones, no
será posible encontrar una función discriminante útil para la clasificación. Es decir, si los cen-
troides están muy próximos, las medias de los grupos en la función discriminante serán tan
parecidas (osea, el valor de d será tan pequeño) que no será posible distinguir a los sujetos de
uno y otro grupo.
Los supuestos del análisis son los mismos que los del análisis de regresión múltiple. En
especial, debe cumplirse que la distribución de las variables independientes sea normal.

Para llevar a cabo un Análisis discriminante:
| Seleccionar la opción Clasificar > Discriminante... del menú Analizar para acceder al
cuadro de diálogo Análisis discriminante que muestra la figura 23.3.
Figura 23.3. Cuadro de diálogo Análisis discriminante.
La lista de variables del archivo de datos contiene un listado con todas las variables del archivo
excepto las que tienen formato de cadena. Para obtener un Análisis discriminante con las
especificaciones que el programa tiene establecidas por defecto:
| Seleccionar una variable categórica (nominal u ordinal) y trasladarla al cuadro Varia-
ble de agrupación. La variable de agrupación es aquella que define los grupos que
se desea comparar.
| Seleccionar al menos una variable cuantitativa (de intervalo o razón) y trasladarla a
la lista Independientes. Las variables independientes son aquellas en las que se desea
comparar los grupos.
| Pulsar el botón Definir rango... para acceder al subcuadro de diálogo Definir rango
que muestra la figura 23.4.

Figura 23.4. Subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Definir rango.
Tras seleccionar la variable de agrupación es necesario introducir los códigos que
identifican a los grupos que se desea comparar. El análisis incluirá tantos grupos como
números enteros consecutivos contenga la variable de agrupación entre los límites del
rango definido (ambos límites incluidos). Para ello:
| Introducir el número correspondiente al límite inferior del rango en el cuadro de
texto Mínimo y el número correspondiente al límite superior del rango en el cua-
dro de texto Máximo. Pulsar el botón Continuar para volver al cuadro de
diálogo principal.

Ejemplo (Análisis discriminante)
Este ejemplo muestra cómo llevar a cabo un análisis discriminante con las especificaciones que
el programa tiene establecidas por defecto. Vamos a averiguar en qué se diferencian los vehí-
culos producidos en EE.UU. y los producidos en Europa. Para ello, utilizaremos el archivo Co-
ches.sav, que se encuentra en la misma carpeta en la que ha sido instalado el SPSS. El archivo
contiene información técnica (consumo, aceleración, peso, cilindrada, etc.) sobre una muestra
de 406 vehículos.
Antes de iniciar el análisis hemos obtenido una representación de la dispersión de los vehí-
culos estadounidenses y europeos en las variables aceleración y peso (figura 23.5). El archivo
de datos contiene una variable llamada origen con tres valores: 1 = E.UU, 2 = Europa y 3 =
Japón. Para trabajar únicamente con los vehículos de fabricación estadounidense y europea,
hay que filtrar el archivo de datos antes de obtener el diagrama de dispersión. Para ello:
| Seleccionar la opción Seleccionar casos... del menú Datos ara acceder al cuadro de
diálogo Seleccionar casos.
| Marcar la opción Si se satisface la condición y pulsar el botón Si... para acceder al
cuadro de diálogo Seleccionar casos: Si.
| Establecer la condición de filtrado (por ejemplo, “origen < 3") y pulsar el botón Con-
tinuar.
Aceptando estas selecciones, el archivo de datos queda filtrado dejando disponibles 306 vehí-
culos de los 406 originales.

Peso total (kg)
18001600140012001000800600400
Aceleración0a100km/h(segundos)
30
20
10
0
País de origen
Europa
EE.UU.
El diagrama de dispersión muestra que los vehículos estadounidenses tienden a situarse prefe-
rentemente en la zona de pesos altos (a la derecha), mientras que los vehículos europeos tien-
den a situarse más bien en la zona de pesos bajos (a la izquierda). En cuanto al eje vertical, las
diferencias en aceleración parecen ser menores, si bien los vehículos con tiempos de acelera-
ción más largos son europeos y los vehículos con tiempos de aceleración más cortos son esta-
dounidenses.
Figura 23.5. Diagrama de dispersión (peso por aceleración) distinguiendo el país de origen.
Puesto que los casos de ambos grupos no se solapan por completo, el diagrama sugiere que
existen diferencias entre ambos grupos de vehículos. Por otro lado, se aprecia cierta relación
entre las variables peso yaceleración, dado que la nube de puntos adopta una forma ligeramen-
te elipsoidal inclinada (de hecho, la correlación entre ambas variables vale –0,430, p < 0,001).
Si efectuamos un contraste sobre medias para comparar ambos grupos, podremos compro-
bar quelosgruposdifierensignificativamentetantoenaceleración como enpeso.Sin embargo,
estos contrastes no tienen en cuenta la correlación existente entre las variables ni nos ayudan
a clasificar los vehículos como pertenecientes a uno u otro grupo. Recordemos que el análisis
discriminante no sólo permite averiguar en qué variables se diferencian los grupos sino, ade-
más, construir una función para clasificar los vehículos.

326 80.3
80 19.7
0 .0
0 .0
80 19.7
406 100.0
Casos no ponderados
Válidos
Por pertenecer a un grupo fuera de rango
Por tener valor perdido en al menos una variable discriminante
Por pertenecer a un grupo fuera de rango o por tener valor
perdido en al menos una variable discriminante
Total
Excluidos
Total
N Porcentaje
Para llevar a cabo el análisis discriminante con las especificaciones que el programa tiene esta-
blecidas por defecto:
| En el cuadro de diálogo Análisis discriminante (ver figura 23.3), trasladar la variable
origen al cuadro Variable de agrupación las variables acel (aceleración) y peso a la
lista Independientes.
| Pulsar en Definir rango... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminan-
te: Definir rango (ver figura 23.4) e introducir los valores 1 y 2 en los cuadros de tex-
to Mínimo y Máximo, respectivamente. Pulsar el botón Continuar.
Aceptando las selecciones hechas, el Visor ofrece los resultados que muestran las tablas 23.1
a la 23.7.
La tabla 23.1 ofrece un resumen con el total de casos procesados, el número de casos váli-
dos para el análisis y el número de casos excluidos. Dentro de los casos excluidos se distingue
entre los que son excluidos porque su código en la variable de agrupación no está dentro del
rango seleccionado (en ele ejemplo, 80 vehículos japoneses con el código 3 en la variable ori-
gen), los que son excluidos porque tienen un valor perdido en al menos una variable discrimi-
nante, y los que cumplen las dos condiciones anteriores.
Tabla 23.1. Tabla resumen de los casos procesados.

253 253
253 253
73 73
73 73
326 326
326 326
Peso total (kg)
Aceleración 0 a 100 km/h
Peso total (kg)
Peso total (kg)
País de
origen
EE.UU.
Europa
Total
No ponderados Ponderados
N válido (según lista)
La tabla 23.2 ofrece un resumen del número de casos válidos en cada variable discriminante.
La información de esta tabla posee un interés especial, pues un número desigual de casos en
cada uno de los grupos puede afectar a la clasificación. En nuestro ejemplo, los vehículos
europeos representan menos del 25% del total de vehículos analizados.
Tabla 23.2. Estadísticos por grupo (nº de casos válidos en cada variable).
La tabla 23.3 contiene los autovalores y algunos estadísticos descriptivos multivariantes. Esta
tabla y la siguiente se encuentran estrechamente relacionadas y cobran mayor significado en
el caso de más de dos grupos. Como veremos más adelante, cuando se trabaja con más de dos
grupos se obtiene más de una función discriminante: en estas tablas es posible comparar de ma-
nera global la capacidad discriminativa de cada función. En la tabla aparece una fila numerada
por cada función discriminante; como en nuestro ejemplo sólo hayuna función, sólo se muestra
una fila. Esta única función explica el 100% de las diferencias existentes entre los sujetos de
los grupos.
El autovalor es el cociente entre la variación debida a las diferencias entre los grupos (me-
dida mediante la suma de cuadrados inter-grupos) y la variación que se da dentro de cada gru-
po combinada en una única cantidad (medida mediante la suma de cuadrados intra-grupos).
Este estadístico se diferencia de la F del análisis de varianza multivariante en que no intervie-
nen los grados de libertad. Su interés principal radica en que permite comparar cómo se distri-
buye la dispersión inter-grupos cuando existe más de una función. Aunque un autovalor tiene
un mínimo de cero, no tiene un máximo, lo cual lo hace difícilmente interpretable por sí sólo.
Por esta razón se acostumbra a utilizar el estadístico lambda de Wilks, que se encuentra estre-
chamente relacionado con los autovalores.
La correlación canónica es la correlación entre la combinación lineal de las variables in-
dependientes (la función discriminante) y una combinación lineal de variables indicador (unos
y ceros) que recogen la pertenencia de los sujetos a los grupos. En el caso de dos grupos, la co-

.294a 100.0 100.0 .477
Función
1
Autovalor % de varianza % acumulado
Correlación
canónica
Se han empleado las 1 primeras funciones discriminantes
canónicas en el análisis.
a.
rrelación canónica es la correlación simple entre las puntuaciones discriminantes y una varia-
ble con códigos 1 y 0 según cada caso pertenezca a un grupo o a otro. Una correlación canónica
alta indica que las variables discriminantes permiten diferenciar entre los grupos. Con más de
dos grupos, la correlación canónica es equivalente al estadístico eta utilizado en el análisis de
varianza de un factor (eta = raíz cuadrada del cociente entre la suma de cuadrados inter-grupos
y la suma de cuadrados total).
El autovalor obtenido en nuestro ejemplo está bastante próximo a 0 y la correlación canó-
nica es moderada, por lo que debemos suponer que lasvariablesdiscriminantesutilizadas (peso
y aceleración) no permiten distinguir demasiado bien entre los dos grupos.
Tabla 23.3. Autovalores.

.773 83.202 2 .000
Contraste de
las funciones
1
Lambda
de Wilks
Chi-
cuadrado gl Sig.
El estadístico lambda de Wilks expresa la proporción de variabilidad total no debida a las dife-
rencias entre los grupos; permite contrastar la hipótesis nula de que las medias multivariantes
de los grupos (los centroides) son iguales. Wilks (1932), basándose en el principio de razón
de verosimilitud generalizada (según el cual la varianza generalizada de una espacio
multivariante puede ser calculada mediante el determinante de la matriz de dispersión), planteó
el estadístico Λ, definido como:
donde S es la matriz de varianzas-covarianzas combinada, calculada a partir de las matrices
de varianzas-covarianzas de cada grupo, y T es la matriz de varianzas-covarianzas total,
calculada sobre todos los casos como si pertenecieran a un único grupo. Cuando los grupos se
encuentren superpuestos en el espacio multidimensional, los valores del numerador y del
denominador serán aproximadamente iguales y su cociente valdrá 1; a medida que los grupos
se vayan separando más y más, la variabilidad inter-grupos irá aumentando y la variabilidad
intra-grupos se irá haciendo comparativamente menor respecto a la variabilidad total,
disminuyendo así el valor del cociente. Por tanto, valores próximos a 1 indicarán un gran
parecido entre los grupos, mientras que valores próximos a 0 indicarán una gran diferencia
entre ellos. Nótese que lambda + eta2
= 1.
Tabla 23.4. Lambda de Wilks.
Aunque Schatzoff (1966) obtuvo los puntos críticos exactos de la distribución de Λ bajo ciertas
condiciones, es más frecuente utilizar una transformación de Λ que posee distribución aproxi-
mada conocida. Bartlett (1947) ha demostrado que el estadístico:
se aproxima a la distribución chi-cuadrado con (p–k)(g–k – 1) grados de libertad: p es el núme-
ro de variables independientes o discriminantes, g es el número de grupos, y k es el número

funciones discriminantes obtenidas con anterioridad al contraste (cunado sólo existe una fun-
ción –porque sólo hay dos grupos–, k = 0).
La gran ventaja diagnóstica del estadístico lambda es que, puesto que se basa en las matri-
ces de varianzas-covarianzas, puede calcularse antes de obtener las funciones discriminantes.
En nuestro ejemplo, el valor de lambda es moderadamente alto (0,773), lo cual significa
que existe bastante solapamiento entre los grupos. Sin embargo,elvalortransformadode lamb-
da (Chi-cuadrado = 83,202) tiene asociado, con 2 grados de libertad, un nivel crítico (Sig.)
de 0,000, por lo que podemos rechazar la hipótesis nula de que los grupos comparados tienen
promedios iguales en las dos variables discriminantes.

.919
-.184
Peso total (kg)
1
Función
La tabla de coeficientes estandarizados (tabla 23.5) contiene una versión estandarizada de los
coeficientes de la función canónica discriminante. Estos coeficientes estandarizados son inde-
pendientes de la métrica original de las variables discriminantes y, por tanto, son preferibles
a los coeficientes brutos cuando las variables poseen una métrica distinta. Son los coeficientes
que el programa ofrece por defecto, mientras que los coeficientes brutos deben solicitarse de
manera explícita. Atendiendo al valor de los coeficientes estandarizados de la tabla 23.5 pode-
mos concluir que la variable peso tiene mayor importancia que la variable aceleración a la hora
de predecir el grupo de pertenencia de los vehículos.
Tabla 23.5. Coeficientes estandarizados de las funciones discriminantes canónicas.
Para interpretar los signos de las ponderaciones resulta útil inspeccionar primero la ubicación
de los centroides de cada grupo. Los centroides se muestran en la tabla 23.7. Podemos compro-
bar que el grupo de coches estadounidenses tiende a obtener puntuaciones positivas en la fun-
ción discriminante, mientras que el grupo de vehículos europeos tiende a obtener puntuaciones
negativas. Sabido esto, la función discriminante nos indica que un incremento en el peso (por
encima de la media) hará más probable que el vehículo obtenga una puntuación positiva y, con
ello, que se ajuste al patrón de los vehículos estadounidenses. Por el contrario, un peso por
debajo de la media será característico de un vehículo europeo. En cuanto a la variable acele-
ración, un valor por encima de la media (mayor número de segundos en alcanzar los 100 km/h)
hará disminuir la puntuación discriminante (dado que el signo es negativo) y será más carac-
terístico de los vehículos europeos, y viceversa, una puntuación en aceleración por debajo de
la media aumentará las posibilidades de que el vehículo sea clasificado como estadounidense.
Basándonosenestosresultados,podemosafirmarquelosvehículosestadounidensestienenma-
yor peso y tardan menos en alcanzar los 100 km/h.

.985
-.513
Peso total (kg)
1
Función
La matriz de estructura (tabla 23.6) contiene las correlaciones entre las variables discriminan-
tes y la función discriminante estandarizada. Mientras que los coeficientes estandarizados
muestran la contribución neta de cada variable independiente a la función discriminante (de
manera similar a como lo hacen los coeficientes beta de un análisis de regresión múltiple), las
correlaciones muestran la relación bruta entre cada variable y la función discriminante.
Cuando existe colinealidad entre las variables independientes puede ocurrir que alguna
de ellas quede fuera del análisis por no aportar información nueva. Sin embargo, no por ello
carece de interés conocer cómo se relaciona cada variable independiente con la función discri-
minante. Conocer estas relaciones puede ayudar a interpretar mejor la función discriminante.
En la tabla 23.6 podemos apreciar que la aceleración correlaciona alto con la función dis-
criminante, aunque sea una variable poco importante en la función. Posiblemente, la poca
importancia de esta variable en la función se deba a su relación con la variable peso, la cual ha
capitalizado la información que comparte con la aceleración y la aporta de manera individual
a la función discriminante.
La matriz de estructura presenta las variables ordenadas por su grado de correlación (de
mayor a menor) con la función discriminante. Este orden puede ser distinto del orden en el que
aparecen en otras tablas y del orden en que han sido incluidas en el análisis.
Tabla 23.6. Matriz de estructura.

.290
-1.006
País de origen
EE.UU.
Europa
1
Función
La tabla 23.7 contiene la ubicación de los centroides en la función discriminante (bruta) tal y
como se muestran en la figura 23.2. Esta tabla es de gran utilidad para interpretar la función
discriminante. Podemosobservarque el grupo de vehículos estadounidenses se encuentra loca-
lizado, en promedio, en las puntuaciones positivas de la función, mientras que los vehículos
europeos se encuentran ubicados en las puntuaciones negativas.
Si desconocemos la procedencia de un vehículo pero tenemos información sobre su peso
y aceleración, podemos calcular su puntuación discriminante y, a partir de ella, asignarlo al
grupo de cuyo centroide se encuentre más próximo.
Tabla 23.7. Valores de los centroides en la función discriminante.

Estadísticos
El subcuadro de diálogo Estadísticos permite obtener información adicional sobre algunos
aspectos del análisis. Parte de esta información es descriptiva, pero también contiene estadísti-
cos que permiten comprobar algunos de los supuestos en los que se fundamenta la técnica. Para
obtener esta información:
| Pulsar en el botón Estadísticos... (ver figura 23.3) para acceder al subcuadro de diálogo
Análisis discriminate: Estadísticos que se muestra en la figura 23.6.
Figura 23.6. Subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Estadísticos.

1122.11 262.87 253 253.000
14.93 2.80 253 253.000
810.12 163.62 73 73.000
16.82 3.01 73 73.000
1052.25 276.55 326 326.000
15.35 2.95 326 326.000
Peso total (kg)
Peso total (kg)
Peso total (kg)
País de origen
EE.UU.
Europa
Total
Media Desv. típ. No ponderados Ponderados
.778 92.381 1 324 .000
.928 25.022 1 324 .000
Peso total (kg)
Lambda
de Wilks F gl1 gl2 Sig.
Descriptivos. Este apartado contiene opciones que permiten obtener información descriptiva
y contrastes univariantes y multivariantes sobre las variables utilizadas en el análisis:
G Medias. Media, desviación típica, número de casos válidos (ponderado y no ponde-
rado) para cada uno de los grupos y para la muestra total (tabla 23.8).
Tabla 23.8. Estadísticos descriptivos.
G ANOVAs univariados. Tabla de ANOVA con estadísticos F que permiten contrastar
la hipótesis de igualdad de medias entre los grupos en cada variable independiente. La
tabla de ANOVA incluye también el estadístico lambda de Wilks univariante. La in-
formación de esta tabla suele utilizarse como prueba preliminar para detectar si los
grupos difieren en las variables de clasificación seleccionadas; sin embargo, debe te-
nerse en cuenta que una variable no significativa a nivel univariante podría aportar in-
formación discriminativa a nivel multivariante.
Tabla 23.9. Pruebas de igualdad de las medias de los grupos.

2 12.963
2 12.379
2 12.954
País de origen
EE.UU.
Europa
Intra-grupos combinada
Rango
Logaritmo del
determinante
39.135
12.906
3
263888.2
.000
M de Box
Aprox.
gl1
gl2
Sig.
F
G M de Box. Prueba M de Box para el contraste de la hipótesis nula de igualdad de las
matrices de varianzas-covarianzas poblacionales. Uno de los supuestos del análisis
discriminante es que todos los grupos proceden de la misma población y, más concre-
tamente, que las matrices de varianzas-covarianzas poblacionales correspondientes a
cada grupo son iguales entre sí. El estadístico M de Box toma la forma:
donde S es la matriz de varianzas-covarianzas combinada, S(j)
es la matriz de varian-
zas-covarianzas del j-ésimo grupo, n es el número total de casos, nj es el número de
casos en el j-ésimo grupo y g es el número de grupos. El estadístico M carece de distri-
bución muestral conocida, pero puede transformase en un estadístico F e interpretarse
como tal (muchos analistas critican el uso de este estadístico por ser demasiado sensi-
ble a pequeñas desviaciones de la normalidad multivariante y a tamaños muestrales
grandes, tendiendo a ser conservador).
La tabla 23.10 muestra los logaritmos de los determinantes de todas las matrices
utilizadas en el cálculo del estadístico M. Dado que el estadístico es multivariante, la
tabla permite comprobar qué grupos (cuando hay más de dos) difieren más.
Tabla 23.10. Logaritmos de los determinantes.
La tabla 23.11 ofrece la prueba M de Box y su transformación en un estadístico F. El
resultado de la prueba permite rechazar la hipótesis de igualdad de matrices de varian-
zas-covarianzas (Sig. = 0,000 < 0,05) y, por tanto, concluir que uno de los dos grupos
es más variable que el otro.
Tabla 23.11. Tabla de resultados de la prueba M de Box.

59693.536 -248.818
-248.818 8.117
1.000 -.357
-.357 1.000
Peso total (kg)
Peso total (kg)
Covarianza
Correlación
Peso total
(kg)
Aceleración
0 a 100 km/h
Matrices. Las opciones de este apartado permiten obtener las matrices de varianzas-cova-
rianzas utilizadas en el análisis.
G Correlación intra-grupos. Muestra la matriz de correlaciones intra-grupo combina-
da, es decir la matriz de correlaciones entre las variables independientes estimada a
partir de las correlaciones obtenidas dentro de cada grupo (ver tabla 23.12). Aparece
en la misma tabla que la matriz de varianzas-covarianzas intra-grupos combinada.
G Covarianza intra-grupos. Matriz de varianzas-covarianzas intra-grupo combinada
(ver tabla 23.12). Esta matriz se calcula obteniendo las matrices de sumas de cuadra-
dos y productos cruzados de cada grupo por separado, sumando a continuación las
matrices de todos los grupos y dividiendo finalmente por los grados de libertad. Es la
matriz S utilizada en el cálculo de la lambda de Wilks. La matriz se ofrece junto a la
de correlaciones intra-grupo en una única tabla.
Tabla 23.12. Matrices intra-grupo combinadas.
G Covarianza de grupos separados. Matrices de varianzas-covarianzas de cada grupo
(ver tabla 23.13). En la tabla, la matriz de cada grupo se presenta precedida de un en-
cabezado que indica el grupo al que se refiere. Las matrices de varianza-covarianza
individuales calculadas por separado paracada uno de los grupos se utilizan en ocasio-
nes especiales para obtener una estimación de la matriz de varianzas-covarianzas
intra-grupo combinada. La suma de estas matrices sólo será igual a la matriz de varian-
zas-covarianzas combinada cuando los tamaños de los grupos sean grandes y simila-
res. Estas matrices aparecen en la misma tabla que la matriz de varianzas-covarianzas
total.

69099.515 -340.100
-340.100 7.846
26772.610 70.669
70.669 9.066
76477.740 -351.030
-351.030 8.717
Peso total (kg)
Peso total (kg)
Peso total (kg)
País de origen
EE.UU.
Europa
Total
Peso total
(kg)
Aceleración 0
a 100 km/h
G Covarianza total. Matriz de varianzas-covarianzas total, es decir, calculada sobre to-
dos los sujetos de la muestra como si pertenecieran a un único grupo (ver tabla 23.13).
Aparece en la última submatriz de la tabla 23.13, con el encabezado Total. Es la ma-
triz T utilizada en el cálculo de la lambda de Wilks.
Tabla 23.13. Matrices de varianzas-covarianzas.

.004
-.065
-2.967
Peso total (kg)
(Constante)
1
Función
Coeficientes no tipificados
Coeficientes de la función. Este apartado contiene opciones que permiten seleccionar algunos
coeficientes adicionales utilizados en la clasificación de los casos.
G Coeficientesno tipificados.Coeficientesbrutosdelafuncióncanónica discriminante.
Son los coeficientes utilizados por el programa para calcular las puntuaciones discri-
minantes y la ubicación de los centroides de los grupos de la tabla 23.7. No es habitual
solicitar esta tabla por dos motivos. En primer lugar, el programa calcula de manera
automática las puntuaciones discriminantes. En segundo lugar, este conjunto de coefi-
cientes depende de la variabilidad y la métrica de las variables (de manera similar a
lo que sucede con los coeficientes de regresión no tipificados del análisis de regresión
múltiple), lo que dificulta su interpretación. La función discriminante incluye una
constante correctora que consigue que las puntuaciones discriminantes tomen el valor
0 en algún punto entre los dos centroides.
Tabla 23.14. Coeficientes de la función discriminante (no tipificados).
A modo de ejemplo, puede comprobarse que a partir de las medias de cada grupo en
las variablesdiscriminantes(vertabla23.8)yeste conjunto de coeficientes se obtienen
los centroides en la función discriminante (ver tabla 23.7):

.030 .025
2.769 2.853
-38.385 -35.003
Peso total (kg)
(Constante)
EE.UU. Europa
País de origen
Funciones discriminantes lineales de Fisher
G Coeficientes de clasificación de Fisher. Fisher (1936) presentó la primera aproxima-
ción a la clasificación multivariante para el caso de dos grupos. Los coeficientes pro-
puestos por Fisher se utilizan únicamente para la clasificación. Al solicitar esta opción
se obtiene una función de clasificación para cada grupo. En el caso de dos grupos, la
diferencia entre ambas funciones da lugar a un vector de coeficientes proporcional a
los coeficientes no tipificados de la función discriminante canónica. Para aplicar estos
coeficientes, se calcula cada una de las funciones para un sujeto dado y se clasifica al
sujeto en el grupo en el que la función obtiene una puntuación mayor. En la práctica,
el programa no utiliza estos coeficientes para la clasificación de los sujetos.
Tabla 23.15. Funciones de clasificación de Fisher.

Método
Las variables independientes pueden incorporarse a la función discriminate utilizando dos
estrategias distintas. Por defecto, el SPSS utiliza una estrategia de inclusión forzosa de varia-
bles que permite construir la función discriminante incorporando todas las variables indepen-
dientes incluidas en el análisis. Según hemos visto en los ejemplos anteriores, los únicos esta-
dísticos que se obtienen con esta estrategia se refieren al ajuste global de la función discrimi-
nante; no se obtienen estadísticos referidos a la significación individual de cada coeficiente
discriminante (como, por ejemplo, los estadísticos t del análisis de regresión múltiple).
Una manera de obtener información sobre la significación individual de cada variable en
la función discriminante consiste en utilizar una estrategia de inclusión por pasos. Con esta es-
trategia, las variables se van incorporando a la función discriminante una a una y, de esta mane-
ra, es posible, por un lado, construir una función utilizando únicamente aquellas variables que
realmente son útiles para la clasificación y, por otra, evaluar la contribución individual de cada
variable al modelo discriminate. Para utilizar esta estrategia de inclusión por pasos:
| En el cuadro de diálogo Análisis discriminante (ver figura 23.3), seleccionar la opción
Usar método de inclusión por pasos.
| Pulsar en el botón Método... (inactivo hasta que se marca la opción Usar método de
inclusiónporpasos)paraaccederalsubcuadrodediálogoAnálisisdiscriminante:Método
de inclusión por pasos que muestra en la figura 23.7.
Figura 23.7. Subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Método de inclusión por pasos.

Método. En la estrategia de inclusión por pasos, las variables independientes van siendo in-
corporadas paso a paso a la función discriminate tras evaluar su grado de contribución indi-
vidual a la diferenciación entre los grupos. Las opciones de este apartado permiten seleccionar
el estadístico que será utilizado como método de selección de variables:
F Lambda de Wilks. Cada variable independiente candidata a ser incluida en el modelo
se evalúa mediante un estadístico Fcambio que mide el cambio que se produce en el valor
de la lambda de Wilks al incorporar cada una de las variables al modelo. Obtenido el
valor del estadístico Fcambio para cada variable, se incorpora al modelo la variable a la
que le corresponde el mayor valor Fcambio (o, lo que es lo mismo, la que produce el ma-
yor cambio en la lambda de Wilks):
donde n es el número de casos válidos, g es el número de grupos, λp es la lambda de
Wilks que corresponde al modelo antes de incluir la variable que se está evaluando y
λp+1 es la lambda de Wilks que corresponde al modelo después de incluir esa variable.
Este estadístico F es también conocido como R de Rao (ver Tatsuoka, 1971).
F Varianza no explicada. Utiliza como criterio de inclusión la suma de la variación
entre todos los pares de grupos no explicada por las variables ya incluidas en el mode-
lo. Se incorpora al modelo la variable que minimiza la cantidad de varianza no
explicada. La cantidad de varianza explica por el modelo, R2
, es proporcional, en una
constante c, a la distancia H de Mahalanobis (ver más abajo):
Para calcular la cantidad de varianza no explicada se utiliza el estadístico R (Dixon,
1973):
donde g es el número de grupos, y a y b son dos grupos cualesquiera.

F Distancia de Mahalanobis. Se incorpora en cada paso la variable que maximiza la
distancia de Mahalanobis (1936) entre los dos grupos máspróximos.Ladistanciamul-
tivariante entre los grupos a y b se define como:
donde n es el número de casos válidos, g es el número de grupos, es la media del
grupo a en la i-ésima variable independiente, es la media del grupo b en la i-ésima
variable independiente, y es un elemento de la inversa de la matriz de varian-
zas-covarianzas intra-grupos. Morrison (1976).
F Menor razón F. Se incorpora en cada paso la variable que maximiza la menor razón
F para las parejas de grupos. El estadístico F utilizado es la distancia de Mahalanobis
ponderada por el tamaño de los grupos:
F V de Rao. El estadístico V de Rao (1952) es una transformación de la traza de Lawley-
Hotelling (Lawley, 1938; Hotelling, 1931) que es directamente proporcional a la dis-
tancia entre los grupos. Al utilizar este criterio, la variable que se incorpora al modelo
es aquella que produce un mayor incremento en el valor de V:
donde p es el número de variables en el modelo, g es el número de grupos, nk es el
número de casos válidos del grupo k, es la media del grupo k en la i-ésima varia-
ble, es la media de todos los grupos en la i-ésima variable, y es un elemento
de la inversa de la matriz de varianzas-covarianzas intra-grupos.
Esta opción permite especificar el incremento mínimo que se tiene que dar en el
valor de V para que una variable pueda ser incorporada al modelo. Para establecer ese
mínimo, introducir un valor mayor que 0 en el cuadro de texto V para entrar.

*
Superado el criterio de significación, una variable sólo pasa a formar parte del modelo si su nivel de tolerancia es mayor
que el nivel establecido por defecto (este nivel es 0,001, pero puede cambiarse mediante sintaxis) y si, además, su incorpo-
ración al modelo no hace que alguna de las variables previamente seleccionadas pase a tener un nivel de tolerancia por debajo
del nivel establecido por defecto. La tolerancia de una variable independiente es la proporción de varianza de esa variable que
no está asociada (que no depende) del resto de variables independientes incluidas en la ecuación. Una variable con una tole-
rancia de, por ejemplo, 0,01 es una variable que comparte el 99 % de su varianza con el resto de variables independientes, lo
cual significa que se trata de una variable redundante casi por completo.
Criterios. Cualquiera que sea el método seleccionado, en la estrategia de inclusión por pasos
siempre se comienza seleccionando la mejor variable independiente desde el punto de vista de
la clasificación (es decir, la variable independiente en la que más se diferencian los grupos).
Pero esta variable sólo es seleccionada si cumple el criterio de entrada. A continuación, se se-
lecciona la variable independiente que, cumpliendo el criterio de entrada, más contribuye a
conseguir que la función discriminante diferencie a los grupos. Etc. Cada vez que se incorpora
una nueva variable al modelo, las variables previamente seleccionadas son evaluadas nueva-
mente para determinar si cumplen o no el criterio de salida. Si alguna variable de las ya selec-
cionadas cumple el criterio de salida, es expulsada del modelo.
Las opciones de este apartado permiten establecer los criterios de entrada y salida utiliza-
dos por el programa para incorporar o eliminar variables. De acuerdo con estos criterios, sólo
son incluidas en el modelo aquellas variables que contribuyen a discriminar significativamente
entre los grupos*
:
F Usar valor de F. Una variable pasa a formar parte de la función discriminante si el
valor del estadístico F es mayor que 3,84 (valor de entrada). Y es expulsada de la fun-
ción si el valor del estadístico F es menor que 2,71 (valor de salida). Para modificar
los valores de entrada y salida:
| Seleccionar el criterio Usar valor de F (si no está ya seleccionado) e intro-
ducir los valores deseados (siempre mayores que 0) en los cuadros de texto
Entrada y Salida. El valor de entrada debe ser mayor que el de salida.
F Usar la probabilidad de F. Una variable pasa a formar parte de la función discrimi-
nante si el nivel crítico asociado al valor del estadístico F es menor que 0,05 (proba-
bilidad de entrada). Y es expulsada de la función si ese nivel crítico es mayor que 0,10
(probabilidad de salida). Para modificar los valores de entrada y salida:

| Seleccionar el criterio Usar valor de F (si no está ya seleccionado) e intro-
ducir los valores deseados (siempre entre 0 y 1) en los cuadros de texto En-
trada y Salida. El valor de entrada debe ser menor que el de salida.
Mostrar. Las opciones de este apartado permiten obtener información detallada sobre algunos
aspectos relacionados con el proceso de inclusión por pasos:
G Resumen de los pasos. Estadísticos para cada una de las variables después de cada
paso, así como estadísticos de resumen del paso. Para omitir de los resultados la infor-
mación sobre el proceso por pasos, desactive esta selección.
G F para distancias por parejas. Muestra una matriz de estadísticos F que contrasta si
cada pareja de grupos difieren en la función discriminante. Se comparan todas las pa-
rejas de grupos. Esta opción es útil en el caso de más de dos grupos.

Ejemplo (Análisis discriminante > Método)
Este ejemplo muestra cómo utilizar la estrategia de inclusión de variables por pasos y cómo
interpretar los resultados obtenidos.
Aunque cada uno de los métodos disponibles puede dar lugar a una función discriminate
distinta y los estadísticos que aparecen en las tablas de resultados dependen del método selec-
cionado, creemos que basta con estudiar uno cualquiera de los métodos disponibles para com-
prender cómo funciona la estrategia de inclusión por pasos. Para construir un modelo por
pasos:
| Enelcuadro de diálogoAnálisisdiscriminante(verfigura23.3),trasladarlasvariables
consumo,motor(cilindrada),peso,acel(aceleración),cv(potencia),año ycilindr(nú-
mero de cilindros) a la lista Independientes y la variable origen al cuadro Variable
de agrupación.
| Pulsar el botón Definir rango... para acceder al subcuadro de diálogo Definir rango
y escribir el valor 1 (el código de EE.UU. en la variable origen) en la casilla Mínimo
y el valor 2 (el código de Europa en la variable origen) en la casilla Máximo. Pulsar
el botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
| Seleccionar la opción Usar método de inclusión por pasos y pulsar el botón Méto-
do... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Método de inclu-
sión por pasos (ver figura 23.7).
| Seleccionar la opción F para distancias por parejas del apartado Mostrar. Pulsar
el botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
Aceptando estas elecciones, el Visor ofrece los resultados que muestran las tablas 23.16 a la
23.27.

312 76.8
79 19.5
14 3.4
1 .2
94 23.2
406 100.0
Casos no ponderados
Válidos
Por pertenecer a un grupo fuera de rango
Por tener valor perdido en al menos una variable discriminante
Por pertnecer a un grupo fuera de rango o por tener valor perdido
en al menos una variable discriminante
Total
Excluidos
Total
N Porcentaje
La tabla 23.16 indica que disponemos de 312 casos válidos. Se han excluido 94 casos de la
muestra original de 406 casos. De estos 94 casos, 79 no pertenecen a ninguno de los grupos se-
leccionados (bien por que en la variable de agrupación, origen, tienen el código del país no se-
leccionado –Japón–, bien porque tienen valor perdido en esa variable); 14 casos pertenecen a
uno de los dos grupos seleccionados (EE.UU. o Europa; códigos 1 y 2 en la variable origen)
pero no disponen de información completa en todas las variables independientes; y en 1 caso
se dan ambas circunstancias.
Los casos excluidos por tener algún valor perdido en las variables independientes no se
utilizan para calcular la función discriminante, pero pueden ser utilizados más tarde en la fase
de clasificación (ver más adelante).
En ocasiones puede resultar interesante realizar un análisis pormenorizado de los valores
perdidos (por ejemplo, con el módulo Valores perdidos). Si la muestra contiene muchos casos
con valor perdido en al menos una variable independiente, la función discriminante se cons-
truirá a partir de un número muy reducido de casos. Esto representa un serio inconveniente por
dos razones. Por un lado, las estimaciones basadas en pocos casos suelen ser poco eficientes
(muy variables y, por tanto, inestables: cambian mucho al utilizar muestras distintas). Por otro,
si los casos con valores perdidos difieren de los casos válidos en alguna característica concreta,
las estimacionesestaránsesgadas.Si,por ejemplo, los fabricantes de vehículos de más cilindra-
da tienen por costumbre no informar de los consumos de sus vehículos, podemos encontrarnos
con que los casos de los que se dispone información son en su mayoría vehículos de bajo con-
sumo. Los resultados obtenidos prescindiendo del consumo de los vehículos de gran cilindrada
podrían ser, obviamente, muy distintos de los obtenidos si se contara con información sobre
el consumo de todos los vehículos.
Siempre es, por tanto, conveniente detenerse a revisar los valores perdidos para averiguar
si poseen alguna característica común. Podría ocurrir, por ejemplo, que la mayor parte de los
valores perdidos se concentraran en una o dos variables; excluir esa o esas variables del análisis
permitiría aumentar el número de casos válidos y, con ello, obtener estimaciones menos ses-
gadas y más eficientes.
Tabla 23.16. Resumen de los casos procesados.

244 244.000
244 244.000
244 244.000
244 244.000
244 244.000
244 244.000
244 244.000
68 68.000
68 68.000
68 68.000
68 68.000
68 68.000
68 68.000
68 68.000
312 312.000
312 312.000
312 312.000
312 312.000
312 312.000
312 312.000
312 312.000
Consumo (l/100Km)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
Número de cilindros
Consumo (l/100Km)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
Consumo (l/100Km)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
País de origen
EE.UU.
Europa
Total
No
ponderados Ponderados
La tabla 23.17 informa del número de casos válidos en cada grupo y en cada una de las varia-
bles independientes. Puesto que la exclusión de casos se realiza según lista (es decir, se exclu-
yen del análisis los casos con valor perdido en al menos una variable independiente), el número
de casos válido de todas las variables es el mismo en cada grupo.
Tabla 23.17. Estadísticos por grupo (nº de casos válidos en cada variable).

Cilindrada en cc .704 1 1 310.000 130.522 1 310.000 .000
Potencia (CV) .660 2 1 310.000 79.582 2 309.000 .000
Año del modelo .631 3 1 310.000 60.009 3 308.000 .000
Peso total (kg) .620 4 1 310.000 47.075 4 307.000 .000
Consumo (l/100Km) .606 5 1 310.000 39.744 5 306.000 .000
Paso
1
2
3
4
5
Introducidas Estadístico gl1 gl2 gl3 Estadístico gl1 gl2 Sig.
F exacta
Lambda de Wilks
a,b,c,d
En cada paso se introduce la variable que minimiza la lambda de Wilks global.
El número máximo de pasos es 14.a.
La F parcial mínima para entrar es 3.84.b.
La F parcial máxima para salir es 2.71.c.
El nivel de F, la tolerancia o el VIN son insuficientes para continuar los cálculos.d.
La tabla de variables introducidas/eliminadas (tabla 23.18) muestra un resumen de todos los
pasos llevados a cabo en la construcción de la función discriminante y recuerda los criterios
utilizados en la selección de variables. En cada paso se informa de la variable que ha sido in-
corporada al modelo y, en su caso, de la variable o variables que han sido expulsadas. En nues-
tro ejemplo, todos los pasos llevados a cabo han sido de incorporación de variables: en el pri-
mer paso, cilindrada; en el segundo, potencia; etc. Así, hasta un total de 5 variables. En ningu-
no de los 5 pasos ha habido expulsión de variables. Si alguna de las variables previamente in-
corporadas hubiera sido expulsada en algún paso posterior, la tabla mostraría una columna adi-
cional indicando tal circunstancia.
Las notas a pie de tabla recuerdan algunas de las opciones establecidas para el análisis: la
selección de variables se ha llevado a cabo utilizando el estadístico lambda de Wilks global,
el número máximo de pasos permitidos es 14 (valor que no se ha alcanzado puesto que sólo se
han realizado 6 pasos), el valor del estadístico F para incorporar variables es 3,84 (criterio de
entrada), el valor del estadístico F para excluir variables es 2,71 (criterio de salida) y, por
último, en la nota d se informa de que se ha alcanzado alguno de los criterios de parada (los
niveles del estadístico F, el criterio de tolerancia y la V mínima de Rao), por lo que alguna de
las variables independientes inicialmente propuestas no ha sido incluida en el modelo final.
Puede observarse que el valor del estadístico lambda de Wilks va disminuyendo en cada
paso, lo cual es síntoma de que, conforme se van incorporando variables al modelo, los grupos
van estando cada vez menos solapados. En la columna F exacta se encuentra el valor transfor-
mado de la lambda de Wilks y su significación. Los valores del estadístico se refieren al esta-
dístico global y no al cambio en el estadístico. Esta tabla siempre recoge el estadístico seleccio-
nado en la opción Método, por lo que la cabecera de la columna cambiará de un análisis a otro
dependiendo del estadístico elegido.
Tabla 23.18. Variables introducidas/eliminadas (resumen del análisis por pasos).

1.000 130.522
.212 84.720 .841
.212 20.452 .704
.210 88.464 .812
.208 14.658 .661
.799 14.110 .660
.114 71.727 .765
.205 12.097 .644
.767 17.124 .654
.179 5.591 .631
.114 71.054 .747
.194 15.813 .638
.509 24.242 .654
.127 11.612 .629
.157 6.839 .620
Cilindrada en cc
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Año del modelo
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Año del modelo
Peso total (kg)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Año del modelo
Peso total (kg)
Consumo (l/100Km)
Paso
1
2
3
4
5
Tolerancia
F para
eliminar
Lambda
de Wilks
La tabla 23.19 se encuentra dividida por cada uno de los pasos. En cada paso se mencionan las
variables incorporadas al modelo hasta ese momento y, para cada variable, el nivel de toleran-
cia, el valor del estadístico F que permite valorar si la variable debe o no ser expulsada, (F pa-
ra ser eliminar) y la lambda de Wilks global que obtendríamos si se eliminara la variable del
modelo.
Esta tabla permite valorar (mediante F y lambda) el efecto de la exclusión de cada variable
y (mediante el nivel de tolerancia) el grado de colinealidad existente entre las variables inde-
pendientes.Puesto quelasvariablesutilizadasennuestro ejemplo seencuentranmuyrelaciona-
das entre sí, la tolerancia disminuye sensiblemente en el momento en que se incorpora una nue-
va variable al modelo (recordemos que la tolerancia es la proporción de varianza de una va-
riable independiente que no está explicada por el resto de variables independientes). En el paso
0 todas las variables tiene una tolerancia igual a 1, pues todavía no existen variables en el mo-
delo. En el paso 1 permanece en ese valor de tolerancia para la primera variable pues, al estar
sola, no existen variables que puedan explicar nada de ella (véase la tolerancia de la variable
cilindrada en el paso 1). En el segundo paso, al incorporarse la variable potencia al modelo,
la tolerancia baja a 0,212, lo cual es síntoma de que existe una alta correlación entre ambas
variables (es fácil deducir que la correlación entre las dos variables es de 0,89). Sin embargo,
la variable año del modelo no correlaciona tanto con la potencia y cilindrada: al incorporarse
al modelo en el tercer paso, su tolerancia sólo baja hasta 0,799.
Tabla 23.19. Variables incluidas en el análisis (variables seleccionadas en cada paso).

1.000 1.000 66.617 .823
1.000 1.000 130.522 .704
1.000 1.000 58.615 .841
1.000 1.000 85.178 .784
1.000 1.000 22.220 .933
1.000 1.000 .016 1.000
1.000 1.000 107.273 .743
.302 .302 4.448 .694
.212 .212 20.452 .660
.188 .188 4.257 .694
.717 .717 1.809 .700
.814 .814 19.892 .661
.138 .138 .308 .703
.277 .174 .672 .659
.186 .119 2.648 .654
.506 .149 1.637 .657
.799 .208 14.110 .631
.137 .083 1.033 .658
.221 .172 .893 .629
.179 .114 5.591 .620
.502 .149 2.502 .626
.137 .082 1.120 .629
.157 .114 6.839 .606
.382 .110 .235 .619
.135 .067 .564 .619
.380 .107 .460 .605
.132 .066 1.285 .604
Consumo (l/100Km)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
Consumo (l/100Km)
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
Consumo (l/100Km)
Peso total (kg)
Año del modelo
Consumo (l/100Km)
Peso total (kg)
Consumo (l/100Km)
Paso
0
1
2
3
4
5
Tolerancia
Tolerancia
mínima
F para
introducir
Lambda
de Wilks
La tabla 23.20 ofrece una evaluación de las variables candidatas a ser incluidas en el modelo
en cada uno de los pasos. La tabla muestra, en cada paso, las variables que todavía no han sido
incorporadas al modelo.
Tabla 23.20. Variables no incluidas en el análisis (variables no seleccionadas en cada paso)
Antes de iniciar la construcción del modelo (paso 0) la tolerancia de todas las variables es la
máxima posible y, puesto que las variables están siendo evaluadas individualmente, la F para
entrar en el modelo (F para introducir) coincide con el valor de la F univariante que se obten-
dría al marcar la opción ANOVAs univariantes del cuadro de diálogo Análisis discriminante:
Estadísticos (ver figura 23.6). Además, para cada variable ya incorporada al modelo, el valor
de la F para salir en un determinado paso (F para eliminar de la tabla 23.19) coincide con el
valor de la F para entrar en el paso anterior (F para introducir de la tabla 23.20).

1 .704 1 1 310 130.522 1 310.000 6.569E-21
2 .660 2 1 310 79.582 2 309.000 .000
3 .631 3 1 310 60.009 3 308.000 .000
4 .620 4 1 310 47.075 4 307.000 .000
5 .606 5 1 310 39.744 5 306.000 .000
Paso
1
2
3
4
5
Número de
variables Lambda gl1 gl2 gl3 Estadístico gl1 gl2 Sig.
F exacta
En cuanto a la tolerancia de las variables, la tabla incluye dos columnas: la primera (Tole-
rancia) ofrece, en cada paso, la tolerancia que tendría cada variable si fuera incorporada al mo-
delo en el siguiente paso; la segunda columna (Tolerancia mínima) ofrece la tolerancia corres-
pondiente a la variable (de las ya incluidas en el modelo) cuya tolerancia más se vería afectada
por la incorporación de la nueva variable (es decir, la tolerancia de la variable cuya tolerancia
pasaría a ser la más pequeña de todas). En el paso 3, por ejemplo, la variable peso es la mejor
candidata para ser incorporada al modelo en el siguiente paso (es la que haría menor el valor
de la lambda de Wilks). Al ser incorporada en el paso 4 (ver tabla 23.19), su tolerancia dentro
de la ecuación es el valor informado antes de entrar (en la tabla 23.20). Y la variable a la que
más afecta su inclusión es a la cilindrada: en el paso 3 (tabla 23.20) se indica que la tolerancia
mínima pasará a ser 0,084, y en el paso 4 (tabla 23.19) se confirma ese valor.
La tabla 23.21 siempre muestra el estadístico lambda de Wilks global para el modelo generado
en cada paso, independientemente de que se haya optado por otro estadístico como método de
selección de variables. Según sabemos ya, este estadístico permite valorar el grado de diferen-
ciación entre los grupos tomando como referencia las variables independientes incluidas en ca-
da paso. En este caso, la información de la tabla 23.21 coincide exactamente con la de la tabla
23.18.
Tabla 23.21. Lambda de Wilks.

130.522
.000
79.582
.000
60.009
.000
47.075
.000
39.744
.000
F
Sig.
F
Sig.
F
Sig.
F
Sig.
F
Sig.
Paso
1
2
3
4
5
Origen
EE.UU.
Europa
.649 100.0 100.0 .627
Función
1
Autovalor
% de
varianza
%
acumulado
Correlación
canónica
.606 153.879 5 .000
Contraste de
las funciones
1
Lambda
de Wilks Chi-cuadrado gl Sig.
La tabla 23.22 ofrece estadísticos F que permiten contrastar la hipótesis de igualdad de medias
entre cada dos grupos. Esta tabla tiene mayor sentido cuando el análisis busca discriminar entre
más de dos grupos, pues permite averiguar qué grupos difieren de qué otros (recordemos que
la lambda de Wilks hace una valoración global del grado de diferenciación entre los grupos).
Puesto que en nuestro ejemplo estamos utilizando sólo dos grupos, los valores de esta tabla
coinciden con los de la tabla 23.21.
Tabla 23.22. Estadístico F para la comparación de los grupos por pares.
En la tabla 23.23 podemos apreciar que el autovalor ha aumentado respecto al caso de dos
variables (ver tabla 23.3). También ha aumentado considerablemente la correlación canónica.
Técnicamente, el autovalor es proporcional a la dispersión obtenida en la dirección del mayor
autovector de la nube de puntos multivariante. Si el autovalor aumenta es porque la nube de
puntos multivariante aumenta su dispersión y es posible distinguir mejor los grupos.
La tabla 23.24 muestra el valor de la lambda de Wilks para el modelo final. Su significación
se evalúa mediante una transformación chi-cuadrado (ver tabla 23.4).
Tabla 23.24. Lambda de Wilks global.

.595
2.052
-.801
-.856
.605
Consumo (l/100Km)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
1
Función
La tabla 23.25 ofrece la matriz de coeficientes estandarizados. Estos coeficientes permiten va-
lorar la contribución neta de cada variable a la función discriminante. Así, la variable que más
contribuye a diferenciar los grupos es la cilindrada (un análisis factorial de las variables inde-
pendientes nos diría que las variables correlacionan mucho entre sí, por lo que no es de
extrañar que la variable cilindrada pueda estar capitalizando las relación entre de la función
discriminante y el resto de variables independientes).
Así pues, a mayor cilindrada, mayor puntuación en la función discriminante y, en conse-
cuencia, mayor tendencia a que el vehículo sea clasificado como estadounidense (ver la tabla
de los centroides 23.27). La variable potencia, sin embargo, presenta un coeficiente negativo.
Esto quiere decir queparavehículosconigualespuntuaciones en las restantes variables, los que
tienen mayor potencia tendrán una puntuación menor en la función discriminante y, conse-
cuentemente, será más fácil que sean clasificados como vehículos europeos. De manera similar
podemosinterpretarque,manteniendoconstanteselrestodevariables,losvehículosestadouni-
denses presentan, comparativamente, un mayor consumo y menor peso y antigüedad.

.805
.768
.650
.575
.540
-.294
-.009
Cilindrada en cc
Número de cilindrosa
Peso total (kg)
Consumo (l/100Km)
Potencia (CV)
Aceleración 0 a 100 km/ha
Año del modelo
1
Función
Variable no utilizada en el análisis.a.
.424
-1.522
Origen
EE.UU.
Europa
1
Función
En la matriz de estructura (tabla 23.26) se encuentran los coeficientes de correlación brutos
entre cada variable y la función discriminante. Puede observarse que el signo de los coeficien-
tes correspondientes a las variables potencia y peso han cambiado (respecto al que tenían en
la matriz de coeficientes estandarizados). Este cambio de signo es consecuencia del alto grado
de colinealidad entre las variables. En nuestro ejemplo, el valor de los coeficientes de corre-
lación indican que la función discriminante distingue básicamente entre vehículos grandes (los
estadounidenses) y vehículos pequeños (los europeos). Aunque no han sido utilizadas para
construirlafuncióndiscriminante,latablatambiéninformadelascorrelacionesexistentesentre
la función discriminante y las variables aceleración y número de cilindros.
La tabla de centroides(23.27)muestraquelosvehículosestadounidensesobtienen,entérminos
generales, mayores puntuaciones que los vehículos europeos.
Tabla 23.27. Valores de los centroides en la función discriminante.

El problema de la clasificación
En los apartados precedentes hemos estudiado, básicamente, cómo construir o estimar la fun-
ción discriminante. Si nuestro objetivo consiste en averiguar en qué difieren dos grupos, con
lo visto hasta ahora es más que suficiente. Sin embargo, la mayor utilidad de una función discri-
minante radica en su capacidad para clasificar nuevos casos. Ahora bien, la clasificación de
casos es algo muy distinto de la estimación de la función discriminante. De hecho, una función
perfectamente estimada puede no pasar de una pobre capacidad clasificatoria.
Unavezobtenidalafuncióndiscriminate podemos utilizarla, en primer lugar, paraefectuar
una clasificación de los mismos casos utilizados para obtener la función: esto permitirá com-
probar el grado de eficacia la función desde el punto de vista de la clasificación. Si los resul-
tados son satisfactorios, la función discriminante podrá utilizarse, en segundo lugar, para cla-
sificar futuros casos de los que, conociendo su puntuación en las variables independientes, se
desconozca el grupo al que pertenecen.
Una manera de clasificar los casos consiste en calcular la distancia existente entre los cen-
troides de ambos grupos y situar un punto de corte dc equidistante de ambos centroides (ver fi-
gura23.8).Apartirdeesemomento, los casos cuyas puntuaciones discriminantesseanmayores
que el punto de corte dc serán asignados al grupo superior y los casos cuyas puntuaciones dis-
criminantes sean menores que el punto de corte dc serán asignados al grupo inferior.
Figura 23.8. Utilización de un punto de corte equidistante de ambos centroides (n1 = n2).
Estaregladeclasificacióntieneunserio inconveniente:sólopermitedistinguirentredosgrupos
y es difícilmente aplicable al caso de más de dos grupos. Además, no tiene en cuenta que los

grupos pueden tener distinto tamaño. Si ambos grupos son de igual tamaño, la situación real
será muy similar a la descrita en la figura 23.8. Pero si, por el contrario, los tamaños muestrales
son muy desiguales, la situación real será más parecida a la que muestra la figura 23.9. En esta
figura puede verse con claridad que, si utilizamos el punto de corte dc como punto de clasifica-
ción, la proporción de casos mal clasificados en el grupo de menor tamaño (zona rayada hori-
zontalmente) será mucho menor que en el grupo de mayor tamaño (zona rayada verticalmente).
Por tanto, con tamaños desiguales es preferible utilizar una regla de clasificación que desplace
el punto de corte hacia el centroide del grupo de menor tamaño buscando igualar los errores
de clasificación. Para calcular este punto de corte podemos utilizar una distancia ponderada:
Figura 23.9. Utilización de un punto de corte equidistante de ambos centroides (n1 =/ n2).
Fukunaga y Kessell (1973) y Glick (1978) han propuesto una regla de clasificación basada en
la teoría bayesiana. Esta otra regla permite incorporar fácilmente la información relativa al ta-
maño de los grupos y, además, es extensible al caso de más de dos grupos.
Es frecuente que, aunque los tamaños de los grupos sean intrínsecamente diferentes, se
desee compensar estadísticamente esa desigualdad a la hora de clasificar a los sujetos. Esta si-
tuación es muyfrecuente en el ámbito clínico cuando se comparan sujetos normales con sujetos
enfermos. Si podemos estimar la proporción de casos que, en la población, pertenece a cada

uno de los grupos, tendremos una probabilidad a priori: P(gk). Estas probabilidades a priori
pueden estimarse a partir de la muestra (si se ha realizado un muestreo aleatorio), o recurriendo
directamente a datos poblacionales previos (si se tienen).
Las probabilidades a priori ofrecen alguna información sobre la representatividad de los
casos, pero no ofrecen información concreta sobre un caso en particular. Además, las probabi-
lidades a priori no tienen en cuenta que las probabilidades de aparición de las variables inde-
pendientes en cada grupo pueden no ser simétricas. Por ejemplo, una sintomatología diagnós-
tica puede ser más frecuente en un grupo patológico que un grupo normal.
Por supuesto, siempre es posible aprovechar la información adicional que proporciona sa-
ber a qué grupo pertenece cada caso. Si asumimos que las puntuaciones discriminantes se dis-
tribuyen normalmente, podemos calcular la probabilidad asociada a un caso (es decir, la proba-
bilidad que queda por encima o por debajo de ese caso) en cada uno de los grupos utilizados
en el análisis. Esto es lo que se conoce como probabilidad condicional: P(D > di | G = gk) o,
simplemente, P(di | gk). La probabilidad condicional de una puntuación discriminante puede
calcularse mediante tablas de probabilidad asintótica o a partir de los cuantiles observados (ver
figura 23.10).
Figura 23.10. Probabilidad condicional de la puntuación discriminante di en el grupo 2.
Unapuntuacióndiscriminantetieneasociadastantasprobabilidadescondicionalescomo grupos
hay en el análisis. Esas probabilidades condicionales indican cómo es de probable una puntua-
ción concreta en cada uno de los grupos. Pero sólo son útiles cuando se conoce a qué grupo
pertenece uncaso.Cuandose desea clasificar un caso nuevo (del que, obviamente se desconoce
a qué grupo pertenece), es necesario comparar las probabilidades condicionales que le corres-

ponden en cada uno de los grupos del análisis. Por ello, para clasificar un caso nuevo, es más
apropiado utilizar las probabilidades a posteriori, es decir, las probabilidades de pertenecer
a cada uno de los grupos, dado que a ese caso le corresponde una determinada puntuación dis-
criminate, es decir: P(G = gk | D = di) o, simplemente, P(gk | di). Estas probabilidades a poste-
riori se obtienen utilizando el teorema de Bayes:
El sumatorio del denominador posee tantos términos como grupos (no hay límite en el número
de grupos). Con esta regla de clasificación, los casos nuevos son clasificados en el grupo al que
corresponde mayor probabilidad a posteriori.
Aunque en la estimación de las probabilidades a priori es habitual utilizar los tamaños de
los grupos, la aplicación del teorema de Bayes permite manipular esas probabilidades y
asignarlesunvalorarbitrario (parareflejar mejor la composición de la población,paracompen-
sar el coste de una clasificación errónea, etc.). La manipulación de las probabilidades a priori
hace que se desplace el punto de clasificación. Si se asigna igual probabilidad a priori a todos
los grupos, el punto de corte para la clasificación será equidistante de todos ellos; si se aumenta
la probabilidad a priori de un grupo, el punto de corte para la clasificación se alejará de su
centroide.
Una forma más de determinar el punto de corte óptimo para la clasificación consiste en la
curva COR (curva característica del receptor ideal), disponible como procedimiento adicional
dentro del propio SPSS.
Ninguno de los procedimientos mencionados valora el coste de la clasificación errónea de
los sujetos: todos ellos asumen igual coste para los aciertos y los errores en todos los grupos.
Si existen costes diferenciales para cada tipo de acierto y para cada tipo de error, será necesario
establecer el punto de corte mediante otro tipo de procedimientos más característicos de laTeo-
ría de la toma de decisiones.

Selección de las opciones de clasificación
Las opciones de clasificación no afectan a la función discriminante; sólo influyen en el resul-
tado de la clasificación de los casos.
El proceso de clasificación asigna o pronostica un grupo a todos los casos utilizados en la
estimación de la función discriminante y a todos los casos que, aun no perteneciendo a ninguno
de los grupos utilizados (es decir, aun teniendo valor perdido en la variable de agrupación),
poseen información completa en las variables independientes. También es posible, opcional-
mente, clasificar los casos con información incompleta (es decir, con valor perdido en alguna
de las variables independientes).
Para clasificar los casos utilizando la función discriminante:
| En el cuadro de diálogo Análisis discriminante (ver figura 23.3), pulsar en el botón Cla-
sificar... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Clasificación que
muestra la figura 23.11.
Figura 23.11. Subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Clasificación.

Probabilidades previas. Las opciones de este apartado permiten controlar el valor que adop-
tarán las probabilidades previas o probabilidades a priori:
F Todos los grupos iguales. Se asigna la misma probabilidad a todos los grupos. Si el
análisis discrimina entre k grupos, la probabilidad a priori asignada a cada grupo vale
1/k. Con esta opción el tamaño de los grupos no influya en la clasificación.
F Calcular según el tamaño de los grupos. La probabilidad a priori que se asigna a ca-
da grupo es proporcional a su tamaño. Siendo N el tamaño de la muestra y ng el tama-
ño de un grupo cualquiera, la probabilidad a priori asignada a ese grupo es ng/N. Con
esta opción, si un caso posee una puntuación discriminante equidistante de los centroi-
des de dos grupos, el caso es clasificado en el grupo de mayor tamaño. Mediante sin-
taxis, es posible asignar a cada grupo probabilidades a priori personalizadas.

Mostrar. Estas opcionespermitendecidirquéaspectos de la clasificación deseamos que mues-
tre el Visor de resultados:
G Resultados para cada caso. Muestra un listado de los casos del archivo de datos con
el resultado de la clasificación. Esta información incluye, para cada caso: el número
del caso en el archivo de datos, el número de variables independientes en las que tiene
valor perdido y el grupo al que de hecho pertenece (grupo nominal). Además, para el
grupo pronosticado con mayor probabilidad: el grupo asignado (marcado con dos as-
teriscossidifiere del nominal), la probabilidad condicional de obtener una puntuación
discriminante como la obtenida o mayor en ese grupo, P(di | gk), la probabilidad a pos-
teriori de ese grupo, P(gk | di), y la distancia de Mahalanobis del caso al centroide de
ese grupo. Y para el grupo pronosticado con la segunda mayor probabilidad: el grupo
asignado, la probabilidad a posteriori de ese grupo, P(gk | di), y la distancia de Maha-
lanobis al centroide de ese grupo. Por último, el listado ofrece las puntuaciones discri-
minantes en cada una de las funciones discriminantes obtenidas.
G Limitar a los primeros n. Permite limitar el listado con los detalles de la clasificación
a los primeros n casos del archivo. Esta selección sólo afecta a la tabla de resultados
para cada caso.
G Tabla de resumen. Muestra una tabla de clasificación de tamaño gxg con el grupo
nominal en las filas y el grupo pronosticado en las columnas. La tabla ofrece las fre-
cuencias absolutas, los porcentajes de fila y el porcentaje total de clasificaciones co-
rrectas. Esta tabla se denomina también matriz de confusión. En la diagonal principal
de la matriz se encuentran las clasificaciones correctas.
G Clasificación dejando uno fuera. Ofrece una validación cruzada para comprobar la
capacidad predictiva de la función discriminante. Para ello, el SPSS genera tantas fun-
ciones discriminantes como casos válidos tiene el análisis; cada una de esas funciones
se obtiene eliminando un caso; después, cada caso es clasificado utilizando la función
discriminante en la que no ha intervenido. La tabla de clasificación incluye una segun-
da matriz de confusión con el resultado de la clasificación siguiendo esta estrategia.

Usar matriz de covarianza. La clasificación siempre se basa en las funciones discriminantes.
Pero esta clasificación puede realizarse a partir de matrices de varianzas-covarianzas distintas
y el resultado de la clasificación puede ser diferente con cada estrategia.
F Intra-grupos. La probabilidad a posteriori de un caso en un grupo dado se calcula a
partir de la matriz de varianzas-covarianzas combinada de las variables discriminan-
tes. Por tanto, no se tiene en cuenta la distinta variabilidad de las puntuaciones discri-
minantes dentro de cada grupo.
F Grupos separados. La probabilidad a posteriori de un caso en un grupo determinado
se calcula utilizando la matriz de varianzas-covarianzas de las funciones discriminan-
tes en ese grupo. De esta manera se tiene en cuenta la diferente variabilidad de los gru-
pos en las funciones discriminantes. Seleccionando esta opción, el Visor muestra la
matriz de varianzas-covarianzas de las funciones discriminantes para cada grupo.

Gráficos. Estas opciones permiten decidir cómo serán representados los casos en las funciones
discriminantes. El tipo de gráfico ofrecido depende del número de funciones estimadas:
G Grupos combinados. Muestra un diagrama de dispersión de todos los casos en el pla-
no definido por las dos primeras funciones discriminantes. Cuando sólo existe una
función discriminante, este gráfico se omite y aparece una advertencia indicando tal
circunstancia.
G Grupos separados. En el caso de dos grupos (una sola función discriminante), esta
opción ofrece el histograma de cada grupo en la función discriminante (incluyendo los
casos con valor perdido en la variable de agrupación). En el caso de más de dos gru-
pos (más de una función discriminante), ofrece un diagrama de dispersión de cada
grupo en el plano definido por las dos primeras funciones discriminantes.
G Mapa territorial. En el caso de más de dos grupos (más de una función discriminate),
muestra la ubicación de los centroides en el plano definido por las dos primeras fun-
ciones discriminantes,asícomo las fronteras territoriales utilizadas en la clasificación.
Las fronteras varían dependiendo de las probabilidades a priori seleccionadas.
G Reemplazar los valores perdidos con la media. Sustituye los valores perdidos de las
variables independientes por sus medias aritméticas. Estas medias se calculan a partir de los
casos válidos en cada variable. Los casos cuyo valor perdido es sustituido intervienen en la cla-
sificación.

Ejemplo (Análisis discriminante > Clasificar)
Este ejemplo muestra cómo clasificar casos y cómo interpretar los resultados de la clasifica-
ción. Continuamos utilizando dos grupos (vehículos estadounidenses y europeos: códigos 1 y
2 de la variable origen) y las variables independientes que han resultado significativas en el
ejemplo anterior: consumo, motor (cilindrada), cv (potencia), peso y año. Para solicitar los re-
sultados de la clasificación:
| EnelcuadrodediálogoAnálisisdiscriminante(verfigura23.3),trasladar las variables
consumo, motor (cilindrada), cv (potencia), peso y año a la lista Independientes y la
variable origen al cuadro Variable de agrupación.
te: Definir rango (ver figura 23.4), e introducir el valor 1 (código para EE.UU. en la
variable origen) en el cuadro de texto Mínimo y el valor 2 (código de Europa en la
variable origen) en el cuadro de texto Máximo. Pulsar el botón Continuar para
volver al cuadro de diálogo principal.
| Pulsar en el botón Clasificar... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis
discriminante: Clasificación (ver figura 23.11) yseleccionar las opcionesResultados
para cada caso, Tabla de resumen, Clasificación dejando uno fuera del apartado
Mostrar; y las opciones Grupos combinados y Grupos separados del apartado
Gráficos. Seleccionar también la opción Reemplazar los valores perdidos con la
media. Pulsar el botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
Aceptando estas elecciones, el Visor ofrece, entre otros, los resultados que muestran las tablas
23.28 y 23.29, y las figuras 23.12 a la 23.15

Número de caso: 54
1 1
2** 2**
.625 .524
1 5
.720 .733
.239 4.180
1 1
.280 .267
2.123 6.195
-1.033
Grupo real
Grupo pronosticado
p
gl
P(D>d | G=g)
P(G=g | D=d)
Distancia de Mahalanobis al cuadrado hasta el centroide
Grupo mayor
Grupo
P(G=g | D=d)
Segundo grupo mayor
Función 1Puntuaciones discriminantes
Original
Validación
cruzadaa
Para los datos originales, la distancia de Mahalanobis al cuadrado se basa en las funciones canónicas.
Para los datos validados mediante validación cruzada, la distancia de Mahalanobis al cuadrado se basa en las observaciones.
Caso mal clasificado**.
La validación cruzada sólo se aplica a los casos del análisis. En la validación cruzada, cada caso se clasifica mediante las
funciones derivadas a partir del resto de los casos.
a.
La tabla 23.28 se ha modificado sustancialmente llevando los casos a la dimensión de las capas
y transponiendo después las filas y las columnas para reducir las dimensiones de la tabla y eco-
nomizar espacio. La tabla contiene toda la información necesaria para valorar la clasificación
del caso 54. La penúltima columna incluye la clasificación original o estándar y la última co-
lumna ofrece la clasificación resultante de la validación cruzada.
El vehículo en cuestión (el caso número 54) pertenece (grupo real) al grupo 1 (estadouni-
dense),perohasidoclasificado(grupo pronosticado)enelgrupo2(europeo).Recordemosque
el centroide del grupo estadounidense vale 0,424 y el del grupo europeo –1,522. La puntuación
del caso es –1,033 (= puntuación discriminate). El caso se encuentra entre ambos centroides,
pero más próximo al centroide de los vehículos europeos.
P(D>d | G=g) es la probabilidad condicional: la probabilidad de obtener una puntuación
como la obtenida o más extrema (en la dirección de la cola en la que se encuentra el caso), den-
tro del grupo pronosticado (en este caso, dentro del grupo europeo). Esta probabilidad indica
el grado de rareza del caso dentro del grupo en el que ha sido clasificado. La probabilidad con-
dicional del caso 54 se vale 0,625, lo que indica que ese caso se encuentra próximo al centroide
del grupo pronosticado y no debe ser considerado un caso atípico dentro de él
Tabla 23.28. Estadísticos de clasificación por caso.

A partir de estas probabilidades condicionales y de las probabilidades previas de cada grupo
(en nuestro ejemplo, 0,5 para ambos), se calculan las probabilidades a posteriori de cada gru-
po: P(G=g | D=d). Dada una puntuación discriminate de –0,907, la probabilidad a posteriori
de pertenecer al grupo europeo vale 0,720. Y la probabilidad a posteriori de pertenecer al gru-
po estadounidense es la complementaria: 1–0,720 = 0,280. Consecuentemente, el caso ha sido
asignado al grupo 2, que es al que corresponde mayor probabilidad a posteriori.
La tabla también informa de la distancia del caso a cada uno de los centroides. Esta dis-
tancia se calcula a partir de las puntuaciones en las variables independientes originales. El caso
se encuentra más próximo al grupo europeo (0,239) que al estadounidense (2,123).
En la columna correspondiente a la validación cruzada podemos comprobar que el caso
es clasificado también en el grupo europeo. Pero también podemos comprobar que la distancia
al centroide del grupo es muy grande (4,180) en comparación con la distancia original, por lo
que podemos pesar que se trata de un caso bastante extremo. No obstante, la distancia al cen-
troide de ese grupo es menor que la distancia al centroide del otro grupo (6,195). Y la proba-
bilidad a posteriori del grupo pronosticado (grupo mayor = 0,733) es también es mayor que
la del otro grupo (segundo grupo mayor = 0,267).

2.75
2.25
1.75
1.25
.75
.25
-.25
-.75
-1.25
-1.75
-2.25
-2.75
35
30
25
20
15
10
5
0
Desv. típ. = 1.09
Media = .39
N = 253.00
-.38
-.63
-.88
-1.13
-1.38
-1.63
-1.88
-2.13
-2.38
-2.63
-2.88
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = .64
Media = -1.53
N = 73.00
Las figuras 23.12 y23.13 muestran los histogramas de las puntuacionesdiscriminantes.Elpri-
mero de ellos contiene los vehículos pertenecientes al grupo estadounidense. El segundo, los
pertenecientes al grupo europeo.
Figura 23.12. Histograma de las puntuaciones discriminantes. Vehículos estadounidenses.
Figura 23.13. Histograma de las puntuaciones discriminantes. Vehículos europeos.

0.00
-1.00
-2.00
-3.00
-4.00
-5.00
-6.00
-7.00
-8.00
-9.00
-10.00
-11.00
-12.00
30
20
10
0
Desv. típ. = 1.38
Media = -1.41
N = 80.00
Estos histogramas permiten formarse una idea aproximada tanto de la forma de la distribución
como del grado de dispersión de los vehículos dentro de su propio grupo, todo ello tomando
como base sus puntuaciones en la función discriminante, o lo que es lo mismo, tomando como
base sus puntuaciones en el conjunto de variables independientes incluidas en el análisis.
Las leyendas de los gráficos ofrecen información descriptiva (media, desviación típica y
número de casos) útil para la interpretación.
La figura 23.14 muestra el histograma de las puntuaciones discriminantes de los vehículos que
no tienen código de grupo o que tienen un código de grupo que se encuentra fuera del rango
especificado en el análisis (es decir, los vehículos del archivo de datos que no pertenecen a nin-
guno de los dos grupos incluidos en el análisis).
Enestehistogramapodemosapreciarque,siobtuviéramoslaspuntuacionesdiscriminantes
que les asigna la función, el grupo de vehículos no incluidos en el análisis se encontraría en la
zona negativa de la función discriminante; también podemos apreciar en el histograma que
existe un caso extremo.
Figura 23.14. Histograma de las puntuaciones discriminantes. Vehículos no incluidos en el análisis.

Puntuaciones discriminantes
2.001.20.40-.40-1.20-2.00-2.80
Frecuencia
20
10
0
País de origen
Japón
Europa
EE.UU.
En el histograma de la figura 23.15 están representados los vehículos de todos los grupos. El
gráfico incluye una línea vertical sobre el punto de corte que se está utilizando para la clasifica-
ción (aproximadamente -0,55). Para conocer cuál es el punto exacto se han guardado dos va-
riables en el archivo de datos (ver, más abajo, el apartado Guardar): las puntuaciones discrimi-
nantes y el grupo pronosticado para cada caso. Después se ha ordenado el archivo tomando co-
mo criterio de ordenación las puntuaciones discriminantes: el punto de corte corresponde al
valor de la función discriminante en el momento en que los casos dejan de ser clasificados en
un grupo y pasan a ser clasificados en el otro.
Figura 23.15. Histograma de las puntuaciones discriminantes. Todos los vehículos del archivo.
Este gráfico no se encuentra disponible en el procedimiento Discriminante de la versión actual
del programa; se ha creado mediante la opciónBarras > Apiladas del menú Gráficos. Aunque
este gráfico ha sido descartado de las versiones más recientes del SPSS, pensamos que es muy
ilustrativo comparar la situación relativa de todos los grupos de manera simultánea, y por esta
razón lo ofrecemos. En lugar del histograma con todos los grupos apilados, el Visor emite una
advertencia indicando que ya no se ofrece tal histograma.

193 60 253
4 69 73
7 73 80
76.3 23.7 100.0
5.5 94.5 100.0
8.8 91.3 100.0
192 61 253
4 69 73
75.9 24.1 100.0
5.5 94.5 100.0
País de origen
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
EE.UU.
Europa
Recuento
%
Recuento
%
Original
Validación cruzada c
EE.UU. Europa
Grupo de pertenencia
pronosticadoa,b
Total
Clasificados correctamente el 80.4% de los casos agrupados originales.a.
Clasificados correctamente el 80.1% de los casos agrupados validados mediante
validación cruzada.
b.
La validación cruzada sólo se aplica a los casos del análisis. En la validación cruzada,
cada caso se clasifica mediante las funciones derivadas a partir del resto de los casos.
c.
La tabla 23.29 muestra los resultados de la clasificación (la matriz de confusión). Esta tabla
es en sí misma un procedimiento de validación de la función, pues resume la capacidad pre-
dictivadelafuncióndiscriminante.Losvehículosestadounidensessoncorrectamenteclasifica-
dos en el 76,3 % de los casos y los vehículos europeos en el 94,5%. En total, la función consi-
gue clasificar correctamente al 80,4 % de los casos. Si no existen datos previos acerca de la efi-
cacia clasificatoria de otros métodos, lo apropiado es comparar estos porcentajes con la cla-
sificación correcta esperable por azar. En nuestro ejemplo, puesto que sólo hay dos grupos de
vehículos, la expectativa de clasificación correcta por azar es del 50 %.
La tabla 23.29 también incluye información sobre los casos desagrupados (es decir, los
casos que no pertenecen a ninguno de los dos grupos utilizados en el análisis). Los resultados
obtenidos indican que estos casos serían clasificados mayoritariamente (90,1 %) como vehícu-
los europeos.
La validación cruzada (la clasificación de cada caso tras dejarlo fuera del cálculo de la
función discriminante) arroja resultados similares a los de la clasificación original.
Tabla 23.29. Resultados de la clasificación (sin tener en cuenta el tamaño de los grupos).

.782 244 244.000
.218 68 68.000
1.000 312 312.000
País de origen
EE.UU.
Europa
Total
Previas No ponderados Ponderados
Casos utilizados en el análisis
La tabla de clasificación muestra que el número de casos mal clasificados es mayor en el grupo
más grande (es decir, en el grupo de vehículos estadounidenses). Esto se debe a que el punto
de corte para la clasificación se ha establecido a partir de probabilidades previas idénticas
para ambos grupos. Para disminuir el porcentaje declasificación incorrecta de ese grupo pode-
mos seleccionar, en el subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Clasificación (figura
23.11), la opción Calcular según tamaños de grupos del apartado Probabilidades previas.
Al repetir el análisis utilizando esta otra estrategia obtenemos una tabla de probabilidades
previas (tabla 23.30) que contiene las probabilidades a priori asignadas a cada grupo. Estas
probabilidades, según hemos señalado ya, únicamente reflejan el tamaño relativo de cada gru-
po. En el cálculo de estas probabilidades no intervienen los casos con valor perdido (aunque
se haya marcado la opción Reemplazar valores perdidos con la media).
Tabla 23.30. Probabilidades previas.

241 12 253
27 46 73
44 36 80
95.3 4.7 100.0
37.0 63.0 100.0
55.0 45.0 100.0
239 14 253
28 45 73
94.5 5.5 100.0
38.4 61.6 100.0
País de origen
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
EE.UU.
Europa
Recuento
%
Recuento
%
Original
Validación cruzada c
EE.UU. Europa
pronosticado
a,b
Total
Clasificados correctamente el 87.1% de los casos agrupados validados mediante
validación cruzada.
b.
La validación cruzada sólo se aplica a los casos del análisis. En la validación cruzada,
cada caso se clasifica mediante las funciones derivadas a partir del resto de los casos.
c.
La tabla de clasificación (tabla 23.31) permite comprobar que la nueva regla de clasificación
arroja resultados distintosdelos obtenidos anteriormente. Ahora, el porcentaje de clasificación
correcta de los vehículos estadounidenses (los vehículos del grupo más grande) ha subido del
76,3 % al 95,3 %. Como contrapartida, el porcentaje de vehículos correctamente clasificados
en el grupo europeo (el grupo más pequeño) ha bajado del 94,5 % al 63,0 %. En conjunto, el
porcentaje de casos correctamente clasificados ha pasado del 80,4 % al 88,0 %, lo que repre-
senta una ganancia nada despreciable: la nueva regla clasifica correctamente 25 vehículos más
(287 en lugar de 262). Por otro lado, también los vehículos no agrupados (es decir, los que no
pertenecen a ninguno de los dos grupos incluidos en el análisis) se han visto afectados por la
nueva regla de clasificación: ahora se distribuyen de manera homogénea entre los dos grupos.
Tabla 23.31. Resultados de la clasificación (teniendo en cuenta el tamaño de los grupos).

2.001.20.40-.40-1.20-2.00-2.80
Frecuencia
20
10
0
País de origen
Japón
Europa
EE.UU.
El histograma conjunto de la figura 23.16 muestra los dos puntos de corte utilizados. El trazo
discontinuo corresponde al punto de corte (-0,55) resultante de aplicar el criterio que atribuye
igual probabilidad previa a los dos grupos; y el trazo continuo corresponde al punto de corte
(-1,20) obtenido con el criterio que atribuye mayor probabilidad al grupo más grande. La figura
muestra con claridad queelpuntodecorte correspondiente al segundo criterio se ha desplazado
hacia la izquierda, alejándose del centroide del grupo más grande e invadiendo el territorio del
grupo más pequeño. De hecho, el vehículo número 54, que inicialmente había sido clasificado
en el grupo europeo (a pesar de ser un vehículo estadounidense), con la regla de clasificación
basada en el segundo criterio ha sido clasificado en el grupo estadounidense. (A pesar de este
cambio en la clasificación del vehículo 54, conviene señalar que su puntuación discriminante
no ha cambiado; sólo ha cambiado el criterio de clasificación).
Figura 23.16. Histograma de las puntuaciones discriminantes. Todos los vehículos del archivo.

Número de caso: 54
1 1
1 1
.145 .288
1 5
.583 .567
2.123 6.195
2 2
.417 .433
.239 4.180
-1.033
Grupo real
Grupo pronosticado
p
gl
P(D>d | G=g)
P(G=g | D=d)
Grupo mayor
Grupo
P(G=g | D=d)
Segundo grupo mayor
Función 1Puntuaciones discriminantes
Original
Validación
cruzadaa
Para los datos originales, la distancia de Mahalanobis al cuadrado se basa en las funciones canónicas.
Para los datos validados mediante validación cruzada, la distancia de Mahalanobis al cuadrado se basa en las observaciones.
La validación cruzada sólo se aplica a los casos del análisis. En la validación cruzada, cada caso se clasifica mediante las
funciones derivadas a partir del resto de los casos.
a.
La rareza del caso 54 en el grupo al que realmente pertenece (grupo 1) ha aumentado respecto
a la obtenida en la clasificación anterior (grupo 2). Su probabilidad condicional vale ahora
0,145, lo que significa que se encuentra más alejado del centro de su propio grupo de lo que
se encontraba del grupo en el que fue clasificado anteriormente.
Tabla 23.32. Estadísticos para la clasificación del caso 54 con el nuevo criterio.

Guardar
Las opciones del cuadro de diálogo Guardar permiten guardar (crear) en el archivo de datos
variables nuevas con información sobre algunos aspectos del análisis. Esta opción es útil para
distintos fines, como por ejemplo, para utilizarla en otros procedimientos (cálculo de la curva
COR, etc.). Para crear estas nuevas variables:
| En el cuadro de diálogo Análisis discriminante (ver figura 23.3), pulsar en el botón Guar-
dar... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Guardar que muestra
la figura 23.17.
Figura 23.17. Subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Guardar.
G Grupo de pertenencia pronosticado. Crea una variable categórica con códigos 1, 2, ...,
que indican el grupo en el que ha sido clasificado cada caso (grupo pronosticado). El grupo
pronosticado para cada caso depende de las selecciones hechas en el proceso de clasi-
ficación.
G Puntuaciones discriminantes. Crea tantas variables como funciones discriminantes se
hayan estimado. Cada variable contiene las puntuaciones discriminantes de cada función.
Las variables se crean en el orden en que se han extraído las funciones, es decir, en el or-
den definido por el tamaño de los autovalores. Las puntuaciones discriminantes no se ven
afectadas por las selecciones realizadas en el proceso de clasificación.

G Probabilidades de pertenencia al grupo. Crea tantas variables como grupos se hayan
incluido en el análisis. Cada variable contiene las probabilidades a posteriori de cada caso
en un grupo. Las variables se crean en el orden definido por los códigos asignados a los
grupos.
Exportar información del modelo al archivo XML. Permite exportar la información del
modelo a un archivo en formato XML. Los programas SmartScore y las próximas versiones de
WhatIf? pueden utilizar este archivo para crear distintos escenarios de clasificación. Pulsando
en el botón Examinar puede seleccionarse la carpeta en la que se desea ubicar el archivo, el
nombre del mismo y su formato.

Seleccionar
Un problema habitual de los modelos estadísticos es que el modelo estimado siempre se ajusta
lo más perfectamente posible a los datos de la muestra concreta utilizada. Esto, obviamente,
constituye un pequeño inconveniente, pues la estructura de la muestra puede presentar ligeras
divergencias respecto de la estructura real de la población. Para evitar este efecto de sobreajus-
te muestral puede llevarse a cabo una validación cruzada, que consiste en:
1) Seleccionar, de la muestra original, un subconjunto aleatorio de casos (muestra de
validación);
2) Estimar la función discriminate con los casos restantes (muestra de entrenamiento);
3) Utilizar esa función para clasificar los casos de la muestra de validación.
La validación cruzada consiste, por tanto, en clasificar casos con una función que no incluye
información sobre ellos. La validación cruzada puede llevarse a cabo una sola vez o repetirse
varias veces. Si la muestra original es grande, podría bastar un solo intento utilizando una
muestra de validación del 10% al 20% de los casos. Con muestras pequeñas, puede dividirse
la muestra total en 10 submuestras y repetir el proceso de validación 10 veces, excluyendo cada
vez una de las submuestras.

Para llevar a cabo una validación cruzada debe crearse primero una variable (la variable de
selección) que distinga entre los casos que serán utilizados como muestra de entrenamiento y
los que serán utilizados como muestra de validación. Para seleccionar los casos utilizados en
el análisis:
| En el cuadro de diálogo Análisis discriminante (ver figura 23.3), pulsar el botón Seleccio-
nar>> para expandir el cuadro de diálogo y hacer que tome el aspecto que muestra la fi-
gura 23.18.
Figura 23.18: Cuadro de diálogo Análisis discriminante (expandido con la opción Seleccionar).
| Trasladar la variable de selección (la variable que identifica a los casos de la muestra de
validación y a los de la muestra de entrenamiento) y trasladarla al cuadro Variable de
selección.

| Pulsar en el botón Valor... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminante:
Establecer valor que se muestra en la figura 23.19.
Figura 23.19. Subcuadro de diálogo Establecer valor.
| Introducir en el cuadro Valor de la variable de selección el valor que identifica a los ca-
sos que serán incluidos en el análisis. Pulsar el botón Continuar para volver al cuadro de
diálogo principal.
Si se desea repetir el proceso con otra muestra de entrenamiento, se deberá especificar un nue-
vo valor para la variable de selección. (También es posible repetir el análisis utilizando la
muestra de entrenamiento como muestra de validación y la muestra de validación como mues-
tra de entrenamiento mediante el proceso Ejecutar casos no seleccionados que se encuentra
en la carpeta de procesos del programa).

Ejemplo (Análisis discriminante > Seleccionar)
Este ejemplo ilustra el proceso de validación cruzada, es decir, explica cómo seleccionar una
muestra de entrenamiento ycómo clasificar los casos de la muestra de validación. Comenzare-
mos creando una variable de selección (la variable que distingue entre la muestra de validación
y la de entrenamiento); continuaremos estimando la función discriminante a partir de la mues-
tra de entrenamiento; yterminaremos utilizando la función discriminante obtenida para clasifi-
car los casos de la muestra de validación.Para crear la variable de selección podemos utilizar
la opción Seleccionar casos del menú Datos:
| En la ventana del Editor de datos, seleccionar la opción Seleccionar casos del menú
Datos para acceder al cuadro de diálogo Seleccionar casos.
| Marcar la opción Muestra aleatoria de casos y pulsar en el botón Muestra... para
acceder al subcuadro de diálogo Seleccionar casos: Muestra aleatoria.
| Seleccionar la opciónAproximadamente k% de todos los casos e introducir el valor
50 en el correspondiente cuadro de texto (para seleccionar una muestra aleatoria de
aproximadamente el 50 % de los casos).
| Pulsar en el botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
Aceptando estas selecciones, El Editor de datos genera una variable llamada filter_$ que con-
tiene el valor uno para los casos seleccionados (aproximadamente el 50% de los casos del ar-
chivo) y el valor cero para los no seleccionados. El archivo de datos queda filtrado con los ca-
sos seleccionados. Para desactivar el filtro:
| En la ventana del Editor de datos, seleccionar la opción Seleccionar casos del menú
Datos para acceder al cuadro de diálogo Seleccionar casos.
| Marcar la opción Todos los casos y pulsar el botón Aceptar para desactivar cualquier
filtro que se encuentre activo.

Puesto que la variable filter_$ permanece en el archivo de datos aunque desactivemos el filtra-
do de casos, ya disponemos de la variable de selección (es decir, de una variable en la que la
mitad de los casos de la muestra tiene el valor cero y la otra mitad el valor uno). Para comenzar
el proceso de validación cruzada:
| EnelcuadrodediálogoAnálisisdiscriminante (ver figura23.3),trasladarlasvariables
consumo, motor (cilindrada), cv (potencia), peso y año a la lista Independientes.
| Trasladar la variable origen al cuadro Variable de agrupación.
te: Definir rango (ver figura 23.4).
| Introducir el valor 1 (código de EE.UU. en la variable origen) en el cuadro de texto
Mínimo y el valor 2 (código de Europa en la variable origen) en el cuadro de texto
Máximo. Pulsar el botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
discriminante: Clasificación (ver figura 23.11).
| Seleccionar la opción Calcular según tamaños de grupos del apartado Probabili-
dades previas, y la opción Tabla resumen del apartado Mostrar. Pulsar el botón
Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
| Pulsar el botón Seleccionar>> para expandir el cuadro de diálogo Análisis discrimi-
nante (ver figura 23.18).
| Trasladar la variable filter_$ recién creada al cuadro Variable de selección.
| Pulsar en el botón Valor... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminan-
te: Establecer valor (ver figura 23.19).
| Introducir el valor 1 en el cuadro de texto Valor de la variable de selección. Pulsar
en el botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
Aceptando estas selecciones, el Visor ofrece, entre otros, los resultados que muestra la tabla
23.33. Por supuesto, en la fase de estimación del análisis intervienen únicamente los casos con
valor uno en la variable de selección (es decir, aproximadamente el 50 % de los casos de la
muestra), mientras que la fase de clasificación afecta tanto a los casos de la muestra de entrena-
miento como a los de la muestra de validación.

113 7 120
9 24 33
32 21 53
94.2 5.8 100.0
27.3 72.7 100.0
60.4 39.6 100.0
119 5 124
15 20 35
11 16 27
96.0 4.0 100.0
42.9 57.1 100.0
40.7 59.3 100.0
País de origen
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
Recuento
%
Recuento
%
Original
Original
Casos seleccionados
Casos no seleccionados
EE.UU. Europa
pronosticado
a,b
Total
Clasificados correctamente el 89.5% de los casos agrupados originales seleccionados.a.
Clasificados correctamente el 87.4% de casos agrupados originales no seleccionados.b.
La tabla 23.33 contiene las matrices de confusión correspondientes a los casos seleccionados
(la muestra de entrenamiento) y a los no seleccionados (la muestra de validación). En la
muestra de entrenamiento se obtiene una tasa de acierto del 89,5 % y, en la de validación, del
87,4 %. Podemos esperar, por tanto, que la función discriminante obtenida clasifique co-
rrectamente al 87,4 % de los futuros casos nuevos que se intenten clasificar.
Tabla 23.33. Tabla de clasificación (función obtenida con la muestra de entrenamiento).

Podemos repetir el proceso de validación cruzada ejecutando de nuevo el análisis sobre los ca-
sos con código cero en la variable de selección. Para ello, basta con cambiar el valor de la va-
riable de selección en el subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Establecer valor (ver
figura 23.19). Sin embargo,estopuedehacersetambiénconel proceso Ejecutar casos no selec-
cionados. Para ejecutar este proceso:
| En el panel izquierdo (esquema) del Visor, pulsar sobre el icono de libro cerrado del
título Notas. (Con ello queda seleccionada tabla de Notas, condición necesaria para
poder ejecutar el proceso Ejecutar casos no seleccionados con el procedimiento Aná-
lisis discriminante).
| SeleccionarlaopciónEjecutarproceso... delmenúUtilidades para accederalcuadro
de diálogo Ejecutar proceso.
| SeleccionarelprocesoEjecutarcasos no seleccionados.sbsque se encuentraenlacar-
peta Scripts que cuelga de la carpeta en la que está instalado el SPSS.
| Pulsar en el botón Ejecutar para ejecutar el proceso y, con él, el nuevo análisis.
Al ejecutar este proceso, el SPSS repite el análisis previo conmutando la muestra de validación
por la muestra de entrenamiento. Y el Visor ofrece, entre otras cosas, el resultado de la clasifi-
cación que muestra la tabla 23.34.

117 7 124
14 21 35
13 14 27
94.4 5.6 100.0
40.0 60.0 100.0
48.1 51.9 100.0
111 9 120
10 23 33
34 19 53
92.5 7.5 100.0
30.3 69.7 100.0
64.2 35.8 100.0
País de origen
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
EE.UU.
Europa
Casos desagrupados
Recuento
%
Recuento
%
Original
Original
Casos seleccionados
Casos no seleccionados
EE.UU. Europa
pronosticado
a,b
Total
Clasificados correctamente el 86.8% de los casos agrupados originales seleccionados.a.
Clasificados correctamente el 87.6% de casos agrupados originales no seleccionados.b.
Por tanto, la tabla 23.34 contiene el resultado de clasificación tras intercambiar las muestras
de entrenamiento y validación del primer análisis. Podemos comprobar que el porcentaje de
clasificación correcta en la nueva muestra de entrenamiento es del 86,8 %, y del 87,6 % en la
nueva muestra de validación. Basándonos en estos resultados, podemos concluir que, si uti-
lizamos cualquiera de las dos funciones obtenidas para clasificar nuevos casos, podemos espe-
rar que el porcentaje de clasificación correcta se encuentre en torno al 87,5 %.
Tabla 23.34. Tabla de clasificación (función obtenida con la muestra de validación).

El caso de más de dos grupos
Aunque hasta ahora hemos basado toda nuestra exposición del análisis discriminante en la cla-
sificación de casos en dos grupos, lo cierto es que la técnica puede utilizarse para efectuar
clasificaciones en más de dos grupos. No obstante, cuando se dispone de más de dos grupos
de clasificación, la interpretación de los resultados cambia ligeramente.
Con más de dos grupos es posible obtener más de una función discriminante. En concreto,
es posible obtener tantas como número de grupos menos uno (a no ser que el número de varia-
bles independientes sea menor que el número de grupos, en cuyo caso el número de posibles
funciones discriminantes será igual al número de variables menos uno).
Las funciones discriminantes se extraen de manera jerárquica, de tal forma que la primera
función explica el máximo posible de las diferencias entre los grupos, la segunda función expli-
ca el máximo de las diferencias todavía no explicadas, y así sucesivamente hasta alcanzar el
100% de las diferencias existentes. Esto se consigue haciendo que la primera función obtenga
el mayor cociente entre las sumas de cuadrados inter-grupos e intra-grupos. La segunda, el
siguiente mayor cociente entre ambas sumas de cuadrados. Etc.
Además, las funciones resultantes son ortogonales o independientes entre sí. En el caso de
tres grupos, por ejemplo, el efecto final de esta independencia es que la primera función intenta
discriminar lo mejor posible entre dos de los grupos y, la segunda, entre los dos grupos que aún
se encuentren más próximos.

Ejemplo (Análisis discriminante con tres grupos)
Este ejemplo muestra cómo llevar a cabo un análisis discriminate con tres grupos utilizando
un método de estimación por pasos. Seguimos utilizando las variables del archivo Coches.sav
(pero hemos filtrado el caso 35 para facilitar la lectura de los gráficos):
| EnelcuadrodediálogoAnálisisdiscriminante (ver figura23.3),trasladarlasvariables
consumo, motor (cilindrada), cv (potencia), peso, acel (aceleración), año y cilindr
(número de cilindros) a la lista Independientes. Trasladar la variable origen al cuadro
Variable de agrupación.
te: Definir rango (ver figura 23.4). Introducir el valor 1 (código de EE.UU. en la va-
riable origen) en el cuadro de texto Mínimo y el valor 3 (código de Japón en la varia-
ble origen) en el cuadro de texto Máximo. Pulsar el botón Continuar para volver al
cuadro de diálogo principal.
| Seleccionar la opción Usar método de inclusión por pasos y pulsar en el botón
Método... para acceder al subcuadro de diálogo Análisis discriminante: Método de
inclusión por pasos (ver figura 23.7). Seleccionar la opción F para distancias por
parejas del apartado Mostrar. Pulsar en el botón Continuar para volver al cuadro
de diálogo principal.
discriminante: Clasificación (ver figura 23.11). Seleccionar las opciones Resultados
para cada caso y Tabla resumen del apartado Mostrar.
| Seleccionar las opciones Grupos combinados, Grupos separados y Mapa territo-
rial del apartado Gráficos.
| Seleccionar la opción Reemplazar los valores perdidos con la media. Pulsar el
botón Continuar para volver al cuadro de diálogo principal.
Aceptando estas elecciones, el Visor ofrece, entre otros, los resultados que se muestran a conti-
nuación (algunas tablas han sido modificadas para economizar espacio).

N válido (según lista) No ponderados
244 244 244 244 244 244 244
68 68 68 68 68 68 68
79 79 79 79 79 79 79
391 391 391 391 391 391 391
País de origen
EE.UU.
Europa
Japón
Total
Consumo
(l/100Km)
Cilindrada
en cc
Potencia
(CV)
Peso total
(kg)
Aceleración
0 a 100 km/h
Año del
modelo
Número de
cilindros
Paso: 5
.131 47.381 .587
.204 19.658 .519
.521 11.780 .500
.134 8.939 .493
.169 4.003 .480
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Año del modelo
Peso total (kg)
Consumo (l/100Km)
Tolerancia
F para
eliminar
Lambda
de Wilks
La tabla 23.35 muestra el número de casos válidos de cada grupo. Puede observarse que, ahora,
el grupo de vehículos japoneses se incluye como un grupo más.
Tabla 23.35. Tamaños muestrales de cada grupo.
La tabla 20.36 contiene las variables independientes incluidas en el modelo en el último paso.
La tabla muestra que han quedado fuera del modelo las variables aceleración y cilindr (número
de cilindros).
Tabla 20.36. Variables incluidas en el modelo (último paso).

1 .570 1 2 388 146.218 2 388.000 .000
2 .518 2 2 388 75.407 4 774.000 .000
3 .500 3 2 388 53.292 6 772.000 .000
4 .480 4 2 388 42.610 8 770.000 .000
5 .471 5 2 388 35.149 10 768.000 .000
Paso
1
2
3
4
5
Número de
variables Lambda gl1 gl2 gl3 Estadístico gl1 gl2 Sig.
F exacta
160.560 97.082 69.993 54.299 45.756
.000 .000 .000 .000 .000
198.782 124.100 82.545 62.926 51.265
.000 .000 .000 .000 .000
.280 .381 3.517 6.646 5.541
.597 .684 .015 .000 .000
F
Sig.
F
Sig.
F
Sig.
Europa
Japón
Japón
País de origen
EE.UU.
Europa
1 2 3 4 5
Paso
La tabla 23.37 muestra cómo, a medida que se van incorporando nuevas variables al modelo
en cada paso, los valores de la lambda de Wilks global y del estadístico F asociado a ella van
disminuyendo.
Tabla 23.37: Lambda de Wilks.
La tabla 23.38 ofrece las comparaciones entre pares de grupos. Los valores del estadístico F
no coinciden con los del estadístico F asociado a la lambda de Wilks global. La tabla muestra
todas las comparaciones posibles entre cada dos grupos y el estadístico F y su significación pa-
ra esa comparación. Vemos que en el primer paso (al incluir la variable cilindrada en el mo-
delo) se consigue distinguir significativamente a los vehículos estadounidenses de loseuropeos
y los japoneses, pero no se consigue discriminar a los japoneses de los europeos. Hasta el paso
3 (momento en el que se incorpora al modelo la variable año del modelo), no se consigue dife-
renciar a estos dos grupos.
Tabla 23.38. Comparaciones entre grupos por pares.

.982a 93.2 93.2 .704
.072a
6.8 100.0 .259
Función
1
2
Autovalor
% de
varianza
%
acumulado
Correlación
canónica
Se han empleado las 2 primeras funciones
discriminantes canónicas en el análisis.
a.
.471 290.917 10 .000
.933 26.886 4 .000
Contraste de las funciones
1 a la 2
2
Lambda de Wilks Chi-cuadrado gl Sig.
Los autovalores (tabla 23.39) de las dos funciones que componen el modelo son muy desigua-
les. La primera función explica el 93,2 % de la variabilidad disponible en los datos, mientras
que la segunda función sólo explica el 6,8%. De manera similar, la correlación canónica de la
primera función es alta (0,704), mientras que la de la segunda función es más bien baja (0,259).
La lambda de Wilks de la tabla 23.40 contrasta de manera jerárquica la significación de las dos
funciones obtenidas. En la primera línea (1 a la 2) se contrasta la hipótesis nula de que el mo-
delo completo (ambas funciones discriminantes tomadas juntas) no permite distinguir las me-
dias de los grupos. Puesto que el valor de la lambda de Wilks (que coincide con el valor de la
lambda del último paso de construcción del modelo; ver tabla 23.37) tiene asociado un nivel
crítico (Sig. = 0,000) menor que 0,05, podemos concluir que el modelo permite distinguirsigni-
ficativamente entre los grupos.
En la segunda línea (2) se contrasta si las medias de los grupos son iguales en la segunda
función discriminante. La lambda de Wilks toma un valor muy próximo a 1, pero el nivel críti-
co (Sig. = 0,000) es menor que 0,05, por lo que podemos concluir que la segunda función per-
mite discriminar entre, al menos, dos de los grupos.
Para saber entre qué grupos permite distinguir cada función, debemos basarnos en las com-
paraciones por pares que ofrece la tabla 23.38.
Podría ocurrir que la segunda función no resultase significativa, en cuyo caso habría que
valorar la contribución de esa función al modelo (en términos de proporción de varianza expli-
cada) y considerar la posibilidad de utilizar únicamente la primera función.
Tabla 23.40. Lambda de Wilks. Contraste de las funciones del modelo.

.766 .001
-1.265 -.472
-1.278 .403
País de origen
EE.UU.
Europa
Japón
1 2
Función
La tabla 23.41 muestra la ubicación de los centroidesen cada una de las funciones discriminan-
tes. La primera función distingue fundamentalmente a los vehículos estadounidenses (cuyo
centroide está ubicado en la parte positiva) de los vehículos europeos y japoneses (cuyos
centroides se encuentran en la parte negativa).
En la segunda función, el centroide de los vehículos japoneses se sitúa en la parte positiva,
mientras que el de los vehículos europeos se sitúa en la parte negativa; el de los vehículos
estadounidenses queda en la parte central. Dado que la primera función ha conseguido explicar
el máximo de las diferencias existentes entre los vehículos estadounidenses y el resto, es lógico
que la segunda función discrimine precisamente entre los dos grupos que han quedado más
próximos en la primera.
Tabla 23.41. Valor de los centroides en las funciones discriminantes.

.456 .511
1.697 1.134
-.925 .670
-.296 -2.070
.305 .983
Consumo (l/100Km)
Cilindrada en cc
Potencia (CV)
Peso total (kg)
Año del modelo
1 2
Función
La matriz de coeficientes estandarizados (tabla 23.42) contiene ahora dos columnas, una para
cadafuncióndiscriminante.Lasfuncionesseencuentransiempreordenadasencorrespondencia
con los autovalores de la tabla 23.39, siendo la primera función la de mayor capacidad discri-
minativa. Los coeficientes estandarizados de la primera función no difieren sustancialmente de
los obtenidos en la función estimada en el caso de dos grupos (ver tabla 23.25). Esta primera
función discrimina, fundamentalmente, entre vehículos de gran cilindrada y vehículos más
optimizados en potencia. Puesto que el único centroide positivo en esta primera función (ver
tabla 23.41) es el de los coches estadounidenses, podemos interpretar que los vehículos de gran
cilindrada y poca potencia tienden a ser clasificados como estadounidenses. Y lo mismo vale
decir de los vehículos que consumen más y que tienen menor peso y antigüedad.
La segunda función atribuye la mayor ponderación al peso del vehículo. Puesto que ahora
el centroide de los vehículos europeos es negativo y el de los japoneses positivo, podemos
interpretar que los coches con mayor peso tenderán a ser clasificados como europeos. Mientras
que los vehículos con mayor cilindrada, los menos antiguos (año del modelo más alto), los más
potentes y los que más consumen tenderán a ser clasificados como vehículos japoneses.

.876* -.087
.834* -.104
.762* -.348
.669* -.308
.565* -.016
-.251* -.242
-.138 .557*
Cilindrada en cc
Número de cilindrosa
Peso total (kg)
Consumo (l/100Km)
Potencia (CV)
Aceleración 0 a 100 km/ha
Año del modelo
1 2
Función
Mayor correlación absoluta entre cada
variable y cualquier función discriminante.
*.
Esta variable no se emplea en el análisis.a.
La matriz de estructura (tabla 23.43) ofrece los coeficientes de correlación entre las variables
independientes y las puntuaciones discriminantes de cada función. El coeficiente más alto de
cada variable aparece marcado con un asterisco que indica cuál es la función con la que más
correlaciona esa variable (lo que no significa que sea ésa la función en la que más discrimina
la variable). Si existe alta colinealidad (alta relación entre las variables independientes), los
coeficientes de esta tabla puede ser muy distintos de los coeficientes estandarizados, como de
hecho sucede. En nuestro ejemplo, la primera función correlaciona con la cilindrada, el peso,
el consumo y la potencia; la segunda función correlaciona con el año del modelo.

.333 244 244.000
.333 68 68.000
.333 79 79.000
1.000 391 391.000
País de origen
EE.UU.
Europa
Japón
Total
Previas No ponderados Ponderados
Casos utilizados en el análisis
Hasta aquí hemos discutido el proceso de construcción o estimación del modelo. Para valorar
la capacidad predictiva del modelo estimado debemos prestar atención a los resultados de la
clasificación.
La tabla 23.44 ofrece las probabilidades previas o a priori. Estas probabilidades indican
que se ha dado la misma importancia relativa a todos los grupos: 0,333 (a pesar de que los ve-
hículos estadounidenses constituyen más del 60% de la muestra). Enseguida veremos qué ocu-
rre si utilizamos probabilidades previas basadas en los tamaños de los grupos.
Tabla 23.44. Probabilidades previas (probabilidades a priori utilizadas en la clasificación).

La figura 23.20 muestra el mapa territorial. Un mapa territorial representa el territorio (es-
pacio) que corresponde a cada uno de los grupos en el plano definido por las dos funciones dis-
criminantes: la primera función en el eje de abscisas y la segunda función en el eje de ordena-
das.
Los centroides de cada grupo están representados por asteriscos. Para representar los cen-
troides se utilizan las coordenadas de la tabla de centroides (ver tabla 23.41). Observando la
ubicación de los centroides en la figura 23.20 se aprecia claramente que la primera función po-
see mayor capacidad discriminativa que la segunda, pues los centroides se dispersan o alejan
más en la dirección horizontal que en la vertical.
Las secuencias de números que aparecen dividiendo el plano en territorios son los límites
o fronteras impuestos por la regla de clasificación. Los números (1, 2, ...) identifican el grupo
al que corresponde cada territorio. Conviene tener en cuenta que, puesto que la regla de clasifi-
cacióncambiaalcambiarlasprobabilidadesprevias,sisecambianesasprobabilidadestambién
cambiarán las fronteras de los territorios (el efecto concreto es que las fronteras se alejan del
centroide del grupo al que se le asigna mayor probabilidad).
Para conocer el grupo pronosticado de un caso cualquiera (es decir, el grupo en el que será
clasificado), basta con representar en el mapa territorial el punto definido por sus puntuaciones
discriminantes en ambas funciones. El grupo pronosticado es aquel al que corresponde el terri-
torio en el que queda ubicado el punto.
Prestando atención a la disposición de los tres territorios sobre el mapa, resulta fácil anti-
ciparquelosvehículosconpuntuacionesaltasen la primerafuncióndiscriminanteseránclasifi-
cados en el grupo estadounidense (grupo 1), mientras que los vehículos con puntuaciones pró-
ximas a cero o negativas en esa función serán clasificados en el grupo europeo (grupo 2) o ja-
ponés (grupo 3). En este segundo caso, si la puntuación del vehículo en la segunda función dis-
criminante es positiva será clasificado en el grupo japonés, mientras que si la puntuación en esa
función es negativa será clasificado en el grupo europeo.

Figura 23.20. Mapa territorial definido por las dos funciones discriminantes.
Discriminante canónica
Función 2
-6.0 -4.0 -2.0 .0 2.0 4.0 6.0
+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
6.0 + 31 +
I 31 I
I 31 I
I 31 I
I 31 I
I 31 I
4.0 + + + + 31 + + +
I 31 I
I 31 I
I 31 I
I 31 I
I 31 I
2.0 + + + +31 + + +
I 31 I
I 31 I
I 31 I
I 31 I
I * 31 I
.0 +3333333333333333333333333331 * + + +
I222222222222222222222*222221 I
I 21 I
I 21 I
I 21 I
I 21 I
-2.0 + + + +21 + + +
I 21 I
I 21 I
I 21 I
I 21 I
I 21 I
-4.0 + + + + 21 + + +
I 21 I
I 21 I
I 21 I
I 21 I
I 21 I
-6.0 + 21 +
+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
-6.0 -4.0 -2.0 .0 2.0 4.0 6.0
Función de discriminante canónica 1
Símbolos usados en el mapa territorial
Símbolo Grupo Etiqueta
------- ----- ----------------------------
1 1 EE.UU.
2 2 Europa
3 3 Japón
* Indica un centroide de grupo

Número de caso: 54
1
2**
.609
2
.549
.993
1
.234
2.702
-.474
-1.078
Grupo real
Grupo pronosticado
p
gl
P(D>d | G=g)
P(G=g | D=d)
Grupo mayor
Grupo
P(G=g | D=d)
Segundo grupo mayor
Función 1
Función 2
Original
Caso mal clasificado**.
La tabla 23.45 ofrece los resultados de la clasificación para el caso 54. Su grupo real o nominal
es el estadounidense (grupo 1), pero ha sido clasificado en el grupo europeo (grupo 2). Su pun-
tuación discriminante en la primera función (–0,474) hace que sea clasificado como vehículo
no perteneciente al grupo 1, es decir como vehículo europeo o japonés (ver centroides en la ta-
bla 23.41); y su puntuación discriminante en la segunda función (–1,078) hace que sea clasi-
ficado como vehículo europeo (recordemos que la primera función permite discriminar entre
vehículosestadounidensesyvehículoseuropeos-japones;ylasegundaentrevehículoseuropeos
y japoneses).
La probabilidad condicional, P(D>d | G=g), del caso 54 vale 0,609, lo que permite afir-
mar que se trata de un vehículo bastante centrado en el grupo en el que ha sido clasificado
(grupo 2). Echando un vistazo a sus características podemos comprobar que se trata,
básicamente, de un vehículo cuya cilindrada, peso, potencia y año están claramente por debajo
de la media (ver, más arriba, el comentario de la tabla 23.42).
Tabla 23.45. Resultado de la clasificación (caso número 54).

Función discriminante 1
43210-1-2-3
Funcióndiscriminante2
6
4
2
0
-2
-4
País de origen
Centroides de grupo
Japón
Europa
EE.UU.
La figura 23.21 muestra el diagrama de dispersión de todos los casos utilizados en el análisis
sobre el plano definido por las dos funciones discriminantes. Los casos están identificados por
el país de origen de los vehículos. La mayor utilidad de este gráfico radica en la posibilidad de
identificar casos atípicos difíciles de clasificar.
Figura 23.21. Diagrama de dispersión de los tres grupos en las dos funciones discriminantes.
En este ejemplo, el diagrama de dispersión también nos ofrece pistas sobre la conveniencia de
aumentar la probabilidad a priori del grupo estadounidense para mejorar la clasificación, pues
la primera función discriminante (el eje horizontal) parece distinguir fácilmente a los vehículos
japoneses y europeos de los estadounidenses.

174 29 50 253
1 45 27 73
0 25 54 79
68.8 11.5 19.8 100.0
1.4 61.6 37.0 100.0
.0 31.6 68.4 100.0
País de origen
EE.UU.
Europa
Japón
EE.UU.
Europa
Japón
Recuento
%
Original
EE.UU. Europa Japón
pronosticadoa
Total
Por último, la matriz de confusión de la tabla 23.46 ofrece los resultados de la clasificación.
La tabla indica que se ha clasificado correctamente el 67,4 % de los vehículos, lo cual, com-
parado con el 33% esperable en una clasificación completamente al azar, puede interpretarse
como una mejora considerable.
Los errores de clasificación no se distribuyen de manera simétrica. En el grupo de vehícu-
los estadounidenses se consigue el porcentaje más alto de clasificación correcta, 68,8 %, frente
a un porcentaje del 61,6% en el grupo europeo y del 68,4 % en el grupo japonés. (Esta circuns-
tancia resulta especialmente llamativa pues, a pesar de que la regla de clasificación se basa en
probabilidades a priori iguales para todos los grupos, el porcentaje de clasificación correcta
más alto se da precisamente en el grupo de mayor tamaño).
Basándonos en los porcentajes de clasificación correcta de cada grupo podemos afirmar
que los vehículos estadounidenses se confunden, mayoritariamente, con los vehículos japone-
ses; y que los vehículos europeos y japoneses no se confunden con los estadounidenses, sino
entre sí.
Tabla 23.46. Resultados de la clasificación (probabilidades previas iguales).

211 12 30 253
9 36 28 73
4 23 52 79
83.4 4.7 11.9 100.0
12.3 49.3 38.4 100.0
5.1 29.1 65.8 100.0
País de origen
EE.UU.
Europa
Japón
EE.UU.
Europa
Japón
Recuento
%
Original
EE.UU. Europa Japón
pronosticado
a
Total
Vamos a repetir el análisis con las probabilidades a priori calculadas a partir del tamaño de los
grupos. Para ello,
| Repetir el análisis marcando la opción Calcular según tamaños de grupos del apar-
tado Probabilidades previas en el cuadro de diálogo Análisis discriminante: Clasifi-
cación (ver figura 23. 11).
Procediendo de esta manera, la matriz de confusión ofrece los resultados que muestra la tabla
23.47. El porcentaje de clasificación correcta ha subido del 67,4 % al 73,8 %. Al variar los te-
rritorios con la nueva regla de clasificación, ha aumentado el porcentaje de clasificación co-
rrecta de los vehículos más numerosos (los estadounidenses), pero algunos de los vehículos
europeos y japoneses se confunden con los vehículos estadounidenses y la tasa de clasificación
correcta del grupo europeo se ha reducido considerablemente. Probablemente las probabilida-
des previas podrían ser mejor calibradas y ello nos permitiría obtener mejores resultados en la
clasificación.
Tabla 23.47. Resultados de clasificación (probabilidades previas basadas en los tamaños de los grupos).
< Fin del capítulo 23 >

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