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Autores:
Arturo Ylé Martínez
José Alfredo Juárez Duarte
Faustino Vizcarra Parra
Revisión Técnica:
Dr. Armando Flórez Arco
Cálculo II
Cálculo Integral Para Bachillerato
Segunda Edición

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Cálculo II
Segunda Edición

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Cálculo Integral
Tercer grado, segundo semestre
Fases especializadas: Físico-Matemáticas y Químico- Biológicas
Segunda Edición, Diciembre de 2012.
© Arturo Ylé Martínez
© José Alfredo Juárez Duarte
© Faustino Vizcarra Parra
Diseño portada:
Eva Margarita Moreno Chávez
Diseño de interior:
Irán Sepúlveda León
Carol Judith Zazueta Rivera
Revisión Técnica:
Dr. Armando Flórez Arco
Servicios Editoriales Once Ríos
Río Usumacinta 821 Col. Industrial Bravo. C.P. 80120
Culiacán, Sinaloa, México.
Impreso en México
Edición con fines académicos, no lucrativos

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Presentación..........................................................................................................................9
Dedicatoria y Agradecimientos............................................................................................ 11
Semblanza...........................................................................................................................13
UNIDAD DE APRENDIZAJE I. DIFERENCIALES, ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA
1.1. Historia y problemas del Cálculo Integral.....................................................................16
1.2. Diferencial de una función............................................................................................18
1.3. Antiderivadas o primitivas de una función....................................................................25
1.4. Integral indefinida.........................................................................................................29
1.5. Aplicaciones de la integral indefinida...........................................................................34
UNIDAD DE APRENDIZAJE II. MÉTODOS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
2.1. Uso de tablas y formularios y propiedades de integración...........................................40
2.2. Métodos de Integración................................................................................................44
2.2.1 Método de sustitución o de cambio de variable..................................................44
2.2.2 Integración por partes.........................................................................................51
2.2.3 Integración por sustitución trigonométrica...........................................................53
2.2.4 Integración por fracciones parciales....................................................................56
2.3. Otras Aplicaciones de la integral indefinida..................................................................62
UNIDAD DE APRENDIZAJE III. CAMBIOS ACUMULADOS E INTEGRAL DEFINIDA
3.1 Cuantificación de cambios acumulados: El problema del área y la distancia..............68
3.2 El área y la Integral definida........................................................................................77
3.3 Teorema fundamental del Cálculo................................................................................85
3.4 Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas...............................................87
UNIDAD DE APRENDIZAJE IV. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
4.1 Introducción................................................................................................................100
4.2 Volumen de sólidos de revolución (método del disco)...............................................100
4.3 Longitud de un segmento de curva............................................................................103
4.4 Otras aplicaciones (basadas en proyectos)..............................................................106
Bibliografía para el estudiante y el profesor.......................................................... 109
ÍNDICE GENERAL:

arturo ylé martínez
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cálculo integral
L
a asignatura de Cálculo Integral, forma parte de los estudios de matemáticas
del bachillerato de la uas. Actualmente se estudia en el sexto semestre del
tercer año del plan 2009. Su estudio es sumamente formativo para el estu-
diante, ya que paralelamente al estudio de nuevos conocimientos e ideas en
ella, también se reafirman e integran los conocimientos y competencias de toda el área
de matemáticas.
El Cálculo Integral es, pues, la oportunidad para que el alumno sistematice los estu-
dios matemáticos elementales y continúe desarrollando las competencias disciplinares
de matemáticas, a la vez que le abre la puerta de entrada para cursos superiores de
matemáticas que les serán necesarios en una profesión futura.
Considerando que el bachillerato universitario tiene carácter propedéutico, el conte-
nido tratado en este texto es de nivel introductorio y elemental, y se desarrolla didáctica-
mente de manera intuitiva e informal, enfatizando en aplicaciones sencillas. Así, pues,
los autores hemos dejado, deliberadamente, para los niveles de licenciatura la formaliza-
ción rigurosa, tan necesaria para la ciencia matemática pero difícil y carente de interés,
en la mayoría de los casos, para los estudiantes de la preparatoria.
En esta segunda edición, aunque se hicieron algunos agregados y correcciones, la
estructura básica del texto se conserva. De donde, en la primera unidad se estudian los
diferenciales, la antiderivada y la integral indefinida y el objetivo de la misma es que
el estudiante calcule diferenciales, antiderivadas e integrales indefinidas inmediatas, y
las aplique en la formulación y resolución de problemas de su vida cotidiana, y de algu-
nas áreas de las ingenierías y las ciencias. En esta unidad la integral es tratada, por
razones didácticas, a partir del concepto de antiderivada o primitiva de una función.
En la segunda unidad de aprendizaje, se estudian los métodos y técnicas de in-
tegración básicos. Tales como: el cambio de variable, la integración por partes, la sus-
titución trigonométrica y la descomposición en fracciones parciales. El objetivo de la
unidad es que los estudiantes demuestren algunas formulas básicas de integración y las
apliquen reflexivamente al calculo de integrales indefinidas usando diversos métodos y
técnicas de integración.
En la tercera unidad de aprendizaje se estudian los cambios acumulados y la in-
tegral definida en el marco geométrico del problema del cálculo de áreas. Además, se
estudia también el importante Teorema Fundamental del Cálculo como la manera más
optima para el cálculo de las integrales definidas y para establecer la relación formal
entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. El objetivo de esta unidad es que los
PRESENTACIÓN

unidad Icálculo integral
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estudiantes calculen numéricamente y mediante el teorema fundamental del cálculo las
integrales definidas, y las apliquen principalmente en el cálculo de áreas.
Finalmente, en la cuarta y última unidad de aprendizaje, se estudian algunas aplica-
ciones de la integral de una función. En particular es obligatorio estudiar aplicaciones
respecto al cálculo de volúmenes de sólidos de revolución por el método de discos, así
como el cálculo de longitudes de segmentos de curvas. Por otra parte, aquí también
se estudiaran otras aplicaciones, en base a proyectos, pero de acuerdo a los intereses
específicos de los estudiantes. El objetivo de la unidad es que los estudiantes apliquen
el Cálculo Integral en la modelación, formulación y resolución de problemas en diversos
contextos, y hagan una evaluación crítica y reflexiva de los resultados.
Sugerimos a los profesores, y estudiantes, de Cálculo Integral del bachillerato, que
usen este material como lo que es: un material didáctico de apoyo. Ningún texto, por sí
solo, resuelve los problemas que conlleva el proceso de enseñanza/aprendizaje del Cál-
culo Integral. Por lo cual, el maestro deberá aplicar toda su experiencia y competencias
docentes para el uso planificado, crítico y selectivo del texto, mientras que el estudiante
deberá desarrollar, con disciplina y con la guía del profesor, su mayor esfuerzo para su
comprensión.
Finalmente les deseamos respectivamente a los alumnos y profesores mucho éxito
en el aprendizaje y enseñanza del Cálculo Integral y esperamos que este libro les ayude
en esta empresa académica. Teniendo siempre presente que el aprendizaje significativo
se logra cuando la bibliografía se transforma en biografía, y que el mejor camino para ello
es la formulación y resolución de problemas matemáticos contextualizados.
Estimables lectores, aunque en esta segunda edición se han corregido la mayoria
de los errores aparecidos en la primera edición, sin embargo, como toda obra humana el
texto sigue siendo suceptible de errores, por lo cual esperamos seguir contando con tu
amable y comprometida colaboración para continuar mejorando este texto en ediciones
futuras, por lo cual les agradecemos de antemano que nos hagan llegar, a la Academia
de Matemáticas de la DGEP-UAS (o la dirección electrónica ylemar@uas.edu.mx, todos
los errores que detecten al momento de su lectura, así como sus criticas y sugerencias
para mejorarlo conjuntamente con ustedes.
Muchas gracias.
ATENTAMENTE :
LOS AUTORES
Culiacán Rosales, Sinaloa, Diciembre de 2012.

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cálculo integral
DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS:
D
edicamos este libro a todos los estudiantes, maestros y maestras que ha-
cen y han hecho, el esfuerzo cotidiano por mejorar la calidad de la educa-
ción en general, y del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en
particular, en las aulas del bachillerato.
En especial a las maestras Laura Olivia Castellanos Pimentel, Laura Victoria López
Peraza, Consuelo Dominguez García y Marina Collazo Bazán y a los maestros Roberto
Martínez Huerta, Benjamín Osuna Hernández, Bernardo Félix Cervantes, Ernesto Raul
Cota Echave, Francisco Guadalupe Aguilar Camarena, José Luis Díaz Aguilera,Baltazar
Perez Cervantes, Gilberto Gil Osuna, Héctor Benjamín Jacobo Cabanillas, Juan Bosco
Higuera López y Octavio Avilez.
Y, particularmente, a nuestras familias, amigos y amigas, que nos brindan el marco
afectivo de apoyo tan necesario para continuar con nuestra ardua tarea docente.

Agradecemos también a los directivos de la Dirección General de Escuelas Prepara-
torias (DGEP) de la Universidad Autónoma de Sinaloa las facilidades para la elaboración
y publicación de esta obra. En particular agradecemos al Dr. Armando Florez Arco por su
paciente y experta revisión técnica del texto.
Esta edición del libro se ha realizado en los talleres gráficos de Once Ríos Editores,
los lectores podrán apreciar la calidad del trabajo que evidencia su profesionalismo, lo
que nos produce gran satisfacción, por tal motivo les expresamos nuestro reconocimien-
to y felicitación.

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cálculo integral
SEMBLANZA
Nombre: Arturo Ylé Martínez
Estudios realizados: Licenciatura, Especialidad y Maestría en Enseñanza de
las Matemáticas, Maestría y Doctorado en Ciencias de la Educación.
Puesto y centro de trabajo: Profesor e Investigador de tiempo completo en la
Coordinación estatal del área de matemáticas en la Dirección General de Escuelas
Preparatorias (DGEP-UAS), y maestro de asignatura en las materias de Cálculo I y
II en la Unidad Académica Esc. Preparatoria Emiliano Zapata de la Universidad Au-
tónoma de Sinaloa.

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UNIDAD DE APRENDIZAJE I
DIFERENCIALES, ANTIDERIVADAS E
INTEGRAL INDEFINIDA
Competencia de unidad: Calcula diferenciales, antiderivadas e integrales in-
definidas inmediatas, y las aplica en la formulación y resolución de problemas
de su vida cotidiana, y de algunas áreas de las ingenierías y las ciencias.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimien-
tos y operaciones aritméticas, algebraicas, geométricas y variacionales, para la com-
prensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos
y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4.- Argumenta y comunica la solución obtenida de un problema, con métodos numéri-
cos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y
el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5.- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
CONTENIDO TEMÁTICO:
1.1 Historia y problemas del Cálculo Integral
1.2. Diferencial de una función: Definición; interpretación geométrica y aplicaciones.
1.3. Antiderivadas o primitivas de una función: Concepto y definición de antideriva-
das o primitivas de una función; propiedades de la primitiva de una función; primiti-
vas inmediatas; la integral como operación inversa de la derivada.
1.4. Integral indefinida: Concepto, definición, notaciones, interpretaciones y propieda-
des de la integral indefinida.
1.5. Aplicaciones de la integral indefinida: Resolución de una ecuación diferencial de
variables separables; Resolución de problemas de física, química, biología y econo-
mía con condiciones iniciales.

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Unidad de aprendizaje I
Diferenciales, antiderivadas e integral indefinida
Actividades de aprendizaje #1:
1) Responde a la siguiente cuestión: ¿Qué es el Cálculo integral?
2) Investiga sobre los antecedentes históricos del Cálculo Integral y repórtaselo a
tu profesor(a) en un trabajo escrito bien presentado de 3 a 6 cuartillas en hoja
tamaño carta. Posteriormente, socializa y comunica en una exposición de clase
los resultados encontrados.
1.1 Historia y problemas del Cálculo Integral
Como complemento de lo que has aprendido en el curso de Cálculo I sobre el cál-
culo diferencial (y las derivadas), en esta unidad estudiarás las integrales y el cálculo
integral. Estos nuevos conocimientos están muy asociados a problemas que han sido
muy importantes para el hombre desde la antigüedad, como son:
◆ El cálculo de las longitudes de “segmentos” no rectilíneos.
◆ El cálculo de áreas y de volúmenes de figuras como las siguientes y para las cua-
les no se conocen fórmulas.
Haciendo un poco de historia, ya desde el siglo V antes de nuestra era, el filósofo y
matemático griego Demócrito de Abdera (460a.C.-370a.C.) calculó longitudes, áreas y
volúmenes considerándolos formados por un gran número de secciones de grosor infini-
tesimal (infinitamente pequeño). Así, por ejemplo, el volumen de un sólido era la suma de
los volúmenes de las secciones (o átomos indivisibles) que componían al sólido.
y = f (x)
x = a x = b

dgep-uas 17
cálculo integral
Tres siglos más tarde, Arquímedes de Siracusa, (287-212 a.C.), notable matemático
e inventor griego que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio,
aritmética y mecánica, utilizó un método denominado de agotamiento o exhaución,
para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polí-
gonos inscritos.
En el siglo XVII, el matemático italiano Francesco B. Cavalieri (1598-1647), regresa
a las ideas de Demócrito y en 1635 publica un tratado en el que describe su método de
los indivisibles, y encuentra formas equivalentes a las actuales para calcular algunas
integrales, algunas de las cuales las aprenderás a calcular en este curso.
De igual modo determinó el área de un seg-
mento de parábola utilizando el método antes
mencionado, y demostró que era 4/3 del área
del triángulo que tiene igual altura que el seg-
mento parabólico. (Figura 1.1). Figura 1.1

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Estimulados por las ideas de Cavalieri, los matemáticos franceses Descartes
(1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) utilizaron el álgebra para encontrar el área
y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos).
Posteriormente en el 1670 el matemático alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716)
demostró que la derivación y la integración son inversas, lo que se conoce como teo-
rema fundamental del cálculo y que también estudiarás en este curso.
Es precisamente Leibniz quien por primera vez hizo uso del actual signo de integral.
El la denotó por una S alargada que se escribe , y la deriva de la primera letra de la
palabra latina Summa que indicaba la suma de los indivisibles de Cavalieri.
1.2 Diferencial de una función
Hasta ahora, hemos representado la derivada de y = f (x) por las notaciones
Fermat, al igual que el teólogo y matemático
inglés Isaac Barrow (1630-1677) tenían la
certeza de que ambos cálculos, o sea el cál-
culo diferencial y el integral estaban rela-
cionados. No obstante, no es hasta el 1660
que el matemático y físico inglés Isaac Newton
(1642-1727), calcula por primera vez un área
mediante el proceso inverso de lo que conoces
como derivación.
En el caso de Fermat se destaca el hecho de que
consideró el intervalo de área bajo una curva para
formar rectángulos circunscritos como los de la fi-
gura 1.2. Suma después las áreas de estos rec-
tángulos, que considera cada vez más pequeños,
y obtiene de este modo el área bajo la curva.
ƒ'(x) = f (x) =
d
dx
dy
dx
Figura 1.2

dgep-uas 19
cálculo integral
En donde el símbolo dx
dy
, no debe considérese como una fracción ordinaria, dy
como numerador y dx como denominador, sino solamente como un símbolo que repre-
senta el límite del cociente:
Sin embargo, existen muchos problemas, en donde es necesario dar interpretación
a dx y dy separadamente. Por ejemplo, hay muchas situaciones, dentro y fuera de las
matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como en las aproximaciones
de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (valor real me-
nos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente
cuando la variable independiente varía “un poco”, etc.
Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las
cercanías del punto de tangencia P (x₀ , f (x₀)), aproximaremos esta diferencia Δy con la
diferencia dy sobre la recta tangente, a la que llamaremos el diferencial de la función
en el punto. (Ver figura 1.3)
Como se observa en la figura 1.3, Δy representa el cambio en la altura de la curva
y= f (x) en tanto que dy representa la variación en la variable independiente (y) a lo largo
de la recta tangente T cuando x varía en una cantidad Δx = dx.
Así, para funciones de una variable y = f (x), se definen respectivamente los incre-
mentos de las variables independiente (x) y dependiente (y) como
y las diferenciales de las variables como:
ƒ'(x) = = lim = lim
dx
dy Δy
Δx
ƒ(x+Δx)-ƒ(x)
ΔxΔx →0 Δx →0
De la figura se observa que la ecuación de
la recta tangente a la curva de la función en
P (x₀ , f (x₀)) es:
de donde:
Mientras que:
y - f (x₀) = f ' (x₀) (x - x₀)
dy = f '(x₀) (x - x₀) = f '(x₀) Δx = f ' (x₀) dx
Δy = f (x₀ + Δx) - f (x₀)
Δx = x - x₀ Δy = f (x₀ + Δx) - f (x₀)
dx = Δx ; dy = f ' (x₀) . dx
f (x0
+∆x)
x0 x0
+∆x=x
∆x
∆y
T
dy
f (x0
)
Figura 1.3

20 dgep-uas
Ejemplos: El diferencial de
Si α es el ángulo que forma la tangente con el eje X, se observa de la figura anterior
que:
A la expresión dy = f ' (x)· Δx = f '(x) · dx se le denomina diferencial de y = f (x) en el
punto P (x, f (x)), y se simboliza también por d f (x).
Propiedades de la diferencial
P1: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: de la abs-
cisa x del punto elegido y del incremento Δx de x.
P2: Al ser dy = f ' (x)· Δx = f '(x) · dx, el diferencial de una función en un punto es
el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en Δx la
abscisa x de dicho punto.
P3: Cuando Δx→0, como Δx= dx, se tiene que:
y = 3x2
- 7x + 2, es: dy = (6x - 7) . dx(a)
y = sen(3x2
- 7) es: dy = 6x . cos (3x2
-7) dx(b)
y = xe3x
, es: dy = (e3x
+ 3xe3x
) dx(c)
d (ln (4x5
+ x -8))=(d) 20x4
+ 1
4x5
+ x - 8
dx
Otra manera de plantear y compren-
der lo anterior, es la siguiente: Sea
una función y = f (x), y dado un punto
de abscisa x, se le suma un peque-
ño incremento (aumento) Δx y se en-
cuentra un punto de abscisa x+Δx.
Se traza la tangente a la curva en el
punto de abscisa x, y desde x+Δx se
levanta una paralela al eje de ordena-
das hasta cortar a la curva y a la recta
tangente.
tan α = f '(x) = dy
Δx
dy = f '(x)· Δx= f '(x) · dx
dy= lim . dx ≈ f (x + ∆x) - f (x) = ∆y
f (x+Δx)-f (x)
Δx →0 Δx
y = f (x)
α
Recta tangente al punto
(x, y)
(Δx → 0) dx
∆y
dyCurva de f (x)
x x + Δx
Y
X

dgep-uas 21
cálculo integral
O sea, cuando Δx→0 el diferencial dy se puede usar para calcular el incremento de
la variable independiente, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.
Problemas y ejercicios de cálculos aproximados utilizando la diferencial:
1. Un móvil se mueve según la relación s= 5t2
+ t, donde s representa el espacio
recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Calcular Δs los
metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 segundos y 7 + 1/3
segundos.
A) Resolución usando el diferencial ds:
Diferenciando la expresión s= 5t2
+ t ds= (10t +1) ∙ dt ,
Por otro lado, Δt = dt = (7 + 1/3) - 7 = 1/3.
Sustituyendo en la expresión de ds : ds = (10 x 7 + 1) . - = 23.66 metros1
3
:
B) Resolución usando el incremento Δs:
Como se observa se ha cometido un error de: _________cm. ¿Por qué?
2. Calcular de manera aproximada el valor de 3.052
.
Resolución usando el diferencial dy: Para encontrar un resultado aproximado de
3.052
se considera la función y = x2
, cuyo diferencial es: dy = 2x · dx. Por la proximidad
de 3.05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x=3 y
se llevará a la expresión del diferencial dy.
En este caso: dx = 3.05 – 3 = 0.05 dy = 2(3)(.05) = 0.30
Por tanto, ya que:
Δs= 5 7 + - + 7 + - - [5 (7)2
+ 7]= 24.22 metros
1
3[
2
1
3 [
dy ≈ f (x + ∆x) - f (x) = ∆y f (x + ∆x) = f (x) + ∆y ≈ f (x) + dy
.·. 3.052
= f (x + ∆x) = f (x) + dy = x2
+ dy = 32
+ 0.30 = 9.30

22 dgep-uas
Si se calcula con exactitud el valor de 3.052
se obtiene:
(3 + 0.05)2
=32
+ 2 (3) (0.05) + (0.05)2
= 9 + 0.30 + .0025 = 9. 3025
Se observa que se ha cometido un error de 25 diezmilésimas.
En este caso podemos considerar que el cálculo aproximado efectuado con el diferen-
cial dy es bastante “bueno”, ¿por qué?
3. Calcula el valor aproximado de 124.7
Resolución usando el diferencial dy: Sea la función . Por tanto:
4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 60 cm y altura 1m, debe reves-
tirse con una capa de concreto de 2 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente
la cantidad de concreto que se requiere?
Como: h = 1m = 100 cm, entonces, V (r) =100 cm π r2
. Por lo tanto: dV =200 πr dr.
Si sustituimos r = 60 y dr = 2, en dV, obtenemos:
dV =200 πr dr = 200 (3.1416)(60)(2) = 75394. 4 cm3
≈ ∆V
Resolución: La cantidad de concreto requerida es
la diferencia ∆V entre el volumen del cilindro exte-
rior y el cilindro interior como lo podemos observar
en la figura de la derecha. Como la fórmula para
calcular el volumen del cilindro es V = π r2
h, calcu-
laremos ∆V a través del diferencial dV.
f (124.7) = f (125 + (–0.3)) = f (x + ∆x) = 124.7 ≈ f (x) + dy
de donde: x =125 ; ∆x = dx = −0.3 ; dy = f '(x) ∙ dx = - x dx = =
sustituyendo en:
f (x + ∆x) = ≈ f (x) + dy = + = 5 + = 4.996
se determina que: ≈ 4.996
3
1 3
-2
dx
124.73
1253 −0.3
( 1253
3 )2
−0.3
75
124.73
3
f (x) = x3
3
dx
( x23
3 ) ( x3
3 )2

dgep-uas 23
cálculo integral
Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito ci-
líndrico.
5. Una persona tiene un tumor de forma esférica. Calcula el incremento aproxima-
do del volumen del tumor cuando el radio aumenta de 3 a 3.1 cm.
Resolución: Como el volumen de una esfera se calcula con la fórmula V = — πr3
4
3 , en-
tonces:
∆V ≈ dV = V'(r) . dr = 4πr2
dr= 4 (3.1416)(3)2
(0.1) = 11.3 cm3
1. Completa la siguiente tabla considerando la función f (x) = 3x2
:
¿Cómo varia ε a medida que ∆x→ 0 ? ¿Por qué?
2. Calcula el diferencial dy = f '(x) · dx de las siguientes funciones:
x ∆x ∆y = f (x + ∆x) - f (x) dy= f ' (x) dx ε = | ∆y - dy |
5 1.0
5 0.5
5 0.3
5 0.1
5 0.01
5 0.001
y = — + x21
x
3
b)
y = x 2 + x( (c)
y = 0.8 x5
- 3 x + 5a)
y = x 4
1+ x( (d)
e)
f)
g)
h)
i)
y = — x - — x + x0
j)
3
33
5
2
7
y = 9x2
- tan x + 4k)
y =— 16 - x2
l) 5
4
y = 55x
x4
- 2m)
f (x) =n) 1 - 2x
5 + 6x
y =
x + x
x
y =
3
x + 3
2x - 1
y =
1- x
x
y =
5
x2
- 1
3x2
+ 5x-1
y =
2
x2
- 1
sen 5x3
+3 x

24 dgep-uas
3. De la función f (x) = 3x2
- 3x + 6, determina en el intervalo desde x=5 hasta
x=5.8: (a) el incremento y el diferencial de x. (b) el incremento y el diferencial
de y = f (x). (c) La diferencia ε = | ∆y - dy |.
4. Un móvil se mueve según la relación s= 6t2
+ 2t +1, donde s representa el espacio
recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Calcula, usando
Δs y ds, los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 5 y 5.09
segundos. Y determina el error cometido al usar ds.
5. Calcula de manera aproximada el valor de 12.083
. Determina la magnitud del
error respecto al cálculo directo.
6. Calcula el valor aproximado de 49.15
7. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 4 m, si
éste recibe un aumento en sus lados de 10 cm.
8. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 80 cm y altura 1.5 m, debe
revestirse con una capa de concreto de 2.5 cm de espesor. ¿Cuál es aproxima-
damente la cantidad de concreto que se requiere?
9. Una persona tiene un tumor de forma esférica. Calcula la variación aproximada
del volumen del tumor cuando el radio disminuye de 3 a 2.5 cm.
10. El volumen de un cascaron esférico es el incremento del volumen de una esfera
al variar su radio. Calcula el volumen de un cascaron esférico de una esfera
cuyo radio interior es de 10 cm y cuyo espesor es de 0.5 cm.
11. Suponiendo que u y v son funciones derivables de x, y considerando que por
definición du = u'dx y dv = v' dx, demostrar, en equipo de 3 a 5 integrantes, las
siguientes fórmulas de diferenciales, y comunicar los procesos de resolución en
una exposición de clase:
y = cos 2x-—x3
o)
2
1
3
p) y = −10e4x
(cos x2
-3)
q) y =20ex
(e-2x
+ x )3
y =r) cos 1- x( (
sen ex
+ 1( (
s) y=5 csc x2
·ctg x
t) y =2 3x2
- 2x3
+ 5
u) 1 - 2x
5 + 6x
y = tan
v) y= csc x +csc 5x2
4
5
y = ln sen x - 1(x) (
2
y = + 0.25e4xw) ln x8
8
y = e3x
+ log x- e3x
- log x(y) (( (
z) 9x + ln x
x
y = 3
d(ku) = k du ; k es una constante d (u ± v) =du ± dv
d(u·v) = u · dv + v · du d (cos u) = – sen u · du
d(un
) = nun-1
· du d (sen u) = cos u · du
d (tan u) = sec2
u · duu
v
v· du- u· dv
v2d =

dgep-uas 25
cálculo integral
1.3 Antiderivadas o primitivas de una función
Del curso anterior de Cálculo Diferencial sabes que dada la función f (x) = x3
, la pri-
mera derivada de esa función es f '(x) = 3x2
. Esta operación de calcular la derivada de una
función dada se llama derivación.
¿Mediante qué operación se podrá obtener x3
de 3x2
? ¿Existirá también una opera-
ción inversa para la derivación? ¿De qué función resulta la función derivada f '(x) =5x4
?
Como has visto en las referencias históricas, sí existe una operación inversa para la
derivación, que en esta unidad vas a aprender, y a la que se denominará integración.
Así pues el problema de la integración como operación inversa de la derivación está
íntimamente ligado al problema de encontrar una función desconocida F conocida su
derivada. A esta nueva función se le denomina antiderivada o primitiva de la función
dada.
Sea f (x) definida sobre un intervalo I. La función F definida sobre I es una
antiderivada o función primitiva de f si F ' (x) = f (x), para cada x ∈ I.
Ejemplo: F (x) = x3
es una antiderivada o primitiva de la función f (x) = 3x2
porque
F '(x) = (x3
)= 3x2
para todo x ∈(–∞, ∞).
Ejemplos resueltos:
a) F (x) = — x31
3
es una antiderivada o primitiva de la función f (x) = x2
en (–∞, ∞),
puesto que
'
F '(x) = — x3
=— x2
= x21
3
3
3
para cada x ∈ ℜ.
b) La función 1
3F (x) = - x3
+ 5 es también una antiderivada o primitiva de la función
f (x) = x2
en (–∞, ∞), puesto que 1
3
'
F '(x) = — x3
+ 5 = x2
que para cada x ∈ ℜ.
c) La función F (x) = x es una antiderivada o primitiva de la función 1
2 x
f (x) = en
(0, ∞), puesto que F ' (x) = x =' 1
2 x( ) .
En los incisos a) y b) puedes apreciar que la antiderivada o función primitiva de una
función dada no es única, pues se ha obtenido para una misma función dada dos funcio-

26 dgep-uas
nes primitivas distintas que solo difieren en una constante. De aquí se infiere el siguiente
teorema:
Demostración del Teorema 1: (F(x) + c)'= F'(x) + (c)'=
f (x)+0 = f (x)
Sobre el cálculo de primitivas de una función es importante que conozcas que no
siempre es fácil determinar una primitiva de una función dada, no obstante si la función f
es continua en el intervalo I, se puede afirmar que la antiderivada o primitiva existe
aunque no podamos calcularla.
Por lo antes planteado el teorema anterior tiene una gran importancia pues significa
que cada función continua en un cierto intervalo dado, tiene infinitas antiderivadas
o primitivas.
De igual modo se cumple que si F (x) y G (x) son dos antiderivadas de una fun-
ción f (x) sobre el intervalo I, entonces F (x) - G (x) = c en I, donde c es una constante.
Esta propiedad no será demostrada en este curso, pero sí la vamos a utilizar cuando sea
necesario.
El recíproco de este teorema también es muy útil en el trabajo con primitivas, pues si
dos funciones difieren en una constante entonces son antiderivadas de una misma
función, ya que sus derivadas son iguales.
En este curso nos limitaremos a determinar antiderivadas o primitivas para funciones
elementales estudiadas en cursos anteriores. Para ello es necesario que conozcas algu-
nas primitivas que se pueden calcular de manera inmediata como las que aparecen en el
recuadro siguiente y que, al igual que hiciste con las reglas de derivación, debes lograr
memorizarlas mediante la realización de una cantidad suficiente de ejercicios.
Teorema 1. Si F(x) es una antiderivada o función primitiva de y= f (x) so-
bre I, entonces F (x) + c es también una primitiva de y= f (x), donde c es
un número real cualquiera (constante).
Teorema 2. En cada intervalo donde están definidas las funciones y = f (x),
una antiderivada o primitiva F de la función:
a) f (x) = xn
es
b) f (x) = sen x es F (x) = - cos x
c) f (x) = cos x es F (x) = sen x
d) f (x) = ex
es F (x) = ex
F (x) = si : n ≠ -1
F (x) = ln x si : n = -1 y x > 0
n + 1
1 xn + 1

dgep-uas 27
cálculo integral
Demostración del Teorema 2:
a) x n+1
= (n + 1)xn+1-1
= xn
n+1n + 1
1 1'
Si n = − 1, entonces F(x) = ln x pues = — = x -1(ln x)' 1
x
b) (- cos x)' = - (cos x)' = - (-sen x) = sen x
c) (sen x)'= cos x
d) (ex
)'= ex
Ejemplos resueltos. Determina todas las antiderivadas o primitivas F de:
a) f (x) = x-2
b) f (x) = sen x c) f (x) = ex
Resolución:
a) Por el teorema 2a, una primitiva de x -2
en cualquier intervalo donde esté definida
es:

Y como todas las primitivas se obtienen sumando una constante, luego las primitivas
de x-2
son: F (x) =– - + c1
x .
b) Por el teorema 2b una antiderivada es -cos x, y como todas las primitivas se
obtienen sumando una constante, entonces: F (x) = - cos x + c
c) Por el teorema 2c una antiderivada es ex
, y como todas las primitivas se obtienen
sumando una constante, entonces: F (x) = ex
+ c
Actividades de Aprendizaje #3:
1. Determina cuáles de las siguientes funciones son antiderivadas o primitivas de la
función f (x) = (x +1)2
en ℜ.
a) 1
3
F (x) = — (x+1) + 3 b) 1
3
F (x) = — (x+1)3
+ 5
c) F (x) = 3 (x+1)3
+5 d)
-2 + 1
1
x-2+1
= - x -1
= - —1
x
1
3
F (x) = — x3
+ x2
+x + 1

28 dgep-uas
2. Comprueba en cada caso, si F (x) es una primitiva de f (x) en el intervalo dado.
a) F (x) = — sen 3x1
3
, f (x) = cos 3x en ℜ
b) F (x) = 2x3
- 8 , f (x) = 6x2
- 8 en ℜ
c) F (x) = 3 + cos x , f (x) = – sen x en ℜ
d) F (x) = 2x + e3x
, f (x) = 2 + 3e3x
en ℜ
e) F (x) = cos 2x + sen x , f (x) = cos x –2 sen 2x + 3x en ℜ
f) , en ℜ+
g) F (x) = lnx2
+ ln x + 3 , en ℜ+
3. Determina una primitiva de las siguientes funciones.
a) y= x3
b) y= sen x c) y= x-3
d) y= cos x
e) y=
x3
+ x2
x + 1
f) y= ex
g) y= 1
x- , x > 0 h) y= cot x sen x
4. Determina todas las primitivas de las siguientes funciones.
a) y= cos x b) y= x-7
c) y= ex
d) y= sen x
e) y= 3 f) y= e2x
+ 1
ex
+ 1 g) y= sen 2x
2 cos x h) y= x2
(x+ 1) - x2
5. Dadas las funciones primitivas de la función f (donde: c es una constante), determina
dicha función.
a) F (x) = 3x2
+ 5x + c
b) F (x) = ex
+ cos x + c
c) 1
xF (x) = 3x2
- + c
d)
e)
f) F (x) = ex
+ ln x - 3x6
+ c
1
x
f (x) = —
3
xf (x) = —
x2
4
3
4
3
F (x) = 5x + - x3
+ x4
+ c
1
x2F (x) = —
x
5
2
xF (x) = 4 sen x - 4 x3
+ - + c

dgep-uas 29
cálculo integral
1.4. Integral indefinida
Como ya sabes, el problema de la integración como operación inversa de la deriva-
ción está íntimamente ligado al problema de encontrar una antiderivada o función primi-
tiva de la función dada, o sea encontrar la función conocida su derivada.
Este paso de la función derivada a sus primitivas es una operación llamada integra-
ción, que es la inversa de la derivación. Esta operación de integración se denota con
el símbolo ∫.
Entonces si F es una primitiva de f, o sea F'(x) = f (x), F (x) se denota por ∫ f (x) dx y
se le llama integral indefinida. Por eso, al cálculo de primitivas se le llama cálculo de
integrales o integración.
Las partes que componen el símbolo de la integral indefinida son:
En general, si F (x) es una de las antiderivadas o primitivas de f (x), podemos escri-
bir ∫ f (x) dx = F ( x) + c, teniendo en cuenta que dos primitivas de una misma función se
diferencian en una constante que en este caso la hemos llamado c.
Utilizando la simbología establecida y los resultados del teorema 2 del epígrafe 3,
podemos resumir en la siguiente tabla las reglas o fórmulas para la integración de algu-
nas funciones conocidas y que llamaremos integrales inmediatas. Mientras que otras
fórmulas que aparecen en la tabla se infieren lógicamente de las fórmulas de derivación,
y pueden ser demostradas siguiendo las ideas de la demostración del teorema 2.
Integral indefinida
∫f (x) dx
El símbolo de
integral:∫
dx es el diferencial de x, e indica que
x es la variable con respecto a la cual
f es derivada, y f (x) se llama funcion
subintegral
f (x) dx es el
integrando
La expresión ∫ f (x) dx = F (x) + c se llama integral indefinida de f

30 dgep-uas
Ejemplos resueltos de cálculo de integrales indefinidas inmediatas:
a) Fórmula 2.
b) Fórmula 7.
c) Fórmula 8.
d) Fórmula 11.
e) Fórmula 14.
1. ∫ k dx = k x + c
2. ∫ xn
dx = + c (n ≠ -1)xn+1
n+1
3. ∫ x-1
dx =∫ dx = ln |x|+ c1
x
4. ∫sen x dx = – cos x + c
5. ∫cos x dx = sen x + c
6. ∫sec2
x dx = tan x + c
7. ∫csc2
x dx = – cot x + c
8. ∫sec x tan x dx = sec x + c
9. ∫csc x cot x dx = –csc x + c
10. ∫ex
dx = ex
+ c
11. ∫ ax
dx = + cax
ln a
12. ∫ = arc tan + cdx
a2
+ x2
1
a
x
a
13. ∫ = arc sen + cdx
a2
- x2
x
a
14. ∫ = arc sec + cx
a
dx
x x2
- a2
1
a
Tabla: Fórmulas de Integrales Indefinidas Inmediatas
∫ x dx = ∫ x dx = + c = x + c
1
2
3
22
31
2
+ 1
x +1
1
2
∫ = ∫ dx = ∫ csc2
dx = − cot x + c
dx
sen2
x
1
sen2
x
∫ dx = ∫ dx= ∫ dx = ∫ sec x tan x dx = sec x+ csen x
cos2
x
sen x
cos x cos x
1
cos x
sen x
cos x
∫ 5x
dx = + c5x
ln 5
∫ = arc sec + cx
4
dx
x x2
-16
1
4

dgep-uas 31
cálculo integral
Como el proceso de calcular integrales o de integración es inverso del de deriva-
ción, muchas de sus propiedades se deducen inmediatamente de las propiedades de las
derivadas, como veremos a continuación en el siguiente teorema.
Demostración del teorema 3:
P1) Por definición:
Luego: ∫k f (x) dx = k ∫ f (x) dx
P2) Por definición:

∫( f (x) + g (x) ) dx = ( f (x) + g (x)) = f (x) + g (x)[ ['

∫( f (x) dx + ∫g (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx = f (x) + g (x)[ ['
[ ['
[ ['
Luego: ∫ ( f (x) + g (x)) dx = ∫ f (x) + ∫ g (x) dx
P3) Sea F (x) una primitiva para f (x), entonces:

Teorema 3. Si f (x) y g (x) son funciones continúas, se cumplen en la inte-
gral definida las siguientes propiedades:
P1) Toda constante k que sea factor de la función subintegral puede
ponerse como factor fuera del signo de integración:
∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx
P2) La integral de una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de
la integral de cada uno de los sumandos:
∫ (f (x) ± g (x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx
P3) Si F(x) es una primitiva para f (x), y a es una constante, entonces:
∫ f (ax + b) dx = — F (ax + b)1
a
∫k f (x) dx = k f (x)[ ['
k∫f (x) dx = k ∫ f (x) dx = k f (x)[ ['
[ ['
y
— F (ax + b) = — F (ax + b)[ ['1
a
1
a [ ['
= —(ax + b)' F '(ax + b) Aplicando regla de la cadena
1
a
= — a F '(ax + b) = f (ax + b)1
a

32 dgep-uas
Las igualdades del teorema 3 son igualdades entre primitivas, es decir, significa que
ambos miembros de la igualdad tienen la misma derivada. En otras palabras, la igualdad
se interpreta en el sentido de que ambos miembros son primitivas de una misma función,
es decir, difieren en una constante.
Combinando las propiedades de la integral indefinida del teorema 3 con el uso de
la tabla de fórmulas de integrales indefinidas inmediatas vista anteriormente, se pueden
calcular integrales indefinidas un poco más complicadas como se muestra en los siguien-
tes ejemplos resueltos:
P1 del teorema 3.
b) P2 del teorema 3.
c)
d) P2 y P3 del teorema 3.
e) P3 del teorema 3.
f)
g)
1. Calcula las siguientes integrales indefinidas.
a) ∫ x6
dx b) ∫ 4x3
dx
c) ∫ x-3
dx ; (x ≠ 0 ) d)
e) ∫6 sen x dx f) ∫(sen x + cos x) dx
g) ∫ 3x-1
dx ;(x > 0) h) ∫ (3x2
- 4x + 7) dx
i) ∫ (ex
+ 6) dx j)
∫ x dx
1
3
a) ∫3x2
dx = 3∫ x2
dx =3 + c = x3
+ cx2+1
3
∫(x2
+ x + 1) dx =∫x2
dx+∫x dx +∫dx = —x3
+ — x2
+ x + c1
3
1
2
∫(3x-2
+ 2 sen x) dx =∫3x-2
dx+∫2 sen x dx = 3∫x-2
dx + 2∫sen x dx
= 3 ( —x-1
)+ 2(−cos x) + c =−3 x-1
− 2 cos x + c1
-1
∫(x2
+ e2x
) dx = —x3
+—e2x
+ c1
3
1
2
∫10 sen (3x+1)dx = - — cos (3x + 1)+ c10
3
∫ (2x + 1) dx = ∫(2x + 1) dx = — ∙ — (2x + 1) + c )= — (2x + 1) + c1
2
2
3
1
2
3
2 1
3
3
2
∫ e2x
-- + dx = ∫e2x
dx -4∫— dx + 3 ∫ dx = — e2x
- 4 ln x + arc tan - + cx
3
1
x9 + x2
3
9 + x2
1 1
2
4
x
1
x∫ (6x2
+ x + — ) dx (x > 0)

dgep-uas 33
cálculo integral
k) ∫ (2x + ex
) dx l) ∫ (6x2
+ 8x - sen x) dx
m) ∫ x (2x + 1) dx n) ∫ (x - 5)2
dx
ñ) ∫ x (1- x2
) dx o)
p) ∫ dxx2
+ 6x + 5
2
q)
r) s) ∫(ex
+ tan x cos x) dx
t) ∫(sen2
x + sen x + cos2
x) dx w) ∫e-2x
(e2x
- e-2x
) dx
2. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a) ∫ (3x - 1)2
dx b) ∫ sen 3x dx
c) ∫ ( e5x
+ sen 6x) dx d)
e) ∫ cos (2x + 1) dx f)
3. Escribe en cada caso, dos antiderivadas o primitivas de.
a) ∫ -3 dx b) ∫ 4x dx
c) d)
e) ∫5a2
x3
dx f) ∫ (6x2
+ 8x + 3) dx
g) ∫ x (x + 3) dx h) ∫ (x + 2) (x + 5) dx
i) ∫ (a + bx2
)2
dx j)
k) l) ∫(cos 2x + sen 3x) dx
m) n) ∫ dxx2
-49
x + 7
ñ) ∫(5e-3x
+ sen x) dx o)
∫ dx (x > 0)x6
+ 3x5
- 6x + 1
x2
∫ dx (x >- -)3
22x + 3
1
3
∫ x dx
∫ e-4x
+ (2x - 1)3
dx[ [
∫ - x2
dx1
3
∫- dx1
x3
∫ x (1-x2
) dx
∫ (x3
+ x-2
+ - + x5
) dx1
5
3
∫ dt5t2
- 3t
t
∫ dx4 sen 2x
cos x
∫ dxsen2
x + cos2
x
x

34 dgep-uas
4. Sin integrar, comprueba si son válidos los siguientes resultados.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1.5. Aplicaciones de la integral indefinida
En la resolución de muchos problemas de la ingeniería y las ciencias, tales como
física, química, biología, economía y por supuesto de matemáticas, se hace necesario
determinar una antiderivada o función primitiva particular que cumpla con ciertas condi-
ciones iniciales, lo cual es equivalente a calcular un valor particular de la constante de
integración c de una familia, o conjunto, de antiderivadas.
Ejemplo (1): Determinar una función y = f (x) cuya derivada sea f '(x) = 2x y que f (3) = 6.
Resolución: con lo estudiado hasta aquí se sabe que con la integral indefinida
podemos determinar dicha función primitiva y = f (x). Ya que:
∫2x dx = 2∫ x dx = + c = x2
+ c.2x2
2
Entonces, la antiderivada o función primitiva general (o integral indefinida) de
f ' (x) = 2x es : y = f (x) = F(x)= x2
+ c.
Y en consecuencia:
f (3)= F (3)=32
+ c = 6 ⇒ c = -3 ∴ y = f (x) = x2
-3
∫(x3
-sen x) dx = - x4
- cos x + c1
4
∫ x dx= — x3/2
+ c3 2
3
∫sen ax cos ax dx = + csen 2ax
2a
∫ =- + cdx
x3
1
2x2
∫( x x -2 x )dx = - + c1
2
x5/2
5
4x3/2
3
∫ = - ln (e2x
+ 1) + c1
2
e2x
dx
e2x
+ 1
∫ dx =ln (1- cos x) + csen x
1- cos x
∫ dx = - - x + ln (x + 1) + cx2
2
x2
+ 2
x + 1

dgep-uas 35
cálculo integral
En la figura 1.4 de abajo se puede observar que para cada valor particular de la
constante de integración se obtiene una antiderivada particular, por lo cual se dice
que F(x)=x2
+c define una familia de antiderivadas o curvas particulares. Así, podemos
afirmar que la parábola con vértice en el origen y = x2
, resulta de la primitiva general
F(x)=x2
+c para el caso en que c = 0.
En el proceso de resolución anterior se determinó la función primitiva particular
y = x2
- 3 a partir de conocer ciertas condiciones iniciales de la misma, tales como:
f '(x) =2x y f (3)=6.
Ahora bien si aplicamos el concepto de diferencial, entonces este proceso de resolu-
ción puede desarrollarse y ser interpretado también de la siguiente manera:
Donde: la expresión
dy
dx
= 2x se denomina ecuación diferencial, cuya solución ge-
neral es precisamente la función y = x2
+ c, tal que, f '(x)=2x.
En general, una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o
diferenciales, y su solución es una función primitiva cuyas derivadas o diferenciales son
F (x) = x2
+ -3
2
F (x) = x2
F (x) = x2
-3
- 3
- 6
Figura 1.4
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
F (x) = x2
-2π
1
2
3
4
5
6
- 1
- 2
- 4
- 5
y
x
- 6
- 3
= f '(x)= 2x ⇒ dy = 2x dx Despejando el diferencial dy
⇒ ∫ dy = ∫ 2x dx ⇒ y = x2
+ c integrando
de donde: y = 6 = 32
+ c ⇒ c = -3
∴ y = x2
-3
dy
dx

36 dgep-uas
precisamente los que aparecen en dicha ecuación. Y un problema con valor inicial es un
problema donde se debe resolver una ecuación diferencial, sujeta a una condición inicial
dada, como la del ejemplo (1).
Ejemplo (2): Determina la función y = f (x) tal que f ' (x)= —1
x y f (1) = 2.
Resolución: Sabemos de la tabla de integrales indefinidas inmediatas que la
primitiva general de f ' (x)= —1
x es: F (x) = ln x + c.
Para determinar el valor de c, sustituimos para x = 1 en la primitiva general:
F (1)= ln (1) + c = 0 + c = 2, luego c = 2, y f (x) = ln x + 2.
Ejemplo (3): Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial
de 85 m/seg desde una plataforma de 15 m de altura. Calcular la altura a la que se en-
cuentra la pelota, con relación al nivel del suelo, después de 4 segundos de haber sido
lanzada.
Resolución:
Si h(t) representa la altura de la pelota a los t seg con relación al nivel del suelo,
entonces lo que debemos determinar es h(4), para ello debemos recordar que
en este caso la aceleración que experimenta la pelota durante su movimiento es
la de la gravedad, por tanto, dado que a (t) = v '(t) = - 9.8 m/ seg2
, entonces:
v (t) = ∫ v' (t) dt = ∫-9.8 dt = -9.8t + c
Pero, cuando t= 0, la velocidad inicial de la pelota es 85 m/seg, de donde:
v (0) = -9.8 (0) + c = 85 ⇒ c = 85
Además, como: h'(t) = v(t) = -9.8 t + 85
⇒ h(t)= ∫ v(t)dt = ∫(-9.8t + 85)dt = -4.9 t2
+ 85t + c
Pero, cuando t = 0, la altura de la pelota es la de la plataforma, o sea:
h (0) = -4.9 (0)2
+ 85 (0) + c = 15 ⇒ c = 15 ∴ h(t) = -4.9t2
+ 85 t + 15
Por tanto: h(4) = -4.9 (4)2
+ 85 (4) + 15 = 276.6 m.

dgep-uas 37
cálculo integral
Ejemplo (4): A través de una investigación se ha determinado que la población P(t) de
una colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene una razón de
cambio de P '(t)= 200 e0.1t
+ 150 e-0.03t
. Si la población era de 200,000 bacterias cuando ini-
cio la observación, ¿Cuál será la población 10 horas después?
Resolución: para determinar la función de población se resuelve la siguiente
ecuación diferencial

dP(t)
dt
= P '(t) ⇒ dP(t)= P '(t) dt ⇒ ∫ dP(t)= ∫ P '(t) dt

⇒ P(t)= ∫(200 e0.1t
+ 150 e-0.03t
) dt = 2000 e0.1t
- 5000 e-0.03t
+ c
Ya que para t = 0, se tiene que P (0) = 200, 000, entonces:
P(0) = 2000e0.1(0)
- 5000e-0.03(0)
+ c = 200, 000 ⇒ c = 203, 000
Por lo cual, P(t) = 2000e0.1t
- 5000 e-0.03t
+ 203, 000
Y después de 10 horas, la población de bacterias será de:
P(10) = 2000e0.1(10)
- 5000e-0.03(10)
+ 203,000 ≈ 204, 732
1. Determina la primitiva G de g tal que G ( 0 ) = 1.
a) g (x) = x4
b) g (x) = cos x c) g (x) = sen x
d) g (x) = ex
e) f) g (x) = ex
+ cos x
2. Determina una primitiva F de f bajo las siguientes condiciones.
a) x2
- 1
x + 1
f (x) = + 1 ; c = 0 b)
c) d)

1
xg (x) = —
e2x
- 4
ex
+ 2
f (x) = + 2 ; c = 0
xe5
+ e5
e5f (x) = - 1 ; c = 1 2
3f (x) = (x + 3) (x - 3)+ 9 ; F (2) =

38 dgep-uas
3. Determina una función cuya derivada sea y que f (1) = 8.
4. Determina la función y = f (x) cuya tangente tiene una pendiente de 3x2
+ 1 para cada
valor de x, y cuya gráfica pasa por el punto P (2,6).
5. Un fabricante estima que el costo marginal por producir x unidades de cierto produc-
to es C'(x) = 3x2
-24x+48 pesos por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades
es de $6000.00, ¿cuál es el costo de producción de 40 unidades?
6. Desde un edificio de 40 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una pelota
con una velocidad inicial de 90 m/seg. Calcular: (a) la altura a la que se encuentra
la pelota, con relación al nivel del suelo, después de 3 y 6 segundos de haber sido
lanzada, y (b) el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.
7. Un automóvil viaja en línea recta a 90 km/h en el instante en que el conductor se ve
forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan una
desaceleración constante de 20 m/s2
, ¿qué distancia recorre el automóvil antes de
detenerse por completo?
8. Un minorista recibe un cargamento de 10 toneladas de arroz que se consumirán en
un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2 toneladas por mes. Si los costos de
almacenamiento son 20 centavos por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista
en costos de almacenamiento durante los próximos 5 meses?
9. A través de una investigación se ha determinado que la población de P (t) una co-
lonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene una razón de
cambio de P '(t) = 300 e 0.2t
+ 250 e -0.04t
. Si la población era de 150,000 bacterias cuando
inicio la observación, ¿Cuál será la población 15 horas después?
10. Se ha estimado que dentro de t meses la población de una cierta ciudad cambiará a
razón de personas por mes. Si la población actual es 10,000, ¿Cuál será la
población dentro de 1 año?
3
4 + 5 t2
2
x2f '(x)= 4x3
- +7

dgep-uas 39
UNIDAD DE APRENDIZAJE II
MÉTODOS Y TÉCNICAS
DE INTEGRACIÓN
Competencia de unidad: Demuestra las fórmulas básicas de integración y
calcula reflexivamente integrales indefinidas mediante la aplicación y análisis
de fórmulas y diversos métodos y técnicas de integración.
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimien-
2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos
4.- Argumenta y comunica la solución obtenida de un problema, con métodos numéri-
cos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y
el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5.- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
2.1. Uso de tablas y formularios de integración
2.2. Métodos de Integración
2.2.1 por cambio de variable
2.2.2 integración por partes
2.2.3 integración por sustitución trigonométrica
2.2.4 integración por fracciones parciales
2.3. Aplicaciones de la integral indefinida

unidad IIcálculo integral
40 dgep-uas
Unidad de aprendizaje II
Métodos y técnicas de integración
2.1. Uso de tablas, formularios y propiedades de integración
Combinando la tabla de integrales indefinidas inmediatas con los resultados del teo-
rema 3 estudiados en la unidad de aprendizaje 1, y considerando que u = f (x), obtene-
mos la siguiente tabla de fórmulas y propiedades de las integrales indefinidas.
1. ∫ k dx= k x + c
2. ∫ xn
dx= + c (n≠-1)xn+1
n+1
4. ∫ sen x dx = - cos x + c
3. ∫ x-1
dx=∫ dx= ln |x| + c1
x
5. ∫ cos x dx = sen x + c
6. ∫ sec2
x dx = tan x + c
7. ∫ csc2
x dx = -cot x + c
8. ∫ sec x tan x dx = sec x + c
15. ∫ tan u du = ln |sec u|+ c
16. ∫ cot du = ln |sen u|+ c
17. ∫ sec u du = ln |sec u + tan u|+ c
18. ∫ csc u du = ln |csc u - cot u|+ c
9. ∫ csc x cot x dx = - csc x + c
10. ∫ ex
dx = ex
+ c
11. ∫ ax
dx = + cax
ln a
12. ∫ = arc tan + cdx
a2
+ x2
1
a
x
a
13. ∫ = arc sen + cx
a
dx
a2
-x2
14. ∫ = arc sec + cx
a
dx
x x2
- a2
1
a
29. ∫ au
du = + cau
ln a
30. ∫ = arc tan + cdu
a2
+ u2
1
a
u
a
31. ∫ = arc sen + cu
a
du
a2
-u2
35. ∫ = ln | u+ |+ cdu
u2
±a2 u2
±a2
1
a
32. ∫ = arc sec + cu
a
du
u u2
- a2
19. ∫ du = u + c
20. ∫ un
du= + c (n≠-1)un+1
n+1
22. ∫ sen u du = - cos u + c
23. ∫ cos u du = sen u + c
24. ∫ sec2
u du = tan u + c
25. ∫ csc2
u du = -cot u + c
26. ∫ sec u tan u du = sec u + c
27. ∫ csc u cot u du = - csc u + c
28. ∫ eu
du = eu
+ c
21. ∫ u-1
du=∫ du= ln |u| + c1
u
33. ∫ = ln | |+ cdu
u2
- a2
1
2a
u-a
u+a
34. ∫ = ln | |+ cdu
a2
- u2
1
2a
a+u
a-u

arturo yle martínez
dgep-uas 41
cálculo integral
P1: ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ; k es una constante
P2: ∫ (f (x) ± g (x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx
P3: ∫ f (ax + b) dx = F (ax + b) + c ; siempre que : F ' (x) = f (x)1
a
Las tablas, junto con los métodos y técnicas de integración que se estudiarán en el
epígrafe siguiente, servirán para calcular integrales inmediatas y no inmediatas. Todas
las fórmulas de la tabla anterior pueden ser demostradas a partir de la definición de
antiderivada o función primitiva de la función f (x) que se está integrando. O sea:
∫ f (x) dx = F (x) + c es verdadera, si y solo si, (F (x) + c)' = f (x)
Por ejemplo: Las fórmulas 6 y 20 son verdaderas o válidas ya que de las fórmulas
de derivación se sabe que si u = u(x), entonces
(tan u + c)' = (tan u)' + (c)' = sec2
u . u'
De donde: ∫ sec2
u ∙ du = ∫ sec2
u . u' (x) dx = ∫ (tan u +c)' dx = tan u + c Fórmula 24
En particular: (tan x + c)' = (tan x)' + (c)' = sec2
x ∙ (x)' + 0 = sec2
x ∙ (1) = sec2
x
De donde: ∫ sec2
x dx= tan x + c Fórmula 6
Actividades de aprendizaje # 6:

En los siguientes ejemplos del uso de la tabla y fórmulas de integración haz el es-
fuerzo individual y colectivo de comprender y explicar cada uno de los pasos del
proceso de resolución de cada una de las integrales resueltas.
1
2
a) ∫(3x2
+ x ) dx =∫3x2
dx+∫ x dx=3∫x2
dx+∫x dx = 3 + +c =x3
+ x +c2
3
x2+1
2 + 1
x
1
2 +1
1
2
+1
3
2
c) ∫ = ∫ dx =∫ sec2
x dx = tan x + cdx
cos 2
x
1
cos 2
x
d) ∫ dx = ∫ dx =∫ dx =∫csc x cot x dx = -csc x + ccos x
sen2
x
1 · cos x
sen x · sen x
1
sen x
cos x
sen x
5x
ln 5
e) ∫(5x
+ 4ex
- 1) dx = ∫ 5x
dx + ∫ 4ex
dx - ∫ dx = + 4ex
- x + c
b) ∫ dx = ∫ ( x +2) + dx =∫ x dx +∫ 2 dx + ∫ = x2
+ 2x + 3 ln|x-1| + c1
2
x2
+ x + 1
x - 1 [ 3
x - 1
[ 3 dx
x - 1

42 dgep-uas
3
x2f) ∫ + 2 sen x dx = ∫ 3x-2
dx + ∫ 2 sen x dx = 3 ∫ x-2
dx + 2 ∫ sen x dx
1
-1
= 3 ∙ x-1
+ 2 (-cos x) + c = - 3x-1
- 2 cos x + c
g) ∫(x2
+ e2x
)dx = ∫ x2
dx + ∫ e2x
dx = x3
+ e2x
+ c1
3
1
2
h) ∫10 sen (3x +1)dx = 10∫sen (3x + 1)dx =- cos (3x + 1) + c10
3
1
2
i) ∫ (2x +1 dx = ∫(2x + 1) dx = . (2x + 1) + c = (2x + 1) + c1
2
2
3
3
2 1
3
3
2
3
9 + x2
j) ∫ e2x
- + = ∫ e2x
dx - ∫ dx + ∫ dx = e2x
- 4 ln x + arc tan + c4
x
4
x
3
9 + x2
1
2
x
3
k) ∫ =10∫ = arc sec + c = 2 arc sec + c10 dx
x x2
- 25
dx
x x2
- 25
10
5
x
5
x
5
o) ∫ = ∫ =∫ = ∫dx
cos x - 1
(cos x + 1) dx
(cos x - 1)(cos x + 1)
(cos x + 1) dx
cos2
x - 1
(cos x + 1) dx
sen2
x
1
sen2
x
=∫ dx + ∫ dx =∫ csc x ∙ cot x dx + ∫ csc2
x dx
1 · cos x
sen x · sen x
= - csc x - cot x + c
p) ∫(tan x - sec x)2
dx = ∫(tan2
x - 2 tan x · sec x + sec2
x) dx
=∫tan2
x dx - 2 ∫ secx tan x dx + ∫sec2
x dx
= ∫(sec2
x - 1)dx - 2 sec x + tan x + c
=∫sec2
x dx -∫ dx - 2 sec x + tan x + c = 2 tan x - 2 sec x - x+ c
x
2
l ) ∫ =- 2∫ = - 2 ∫ = arc sec + c = - arc sec + c- 2 dx
x4
- 4x2
dx
x2
(x2
- 4)
dx
|x| (x2
-4)
- 2
2
x
2
x
3m) ∫3(9 - x2
) dx = ∫ =3 ∫ = 3 arc sen + c3dx
9-x2
-1/2 dx
9-x2
n) ∫ dx = 5∫ = arc tan + c5
5 + x2
dx
5 +x2( )2
5
5
5
x

dgep-uas 43
cálculo integral
Actividades de aprendizaje # 7:
1. Comprueba, en equipo de 3 a 5 integrantes como máximo, que son válidas las fór-
mulas de integración de la tabla anterior, y comunica tus resultados al resto de los
equipos.
2. Aplicando la tabla y fórmulas de integración calcula en equipo de 3 a 5 integrantes
las siguientes integrales indefinidas inmediatas, y haz la comprobación del resultado
mediante derivación:
a) ∫(4x3
+ x6
– 0.5x-3
) dx = b) ∫(6 x2
+ x + ) dx =3
x
8
c) ∫(x - 5)2
dx = d) ∫(x- 6)(2x + 1) dx =
g) ∫x(1- x2
)dx =
j) ∫(ex
+4x
-e0
) dx =
k) ∫(e4x
- 3x) dx = l) ∫(9 x3
- 6 sen x) dx =5
m) ∫(sen 5x + cos x) dx = n) ∫(7 e2x
-sen (5x - 2))dx =
ñ) ∫(e-3x
+ tan x cos x) dx = o) ∫e-2x
(e2x
- e-2x
) dx =
p) ∫(sen 2x + cos2
x) dx = q) ∫cos (2x + 1) dx =
r) ∫(e5x
+ sen 6 x2
) dx = s) ∫[e-4x
+ ctg (2x - 1)]dx =
t) ∫(cos x - 1)2
dx =
y) ∫(3 tan2
x + 5 ctg2
x) dx =
u) ∫ dx =
2x + 3
1
e) ∫ dx =
x
x6
+ 3x5
- 6x + 1
x) ∫ =sen x + 1
dx
v) ∫ =
x4
- 36 x2
-9 dx w) ∫ dx =
x2
+ 3
3
i) ∫ dx =
x + 2
2x2
- 3x - 2
f) ∫ dx =
2 (x - 3)
x2
- 5x + 6
h) ∫ dx =x + 3
x

44 dgep-uas
2.2. Métodos de integración
En la unidad de aprendizaje anterior, a partir del concepto de antiderivada o de
función primitiva y de las fórmulas para calcular derivadas de las funciones elementales
se calcularon algunas integrales inmediatas, sin embargo, existen otras integrales que
requieren de métodos más sofisticados para poder ser calculadas.
En este apartado se estudiarán algunos métodos y técnicas elementales para redu-
cir a inmediatas aquellas integrales que no lo sean pero que son posible de ser reduci-
das, tales como: integración por sustitución o cambio de variable, integración por partes,
integración por sustitución trigonométrica e integración por descomposición en fraccio-
nes parciales simples.
El objetivo de todos los métodos de integración es transformar una integral dada, no
inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte inmediato o más sencillo.
2.2.1. Método de sustitución o de cambio de variable.
Para ilustrar la aplicación de este sencillo y potente método de integración analice-
mos el siguiente par de integrales indefinidas:
¿Qué fórmula del formulario se aplicó?
Ahora analicemos si podemos aplicar la misma fórmula usada en la integral ante-
rior para esta otra integral parecida:
¿Es correcto este resultado?
Como ya sabes para contestar esta pregunta basta derivar el resultado para obser-
var si coincide con el integrando:
De donde, se concluye que la fórmula 2 del formulario no puede ser aplicada a la
segunda integral, sin embargo, esta integral la podemos resolver aplicando la propiedad
3 del formulario: ∫f (ax+ b) dx = F(ax + b) + c ; siempre que F '(x) = f (x)1
a
Así: ∫(5x- 2)3
dx = + c1
5
(5x - 2)4
4
¡Verifica que este resultado es el correcto!
1) ∫5x3
dx = 5∫x3
dx = 5 + c = x4
+ c[x3+1
3+1[ 5
4
2) ∫(5x - 2)3
dx = + c = + c
(5x - 2)3+1
3+1
(5x - 2)4
4
+ c = (5x-2)'+(c)'=(5x-2)3
(5)+0=5 (5x-2)3
≠ (5x-2)34(5x - 2)4-1
4
(5x - 2)4
4[ '[

dgep-uas 45
cálculo integral
La propiedad 3 del formulario puede ser vista como un caso particular del método
de cambio de variable o de sustitución que explicamos a continuación.
Para ello regresemos de nuevo a la integral: ∫(5x- 2)3
dx
Como ya sabemos esta integral no puede ser resuelta con la fórmula 2, sin embargo
sí se puede resolver aplicando la fórmula 16 del formulario: ∫un
du = + c (n ≠ -1)un+1
n + 1
Para ello, consideremos el siguiente cambio de variable:
De donde, sustituyendo estos resultados en la integral, se obtiene que:
∫(5x- 2)3
dx = ∫u3
· du = ∫u3
∙ du = + c = · + c = (5x - 2)4
+ c1
55
u3+1
3+1[ [ 1
5
u4
4
1
20
1
5
Este resultado final, como era de esperarse, coincide con el ya obtenido aplicando
la propiedad 3 del formulario.
La ventaja del método de cambio de variable sobre la propiedad 3 del formulario se
puede apreciar al intentar resolver la siguiente integral: ∫ x
x2
+3
dx = ?
En este caso la propiedad 3 del formulario no puede aplicarse, sin embargo, con el
método de cambio variable resulta relativamente sencillo resolverla tal como se muestra
a continuación:
Sea el cambio de variable: u(x) = x2
+ 3 ⇒ du = 2x . dx ⇒ dx = du
2x
De donde:
x
x2
+3 dx =∫ · = ∫ = ln|u|+ c = |x2
+ 3| + cx
u
du
2x
1
2
du
u
1
2
1
2
∫
Otro ejemplo interesante resuelto mediante el método de cambio de variable
es el siguiente: ∫ x
x + 3
dx = ? Dado el gran parecido que tiene esta integral con
la inmediata anterior, parece natural hacer el siguiente cambio de variable: sea
u(x)= x + 3 ⇒ du = dx. De donde:
Lo que resulta parece ser una integral mucho más complicada de la que se tiene
originalmente. ¿Será que el método no funciona en este caso?
u (x) = 5x - 2 ⇒ du= u' (x) . dx = 5 · dx ⇒ dx = du
5
x
x + 3 dx = ∫ du∫ x
u

46 dgep-uas
El método sí funciona en este caso, pero como sucede frecuentemente con mu-
chas integrales, antes de poder aplicarlo se hace necesario modificar antes el integrando
mediante algunas manipulaciones algebraicas tal que lo transformen en alguna forma
adecuada para la aplicación de algunas de las fórmulas. Así en esta integral un camino
a seguir, como preparación para la aplicación del método, es el siguiente:
Ahora, haciendo el cambio de variable u=x+3 (⇒du = dx), y sustituyendo en la expre-
sión de la derecha, se obtiene que:
x
x + 3∫ dx = ∫ dx -3 ∫ =∫dx - 3∫ = x-3 ln|u|+c = x-3 ln|x+3|+cdx
x + 3
du
u
Otros ejemplos de este tipo, que requieren manipulación algebraica previa, son los
siguientes:
1. ∫ =∫ · =∫ = ?1
cos2
x
dx
cos2
x · tan x - 5
dx
(tan x - 5)1/2
sec2
x dx
(tan x - 5)1/2
Haciendo el cambio de variable: u(x)= tan x - 5 ⇒ du = sec2
x dx
2. Para resolver esta integral, es necesario que el binomio que se en-
cuentra en el radical, sea transformado primeramente en un trinomio cuadrado perfecto,
a saber:
Esto indica que tenemos una integral de la forma: ∫ = arc sen + c
du
a2
- u2
u
a
Haciendo el cambio de variable: u(x) = x - 2 ⇒ du = dx ; a2
= 4 ⇒ a= 2
dx∫ =?
4x - x2
4x - x2
dx∫ = ∫ =∫ dx
4 -(x - 2)2
dx
4 - 4 + 4x - x2
dx∫ = ∫ =∫ =du
a2
- u2
dx
4 - (x - 2)2
u
a
arc sen + c = arc sen + cx - 2
24x - x2
∫ =∫ = =∫u-1/2
du = + c = 2 tan x-5 + c
dx
cos2
x · tan x - 5
u(-1/2) + 1
(-1/2) + 1
sec2
x dx
(tan x - 5)1/2
du
u1/2
x
x + 3∫ dx = ∫ dx =∫ dx =∫ dx - 3∫ dx =∫dx - 3∫x + 3 - 3
x + 3
(x + 3) -3
x + 3
x + 3
x + 3
1
x + 3
dx
x + 3

dgep-uas 47
cálculo integral
5. ∫ = ∫ =∫ = ∫ = ?dx
x2
+ 4x + 5
dx
x2
+ 4x + 4 + 1
dx
(x2
+ 4x + 4)+ 1
dx
(x + 2)2
+ 1
u2
= (x+2)2
; u= (x+2); du = dx
a2
= 1; a = 1
∫ = ln |u+ u2
+a2
| + c
du
u2
+ a2
∴ ∫ = ln | (x+2) + (x+2)2
+ 1 | + cdx
(x + 2)2
+ 1
4. ∫ =∫ =∫ =dx
x2
- 6x - 16
dx
(x2
- 6x + 9) - 16 - 9
dx
(x - 3)2
- 25
u2
= (x–3)2
; u= x-3; du = dx
a2
= 25; a = 5
x -3 - 5
x - 3 + 5
∫ = ln| |+ c = ln | | + cdx
(x-3)2
-25
1
2(5)
1
10
x -8
x + 2
–1
x - 4
u2
= (x-4)2
; u= x-4; du = dx
∫ ∫(x-4)-2
dx = + c = + cdx
(x-4)2
3. ∫ =∫ = ⇒ ∫ un
du = ; n ≠ -1dx
x2
- 8x - 16
dx
(x-4)2
un+1
n+1
-1
(x-4)-1
Aplicando la fórmula 35:
u
a
corresponde a la forma: ∫ = arctan + c
6. ∫ =∫ = ∫ =dx
x2
+ 8x + 25
dx
x2
+ 8x + 16 + 9
dx
(x +4)2
+ 9
dx
u2
+ a2
1
a
u2
= (x + 4)2
; u = x + 4 ; du = dx
a2
= 9; a = 3
∫ = arctan + cdx
(x-4)2
+ 9 3
x+41
3
7. ∫ dx= ∫ dx = ∫u5
= · + c = + c
(2 lnx - 9)5
3x
(2 lnx - 9)5
x
1
3
1
3
du
2
1
6
1
6
u6
6
(2 lnx - 9)6
36
u5
=(2 lnx - 9)5
⇒ u = 2 ln x - 9 ⇒ = ⇑du
2
dx
x

48 dgep-uas
8. ∫sen3
x dx=∫ sen x · sen2
x · dx =∫ sen x (1- cos2
x) dx = ∫(sen x - cos2
x ∙ sen x) dx
u2
=cos2
x ⇒ u = cos x ⇒ du = - sen x dx ⇒ - du = sen x dx
u3
3
cos3
x
3
∫ sen x dx -∫cos2
x · sen x dx = ?
= -cos x ∫u2
(- du) + c = - cos x + + c = - cos x + + c
u = sen 2x ⇒ du = 2cos2x dx ⇒ = cos2xdx ⇑du
2
du
2
9. ∫esen2x
cos 2x dx = ∫eu
= ∫ eu
du = + c = + ceu
2
esen2x
2
10. ∫sen4
x dx=∫ (sen2
x)2
dx =∫ dx = ∫ dx = ?
11. ∫tanx dx =∫ dx = ?
∫tanx dx =∫ dx = ∫ =–∫ = ln |u|+c
haciendo u= cos x ⇒ du =–sen x dx ⇒ –du =sen x dx
por tanto:
u =2x ⇒ du = 2dx ⇒ = dxdu
2
1- cos 2x
2
2
sen x
cos x
sen x
cos x
–du
u
du
u
1- 2 cos 2x + cos2
2x
4
= ∫dx - ∫cos 2x dx + ∫cos2
2x dx = - ∫cos u + ∫ cos2
u + c1
4
2
4
1
4
x
4
1
2
du
2
1
4
du
2
1
2
= - ∫cos u du+ ∫cos2
u du + c = - sen 2x + ∫ du + cx
4
1
8
x
4
1
4
1 +cos 2u
2
1
8
1
4
= - sen 2x + ∫(1+ cos 2u)du + c = - sen 2x + ∫du + ∫cos 2u du + cx
4
1
16
x
4
1
4
1
16
1
4
1
16
= - sen 2x + + sen 2u + c = - sen 2x + (2x) + sen 4x + cx
4
u
16
x
4
1
4
1
16
1
4
1
32
1
32
1
4
3x
8
= - sen 2x + sen 4x + c1
32
= ln |cos x|+c

dgep-uas 49
cálculo integral
Actividades de Aprendizaje # 8:
Calcula en equipó las siguientes integrales indefinidas aplicando el método de sus-
titución o de cambio de variable, y haz la comprobación del resultado mediante deri-
vación.
1) ∫(9x - 5)4
dx = 2) ∫ 2x + 1 dx =
3) ∫ dx =x
x2
+ 7
4) ∫ dx =x2
2x3
- 1
5) ∫ dx =x + 5
x - 3
6) ∫ dx =x + 5
1 - x2
7) ∫ =
4x2
- 2x + 1
dx 8) ∫ dx =dx
x - 1
9) ∫ =dx
sen2
x ctg x - 4
10) ∫ dx =dx
x lnx
11) ∫ dx =esen5x
sec 5x
12) ∫csc2
w ectg w
dw =
13) ∫ dx =ln x2
x
14) ∫ctgx · ln(sen x) dx =
15) ∫ =dx
1 + ex 16) ∫ tan2
x + 1 dx =
17) ∫ dx =
9x
x
e 18) ∫e2x
· tan e2x
dx =
19) ∫(1 + ctg2
x)2
csc2
x dx = 20) ∫ 103x
+ dx =4
e5x
21) ∫x2
· ctg x3
dx = 22) ∫ dx =sen 2x
4 -cos2
x
35) ∫cos 3x · cos 4 x dx = 36) ∫sen 2x · sen x dx =
37) ∫sen5x · cos 2x dx = 38) ∫cos 3x · sen 4x dx =
23) ∫sen5
x dx = 24) ∫sen6
x dx =
25) ∫cos2
3x dx = 26) ∫cos5
x dx =
27) ∫cos4
x dx = 28) ∫cos2
x . sen2
x dx =
29) ∫sen5
x . cos2
x dx = 30) ∫cos3
x . sen6
x dx =
31) ∫tan4
x dx = 32) ∫tan3
x dx =
33) ∫ctg5
x dx = 34) ∫ctg4
x dx =

50 dgep-uas
39) ∫sec4
x dx = 40) ∫sec3
x dx =
41) ∫csc3
x dx = 42) ∫csc4
x dx =
43) ∫tan4
x · sec4
x dx = 44) ∫tan5
x · sec2
x dx =
45) ∫tan2
x · sec3
x dx = 46) ∫ctg5
x · csc4
x dx =
47) ∫ctg2
x · csc4
x dx = 48) ∫ctg3
x · csc3
x dx =
49) ∫ =dx
x + 16
50) ∫ =5x dx
x4
- 16
51) ∫ =dx
x2
- 9
52) ∫ =dx
(x + 4)2
+ 16
53) ∫ =dx
9 -x2 54) ∫ =
dx
2+5x2
55) ∫ =
dx
x2
- 4
56) ∫ =
dx
9-(x - 3)2
58) ∫ =dx
16 - 9x2
57) ∫ =
dx
8x2
- 4
59) ∫ =dx
x2
-4x+7
60) ∫ =dx
4x2
- 9
61) ∫ =dx
9x2
- 1
62) ∫ =dx
25x2
+ 4
63) ∫ =dx
2 - 4x2 64) ∫ =dx
4x2
- 25
65) ∫ =e2x
dx
1 + e2x 66) ∫ =3dx
4 + 7x2
67) ∫ =cos x dx
2 - sen 2
x 68) ∫ (e2x
-1)
-1/2
dx =
69) ∫ =4xdx
4 - x4
70) ∫ =3dx
9x2
- 25
71) ∫ =x2
dx
100-x6
72) ∫ dx =x+ 6
4-x2

dgep-uas 51
cálculo integral
2.2.2 Integración por partes
El método de integración por partes tiene como propósito determinar o calcular la
función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la
misma variable, sea pues:
d(uv) = u dv + v du ; integrando ambos lados de la igualdad anterior
∫d (uv) =∫udv + ∫vdu ⇒ uv = ∫ udv + ∫ vdu
Despejando la integral: ∫udv, tendremos la fórmula de integración por partes:
∫udv = uv - ∫vdu
Para aplicar esta forma de integrar, no existe una regla general para definir quién
es u y quién es dv, pero es recomendable que al determinar cuál es la derivada, ésta
sea fácilmente integrable. Sin embargo, al momento de integrar son bastante útiles las
siguientes recomendaciones generales:
1. Que dx sea siempre una parte de dv.
2. Que dv sea fácilmente integrable
3. Cuando una expresión para integrar es el producto de dos funciones, fre-
cuentemente se elige la expresión de apariencia complicada, con tal que
pueda integrarse, como parte de dv
Ejemplos resueltos:
A la integral que nos queda podemos aplicar sucesivamente la misma fórmula, sin
embargo ya fue calculada en el ejemplo anterior, por lo cual únicamente retomamos este
resultado:
1. ∫xex
dx = uv – ∫vdu = xex
–∫ex
dx = xex
− ex
+ c = ex
(x-1) + c
u = x ⇒ du = dx
dv = ex
dx ⇒ v =∫ex
dx = ex
∫x2
ex
dx = ex
x2
– 2∫ex
xdx = ex
x2
–2ex
(x-1) + c
2. ∫x2
ex
dx = uv – ∫vdu = ex
x2
–∫ex
2xdx = ex
x2
− 2∫ex
x dx = ?
u = x2
⇒ du = 2xdx
dv = ex
dx ⇒ v =∫ex
dx = ex

52 dgep-uas
Calcula, en equipo de 4 a 5 integrantes, las siguientes integrales indefinidas apli-
cando el método de integración por partes, y realiza la comprobación del resultado
mediante derivación.
3. ∫x cos x dx = uv–∫vdu = x sen x –∫senx dx = x sen x– (– cos x) + c = x sen x + cos x + c
u = x ⇒ du = dx
dv = cos x dx ⇒ v =∫cos x dx = sen x
4. ∫x x – 3 dx = uv –∫vdu = x (x-3)3/2
–∫ (x-3)3/2
dx = ?2
3
2
3
u = x ⇒ du = dx
dv = (x-3)1/2
dx ⇒ v =∫(x-3)1/2
dv = = (x-3)3/2(x-3)(1/2)+1
(1/2) + 1
2
3
∫ (x -3)3/2
dx = ∫(x-3)3/2
dx = · + c = (x-3)5/2
+ c2
3
2
3
2
3
(x-3)(3/2)+1
(3/2) + 1
4
15
Resolviendo por cambio de variable la integral:
De donde finalmente se obtiene que:
∫x x-3 dx = x(x-3)3/2
- (x-3)5/2
+ c2
3
4
15
1) ∫x2
ex
dx = 2) ∫x3
ex
dx =
3) ∫ln x dx = 4) ∫x ln x dx =
5) ∫x2
ln x dx = 6) ∫x2
e2x
dx =
7) ∫ex
sen x dx = 8) ∫x3
ln2
x dx =
9) ∫ax
x dx = 10) ∫eax
x dx =
11) ∫x sen x dx = 12) ∫x2
cos x dx =
13) ∫x2
sen x dx = 14) ∫x sec2
x dx =
15) ∫arc tan 3x dx = 16) ∫ex
cos x dx =
17) ∫sec3
x dx = 18) ∫ =sen x dx
ex

dgep-uas 53
cálculo integral
2.2.3. Integración por sustitución trigonométrica
Este método de integración se aplica cuando en el integrando aparecen expresiones
de la formas: a2
- u2 o u2
± a2. En estos casos la manera más corta o efectiva
para calcular la integral es hacer un cambio de variable, de la siguiente manera:
19) ∫arc cos x dx = 20) ∫arc senx dx =
21) ∫(x2
+ 3x)cos 2x dx = 22) ∫cos . ln(senx) dx =
23) ∫x3
x2 + 3 dx = 24) ∫x5
x2 - 4 dx =
25) ∫sen x . sen 3x dx = 26) ∫sen 4x . sen 3x dx =
CASO
FORMATO EN
EL INTEGRANDO
CAMBIO DE
VARIABLE
RESULTADO EN
EL INTEGRANDO
DESPUÉS DEL
CAMBIO DE VARIABLE
1
u = a sen z
2
u = a tan z
3
u = a sec z
a
u
a2
- u2
a2
- u2
= a2
- (a sen z)2
= a2
- a2
sen z2
= a2
- (1– sen2
z))2
= a2
cos2
z
= acosz
a2
+ u2
a
u
a2
+ u2
= a2
+ (a tan z)2
= a2
+ a2
tan2
z
= a2
(1+ tan2
z))2
= a2
sec2
z
= asecz
u2
- a2
u2
- a2
= (a sec z)2
-a2
= a2
sec2
z - a2
= a2
(sec2
z - 1)2
= a2
tan2
z
= atanz
u
a
z
z
z

54 dgep-uas
Caso 1. ∫ = ? cambio; x = u = 2 sen z ⇒ dx = du = 2 cos z dz
dx
(4 - x2
)
3
2
∫ = ∫ = ∫sec2
zdz = + c = ?dz
cos2
z23
cos3
z
2 cos z dz 1
22
1
4
tan z
4
Finalmente del triángulo rectángulo se obtiene que: tan z =
a2
- u2
u
Caso 2. ∫ = ? Esta integral es de la forma: ∫ = ?dx
x 4x2
+ 9
du
u u2
+ a2
u2
= 4x2
; u = 2x; x = ; dx= ; a2
= 9 ; a = 3u
2
du
2
u = a tan z; du = a sec2
zdz
∴ ∫ = ∫ = ∫ =du
u u2
+ a2
a sec2
dz
a tan z a2
tan2
z + a2
a sec2
dz
a tan z a2
(tan2
z + 1)
∴ ∫ = ∫ = ∫ = ∫csc zdz = ln (csc z - cot z) + csec zdz
tan za tan z . a sec z
a sec2
zdz 1
a
1
a
dz
sen z
1
a
1
a
del triángulo rectángulo se tiene que:
a2
+ u2
u
a
u
∴ ∫ = ∫ ln - + c = ln - + c
du
x 4x2
+ 9
1
a
a2
+ u2
u
a
u
1
3
4x2
+ 9
2x
3
2x
= ln +c1
3
4x2
+ 9 - 3
2x
= + cx
4 4 - x2
dx
(4 - x2
)
3
2
∫De donde:
Ejemplos resueltos:
∫ = ∫ = ∫ =dx
(22
- x2
)3
2
2 cos z dz
(22
- (2 senz)2
)
3
2
2 cos z dz
(22
- 22
sen2
z)
3
2
∫ = ∫ = ∫ =2 cos z dz
(2cos z)3
2 cos z dz
( 22
. cos 2
z)3
2 cos z dz
(22
(1-sen2
z))
3
2
csc z = y cot z =

dgep-uas 55
cálculo integral
Calcula, en equipo de 4 a 5 integrantes, las siguientes integrales indefinidas aplican-
do el método de integración por sustitución trigonométrica, y realiza la comprobación
del resultado mediante derivación.
u2
- a2
duCaso 3. ∫ = ∫ = ?x2
- 9 dx
∴ a2
= 9 ⇒ a = 3 ; cambio: x = u = 3 sec z ⇒ dx = du = 3 sec z . tan z dz
∴ ∫ (3 sec z)2
- 9 . 3 sec z tan z dz = 3∫ 9 (sec2
z - 1) sec z tan z dz =
3∫ 9 tan2
z sec z tan z dz = 9∫secztan2
z dz = 9∫sec z (sec2
z - 1) dz =
9∫sec3
zdz - 9∫sec z dz = 9∫sec3
z dz - 9 ln|sec z + tan z|+ c = ?
Resolviendo la primera integral por partes se obtiene que:
9∫sec3
zdz = [sec z . tan z + ln|sec z + tan z | + c9
2
∴ ∫ x2
- 9 dx = [sec z . tan z + ln|sec z + tan z | - 9 ln|sec z + tan z| + c9
2
= [sec z tan z - ln|sec z + tan z | + c9
2
Finalmente del triángulo rectángulo se obtiene que: tan z = y sec z =x2
- 9
3
De donde: ∫ x2
- 9 dx = x x2
- 9 - ln + x2
- 9 + c9
2 9
x
3 3
1. ∫ dx =x2
9- x2
2. ∫ dx =x2
25 - x2
3. ∫x x2
+ 1 dx = 4. ∫ dx =x2
16 + x2
5. ∫ =6 dx
x2
- 9
6. ∫ dx =dx
4x2
- 1
7. ∫ =6 dx
x 36 - 9x2 8. ∫ dx =
x
x2
- 16
9. ∫ dx =
x
4 + 16 x2
10. ∫ 7 + 49 x2
dx =
11. ∫ =dx
x2
- 16
12. ∫ =dx
x2
- 5x + 6
x
3

56 dgep-uas
2.2.4. Integración por fracciones parciales
Cuando en una integral el integrando es una fracción en la cual el denominador es
factorizable en factores lineales o cuadráticos, o en una combinación de ambos, la forma
de cómo estas integrales pueden ser calculadas es recurriendo al método de descom-
posición del integrando en una suma de fracciones parciales.
Aunque en este tipo de integrales se pueden presentar cuatro casos, en general, el
método consiste en lo siguiente:
Los requisitos algebraicos básicos para poder aplicar con éxito este método de in-
tegración son: primeramente saber factorizar el denominador del integrando, segundo
saber resolver el sistema de ecuaciones lineales que resulta de la descomposición del
integrando en fracciones parciales en aras de poder determinar los numeradores (que
frecuentemente serán constantes) de las fracciones parciales, y tercero saber resolver
las integrales inmediatas que resultan al final del proceso de la descomposición y deter-
minación de las fracciones parciales. Y finalmente, al expresar los resultados también es
necesario conocer y saber aplicar las siguientes propiedades de los logaritmos:
Ejemplos resueltos del caso 1. El denominador se factoriza en factores lineales no
repetidos.
∫ dx = ∫ dx = ∫ ± ±... ± dx
P (x)
Q (x)
P(x)
q1
(x) ∙ q2
(x)...qk
(x)
p1
(x)
q1
(x)
p2
(x)
qk
(x)
pk
(x)
qk
(x)
p1
(x)
q1
(x)
p2
(x)
q2
(x)
pk
(x)
qk
(x)
= ∫ dx ± ∫ dx ±... ± ∫ dx
logb
AB = logb
A + logb
B logb
An
= n · logb
A logb
= logb
A - logb
BA
B
dx
4x2
- 9
∫ = ∫ = ?dx
(2x + 3) (2x - 3) Entonces, hágase:
Comparando término a término las expresiones resulta que:
= + = =1
(2x + 3) (2x - 3)
A
2x + 3
B
2x - 3
A (2x -3) + B(2x+3)
(2x + 3)(2x - 3)
2 (A + B) x - 3(A-B)
(2x + 3)(2x - 3)
2(A + B) x = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ Ec. 1
-3 (A - B) = 1 ⇒ A - B = - ⇒ Ec. 21
3
1.

dgep-uas 57
cálculo integral
Sumando miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2 del sistema anterior se obtiene:
2A = - ⇒ A = - ⇒ - + B = 0 ⇒ B =1
3
1
6
1
6
1
6
2. ∫ =∫ = ?dx
5x2
- 18x + 9
dx
(5x - 3)(x - 3)
⇒ = + =1
(5x- 3)(x - 3)
A
(5x - 3)
B
(x - 3)
A(x-3)+ B(5x - 3)
(5x - 3) (x - 3)
Ax -3A + 5Bx - 3B
(5x - 3)(x - 3)
= =
(A+5B)x - 3(A +B)
(5x - 3)(x - 3)
1
12
= ln +c2x - 3
2x + 3
Entonces:
dx
4x2
- 9
∫ = ∫ + = ∫ - = ln(2x - 3) - ln(2x + 3) + c
(2x + 3)
1
6
- dx
(2x - 3)
1
6
dx 1
6 2x - 3
dx
2x + 3
dx 1
12
(A + 5B)x = 0 ⇒ A + 5B = 0 ⇒ Ec. 1
-3(A + B)= 1 = ⇒ A + B =- ⇒ Ec. 21
3
⇒
A + 5B = 0
A + B = - 1
3
⇒ 4B = ∴ B =
1
3
1
12
A + 5B = 0
-A- B = 1
3
Sustituyendo B en la Ec. 1 : A + 5 = 0 ⇒ A + = 0 ⇒ A = -1
12
5
12
5
12
x-3
5x - 3∫ = ln + cdx
5x2
- 18x + 9
1
12
∫ = ∫ -dx
5x2
- 18x + 9
1
12
dx
x-3
5dx
5x-3
∴
1
(2x + 3) (2x - 3)
-1/6
2x + 3
= +
2x - 3
1/6
∴
1
12
= [ln (x-3) - ln (5x-3)] + c

58 dgep-uas
3. ∫ =∫ = ? Descomponiendo el integrado en:(5x - 2)dx
x2
- 9x + 8
(5x - 2)dx
(x - 8)(x - 1)
= + = =
Ax-A+ Bx - 8B
(x - 8) (x - 1)
5x - 2
(x - 8)(x -1)
A
x - 8
B
x - 1
(A+B)x - (A + 8B)
(x - 8) (x - 1)
(A+B)x = 5x ⇒ A + B = 5 → Ec. 1 -(A+ 8B) = -2 ⇒ A + 8B = 2 → Ec. 2
Resolviendo el sistema:
Comparando los términos de la igualdad
⇒ -7B = 3 ⇒ B= - ⇒ A =7
3
22
3
∴ ∫ = 22∫ - 7∫ = [22 ln (x-8) - 7 ln (x-1)] + c(5x - 2) dx
x2
- 9x + 8
dx
x-8
1
3
dx
x-1
1
3
(x-8)22
(x-1)7= [ln (x-8)22
– ln (x-1)7
] + c = ln + c1
3
1
3
A + B = 5 → Ec. 1
-A - 8B = -2 → Ec. 2
(-A -3B + 2C)x = 3x ⇒ -A -3B + 2C = 3 → Ec. 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
4. ∫ =∫ = ∫ = ?(3x - 4)dx
x3
- x2
- 6x
(3x - 4)dx
x (x2
- x - 6)
(3x - 4)dx
x (x + 2)(x - 3)
= + + =3x - 4
x (x + 2)(x -3)
A(x2
-x-6) + B(x2
-3x) + C (x2
+2x)
x(x + 2) (x - 3)
A
x
B
x + 2
C
x - 3
(A +B + C)x2
= 0 ⇒ A + B + C = 0 → Ec. 2
-6A = -4 → Ec. 3
⇒ B = -1 ⇒ C = 1
3
∴ A = = ⇒-4
-6
2
3
2
3
- -3B + 2C = 3
2
3
+ B + C = 0
= 2
3
B + C = -
-3B + 2C =11
3
∴ ∫ = ∫ -∫ + ∫ = ln x - ln (x +2) + ln (x - 3) + c(3x - 4) dx
x3
- x2
- 6x
dx
x
2
3
dx
x+2
1
3
dx
x- 3
1
3
2
3

dgep-uas 59
cálculo integral
Ejemplo resuelto del caso 2. El denominador se factoriza en factores lineales y
algunos son repetidos.
Comparando los términos de la igualdad se obtiene que:
Ejemplo resuelto del caso 3. El denominador se factoriza en factores cuadráticos
y ninguno se repite.
Para este caso, por cada factor cuadrático de la forma ax2
+ bx + c que resulta de la
factorización del denominador, le corresponde en la descomposición del integrando una
fracción del tipo Ax + B
ax2
+ bx + c. Si además, resultan factores lineales, estos se resuelven
como en los casos 1 y 2.
(A+C)x2
= 0 ⇒ A + C = 0 → Ec. 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
(-2A+B)x = 6x ⇒ -2A + B = 6 → Ec. 2
A + B - C = 3 → Ec. 3
∫ =∫ =∫ =∫ = ?(6x + 3) dx
x3
-x2
-x+1
(6x + 3) dx
x2
(x-1) - 1(x -1)
(6x + 3) dx
(x-1)(x2
-1)
(6x + 3) dx
(x+1)(x-1)2
= + + =
6x + 3
(x+1)(x-1)2
A (x-1)2
+ B (x+1) + C (x + 1)(x-1)
(x+1)(x-1)2
A
(x+1)
B
(x-1)2
C
x-1
= =A(x2
-2x+1) + Bx + B + Cx2
- C
(x+1)(x-1)2
(A +C)x2
+ (B - 2A)x + (A + B- C)
(x+1)(x-1)2
A + C = 0
-2A + B = 6
A + B - C = 3
⇒
B = 9/2
A = -3/4
C = 3/4
∴ ∫ = ∫ + ∫ + ∫ = ln - + c(6x + 3) dx
x3
- x2
- x + 1
-3
4
dx
x+1
3
4
x -1
x+ 1
dx
(x-1)2
9
2
dx
x-1
3
4
9
2(x- 1)
∴ ∫ =∫ + +(6x + 3) dx
x3
- x2
- x + 1
dx
∫ = ∫ = ?(4x2
+ 2x) dx
x4
+ 3x3
+ 4x2
+ 3x + 1
2(2x2
+ x) dx
(x + 1)2
(x2
+ x + 1)
∴ = + +A
(x + 1)2
(2x2
+ x)
(x + 1)2
(x2
+ x + 1)
B
(x + 1)
Cx + D
x2
+ x + 1
=
A(x2
+ x + 1) + B (x + 1)(x2
+ x + 1) + (Cx + D)(x + 1)2
(x + 1)2
(x2
+ x + 1)
x+1
-3/4
(x-1)2
9/2
x-1
3/4

60 dgep-uas
Ejemplo resuelto del caso 4. El denominador se factoriza en factores cuadráticos
y algunos se repiten.
Para este caso, si resultan factores lineales estos se resuelven como en los casos 1
y 2, y por cada factor cuadrático de la forma (ax2
+ bx + c)n
que resulta de la factorización
del denominador, le corresponde en la descomposición del integrando una suma de n
fracciones del tipo: + +... +Ax + B
(ax2
+bx +c)n
Cx + D
(ax2
+bx+c)n-1
Vx + W
(ax2
+ bx + c)
.
=
(B + C)x3
+ (A + 2B + 2C + D)x2
+ (A+ 2B + C + 2D)x + (A + B + D)
(x + 1)2
(x2
+ x + 1)
⇒ (B + C)x3
= 0 ⇒ B + C = 0 → Ec. 1
⇒ (A + 2B + 2C + D)x2
= 2x2
⇒ A + 2B + 2C + D = 2 → Ec. 2
⇒ (A + 2B + C + 2D)x = x ⇒ A + 2B + C + 2D = 1 → Ec. 3
⇒ A + B + D = 0 → Ec. 4
Resolviendo el sistema de ecuaciones: ⇒
B+ C = 0
A + 2B + 2C + D = 2
A + 2B + C +2D = 1
A + B + D = 0
D = 1
A = 1
B = -2
C = 2
∴ ∫ = 2∫ + + dx
1
(x + 1)2
-2
(x + 1)
2x + 1
x2
+ x + 1
(4x2
+ 2x) dx
x4
+ 3x3
+ 4x2
+ 3x + 1
= 2∫ -4∫ + 2∫ dxdx
(x + 1)2
dx
(x + 1)
2x + 1
x2
+ x + 1
= - -4 ln|x + 1|+ 2 ln|x2
+ x + 1| + c2
(x + 1)
Ejemplo: ∫ = ∫ = ?(2x3
+ 10x - 3x2
- 12) dx
x4
+ 8x2
+ 16
(2x3
- 3x2
+ 10 x - 12) dx
(x2
+ 4)2
∴ = + +Ax + B
(x2
+ 4)
(2x3
- 3x2
+ 10x - 12)
(x2
+ 4)2
Cx + D
(x2
+ 4)2
(Ax + B)(x2
+ 4) + (Cx + D)
(x2
+ 4)2
= Ax3
+ Bx2
+ (4A + C)x + (4B +D)
(x2
+ 4)2

dgep-uas 61
cálculo integral
Igualando los numeradores de ambas expresiones se concluye que:
Calcula, en equipo de 4 a 5 integrantes, las siguientes integrales indefinidas aplican-
do el método de integración por fracciones parciales, y realiza la comprobación del
resultado mediante derivación.
A=2 ; B = -3 ; 4A + C = 10 ⇒ C = 10 - 4(2) = 2 ; 4B + D = -12 ⇒ D = 0
∴ ∫ = ∫ + dx = ∫ dx + ∫ dx2x - 3
(x2
+ 4)
(2x3
+ 10x - 3x2
- 12) dx
x4
+ 8x2
+ 16
=∫ -3∫ +∫ dx2x dx
x2
+ 4
dx
x2
+ 4
2x
(x2
+ 4)2
2x + 0
(x2
+ 4)2
2x - 3
(x2
+ 4)
2x
(x2
+ 4)2
1
x2
+ 4
= ln|x2
+ 4|- arc tan - + c3
2
x
2
1. ∫ =dx
x2
- x - 12
2. ∫ =xdx
3x2
- 7x + 4
3. ∫ =(3x2
-4x + 3)dx
x3
- 6x2
+ 12x - 8
4. ∫ =
(2x + 1)dx
(x2
+ 3x - 10)
5. ∫ =(7x + 3) dx
9x4
+ 6x2
+ 1
6. ∫ =
(5x - 2)dx
x2
- 8x + 26
7. ∫ dx =(2x3
+ 3x2
- 4)
x2
- 4x + 3
8. ∫ =
(2x2
- 3x + 7)dx
x2
- 8x + 26
9. ∫ dx =4x3
+ 3x2
- 1
x3
- x2 10. ∫ =
(x2
+ 4x - 4)dx
x3
- 4x
11. ∫ dx =x
x3
- x2
+ x - 1
12. ∫ dx=
2x3
+ 3x2
+ 10x + 12
x4
+ 8x2
+ 16
13. ∫ dx =2x3
- 4x - 8
x4
- x3
+ 4x2
- 4x
14. ∫ dx =8x3
+ 13x
x4
+ 4x2
+ 4
15. ∫ dx =2x2
- x + 2
x3
+ 3x2
+ x
16. ∫ dx =4x3
- x2
+ 9x + 4.5
x6
+ 18x4
+ 81x2

62 dgep-uas
2.3. Otras aplicaciones de la integral indefinida
Con los métodos y técnicas de integración estudiados anteriormente el abanico de
las aplicaciones de la integral indefinida se amplía considerablemente tal como se mues-
tra a continuación en los siguientes problemas.
Ejemplo 1: Determinar una función y = f (x) cuya derivada sea f '(x) = 2x+ 1 y
que f (4) = 15.
Resolución: con lo estudiado en la unidad 1 se sabe que con la integral indefinida
podemos determinar dicha función primitiva y = f (x). Y que:
De donde, la antiderivada o función primitiva general (o integral indefinida) de
f ' (x) = 2x + 1 es:
Y en consecuencia:
Como ya se estudió en la primera unidad de aprendizaje, este proceso de resolución
puede desarrollarse y ser interpretado también de la siguiente manera a partir del con-
cepto de diferencial y de ecuación diferencial:
Sea la ecuación diferencial:
dy
dx
= f ' (x) = 2x +1
Despejando de la ecuación diferencial el diferencial dy e integrándolo:
dy = 2x + 1 dx ⇒ ∫dy = ∫ 2x + 1 dx
⇒ 15 = [2(4) + 1] + c ⇒ c = 6
3
21
3
∴ y = [2x+1] +6
3
21
3
y = f (4) = F (4) = [2(4) + 1] + c = 15 ⇒ c = 6 ∴ y = f (x) = (2x + 1) + 6
3
2
3
21
3
1
3
F(x) = ∫ (2x + 1) dx = ∫ (2x + 1) dx = ∙ (2x +1) + c = (2x + 1) + c1
2
2
3
3
21
3
3
2
1
2
y = f (x) = F (x) = (2x + 1) + c1
3
3
2
3
21
3
⇒ y =∫ 2x +1 dx = [2x + 1] + c

dgep-uas 63
cálculo integral
Ejemplo 2: Determina la función y = f (x) tal que f ' (x) = x cos x, y f =π
2
3π
2
.
Resolución:
Para determinar el valor c, sustituimos para x = π / 2 en la primitiva general:
Ejemplo 3: Después de t segundos, un cuerpo se mueve con una velocidad
v(t)=t e-t/2
metros por segundo. Determine la posición s = s (t) del cuerpo como
una función del tiempo, si s = s (0) = 0
Resolución: Si s = s (t) representa la posición del cuerpo en el tiempo de t seg,
entonces:
Ejemplo 4: La tasa de consumo de petróleo al tiempo t es C'(t) = 16 e0.08t
miles de
millones de barriles al año. Si el consumo total de petróleo, del tiempo 0 al tiempo t,
es C (t). Calcular la cantidad de petróleo consumido en una década.
Resolución:
F (x) = ∫ x cos x dx = ? Integrando por partes:
= uv - ∫vdu = x sen x -∫ sen x dx = x sen x - (- cos x) + c
∴ y = f (x) = F (x) = x senx + cos x + c
y = f (π / 2) = F (π / 2) = sen (π / 2) + cos (π / 2) + c = ⇒ c = ππ
2
3π
2
∴ y = f (x) = F (x) = sen x + cos x + ππ
2
s(t) = ∫v(t)dt = ∫te-t/2
dt = ? Integrando por partes:
= -2te-t/2
- 4e-t/2
+ c
∴ s (0) = -2(0)(1) - 4(1) + c = 0 ⇒ c = 4 ⇒ s(t) = -2te-t/2
- 4e-t/2
+ 4
dC(t)
dt
= C'(t) ⇒ dC(t) = C'(t)dt ⇒ C(t) = ∫(16e0.08t
)dt = e0.08t
+ c = 200e0.08t
+ c16
0.08
⇒ C(0) = 200e0.08(0)
+ c = 0 ⇒ c = -200
⇒ C(10) = 200(e0.08(10)
-1) ≈ 245 miles de millones de barriles.
∴ C(t) = 200e0.08t
- 200 = 200(e0.08t
-1)

64 dgep-uas
Ejemplo 5: Si F(x) = ∫f (x)dx entonces, se puede calcular su integral definida corres-
pondiente en el intervalo a ≤ x ≤ b de la siguiente manera:
A partir de esta consideración calcular el valor de:
Resolución: Primeramente calculamos la integral indefinida
Resolviendo mediante el cambio de variable:
Ejemplo 6: Si y = f (x) es una función continua y f (x) ≥ 0 en el intervalo a ≤ x ≤ b, en-
tonces el área A limitada por la curva de y = f (x) , las rectas x = a, x = b y el eje de las X
puede ser determinada por la siguiente integral definida:
A partir de esta consideración calcular el valor del área bajo la curva f (x) = e-x
+ x en
el intervalo 0 ≤ x ≤ 1.
Resolución: Ya que

Resuelve, en equipo de 4 a 5 integrantes, los siguientes problemas aplicando el cál-
culo de integrales indefinidas.
1. Determina una función y = f (x) cuya derivada sea f ' (x) = , y que f (5) = 20.
2. Determina la función y = f (x) cuya tangente tiene una pendiente m = para
cada valor de x, y cuya gráfica pasa por el punto P (4, 10).
∫ f (x)dx = F (b) - F (a).
b
a
∫ dx = ?
2
1/4
lnx
x
∫ dx = ?lnx
x
u = lnx ⇒ du = dx
x
F(x) =∫ dx = ∫lnx =∫u du= u2
+ c = (ln x)2
+ clnx
x
dx
x
1
2
1
2
∴ ∫ dx = F(2) - F (1/4) = (ln 2)2
+ c - ln + c ≈ 0.721
2
1/4
lnx
x
1
2
1
2
1
4
2
∫ f (x)dx = F (b) - F (a) ; donde: F (x) = ∫f (x) dx
b
a
∫(e-x
+ x )dx =-e-x
+ x3/2
+ c ; entonces:2
3
1
0
A =∫ (e-x
+ x )dx = -e-1
+ (1)3/2
+ c - e0
+ (0)3/2
+ c ≈ 32
3
2
3
1
x 4x2
+ 9
1
5x2
- 18x + 9

dgep-uas 65
cálculo integral
3. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 95 m/seg
desde un edificio de 60 m de altura. Calcular: (a) la altura a la que se encuentra la pelota,
con relación al nivel del suelo, después de 2 y 7 segundos de haber sido lanzada, y (b)
el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.
4. Se ha determinado que la población P (t) de una colonia de bacterias, t horas después
de iniciar la observación, tiene una razón de cambio de P'(t) = 350 e0.18t
+ 220-0.3t
. Si la pobla-
ción era de 250,000 bacterias cuando se inició la observación, ¿Cuál será la población
20 horas después?
5. Calcular las siguientes integrales definidas:
a) b)
6. Calcular el área debajo de la curva de la función f (x) = sen 2x en el intervalo
0 ≤ x ≤ π / 2.
7. Calcular el área debajo de la curva de la función f (x) = x en el intervalo 0.5 ≤ x ≤ 1.
8. Calcular el área debajo de la curva de la función f (x) = 25-x2
en el intervalo -5 ≤ x ≤ 5.
9. Un biólogo determina que la altura de un cierto tipo de árbol crece a una razón de
h'(t) = 0.2t2/3
+ t pies/año. Si cuándo se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies,
¿cuál será su altura en metros dentro de 15 y 30 años?
10. En cierta ciudad el nivel de ozono L(t) a las 7:00 a.m. es de 0.25 ppm. Una predicción
del clima anticipa que el nivel de ozono t horas más tarde cambiará a una tasa de:
a) ¿Cuál será el nivel de ozono a las 10:00 a.m.?
b) ¿en qué tiempo el nivel de ozono será máximo?
dx
1 - x2
∫ =0.5
- 0.5
∫ cos 3x · esen3x
dx =π
π /6
L'(t) =
0.24 - 0.03t
36 + 16t - t2
ppm/h

dgep-uas 67
UNIDAD DE APRENDIZAJE III
CAMBIOS ACUMULADOS E
INTEGRAL DEFINIDA
Competencia de unidad: Calcula numéricamente y mediante el teorema
fundamental del cálculo las integrales definidas, y las aplica en el cálculo
de áreas.
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y
operaciones aritméticas, algebraicas, geométricas y variacionales, para la comprensión y
análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta y comunica la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, grá-
ficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías computacionales, informáticas y de la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del es-
pacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi-
cos.
3.1.Cuantificación de cambios acumulados: Cálculo por métodos algebraicos y geométricos de
áreas bajo curvas, y de distancias recorridas por cuerpos que se mueven con velocidad variable
en un intervalo de tiempo.
3.2. Área e Integral definida: Concepto y definición de integral definida y sus propiedades. Interpre-
tación geométrica (como área bajo una curva) y física de la integral definida.
3.3. Teorema fundamental del Cálculo: Cálculo de integrales definidas.
3.4 Aplicaciones de la integral definida: Cálculo mediante la integral definida de áreas bajo y entre-
curvas.

unidad IIIcálculo integral
68 dgep-uas
Unidad de aprendizaje III
Cambios acumulados e integral definida
3.1 Cuantificación de cambios acumulados: el problema del área y
la distancia.
Como recordarás, en las referencias históricas de esta unidad se habló del cálculo
del área en figuras no elementales, en especial el área bajo la gráfica de una función, y
se dijo que había sido un problema de gran importancia desde tiempos remotos. De las
soluciones encontradas a dicho problema nos ocuparemos en esta unidad.
El problema planteado es calcular el área A comprendida entre la gráfica de una fun-
ción f (x) > 0, el eje X y las rectas verticales x = a y x = b. (Ver figura 3.1)
Una solución aproximada al cálculo de esta área se puede obtener dividiendo pri-
mero el área en rectángulos por debajo o por encima de la gráfica de f (x), después cal-
culando el área de cada uno de ellos y finalmente sumando todas las áreas tal como se
muestra en las figuras 3.2 (a) y 3.2 (b) de abajo:
Figura 3.1
Figura 3.2 (a)
A-
Figura 3.2 (b)
A
+
A = ?
x= a x = b
y = f (x)
0 X
Y

dgep-uas 69
cálculo integral
Obsérvese como la aproximación se puede mejorar aumentando el número de rec-
tángulos, y como en la figura 3.2 (a) hay un error por defecto y en la figura 3.2 (b) el error
es por exceso. De donde se deduce que: A-
< A < A+
Ejemplo 1: Aplicando la idea anterior calcular de manera aproximada el área A com-
prendida entre la gráfica de la función y = x, el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = 1.
Resolución: En las figuras de abajo se puede observar que la figura geométrica que
resulta al hacer la representación gráfica de este problema es la del triángulo cuya área
puede ser calculada inmediatamente por la fórmula ya conocida:
A = = = = = 0.5base x altura
2
1 x 1
2
1
2
8
16
Sin embargo, para ilustrar el poder, generalidad y funcionalidad de la idea de las
aproximaciones mediante rectángulos la calcularemos a continuación mediante este
nuevo procedimiento.
Figura 3.3
Al dividir en cuatro partes iguales a la base del triángulo, se forman los rectángulos,
unos por debajo de la recta y los otros por encima de la recta (ver figura 3.3). Si cal-
culamos el área aproximada del triángulo en base a los tres rectángulos por debajo de la
recta se obtiene que:
y = x
1
2
1
4
3
4
1 1
2
1
4
3
4
1
y = x

70 dgep-uas
Rectángulos
y = x
Base Área
x y (altura)
1
2
3
Sumatoria de las áreas parciales:
A-
= Σ Ai
= A1
+ A2
+A3
= + + =
3
i = 1
1
16
1
8
3
16
6
16
1
4
1
2
3
4
1
4
1
2
3
4
1
4
-0 = 1
4
1
2
- =1
4
1
4
3
4
- =1
2
1
4
1
16
1
4
1
4
A1
= x =
1
8
1
4
1
2
A2
= x =
3
16
1
4
3
4
A3
= x =
Véase que de esta manera encontrar el área bajo la curva no fue lo más exacto,
pero sí una manera aproximada que puede mejorarse aumentando el número de rectán-
gulos, ya que se pierden del área real. Obsérvese también que el área faltante está
en los cuatro pequeños triángulos que están entre la recta y los rectángulos y cuya suma
de áreas no fueron contabilizadas, y que equivalen al faltante como se muestra en los
siguientes cálculos:
2
16
4 x = 4 =1
2
1
32
1
4
1
4
2
16
Si ahora calculamos el área del triangulo en base a los cuatro rectángulos que so-
brepasan la recta, se obtiene que:
1
4
1
2
3
4
1
4
1
2
3
4
1
4
-0 = 1
4
1
2
- =1
4
1
4
3
4
- =1
2
1
4
1
16
1
4
1
4
A1
= x =
1
8
1
4
1
2
A2
= x =
3
16
1
4
3
4
A3
= x =
4
4
4
4
4
4
- =3
4
1
4
4
16
1
4
4
4
A4
= x =
Rectángulos
y = x
Base Área
x y (altura)
1
2
3
4
A+
= Σ Ai
= A1
+ A2
+A3
+ A4
= + + + =
4
1
16
1
8
3
16
10
16
4
16i = 1

dgep-uas 71
cálculo integral
Véase que en este caso se ganaron 4/16 con respecto a la primera aproximación
y 2/16 con respecto al área real. Obsérvese también que ahora el exceso de área está
en los cuatro pequeños triángulos que están sobre la recta y cuya suma de áreas fueron
contabilizadas demás, y que equivalen a los 2/16 de exceso. En conclusión el área real
se encuentra entre ambas áreas, es decir:
A-
= < A < A+
=6
16
10
16
En tanto que el área promedio de las dos áreas aproximadas es:
A = = = = A
—
6
16
10
16+
2
16
16
2
1
2
Como ya se dijo estos cálculos pueden aproximarse tanto como se desee al área
real aumentando el número de rectángulos ya sea por abajo o por arriba de la curva. Así,
dividiendo en n partes iguales el área bajo la recta y en el mismo intervalo, entonces el
área del triangulo en base a los rectángulos por debajo de la gráfica será:
Rectángulo
y = x
Base
Área
(base x altura)x y (altura)
1
2
3
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
n -2
n -1
n-2
n
1
n
n-2
n
n-2
n2
n-1
n
1
n
n-1
n
n-1
n2
1
n
1
n
1
n
1
n2
2
n
2
n
1
n
2
n2
3
n
3
n
1
n
3
n2
4
n
4
n
1
n
4
n2

72 dgep-uas
De donde, la suma total de las áreas de los n-1 rectángulos será:
A-
= = + + + + + ... + +Σ
n-1
1
n
i
n
1
n2
2
n2
3
n2
5
n2
4
n2
n-2
n2
n-1
n2
1
n2= [ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n-2) + (n-1)]
= (n) =1
n2
n+1
2
n+1
2n
Para mejorar la aproximación hasta el máximo aumentamos (imaginariamente) el
número de rectángulos hasta el infinito, lo cual implica que:
LimA-
= Lim = Lim = Lim = =n+1
2n 2n
n
n
n
1
n+
2
1 1
n+ 1 + 0
2
1
2n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
Comparando las áreas obtenidas, por la fórmula del triángulo, el área promedio de
los rectángulos y por esta última que la encontramos a través de límite de la sumatoria de
las áreas de los rectángulos, encontramos y corroboramos que el área encontrada para
los tres casos es la misma. ¿Será una simple coincidencia?
A continuación resolveremos un caso más complicado en el cual no se conoce el re-
sultado de antemano y donde se aprecia mejor la pertinencia de este método de aproxi-
maciones sucesivas infinitas.
Ejemplo 2: Calcular con la mejor aproximación posible el área A comprendida entre
la gráfica de la función y = x2
, el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = 1. (Ver figura 3.4)
Resolución:
Figura 3.4
1
2
1
4
3
4
1
y = x2
1
2
1
4
3
4
1
y = x2
i = 1
A =

dgep-uas 73
cálculo integral
Rectángulo
y = x2
Base Área
x y (altura)
1
2
3
A-
= Σ Ai
= A1
+ A2
+A3
= + + =
1
4
1
2
3
4
1
4
2
= 1
16
1
2
2
= 1
4
3
4
2
= 9
16
1
4
1
4
1
4
1
64
A1
=
1
16
A2
=
9
64
A3
=
1
64
1
16
9
64
7
32
3
Rectángulo
y = x2
Base Área
x y (altura)
1
2
3
4
A+
= Σ Ai
= A1
+ A2
+A3
+ A4
= + + + =
1
4
2
4
3
4
1
4
2
= 1
16
2
4
2
= 4
16
3
4
2
= 9
16
1
4
1
4
1
4
1
64
A1
=
4
64
A2
=
9
64
A3
=
4
4
4
4
2
= 1 1
4
1
4
A4
=
1
64
4
64
9
64
1
4
4
15
32
Por tanto: 7
32A-
< A < A+= 15
32=
Y el área promedio es: A= =
A-
+A+
2 2
7
32
15
32+
=
2
22
32 22
64
= = 0.34375 ≈ 1
3
i = 1
i = 1

74 dgep-uas
Ahora si dividimos en n-partes iguales el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 y calculamos el área me-
diante la suma de los rectángulos por arriba de la curva cuando el número de ellos crece
indefinidamente el resultado es:
Rectángulo
y = x2
Base Área
x y (altura)
1
2
3
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
n
1
n
1
n2
1
n
1
n3
2
n
3
n
n
n
4
n2
9
n2
n2
n2
1
n
1
n
1
n
n2
n3
32
n3
22
n3
Entonces la suma de las áreas es:
12
n3A+= n2
n3+ 22
n3 + 32
n3 + 42
n3 +...+ = (1 + 22
+ 32
+ 42
+ ... + n2
)1
n3
Pero: S = 1 + 22
+ 32
+ 42
+ ... + n2
= .n(2n + 1)(n+1)
6
12
n3A+= = =
n(2n + 1)(n+1)
6
(2n2
+ 3n +1)
6n2
2
6
+ 3
6n
+ 1
6n2
2
6=
1
3
2
6
+ 3
6n
+ 1
6n2∴ lim A+
= + 0 + 0 = =An→∞
limn→∞
De donde:

dgep-uas 75
cálculo integral
Generalizando y formalizando el procedi-
miento anterior para calcular áreas bajo una cur-
va, podemos establecer que para determinar el
área bajo una curva dividamos el intervalo [a, b]
en n subintervalos iguales Δx1
= x1
−a, Δx2
= x2
−
x1
,.., Δxn
= b−xn-1
donde cada uno de ellos será la
base correspondiente a uno de los rectángulos
los cuales podrán estar por arriba o por debajo de
la curva, mientras que la altura de dicho rectán-
gulo vendrá dada por el valor de la función para
algún valor de x dentro de cada subintervalo, o sea y en particular yi
= f (xi
). De donde
podemos escribir el área aproximada por n rectángulos Sn bajo la curva como la suma
de las áreas de todos los rectángulos de la siguiente manera:
Sn = f(x1
)Δx1
+ f (x2
) Δx2
+ ... + f (xn-1
)Δxn-1
+ f (xn
)Δxn
= Σ f (xi
)Δxi
n
i=1
Esto nos permite visualizar que si consideramos un número infinito de subintervalos
en que se divida el intervalo [a,b] entonces,cada Δxi
será cada vez más pequeño, Δxi
→ 0,
y tendremos cada vez más rectángulos llenando el área bajo la curva, y en consecuencia
el área definida por la suma se aproximará cada vez más al área total buscada hasta
llegar a ser igual a ella, es decir:
Lo cual nos indica, que el área real puede ser determinada mediante el cálculo del
límite de la sumatoria de las áreas de los rectángulos usados en la aproximación.
El cálculo del límite anterior también se presenta en el problema de calcular o de-
terminar la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una curva, con
velocidad variable v = f (t), en el intervalo de tiempo entre t = a y t = b.
Supongamos que la función v = f (t) es continua, o sea, que en intervalos pequeños
de tiempo la velocidad solo varía ligeramente. Se divide el intervalo [a,b] en n partes de
longitudes Δt1
, Δt2
,Δt3
,..., Δtn
. Para calcular un valor aproximado de la distancia recorri-
da en cada intervalo Δti
,(con: i = 1, 2, 3, ..., n) vamos a suponer que la velocidad en este
intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algún punto del mismo
intervalo, en particular para ti
. Luego, la distancia total recorrida estará expresada aproxi-
madamente por la siguiente suma:
S = lim Sn
= lim ∑ f (ti
) ∆tiΔt → 0 Δt → 0 i = 1
n
Sn = f(t1
)Δt1
+ f (t2
) Δt2
+ ... + f (tn-1
)Δtn-1
+ f (tn
)Δtn
= Σ f (ti
)Δti
n
i=1
De donde, el valor real de la distancia recorrida en el tiempo b – a, será el límite de
tales sumas para subdivisiones cada vez más finas o un número infinito de ellas, o sea
cuando Δti
→ 0, en consecuencia:
A = lim Sn = lim ∑ f (xi
) ∆xiΔxi → 0 Δxi → 0 i = 1
n

76 dgep-uas
1. Completa el siguiente cuadro y menciona que representa geométricamente en cada
cálculo :A+
Rectángulos A+
= Interpretación geométrica A+
n = 1 A+
=
n = 8 A+
=
n = 20 A+
=
n = 50 A+
=
n = 80 A+
=
n = 100 A+
=
n = ? A+
= 0.33
2
6
2
6n
1
6n2+ +
2. Aplicando el método de aproximaciones rectangulares sucesivas, y considerando que
la suma de los cubos de los primeros n números naturales es igual a ,
calcular el área A comprendida entre la gráfica de la función y = x3
, el eje OX y las
rectas verticales x = 0 y x = 1.
(a) Mediante 2 rectángulos (b) Mediante 4 rectángulos
(c) Mediante 8 rectángulos (d) Mediante un "número infinito" de rectángulos
3. Investiga cómo puede aplicarse este método de aproximaciones sucesivas pero con
triángulos, en lugar de rectángulos, en la determinación de la fórmula para calcular
el área de un círculo.
4. En la siguiente tabla se muestra las velocidades promedio que alcanza una persona
en una bicicleta en diferentes intervalos de tiempo
∑ j3
=n2
(n+1)2
4j=1
n
Horas Velocidad promedio (km / hora)
06: 00 - 07:00 20
07:00 - 08:00 16
08:00 - 09:00 14
09:00 - 10:00 12

dgep-uas 77
cálculo integral
(a) Dibujar una gráfica que represente las velocidades promedio en el tiempo.
(b) Calcular la distancia total recorrida por la persona entre las 06:00 y las 10:00
horas.
5. Una persona deja caer una pelota desde lo alto de un edificio, y ésta tarda 5 se-
gundos en llegar al piso. ¿Qué altura tiene el edificio, si consideramos que la única fuerza
que actúa sobre la pelota es la fuerza de gravedad?
Nota: resolverlo como un problema de áreas.
6. Calcular la distancia recorrida por un automóvil de carreras que se mueve en el
intervalo entre 0 y 1 minutos con velocidad variable según la función v = t2
.
3.2 El área y la Integral Definida.
Para comenzar se utilizará un lenguaje y una simbología que posteriormente se
precisará mejor.
Si f (x) ≥ 0, el área comprendida entre el eje
X, la gráfica de la función f (Ver figura 3.5) y
las rectas verticales x = a y x = b se denota:
y se lee área de f entre a y b.
b
aS (f (x))
7
2
7
2
7
2S (3) = [∫3 dx] = [3x + c] = [3(7) + c]-[3(2) + c]= 15
Algunos ejemplos de aplicación de esta nueva notación para el área de figuras ele-
mentales conocidas por ti, son las funciones representadas en la Figura 3.6.
y
y= f (x)
x = a x
Figura 3.5
x = b
b
aS (f (x))
f3
(x)= x2
0 1
c)
1
S (x2
)=-
1
0
1
3
S (3) = 15
7
2
3
0 2 7
f1
(x)=3
a) f2
(x)= x + 6
S (- x + 6) = 8
6
2
0 2 6
b)
Figura 3.6
Además, usando la integral indefinida también se puede escribir que:
6
2
6
2
6
2S (-x+6) = [∫(-x+6)dx] = [ + 6x + c] = [ + 6(6) + c]-[ + 6(2) + c]= 8-x2
2
-62
2
-22
2

78 dgep-uas
En los ejemplos a) y b) la función dentro del símbolo para el área es una función
lineal cuya gráfica es la recta que limita por arriba a la superficie de la figura sombreada.
Por ejemplo, la primera es la recta de ecuación y = 3, y se trata del área de un rectángulo
de base cinco (5=7-2) y altura 3. Utilizando la fórmula conocida se tiene que el área de ese
rectángulo es 15, y se halla multiplicando la base por la altura del rectángulo (A=5x3=15).
La segunda es la recta de ecuación y = -x + 6 , y se trata del área de un triángulo de
base cuatro (4=6-2) y altura 4. De igual modo que en el ejemplo anterior, en este caso el
área del triángulo (mitad del producto de la longitud de la base por la altura), que en este
caso es (4 x 4) ÷ 2 = 8.
En el último ejemplo, se trata del área que se forma debajo de la parábola de ecua-
ción y=x2
en el intervalo de 0 a 1, y cuyo resultado ya fue determinado (en la página 74)
apartir de la suma acumulada de un número infinito de rectángulos.
Los resultados de estos tres ejemplos muestran la estrecha relación que existe entre
el cálculo de áreas y el cálculo de integrales indefinidas, lo que nos permitirá más ade-
lante definir una función de área apartir de la cuál se demostrará formalmente la relación
que existe entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.
Para continuar este análisis introductorio hay que darle sentido a la nueva notación
introducida utilizando los conceptos ya conocidos. La relación la establecemos mediante
un nuevo concepto al que se denominará integral definida.
Definición 1
Sea f (x) una función continua en un intervalo I, se llama Integral definida
de f desde a hasta b (a, b ∈ I) y se denota al número
donde F es una primitiva cualquiera de f, a y b son límites de integración.
Esta definición es correcta pues la expresión F (b) – F (a) no depende de la primitiva,
en efecto si G (x) es otra primitiva de f (x), tenemos:
∫ f(x)dx
b
a
∫ f(x)dx = F(b) - F(a)
b
a
∫ f(x)dx = G(b) - G(a)
b
a
= [F(b)+c]-[F(a)+c]
= F(b) - F(a)

dgep-uas 79
cálculo integral
Con respecto a la notación ya conocida para las integrales indefinidas podemos re-
tomarla ahora para la integral definida, solamente que en este caso aparecen los límites
de integración, tal como se muestra en el esquema de abajo.
Integral definida
∫ f(x)dx
b
a
f (x) dx es el integrando
∫ es el
símbolo integral
• dx: indica que x es la variable con
respecto a la cual f es derivada.
• f (x): es la función subintegral
• a y b son los límites de integración.
Con esta definición sobre la integral definida, y retomando lo estudiado en el epígrafe
anterior, resulta claro que también podemos escribir la siguiente expresión de igualdad:
A = lim Sn
= lim ∑ f (xi) ∆xi = ∫ f(x)dxΔxi → 0 Δxi → 0 i = 1
b
a
n
La cual pone en evidencia que detrás del concepto de integral definida está un pro-
ceso de cálculo aproximado de área mediante la determinación de un límite al infinito.
Veamos ahora cómo se relaciona esta definición de integral definida con los ejem-
plos introductorios de cálculo de áreas.
Ejemplo 1. El del área del rectángulo.
Ya qué: ∫ 3 dx = 3x + c
En este caso se tiene, usando la definición y el hecho de que 3x es una primitiva de
y = 3, que:
Es el mismo resultado que se obtuvo mediante la fórmula conocida para el área de
un rectángulo.
Ejemplo 2. El del área del triángulo.
En este caso se tiene que la primitiva de f (x) = -x + 6 es:
∫ 3dx = 3x + c | = [3(7) + c] - [3(2) + c]= 21 - 6 = 15
7
2
7
2
x2
2
F(x) = ∫(-x + 6)dx = - + 6x + c
∴ ∫ (-x + 6)dx = - + 6x + c = ?
b 6
2
(x)2
2a

80 dgep-uas
= - + 36 + c -(- + 12 + c) = -18 + 36 - 10 = 836
2
4
2
De nuevo se obtiene el mismo resultado que utilizando la fórmula conocida del área
del triángulo.
Nota: Obsérvese como al calcular una integral definida la constante de integración
de su función primitiva correspondiente siempre se elimina, por lo que se puede prescin-
dir de ella en los cálculos.
Hasta aquí se ha introducido un nuevo concepto, el de Integral Definida y en algu-
nos ejemplos introductorios se ha calculado con dichas integrales el área debajo de la
gráfica de la función del integrando en el intervalo determinado por los límites de inte-
gración.
Con ello se ha visto, a modo de introducción, la posibilidad de utilizar dicho concepto
en el cálculo de áreas lo que será fundamentado en el epígrafe siguiente y que de ma-
nera intuitiva utilizaremos en este epígrafe para ilustrar más claramente. Veamos otros
ejemplos de cálculo de integrales definidas.
Ejemplo 3. Calcula la integral definida:
Resolución: Como , tendremos que
∫ x2
dx
3
1
1
3
F (x) =∫x2
dx = x3
+ c
A partir de la experiencia con los ejemplos introductorios podemos interpretar que el
área debajo de la parábola y = x2
en el intervalo de 1 a 3 es .26
3
La región cuya área estamos postulando
es la que aparece sombreada en la figura 3.7.
Más adelante fundamentaremos esta
afirmación.
Figura 3.7
Esto es, se escribe la primitiva y se indican los límites de integración, luego se
evalúa la función y se efectúa la diferencia indicada. La notación de la barra con el 6 y
el 2 se utiliza para indicar que se debe evaluar la primitiva en 6 y restarle la evaluación
en 2, donde 2 y 6 son los límites de integración. Calculando:
∫ (-x + 6)dx = - + 6x + c = - + 6(6) + c - + 6 (2) + c(x2
)
2
6 6
2
(6)2
2
-(2)2
22
1
3
26
3
∴ ∫ x2
dx = x3
= [33
- 13
] =1
3
3
1
3
1

dgep-uas 81
cálculo integral
El proceso para calcular integrales definidas se puede sintetizar en la siguiente regla
que también se le denomina Regla de Barrow, en honor al teólogo y matemático inglés
Isaac Barrow nombrado en las referencias históricas iniciales.
Regla de Barrow
Pasos para calcular la integral: ∫ f(x)dx
a) Se busca una primitiva F(x) de f, Entonces: F(x) = ∫ f(x)dx
b) Se calcula F(b) y F(a) y se calcula la diferencia F(b) - F(a)
c) Se hace ∫ f(x)dx = F(b) - F(a)
b
a
Las funciones para las que se puede calcular la integral definida desde x=a hasta
x=b se llaman integrables en el intervalo [a,b]. De la definición 1 resulta entonces, que
las funciones continuas son integrables.
Las integrales definidas conservan las propiedades de las integrales indefinidas.
Teorema 1
Si f y g son funciones continuas en un intervalo I ; (a, b ∈ I), se
cumple:
a) Para todo c ∈ ℜ; ∫ cf (x)dx = c ∫ f (x)dx
b) ∫ [ f (x) + g(x)] dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx
c) ∫ f (cx + d)dx = F(cx + d) ; donde F '(x) = f (x)
b
a
1
c
Estas operaciones resultan inmediatamente a partir de las propiedades de la integral
indefinida.
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a

82 dgep-uas
Ejemplo 4. Calcula las siguientes integrales definidas:
a) ∫ 2x4
dx
3
0
2
1
b) ∫ + dx1
x
1
x2 c) ∫ cos2x dx
π /2
0
d)∫ sen x dx
2π
π /2
Resolución:
d)∫ sen x dx = - cos x = - [cos 2π - cos (π / 2)]= -(1+ 0) = -12π
π /2
2π
π /2
En el ejemplo 4d anterior puedes apreciar que el valor de la integral definida también
puede ser un número negativo. Eso
sucede cuando la función es negativa
en un intervalo dado. En este caso no
representaría el área geométrica de-
terminada por la gráfica sino un “área
con signo” como en la figura 3.8.
Esta idea se desarrolla en el epígrafe
siguiente.
Las integrales definidas poseen
otras propiedades que dependen del
intervalo tal como se muestra en el teo-
rema 2.
Este teorema no lo vamos a demostrar, pero su demostración es muy sencilla utili-
zando de nuevo las propiedades de la derivación.
Figura 3.8
c) ∫ cos2x dx = sen2x = (sen π -sen 0) = 01
2
1
2
π /2
0
π /2
0
x5
5
3
0
486
5
∫ 2x4
dx = 2∫ x4
dx = 2 = 2 - =35
5
05
5a)
3
0
3
0
b) ∫ + dx =∫ dx + ∫ dx = ln x - = ln2 - - ln1- ≈ 1.21
x
1
x2
1
x
1
x2
1
x
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
Teorema 2.
Si y = f (x) es continua en el intervalo (a , b), y además a < c < b, entonces se
cumple:
1) ∫ f (x)dx = - ∫ f (x) dx ; Si se intercambian los límites el valor de la
integral cambia de signo
2) ∫ f (x)dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x)dx ; La integral se puede calcular por tramos
o subintervalos del intervalo principal
b
a
b
a
b
a
c
a
b
c

dgep-uas 83
cálculo integral
1. En el ejemplo de la figura 3.6c de la parabola (página 77), expresa el resultado usan-
do la integral indefinida tal como se hizo en los casos 3.6a y 3.6b.
2. Aplica la integral definida para calcular el siguiente limite:
3. ¿Cumple la integral con las exigencias de la definición?
4. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son correctas? Justifica (sin efectuar el cálcu-
lo).
∫ dx-1
1 1
x
a) ∫ (x - 1)dx = ∫ (1 - x)dx1
2
2
1
5. En equipo de 3 a 5 integrantes calcula las siguientes integrales definidas, y comprue-
ba el resultado con un procesador.
8)∫ dx =0
π/4 x
cos2
x2
b) ∫ x3
dx = ∫ x2
dx = ∫ (x3
+ x2
)dx1
2
1
5
1
5
c) ∫ 6x3
dx = ∫ 6x3
dx = ∫ x3
dx1
2
2
5
1
5
d) ∫ x3
dx + ∫ x2
dx > ∫ (x3
+x2
)dx1
2
1
2
1
2
e) ∫ x2
dx + ∫ x2
dx + ∫ x2
dx = 01
2
2
5
1
5
1)∫ (-x2
+10x - x ) dx =1
2
3)∫ dx =x
x2
+ 7-2
0
5)∫ dx =x2
- x
x +15
7
7)∫ dx =x -17
x2
+ x - 123
6
9)∫ (9x - 5)4
dx =1
3
2)∫ (x4
-2x3
+ 2)dx =-1
2
4)∫ dx =x2
2x3
-12
3
6)∫ dx =x + 4
2-4
0
10)∫ =dx
x - x4
9
Lim + + + + ... + +1
n2
2
n2
3
n2
4
n2
n-2
n2
n-1
n2n → ∞

84 dgep-uas
11)∫ dx =0
π/5 esen 5x
sec 5x
12)∫ π (5 + x sen x )2
dx =
15)∫ =dx
1 - ex
17)∫ sen3
2x cos 2x dx =0
π/4
18)∫ sen4x dx =0
π
21)∫ cos4
x sen x dx =0
π/2
6. Calcular el área limitada por la recta y = 3x + 5, el eje X y las rectas x = -1 y x =4.
7. Calcular el área limitada por la parábola y = 3x2
+ 3, el eje X y las rectas x = -1 y x = 3.
8. Determinar el área de la región R bajo la curva y = x4
-2x3
+ 2 en los intervalos:
(a) -1 ≤ x ≤ 0 (b) 0 ≤ x ≤ 2 (c) -1 ≤ x ≤ 2
9. Determinar el área de la región R bajo la curva y = 1 + x en los intervalos:
a) 0 ≤ x ≤ 2 (b) 2 ≤ x ≤ 4 (c) 0 ≤ x ≤ 4
10. Determinar el área de la región R bajo la curva y = 25 - x2
en el intervalo -3 ≤ x ≤ 5.
13)∫ dx =ln x2
x-2
2
0
1
19)∫ 1 + 4x2
dx =0
4
23)∫ =x1/2
dx
1 + x3/40
1
25)∫ =
(4x2
+ 2x) dx
(x2
+ 1)(x2
+2x + 1)0
1
27)∫ x2
lnx dx =0
1
29)∫ ex
senx dx =0
1
31)∫ x-2
dx = lim1
∞
[∫ x-2
dx ]=1
∞
0
7
14)∫ dx =x2
- 4
x2
4
16)∫ 4 + 9x2
dx =0
3
4
e5x20)∫ 103x
+ dx =1
3
22)∫ 25 + x2
dx =0
5
24)∫ =dx
(1 + x)3/2
+ x + 10
1
26)∫ x lnx dx =-1
4
28)∫ x2
ex
dx =0
3
30)∫ x2
cos x dx =0
1
b →∞
32) ∫ dx =
∞
–∞
ex
1+e2x

dgep-uas 85
cálculo integral
11. Determinar el área de la región R bajo la curva y = sen x en el intervalo 0 ≤ x ≤ π.
3.3 Teorema fundamental del cálculo.
En este epígrafe fundamentaremos la relación entre área e integración. Para ello
definiremos una función que se le denominará función área debajo de la curva y la
denotaremos A(x).
Teorema 3
Si f (x) es una función continua en el intervalo [a,b] y definimos la función área A(x)
tal que:
A(x) = S ( f (x))= ∫ f(x)dx ; con x ∈ [a,b] entonces:
a) A'(x)=f (x) para todo x ∈ (a,b)
b) ∫ f(x)dx = F(b) - F(a)
x
a
b
a
x
a
Una consecuencia de este teorema es que el área de la región comprendida entre
la gráfica de la función y el eje X desde a hasta b (a<b) se calcula mediante la integral
definida: ∫ f (x)dx , lo que fundamenta las afirmaciones de la introducción y nos permite
calcular áreas que antes no podíamos calcular, y de una forma relativamente cómoda.
Como te informamos en las referencias históricas de esta unidad, este teorema co-
nocido como teorema fundamental del cálculo fue demostrado por el matemático ale-
mán Gottfried W. Leibniz (1646-1716) y con él probó que la derivación y la integración
son inversas.
b
a
0
0 Π/2 Π 3Π/2 2Π2Π
ϕ
Π
3Π/2
ω
Π/2 y
x
y = sen (x)
1
R

86 dgep-uas
es el área de la región rayada que está comprendido entre el eje X y las verticales x y
x+h y es el cociente entre esa área rayada (una especie de trapecio con
el lado superior curvo) y su base que es x+h-x = h.
Demostración del Teorema 3:
Queremos calcular la derivada de la función
A(x)=S (f (x)) representada (Fig. 3.9).
Para ello usemos la definición
de derivada y calculemos el límite:
x
a
como:
A(x+h)-A(x)=S (f (x))-S (f (x))=S ( f (x))
x+h
a
x
a
x+h
x
A(x+h) - A(x)
h
A´(x)= lim = f (x)h→ 0
A(x+h) - A(x)
h
Figura 3.9
El cociente es entonces la “altura media” que estará comprendida entre f (x) y f (x+h)
y será más próxima a f (x) cuanto menor sea h. Por tanto el límite del cociente, cuando
h tiende a 0 es f (x):
A(x)
y = f (x) A (x + h) - A(x)
0 a
h
x+h b
{
x
∫ f(x)dx
b
a
lim
h→ 0
A(x+h) - A(x)
h
= ?
Ahora bien, como A(x) es una antiderivada o primitiva de f (x) resulta que:
A(x)= F (x) + c
donde F (x) es otra antiderivada de f (x). Por otro lado para x=a se tiene que:
a
a
A(a)=∫ f (x)dx = F(a) + c = 0 ⇒ c = - F(a)
b
a
∴ A(b)= F(b) + c = F(b) - F(a)=∫ f (x)dx

dgep-uas 87
cálculo integral
Ejemplo 5. Calcula el área de la región limitada por las rectas y = 5x; x = 2 y el eje de
la abscisas.
Resolución:
Como f (x) ≥ 0, para toda x entre 0 y 2 (Ver figura 3.10) se tiene que:
2
0
∫ 5xdx = 5∫ xdx = 5( x2
) = 5( · 22
- 0) = 5(2) = 10u21
2
2
0
2
0
1
2
3.4 Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas.

Hasta ahora has visto cómo utilizar la integral definida para calcular el área de una
superficie plana limitada por las rectas x = a ; x = b (a < b), el eje de las abscisas y la gráfica
de una función f (x)≥ 0 continua para todo x de su dominio.
En esos casos el teorema fundamental del cálculo permite calcular dicha área. Si la
función es negativa entonces el área se calcula mediante el valor absoluto de la integral
o de la función.
Como pueden observar, este teorema exige que se conozcan los límites de integra-
ción, y no siempre esa condición se cumple, o sea que se nos presentan situaciones en
donde no están dados esos límites. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6. Calcula el área de la región comprendida entre la curva y = -x2
+ 4 y el
eje de las abscisas.
Resolución: En este caso no se indican los límites para el cálculo del área. La figu-
ra 3.11 ilustra que la gráfica corta al eje “X” en dos puntos y el área comprendida entre la
gráfica y el eje “X” está limitada por esos puntos; luego, debemos comenzar por calcular
los puntos donde la gráfica corta al eje “X”, es decir, los ceros de f. Ya que sobre el eje X,
y = 0, entonces: -x2
+ 4 = 0, de donde x = ± 2, luego los límites de integración son -2 y 2.
Figura 3.10
y
x
x = 2
y = 5x
5
0 1 2 3

88 dgep-uas
En estas condiciones ya podemos apli-
car el teorema fundamental del cálculo.
El área sería:
Figura 3.11
Un análisis que se puede hacer a partir
de la función (y =-x2
+ 4) dada en el ejemplo
anterior es que si reflejamos su gráfica en
el eje X, obtenemos la gráfica de la función
y = x2
- 4 . En la figura 3.12 aparece rayada
su área en el intervalo de -2 a 2.
Figura 3.12
Observen que el área rayada corresponde a una integral negativa, pero como el
área de una región no varía al reflejarla en una recta, este resultado puede ser utilizado
para calcular el área comprendida entre la gráfica de una función continua, positiva o
negativa, y el eje “X”; basta utilizar el valor absoluto. (Ver figura 3.12)
= - + 8 - -- + (-8)8
3
-8
3
=10 2
3
A = ∫ (-x2
+ 4) dx = - + 4x
2
-2
x3
3
2
-2
A = ∫ (-x2
+ 4) dx = ∫ (x2
- 4)dx = ∫ | x2
- 4| dx2
-2
2
-2
2
-2

dgep-uas 89
cálculo integral
En general se tiene que el área A limitada por la gráfica de una función con-
tinua f (x), el eje “X” y las rectas x = a, x = b está dada por:
A =∫ f (x) dx
b
a
No obstante esa no es la única situación que te vas a encontrar. Por ejemplo te pue-
des encontrar otros casos como el siguiente.
La gráfica de la función corta al eje X en un
punto (hay un cero de la función) y está limitada por
dos rectas que cortan al eje X en los puntos a y b.
Observa en la fig 3.13 que en ese caso el resultado
de la integral no representa al área buscada pues
una parte es positiva y la otra negativa.
Figura 3.13
Lo anterior es debido a las compensaciones que se producen de las partes positivas
con las negativas como se muestra en la figura 3.13.
En los dos casos siguientes la parte de la figura 3.14 representada corta en dos
puntos al eje X, o sea, cada una de ellas tiene dos ceros en el intervalo [a,b]. Quedan
entonces determinadas regiones que corresponden a resultados positivos y negativos
de las integrales respectivas, y de nuevo no representan las áreas buscadas.
Figura 3.14
La forma correcta de proceder en estos casos es calcular por separado las inte-
grales de los diversos sectores y posteriormente sumar sus valores absolutos.
Es decir la solución es calcular el área “a trozos” tomando la integral de la función
si el área es positiva y el valor absoluto de la integral de la función si el área es negativa.
Luego se suman las áreas obtenidas para obtener el área total.
b

90 dgep-uas
En la figura 3.15 se ilustra que para calcular el área A es necesario descomponer el
intervalo de integración en subintervalos, según la función cambie de signo.
El área total es, entonces, una suma de áreas:
A = ∫ f (x)dx -∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
x
1
a
x
2
x
1
b
x
2
Observa que los límites de integración son las abscisas x=a y x=b, y los puntos de
corte de la curva con el eje X, o sea los ceros de la función en ese intervalo. Si no
están dados debes calcularlos.
Ejemplo 7: Calcular el área de la región comprendida entre la gráfica de y = sen x y
el eje “X” en el intervalo [ 0 , 2π]. La gráfica sería como la siguiente (fig. 3.16) :
Figura 3.16
Resolución: hay que analizar el signo de y = sen x, sabemos que:
Si x ∈[ 0 , π ], sen x ≥ 0 y Si x ∈[ π , 2π ], sen x ≤ 0
Figura 3.15
y
0 a bx1 x2 x
y= f (x)
y= f (x)
y= | f (x) |
y= f (x)
π

dgep-uas 91
cálculo integral
El área debe calcularse de -1 a 2 porque en ese intervalo la función limita un área con
el eje “X” (fig. 3.17) pero hay que tener en
cuenta que hay un cero intermedio que es
x2
= 0.
Luego hay que descomponer el intervalo de integración en dos subintervalos. Para
encontrar el límite de integración que falta (se conocen 0 y 2π ) se tiene que determinar
el cero de la función en ese intervalo pues es donde la función cambia de signo. Este es
π pues sen π = 0. Entonces:
Ejemplo 8: Calcula el área de la región comprendida entre el gráfico de la función
f (x) = x3
- x2
- 2x y el eje “X”.
Resolución: Para calcular el área debemos analizar donde la gráfica corta al eje “X”.
Como en este caso no tenemos la gráfica debemos calcular donde la función cambia de
signo, o sea, los ceros de la misma:
x3
- x2
- 2x = 0, o sea x (x - 2)(x+1) = 0 de donde se tiene que
x1
= -1 ; x2
= 0 ; x3
= 2 que son también los limites de integración.
+ +
-1 0 2
Figura 3.17
Vemos que f es no negativa en [-1 , 0] y no positiva en [ 0 , 2], (fig. 3.17)
Luego el área buscada se calcula mediante la integral:
5
12
= - - = u28
3
37
12
Observa que los ceros encontrados, hay que ordenarlos de menor a mayor para utili-
zarlos como límites de integración.
En este ejemplo, la gráfica de la función es la siguiente (Figura 3.18):
A = ∫sen x dx + ∫ sen x dx = - cos x | + cos x | = - (-1-1) + (1-(-1))=4u2
0
π
π
2π
0
π
π
2π
A = ∫ (x3
- x2
-2x)dx - ∫(x3
-x2
-2x)dx = - - x2
- - - x2
-1
0
0
2
x4
4
x3
3 -1
0
x4
4
x3
3 0
2
= 0 - - - ( - 1)2
- - - 22
-0(- 1)4
4
24
4
23
3
(- 1)3
3

92 dgep-uas
Por lo general no te van dar la gráfica de la función a la que le debes determinar su
área. Si la representas eso te ayudaría a orientar el cálculo que debes hacer.
1. En los siguientes ejercicios, traza la gráfica correspondiente y luego, auxiliándote del
cálculo integral, determina el área.
a) limitada por la recta y = 2x, el eje X y la recta x = 6
b) limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las rectas x = 2 y x = 8.
c) Comprueba cada resultado de los incisos anteriores, hallando el área por la fór-
mula estudiada en geometría.
2. Traza las gráficas de las funciones siguientes y calcula en cada caso el área de la
región limitada por el gráfico de la función, el eje X y las rectas x = a y x = b donde a
y b son los extremos de los intervalos dados.
a) y = x2
[-4,-2]
b) y = x + 2 [ -2, 5]
c) - x2
+ 4 [ -2 , 2]
d) y = x [1 , 4]
e) y = x2
+ 1 [-1, 1]
f) y = x3
[-3, 3]
Figura 3.18

dgep-uas 93
cálculo integral
3. Demuestra, usando el cálculo integral, que:
a) El área de un rectángulo es el producto del largo por el ancho.
b) El área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de los catetos.
c) El área de un trapecio rectángulo es el producto de la semisuma de las bases
por la altura.
4. Comprueba que ∫ x dx = 0 y que el área de la región determinada por la función y = x
en el intervalo[-1, 1] es igual a 1u2
. Justifica por qué el área no se corresponde con el
valor de la integral.
5. Calcula al área de la figura limitada por la parábola y = -- x2
y por las rectas
x =1, x = 3 y el eje de las abscisas.
6. Calcula el área limitada por la parábola y = 4x - x2
y el eje de las abscisas.
7. Determina el área bajo cada una de las curvas siguientes en el intervalo indicado.
1
-1
1
2
a) y = x -2 en 2 ≤ x ≤ 5
b) y = x3
en 1 ≤ x ≤ 3
c) y = sen 3x en 0 ≤ x ≤
d) y = ex
-1 en -1 ≤ x ≤ 0
e) y = en 2 ≤ x ≤ 4
π
3
3
x
7. La figura 3.19 muestra la curva y = x2
- x3
en el intervalo [0 , 2].
Calcula el área sombreada.
Figura 3.19
y
0 1 2 x
-4

94 dgep-uas
8. Calcula el área de la región limitada por la función f y el eje de las abscisas.
a) y = 4x + x2
b) y = x3
- 6x2
+ 8x
b) y = x3
-7x + 6 d) y = x2
- 7 x + 6
Áreas comprendidas entre dos o más curvas.
Otra aplicación importante del cálculo integral es la posibilidad de calcular áreas
comprendidas entre dos o más curvas.
Sean y = f (x), y = g (x) dos funciones, sus gráficas comprenden una región sobre el
intervalo limitado por las abscisas de los puntos de intersección de ambas curvas (fig.
3.20).
y f (x)
g(x)
0 x1 x2 x
Figura 3.20
En la figura 3.20 podemos ver que si ambas funciones son no negativas y g(x) ≤ f (x)
para todo x ∈ [x1
, x2
], el área limitada por ellas puede calcularse:
A = ∫ f (x)dx - ∫ g(x)dx = ∫ [f (x) - g(x)] dx
x2
x1
x2
x1
x2
x1
En general si f y g son dos funciones continuas, el área entre dos curvas se
calcula: A = ∫ | f (x) - g(x)| dx ; donde x1
y x2
son las abscisas de los puntos de inter-
sección. Si tenemos más de dos puntos de intersección el área se calcula por partes.
x2
x1
Ejemplo 9: Calcula el área limitada por los gráficos de:
(a) f (x) = x y g(x)=x2
(b) f (x) = x y g(x) = x3
.

dgep-uas 95
cálculo integral
Resolución:
(a) En la figura 3.21 se ha representado ambas curvas. Para calcular el área debe-
mos determinar los puntos de intersección y para hacerlo planteamos la igualdad x = x2
,
equivalente a x2
- x = 0 de donde se tiene que x1
= 0, x2
= 1
Como en el intervalo [ 0, 1] la función
x2
- x es no positiva, entonces:
x2
2
= - = - = u2x3
3
1
0
1
2
1
3
1
6
(b) También aquí planteamos la igualdad x= x3
que es equivalente a x3
- x = 0. Resol-
viendo la ecuación x (x2
-1) = 0 se tiene que: x ( x - 1) (x +1) = 0 ⇒ x1
= 0 ; x2
= 1 ; x3
= -1
Por tanto, los ceros son x = -1, x = 0 y x = 1 estos valores son también los límites de
integración. Analicemos el signo de x3
- x.
En la figura 3.22, se tiene el comportamiento de los signos de la función en los inter-
valos determinados por los ceros.
+ +
-1 0 1 Figura 3.22
Entonces, los intervalos que interesan para la integración son los que están entre los
límites. En el intervalo [-1 , 0] es no negativa y en el [ 0 , 1] no positiva. Para calcular el área
entre las curvas y = x3
y y = x hay que tener en cuenta el módulo de x3
- x es igual a x3
- x en
el intervalo [-1 , 0] pues x3
- x > 0 . De igual modo el módulo de x3
- x es igual a x - x3
en el
intervalo [ 0 , 1] pues x3
- x < 0. Entonces el área se calcula mediante la integral:
A =∫ |x3
- x|dx + ∫ |x3
-x |dx-1
0
0
1
y
x1 = 0 x2 = 1 x
Figura 3.21
0
1
-1
0
= ∫ (x3
- x) dx + ∫ ( x - x3
) dx
A = ∫ |x2
- x|dx = ∫ (x - x2
)dx
1
0
1
0
= - + - = - + + - =x4
4
x2
2 -1
0
x4
4
x2
2 0
1
1
4 2
1
2
1 1
4 2
1
y
x1 = -1
x2 = 1 x0

96 dgep-uas
b)
-3 -1
0 x
y =
1
x
y
y
0 2 x
c)
y = x - 1
y
y = x2
+ 4x - 3
a)
0
x
d)
y
0 y = sen x
y = π x - x2
π x
f (x) = 2 cos bx
e)
y
2
0 xπ
π
4
3π
4
x
y
-1 10
g(x) = x –1
f (x) = x +1
f)
1. Calcula el área de las regiones representadas en las figuras de abajo.

dgep-uas 97
cálculo integral
Figura 3.23
h(x) = 1- x
g)
y
0 x
g(x) = x +1
q(x) = - x + 4
h)
y
0 x
f (x) = x +2
2. Calcula el área de las regiones representadas en la figura 3.24.
Figura 3.24
a)
y = ex
y
1
0 1 x SUGERENCIA: (x ln x - x)' = ln x
y = lnx
y
0 1 e x
b)

98 dgep-uas
6. El área de la porción del plano limitada por la función f (x) = - (x ≠ 0) y el eje de
las abscisas en el intervalo [k , 1] es 26 u2
. ¿Cuál es el valor numérico de k en dicho in-
tervalo?
7. Calcula el área limitada por la curva y = x3
- 9x2
+ 24x - 18, el eje de las abscisas y
dos rectas paralelas al eje de ordenadas y trazadas de manera que pasan por los puntos
de extremos locales de la función.
8. Calcula el área comprendida entre la curva y = -x2
- x + 12, el eje de las abscisas y
la tangente a la curva en el punto de abscisa x = -1.
3
x4
3. Sean las funciones f (x) = x2
- 6x + 8 y g(x) = – 3x .Determina el área de la región
del plano limitada por las funciones f y g.
4. Calcula el área comprendida entre las curvas.
a) y = x + 1 , la recta y = x + 1 y el eje "X"
b) y = 1 - x , y = ex
- e y x = 0
c) y = x , y = 2 - x y y = 0
d) x2
= 4y, x2
= 8y - 4
5. El área bajo la curva comprendida por el gráfico de la función y = x - 3 y el eje
“X” en el intervalo 3 ≤ x ≤ b es A = . Determina el valor de b.4 2
3
9. Investiga y contesta las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué diferencia esencial existe entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo
Integral?
b) ¿Qué afirma y para qué sirve el Teorema Fundamental del Cálculo?
c) ¿Cuál es la condición analítica que garantiza que una función sea siempre inte-
grable en un intervalo cerrado?
d) ¿Conoces algún software con el cual se puedan calcular integrales?
Nota: si tu respuesta a esta cuestión es afirmativa describe brevemente dicho soft-
ware, en caso contrario, investiga al respecto.

dgep-uas 99
cálculo integral
UNIDAD DE APRENDIZAJE IV
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Competencia de unidad: Aplica en forma crítica y reflexiva el cálculo integral
en la modelación, formulación y resolución de problemas en diversos contex-
tos, y hace una evaluación de los resultados
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimien-
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos
4. Argumenta y comunica la solución obtenida de un problema, con métodos numéri-
cos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías computacionales, informáticas y de la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes
del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
4.1 Introducción
4.2 Volumen de sólidos de revolución
4.3 Longitud de un segmento de curva
4.4 Otras aplicaciones (en base a proyectos)

unidad IVcálculo integral
100 dgep-uas
UNIDAD DE APRENDIZAJE IV
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
4.1 Introducción
Esta unidad de aprendizaje tiene un carácter integrador de todo el curso, y también
de todos los cursos del área de matemáticas, y aunque es de carácter obligatorio al igual
que las restantes, aquí se recomienda seleccionar las aplicaciones en función del tiempo
disponible para finalizar el curso, y de las capacidades, habilidades e intereses de los
alumnos.
El concepto y las propiedades de la integral definida y su relación con el área tam-
bién pueden ser utilizados en multitud de fenómenos de otra naturaleza no propiamente
geométrica como has visto hasta ahora. A continuación verás algunas de estas aplica-
ciones.
4.2 Volumen de sólidos de revolución (Método del disco).
Si f es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. Recibe el
nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje X, la región
limitada por la gráfica de la función y = f (x), el eje X y las gráficas de las rectas x=a y x=b.
El eje X es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje X es
un círculo (Ver Figura 4.1).
Tal como se ilustra en la figura 4.1 para determinar el volumen de este tipo de sóli-
dos, seguiremos un procedimiento similar (llamado método del disco) al utilizado para
el área de una región, aproximando el volumen de un sólido de revolución por medio de
una suma de volúmenes de sólidos más elementales cuyos volúmenes individuales ya
están determinados.

dgep-uas 101
cálculo integral
En particular vamos a considerar n discos o cilindros circulares de igual espesor (Δx)
como los sólidos elementales, asumiendo que el volumen de un disco circular Vi es, por
definición, el producto del área de la base (A= π y2
) por el espesor. Por tanto, el volumen
de un disco o cilindro representativo en base a la función será:
Vi
= π [f (xi
)]2
Δx
Luego, el volumen total V del sólido de revolución debe ser aproximadamente igual
a la sumatoria de todos los Vi
, es decir:
V≈ π [f(xi
)]2
Δx1
+ π [f(xi
)]2
Δx2
+...+ π [f(xi
)]2
Δxn
= ΣVi
= Σ π [f(xi
)]2
Δxi
i=1 i=1
n n
Y de manera semejante al problema de área, al considerar el límite de la sumatoria
de un número infinito de discos o de cilindros, lo cual es equivalente a decir que n tiende
a infinito (n → ∞) o que el espesor de los discos tiende a cero (Δx → 0), se obtendrá el
valor exacto del volumen del sólido de revolución, el cual estará determinado por la ex-
presión siguiente:
Ejemplo 1: Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera al girar en
torno al eje X, la región limitada por la gráfica de la función f (x) = x y la recta
x = 4 . (Ver Figura 4.2)
Resolución:
V= π ∫ [ f (x)]2
dx = π ∫ x dx = π ∫ x dx = = (42
- 02
) = 8π u3b
a
4
0
2 4
0
πx2
2
4
0
π
2
V= lim Σ π [f(xi
)]2
Δx = π . lim Σ [f(xi
)]2
Δx = π ∫ [f (x)]2
dxn → ∞ i=1
n
Δx → 0 i=1
n b
a
Figura 4.2

102 dgep-uas
Ejemplo 2: Calcula el volumen de una esfera de radio r.
Resolución (ver Figura 4.3): en este caso se puede considerar que la curva que
genera a la esfera es la correspondiente a la ecuación de la circunferencia de radio r. O
sea: y2
+ x2
= r2
.
Figura 4.3
Ejemplo 3: Calcula el volumen de un cono de radio R y altura h.
Resolución: Primeramente dibujemos un cono en el sistema coordenado tal como
se muestra en la figura 4.4. Luego determinamos la ecuación de la función cuya gráfica
es una recta que al girar alrededor del eje X genera el sólido de revolución de forma có-
nica. A partir de los datos se obtiene que dicha ecuación es:
y - y1
= m (x-x1
)
R
h
⇒ y - 0 = - (x -h)
∴ y = - x + RR
h
Por lo tanto, el volumen será:
= π - x2
+ R2
x = π h - R2
h + R2
h = πR2
h u31
3
h
0
R2
h2
x3
3
R2
h
R2
3
Figura 4.5
O
-r r
y = r2
- x2
⇒ y = r2
- x2
∴V = π ∫ r 2
- x2
dx
r
-r
2
= π r2
x -
r
-r
x3
3
= πr34
3
= π ∫ (r2
-x2
) dx
r
-r
V= π ∫ [ f (x)]2
dx = π ∫ - x + R dxh h
0
2
R
h0
h
0
R2
h2
2R2
h
= π∫ x2
- x + R2
dx

dgep-uas 103
cálculo integral
4.3 Longitud de un segmento de curva
De manera similar a como el área bajo una curva se puede aproximar por las áreas
de los rectángulos bajo (o arriba) de ella, la longitud de una curva puede ser aproximada
por pequeños segmentos de recta tal como se muestra en la figura 4.5.
Sea una curva cualquiera, definida por una función y = f (x), y supongamos que que-
remos aproximar la longitud del arco de curva S desde un punto donde x = a hasta un
punto donde x = b. Con este propósito podemos construir una serie de n (n = 6) triángulos
rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como
se ve en la figura 4.5. Para facilitar los cálculos podemos hacer que las bases de todos
los triángulos sean iguales a Δx, de manera que al aplicar el teorema de Pitágoras existirá
para cada triángulo un cateto Δy y una hipotenusa Δs relacionados por las expresiones:
Δy
Δx
= 1 + (Δx)
2
(Δs)2
= (Δx)2
+ (Δy)2
⇒ Δs = (Δx)2
+ (Δy)2
= (Δx)2
+ (Δy)2 Δx
Δx
De donde, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas las n hipo-
tenusas desplegadas. Obteniéndose que:
S ≈ ∑
Δyi
Δxi
1+ · Δxi
2n
i =1
Resulta fácil imaginar que mientras más pequeñas sean estas n hipotenusas (n seg-
mentos de recta), mejor será la aproximación buscada. Por lo cual haremos que Δx
tienda a cero (Δx→0), lo que equivale a trazar un número infinito de pequeños triángulos
rectángulos de hipotenusas infinitamente pequeñas.
Figura 4.5
Δy
Δx
a x1
x2
x3
x4
x5 b x
Δs y = f (x)

104 dgep-uas
Pero, cuando Δx→0, Δx es igual a dx, y Δyi
/ Δxi
se transforma en el cociente de dife-
renciales dy/dx, que es por definición la derivada de la función ( f '(x)), resulta que como
consecuencia de estos cambios, la aproximación de la sumatoria anterior se convierte en
un valor exacto para la longitud S del arco de la curva, y da origen a la siguiente integral
definida:
S = Lim ∑
Δyi
Δxi
1+ · Δxi
=∫ 1 + (f '(x))2
dx
∞
i =1Δx→0
b
a
2
Ejemplo 4: Calcula la longitud S del segmento de la curva y = 4x+2 del punto (-3,-10)
al punto (2,10).
Resolución: ya que f '(x) = 4, y haciendo a = -3 y b = 2, se obtiene que.
S =∫ 1 + (f '(x))2
dxb
a
=∫ 1 +(4)2
dx = 17 ∫ dx = 17 (2-(-3)) = 5 17 u2
-3
2
-3
Nota: dado que en este caso se trata de una función lineal, comprueba que se obtie-
ne el mismo resultado aplicando la conocida fórmula d = (y2
- y1
)2
+ (x2
- x1
)2
que se aplica
para calcular la distancia entre dos puntos de una recta.
Ejemplo 5: Calcula la longitud S del segmento de la curva y = x3/2
de punto (0, y1
) al
punto (4, y2
).
Resolución: ya que f '(x) = x1/2
, y haciendo a= 0 y b= 4, se obtiene que.3
2
S =∫ 1 + (f '(x))2
dx = ∫ 1+ x1/2
dx = ∫ 1+ x dx = ?b
a
4
0
3
2
2
4
0
9
4
Esta integral se puede resolver haciendo el siguiente cambio de variable:
u = 1+ x ⇒du = dx ⇒ dx = du9
4
9
4
4
9
Por tanto:
S =∫ 1 + x dx = ∫ u du = = ∫ u du= u0
4 9
4 0
4
1
2 4
9
4
9 0
4
1
2 8
27
3
2
0
4
3
9
4
= 1+ x = 1+ (4) - 1+ (0) = [10 10-1]≈ 9.078
27
4
0
8
27
9
4
3
9
4
3
8
27

dgep-uas 105
cálculo integral
1. Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje
X, la región limitada por la gráfica de la función f (x) = x + 3 y la recta x = 5.
2. Calcula el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la gráfica de la
función f (x) = x + 2 en torno al eje X en el intervalo [0,4].
función f (x) = ex
en torno al eje X en el intervalo [0,1].
función y = x3
en torno al eje X en el intervalo [0,2].
5. Calcula el volumen de un cono de radio 5 y altura 20.
6. Calcula el volumen que genera la región limitada por las gráficas de las curvas
f (x) = x +2 y f (x) = x2
cuando giran alrededor del eje X.
7. Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del
eje X la región entre las gráficas de las funciones f (x) = x3
y f (x)=x.
9. Calcula la longitud del arco de la curva y = 2 x3
en el intervalo [1, 5].
10. Calcula la longitud del arco de la gráfica de y = x2
en el intervalo [1, 4].
11. Calcula la longitud de la curva x2
+ y2
= 16 en el intervalo [1, 3].
12. Calcula la longitud de la curva en el intervalo , .
13. Sea y = f (x) una función continua en el intervalo a ≤ x ≤ b. Entonces el valor pro-
medio VP de la función en dicho intervalo está determinado por la integral definida:
a) Calcula VP de en el intervalo 0 ≤ x ≤ 6
b) Calcula VP de en el intervalo 50 ≤ x ≤ 70
f (x)= +x4
2
x-2
16
1
2
3
2
8. Cuando en un sólido de revolución el eje de giro es el eje Y, el volumen se de-
termina por la expresión . Calcular el volumen que genera la región
limitada por x = y y las rectas y = 0 y y =3, si gira alrededor del eje de las Y.
V =π ∫ [f (y)]2
dy
b
a
1
b–a
VP = ∫ f (x)dx
b
a
750x
4x2
+25
f (x) =
100(lnx–2)
x
f (x) =

106 dgep-uas
4.4 Otras aplicaciones (basadas en proyectos)
El objetivo central de este apartado es que el alumno, conforme a sus intereses, se-
leccione un campo disciplinar y al menos tres situaciones problemáticas (o problemas)
de dicho campo que requieran para su resolución de los conceptos y procedimientos del
cálculo integral. En consecuencia este apartado se trabajará basado en proyectos de
investigación grupal.
Los problemas seleccionados deberán estar dentro de uno de los siguientes campos
disciplinares o de conocimiento:
Campo de la matemática:
Problemas sobre cálculo de probabilidades
Problemas sobre la resolución de ecuaciones diferenciales de variables separables.
Problemas contextualizados sobre la determinación del valor promedio de una
función.
Campo de la física:
Problemas sobre el movimiento de un cuerpo.
Problemas sobre el cálculo del trabajo producido por una fuerza variable.
Problemas sobre la determinación de la presión y fuerza ejercida por un fluido.
Problemas sobre la ley de enfriamiento de Newton.
Campo de la química, biología y medicina:
Problemas sobre velocidades de reacciones químicas.
Problemas sobre crecimiento de poblaciones.
Problemas sobre la acumulación o concentración de medicamentos
Campo de las ingenierías:
Problemas sobre cálculo de momentos, centro de masas y centroides de una
lámina homogénea.
Problemas sobre circuitos eléctricos.
Campo de economía y administración:
Problemas sobre economía
Problemas sobre acumulación de capital y valor presente de flujos de dinero.
Problemas sobre costo total de producción.

dgep-uas 107
cálculo integral
Justificación, forma, metodología y contenidos del proyecto:
Para la ejecución del proyecto, tanto el profesor como los estudiantes deberán tener
en consideración que el aprendizaje basado en proyectos está orientado a un saber
hacer complejo de donde adquiere su carácter interdisciplinario o multidisciplinario, por
lo cual en su desarrollo posiblemente se necesiten múltiples recursos y medios, así como
de la promoción y puesta en juego de un conjunto de competencias tanto genéricas como
disciplinares que posibilitan una actuación activa, autónoma, creativa y colaborativa del
estudiante. De donde, la enseñanza y aprendizaje basada en proyectos se constituye en
una estrategia didáctica pertinente para la promoción y evaluación de las competencias
disciplinares de matemáticas que conforman el perfil del egresado del nivel medio supe-
rior.
El proyecto deberá ser realizado de manera colaborativa, donde se integren equipos
de 5 a 6 estudiantes, y deberá ser desarrollado y presentado describiendo los siguientes
lineamientos de forma, metodología y de contenido:
1. El docente informará a los alumnos de los tiempos y formas del trabajo.
2. Los alumnos informarán al docente sobre los integrantes del equipo y del cam-
po disciplinar de donde se seleccionarán los problemas a investigar y resolver
durante el proyecto.
3. El equipo deberá justificar brevemente en el reporte escrito las razones por la
cual seleccionó el campo disciplinar.
4. En cada problema resuelto se deberá incluir mínimamente el enunciado del
problema, los desarrollos matemáticos donde se deducen las fórmulas y ex-
presiones matemáticas utilizadas en el proceso de resolución del problema, los
cálculos y operaciones matemáticas realizadas, y una evaluación y análisis de
la pertinencia de los procedimientos y resultados obtenidos, y finalmente las
fuentes de donde obtuvo la información necesaria para resolverlo.
5. El profesor, en el salón de clases, deberá darle asesoría en tiempo y forma a
los equipos que lo soliciten previamente, y en caso de que la situación rebase
sus posibilidades los orientará para que la busquen con especialistas del campo
disciplinar o de conocimiento.
6. El equipo deberá hacer frente al grupo, al menos una vez, un informe y una
presentación verbal de los avances y de los resultados parciales obtenidos. Así
como, hacer correcciones a su trabajo en caso de que se le señalen errores en
el proceso de resolución.
7. El equipo entregará un reporte escrito al maestro, en tiempo y forma, de su in-
vestigación final, y con anexos (por ejemplo formularios) al final, en caso de ser
necesario.
8. El equipo hará frente al grupo una presentación y defensa de su investigación
final.
9. Del cumplimiento de los puntos anteriores se considerarán los criterios e indi-
cadores para evaluar el proyecto de investigación realizado por los equipos.

108 dgep-uas
2. Diseña y desarrolla, en equipo de 5 a 6 integrantes, un proyecto sobre aplica-
ciones del Cálculo Integral donde resuelvan al menos tres problemas de un campo de
conocimiento previamente elegido por el equipo y autorizado por el profesor o profesora
de la asignatura.
1. Investiga y contesta las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué es un modelo matemático?
b) ¿Qué diferencia existe entre problema real y el problema matemático mediante
el cual se representa?

dgep-uas 109
cálculo integral
A) BÁSICA:
1. Oteyza, Elena. (2006). Conocimientos fundamentales de matemáticas: cálculo
diferencial e integral. México. Pearson-Educación y UNAM.
2. Fuenlabrada, Samuel. (2008). Cálculo Integral. México. McGrawHill.
3. Cuéllar, C. Juan Antonio. (2007). Matemáticas VI: Cálculo Integral. México.
McGrawHill.
4. Larson, R.E. y Hostetler, P.R. y Edwrsds, H.B. (2009). Cálculo Integral:
Matemáticas II. México, McGrawHill.
5. GRANVILLE, W. A. (2006). Cálculo Diferencial e Integral. México, Editorial
Limusa.
6. Salazar, Guerrero, Ludwing J. y Otros Autores. (2009). Cálculo Integral. México,
Grupo Editorial Patria.
B) COMPLEMENTARIA:
7. D. Hoffmann, Laurence y Otros autores. (2006). Cálculo Aplicado. México,
McGrawHill.
8. Hughes-Hallett y Otros Autores. (2004). Cálculo Aplicado. México, CECSA.
9. Cruse, A. B. y M. Lehman. Lecciones de Cálculo II. Introducción a la integral.
Fondo Educativo Interamericano. 1982.
10. Hackett, S. O. y M. Sternstein. (1982). Cálculo por Objetivos. México, Editorial
CECSA.
11. Mochon, S. (1994). Quiero entender el Cálculo. México. Grupo Editorial
Iberoamérica.
BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA PARA EL ESTUDIANTE Y EL PROFESOR

110 dgep-uas

dgep-uas 111
cálculo integral
Cálculo II
Segunda edición
Arturo Ylé Martínez
José Alfredo Juárez Duarte
Faustino Vizcarra Parra
Se terminó de imprimir en el mes Diciembre de 2012,
en los talleres gráficos de Servicios Editoriales Once Ríos,
Rio Usumacinta 821, Col. Industrial Bravo, C.P. 80120
Culiacán, Sinaloa, México. Tel. 7-12-29-50.
La edición consta de 6, 500 ejemplares.

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