8 MáXimo ComúN Divisor Y MíNimo ComúN MúLtiplo
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El documento explica cómo calcular el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de números. Define MCD como el mayor divisor común y MCM como el menor múltiplo común. Describe cómo descomponer números en factores primos y calcular MCD y MCM usando los factores comunes.
8 MáXimo ComúN Divisor Y MíNimo ComúN MúLtiplo
- 1. 11 de marzo de 2010 Para hallar los divisores comunes a dos o más números: Consideremos los números 24 y 60 . Divisores de 24 : D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores de 60 : D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Vamos a calcular los divisores de ambos: Se hallan los divisores de cada número. Se toman los comunes. Observa: El número 1 es divisor de todos los números. Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es el 1. 3 y 19 son primos entre sí. Divisores comunes a varios números Los divisores comunes a 24 y 60 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- 2. 11 de marzo de 2010 El máximo común divisor de varios números es el mayor de los divisores comunes. Calculamos los divisores comunes a 36 y 24 Divisores de 24 : D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores de 36 : D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Suele designarse abreviadamente por m.c.d. Divisores comunes ( 36, 24 ) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 } El mayor de estos divisores comunes es 12 . Por eso a 12 se le llama máximo común divisor de 36 y 24 . Se escribe así: m.c.d. (36, 24 ) = 12 Otro ejemplo: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Calculemos el m.c.d. (45, 60) D (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45} m.c.d. (45, 60) = 15 El máximo común divisor de varios números
- 3. 11 de marzo de 2010 El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Consideremos los números 30 y 18. Divisores de 30: 1 2 3 5 6 15 30 Divisores de 18: 1 2 3 6 9 18 Divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6 El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Escribimos: m.c.d. (30 y 18) = 6 El mayor de ellos es el 6. Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos: 30 = 2 · 3 · 5 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3 2 Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. El máximo común divisor. m.c.d. 2 · 3 = 6
- 4. 11 de marzo de 2010 Para calcular el máximo común divisor de varios números: Calculemos los divisores comunes a 36 y 24 a partir de la expresión de cada número como producto de primos. Se escribe cada número como producto de sus factores primos. Otro ejemplo: Calculemos el m.c.d. (20, 90, 600) m.c.d. (20, 90, 600) = 2 x 5 = 10 2 2 y 3 son divisores comunes a 36 y 24 . El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Factores comunes: 2 y 5 Menor exponente: 1 Cálculo del máximo común divisor de varios números Luego también es factor común a 36 y 24 . es el mayor de los divisores comunes a 36 y 24 . m.c.d. (36, 24 ) =
- 5. 11 de marzo de 2010 El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, excluido el cero. Consideremos los números 35 y 25. Múltiplos de 35: 0 35 70 105 140 175 210 … 350 … 525, ... Múltiplos de 25: 0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ... Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ... El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175 Factores comunes: 5 Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 5 2 · 7 = 175 Factores no comunes: 7 El menor de ellos, excluido el 0, es 175 35 = 5 · 7 25 = 5 2 El mínimo común múltiplo. m.c.m.
- 6. 11 de marzo de 2010 Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600. 780 2 390 2 195 3 65 5 13 Los descomponemos en factores primos: 300 2 150 2 75 3 25 5 5 1 13 1 5 m.c.d.(780, 600) = 2 2 · 3 · 5 = 60 m.c.m.(780, 600) = 2 3 · 3 · 5 2 ·13 = 7800 Factores comunes: 2 3 5 Menor exponente respectivo: 2, 1 y 1 Mayor exponente respectivo: 3, 1 y 2 Factores no comunes: 13 600 2 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2 Máximo común divisor: Mínimo común múltiplo: Factores comunes: 2 3 5 Cálculo del mcd y del mcm 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2
- 7. 11 de marzo de 2010 Problema : Una habitación rectangular de 7,8 m de largo por 3 m de ancho se quiere solar con baldosas cuadradas lo más grandes posibles. ¿Cuánto deberá medir el lado de cada una si al colocarlas no se quiere romper ninguna? Se da : Largo y ancho: 780 y 300 cm. Se pide : La medida de las baldosas, lo más grandes posibles, que cabe tanto a lo largo como a lo ancho (sin romperlas). Para no romper ninguna, la media del lado debe ser un divisor de 780 y de 300. Para que sean lo más grandes posible, ese número será el m.c.d.(780, 300). La descomposición en factores primos es: m.c.d.(780, 600) = 2 2 · 3 · 5 = 60 El lado de cada baldosa debe ser de 60 cm. Aplicación del máximo común divisor 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2
- 8. 11 de marzo de 2010 Problema : El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy curioso. Si se divide entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es 1. Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo de Yolanda? 1º. Tantear para comprender mejor ¿Podrían ser 901 habitantes? 2º. Pensar un problema más fácil Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos. 3º. Comprobar el resultado 100 : 9 da de resto es 1. 100 : 11 da de resto 1. Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · 9 +1. Podría ser Pero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale. Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11. Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1. ¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1? El número será: 9 · 11 + 1 = 100 Resolución de problemas ¡Pues 1 !