Algoritmo de Floyd - Warshall para imformatica

Algoritmo de Floyd- Warshall
• Fue descrito en 1959 por Bernard Roy, es un algoritmo de análisis
sobre grafos para encontrar el camino mínimo en grafos dirigidos
ponderados.
• El algoritmo encuentra el camino entre todos los pares de vértices de
una única ejecución.
• Este algoritmo es un ejemplo de programación dinámica.

• El problema que intenta resolver este algoritmo es el de encontrar el
camino mas corto entre todos los pares de nodos o vértices de un
grafo.
• Esto es semejante a construir una tabla con todas las distancias
mínimas entre pares de ciudades de una mapa, indicando además la
ruta a seguir para ir de la primera ciudad a la segunda.
• El tiempo de ejecución del algoritmo es:

• Se tiene el siguiente grafo dirigido
1 2
4 3
7
8
2
1
2
3
5

• Del grafo se saca la siguiente matriz.
A0
=
• En la primera iteración se tomara la primera fila y columna.
A0
= A1
=
1 2 3 4
1 0 3 ∞ 7
2 8 0 2 ∞
3 5 ∞ 0 1
4 2 ∞ ∞ 0
1 2 3 4
1 0 3 ∞ 7
2 8 0 2 ∞
3 5 ∞ 0 1
4 2 ∞ ∞ 0
1 2 3 4
1 0 3 ∞ 7
2 8 0
3 5 0
4 2 0

• Para calcular la distancia menor entre los nodos se realiza las
siguiente operación
• A0
[2,3] A0
[2,1] + A0
[1,3]
2 < 8 + ∞
• A0
[2,4] A0
[2,1] + A0
[1,4]
∞ > 8 + 7
• A0
[3,2] A0
[3,1] + A0
[1,2]
∞ > 5 + 3
• A0
[3,4] A0
[3,1] + A0
[1,4]
1 < 5 + 7
• A0
[4,2] A0
[4,1] + A0
[1,2]
∞ > 2 + 3 A1
=
• A0
[4,3] A0
[3,1] + A0
[1,2]
∞ > 2 + ∞
1 2 3 4
1 0 3 ∞ 7
2 8 0 2 ∞
3 5 ∞ 0 1
4 2 ∞ ∞ 0
1 2 3 4
1 0 3 ∞ 7
2 8 0
3 5 0
4 2 0

• A1
=
• Para la segunda iteración.
• A1
[1,3] A1
[1,2] + A1
[2,3]
∞ > 2 + 3
• A1
[1,4] A1
[1,2] + A1
[2,4]
7 < 3 + 15
• A1
[3,1] A1
[2,1] + A1
[3,2] A2
=
5 < 8 + 8
• A1
[3,4] A1
[3,2] + A1
[2,4]
1 < 5 + 3
1 2 3 4
1 0 3 ∞ 7
2 8 0 2 15
3 5 8 0 1
4 2 5 ∞ 0
1 2 3 4
1 0 3
2 8 0 2 15
3 8 0
4 5 0

• A1
[4,1] A1
[2,1] + A1
[4,2]
2 < 8 + 5
• A1
[4,3] A1
[2,3] + A1
[4,2]
∞ > 5 + 2
A2
=
• Para la tercera iteración
• A2
[1,2] A2
[1,3] + A2
[3,2]
3 <5 + 8
• A2
[1,4] A2
[1,3] + A2
[3,4]
7 > 5 + 1
• A2
[2,1] A2
[1,3] + A2
[3,2]
8 > 2 + 5
1 2 3 4
1 0 3 5 7
2 8 0 2 15
3 5 8 0 1
4 2 5 7 0
1 2 3 4
1 0 5
2 0 2
3 5 8 0 1
4 7 0

• A2
[2,4] A2
[2,3] + A2
[3,4]
15 > 2 + 1
• A2
[4,1] A2
[3,1] + A2
[4,3] A3
=
2 < 5 + 7
• A2
[4,2] A2
[3,2] + A2
[4,3]
5 < 8 + 7
• Ultima iteración
• A3
[1,2] A3
[1,4] + A3
[4,2]
3 < 7 + 5
• A3
[1,3] A3
[1,4] + A3
[4,3]
5 < 7 + 7
• A3
[2,1] A3
[2,4] + A3
[4,1]
7 > 3 + 2
• A3
[2,3] A3
[2,4] + A3
[4,3]
2 < 3 + 7
• A3
[3,1] A3
[3,4] + A3
[4,1]
5 > 1 + 2
• A3
[3,2] A3
[3,4] + A3
[4,2]
8 > 1 + 5
1 2 3 4
1 0 3 5 6
2 7 0 2 3
3 5 8 0 1
4 2 5 7 0
1 2 3 4
1 0 6
2 0 3
3 0 1
4 2 5 7 0

• La matriz queda de la forma.
1 2 3 4
1 0 3 5 6
2 5 0 2 3
3 3 6 0 1
4 2 5 7 0
1 2
4 3
7
8
2
1
2
3
5

• Con las observaciones que se tuvo en el algoritmo, se puede definir
de forma recursiva.
• Donde se obtiene el siguiente seudocódigo

Algoritmo de Johnson para grafos dispersos
• Es también un algoritmo para encontrar el camino mas corto entre
todos los pares de vértices de un grafo dirigido y disperso.
• Permite que las aristas tengan pesos negativos, si bien ni permite
ciclos de peso negativo.
• Funciona utilizando el algoritmo de Bellman-Ford para hacer una
transformación en el grafo inicial que elimina todas las aristas de peso
negativo, permitiendo por lo tanto usar el algoritmo de Dijkstra en el
grafo transformado.

• Se tiene el siguiente grafo:
•
• Vértices = 5
• Aristas = 9
• Se le aumenta una arista para este algoritmo
• V Vértices = 5
• Aristas = 14

• h(1) = d(0,1) = 0
• h(2) = d(0,2) = 0 4 3 2 = 0-5+4 = -1
• h(3) = d(0,3) = 0 4 3=0-5=-5
• h(4) = d(0,4) = 0 4 = 0
• h(5) = d(0,5) = 0 1 5=-4
• Luego aplicamos la formula.
• Donde:
• w’(1,2) = w(1,2) + h(1) – h(2) = 3 + 0 – (-1) = 4

• w’(1,3) =13
• w’(1,5) =0
• w’(2,4) =0
• w’(2,5) =10
• w’(3,2) = 0
• w’(4,1) = 0
• w’(4,3) = 2
• w’(5,4) = 2
• w’(0,1) = 0
• w’(0,2) = 1
• w’(0,3) = 5
• w’(0,4) = 0
• w’(0,5) = 4

• Para el vértice ‘1’
• d’(1,1) = 0
• d’(1,2) = 2
• d’(1,3) = 2
• d’(1,4) = 2
• d’(1,5) = 0
• Para encontrar ‘d’
• d(u,v) = d’(u,v) – h(u) + h(v)
• d(1,1) = d’(1,1) – h(1) + h(1) = 0 – 0 – 0 = 0
• d(1,2) = 1
• d(1,3) = -3
• d(1,4) = 2
• d(1,5) = -4

• Para el vertice ‘2’
• d’(2,1) = 2
• d’(2,2) = 0
• d’(2,3) = 0
• d’(2,4) = 0
• d’(2,5) = 2
• d(u,v) = d’(u,v) – h(u) + h(v)
• d(2,1) = 3
• d(2,2) = 0
• d(2,3) = -4
• d(2,4) = 1
• d(2,5) = -1

• d’(3,1) = 2
• d’(3,2) = 0
• d’(3,3) = 0
• d’(3,4) = 0
• d’(3,5) = 2
• d(u,v) = d’(u,v) – h(u) + h(v)
• d(3,1) = 7
• d(3,2) = 4
• d(3,3) = 0
• d(3,4) = 5
• d(3,5) = 3

• d’(4,1) = 2
• d’(4,2) = 0
• d’(4,3) = 0
• d’(4,4) = 0
• d’(4,5) = 2
• d(u,v) = d’(u,v) – h(u) + h(v)
• d(4,1) = 2
• d(4,2) = -1
• d(4,3) = -5
• d(4,4) = 0
• d(4,5) = -2

• d’(5,1) = 4
• d’(5,2) = 2
• d’(5,3) = 2
• d’(5,4) = 2
• d’(5,5) = 0
• d(u,v) = d’(u,v) – h(u) + h(v)
• d(5,1) = 8
• d(5,2) = 5
• d(5,3) = 1
• d(5,4) = 6
• d(5,5) = 0

• El seudocódigo del algoritmo es el siguiente.
• Y su complejidad es de:

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