Algebra

Álgebra Introducción al álgebra PPTCANMTALA03002 Propiedad Intelectual Cpech

APRENDIZAJES ESPERADOS Minimizar las respuestas erróneas en conceptos básicos del álgebra, al no cometer errores comunes.

Contenidos Definiciones 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción 2.2 Multiplicación 1.3 Términos semejantes 3. Planteamiento de enunciados 4. Inducción en el álgebra

1. 1 Término algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”. Ejemplos: 23x 5 y 8 , mn 3 p, 3a 4 b, 1. Definiciones 2q 5p

Es la relación entre términos algebraicos, mediante la adición y/o sustracción. 1. 2 Expresión algebraica Ejemplos: 1) 9x 7 – 4 5y 2) 5m 2 + 2ab 3 – 4p + 3q 3) 6x 4 y 5 + 3pq – 7m 2

Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. 36x 5 , 73p 4 q 2 8ab 3 ,

2) Trinomio : Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a 6 b 2 + 8ab – 5a 7 Ejemplo: 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. 2m 3 n 4 + 7ab

Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos y son semejantes. - Los términos y NO son semejantes. 1. 3 Términos Semejantes 7m 3 n 2m 3 n 3p 2 9p 5

2 . Operaciones algebraicas 2 . 1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: mn 5 p + 4mn 5 p – 8mn 5 p = (1 + 4 – 8) mn 5 p = (5 – 8) mn 5 p = (– 3) mn 5 p = – 3mn 5 p

Ejercitemos Error común 9x 18x + 9 ∙ = x 3 1. 18x + 9 ∙ = x 3 = 27x 3

(Simplificando) 18x + 3x = 3 ¿Cómo se resuelve correctamente? 1 (Reduciendo términos semejantes) 21x Ejercitemos 18x + 9 ∙ = x 3

Ejercitemos Error común 1 10 x 5 + x 15 = 2. x 10 2x 20 =

Ejercitemos (Aplicando m.c.m.) 1 5 Otro error común x 5 + x 15 = 2. 3x + x 15 = 2x 5

(Aplicando m.c.m.) (Reduciendo términos semejantes) ¿Cómo se resuelve correctamente? Ejercitemos x 5 + x 15 = 3x + x 15 = 4x 15

Ejercitemos 3. 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = Error común 16x 2 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = 7x 2 + 9x 2 =

Ejercitemos 3. 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = Otro error común 4x + 7x + 2x 2 + 3x 2 = 11x 2 + 5x 4 (Reordenando los términos) (Reduciendo términos semejantes)

Ejercitemos 3. 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = Otro error común (4 + 3 + 2 + 7)x 6 = 16x 6

¿Cómo se resuelve correctamente? Ejercitemos 4x + 7x + 2x 2 + 3x 2 = 11x + 5x 2 (Reduciendo términos semejantes) (Reordenando los términos) 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x =

Ahora a practicar Resuelve los ejercicios 1, 2, 3, 4, 8 y 9 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.

6a ∙ 3ab = 2 . 2 Multiplicación Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: Monomio por monomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: Monomio por polinomio: 18a 2 b 5pq 3 (2p 3 q + 4pq 5 – 6pq) = 10p 4 q 4 + 20p 2 q 8 – 30p 2 q 4

Recordemos que: La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición es: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c

Ejercitemos Error común 5x + 10 (Reduciendo términos semejantes) (Distribuyendo) 3(x + 7) + 2(x + 3) = 1. 3x + 7 + 2x + 3 =

Ejercitemos 5x + 27 (Reduciendo términos semejantes) ¿Cómo se resuelve correctamente? (Distribuyendo) 3x + 21 + 2x + 6 = 3(x + 7) + 2(x + 3) = 1.

Ejercitemos Error común 5x + 6 (Distribuyendo) Debemos multiplicar los lados de un rectángulo para encontrar su área. Si x > 0, entonces ¿cuál es el área de un rectángulo de lados 5 y (x + 6)? 2. 5 (x + 6) =

Ejercitemos 5x + 30 ¿Cómo se resuelve correctamente? (Distribuyendo) Debemos multiplicar los lados de un rectángulo para encontrar su área. Si x > 0, entonces ¿cuál es el área de un rectángulo de lados 5 y (x + 6)? 2. 5 (x + 6) =

Ahora a practicar Resuelve los ejercicios 5 y 13 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.

Permite expresar la información mediante operaciones con números y letras. Lenguaje algebraico 3 . Planteamiento de enunciados Ejemplos: 3(x + 4) El triple, de x aumentado en 4 3x + 4 El triple de x, aumentado en 4 6x El séxtuple de un número x x – 3 Un número x disminuido en 3 x + 8 Un número x aumentado en 8 La tercera parte de un número x Lenguaje algebraico Lenguaje usual Una coma puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.

Ejercitemos Error común “ La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q aumentada en 5 años” se puede expresar como Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3Q + 5 Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad

Ejercitemos Otro error común Q = 3(P + 5) “ La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q aumentada en 5 años” se puede expresar como Luego, el enunciado se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad

Ejercitemos ¿Cómo se resuelve correctamente? P = 3(Q + 5) “ La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q aumentada en 5 años” se puede expresar como Luego, el enunciado se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad

Ahora a practicar Resuelve los ejercicios 6 y 7 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.

El álgebra trabaja con un método conocido como “método inductivo”. Este método determina que, para probar una generalidad, siempre debemos realizar la demostración con el menor número del conjunto en que estamos trabajando y luego probar la misma generalidad para “n” y “n + 1”. Con esto demostramos la generalidad para cualquier número. 4. Inducción en el álgebra Este método nos puede parecer muy complicado, y si bien en la PSU no alcanzamos a demostrar, sí debemos aprender a utilizarlo para deducir afirmaciones que sabemos que NO son correctas o creemos que NO son correctas.

4. Inducción en el álgebra Si a y b son números enteros, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? (a + b) es un número entero distinto de cero. (a · b) es un número entero distinto de cero. es un número entero. Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo II y III Ninguna de ellas. Ejemplo: a b

4. Inducción en el álgebra Resolución Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cada una de ellas encontramos un ejemplo numérico que no cumpla con la afirmación entonces la descartamos como verdadera. Afirmación I: Si a = – 2 y b = 2 , entonces aplicando la suma tenemos que – 2 + 2 = 0 La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre.

4. Inducción en el álgebra Afirmación II: Si a = – 2 y b = 0, entonces aplicando la multiplicación, tenemos que – 2 · 0 = 0 La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre. Resolución Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cada una de ellas encontramos un ejemplo numérico que no cumpla con la afirmación entonces la descartamos como verdadera.

4. Inducción en el álgebra Afirmación III: Si b = 3 y a = 2, entonces aplicando la división NO resulta un número entero. La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre. Resolución Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cada una de ellas encontramos un ejemplo numérico que no cumpla con la afirmación entonces la descartamos como verdadera. Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre verdadera.

Recordemos que: Esta forma de probar afirmaciones SÓLO nos sirve para aquellas que creemos y/o sabemos que no son verdaderas. NO para probar afirmaciones verdaderas, sino para probar falsas.

Ahora a practicar Resuelve los ejercicios que faltan de la guía y el profesor los corregirá finalmente en la pizarra.

Siempre al resolver un ejercicio de álgebra ten presente NO cometer los errores comunes.

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