3 elementos para comprender el lenguaje algebraico

3 elementos para entender el
lenguaje algebraico.

PROF. RODRIGO ULLOA SÁNCHEZ

1) El signo menos.
• Problematización.
• En no más de dos minutos, resuelva el siguiente cálculo,
utilizando dos técnicas distintas, sin utilizar el algoritmo de las
reservas.

878–529

• AL utilizar el algoritmo tradicional, ¿qué errores se espera que
cometan niños de 3ro y 4to básico? ¿Cuál es la fuente del
error?

1) El signo menos.
• 878–529 es una sustracción “con reserva”, por lo que incluso
con el algoritmo tradicional pueden haber problemas:
878
– 529
351

• “como a 8 no le puedo restar 9, entonces hago 9-8 que si se
puede hacer”

1) El signo menos.
• Una forma alternativa que evita el trabajo con las reservas es
a través de la descomposición canónica (DC) de los términos
de la sustracción. Esta DC todavía se debe realizar con
cuidado:
878-529 = 800-500 + 70-20 + 9-8 Probablemente, se
= 300 + 50 + 3 transformó invirtió el cálculo
9-8, intentando reagrupar las
cantidades y salvar el cálculo.

• “como a 8 no le puedo restar 9, entonces hago 10-7 para
evitar el problema”.

1) El signo menos.
• Una forma correcta de reagrupar es la siguiente:
Esta reagrupación funciona
800 + 70 + 8 800 + 60 + 18 muy bien apoyándose en
la escritura posicional.
- 500 + 20 + 9 - 500 + 20 + 9
Pero la DC también ofrece
300 + 40 + 9 dificultades...

• “como a 8 no le puedo restar 9, entonces transformo el 8
en 18, descomponiendo el 70 como 60+10”.

1) El signo menos.
• La técnica anterior se suele emplear tal como se usaría la DC
para el cálculo de adiciones:
878-529 = 800+70+8 – 500+20+9

• “Para resolver el cálculo, aplico la descomposición canónica
de ambos términos”.

Si bien se escribió correctamente la
descomposición de ambos términos, hay un
error en escribir la descomposición de tal
forma, por cuando se registraron 5 adiciones
y 1 sustracción (se puede verificar ingresando
en una calculadora).

1) El signo menos.
• La técnica anterior se suele emplear tal como se usaría la DC
para el cálculo de adiciones:
878-529 = 800+70+8 – (500+20+9)
= 800+70+8 – 500 – 20 – 9
• “Para no cometer errores, anoto los paréntesis para
después cambiar el signo de los números que están dentro”.

Esta idea es matemáticamente correcta. Sin
embargo, la aplicación de reglas para el uso y
eliminación de paréntesis aparecen recién en
los CMO de 7mo básico.
¿Cómo se explica entonces el cambio de
signo en niños de 1ro a 4to básico?

1) El signo menos.
• El signo menos es un símbolo complejo, ofrece muchas
dificultades para los alumnos de educación básica, media y
superior. Otros ejemplos:
• 5to básico: Calcular 2 ½ - 1 ¾.
• En 7mo básico: ¿Es –x un número negativo?
• En 8vo básico: Calcular 2-(-3).
• En 1ro medio: De 3m-2n ejercicios resueltos, hay n-m correctos.
¿Cuántos ejercicios incorrectos hubo?.

1) El signo menos.
• Otros ejemplos:
• 5to básico: Calcular 2 ½ - 1 ¾ como (2-1)+(½–¾)
• Es el mismo problema de la problematización (8-9).
• En 7mo básico: “–x” es negativo por que tiene signo –.
• La afirmación anterior, ¿es válida cuando x=–1?
• En 8vo básico: Calcular 2-(-3).
• ¿Qué significa que menos por menos es más? ¿Cómo se interpreta
esa multiplicación?

1) El signo menos.
• Uno de los principales problemas de las preguntas anteriores
radica en que el signo – tiene distintas interpretaciones, pero
en todos los casos se escribe de igual forma: como un guión.
• La importancia de conocer las tres interpretaciones del signo
menos está en que otorga contexto curricular a las técnicas,
problemas y lenguaje que se puede emplear con los niños, de
acuerdo al curso en el que estén.
• Las interpretaciones son las siguientes:

1) El signo menos.
• El signo menos como operación aritmética.
• Aquí, el signo menos relaciona dos cantidades y entrega un
número llamado “resta”.
• Este resultado anticipa el resultado de realizar las siguientes
acciones sobre el sustraendo: separar, quitar, retroceder,
comparar por diferencia.
• Por ejemplo, para usar el signo menos como una operación, se
considera una cantidad (ej: 23), se aplica una acción (ej: quitar),
se señala en qué medida se aplica la acción (ej: se quitan 13) y
luego se pregunta por el resultado de esa acción en un contexto
dado.

1) El signo menos.
• El signo menos como signo de un número.
• Aquí, el signo menos es parte del numeral asociado a una
cantidad negativa.
• Ejemplo: “Hoy se registró una temperatura mínima de -2ºC”.
• No implica una acción, ni requiere de un cálculo. Es parte de la
cantidad, y se interpreta como tal.
• En el ejemplo, la temperatura mínima es menor a la temperatura de
congelamiento del agua”.
• Otro ejemplo, en la expresión 2-(-3) hay dos signos.
• El primer signo representa una sustracción.
• El segundo signo representa que el sustraendo es negativo.

1) El signo menos.
• El signo menos como operador “inverso aditivo”.
• Aquí, el signo menos se aplica sobre un solo número, a diferencia
de la sustracción. Representa el número que sumado al original
resulta cero.
• Para diferenciarlo de los signos anteriores, se recomienda usar
paréntesis.
• Ejemplo: En -(5-2) hay dos signos:
• El segundo representa una sustracción.
• El primero representa el inverso aditivo de la resta.

1) El signo menos.
• El signo menos en el currículum escolar:

PK-K 1º a 4º 5º a 6º 7º a 8º
Sustracción Oral, como
  
acción
Signo 
Inv. aditivo 

• Las dificultades que los niños de 7mo y 8vo experimentan, se
debe a que se introducen nuevos usos para el signo menos,
sin explicitar el cambio de significados, pues el foco está en
mecánica del cálculo.

1) El signo menos.
• Retomemos uno de los ejemplos anteriores:
878-529 = 800+70+8 – (500+20+9)
= 800+70+8 – 500 – 20 – 9
• “Para no cometer errores, anoto los paréntesis para
después cambiar el signo de los números que están dentro”.

• De acuerdo a lo anterior, la justificación matemática de la
expresión anterior queda fuera del alcance de los niños de
prekinder hasta 6to básico.
• Veamos la evolución curricular del uso del signo.

1) El signo menos.
• En 1ro, el signo menos se usa para representar en forma
escrita la operación.
• Asociación de situaciones que implican separar, quitar y retroceder
con la operación sustracción.
• Elaboración de estrategias basadas en composición y
descomposición aditiva para el cálculo de sustracciones.
• En este nivel se introduce por primera vez el signo menos, por lo
que es muy importante que previo a ello se haya construido el
concepto de sustracción. Una sustracción no es el símbolo (por
ello se trabaja desde PK), por lo que su introducción es gradual
en este nivel.

1) El signo menos.
• De 2do a 6to, el signo menos se usa en el contexto de cálculos
y problemas asociados a la sustracción.
• En estos cursos se busca evitar la manipulación con este
signo, a partir de diversas estrategias:
• Diagrama de árbol:
878 – 529
878 – 500 = 378
378 – 20 = 358
500 20 9 358 – 9 = 349

1) El signo menos.
• De 2do a 6to, el signo menos se usa en el contexto de
cálculos y problemas asociados a la sustracción.
• En estos cursos se busca evitar la manipulación con este
signo, a partir de diversas estrategias:
• Operatoria con números mixtos:
2½ – 1¾ =
+¼ +¼

2¾ – 2 = ¾

1) El signo menos.
• En 7mo se introduce el concepto de número negativo, que es
una cantidad que se escribe con un signo menos frente a tal
número.
• Un número negativo representa una cantidad que falta o que
se adeuda, o bien, una magnitud orientable.
• Cuando el saldo es “-$15.000”, el signo menos quiere decir que la
cantidad se adeuda.
• Cuando la altitud es de “-12m”, el signo menos quiere decir que
la posición está bajo el nivel del mar.

1) El signo menos.
• A partir de 7mo se introduce además el concepto de inverso
aditivo.
• Desde la perspectiva del álgebra, el inverso aditivo es el número
que completa la siguiente expresión:
x+ =0
Lo que va dentro del recuadro se define como –x.
• El número que se escribe dentro del recuadro siempre tiene el
signo opuesto al del número x. Por lo tanto, –x puede ser
positivo o negativo según el signo que tenga el número x (por
ejemplo, en caso que x = –4).

1) El signo menos.
• La importancia de la construcción de los conceptos anteriores,
que se inicia en la educación parvularia, es que permite que
los alumnos tengan herramientas para razonar
matemáticamente expresiones como las siguientes:
• 2 – (–(-3)) = 2 – (3) (porque -3+ 3 =0)
= -1 (porque si desde 2 retrocedo 3
llego hasta el -1).

-1 0 1 2

1) El signo menos.
• En síntesis:
• El trabajo con el signo menos es articulado y paulatino a lo largo
del currículo escolar. Por lo tanto, se puede planificar.
• Desde 1ro a 6to básico es importante disponer de técnicas de
cálculo para que los niños puedan calcular sustracciones con
reserva.
• Los niños podrán apropiarse de estas técnicas en la medida que
tengan una situación o problema como contexto. Lo cual nos
lleva a un nuevo tema de discusión…

2) Variaciones proporcionales.
• El siguiente cuadro asociado al precio de entrada al teatro,
muestra una situación de variación proporcional. Encuentre el
valor que falta, explicitando el desarrollo de los
procedimientos empleados.

Nº de entradas Valor para socios
2 $9000
5 x

• El siguiente cuadro pertenece a la misma situación de
variación proporcional anterior. Encuentre el valor que falta.

2 $9000
3 $11000
5 x


2 $9000
3 $11000
5 x
7 $19000


2 $9000
3 $11000
5 x
7 $19000
12 $29000
17 $39000

• Las situaciones de proporcionalidad, o de variación
proporcional, siempre se establecen a partir de varios datos.
Nº de entradas Valor para socios N V
2 $9000 - -
3 $11000 1 $2000
5 x 2 ?
7 $19000 2 ?
12 $29000 5 $10000
17 $39000 5 $10000
• En la tabla, ¿cuál es el valor de x?
• Las situaciones de variación proporcional (modelos afines)
son generalizaciones de las situaciones de relación
proporcional (modelos lineales).
• Es muy frecuente que la regla de 3 simple se enseña sin
mostrar sus fundamentos, ni las condiciones bajo las cuales
opera.

• En contexto de proporcionalidad directa, la regla de 3 simple
no es el único procedimiento. Las situaciones de
proporcionalidad directa tienen otras propiedades.

Nº de entradas Valor para clientes
no socios
2 $8000
3 $12000
5 ?
7 $28000
12 $48000
17 $88000

• 5 entradas (3+2) cuestan $20000 (8000+12000).
• 12 entradas (4·3) cuestan $48000 (4·12000)

• Las situaciones de proporcionalidad directa tienen otras
propiedades.
• 5 entradas (3+2) cuestan $20000 (8000+12000).
• 12 entradas (4·3) cuestan $48000 (4·12000)

• En matemática, las propiedades anteriores se denominan
“lineales”, es decir, los términos de una expresión distribuyen
(lo que comúnmente se denomina como “se reparten”).

• Esta idea de «repartir términos» sin describir su fundamento
ni las condiciones de operación de esta noción, genera una
serie de dificultades en niñas y niños de nuestro sistema
escolar.

3) La linealidad
• Ejemplos de linealidad en la que la noción de «repartir
términos» funciona:
• El factor 3 se “reparte” frente a una adición.
3·(4+5)=3·4+3·5
• Numerador y denominador se “reparten” en la multiplicación de
fracciones.
¾ x ½ = (3x1)/(4x2) = 3/8
• El signo menos se reparte en una eliminación de paréntesis.
-(3x+2y) = -3x -2y

• IMPORTANTE: estos tres ejemplos son cualitativamente
diferentes, por lo que referirse a ellos a través de la misma
metáfora es un profundo error.

3) La linealidad
• La linealidad no siempre se cumple…
• CONTRAEJEMPLOS:
• En el caso de raíces: √(9+4) es distinto de √9 + √4.
• Con números enteros, el signo menos no se reparte en una
multiplicación: -(3·4) es distinto de (-3)·(-4)

• Es muy importante permitir que los alumnos formulen
conjeturas. Tan importante como lo anterior, es la verificación
o refutación de conjeturas.

• Es relevante además comprender los fundamentos de la
linealidad, expresada matemáticamente (por ejemplo, el
fundamento de la propiedad distributiva).

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