4 funciones variables_aleatorias
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El documento aborda el análisis de funciones de variables aleatorias, destacando la caracterización probabilística, la densidad de probabilidad (fdp) y las diferencias entre funciones constantes, biunívocas y diferenciables. Se presentan métodos para determinar la fdp asociada a estas funciones, así como ejemplos concretos. También se discuten funciones genéricas y el tratamiento de varias variables aleatorias en el cálculo de distribuciones.
![fasandoval@utpl.edu.ec
Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
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4 funciones variables_aleatorias
- 1. Francisco Sandoval fasandoval@utpl.edu.ec 2017 Análisis estadístico y probabilístico 1
- 2. AGENDA 2
- 3. fasandoval@utpl.edu.ec Agenda CAP. 4: Funciones de variables aleatorias • Función de variable aleatoria real – Funciones constantes – Funciones biunívocas o diferenciables – Funciones genéricas • Funciones de variables aleatorias reales – Funciones constantes – Funciones biunívocas y diferenciables – Funciones genéricas 3
- 4. fasandoval@utpl.edu.ec Objetivos • Caracterización probabilística de las funciones de variables aleatorias. • Análisis de la FDP y fdp para las funciones de v.a. • Estudio de los casos: funciones constantes y funciones biunívocas y diferenciables. 4
- 5. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA REAL 5
- 6. fasandoval@utpl.edu.ec Función de variable aleatoria real • Recordando, una v.a. real se define: 𝑥: Ω ⟼ ℝ 𝜔 ⟼ 𝑥 𝜔 • Considere una función real 𝑔, definida sobre los reales, o sea: 𝑔: ℝ ⟼ ℝ 𝑥 𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔 • se analiza la función compuesta 𝑦 = 𝑔 o 𝑥, real con dominio en Ω asociada al mapa: 𝑦: Ω ⟼ ℝ 𝜔 ⟼ 𝑔 𝑥 𝜔 6
- 7. fasandoval@utpl.edu.ec Función compuesta • Es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. • Sean las funciones: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , 𝑔 𝑥 = sin 𝑥 , La función compuesta de 𝑔 y de 𝑓 que expresamos: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = sin 𝑥 2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥, g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@. La interpretación de (𝑓 ∘ 𝑔) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso 𝑧 = 𝑔(𝑥) = sin 𝑥 , y después aplicamos 𝑓 a 𝑧 para obtener 𝑦 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥, 7
- 8. fasandoval@utpl.edu.ec Función de variable aleatoria real • Significa que para todo 𝜔 ∈ Ω, se tiene un valor real 𝑦 𝜔 = 𝑔(𝑥(𝜔)). 8
- 9. fasandoval@utpl.edu.ec Función de variable aleatoria real • Se concluye: si la función del conjunto 𝑦 obedece las condiciones de la Definición de v.a.r., ella también será una v.a. • Interesa determinar la fdp 𝑝 𝑦(𝑌), asociada a la v.a. 𝑦, en términos de 𝑔 y 𝑝 𝑥(𝑋). 9
- 10. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Función biunívoca y diferenciable Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un diodo es presentada en la Figura, donde 𝑥 representa la tensión en los terminales del diodo y 𝑦 la corriente. Dado que analíticamente la característica de tensión-corriente se escribe: 𝑦 = 𝑔 𝑥 = ቊ 𝑒 𝑥 − 1 ; 𝑥 < 0 𝑥 ; 𝑥 ≥ 0 determinar 𝑝 𝑦(𝑌). 10
- 11. fasandoval@utpl.edu.ec Determinación de fdp 𝑝 𝑦(𝑌) • Se considera inicialmente que 𝑝 𝑦 𝑌 = න −∞ ∞ 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋 = න −∞ ∞ 𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 • Observe, que dado el valor de la v.a. 𝑥, por ejemplo 𝑥 = 𝑋, la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥) es una v.a. discreta que asume un único valor igual a 𝑔(𝑋). Esto permite expresar la fpd condicional del integrado como una función impulso, o sea 𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝑔 𝑋 − 𝑌) es válida para todo 𝑋 ∈ ℝ y para toda 𝑌 ∈ ℝ. 11
- 12. fasandoval@utpl.edu.ec Determinación de fdp 𝑝 𝑦(𝑌) • Para valores de 𝑌 tales que 𝑌 ≠ 𝑔(𝑋) se tiene que esta fdp condicional es nula. Substituyendo las ec. anteriores: 𝑝 𝑦 𝑌 = න −∞ ∞ 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 12
- 14. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones constantes Se considera que la función 𝑔(𝑥) asume un único valor 𝐺 para cualquier valor de 𝑥 en su contradominio, o sea, 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝐺 Por cuanto, la fdp condicional es 𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝛿(𝐺 − 𝑌) Y se reduce a: 𝑝 𝑦 𝑌 = 𝛿 𝐺 − 𝑌 න −∞ ∞ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝛿(𝑌 − 𝐺) 14
- 16. fasandoval@utpl.edu.ec Función biunívoca Cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con solo un elemento del conjunto origen. Nota: puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la definición de biunicidad. 16
- 17. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables Se considera el caso particular en que 𝑔(𝑥) es biunívoca y diferenciable. Para determinar 𝑝 𝑦 𝑌 se realiza cambio de variables 𝑍 = 𝑔(𝑋) Como 𝑔 es biunívoca y diferenciable, se tiene 𝑋 = 𝑔−1 𝑍 = ℎ(𝑍) con 𝑔−1 () representando la función inversa de 𝑔(), y 𝑑𝑋 = ℎ′(𝑍) 𝑑𝑍 donde ℎ′ 𝑍 = 𝑑 𝑑𝑍 ℎ(𝑍) 17
- 18. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables entonces, con el cambio de variables, 𝑝 𝑦(𝑌) se escribe 𝑝 𝑦 𝑌 = න −∞ ∞ 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 𝑝 𝑦 𝑌 = න 𝐶 𝑔 𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑝 𝑥 ℎ 𝑍 ℎ′ 𝑍 𝑑𝑍 donde 𝐶𝑔 representa el contradominio de la función 𝑔. Si se considera la propiedad de la función impulso, según la cual න 𝑎 𝑏 𝛿 𝑍 − 𝑌 𝑓 𝑍 𝑑𝑍 = ቊ 𝑓 𝑌 ; 𝑌 ∈ 𝑎, 𝑏 0 ; 𝑌 ∉ 𝑎, 𝑏 18
- 19. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables Se obtiene: 𝑝 𝑦 𝑌 = ൝ 𝑝 𝑥 ℎ 𝑌 |ℎ′ 𝑌 | ; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔 0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔 observando que ℎ′ 𝑌 = 1 𝑔′ ℎ 𝑌 se obtiene, finalmente 𝑝 𝑦 𝑌 = ቤ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑔′ 𝑋 𝑋=ℎ 𝑌 =𝑔−1(𝑌) ; 𝑌 ∈ 𝐶𝑔 0 ; 𝑌 ∉ 𝐶𝑔 19
- 20. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables Considerando la definición 1: 𝑝 𝑦 𝑌 = ቤ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑔′ 𝑋 𝑋=𝑔−1 𝑌 𝕝 𝐶 𝑔 (𝑌) Definición 1: Función indicadora de un conjunto A Sea 𝐴 ⊂ Γ un subconjunto de elementos 𝛼, 𝛼 ∈ Γ. La función Indicadora 𝕝 𝐴(𝛼) del conjunto 𝐴 es 𝕝 𝐴 𝛼 = ቊ 1 ; 𝛼 ∈ 𝐴 0 ; 𝛼 ∉ 𝐴 20
- 21. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 1: Función Biunívoca y Diferenciable Como la función es biunívoca y diferenciable, la fdp de 𝑦 puede ser directamente determinada a partir la ec. dada. El contradominio de 𝑔 es el conjunto de los números reales. 𝑝 𝑦 𝑌 = ቤ 1 2𝜋 exp − 𝑋2 2 2 𝑋= 𝑌 2 = 1 2 2𝜋 exp − 𝑌2 8 ; 𝑌 ∈ ℝ Considérese una v.a. gaussiana con parámetros 𝑚 = 0 y 𝜎 = 1. Sea 𝑦 una v.a. definida a través de la función 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 21
- 22. fasandoval@utpl.edu.ec Pasos para hallar 𝑝 𝑦(𝑌) dado que se conoce 𝑝 𝑥(𝑋) y 𝑔(𝑥) Determinar si 𝑔(𝑥) es: a. función constante. i. 𝑝 𝑦 𝑌 = 𝛿(𝑌 − 𝐺) b. función biunívoca diferenciable. i. Derivar 𝑔(𝑥). ii. Invertir: 𝑋 = 𝑔−1 𝑌 . iii. Determinar 𝐶𝑔. iv. 𝑝 𝑦 𝑌 = ቚ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑔′ 𝑋 𝑋=𝑔−1 𝑌 𝕝 𝐶 𝑔 (𝑌) c. otro tipo de función. i. Emplear definición general. 22
- 23. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 2: Función Biunívoca y Diferenciable Considere la característica idealizada de tensión-corriente de un diodo es presentada en la Figura, donde 𝑥 representa la tensión en los terminales del diodo y 𝑦 la corriente. Dado que analíticamente la característica de tensión-corriente se escribe: 𝑦 = 𝑔 𝑥 = ቊ 𝑒 𝑥 − 1 ; 𝑥 < 0 𝑥 ; 𝑥 ≥ 0 Asuma que la tensión en los terminales del diodo es caracterizada por una v.a. gaussiana con parámetros 𝑚 = 0 y 𝜎 = 1. Determinar 𝑝 𝑦(𝑌). 23
- 24. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 2: Función Biunívoca y Diferenciable 24
- 26. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones genéricas • Funciones genéricas, seccionalmente continuas y diferenciables. • El dominio 𝑔 es particionado en intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼 𝑁, tales que, en cada intervalo, 𝑔( ) sea constante o biunívoca y diferenciable. • La función g(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones 𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 , … , 𝑔 𝑁(𝑥), definidas, respectivamente, en los intervalos 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼 𝑁 y con contradominio representados respectivamente por 𝐶𝑔1 , 𝐶𝑔2 , … , 𝐶𝑔 𝑁 . 26
- 28. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones genéricas • La función densidad de probabilidad de la v.a. 𝑦 = 𝑔(𝑥), considerando las particiones 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼 𝑁 del dominio de 𝑔(𝑥), es dada por 𝑝 𝑦 𝑌 = න 𝑹 𝛿 𝑔 𝑋 − 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝑖=0 𝑁 න 𝐼 𝑖 𝛿 𝑔𝑖 𝑋 − 𝑌 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 𝐴 𝑖(𝑌) 28
- 29. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones genéricas • La parte de 𝑝 𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones 𝑔𝑖(𝑥) constantes (e iguales a 𝐺𝑖) son dadas por 𝐴𝑖 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 න 𝐼 𝑖 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃(𝑥 ∈ 𝐼𝑖) • La parte de 𝑝 𝑦(𝑌) que corresponde a las funciones 𝑔𝑖(𝑥) biunívocas y diferenciables, son dadas por 𝐴𝑖 𝑌 = ቮ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑔𝑖 ′ 𝑋 𝑋=𝑔𝑖 −1 𝑌 𝕝 𝐶 𝑔 𝑖 𝑌 29
- 30. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones genéricas • Finalmente 𝑝 𝑦 𝑌 = 𝑖∈𝒞 𝛿 𝑌 − 𝐺𝑖 𝑃 𝑥 ∈ 𝐼𝑖 + 𝑖∈ℬ อ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑔𝑖 ′ 𝑋 𝑋=𝑔𝑖 −1 𝑌 𝕝 𝐶 𝑔 𝑖 𝑌 donde 𝒞 = conjunto de índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es constante en 𝐼𝑖 ℬ = {conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝑔𝑖 𝑥 es biunívoca y diferenciable en 𝐼𝑖} 30
- 31. fasandoval@utpl.edu.ec Pasos para hallar 𝑝 𝑦(𝑌) dado que se conoce 𝑝 𝑥(𝑋) y 𝑔(𝑥) Determinar si 𝑔(𝑥) es: a. función constante. i. 𝑝 𝑦 𝑌 = 𝛿(𝑌 − 𝐺) b. función biunívoca diferenciable. i. Derivar 𝑔(𝑥). ii. Invertir: 𝑋 = 𝑔−1 𝑌 . iii. Determinar 𝐶𝑔. iv. 𝑝 𝑦 𝑌 = ቚ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑔′ 𝑋 𝑋=𝑔−1 𝑌 𝕝 𝐶 𝑔 (𝑌) c. función constante o biunívoca diferenciable por intervalos. i. Definir los intervalos y cada uno aplicar literal a. o b., según corresponda. ii. Sumar el resultado de cada intervalo para obtener el valor final. d. otro tipo de función. i. Emplear definición general. 31
- 32. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 3: Funciones Genéricas Considere un limitador de tensión, cuya característica es presentada en la Figura. El valor 𝑥 representa la tensión de entrada del limitador y 𝑦 el valor de tensión en su salida. Si la tensión de entrada del limitador es una v.a. con fdp 𝑝 𝑥(𝑋), determinar la fdp de la v.a. resultante 𝑦 en la salida del limitador. 32
- 33. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 4: Funciones Genéricas Se desea encontrar la fdp 𝑝 𝑦(𝑌) de la v.a. 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 > 0), donde 𝑥 es una v.a. doble exponencial de parámetro 𝑏, o sea 𝑝 𝑥 𝑋 = 𝑏 2 exp(−𝑏|𝑋|) 33
- 34. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ALEATORIAS 34
- 35. fasandoval@utpl.edu.ec Función de Varias Variables Aleatorias • Cuando se dispone de 𝑛 v.a. es usual representarlas por un vector aleatorio 𝑛- dimensional. • 𝑛 v.a. 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 pueden ser representadas por un vector 𝑛-dimensional 𝒙 definido como una función del conjunto que atribuye un vector 𝑛- dimensional 𝒙(𝜔) a cada punto de muestra 𝜔 del espacio de muestras Ω. • 𝒙 define el mapa: 𝒙: Ω ⟼ ℝ 𝑛 𝜔 ⟼ 𝒙(𝜔) 35
- 36. fasandoval@utpl.edu.ec Función de Varias Variables Aleatorias • Considere una función vectorial 𝑚-dimensional 𝒈, definida sobre el ℝ 𝑛 , o sea 𝒈: ℝ 𝑛 ⟼ ℝ 𝑚 𝒙 𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔 • Interesa analizar la función vectorial 𝑚- dimensional compuesta 𝒚 = 𝒈 ∘ 𝒙, con dominio en Ω, asociada al mapa 𝒚: Ω ⟼ ℝ 𝑚 𝜔 ⟼ 𝒈 𝒙 𝜔 36
- 37. fasandoval@utpl.edu.ec Función de Varias Variables Aleatorias • La fdp 𝑝 𝒚 𝒀 asociada al vector aleatorio 𝒚, en términos de 𝒈 y 𝑝 𝑥 𝑋 , es dada por 𝑝 𝒚 𝒀 = න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑛 integrales 𝑝 𝒙𝒚 𝑿, 𝒀 𝑑𝑿 = න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑛 integrales 𝑝 𝒚 𝒙 = 𝑿 𝒀 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿 • dado el vector aleatorio 𝒙, por ejemplo 𝒙 = 𝑿, el vector aleatorio 𝒚 = 𝒈(𝒙) es un vector aleatorio discreto que asume un único valor igual a 𝒈(𝑿). 𝑝 𝒚|𝒙=𝑿 𝒀 = 𝛿(𝒈 𝑿 − 𝒀) 37
- 38. fasandoval@utpl.edu.ec Función de Varias Variables Aleatorias • Sustituyendo 𝑝 𝒚 𝒀 = න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑛 integrales 𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿 38
- 40. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones constantes • Considere que la función 𝒈(𝒙) asume un único valor 𝑮 para cualquier valor de 𝒙 en su contradominio, o sea 𝒚 = 𝒈 𝒙 = 𝑮 • Consecuentemente 𝑝 𝒚 𝒀 = 𝛿 𝑮 − 𝒀 න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑛 integrales 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿 = 𝛿 𝒀 − 𝑮 40
- 42. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables • Un caso particular que merece atención es el de la función 𝒈 biunívoca y diferenciable en cada argumento. • Para determinar la integral, se realiza cambio de variables 𝒁 = 𝒈(𝑿) • como 𝒈 es biunívoca y diferenciable en cada argumento, se tiene que 𝑿 = 𝒈−1 𝒁 = 𝒉 𝒁 = ℎ1 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑛 ℎ2 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑛 ⋮ ℎ 𝑚 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑛 𝒈−1 representa la función inversa de 𝒈( ) 42
- 43. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables • resolviendo el sistema de ecuaciones 𝒚 = 𝒈(𝒙) para 𝒙 𝑑𝑿 = 𝐽 𝒉(𝒁) 𝑑𝒁 donde 𝐽 𝒉(𝒁) denota el jacobiano de la transformación 𝒉(𝒁). • Considerando el cambio de variables, ඵ … න 𝐶 𝑔 𝑛 integrales 𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑝 𝒙 𝒉 𝒁 𝐽 𝒉 𝒁 𝑑𝒁 donde 𝐶𝑔 representa el cotradominio de la función 𝒈. 43
- 44. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables • Considerando la propiedad de la función impulso, según la cual, para 𝒁 𝑛 −dimensional ඵ … න 𝒟 𝑛 integrales 𝛿 𝒁 − 𝒀 𝑓 𝒁 𝑑𝒁 = ቊ 𝑓 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝒟 0 ; 𝒀 ∉ 𝒟 44
- 45. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables • se obtiene 𝑝 𝒚 𝒀 = ൝ 𝑝 𝒙 𝒉 𝒀 𝐽 𝒉 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝐶 𝒈 0 ; 𝒀 ∉ 𝐶 𝒈 • observando también 𝐽 𝒉 𝒀 = 1 𝐽 𝒈(𝒉(𝒀)) • se obtiene 𝑝 𝑦 (𝒀) = อ 𝑝 𝒙 𝑿 𝐽 𝒈 𝑿 𝑿=𝒉 𝒀 =𝒈−1 𝒀 ; 𝒀 ∈ 𝐶 𝒈 0 ; 𝑌 ∉ 𝐶 𝒈 45
- 46. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Biunívocas y diferenciables 𝑝 𝑦 𝒀 = อ 𝑝 𝒙 𝑿 𝐽 𝒈 𝑿 𝑿=𝒈−1 𝒀 𝕝 𝐶 𝑔 (𝒀) donde 𝕝 𝐶 𝑔 (𝒀) representa una función indicadora de 𝐶𝑔. 𝐽 𝑔(𝑿) denota el Jacobiano de la transformación 𝒈(𝑿). 46
- 48. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Genéricas • La función 𝒈(𝑥) es descompuesta en 𝑁 funciones 𝒈1 𝑥 , 𝒈2 𝑥 , … , 𝒈 𝑁(𝑥), definidas, respectivamente, en las regiones 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅 𝑁 y con contradominios representados respectivamente por 𝐶 𝒈1 , 𝐶 𝒈2 , … , 𝐶 𝒈 𝑁 . • La fdp de la v.a. 𝒚 = 𝒈(𝒙) es dada por 𝑝 𝒚 𝒀 = න −∞ ∞ … න −∞ ∞ 𝑛 integrales 𝛿 𝒈 𝑿 − 𝒀 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿 48
- 49. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Genéricas 𝑝 𝒚 𝒀 = 𝑖=1 𝑁 ඵ … න 𝑅 𝑖 𝑛 integrales 𝛿 𝒈𝑖 𝑿 − 𝒀 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿 𝐴 𝑖(𝒀) Las porciones que corresponden a las funciones 𝒈𝑖(𝒙) constantes (y iguales a 𝑮𝑖) son dadas por 49
- 50. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Genéricas 𝐴𝑖 𝒀 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 ඵ … න 𝑅 𝑖 𝑛 integrales 𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿 = 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖) • Las porciones que corresponden las funciones 𝒈𝑖(𝒙) biunívocas y diferenciables serán dadas por 𝐴𝑖 𝒀 = อ 𝑝 𝑥 𝑿 𝐽 𝒈 𝑖 𝑿 𝑿=𝒈 𝑖 −1 𝒀 𝕝 𝐶 𝒈 𝑖 (𝒀) 50
- 51. fasandoval@utpl.edu.ec Funciones Genéricas • Finalmente 𝑝 𝒚 𝒀 = 𝑖∈𝒞 𝛿 𝒀 − 𝑮𝑖 𝑃(𝒙 ∈ 𝑅𝑖) + 𝑖∈ℬ อ 𝑝 𝒙 𝑿 𝐽 𝒈 𝑖 𝑿 𝑿=𝒈 𝑖 −1 𝒀 𝕝 𝐶 𝒈 𝑖 (𝒀) 𝒞 = conjunto de índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es constante en 𝑅𝑖 ℬ = {conjunto de los índices 𝑖 tales que 𝒈𝑖 𝒙 es biunívoca y diferenciable en 𝑅𝑖} 51
- 52. REFERENCIAS 52
- 53. fasandoval@utpl.edu.ec Referencias • ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC. • Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide] • Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide] • ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and Random Processes For Electrical Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall, University of Toronto, 2008. 53
- 54. Esta obra esta bajo licencia Creative Commons de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras Derivadas, Ecuador 3.0 www.creativecommons.org fasandoval@utpl.edu.ec 54