Algebra de boole
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Este documento presenta una introducción a la algebra de Boole. Explica que George Boole fue un matemático inglés que desarrolló la lógica booleana. Luego define las variables lógicas y sus valores de verdad, y describe compuertas lógicas como AND, OR, NOT usando circuitos eléctricos. Finalmente, introduce leyes booleanas como la distribución y de Morgan para transformar expresiones lógicas.
Algebra de boole
- 1. INSTITUTO TELESUP ALGEBRA DE BOOLE ABEL GERONIMO QUILLAY
- 2. Introducción George Boole El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda. Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.
- 3. Variable Lógica Definición ► En general, el termino variable lógica o booleana, hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z empleado para representar dispositivos o magnitudes físicas que llenan solamente dos valores o estados, verdadero o falso, que son representados simbólicamente por 1 o 0 respectivamente. ► Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado” de un contacto eléctrico se designan mediante los símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay electricidad) respectivamente.
- 4. Variable Lógica Pulsador Normalmente Abierto ► Debido a que el contacto esta “abierto”, no pasa corriente eléctrica por el cable. ► Z= 0 quiere decir que tiene un valor lógico de “cero”, no pasa electricidad porque el pulsador esta en reposo (ninguna fuerza esta venciendo el resorte de retención).
- 5. Variable Lógica Pulsador Normalmente Abierto ► Ahora accionamos el pulsador (ya no esta más en reposo). ► La corriente eléctrica recorre el cable, esto implica que Z = 1.
- 6. Variable Lógica Pulsador Normalmente Cerrado ► ► Un contacto NC es el que se usa el las puertas de las heladeras o automóviles, que encienden una luz cuando deja de estar oprimido. El estado de reposo de un pulsador NC implica que Z=1.
- 7. Variable Lógica Pulsador Normalmente Cerrado ► Al accionar el pulsador, deja de pasar corriente eléctrica por el cable. ► Entonces Z toma el valor lógio “cero”.
- 8. Función Lógica Definición ► Una función lógica o booleana es una variable lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión algebraica, constituida por otras variables lógicas relacionadas entre sí por medio de las operaciones suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o negador (-). ► Las tres operaciones mencionadas son las operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y “NEGACIÓN”.
- 9. Función Lógica Definición ► El valor de la expresión algebraica depende de los valores lógicos asignados a las variables que la constituyen, y de la realización de las operaciones indicadas. Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z tomará el valor cero o uno según los valores de A y B. Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como B tengan el valor cero. Recordemos que: 0 1 0 1 + + + + 0 0 1 1 = = = = 0 1 1 1
- 10. Función Lógica Definición Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el valor uno. Recordemos que: 0 · 0 = 0 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 Una negación invierte el valor de las variables. Se representa con la variable (en este caso “A”) negada. Así: Z=A 0 = 1 1 = 0
- 11. Tabla de Verdad 1 y 2 variables ► ► Se tienen n variables y las tablas de verdad se construyen respondiendo a la expresión: “El número de filas es igual a 2 elevado a la n”. 21(variable) = 2 filas A 0 1 22(variables) = 4 filas A 0 1 0 1 B 0 0 1 1
- 12. Tabla de Verdad 23 variables = 8 filas C 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 1 0 1 0 1 0 1
- 13. Compuertas Lógicas Definición ► Cuando se desea cambiar el estado de una variable determinada se podría accionar una llave (compuerta) que realice este proceso. ► “Compuerta” proviene de que este dispositivo puede usarse para permitir o no que el nivel que llega a un cable de entrada se repita en el cable de salida. ► “Lógica” se debe a que una compuerta realiza electrónicamente una operación lógica, de forma tal de que a partir de una combinación de valores lógicos en las entradas, se obtiene un valor lógico (1 ó 0) en su salida.
- 14. Compuertas Lógicas Compuerta “AND” Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z). Responde a la expresión: Z=A·B
- 15. Compuertas Lógicas Compuerta “AND” A·B=Z 1 · 1= 0 0 ·0 = 1 1 ·1 = 0 ·0 A 0 1 0 0 0 1 0 1 B Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
- 16. Circuito Lógico Compuerta “AND” Z=A·B También es posible representar la función lógica, su tabla de verdad y su compuerta con los pulsadores NC, formando un “circuito lógico”.
- 17. Circuito Lógico Compuerta “AND” Z=A·B Esto coincidese La luminaria con la TV enciende cuando cuando A A y B son y B toman el valor pulsados al 1, haciendo que mismo tiempo. Z valga 1. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Z 0 0 0 1
- 18. Compuertas Lógicas Compuerta “OR” Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z). Responde a la expresión: Z=A+B
- 19. Circuito Lógico Compuerta “OR” Z=A+B Esto coincidese La luminaria con la TV cuando enciende cuando A o B A o B son toman el valor pulsados. 1, haciendo que Z valga 1. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Z 0 1 1 1
- 20. Compuertas Lógicas Compuerta “SEGUIDOR” Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida, el valor que se encuentra a la entrada. Responde a la expresión: Z=A
- 21. Circuito Lógico Compuerta “SEGUIDOR” Z=A Esto coincidese La luminaria con la TV cuando enciende cuando A toma A es pulsado. el valor 1, haciendo que Z valga 1. A 0 1 Z 0 1
- 22. Compuertas Lógicas Compuerta “INVERSOR” Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico que enciende el cable que está en su salida, si el cable que está en su entrada se encuentra apagado, y viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro. Responde a la expresión: Z=A
- 23. Circuito Lógico Compuerta “INVERSOR” Z=A Esto activará Z se coincide si con la TV A toma el cuando valor 0.A toma el valor 0, haciendo que Z valga 1. A 0 1 Z 1 0
- 24. Compuertas Lógicas Compuerta “EXOR” Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las que llegan los estados de las dos variables (A ⊕ B), y una salida, que genera en el cable (Z). Responde a la expresión: Z = A⋅ B + B ⋅ A
- 25. Circuito Lógico Compuerta “EXOR” Z = A⋅ B + B ⋅ A Z se activará Esto se refleja si Pero cuando A la TV se en o B se ambos cuando activan, pero A o B estan activan al no al mismo activados. mismo tiempo, tiempo Z vale 0. A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
- 26. Leyes de Algegra de Boole Algebra de circuitos lógicos El álgebra de Boole es una parte de la matemática que utiliza expresionesLey Distributiva lógica dual. basadas en la Ley Distributiva Ley de Conmutativa Ley Asociativa respecto del producto) Ley dela suma Doble Negación Ley de Morgan (de Absorción (del producto con respecto a la suma) Relaciones de Morgan Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos A +(B ·+AC)= ++·A B)(C·C A) B A · B = = (C(A B · + C + C +(B +C)B=A B)+ A + Α=Α Α + Β = Α⋅Β Α + Α =1 Para la Suma Para el Producto Y productos lógicos en sumas lógicas A + A = A Α⋅Α = 0 A· A=A A+0=A A·0=0 Α⋅Β = Α + Β A+1=1 A·1= A
- 27. Compuertas Derivadas Compuerta “NAND” Una compuerta NAND resulta de invertir la salida de una compuerta AND. Compuerta AND Z = Α⋅Β Invertimos la salida (NAND) Z = Α⋅Β Negamos de ambos lados Z = Α⋅Β Por ley de doble neg. Z = Α⋅Β Por ley de Morgan Z = Α+Β Expresión Booleana
- 28. Compuertas Derivadas Compuerta “NOR” Una compuerta NOR resulta de invertir la salida de una compuerta OR. Compuerta OR Z = Α+Β Invertimos la salida (NOR) Z = Α+Β Negamos de ambos lados Z = Α+Β Por ley de doble neg. Z = Α+Β Por ley de Morgan Z = Α⋅Β Expresión Booleana
- 29. Compuertas Lógicas Compuerta “NOR” Α⋅Β = Ζ 1 ⋅⋅0 = 0 0 1 =1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
- 30. Circuito Lógico Compuerta “NOR” Z = Α+Β Z será igual a 1 si A o B no se presionan en ningún momento
- 31. Compuertas Derivadas Compuerta “EX-NOR” Compuerta NOR Z = Α⋅Β + Β⋅Α Invertimos la salida (EX-NOR) Z = Α⋅Β + Β⋅Α Z = Α⋅Β + Β⋅Α Negamos de ambos lados Ζ = ( Α ⋅ Β) ⋅ ( Β ⋅ Α ) Por ley de Morgan Nuevamente Morgan Al distribuir nos queda: Ζ = ( Α + Β) ⋅ (Β + Α)) 0 } } Ζ = Α⋅Α + Α⋅Β + Β⋅Α + Β⋅Β 0 Ζ = Α⋅Β + Β⋅Α Expresión Booleana
- 32. Circuito Lógico Compuerta “EX-NOR” Z = Α⋅Β + Α⋅Β Como siempre, la TV se corresponde con el circuito, la compueta y la expresión booleana. A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
- 33. Funciones Equivalentes Utilidad A una función lógica le corresponde una única tabla de verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le puede asociar diferentes expresiones equivalentes. Esto permite reemplazar un circuito por otro, según las necesidades técnicas y/o económicas que se posean. Más especificamente, la utilidad del concepto de funciones equivalente es la posibilidad de utilizar menor cantidad de chips para la implementación de un circuito.
- 34. Compuertas Lógicas Comportamiento a) Las entradas están puenteadas.
- 35. Compuertas Lógicas Comportamiento b) Una de las entradas trabaja como señal de control.
- 36. Compuertas Lógicas Comportamiento c) La señal de salida realimenta a la de entrada.